Wissenschaftliches Bulletin für internationale Studierende. Grundlagen probabilistischer und statistischer Methoden zur Beschreibung von Unsicherheiten

Gesetz der großen Zahlen

Es wurde bereits erwähnt, dass es unmöglich ist, vorherzusagen, welchen der möglichen Werte eine Zufallsvariable annehmen wird, da wir nicht alle Umstände berücksichtigen können, von denen dieses Ereignis abhängt. In manchen Fällen ist es jedoch möglich, die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses anzugeben.

Die Erfahrung zeigt, dass Ereignisse mit einer geringen Eintrittswahrscheinlichkeit selten eintreten, Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit nahe eins jedoch mit ziemlicher Sicherheit. Der Grundsatz, dass unwahrscheinliche Ereignisse in der Praxis als unmöglich gelten, wird als „Grundsatz der praktischen Unmöglichkeit unwahrscheinlicher Ereignisse“ bezeichnet. Ereignisse, deren Eintrittswahrscheinlichkeiten sehr nahe bei eins liegen, gelten als praktisch sicher (Prinzip der praktischen Gewissheit). Wie klein oder wie hoch die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sein sollte, hängt von der praktischen Anwendung, von der Bedeutung dieses Ereignisses ab.

Folglich besteht eine der Hauptaufgaben der Wahrscheinlichkeitstheorie darin, Muster zu ermitteln, die mit Wahrscheinlichkeiten nahe eins auftreten. Diese Muster müssen den gemeinsamen Einfluss einer Vielzahl unabhängig (oder schwach abhängiger) wirkender Faktoren berücksichtigen. Darüber hinaus hat jeder Faktor einzeln einen unbedeutenden Einfluss. Jeder Satz, der die oben genannten Gesetze aufstellt, wird Gesetz der großen Zahlen genannt. Das Gesetz der großen Zahlen, wie es von Prof. UND ICH. Khinichin sollte man ein allgemeines Prinzip benennen, aufgrund dessen das Zusammenwirken einer Vielzahl von Faktoren unter ganz allgemeinen Bedingungen zu einem Ergebnis führt, das nahezu unabhängig vom Zufall ist.

Einige spezifische Bedingungen, unter denen das Gesetz der großen Zahlen gilt, sind in den Sätzen von Chebyshev, Bernouli, Poisson und Lyapunov angegeben.

Markovs Lemma. Ungleichheit und Satz von Tschebyscheff. Die Sätze von Bernoulli und Poisson

Markovs Lemma. Sei X eine Zufallsvariable, die nur nichtnegative Werte annimmt. Dann können wir die folgende Ungleichung erhalten:

(τ > 0 beliebig). (4.1)

Nachweisen. Um genau zu sein, nehmen wir an, dass X eine kontinuierliche Zufallsvariable mit der Dichte f(x) ist. Per Definition der mathematischen Erwartung erhalten wir

.

.

Beide Terme auf der rechten Seite sind aufgrund der Bedingungen des Lemmas also nicht negativ

,

aber jetzt x ≥ τ, und deshalb

Auf diese Weise,

Da τ ​​> 0 ist, erhalten wir

Betrachten wir nun eine Zufallsvariable X mit einem mathematischen Erwartungswert M(X) und einer Varianz D(X). Schätzen wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ab, dass die Abweichung X - M(X) den Absolutwert der positiven Zahl ε nicht überschreitet. Eine Schätzung dieser Wahrscheinlichkeit wird mithilfe der Tschebyscheff-Ungleichung erhalten.

Tschebyscheffs Ungleichung

Tschebyscheffs Ungleichung . Die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung einer Zufallsvariablen X von ihrer mathematischen Erwartung im absoluten Wert kleiner als eine positive Zahl ε ist, ist nicht kleiner als

. (4.2)

Nachweisen. Hier ist der Beweis für eine diskrete (endliche) Zufallsvariable X:

					x k +1
					p k +1		p n

Betrachten wir eine Zufallsvariable. Dann hat seine Vertriebsreihe die Form

│X – M (X)│	│х 1 – M (X )│	│x 2 – M (X)│		│x k – M (X )│	│x k +1 – M (X )│		│x n – M (X )│
					p k +1		p n

Ohne die Allgemeingültigkeit des Arguments einzuschränken, können wir davon ausgehen, dass die ersten k Werte der Zufallsvariablen kleiner als ein gegebenes ε sind und die übrigen Werte nicht kleiner als ε sind. Basierend auf dem Wahrscheinlichkeitsadditionssatz erhalten wir dann die folgende Formel:

. (4.3)

Um zu finden, schreiben wir die Formel D(X) in die Form

Wenn wir die erste Summe auf der rechten Seite dieser Gleichung weglassen und die zweite Summe durch einen kleineren Wert ε ersetzen, erhalten wir die Ungleichung

Aus dieser Ungleichung folgt:

. (4.4)

Wenn wir die rechte Seite von (4.4) in (4.3) einsetzen, erhalten wir schließlich

Das war es, was bewiesen werden musste.

Betrachten wir eine ausreichend große Anzahl n unabhängiger Zufallsvariablen X1, X2, ... Xn. Wenn ihre Varianzen durch die Zahl C begrenzt sind, dann ist der Fall, dass die Abweichung des arithmetischen Mittels dieser Zufallsvariablen vom arithmetischen Mittel ihrer mathematischen Erwartungen im absoluten Wert beliebig klein sein wird, nahezu sicher. Dieser Satz, der sich auf das Gesetz der großen Zahlen bezieht, wurde von P.L. bewiesen. Tschebyschew.

Satz von Tschebyschew . Wenn X1, X2, ...

wird so nahe wie gewünscht an Eins liegen, wenn die Anzahl n der Zufallsvariablen groß genug ist.

Unter Verwendung des Konzepts eines Grenzwerts können wir in den Bedingungen des Satzes schreiben:

.

Anstelle des letzten Eintrags werden oft kurz die Beträge genannt konvergieren in der Wahrscheinlichkeit gegen Null, was wie folgt geschrieben wird und über dem Pfeil p zeigt

.

Nachweisen. Betrachten wir eine Zufallsvariable, die tatsächlich das arithmetische Mittel dieser Werte ist. Die Zufallsvariable X ist eine lineare Funktion unabhängiger Zufallsvariablen X1, X2, ... Xn. Basierend auf den Eigenschaften der mathematischen Erwartung und Streuung können wir schreiben:

Gemäß den Bedingungen des Satzes ist daher D(Xi) ≤ C

.

Jetzt können wir die Tschebyscheff-Ungleichung verwenden:

Wenn wir die Grenze bei erreichen, erhalten wir:

.

Da die Wahrscheinlichkeit nicht größer als eins sein kann, ist diese Grenze gleich eins, was bewiesen werden musste.

Aus dem Satz von Tschebyschew folgt die Aussage, dass das arithmetische Mittel einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen mit begrenzten Varianzen seinen Zufallscharakter verliert und zu einem deterministischen Wert wird.

Beispiel 4.1. Die Varianz jeder der 6250 unabhängigen Zufallsvariablen überschreitet nicht 9. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit ab, dass der absolute Wert der Abweichung des arithmetischen Mittels dieser Zufallsvariablen vom arithmetischen Mittel ihrer mathematischen Erwartungen 0,6 nicht überschreitet.

Lösung. Nach dem Satz von Tschebyschew ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit P nicht kleiner als . Gemäß den Bedingungen des Problems ist C = 9, n = 6250, ε = 0,6, also gemäß Ausdruck (4.5) P ≥ 0,996.

Beachten wir einige wichtige Sonderfälle des Satzes von Tschebyschew.

Satz von Bernoulli. Es sollen n unabhängige Versuche durchgeführt werden, bei denen die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses jeweils konstant und gleich p ist. Was auch immer ε > 0 ist,

, (4.6)

Dabei ist m/n die Häufigkeit (relative Häufigkeit) des Auftretens von Ereignis A.

Nachweisen. Um dies zu beweisen, betrachten Sie die Zufallsvariable Хi = mi, die die Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A in Versuch I angibt, sodass m = m1 + m2 +…+ mi +…+ mn und die Zufallsvariablen mi paarweise unabhängig sind. Es wurde zuvor gezeigt, dass M(mi) = p und D(mi) = pq. Da pq ≤ 1/4 ist, sind die Varianzen der Zufallsvariablen mi durch die gleiche Zahl C = 1/4 begrenzt, daher erhalten wir alle Bedingungen, unter denen der Satz von Tschebyscheff gültig ist, und erhalten schließlich

, (4.7)

Beispiel 4.2. Bei einem Unternehmen, das Bildröhren herstellt, erfüllen 0,8 % aller Produkte die Garantiezeit. Finden Sie mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 0,95 die Grenzen, innerhalb derer der Anteil der Bildröhren, die der Garantiezeit standhalten, in einer Charge von 8000 Bildröhren liegt.

Lösung. Wir wenden den Satz von Bernoulli für n = 8000, P ≥ 0,95, p = 0,8 und q = 0,2 an. Einsetzen der Daten p, q und n in Formel (4.7)

Finden wir ε=0,02. Durch Erweitern des Moduls in Beziehung (4.6) erhalten wir aus der Ungleichung

oder 6240< m < 6560.

Satz von Poisson. Wenn in einer Folge unabhängiger Versuche das Auftreten von Ereignis A im k-ten Versuch gleich pk ist, dann

(4.8)

Dabei ist m eine Zufallsvariable, die der Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A in den ersten n Versuchen entspricht.

Nachweisen. Die Zufallsvariable Xk = mk bezeichne die Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A im k-ten Versuch. Dann , und Zufallsvariablen mk sind paarweise unabhängig. Somit ist der Satz von Poisson ein Sonderfall des Satzes von Tschebyschew. Basierend auf den Eigenschaften des mathematischen Erwartungswerts und der Streuung einer Zufallsvariablen wir erhalten folgende Formeln:

,

wobei der Balken über den Wahrscheinlichkeiten deren Durchschnittswerte bedeutet.

Wenn wir diese Formeln in die Chebyshev-Ungleichung (4.5) einsetzen, erhalten wir eine Ungleichung, die den Satz von Poisson ausdrückt:

, (4.9)

und wenn wir zum Grenzwert gehen, wobei n gegen Unendlich geht, erhalten wir schließlich

Beispiel 4.3. Es wurden 900 unabhängige Versuche durchgeführt, und in 450 dieser Versuche betrug die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A 2/3, bei 200 - 0,5, bei 160 - 0,3 und bei 90 - 0,4. Finden Sie eine Schätzung der Wahrscheinlichkeit, dass die Häufigkeit oder relative Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A im absoluten Wert um nicht mehr als 0,1 von der durchschnittlichen Wahrscheinlichkeit abweicht.

Lösung. Wir wenden den Satz von Poisson an. Wir finden:

Einsetzen in die rechte Seite der Ungleichung (4.9)

Werte, ε und n, wir erhalten P ≥ 0,97.

Der Satz von Bernoulli ist ein Sonderfall des Satzes von Poisson.

Wenn die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Ereignisses in jedem Versuch konstant ist: p1 = p2 = ... = pn = p, dann = p und = pq.

Kommentar. In Fällen, in denen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses in jedem Versuch nicht bekannt ist, wird C = 1/4 als Obergrenze der Varianz angenommen, d. h.

.

Satz von Laplace

Die Sätze von Chebyshev, Bernoulli und Poisson legen eine Untergrenze für die Wahrscheinlichkeit fest, die oft nicht ausreicht. In manchen Fällen ist es wichtig, einen ziemlich genauen Wahrscheinlichkeitswert zu kennen. Diese Anforderung wird durch die sogenannten Grenzwertsätze des Gesetzes der großen Zahlen erfüllt, die asymptotische Formeln für die Wahrscheinlichkeiten der Ungleichheit angeben relativ zu n Zufallsvariablen Xi.

Wir wissen bereits, dass die Wahrscheinlichkeit einer Ungleichheit mithilfe des Integralsatzes von Laplace berechnet wird, nämlich

,

Folglich ist der Integralsatz von Laplace ein ziemlich genauer Ausdruck des Bernoulli-Theorems. Die asymptotische Formel für den Satz von Tschebyschew wurde von seinem Schüler A.M. bewiesen. Ljapunow. Stellen wir den Satz von Ljapunow vor, dessen Beweis wir in Vorlesung 4 durchgeführt haben.

Zentraler Grenzwertsatz

Satz von Lyapunov. Betrachten Sie n unabhängige Zufallsvariablen X1, X2,…, Xn, die die Bedingungen erfüllen:

1) alle Größen haben bestimmte mathematische Erwartungen und endliche Varianzen;

2) Keine der Größen hebt sich in ihren Werten stark von den anderen ab.

Dann nähert sich die Verteilung der Zufallsvariablen bei unbegrenzter Zunahme von n dem Normalgesetz an.

Somit haben wir die folgende asymptotische Formel:

, (4.10)

Wo .

Beispiel 4.4. Die Varianz jeder der 400 unabhängigen Zufallsvariablen beträgt 25. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der absolute Wert der Abweichung des arithmetischen Mittels der Zufallsvariablen vom arithmetischen Mittel ihrer mathematischen Erwartungen 0,5 nicht überschreitet.

Lösung. Wenden wir den Satz von Lyapunov an. Gemäß den Bedingungen des Problems ist n = 400, D(Xi) = 25, also ε = 0,5. Wenn wir diese Daten in die Formel einsetzen, erhalten wir t = 2, woraus P = Ф(2) = 0,9545.

Abschließend präsentieren wir einen Beweis der Tschebyscheff-Ungleichung für kontinuierliche Zufallsvariablen.

Lemma (Tschebyscheffsche Ungleichung) . Für jeden e e

Was genau bewiesen werden musste.

1

In diesem Artikel werden die Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere die Ungleichung von Tschebyscheff, das Gesetz der großen Zahlen, diskutiert, die einen Zusammenhang zwischen den theoretischen und experimentellen Eigenschaften von Zufallsvariablen mit einer großen Anzahl von Tests herstellen. Der Inhalt des Artikels konzentriert sich auf eine detaillierte Untersuchung des Hauptsatzes von Tschebyschew. Ihr Beweis basiert auf einem sehr allgemeinen Lemma, der sogenannten Tschebyscheff-Ungleichung. Diese Ungleichung gilt für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen. Tschebyscheffs Ungleichung ist von begrenztem Wert, da sie oft eine grobe und offensichtliche Schätzung liefert. Der Kern des Satzes besteht darin, dass einzelne Zufallsvariablen eine signifikante Streuung aufweisen können, ihr arithmetisches Mittel jedoch wenig streut. Der Satz von Tschebyschew ist ein eindrucksvolles Beispiel, das die Gültigkeit der Lehre des dialektischen Materialismus über den Zusammenhang zwischen Zufall und Notwendigkeit bestätigt.

Wahrscheinlichkeitstheorie

zufällige Variablen

Grenzwertsätze

Gesetz der großen Zahlen

Tschebyscheff-Ungleichung

Satz von Tschebyschew

1. Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Wahrscheinlichkeitstheorie. Mathe-Statistik. – M.: Gardarika, 2009. – 328 S.

2. Buldyk G.M. Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik. 2005. – 285 S.

3. Gmurman V.E. Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik: Lehrbuch. – 12. Auflage – M.: Higher Education, 2008. – 479 S. – (Grundlagen der Naturwissenschaften)

4. Pismenny D. Vorlesungsskript zu Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematischer Statistik und Zufallsprozessen / Dmitry Pismenny. – 3. Auflage – M.: Iris-Press, 2008. – 288 S. - (Hochschulbildung)

Einführung

Grenzwertsätze werden herkömmlicherweise in zwei Gruppen eingeteilt. Zur ersten Gruppe von Theoremen gehört das Gesetz der großen Zahlen, das die Stabilität von Durchschnittswerten festlegt: Bei einer großen Anzahl von Tests ist ihr Durchschnittsergebnis nicht mehr zufällig und kann genau vorhergesagt werden. Die zweite Gruppe von Theoremen, die als zentraler Grenzwertsatz bezeichnet wird, legt die Bedingungen fest, aufgrund derer sich das Verteilungsgesetz der Summe einer großen Anzahl von Zufallsvariablen auf unbestimmte Zeit dem Normalzustand annähert.

In diesem Artikel betrachten wir die Tschebyscheff-Ungleichung, die verwendet wird: a) für eine grobe Schätzung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die mit Zufallsvariablen verbunden sind, deren Verteilung unbekannt ist; b) Beweise einer Reihe von Sätzen des Gesetzes der großen Zahlen.

Der Zweck dieses Artikels ist das erfolgreiche Studium und die praktische Anwendung des Satzes von Tschebyschew und des Gesetzes der großen Zahlen für eine effektive mathematische Ausbildung von Studierenden wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen an Hochschulen.

Tschebyscheffs Ungleichung

Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen.

Satz 1. Wenn eine Zufallsvariable

P (|X-M(X)|)≥ε)≤ (1)

Beweisen wir Satz (1) für eine kontinuierliche Zufallsvariable X mit Dichte f(x).

Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X in einen Bereich fällt, der außerhalb des Intervalls liegt. Wir können schreiben

Da der Integrationsbereich in der folgenden Form 2 ≥ ε2 geschrieben werden kann. Wir haben

da das Integral einer nichtnegativen Funktion nur zunehmen kann, wenn der Integrationsbereich erweitert wird. Deshalb

Die Tschebyscheff-Ungleichung wird auf ähnliche Weise für eine diskrete Zufallsvariable bewiesen. Betrachten wir eine Zufallsvariable X mit mathematischem Erwartungswert M(X) und Varianz D(X). Dann ist der folgende Satz gültig.

Satz 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert

P (|X - M(X)|)<ε} ≥ 1- (2)

In Form (2) legt es eine Untergrenze für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses fest, und in Form (1) legt es eine Obergrenze fest.

Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt für Zufallsvariablen X = m, die eine Binomialverteilung mit dem mathematischen Erwartungswert M(X) = a = np und der Varianz D(X) = npq haben. Diese Ungleichheit nimmt die Form an

P(|m - np| (3)

Für die Häufigkeit eines Ereignisses in n unabhängigen Versuchen, in denen es jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p=M()=a auftreten kann, deren Varianz D()= ist, hat die Tschebyscheff-Ungleichung die Form

P (| - p| (4)

Tschebyscheffs Ungleichung ist von begrenztem Wert, da sie oft eine grobe und offensichtliche Schätzung liefert. Wenn beispielsweise D(X) >ε2 und > 1, dann 1-> 0; Daher weist die Tschebyscheff-Ungleichung in diesem Fall darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung nicht negativ ist, und dies ist bereits trivial, da jede Wahrscheinlichkeit durch eine nicht negative Zahl ausgedrückt wird. Diese Ungleichung wird verwendet, um den Satz von Tschebyscheff abzuleiten.

Satz von Tschebyschew

Betrachten wir eine Zufallsvariable X, bei der sich das Verteilungsgesetz von Experiment zu Experiment ändert. Dann haben wir es mit mehreren (n) Größen zu tun.

Satz 3. Wenn X1, X2, ..., (Xi)< С, i=, то при возрастании n среднее арифметическое наблюдаемых значений величин Хi, i=, сходится по вероятности к среднему арифметическому их ожиданий, то есть для любого ε> 0

Betrachten wir den Wert Y=. Sein mathematischer Erwartungswert ist M(Y) = und seine Varianz ist D(Y) = .

Wenden wir die Tschebyscheff-Ungleichung auf den Wert Y an, den wir erhalten

P()

Seit damals

Egal wie klein, wenn wir für n zum Grenzwert in Formel (6) übergehen, erhalten wir

Q.E.D.

Der Satz von Tschebyschew besagt also, dass das arithmetische Mittel einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen (deren Varianzen gleichmäßig begrenzt sind) keine Zufallsvariable mehr ist. Das heißt, es ist stabil und konvergiert in der Wahrscheinlichkeit zu einem bestimmten nicht zufälligen Wert, da das arithmetische Mittel mathematischer Erwartungen ein nicht zufälliger Wert ist.

Eine andere Formulierung des Gesetzes der großen Zahlen erhält man, wenn man in Formel (5) auf die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses eingeht

Für identisch verteilte Zufallsvariablen Хi, i= gibt es einen Sonderfall des Satzes von Tschebyscheff.

Satz 4 (Khinchins Satz). Seien X1, X2, ... unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit endlichen mathematischen Erwartungen M(Xi) = m. Dann konvergiert die Folge (Yn), wobei Yn, m mit der Wahrscheinlichkeit 1, d. h. für jedes ε>0

Das Gesetz der Großen gilt für abhängige Zufallsvariablen.

Satz 5 (Satz von Markov). Wenn für Zufallsvariablen X1, X2, ...

= 0

dann konvergiert das arithmetische Mittel der beobachteten Werte von Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeit dem arithmetischen Mittel ihrer mathematischen Erwartungen:

für jedes ε> 0

Der Kern des Chebyshev-Theorems besteht darin, dass einzelne Zufallsvariablen eine signifikante Streuung aufweisen können, ihr arithmetisches Mittel jedoch wenig streut.

Daraus folgt, dass es unmöglich ist, mit Sicherheit vorherzusagen, welchen wahrscheinlichen Wert jede der Zufallsvariablen annehmen wird, aber es ist möglich, vorherzusagen, welchen Wert ihr arithmetisches Mittel annehmen wird.

Damit verliert das arithmetische Mittel einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen den Charakter einer Zufallsvariablen. Dies lässt sich dadurch erklären, dass die Abweichung jedes ihrer Werte von ihren mathematischen Erwartungen sowohl positiv als auch negativ sein kann und sie sich im arithmetischen Mittel gegenseitig aufheben.

Der Satz von Tschebyscheff gilt nicht nur für diskrete, sondern auch für kontinuierliche Größen; Es ist ein eindrucksvolles Beispiel, das die Gültigkeit der Lehren des dialektischen Materialismus über den Zusammenhang zwischen Zufall und Notwendigkeit bestätigt.

Bibliografischer Link

Minasova N.R., Makeeva O.O. LIMIT-THEORIE DER WAHRSCHEINLICHKEIT. Tschebyschews Ungleichheit. GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN // Wissenschaftliches Bulletin für internationale Studierende. – 2014. – Nr. 2.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=11855 (Zugriffsdatum: 06.04.2019). Wir machen Sie auf Zeitschriften des Verlags „Academy of Natural Sciences“ aufmerksam.

Tschebyscheffs Ungleichung

Parametername	Bedeutung
Thema des Artikels:	Tschebyscheffs Ungleichung
Rubrik (thematische Kategorie)	Mathematik

Satz. Sei (W,F,P) ein Nicht-Wahrscheinlichkeitsraum und X eine nichtnegative Zufallsvariable, dann gilt für jedes e > 0 die Ungleichung

(1)

Nachweisen. Die Zufallsvariable X sei in der Form dargestellt

X = X × I(X ³ e) + X × I(X< e) ³ XI (X ³ e) ³ eI (X³e),

wobei I(A) ein Ereignisindikator ist.

Aus diesem Grund werden unter Verwendung der Eigenschaften mathematischer Erwartungen

, von hier

- Dies ist Tschebyschews erste Ungleichung.

Folgen. Wenn X eine beliebige Zufallsvariable ist, dann gilt für e>0

(2)

(3)

(3) – die zweite Tschebyscheff-Ungleichung in nichtzentrierter Form.

(4)

(4) – die zweite Tschebyscheff-Ungleichung in zentrierter Form.

Beispiel. Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit mathematischem Erwartungswert m x und Varianz s x 2 =D x . Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X um mindestens 3s x von seiner mathematischen Erwartung abweicht.

Lösung. Unter der Annahme e=3s x in der Tschebyscheff-Ungleichung (Formel (4)):

ᴛ.ᴇ. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert über drei Standardabweichungen hinausgeht, sollte nicht mehr als 1/9 betragen. Dies ist eine obere Schätzung – die Obergrenze der probabilistischen Abweichung. Es ist erwähnenswert, dass für eine normale Zufallsvariable die probabilistische Abweichung = 0,003 ist.

Notiz. In der Praxis haben wir es mit Zufallsvariablen zu tun, deren Werte selten über m x ±3s x hinausgehen („Drei-Sigma-Regel“).

Tschebyscheffs Ungleichung – Konzept und Typen. Klassifizierung und Merkmale der Kategorie „Chebyshevs Ungleichung“ 2017, 2018.

- Satz 1. Tschebyscheffs Ungleichung.

Gesetz der großen Zahlen. Im weitesten Sinne des Wortes bedeutet das Gesetz der großen Zahlen, dass bei einer großen Anzahl von Zufallsexperimenten deren durchschnittliches Ergebnis praktisch nicht mehr zufällig ist und mit hoher Sicherheit vorhergesagt werden kann (d. h. das Ereignis hat.. .

- Tschebyscheffs Ungleichung.

- Tschebyscheffs Ungleichung.

Der Zufallscharakter einer Größe äußert sich darin, dass nicht vorhergesagt werden kann, welchen ihrer Werte sie als Ergebnis des Tests annehmen wird. Dies hängt von vielen zufälligen Gründen ab, die wir nicht berücksichtigen können. Da wir über jede Zufallsvariable ziemlich viele Informationen haben... .

- Tschebyscheffs Ungleichung

THEOREM DER GROSSEN ZAHLEN UND DER ZENTRALEN GRENZE CHEBYSHEVS UNGLEICHHEIT, KONZEPT DES GESETZES Wenn eine Zufallsvariable X mit mathematischem Erwartungswert M(X) = A nur nichtnegative Werte annehmen kann, dann gilt für jedes e >0...

- VORTRAG 17. GRENZTHÄOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. Tschebyschews Ungleichheit. Gesetz der großen Zahlen

Wenn die Streuung einer Zufallsvariablen bekannt ist, ist es mit ihrer Hilfe möglich, die Abweichung dieser Zufallsvariablen um einen bestimmten Wert vom mathematischen Erwartungswert zu bestimmen, und die Schätzung der Abweichungswahrscheinlichkeit hängt von der Streuung ab und nicht zum Vertriebsrecht....

Die große Erfahrung der Menschheit lehrt uns, dass mit ziemlicher Sicherheit Phänomene auftreten, deren Wahrscheinlichkeit sehr nahe bei eins liegt. Ebenso treten Ereignisse mit einer sehr geringen Eintrittswahrscheinlichkeit (also sehr nahe bei Null) sehr selten auf. Dieser Umstand spielt für alle praktischen Schlussfolgerungen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie eine große Rolle, da diese experimentelle Tatsache in der praktischen Tätigkeit das Recht gibt, Ereignisse mit geringer Wahrscheinlichkeit als praktisch unmöglich und Ereignisse mit Wahrscheinlichkeiten, die sehr nahe bei Eins liegen, als praktisch sicher zu betrachten. Gleichzeitig ist es unmöglich, eine eindeutige Antwort auf die völlig natürliche Frage zu geben, wie hoch die Wahrscheinlichkeit sein muss, damit wir ein Ereignis für praktisch unmöglich (praktisch sicher) halten können. Und das ist verständlich, denn in der praktischen Tätigkeit muss die Bedeutung der Ereignisse, mit denen wir uns befassen müssen, berücksichtigt werden.

Wenn sich beispielsweise bei der Messung des Abstands zwischen zwei Punkten herausstellt, dass dieser 5340 m beträgt und der Fehler dieser Messung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02 20 m oder mehr (oder weniger) beträgt, können wir dies vernachlässigen die Möglichkeit eines solchen Fehlers und gehen davon aus, dass die Entfernung tatsächlich 5340 m beträgt. Daher halten wir in diesem Beispiel ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02 für praktisch unbedeutend (praktisch unmöglich) und berücksichtigen es nicht in unserer praktischen Tätigkeit. Gleichzeitig ist es in anderen Fällen unmöglich, Wahrscheinlichkeiten von 0,02 und noch kleiner zu vernachlässigen. Wenn sich also beim Bau eines großen Wasserkraftwerks, der enorme Materialkosten und menschliche Arbeit erfordert, herausstellt, dass die Wahrscheinlichkeit einer katastrophalen Überschwemmung unter den betrachteten Bedingungen 0,02 beträgt, wird diese Wahrscheinlichkeit bei der Planung als groß angesehen Die Station muss berücksichtigt und nicht verworfen werden, wie im vorherigen Beispiel.

Daher können uns nur die Anforderungen der Praxis die Kriterien nennen, nach denen wir bestimmte Ereignisse für praktisch unmöglich oder praktisch sicher halten.

Gleichzeitig ist zu beachten, dass jedes Ereignis mit einer positiven Wahrscheinlichkeit, sogar nahe Null, eintreten kann. Und wenn die Anzahl der Versuche, in denen es in jedem dieser Versuche mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten kann, sehr groß ist, kann die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einmal auftritt, beliebig nahe bei eins liegen. Dieser Umstand sollte stets im Auge behalten werden.

Aus dem Gesagten geht hervor, dass Ereignisse mit Wahrscheinlichkeiten nahe Eins oder Null in der Praxis und bei allgemeinen theoretischen Problemen von großer Bedeutung sind. Daraus wird deutlich, dass eine der Hauptaufgaben der Wahrscheinlichkeitstheorie darin bestehen sollte, Muster zu ermitteln, die mit Wahrscheinlichkeiten nahe Eins auftreten; Eine besondere Rolle sollten dabei Muster spielen, die durch die Überlagerung einer Vielzahl unabhängiger oder schwach abhängiger Zufallsfaktoren entstehen.

Tatsächlich ist es unmöglich, im Voraus sicher vorherzusagen, welchen der möglichen Werte eine Zufallsvariable als Ergebnis des Tests annehmen wird; es hängt von vielen zufälligen Gründen ab, die wir nicht berücksichtigen können. Es scheint, dass es kaum möglich ist, Verhaltensmuster und die Summe einer ausreichend großen Anzahl von Zufallsvariablen zu ermitteln, da wir in diesem Sinne nur über sehr bescheidene Informationen zu jeder Zufallsvariablen verfügen. Eigentlich stimmt das nicht. Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten relativ allgemeinen Bedingungen das Gesamtverhalten einer ausreichend großen Anzahl von Zufallsvariablen fast seinen Zufallscharakter verliert und natürlich wird.

Das Vorhandensein eines Zusammenhangs zwischen den theoretischen und experimentellen Eigenschaften von Zufallsvariablen, der sich in einer Vielzahl von Experimenten manifestiert, ermöglicht es, die Ergebnisse von Massenzufallsphänomenen mit einem gewissen Maß an Sicherheit vorherzusagen. Für die Praxis ist es sehr wichtig zu wissen, unter welchen Bedingungen das Zusammenwirken vieler Zufallsursachen zu einem nahezu zufallsunabhängigen Ergebnis führt, da es eine Vorhersage des Verlaufs von Phänomenen ermöglicht. Diese Bedingungen werden in einer Reihe von Grenzwertsätzen angegeben, von denen eine Gruppe unter der allgemeinen Bezeichnung „Gesetz der großen Zahlen“, die andere unter der allgemeinen Bezeichnung „Zentraler Grenzwertsatz“ zusammengefasst ist.

Das Gesetz der großen Zahlen besteht aus den Sätzen von Tschebyschew und Bernoulli (es gibt noch andere Sätze), die die Annäherung des arithmetischen Mittels von Zufallsvariablen an bestimmte Zufallsmerkmale unter bestimmten Bedingungen beweisen. Der Satz von Tschebyschew ist das allgemeinste Gesetz der großen Zahlen, der Satz von Bernoulli ist der einfachste.

In einer anderen Gruppe von Grenzwertsätzen, zusammengefasst unter dem allgemeinen Namen „Zentraler Grenzwertsatz“, wird die Tatsache festgestellt, dass sich das Verteilungsgesetz der Summe von Zufallsvariablen unter bestimmten Bedingungen dem Normalverteilungsgesetz annähert. Mathematisch drückt sich dies in Bedingungen aus, die für die betrachteten Zufallsvariablen erfüllt sein müssen, das heißt, es ist notwendig, bestimmte Bedingungen für die Zufallsvariablen zu erfüllen
, für die die gesamte Zufallsvariable
nach dem Normalgesetz verteilt.

Somit stellen das Gesetz der großen Zahlen und der Zentralsatz zwei Gruppen von Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie dar, die es zusammen ermöglichen, recht vernünftige Vorhersagen im Bereich der Zufallsphänomene zu treffen und gleichzeitig eine Einschätzung der Genauigkeit der getroffenen Vorhersagen zu geben.

Satz von Tschebyschew

Um den Satz von Tschebyschew (und auch andere Sätze) zu beweisen, verwenden wir die gleichnamige Ungleichung. Tschebyscheffs Ungleichung (sowie der Satz) gilt sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Zufallsvariablen. Wir beschränken uns beispielsweise darauf, die Ungleichheit für eine kontinuierliche Zufallsvariable zu beweisen.

UNGLEICHHEITTschebyschewa 1: Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung einer Zufallsvariablen X , mit endlicher Dispersion
, ist aufgrund seiner mathematischen Erwartung in absoluten Werten kleiner als jede positive Zahl , von oben begrenzt durch
, das heißt, die Ungleichung ist wahr:

.

Nachweisen : Per Definition der Varianz für eine kontinuierliche Zufallsvariable können wir schreiben

.

Wählen Sie auf der Zahlenachse aus Oh -Nachbarschaft eines Punktes
(siehe Bild). Ersetzen wir nun die Integration über die gesamte Achse durch das Integral über die Variable X am Set. Da es unter dem Integralzeichen eine nichtnegative Funktion 2 gibt, kann das Ergebnis der Integration dadurch nur kleiner werden

Das Integral auf der rechten Seite der resultierenden Ungleichung ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable vorliegt X nimmt Werte außerhalb des Intervalls an
. Bedeutet

Die Ungleichheit ist bewiesen.

Kommentar . Tschebyscheffs Ungleichung hat nur begrenzte praktische Bedeutung, da sie oft eine grobe und manchmal triviale (uninteressante) Schätzung liefert. Zum Beispiel, wenn
und deshalb
; In diesem Fall zeigt die Tschebyscheff-Ungleichung also lediglich an, dass die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung im Bereich von Null bis Eins liegt, und dies ist bereits offensichtlich, da jede Wahrscheinlichkeit diese Bedingung erfüllt.

Die theoretische Bedeutung der Tschebyscheff-Ungleichung ist sehr groß. Die von Chebyshev erhaltene Schätzung ist universell; sie gilt für alle Zufallsvariablen mit
Und
.

BEISPIEL.Ermitteln Sie die Ausgabewahrscheinlichkeit einer Zufallsvariablen X , was einen mathematischen Erwartungswert hat
und Varianz
, jenseits der Drei-Sigma-Grenzen.

Lösung . Verwenden wir die Tschebyscheff-Ungleichung:

Vergleichen wir das erhaltene Ergebnis mit dem Ergebnis, das sich aus der Drei-Sigma-Regel für das Normalverteilungsgesetz ergibt:

Nicht schwer zu machen ABSCHLUSS : In der Praxis vorkommende Zufallsvariablen haben am häufigsten eine deutlich geringere Wahrscheinlichkeit, die Drei-Sigma-Grenzen zu überschreiten als 1/9. Für sie ist die Region der Bereich praktisch möglicher Werte der Zufallsvariablen.

SATZTschebyschewa(Sonderfall): Let X 1 , X 2 , …, X N – paarweise unabhängige Zufallsvariablen, die den gleichen mathematischen Erwartungswert haben M (X ), und die Streuungen dieser Größen sollen gleichmäßig begrenzt sein (d. h. eine konstante Zahl nicht überschreiten). MIT ). Dann konvergiert bei einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Experimente das arithmetische Mittel der beobachteten Werte von Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeit ihrem mathematischen Erwartungswert, d. h. es liegt die Gleichheit vor:

.

Nachweisen . Auf eine Zufallsvariable anwenden
Tschebyscheffs Ungleichung:

.

Beachten Sie (gemäß den Bedingungen des Satzes), dass für die Varianz
Es gelten folgende Beziehungen:

Also
.

Dann nach Tschebyscheffs Ungleichung

.

An die Grenze gehen bei
wir bekommen

.

Und da die Wahrscheinlichkeit nicht größer als eins sein kann, folgt hier die Aussage des Theorems.

Der Satz von Tschebyschew wurde auf einen allgemeineren Fall verallgemeinert, dessen Beweis dem oben vorgeschlagenen Beweis ähnelt.

SATZTschebyschewa(allgemeiner Fall): Let X 1 , X 2 , …, X N sind paarweise unabhängige Zufallsvariablen, und die Varianzen dieser Variablen seien einheitlich beschränkt (d. h. eine konstante Zahl nicht überschreiten). MIT ). Dann konvergiert bei einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Experimente das arithmetische Mittel der beobachteten Werte von Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeit dem arithmetischen Mittel ihrer mathematischen Erwartungen, d. h. es entsteht die Gleichheit:

.

Die Essenz des Satzes von Tschebyschew

Der Kern des bewährten Theorems lautet wie folgt: Obwohl einzelne unabhängige Zufallsvariablen Werte annehmen können, die weit von ihren mathematischen Erwartungen entfernt sind, nimmt das arithmetische Mittel einer ausreichend großen Anzahl von Zufallsvariablen mit hoher Wahrscheinlichkeit Werte nahe einer bestimmten Konstante an Nummer und Namen für die Nummer
(oder auf die Nummer
in einem besonderen Fall). Mit anderen Worten: Einzelne Zufallsvariablen können eine erhebliche Streuung aufweisen und ihr arithmetisches Mittel ist streuend klein.

Daher ist es unmöglich, sicher vorherzusagen, welchen möglichen Wert jede der Zufallsvariablen annehmen wird, aber es ist möglich, vorherzusagen, welchen Wert ihr arithmetisches Mittel annehmen wird.

Also das arithmetische Mittel einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen ( deren Varianzen gleichmäßig beschränkt sind ) verliert den Charakter einer Zufallsvariablen. Dies erklärt sich dadurch, dass die Abweichungen jedes Wertes von seinen mathematischen Erwartungen sowohl positiv als auch negativ sein können und sich im arithmetischen Mittel gegenseitig aufheben.

Die Bedeutung des Satzes von Tschebyschew für die Praxis

Lassen Sie uns Beispiele für die Anwendung des Tschebyscheff-Theorems zur Lösung praktischer Probleme geben.

Um eine bestimmte physikalische Größe zu messen, werden normalerweise mehrere Messungen durchgeführt und deren arithmetischer Durchschnitt als gewünschte Größe verwendet. Unter welchen Bedingungen kann diese Messmethode als korrekt angesehen werden? Die Antwort auf diese Frage gibt der Satz von Tschebyschew (ein Sonderfall).

Betrachten Sie die Ergebnisse jeder Messung tatsächlich als Zufallsvariablen X 1 , X 2 , …, X N . Der Satz von Chebyshev kann auf diese Größen angewendet werden, wenn: 1) sie paarweise unabhängig sind, 2) sie den gleichen mathematischen Erwartungswert haben, 3) ihre Varianzen gleichmäßig beschränkt sind.

Die erste Voraussetzung ist erfüllt, wenn das Ergebnis jeder Messung nicht von den Ergebnissen anderer Messungen abhängt.

Die zweite Anforderung ist erfüllt, wenn die Messungen ohne systematische (vorzeichengleiche) Fehler durchgeführt werden. In diesem Fall sind die mathematischen Erwartungen aller Zufallsvariablen gleich und entsprechen der wahren Größe
.

Die dritte Voraussetzung ist erfüllt, wenn das Gerät eine bestimmte Messgenauigkeit bietet. Obwohl die Ergebnisse der einzelnen Messungen unterschiedlich sind, ist ihre Streuung begrenzt.

Wenn alle genannten Anforderungen erfüllt sind, haben wir das Recht, den Satz von Tschebyscheff auf die Messergebnisse anzuwenden (ein Sonderfall): für einen ausreichend großen - Anzahl der Messungen, Wahrscheinlichkeit der Ungleichheit

so nah an der Einheit, wie Sie möchten. Mit anderen Worten: Bei einer ausreichend großen Anzahl von Messungen ist es nahezu sicher, dass deren arithmetisches Mittel so wenig wie gewünscht vom wahren Wert des Messwerts abweicht.

Der Satz von Tschebyscheff gibt also die Bedingungen an, unter denen die beschriebene Messmethode anwendbar sein kann 1.

Die in der Statistik weit verbreitete Stichprobenmethode basiert auf dem Satz von Tschebyscheff, dessen Kern darin besteht, dass eine relativ kleine Zufallsstichprobe verwendet wird, um die Gesamtpopulation (Gesamtpopulation) der untersuchten Objekte zu beurteilen. Beispielsweise wird die Qualität eines Baumwollballens durch ein kleines Bündel bestimmt, das aus Fasern besteht, die zufällig aus verschiedenen Teilen des Ballens ausgewählt werden. Obwohl die Anzahl der Fasern in einem Bündel viel geringer ist als in einem Ballen, enthält das Bündel selbst eine relativ große Anzahl von Fasern, die in die Hunderte geht.

Als weiteres Beispiel können wir die Bestimmung der Getreidequalität anhand einer kleinen Probe nennen. Und in diesem Fall ist die Anzahl der zufällig ausgewählten Körner im Vergleich zur Gesamtmasse des Korns gering, an sich aber recht groß.

Bereits aus den gegebenen Beispielen können wir schließen, dass der Satz von Tschebyschew für die Praxis von unschätzbarem Wert ist.

1 Es gibt eine andere Formulierung: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung einer Zufallsvariablen X sein mathematischer Erwartungswert in absoluten Werten ist kleiner als eine positive Zahl , nicht weniger als
, das heißt, die Ungleichung ist wahr
.

2 Erinnern Sie sich daran
R

1 Es ist jedoch ein Fehler zu glauben, dass man durch eine Erhöhung der Anzahl der Messungen eine beliebig hohe Genauigkeit erreichen kann. Tatsache ist, dass das Gerät selbst nur genaue Messwerte liefert
; Daher werden die einzelnen Messergebnisse und folglich ihr arithmetisches Mittel nur mit einer Genauigkeit ermittelt, die die Genauigkeit des Instruments nicht überschreitet.

Tschebyscheff-Ungleichungen

In der Einleitung zu diesem Abschnitt wurde das Problem der Überprüfung erörtert, ob der Anteil fehlerhafter Produkte in einer Charge einer bestimmten Zahl entspricht. Um den probabilistisch-statistischen Ansatz zur Überprüfung solcher Aussagen zu demonstrieren, sind die Ungleichungen nützlich, die erstmals in der Wahrscheinlichkeitstheorie vom großen russischen Mathematiker Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) verwendet wurden und daher seinen Namen tragen. Diese Ungleichungen werden in der Theorie der mathematischen Statistik häufig verwendet und finden auch bei einer Reihe praktischer Entscheidungsprobleme direkte Anwendung. Beispielsweise bei Problemen der statistischen Analyse technologischer Prozesse und der Produktqualität in Fällen, in denen die explizite Form der Verteilungsfunktion von Beobachtungsergebnissen nicht bekannt ist. Sie werden auch bei der Aufgabe eingesetzt, stark abweichende Beobachtungsergebnisse auszuschließen.

Tschebyscheffs erste Ungleichung. Sei X eine nichtnegative Zufallsvariable (d. h. für jede). Dann für jede positive Zahl A Ungleichheit ist wahr

Nachweisen. Alle Terme auf der rechten Seite der Formel (4), die den mathematischen Erwartungswert bestimmt, sind im betrachteten Fall nicht negativ. Daher erhöht sich die Summe nicht, wenn einige Terme weggelassen werden. Belassen wir in der Summe nur die Terme, für die . Wir verstehen das

. (9)

Für alle Terme auf der rechten Seite von (9) also

Aus (9) und (10) folgt das Geforderte.

Tschebyscheffs zweite Ungleichung. Sei X eine Zufallsvariable. Für jede positive Zahl A Ungleichheit ist wahr

.

Diese Ungleichheit war in der Arbeit von P.L. Chebyshev „Über Durchschnittswerte“ enthalten, die der Russischen Akademie der Wissenschaften am 17. Dezember 1866 vorgelegt und im folgenden Jahr veröffentlicht wurde.

Um Tschebyscheffs zweite Ungleichung zu beweisen, betrachten Sie die Zufallsvariable Y = (X – M(X)) 2. Sie ist nicht negativ und daher für jede positive Zahl B, wie aus Chebyshevs erster Ungleichung hervorgeht, ist die folgende Ungleichung wahr:

.

Lasst uns B = A 2 . Ereignis { Y> B} fällt mit der Veranstaltung zusammen {| X – M(X)|> A}, und deshalb

Q.E.D.

Beispiel 11. Sie können eine nicht negative Zufallsvariable angeben X und eine positive Zahl A so dass Tschebyscheffs erste Ungleichung zu einer Gleichheit wird.

Es genügt zu überlegen. Dann M(X) = a, M(X)/a= 1 und R(a) > A) = 1, d.h. P(X> A) = M(X)| A = 1.

Folglich kann Tschebyschews erste Ungleichung in ihrer allgemeinen Formulierung nicht verstärkt werden. Bei der überwiegenden Mehrheit der Zufallsvariablen, die in der probabilistisch-statistischen Modellierung realer Phänomene und Prozesse verwendet werden, sind die linken Seiten der Tschebyscheff-Ungleichungen jedoch viel kleiner als die entsprechenden rechten Seiten.

Beispiel 12. Kann aus Tschebyschews erster Ungleichheit Gleichheit für alle werden? A? Es stellt sich heraus, dass dies nicht der Fall ist. Lassen Sie uns zeigen, dass es für jede nicht negative Zufallsvariable mit einem mathematischen Erwartungswert ungleich Null möglich ist, eine solche positive Zahl zu finden A dass die erste Tschebyscheff-Ungleichung streng ist.

Tatsächlich ist der mathematische Erwartungswert einer nicht negativen Zufallsvariablen entweder positiv oder gleich 0. Im ersten Fall nehmen wir das Positive A, kleiner als eine positive Zahl M(X), sagen wir zum Beispiel a = M(X)/ 2. Dann M(X)/a größer als 1, während die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 1 nicht überschreiten kann und daher die erste Tschebyscheff-Ungleichung dafür gilt A strikt. Der zweite Fall ist durch die Bedingungen von Beispiel 11 ausgeschlossen.

Beachten Sie, dass im zweiten Fall die Gleichheit 0 des mathematischen Erwartungswerts die identische Gleichheit 0 der Zufallsvariablen impliziert. Für eine solche Zufallsvariable sind die linke und rechte Seite der ersten Tschebyscheff-Ungleichung für jedes positive Ergebnis gleich 0 A.

Ist es möglich, bei der Formulierung von Chebyshevs erster Ungleichung auf das Erfordernis der Nichtnegativität einer Zufallsvariablen zu verzichten? X? Und das Erfordernis der Positivität A? Es ist leicht zu erkennen, dass keine der beiden Anforderungen verworfen werden kann, da sonst die rechte Seite der ersten Tschebyscheff-Ungleichung negativ werden könnte.