Kosinusentwicklung eines Doppelwinkels. Kaufen Sie günstig ein Hochschuldiplom. Aufgabe C1: Trigonometrische Gleichungen und Doppelwinkelformel

Die Trigonometrie ist einer der Zweige der Mathematik, dessen Studium sich auf Winkel und die Beziehungen zwischen ihnen konzentriert. Die Grundlagen der Naturwissenschaften werden in der Schulzeit gelegt, wenn Definitionen von Winkelfunktionen eingeführt werden. Die so entstandene Basis wird künftig für die Entwicklung der Astronomie, des Instrumentenbaus, der Architektur und anderer Wissensgebiete genutzt. Wie jede exakte Wissenschaft kommt auch die Trigonometrie nicht ohne Formeln aus. Ausdrücke zur Bestimmung eines Doppelarguments haben praktische Anwendung gefunden. Wenn Sie beispielsweise auf die entsprechende Gleichung zurückgreifen, können Sie den doppelten Sinuswinkel leicht ermitteln.

Trigonometrischer Ausdruck zur Berechnung

Der Ausdruck wird einfach aufgeschrieben und auswendig gelernt: Der Sinus eines doppelten Winkels wird als doppeltes Produkt aus Sinus und Cosinus eines einzelnen Arguments berechnet.

Diese Formel leitet sich aus dem Ausdruck für den Sinus der Winkelsumme ab ( Q 1 + Q 2 ) :

Sünde( Q 1 + Q 2) = Sünde Q 1*cos Q 1 + Sünde Q 2*Cos Q 2 .

Unter der Annahme, dass die angegebenen Winkel einander gleich sind, wird die Formel in der üblichen Form geschrieben.

Der Ausdruck kann für jeden Wert des Funktionsarguments verwendet werden. Es ist ganz einfach, daraus den doppelten Sinuswinkel zu berechnen; die folgenden Beispiele helfen Ihnen, dies zu überprüfen.

Anwendungsbeispiel

Hier sind einige Abbildungen der Anwendung der resultierenden Formel. Lassen Sie uns den Wert der trigonometrischen Funktion des Sinus eines Winkels von 60 Grad berechnen. Der entsprechende Einzelwinkel wäre 30 Grad. Da die Sinus- und Cosinuswerte eines Winkels von 30 Grad bekannt sind, beträgt der doppelte Sinuswinkel sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Die Formel wird nicht nur für manuelle Berechnungen verwendet; Werte können auch mithilfe von Mathematikpaketen oder MS-Excel-Tabellen ermittelt werden.

Trotz der Einfachheit der trigonometrischen Identität bereitet sie Schulabsolventen Schwierigkeiten. Genau darauf setzen die Entwickler von Unified State Examination-Aufgaben, wenn sie Tests zur Überprüfung grundlegender Formeln anbieten. Fazit – Um den Doppelsinuswinkel zu berechnen, muss man ihn auswendig kennen!

Am häufigsten gestellte Fragen

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Sehr oft werden Studierende bei Aufgaben C1 aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik gebeten, eine trigonometrische Gleichung zu lösen, die die Doppelwinkelformel enthält.

Heute werden wir erneut Problem C1 analysieren und insbesondere ein eher nicht standardmäßiges Beispiel analysieren, das gleichzeitig sowohl die Doppelwinkelformel als auch sogar eine homogene Gleichung enthält. Also:

Löse die Gleichung. Finden Sie die Wurzeln dieser Gleichung, die zum Intervall gehören:

sinx+ Sünde2 X 2 −cos2 X 2 ,x∈ [ −2 π ;− π 2 ]

\sin x+\frac(((\sin )^(2))x)(2)-\frac(((\cos )^(2))x)(2),x\in \left[ -2\ text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right]

Nützliche Formeln zum Lösen

Zunächst möchte ich Sie daran erinnern, dass alle C1-Aufgaben nach dem gleichen Schema gelöst werden. Zunächst muss die ursprüngliche Konstruktion in einen Ausdruck umgewandelt werden, der einen Sinus, Cosinus oder Tangens enthält:

sinx=a

cosx=a

tgx=a

Genau darin liegt die Hauptschwierigkeit der Aufgabe C1. Tatsache ist, dass jeder spezifische Ausdruck eigene Berechnungen erfordert, mit deren Hilfe Sie vom Quellcode zu solchen einfachen Konstruktionen gelangen können. In unserem Fall ist dies die Doppelwinkelformel. Lass es mich aufschreiben:

cos2x= cos2 x− Sünde2 X

\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x

In unserer Aufgabe gibt es jedoch keine cos2 X((\cos )^(2))x oder Sünde2 X((\sin )^(2))x, aber es gibt Sünde2 X 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) und cos2 X 2 \frac(((\cos )^(2))x)(2).

Lösung des Problems

Was tun mit diesen Berechnungen? Lassen Sie uns ein wenig schummeln und eine neue Variable in unsere Formeln für Sinus und Cosinus eines Doppelwinkels einführen:

x= t 2

Wir werden die folgende Konstruktion mit Sinus und Cosinus schreiben:

cos2⋅ t 2=cos2 T 2 −Sünde2 T 2

\cos 2\cdot \frac(t)(2)=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2 )

Oder mit anderen Worten:

Kosten= cos2 T 2 −Sünde2 T 2

\cos t=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2)

Kehren wir zu unserer ursprünglichen Aufgabe zurück. Lasst uns Sünde2 X 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) nach rechts verschieben:

sinx= cos2 X 2 −Sünde2 X 2

\sin x=\frac(((\cos )^(2))x)(2)-\frac(((\sin )^(2))x)(2)

Auf der rechten Seite sind genau die gleichen Berechnungen zu sehen, die wir gerade aufgezeichnet haben. Konvertieren wir sie:

sinx=cosx

Und jetzt Achtung: Vor uns liegt eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades. Schauen Sie, wir haben keine Begriffe, die nur Zahlen und gerecht sind X x, wir haben nur Sinus und Cosinus. Außerdem haben wir keine quadratischen trigonometrischen Funktionen, alle Funktionen gehen zum ersten Grad. Wie werden solche Designs gelöst? Nehmen wir das zunächst mal an cosx=0\cos x=0.

Ersetzen wir diesen Wert in die trigonometrische Hauptidentität:

Sünde2 x+ cos2 x=1

((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x=1

Sünde2 x+0=1

((\sin )^(2))x+0=1

sinx=±1

Wenn wir diese Zahlen 0 und ±1 in die ursprüngliche Konstruktion einsetzen, erhalten wir Folgendes:

±1 = 0

\pm 1\text( )=\text( )0

Wir haben völligen Unsinn verstanden. Deshalb gehen wir davon aus cosx=0\cos x=0 ist falsch, cosx\cos x darf in diesem Ausdruck nicht 0 sein. Und wenn cosx\cos x ungleich 0 ist, dann teilen wir beide Seiten durch cosx\cos x:

sinxcosx=1

\frac(\sin x)(\cos x)=1

sinxcosx=tgx

\frac(\sin x)(\cos x)=tgx

tgx=1

Und jetzt haben wir den lang erwarteten einfachsten Ausdruck der Form tgx=a tgx=a. Großartig, lass es uns lösen. Dies ist der Tabellenwert:

x= π 4 + π n,n ˜ ∈Z

x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) n,n˜\in Z

Wir haben die Wurzel gefunden, wir haben den ersten Teil des Problems gelöst, das heißt, wir haben ehrlich gesagt einen von zwei Hauptpunkten verdient.

Kommen wir zum zweiten Teil: Finden Sie die Wurzeln dieser Gleichung, die zum Intervall oder genauer gesagt zum Segment gehören

[\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2 ) \Rechts]\]. Ich schlage wie beim letzten Mal vor, diesen Ausdruck grafisch zu lösen, also einen Kreis zu zeichnen, darin den Anfang, also 0, sowie die Enden des Segments zu markieren:

Auf dem Segment

−2 π ;− π 2

2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\pi )(2) Sie müssen alle Werte finden, die dazu gehören

π 4 +π n

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. Und jetzt der lustige Teil: Tatsache ist, dass es um den Punkt selbst geht π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) gehört nicht zum Segment

[ −2 π ;− π 2 ] ,

\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right], das ist offensichtlich:

π 4 ∉˜ [ −2 π ;− π 2 ]

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)\notin ˜\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\text( )\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right]

Schon allein deshalb, weil beide Enden dieses Segments negativ sind und die Zahl π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) positiv, aber andererseits einige Werte der Form

π 4 +π n

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n gehören immer noch zu unserem Segment . Wie hebt man sie hervor? Ganz einfach: Nehmen Sie das Ende des Segments

−2π

2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) und hinzufügen π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)), d. h. alles passiert genauso, als ob wir den Bericht nicht bei 0, sondern bei beginnen würden −2π-2\text( )\!\!\pi\!\!\text() und wir haben den ersten Punkt:

x=−2 π + π 4 =−7π 4

x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)=- \frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)

Nun die zweite Zahl:

x=−2 π + π 4 + π =− 3π 4

x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4 ))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)

Dies ist die zweite Bedeutung. Es gibt keine anderen Wurzeln, weil wir selbst bei der Markierung dieser und bei der Markierung unseres Segments der Begrenzung festgestellt haben, dass es innerhalb dieses Segments nur zwei Arten gibt – π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) und π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ). Diese Punkte gehören uns und uns. Wir schreiben die Antwort auf:

−7π 4 ;−3π 4

-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4);-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)

Für eine solche Entscheidung erhalten Sie zwei von zwei möglichen Hauptpunkten.

Was Sie für die richtige Entscheidung beachten müssen

Noch einmal die wichtigsten Schritte, die es zu befolgen gilt. Zunächst müssen Sie die Berechnungen des Doppelwinkels eines Sinus oder Cosinus kennen, insbesondere in unserem Problem den Cosinus eines Doppelwinkels. Darüber hinaus müssen Sie nach der Verwendung die einfachste trigonometrische Gleichung lösen. Die Lösung ist ganz einfach, aber Sie müssen das schreiben und überprüfen cosx\cos x ist in unserer Konstruktion ungleich 0. Nach der trigonometrischen Gleichung erhalten wir einen elementaren Ausdruck, in unserem Fall ist er es tgx=1 tgx=1, das mit Standardformeln, die seit der 9.-10. Klasse bekannt sind, leicht gelöst werden kann. Somit lösen wir das Beispiel und erhalten die Antwort auf den ersten Teil der Aufgabe – die Menge aller Wurzeln. In unserem Fall ist es so

π 4 + π n,n∈Z

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n, n\in ˜Z. Dann müssen nur noch die zum Segment gehörenden Wurzeln ausgewählt werden

[ −2 π ;− π 2 ]

\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \Rechts]. Dazu zeichnen wir erneut einen trigonometrischen Kreis, markieren darauf unsere Wurzeln und unser Segment und zählen dann vom Ende aus π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) und π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ), die beim Markieren erhalten wurden alle Wurzeln der Form π 4 +π n\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. Nach einer einfachen Berechnung erhielten wir zwei spezifische Wurzeln, nämlich

−7π 4

-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) und

−3π 4

-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4), die die Antwort auf den zweiten Teil des Problems sind, nämlich die Wurzeln, die zum Segment gehören

[ −2 π ;− π 2 ]

\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \Rechts].

Wichtige Punkte

Um C1-Probleme dieser Art problemlos zu bewältigen, sollten Sie sich zwei Grundformeln merken:

1. Sinus des Doppelwinkels:

   sin2 α =2sin α cos α

   \sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\sin \text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\cos \text( )\ !\!\alpha\!\!\text( ) – diese Formel für Sinus funktioniert immer in dieser Form;

2. Kosinus des doppelten Winkels: cos2 α =co S2 α−si N2 α \cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( =)co((s)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) -si((n)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) – und hier gibt es mögliche Optionen.

Das erste ist klar. Doch welche Optionen sind im zweiten Fall möglich? Tatsache ist, dass der Kosinus eines Doppelwinkels auf unterschiedliche Weise geschrieben werden kann:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α

\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-1=1-2\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )

Diese Gleichheiten ergeben sich aus der grundlegenden trigonometrischen Identität. Nun, welche Gleichheit sollte ich wählen, wenn ich ein bestimmtes Beispiel C1 löse? Es ist ganz einfach: Wenn Sie die Konstruktion auf Sinus reduzieren möchten, wählen Sie die letzte Erweiterung, die nur enthält

sin2 α

\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ). Wenn Sie umgekehrt den gesamten Ausdruck auf die Arbeit mit Kosinus reduzieren möchten, wählen Sie die zweite Option – diejenige, bei der der Kosinus die einzige trigonometrische Funktion ist.