Sequenzen sind Möglichkeiten, sie festzulegen. Methoden zur Angabe numerischer Folgen. Praktische Aufgaben für die Unterrichtsarbeit

Lektion Nr. 32 ALGEBRA	Mathematiklehrerin der ersten Kategorie Olga Viktorovna Gaun. Region Ostkasachstan, Bezirk Glubokovsky, KSU „Cheremshan-Sekundarschule“
Thema: Zahlenfolge und Methoden zu ihrer Angabe
Hauptziele und Zielsetzungen des Unterrichts	Lehrreich: Erklären Sie den Schülern die Bedeutung der Konzepte „Sequenz“, „n-tes Mitglied der Sequenz“; Methoden zur Festlegung einer Reihenfolge vorstellen. Entwicklung I: Entwicklung logischer Denkfähigkeiten; Entwicklung von Computerkenntnissen; Entwicklung einer Kultur des mündlichen Sprechens, Entwicklung von Kommunikation und Zusammenarbeit.Lehrreich : Beobachtungsgabe, Liebe und Interesse für das Thema wecken.
Erwartete Ergebnisse der Beherrschung des Themas	Im Unterricht erwerben sie neues Wissen über Zahlenfolgen und deren Zuordnung. Sie lernen, die richtige Lösung zu finden, einen Lösungsalgorithmus zu erstellen und ihn bei der Lösung von Problemen anzuwenden. Durch Forschung werden einige ihrer Eigenschaften entdeckt. Alle Arbeiten werden durch Folien begleitet. Der Einsatz von IKT wird es ermöglichen, einen lebendigen Unterricht durchzuführen, einen großen Arbeitsaufwand zu erledigen und den Kindern ein aufrichtiges Interesse und eine emotionale Wahrnehmung zu vermitteln. Begabte Studierende halten einen Vortrag über Fibonacci-Zahlen und den Goldenen Schnitt. Universelle Bildungsaktivitäten, deren Bildung im Bildungsprozess angestrebt wird: die Fähigkeit, zu zweit zu arbeiten, logisches Denken zu entwickeln, die Fähigkeit zu analysieren, zu recherchieren, Schlussfolgerungen zu ziehen und den eigenen Standpunkt zu verteidigen. Vermittlung von Kommunikations- und Kollaborationsfähigkeiten. Der Einsatz dieser Technologien trägt zur Entwicklung universeller Aktivitätsmethoden, kreativer Erfahrung, Kompetenz und Kommunikationsfähigkeiten der Studierenden bei.
Schlüsselideen der Lektion	Neue Ansätze zum Lehren und Lernen Dialogtraining Lernen, wie man lernt Kritisches Denken lehren Ausbildung talentierter und begabter Kinder
Unterrichtsart	Ein neues Thema lernen
Lehrmethoden	Visuell (Präsentation), verbal (Konversation, Erklärung, Dialog), praktisch.
Organisationsformen der Bildungsaktivitäten der Studierenden	frontal; Dampfraum; Individuell.

WÄHREND DES UNTERRICHTS

Zeit organisieren

(Schüler begrüßen, Abwesende identifizieren, Bereitschaft der Schüler für den Unterricht prüfen, Aufmerksamkeit organisieren).

Unterrichtsmotivation.

„Zahlen regieren die Welt“, sagten antike griechische Wissenschaftler. „Alles ist eine Zahl.“ Nach ihrer philosophischen Weltanschauung bestimmen Zahlen nicht nur Maß und Gewicht, sondern auch Phänomene in der Natur und sind die Essenz der Harmonie, die in der Welt herrscht. Heute werden wir im Unterricht weiter mit Zahlen arbeiten.

Einführung in das Thema, Erlernen neuer Materialien.

Lassen Sie uns Ihre logischen Fähigkeiten testen. Ich nenne ein paar Worte, und Sie müssen fortfahren:

–Montag Dienstag,…..

– Januar Februar März…;

– Aliev, Gordeeva, Gribacheva... (Klassenliste);

–10,11,12,…99;

Abschluss: Dabei handelt es sich um Folgen, das heißt um eine geordnete Reihe von Zahlen oder Begriffen, bei denen jede Zahl oder jeder Begriff genau an ihrem Platz steht. Das Thema der Lektion ist also Konsistenz.

Heute werden wir es tunSprechen Sie über die Arten und Komponenten von Zahlenfolgen sowie über Möglichkeiten, diese zuzuordnen.Wir bezeichnen die Folgen wie folgt: (аn), (bn), (сn) usw.

Und jetzt biete ich Ihnen die erste Aufgabe: Vor Ihnen liegen einige Zahlenfolgen und eine verbale Beschreibung dieser Folgen. Sie müssen das Muster jeder Zeile finden und es mit der Beschreibung korrelieren. (mit Pfeil anzeigen)(Gegenseitige Prüfung)

Die von uns betrachteten Serien sind BeispieleZahlenfolgen .

Die Elemente, die eine Folge bilden, werden aufgerufenMitglieder der Sequenz Undheißen jeweils erste, zweite, dritte,...N- numerische Mitglieder der Sequenz. Die Mitglieder der Folge werden wie folgt bezeichnet:A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; … A N ; Wo N - Nummer , unter der sich die angegebene Nummer in der Sequenz befindet.
Auf dem Bildschirm werden folgende Sequenzen aufgezeichnet:
( Anhand der aufgeführten Folgen wird die Notationsform des Folgengliedes a erarbeitet N und die Konzepte der vorherigen und nachfolgenden Begriffe ) .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Nennen Sie ein 1 für jede Sequenz und 3 usw. Könnten Sie jede dieser Zeilen fortsetzen? Was müssen Sie dazu wissen?

Schauen wir uns einige weitere Konzepte an, znachfolgend und vorhergehend .

(zum Beispiel für a 5…, und für einen N ?) - Aufnahme auf der FolieA N +1, A N -1

Arten von Sequenzen
( Anhand der oben aufgeführten Sequenzen wird die Fähigkeit entwickelt, Sequenztypen zu identifizieren. )
1) Zunehmend – wenn jeder Term kleiner als der nächste ist, d. h.A N < A N +1.
2) Abnehmend – wenn jeder Term größer als der nächste ist, d. h.A N > A N +1 .
3) Unendlich
4) Endgültig
5) Abwechselnd
6) Konstant (stationär)

Versuchen Sie es zu definierenjede Art und charakterisieren jede der vorgeschlagenen Sequenzen.

Mündliche Aufgaben

Name in Reihenfolge 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) Terme a 1 ; A 4 ; A 10 ; A N ;

Ist die Folge vierstelliger Zahlen endlich? (Ja)

Benennen Sie das erste und das letzte Mitglied. (Antwort: 1000; 9999)

Ist die Reihenfolge beim Schreiben der Zahlen 2; 4; 7; 1; -21; -15; ...? (Nein, da aus den ersten sechs Termen kein Muster erkennbar ist)

Körperliche Pause (Auch bezogen auf das Thema der heutigen Lektion: der Sternenhimmel, die Planeten des Sonnensystems... was ist der Zusammenhang?)

Methoden zur Angabe von Sequenzen
1) verbal – Festlegung einer Reihenfolge durch Beschreibung;
2) analytisch - FormelN -tes Mitglied;
3) grafisch – mithilfe eines Diagramms;
4) wiederkehrend – jedes Mitglied der Sequenz, beginnend an einem bestimmten Punkt, wird durch die vorherigen ausgedrückt
Heute werden wir uns in der Lektion die ersten beiden Methoden ansehen. Also,verbal Weg. Vielleicht versucht einer von euch, eine Reihenfolge festzulegen?

(Zum Beispiel:Erstellen Sie eine Folge ungerader natürlicher Zahlen . Beschreiben Sie diese Sequenz: steigend, unendlich)
Analytisch Methode: Verwendung der Formel für den n-ten Term der Folge.

Mit der allgemeinen Termformel können Sie den Term einer Folge mit einer beliebigen gegebenen Zahl berechnen. Wenn zum Beispiel x N =3n+2 also

X 1 =3*1+2=5;

X 2 =3*2+2=8

X 5 =3 . 5+2=17;

X 45 =3 . 45+2=137 usw. Was ist also der Vorteil?analytisch schon lange vorherverbal ?

Und ich biete Ihnen folgende Aufgabe an: Es werden Formeln zur Spezifikation einiger Sequenzen und die nach diesen Formeln gebildeten Sequenzen selbst angegeben. In diesen Sequenzen fehlen einige Begriffe. Deine Aufgabe,zu zweit arbeiten , fülle die Lücken.

Selbsttest (Die richtige Antwort erscheint auf der Folie)

Präsentation des Kreativprojekts „Fibonacci-Zahlen“ (Vorabaufgabe )

Heute lernen wir die berühmte Sequenz kennen:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Folie) Jede Zahl, beginnend mit der dritten, ist gleich der Summe der beiden vorherigen. Diese Reihe natürlicher Zahlen, die ihren eigenen historischen Namen hat – die Fibonacci-Reihe – hat ihre eigene Logik und Schönheit. Leonardo Fibonacci (1180-1240). Prominenter italienischer Mathematiker, Autor des Buches „The Book of Abacus“. Dieses Buch blieb mehrere Jahrhunderte lang die wichtigste Informationsquelle über Arithmetik und Algebra. Durch die Werke von L. Fibonacci beherrschte ganz Europa die arabischen Ziffern, das Zählsystem sowie die praktische Geometrie. Sie blieben fast bis zur Ära von Descartes (und das ist bereits das 17. Jahrhundert!) Desktop-Lehrbücher.

Ein Video ansehen.

Sie verstehen wahrscheinlich nicht ganz, was der Zusammenhang zwischen der Spirale und der Fibonacci-Reihe ist. Ich zeige Ihnen also, wie es ausgeht .

Wenn wir zwei Quadrate nebeneinander mit der Seite 1 bauen, dann auf der größeren Seite gleich 2 die andere, dann auf der größeren Seite gleich 3 ein weiteres Quadrat bis ins Unendliche... Dann in jedem Quadrat, beginnend mit dem kleineren, wir Wenn wir einen Viertelbogen bauen, erhalten wir die Spirale, von der wir im Film sprechen.

Tatsächlich ist die praktische Anwendung des in dieser Lektion erworbenen Wissens im wirklichen Leben recht groß. Vor Ihnen liegen mehrere Aufgaben aus unterschiedlichen wissenschaftlichen Bereichen.

(Individuelle Arbeit)

Aufgabe 1.

16, 15, 18, … (17, 20, 19)

1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)

33, 31, 32, … (30, 31, 29)

Aufgabe 2.

(Die Antworten der Schüler werden an die Tafel geschrieben: 500, 530, 560, 590, 620).

Aufgabe 3.

Aufgabe 4. Jeden Tag kann jede Person, die an Grippe erkrankt ist, 4 Menschen in ihrer Umgebung anstecken. In wie vielen Tagen werden alle Schüler unserer Schule (300 Personen) krank? (Nach 4 Tagen).

Problem 5 . Wie viele Hühnercholerabakterien entstehen in 10 Stunden, wenn sich jede Stunde ein Bakterium in zwei Hälften teilt?
Problem 6 . Der Luftbadverlauf beginnt am ersten Tag mit 15 Minuten und verlängert die Dauer dieser Prozedur an jedem weiteren Tag um 10 Minuten. Wie viele Tage sollten Sie Luftbäder im angegebenen Modus nehmen, um die maximale Dauer von 1 Stunde 45 Minuten zu erreichen? ( 10)

Problem 7 . Im freien Fall legt ein Körper in der ersten Sekunde 4,8 m zurück und in jeder weiteren Sekunde 9,8 m mehr. Ermitteln Sie die Tiefe des Schachts, wenn ein frei fallender Körper 5 s nach Beginn des Falls seinen Boden erreicht.

Aufgabe 8 . Bürger K. hat ein Testament hinterlassen. Im ersten Monat gab er 1.000 US-Dollar aus und jeden weiteren Monat gab er 500 US-Dollar mehr aus. Wie viel Geld wurde Bürger K. vermacht, wenn es für 1 Jahr angenehmes Leben reicht? (45000)

Das Studium der folgenden Themen in diesem Kapitel von „Fortschritt“ wird es uns ermöglichen, solche Probleme schnell und fehlerfrei zu lösen.

Hausaufgaben: S.66 Nr. 151, 156, 157

Kreative Aufgabe: Nachricht zum Pascalschen Dreieck

Zusammenfassen. Betrachtung. (Bewertung des „Wissenszuwachses“ und der Zielerreichung)

Was war der Zweck der heutigen Lektion?

Wurde das Ziel erreicht?

Setzen Sie die Aussage fort

Ich wusste nicht….

Jetzt weiß ich…

Probleme zur praktischen Anwendung von Eigenschaften von Folgen (Progressionen)

Aufgabe 1. Setzen Sie die Zahlenfolge fort:

16, 15, 18, …

1, 2, 2, 4, 8, …

33, 31, 32, …

Aufgabe 2. Im Lager befinden sich 500 Tonnen Kohle, jeden Tag werden 30 Tonnen angeliefert. Wie viel Kohle wird an einem Tag im Lager sein? Tag 2? Tag 3? Tag 4? Tag 5?

Aufgabe 3. Ein Auto, das sich mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s bewegte, änderte seine Geschwindigkeit in jeder weiteren Sekunde um 0,6 m/s. Welche Geschwindigkeit wird es nach 10 Sekunden haben?

Problem 4 . Jeden Tag kann jede Person, die an Grippe erkrankt ist, 4 Menschen in ihrer Umgebung anstecken. In wie vielen Tagen werden alle Schüler unserer Schule (300 Personen) krank?

Aufgabe 5. Wie viele Hühnercholerabakterien entstehen in 10 Stunden, wenn sich jede Stunde ein Bakterium in zwei Hälften teilt?

Aufgabe 6. Der Luftbadverlauf beginnt am ersten Tag mit 15 Minuten und verlängert die Dauer dieser Prozedur an jedem weiteren Tag um 10 Minuten. Wie viele Tage sollten Sie Luftbäder im angegebenen Modus nehmen, um die maximale Dauer von 1 Stunde 45 Minuten zu erreichen?

Aufgabe 7. Im freien Fall legt ein Körper in der ersten Sekunde 4,8 m zurück und in jeder weiteren Sekunde 9,8 m mehr. Ermitteln Sie die Tiefe des Schachts, wenn ein frei fallender Körper 5 s nach Beginn des Falls seinen Boden erreicht.

Aufgabe 8. Bürger K. hat ein Testament hinterlassen. Im ersten Monat gab er 1.000 US-Dollar aus und jeden weiteren Monat gab er 500 US-Dollar mehr aus. Wie viel Geld wurde Bürger K. vermacht, wenn es für 1 Jahr angenehmes Leben reicht?

NUMERISCHE SEQUENZEN VI

§ 127. Numerische Folgen und Methoden zu ihrer Angabe. Endliche und unendliche Folgen.

Betrachten Sie die folgenden drei Zahlenreihen:

Es liegt nahe, anzunehmen, dass jeder Zahl in einer dieser Sammlungen eine Nummer zugewiesen wird, die dem Platz entspricht, den sie in dieser Sammlung einnimmt. Im zweiten Satz ist beispielsweise die Zahl 1 die Zahl 1, die Zahl 1/2 die Zahl 2, die Zahl 1/3 die Zahl 3 usw.

Im Gegenteil, egal welche Nummer wir angeben, in jeder dieser Sammlungen gibt es eine Nummer, die mit dieser Nummer ausgestattet ist. Zum Beispiel hat Nummer 2 in der ersten Sequenz die Nummer 2, in der zweiten - die Nummer - 1/2, in der dritten - die Nummer sin 2. Ebenso hat Nummer 10: in der ersten Sequenz - die Nummer 10, in die zweite - die Zahl - 1/10, die dritte - die Zahl sin 10 usw. Somit hat in den obigen Aggregaten jede Zahl eine ganz bestimmte Zahl und wird vollständig durch diese Zahl bestimmt.

Eine Sammlung von Zahlen, jede mit ihrer eigenen Nummer P (P = 1, 2, 3, ...) heißt Zahlenfolge.

Die einzelnen Zahlen einer Folge heißen ihre Terme und werden üblicherweise wie folgt bezeichnet: erster Term A 1 Sekunde A 2 , .... P Mitglied A N usw. Die gesamte Zahlenfolge wird bezeichnet

A 1 , A 2 , A 3 , ... , A N, ... oder ( A N }.

Eine Zahlenfolge anzugeben bedeutet, anzugeben, wie das eine oder andere ihrer Mitglieder gefunden wird, wenn die Nummer der Stelle bekannt ist, die es einnimmt. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, Zahlenfolgen anzugeben. Im Folgenden werden wir einige davon betrachten.

1. Normalerweise wird eine Zahlenfolge mithilfe einer Formel angegeben, mit der Sie dieses Mitglied anhand der Nummer des Folgemitglieds bestimmen können. Zum Beispiel, wenn das für irgendjemanden bekannt ist P

A N = n 2 ,

A 1 = 1, A 2 = 4, A 3 = 9

usw. Wann A N= Sünde π / 2 P wir bekommen: A 1 = Sünde π / 2 = 1, A 2 = Sünde π = 0, A 3 = Sünde 3 π / 2 = - 1, A 4 = Sünde 2 π = 0 usw.

Eine Formel, mit der Sie jedes Mitglied einer Zahlenfolge anhand seiner Nummer finden können, wird als Formel für ein allgemeines Mitglied einer Zahlenfolge bezeichnet.

2. Es gibt Fälle, in denen eine Sequenz durch die Beschreibung ihrer Mitglieder spezifiziert wird. Sie sagen zum Beispiel, dass die Reihenfolge

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...

bestehend aus Näherungswerten von √2 mit einer Abweichung von 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 usw. In solchen Fällen ist es manchmal unmöglich, die Formel des allgemeinen Termes überhaupt festzulegen; Dennoch scheint die Reihenfolge vollständig definiert zu sein.

3. Manchmal werden die ersten paar Terme einer Folge angegeben und alle anderen Terme werden durch diese gegebenen Terme nach der einen oder anderen Regel bestimmt. Lassen Sie zum Beispiel

A 1 = 1, A 2 = 1,

und jeder nachfolgende Term ist als Summe der beiden vorherigen definiert. Mit anderen Worten, für jeden P > 3

A N = A N- 1 + A N- 2

So wird die Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... definiert, deren Glieder „Fibonacci-Zahlen“ genannt werden [nach dem italienischen Mathematiker Leonard von Pisa (ca 1170-1250), der auch Fibonacci genannt wurde, was „Sohn von Bonaccio“ bedeutet. Sie haben viele interessante Eigenschaften, deren Betrachtung jedoch den Rahmen unseres Programms sprengen würde.

Eine Folge kann entweder eine endliche oder eine unendliche Anzahl von Termen enthalten.

Eine Folge, die aus endlich vielen Gliedern besteht, heißt endlich, und eine Folge, die aus unendlich vielen Gliedern besteht, heißt unendliche Folge.

Beispielsweise ist die Folge aller geraden positiven Zahlen 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... unendlich, aber die Folge der einstelligen geraden positiven Zahlen 2, 4, 6, 8 ist endlich.

Übungen

932. Schreiben Sie die ersten 4 Zahlen der Folge mit einem gemeinsamen Begriff:

933. Finden Sie die Formel für den gemeinsamen Term für jede der angegebenen Folgen:

a) 1, 3, 5, 7, 9, ... ; . e) TG 45°, TG 22°30", TG 11°15", ... ;

b) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; f) 1, - 1/2, 1/4, - 1/8, 1/16, ...;

c) 3, -3, 3, -3, 3, ... ; g) 1, 9, 25, 49, 81.....

d) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ....;

934. Ist die Folge aller positiven Wurzeln der Gleichung endlich:

wie in x = x - 1; b) tg X = X ; c) Sünde x = Axt + B ?

Praktische Arbeit Nr. 13

Numerische Folgen auf verschiedene Arten angeben und die Terme der Folge berechnen. Reihenfolgegrenzen finden und Funktionen

Ziel: lernen, Zahlenfolgen auf verschiedene Arten zu schreiben, ihre Eigenschaften zu beschreiben; Grenzen von Folgen und Funktionen finden.

Kurze Theorie

Die Funktion y=f (n) des natürlichen Arguments n (n=1; 2; 3; 4;...) wird Zahlenfolge genannt.

Es gibt folgende Möglichkeiten, eine Nummernfolge anzugeben:

Verbale Methode. Stellt ein Muster oder eine Regel für die Anordnung von Mitgliedern einer Sequenz dar, die in Worten beschrieben wird.

Analytische Methode. Die Folge ergibt sich aus der Formel des n-ten Termes: y n =f(n). Mit dieser Formel können Sie jedes Mitglied der Sequenz finden.

Wiederkehrende Methode. Es wird eine Formel angegeben, nach der jeder nächste Term durch die vorherigen Terme ermittelt wird. Bei der rekurrenten Methode der Funktionsangabe werden immer zusätzlich ein oder mehrere erste Glieder der Folge angegeben.

Die Zahlenfolge wird aufgerufen zunehmend, wenn seine Mitglieder wachsen (y n+1 y n) und abnehmen, wenn seine Terme nehmen ab(y n+1 n).

Man nennt eine aufsteigende oder absteigende Zahlenfolge eintönig.

Sei ein Punkt auf einer Geraden und sei eine positive Zahl. Das Intervall wird als Umgebung des Punktes bezeichnet, und die Zahl ist der Radius der Umgebung.

Betrachten Sie eine Zahlenfolge, deren gemeinsamer Term sich mit zunehmender Ordnungszahl einer Zahl b annähert N. In diesem Fall spricht man von einer Begrenzung der Zahlenfolge. Dieses Konzept hat eine strengere Definition.

Die Zahl b heißt Grenzwert der Folge (y n), wenn in einer vorgewählten Umgebung des Punktes b alle Mitglieder der Folge ab einer bestimmten Zahl enthalten sind

Satz 1 Wenn, dann:

Der Grenzwert der Summe/Differenz zweier Folgen ist gleich der Summe/Differenz der Grenzwerte jeder von ihnen, sofern letztere existieren:

Der Grenzwert des Produkts zweier Folgen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte jeder von ihnen, wenn die Grenzwerte der Faktoren existieren:

Der Grenzwert des Verhältnisses zweier Folgen ist gleich dem Verhältnis der Grenzwerte jeder von ihnen, wenn diese Grenzwerte existieren und der Grenzwert des Nenners nicht Null ist:

Für jeden natürlichen Indikator m und jeden Koeffizienten k gilt die folgende Beziehung:

Satz 1 Wenn, dann:

Der Grenzwert der Summe/Differenz zweier Funktionen ist gleich der Summe/Differenz der Grenzwerte jeder von ihnen, sofern letztere existieren:

;

Der Grenzwert des Produkts zweier Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte jeder von ihnen, wenn die Grenzwerte der Faktoren existieren:

Der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen ist gleich dem Verhältnis der Grenzwerte jeder von ihnen, wenn diese Grenzwerte existieren und der Grenzwert des Nenners ungleich Null ist:

Der konstante Faktor kann über das Grenzzeichen hinaus genommen werden:

Die Funktion y=f(x) heißt stetig am Punkt x=a, wenn der Grenzwert der Funktion y=f(x), da x nach a strebt, gleich dem Wert der Funktion am Punkt x=a ist.

Die erste bemerkenswerte Grenze: .

Praktische Aufgaben für die Unterrichtsarbeit

Definieren Sie die Folge analytisch und finden Sie die ersten fünf Terme dieser Folge:

a) jeder natürlichen Zahl ist ihre Gegenzahl zugeordnet;

b) jeder natürlichen Zahl ist die Quadratwurzel dieser Zahl zugeordnet;

c) jeder natürlichen Zahl ist die Zahl -5 zugeordnet;

d) jeder natürlichen Zahl wird die Hälfte ihres Quadrats zugeordnet.

2. Berechnen Sie mithilfe der angegebenen Formel für den n-ten Term die ersten fünf Terme der Folge (y n):

3. Ist die Reihenfolge begrenzt?

4. Nimmt die Sequenz ab oder zu?

5. Geben Sie die Umgebung des Punktes a=-3 mit dem Radius r=0,5 als Intervall an.

6. Die Umgebung welchen Punktes und welcher Radius ist das Intervall (2,1;2,3).

7. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge:

8. Berechnen Sie:

Selbstständige Arbeit

Variante 1

Teil A

Teil B

Teil C

7. Berechnen Sie:

Option 2

Teil A

Teil B

6. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge:

Teil C

7. Berechnen Sie:

Option 3

Teil A

Teil B

6. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge:

Teil C

7. Berechnen Sie:

Option 4

Teil A

Teil B

6. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge:

Teil C

7. Berechnen Sie:

Kontrollfragen

Was ist eine Zahlenfolge?

Auf welche Weise können Sie eine Zahlenfolge angeben?

Welche Folge heißt oben beschränkt?

Welche Folge heißt im Folgenden beschränkt?

Welche Folge heißt zunehmend?

Welche Folge heißt abnehmend?

Was nennt man den Grenzwert einer Zahlenfolge?

Listen Sie die Regeln zur Berechnung der Grenzen von Folgen auf.

Listen Sie die Regeln zur Berechnung der Grenzen von Funktionen auf.

Vida j= F(X), X UM N, Wo N– eine Menge natürlicher Zahlen (oder eine Funktion eines natürlichen Arguments), bezeichnet j=F(N) oder j 1 ,j 2 ,…, y n,…. Werte j 1 ,j 2 ,j 3 ,… werden jeweils als erstes, zweites, drittes, ... Mitglied der Sequenz bezeichnet.

Zum Beispiel für die Funktion j= N 2 lässt sich schreiben:

j 1 = 1 2 = 1;

j 2 = 2 2 = 4;

j 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Methoden zur Angabe von Sequenzen. Sequenzen können auf verschiedene Arten spezifiziert werden, von denen drei besonders wichtig sind: analytisch, deskriptiv und wiederkehrend.

1. Eine Folge ist analytisch gegeben, wenn ihre Formel gegeben ist N Mitglied:

y n=F(N).

Beispiel. y n= 2N - 1 – Folge ungerader Zahlen: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Beschreibend Die Art und Weise, eine numerische Folge anzugeben, besteht darin, zu erklären, aus welchen Elementen die Folge aufgebaut ist.

Beispiel 1. „Alle Terme der Folge sind gleich 1.“ Das heisst, wir reden überüber die stationäre Folge 1, 1, 1, …, 1, ….

Beispiel 2: „Die Folge besteht aus allen Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge.“ Somit ist die gegebene Reihenfolge 2, 3, 5, 7, 11, …. Mit dieser Methode zur Angabe der Sequenz in diesem Beispiel ist es schwierig zu beantworten, was beispielsweise das 1000. Element der Sequenz ist.

3. Die wiederkehrende Methode zum Angeben einer Sequenz besteht darin, eine Regel anzugeben, die eine Berechnung ermöglicht N-tes Mitglied einer Sequenz, wenn ihre vorherigen Mitglieder bekannt sind. Der Name rekurrente Methode kommt vom lateinischen Wort wiederkehrend- Komm zurück. Meistens wird in solchen Fällen eine Formel angegeben, die es einem ermöglicht, sich auszudrücken N Gehen Sie das nächste Mitglied der Sequenz durch die vorherigen und geben Sie 1–2 Anfangsmitglieder der Sequenz an.

Beispiel 1. j 1 = 3; y n = y n–1 + 4 wenn N = 2, 3, 4,….

Hier j 1 = 3; j 2 = 3 + 4 = 7;j 3 = 7 + 4 = 11; ….

Sie sehen, dass die in diesem Beispiel erhaltene Sequenz auch analytisch angegeben werden kann: y n= 4N - 1.

Beispiel 2. j 1 = 1; j 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 wenn N = 3, 4,….

Hier: j 1 = 1; j 2 = 1; j 3 = 1 + 1 = 2; j 4 = 1 + 2 = 3; j 5 = 2 + 3 = 5; j 6 = 3 + 5 = 8;

Die Folge in diesem Beispiel wird besonders in der Mathematik untersucht, da sie eine Reihe interessanter Eigenschaften und Anwendungen aufweist. Sie wird Fibonacci-Folge genannt, benannt nach dem italienischen Mathematiker aus dem 13. Jahrhundert. Es ist sehr einfach, die Fibonacci-Folge wiederkehrend zu definieren, aber analytisch sehr schwierig. N Die Fibonacci-Zahl wird durch ihre Seriennummer durch die folgende Formel ausgedrückt.

Auf den ersten Blick ist die Formel für N Die Fibonacci-Zahl scheint unplausibel, da die Formel, die die Folge natürlicher Zahlen angibt, nur Quadratwurzeln enthält, Sie können die Gültigkeit dieser Formel jedoch für die ersten paar „manuell“ überprüfen N.

Eigenschaften von Zahlenfolgen.

Eine Zahlenfolge ist ein Sonderfall einer Zahlenfunktion, daher werden auch für Folgen eine Reihe von Eigenschaften von Funktionen berücksichtigt.

Definition . Folge ( y n} heißt steigend, wenn jeder seiner Terme (außer dem ersten) größer als der vorherige ist:

j 1 J 2 J 3 J N J N +1

Definition.Sequenz ( y n} heißt abnehmend, wenn jeder seiner Terme (außer dem ersten) kleiner als der vorherige ist:

j 1 > j 2 > j 3 > … > y n> y n +1 > … .

Steigende und fallende Folgen werden unter dem gemeinsamen Begriff monotone Folgen zusammengefasst.

Beispiel 1. j 1 = 1; y n= N 2 – aufsteigende Reihenfolge.

Somit ist der folgende Satz wahr (eine charakteristische Eigenschaft einer arithmetischen Folge). Eine Zahlenfolge ist genau dann arithmetisch, wenn jedes ihrer Mitglieder mit Ausnahme des ersten (und des letzten im Fall einer endlichen Folge) gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieder ist.

Beispiel. Zu welchem ​​Wert X Zahlen 3 X + 2, 5X– 4 und 11 X+ 12 eine endliche arithmetische Folge bilden?

Entsprechend der charakteristischen Eigenschaft müssen die gegebenen Ausdrücke die Beziehung erfüllen

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Das Lösen dieser Gleichung ergibt X= –5,5. Bei diesem Wert X gegebene Ausdrücke 3 X + 2, 5X– 4 und 11 X+ 12 nehmen jeweils die Werte –14,5 an, –31,5, –48,5. Dies ist eine arithmetische Folge, ihre Differenz beträgt –17.

Geometrischer Verlauf.

Eine Zahlenfolge, deren Terme alle ungleich Null sind und deren Terme, beginnend mit dem zweiten, aus dem vorherigen Term durch Multiplikation mit derselben Zahl erhalten werden Q, heißt geometrische Folge und Zahl Q- der Nenner einer geometrischen Folge.

Somit ist eine geometrische Folge eine Zahlenfolge ( b n), rekursiv durch die Beziehungen definiert

B 1 = B, b n = b n –1 Q (N = 2, 3, 4…).

(B Und Q - gegebene Zahlen, B ≠ 0, Q ≠ 0).

Beispiel 1. 2, 6, 18, 54, ... – zunehmende geometrische Progression B = 2, Q = 3.

Beispiel 2. 2, –2, 2, –2, … – geometrischer Verlauf B= 2,Q= –1.

Beispiel 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrischer Verlauf B= 8, Q= 1.

Eine geometrische Folge ist eine steigende Folge, wenn B 1 > 0, Q> 1 und abnehmend, wenn B 1 > 0, 0 q

Eine der offensichtlichen Eigenschaften einer geometrischen Folge besteht darin, dass, wenn die Folge eine geometrische Folge ist, dies auch die Folge der Quadrate ist, d. h.

B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, b n 2,... ist eine geometrische Folge, deren erster Term gleich ist B 1 2 , und der Nenner ist Q 2 .

Formel N- Der te Term der geometrischen Folge hat die Form

b n= B 1 qn– 1 .

Sie können eine Formel für die Summe der Terme einer endlichen geometrischen Folge erhalten.

Gegeben sei eine endliche geometrische Folge

B 1 ,B 2 ,B 3 , …, b n

lassen S n – die Summe seiner Mitglieder, d.h.

S n= B 1 + B 2 + B 3 + … +b n.

Das wird akzeptiert Q Nr. 1. Zur Bestimmung S n Es wird eine künstliche Technik verwendet: Es werden einige geometrische Transformationen des Ausdrucks durchgeführt S n q.

S n q = (B 1 + B 2 + B 3 + … + b n –1 + b n)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– B 1 .

Auf diese Weise, S n q= S n +b n q – b 1 und daher

Dies ist die Formel mit umma n Begriffe der geometrischen Progression für den Fall, dass Q≠ 1.

Bei Q= 1 muss die Formel nicht separat abgeleitet werden; es ist offensichtlich, dass in diesem Fall S n= A 1 N.

Die Progression wird geometrisch genannt, weil jeder Term darin, mit Ausnahme des ersten, gleich dem geometrischen Mittel der vorherigen und nachfolgenden Terme ist. In der Tat, seitdem

bn=bn- 1 Q;

bn = bn+ 1 /Q,

somit, b n 2=Mrd.– 1 Mrd.+ 1 und der folgende Satz ist wahr (eine charakteristische Eigenschaft einer geometrischen Progression):

Eine Zahlenfolge ist genau dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes ihrer Terme, mit Ausnahme des ersten (und des letzten im Fall einer endlichen Folge), gleich dem Produkt des vorherigen und des nachfolgenden Termes ist.

Konsistenzgrenze.

Es gebe eine Folge ( c n} = {1/N}. Diese Folge wird harmonisch genannt, da jeder ihrer Terme, beginnend mit dem zweiten, das harmonische Mittel zwischen dem vorherigen und dem nachfolgenden Term ist. Geometrisches Mittel der Zahlen A Und B es gibt eine nummer

Andernfalls heißt die Folge divergent.

Anhand dieser Definition kann man beispielsweise die Existenz einer Grenze nachweisen A=0 für die harmonische Folge ( c n} = {1/N). Sei ε eine beliebig kleine positive Zahl. Der Unterschied wird berücksichtigt

Gibt es so etwas? N das ist für jeden etwas n ≥ N Ungleichung 1 gilt /N ? Wenn wir es als nehmen N jede natürliche Zahl größer als 1/ε , dann für alle n ≥ N Ungleichung 1 gilt /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Der Nachweis des Vorhandenseins eines Grenzwerts für eine bestimmte Sequenz kann manchmal sehr schwierig sein. Die am häufigsten vorkommenden Sequenzen sind gut untersucht und in Nachschlagewerken aufgeführt. Es gibt wichtige Theoreme, die es Ihnen ermöglichen, auf der Grundlage bereits untersuchter Folgen zu schließen, dass eine bestimmte Folge einen Grenzwert hat (und diesen sogar zu berechnen).

Satz 1. Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann ist sie beschränkt.

Satz 2. Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, dann hat sie einen Grenzwert.

Satz 3. Wenn die Folge ( ein} hat eine Grenze A, dann sind die Folgen ( dürfen}, {ein+ c) und (| ein|} Grenzen haben cA, A +C, |A| entsprechend (hier C- willkürliche Nummer).

Satz 4. Wenn die Folgen ( ein} Und ( b n) haben Grenzen gleich A Und B Pfanne + qbn) hat eine Grenze pA+ qB.

Satz 5. Wenn die Folgen ( ein) Und ( b n)haben Grenzen gleich A Und B dementsprechend ist dann die Folge ( a n b n) hat eine Grenze AB.

Satz 6. Wenn die Folgen ( ein} Und ( b n) haben Grenzen gleich A Und B dementsprechend und darüber hinaus b n ≠ 0 und B≠ 0, dann ist die Folge ( a n / b n) hat eine Grenze A/B.

Anna Chugainova

Lektion Nr. 32 Datum ____________

Algebra

Klasse: 9 „B“

Thema: „Numerische Reihenfolge und Methoden zu ihrer Zuordnung.“

Der Zweck der Lektion: Die Schüler sollten wissen, was eine Zahlenfolge ist; Methoden zur Angabe einer Zahlenfolge; können zwischen verschiedenen Arten der Angabe von Zahlenfolgen unterscheiden.

Didaktische Materialien: Handouts, Begleitnotizen.

Technische Schulungshilfen: Vortrag zum Thema „Zahlenfolgen“.

Während des Unterrichts.

1. Organisatorischer Moment.

2. Unterrichtsziele festlegen.

Heute werdet ihr im Unterricht lernen:

Was ist eine Sequenz?

Welche Arten von Sequenzen gibt es?

Wie wird die Zahlenfolge angegeben?

Lernen Sie, eine Sequenz mithilfe einer Formel und ihren vielen Elementen zu schreiben.

Lernen Sie, Mitglieder einer Sequenz zu finden.

3. Arbeiten Sie an dem zu untersuchenden Material.

3.1. Vorbereitungsphase.

Leute, lasst uns eure logischen Fähigkeiten testen. Ich nenne ein paar Worte, und Sie müssen fortfahren:

-Montag Dienstag,…..

- Januar Februar März…;

– Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G,…..(Klassenliste);

–10,11,12,…99;

Aus den Antworten der Jungs wird geschlossen, dass es sich bei den oben genannten Aufgaben um Folgen handelt, also um eine Art geordnete Reihe von Zahlen oder Konzepten, bei denen jede Zahl oder jedes Konzept genau an ihrem Platz ist und die Folge vertauscht wird, wenn die Mitglieder vertauscht werden gebrochen sein (Dienstag, Donnerstag, Montag ist einfach eine Liste von Wochentagen). Das Thema der Lektion ist also die Zahlenfolge.

3.1. Erläuterung des neuen Materials. (Demomaterial)

Analysieren Sie die Antworten der Schüler, geben Sie eine Definition einer Zahlenfolge und zeigen Sie Möglichkeiten zur Zuweisung von Zahlenfolgen auf.

(Arbeiten mit dem Lehrbuch S. 66 – 67)

Definition 1. Die Funktion y = f(x), xN heißt Funktion eines natürlichen Arguments oder einer Zahlenfolge und wird bezeichnet: y = f(n) oder y 1, y 2, y 3, ..., y n, .. . oder (y n).

In diesem Fall ist die unabhängige Variable eine natürliche Zahl.

Am häufigsten bezeichnen wir Folgen wie folgt: ( A N), (B N), (Mit N) usw.

Definition 2. Sequenzmitglieder.

Die Elemente, die eine Sequenz bilden, werden Sequenzmitglieder genannt.

Neue Konzepte: vorheriges und nachfolgendes Mitglied einer Sequenz,

A 1 …A P. (1. und n-ter Term der Folge)

Methoden zur Angabe einer Zahlenfolge.

Analytische Methode.

Jedes n-te Element der Folge kann mit einer Formel ermittelt werden. (Demonstrationsmaterial)

Entdecken Sie Beispiele

Beispiel 1. Folge gerader Zahlen: y = 2n.

Beispiel 2. Folge des Quadrats der natürlichen Zahlen: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, ... .

Beispiel 3. Stationäre Folge: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Sonderfall: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Beispiel 4. Folge y = 2 n ;

2, 2 2, 2 3, 2 4, ..., 2 n, ... .

Verbale Methode.

Die Regeln zur Angabe einer Sequenz werden in Worten beschrieben, ohne Angabe von Formeln oder wenn zwischen den Elementen der Sequenz kein Muster vorhanden ist.

Beispiel 1: Zahlennäherungenπ.

Beispiel 2. Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Beispiel 3. Durch 5 teilbare Zahlenfolge.

Beispiel 2. Beliebige Zahlenmenge: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Beispiel 3. Folge der geraden Zahlen 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

Wiederkehrende Methode.

Die wiederkehrende Methode besteht darin, eine Regel anzugeben, die es ermöglicht, das n-te Mitglied einer Folge zu berechnen, wenn ihre ersten paar Mitglieder angegeben sind (mindestens ein erstes Mitglied), und eine Formel anzugeben, die es ermöglicht, ihr nächstes Mitglied unter Verwendung der vorherigen Mitglieder zu berechnen. Begriff wiederkehrend kommt vom lateinischen Wort wiederkehrend , was bedeutet Komm zurück . Wenn wir die Terme einer Folge mit dieser Regel berechnen, scheinen wir ständig zurückzugehen und den nächsten Term auf der Grundlage des vorherigen zu berechnen. Die Besonderheit dieser Methode besteht darin, dass zur Bestimmung beispielsweise des 100. Gliedes der Folge zunächst alle vorherigen 99 Glieder ermittelt werden müssen.

Beispiel 1 . a 1 =a, a n+1 =a n +0,7. Sei a 1 =5, dann sieht die Sequenz wie folgt aus: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

Beispiel 2. b 1 = b, b n +1 = ½ b n. Sei b 1 =23, dann sieht die Sequenz wie folgt aus: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Beispiel 3. Fibonacci-Folge. Diese Sequenz lässt sich leicht rekursiv spezifizieren: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 wenn n=3, 4, 5, 6, ... . Es wird so aussehen:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P Der te Term dieser Folge ist gleich der Summe der beiden vorherigen Terme)

Es ist schwierig, die Fibonacci-Folge analytisch zu definieren, aber es ist möglich. Die Formel, nach der jedes Element dieser Sequenz bestimmt wird, sieht folgendermaßen aus:

Weitere Informationen:

Der italienische Kaufmann Leonardo von Pisa (1180–1240), besser bekannt unter seinem Spitznamen Fibonacci, war ein bedeutender Mathematiker des Mittelalters. Mit dieser Folge ermittelte Fibonacci die Zahl φ (fi); φ=1,618033989.

Grafische Methode

Mitglieder der Folge können durch Punkte auf der Koordinatenebene dargestellt werden. Dazu wird die Zahl auf der horizontalen Achse und der Wert des entsprechenden Elements der Folge auf der vertikalen Achse aufgetragen.

Um die Zuordnungsmethoden zu festigen, geben Sie bitte einige Beispiele für Sequenzen an, die entweder verbal, analytisch oder wiederkehrend spezifiziert werden.

Arten von Zahlenfolgen

(Anhand der unten aufgeführten Sequenzen werden Sequenztypen geübt).

Arbeiten mit dem Lehrbuch S. 69-70

1) Zunehmend – wenn jeder Term kleiner als der nächste ist, d. h. A N A N +1.

2) Abnehmend – wenn jeder Term größer als der nächste ist, d. h. A N A N +1 .

3) Unendlich.

4) Endgültig.

5) Wechselzeichen.

6) Konstant (stationär).

Eine steigende oder fallende Folge nennt man monoton.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Arbeiten mit dem Lehrbuch: Machen wir es mündlich Nr. 150, 159 S. 71, 72

3.2. Konsolidierung von neuem Material. Probleme lösen.

Zur Festigung des Wissens werden je nach Vorbereitungsstand der Studierenden Beispiele ausgewählt.

Beispiel 1. Erstellen Sie eine mögliche Formel für das n-te Element der Sequenz (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Lösung.

a) Dies ist eine Folge ungerader Zahlen. Analytisch kann diese Folge durch die Formel y = 2n+1 angegeben werden.

b) Dies ist eine numerische Folge, in der das nachfolgende Element um 4 größer als das vorherige ist. Analytisch kann diese Folge durch die Formel y = 4n angegeben werden.

Beispiel 2. Schreiben Sie die ersten zehn Elemente der wiederkehrenden Folge auf: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, wenn n = 3, 4, 5, 6, ....

Lösung.

Jedes nachfolgende Element dieser Sequenz ist gleich der Summe der beiden vorherigen Elemente.

Beispiel 3. Die Folge (y n) ist wiederkehrend gegeben: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2. Definieren Sie diese Reihenfolge analytisch.

Lösung.

Lassen Sie uns die ersten paar Elemente der Sequenz finden.

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

y 4 =5y 3 -6y 2 =20-12=8;

y 5 =5y 4 -6y 3 =40-24=16;

y 6 =5y 5 -6y 4 =80-48=32;

y 7 =5y 6 -6y 5 =160-96=64.

Wir erhalten die Reihenfolge: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., was dargestellt werden kann als

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Wenn wir die Sequenz analysieren, erhalten wir das folgende Muster: y = 2 n -1 .

Beispiel 4. Gegeben sei die Folge y n =24n+36-5n 2 .

a) Wie viele positive Mitglieder hat es?

b) Finden Sie das größte Element der Folge.

c) Gibt es in dieser Folge ein kleinstes Element?

Diese Zahlenfolge ist eine Funktion der Form y = -5x 2 +24x+36, wobei x

a) Finden Sie die Werte der Funktion, bei denen -5x 2 +24x+360 gilt. Lösen wir die Gleichung -5x 2 +24x+36=0.

D = b 2 -4ac = 1296, X 1 = 6, X 2 = -1,2.

Die Gleichung für die Symmetrieachse der Parabel y = -5x 2 +24x+36 kann mit der Formel x= ermittelt werden, wir erhalten: x=2,4.

Für -1,2 gilt die Ungleichung -5x 2 +24x+360. In diesem Intervall gibt es fünf natürliche Zahlen (1, 2, 3, 4, 5). Dies bedeutet, dass es in einer bestimmten Sequenz fünf positive Elemente der Sequenz gibt.

b) Das größte Element der Sequenz wird durch die Auswahlmethode bestimmt und ist gleich y 2 =64.

c) Es gibt kein kleinstes Element.

3.4.Aufgaben für selbstständiges Arbeiten