Implementierung numerischer Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen mit MS Excel. Allgemeine Informationen zum Lösen einer nichtlinearen Gleichung. Lösen einer Gleichung durch Halbieren

Gegeben ist die Gleichung F(x)=0. Dies ist die allgemeine Form einer nichtlinearen Gleichung mit einer Unbekannten. Der Algorithmus zum Finden der Wurzel besteht in der Regel aus zwei Schritten:

1. Ermitteln des ungefähren Werts der Wurzel oder des Segments auf der x-Achse, das sie enthält.

2. Verfeinerung des Näherungswerts der Wurzel auf eine gewisse Genauigkeit.

In der ersten Stufe wird die schrittweise Methode der Wurzeltrennung verwendet, in der zweiten eine der Verfeinerungsmethoden (Halbteilungsmethode, Newton-Methode, Akkordmethode oder einfache Iterationsmethode).

Schrittweise Methode

Betrachten Sie als Beispiel die Gleichung x 2 - 11x + 30 = 0. Suchintervall, Schritth = 0,3. Lassen Sie uns das Problem mithilfe der speziellen Funktionen des Excel-Pakets lösen. Handlungsablauf (siehe Abb. 1):

1. Füllen Sie die Überschrift in Zeile 1 „Numerische Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen“ aus.

2. Erstellen Sie in Zeile 3 eine Überschrift: „Schritt-für-Schritt-Anleitung“.

3. Schreiben Sie Daten zur Aufgabe in die Zellen A6, C6 und B6.

4. Schreiben Sie die Zeilenüberschriften jeweils in die Zellen B9 und C9 x und F(x).

5. Geben Sie in den Zellen B10 und B11 die ersten beiden Werte des Arguments ein – 3 und 3,3.

6. Wählen Sie die Zellen B5-B6 aus und ziehen Sie die Datenreihe auf den Endwert (3,3). Stellen Sie dabei sicher, dass die arithmetische Folge korrekt gebildet wird.

7. Geben Sie in Zelle C10 die Formel ein„=B10*B10-11*B10+30“.

8. Kopieren Sie die Formel mithilfe der Ziehtechnik auf die verbleibenden Elemente der Zeile. Im Intervall C10:C18 wurden mehrere Ergebnisse zur Berechnung der Funktion F(x) erhalten. Es ist zu erkennen, dass die Funktion einmal das Vorzeichen wechselt. Die Wurzel der Gleichung liegt im Intervall.

9. Um die Abhängigkeit darzustellen F(x) verwenden Sie „Einfügen – Diagramm“ (Typ „Punkt“, Markierungen werden durch glatte Kurven verbunden).

Methode zum Teilen eines Segments in zwei Hälften

Betrachten Sie als Beispiel die Gleichung x 2 - 11x + 30 = 0. Suchintervall mit einer Genauigkeit von ε=0,01. Lassen Sie uns das Problem mithilfe der speziellen Funktionen des Excel-Pakets lösen.

1. Geben Sie in Zelle B21 die Überschrift „Methode zum Teilen von Segmenten in zwei Hälften“ ein.

2. Geben Sie Aufgabendaten in die Zellen A23, C23, E23 ein.

3. Erstellen Sie im Bereich B25:H25 einen Tabellenkopf (Zeile B – der linke Rand des Segments „a“, Zeile C – die Mitte des Segments „x“, Zeile D – der rechte Rand des Segments „b“, Zeile E – der Wert der Funktion am linken Rand des Segments „F( a)“, Zeile F – der Wert der Funktion in der Mitte des Segments „F(x)“, Zeile G – das Produkt „F( a)*F(x)“, Zeile H – Prüfung, ob die Genauigkeit erreicht wurde „ê F(x)ê<е».

4. Geben Sie die Anfangswerte der Enden des Segments ein: in Zelle B26 „4,8“, in Zelle D26 „5,1“.

5. Geben Sie die Formel „=(B26+D26)/2“ in Zelle C26 ein.

6. Geben Sie die Formel in Zelle E26 ein„=B26*B26-11*B26+30“.

7. Geben Sie die Formel in Zelle F26 ein„=C26*C26-11*C26+30“.

8. Geben Sie die Formel „=E26*F26“ in Zelle G26 ein.

9. Geben Sie in Zelle H26 die Formel „=IF(ABS(F26)“ ein.<0.01; ²Wurzel²)".

1 0. Wählen Sie den Bereich B21:H21 aus und ziehen Sie ihn vertikal, bis die „Root“-Meldung in Zeile H (Zelle H29, H30) erscheint.

Tangentenmethode (Newton)

1. Geben Sie in Zelle J23 die Überschrift „Tangentialmethode (Newton)“ ein.

2. Geben Sie den Text „e=“ in Zelle L23 und den Genauigkeitswert „0,00001“ in Zelle M23 ein.

3. Erstellen Sie im Bereich K25:N25 einen Tabellentitel (Zeile K – der Wert des Arguments „x“, Zeile L – der Wert der Funktion „F(x)“, Zeile M – die Ableitung der Funktion „F¢ (x)“, Zeile N – Überprüfung auf Erreichen der Genauigkeit „ê F(x)ê<е».

4. Geben Sie in Zelle K26 den Anfangswert des Arguments ein„-2“.

5. Geben Sie die Formel „=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5“ in Zelle L26 ein.

6. Geben Sie die Formel „=3*K26*K26+4*K26+3“ in Zelle M26 ein.

7. Geben Sie in Zelle N26 die Formel „=IF(ABS(L26)“ ein.<$M$23;"корень")».

8. Geben Sie die Formel in Zelle K27 ein„=K26-L26/M26“.

9. Wählen Sie den Bereich L27:N27 aus und ziehen Sie ihn vertikal, bis die Meldung „root“ in Zeile N (Zelle N30) erscheint.

Akkordmethode

Betrachten Sie als Beispiel die Gleichung x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Genauigkeit ε=0,01. Lassen Sie uns das Problem mithilfe der speziellen Funktionen des Excel-Pakets lösen.

1. Geben Sie in Zelle B32 die Überschrift „Akkordmethode“ ein.

2. Geben Sie den Text „e=“ in Zelle C34 und den Genauigkeitswert „0,00001“ in Zelle E34 ein.

3. Erstellen Sie im Bereich B36:D36 einen Tabellenkopf (Zeile B – der Wert des Arguments „x“, Zeile C – der Wert der Funktion „F(x)“, Zeile D – Überprüfung, ob die Genauigkeit erreicht wurde.ê F(x)ê<е».

4. Geben Sie in den Zellen B37 und B38 den Anfangswert des Arguments ein"-2 und. „-1“

5. Geben Sie die Formel „=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5“ in Zelle C37 ein.

6. Geben Sie die Formel in Zelle D37 ein"=IF(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Geben Sie die Formel in Zelle B39 ein„=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37).“

8. Wählen Sie den Bereich C39:D39 aus und ziehen Sie ihn vertikal, bis die Meldung „root“ in Zeile D (Zelle D43) erscheint.

Einfache Iterationsmethode

Betrachten Sie als Beispiel die Gleichung x 2 - 11x + 30 = 0. Suchintervall, mit Genauigkeit =0,05.

1. Geben Sie in Zelle K32 die Überschrift „Einfache Iterationsmethode“ ein

2. Geben Sie den Text „e=“ in Zelle N34 und den Genauigkeitswert „0,05“ in Zelle O34 ein.

3. Wählen Sie eine Funktion j (x), die die Konvergenzbedingung erfüllt. In unserem Fall ist eine solche Funktion die Funktion S(x)=(x*x+30)/11.

4. Erstellen Sie im Bereich K38:N38 einen Tabellenkopf (Zeile K – der Wert des Arguments „x“, Zeile L – der Wert der Funktion „F(x)“, Zeile M – der Wert der Hilfsfunktion „S( x)“, Zeile N – Prüfung, ob die Genauigkeit erreicht wurde „ê F(x)ê<е».

5. Geben Sie in Zelle K39 den Anfangswert des Arguments „4,8“ ein.

6. Geben Sie die Formel in Zelle L39 ein„=K39*K39-11*K39+30“.

7. Geben Sie die Formel „=(K39*K39+30)/11“ in Zelle M39 ein.

8. Geben Sie in Zelle N39 die Formel „=IF(ABS(L39)“ ein.<$O$34;"корень")».

9. Geben Sie in Zelle K40 die Formel „=M39“ ein.

1 0. Kopieren Sie die Zellen L39:N39 in die Zellen L40:N40.

elf . Wählen Sie den Bereich L40:N40 aus und ziehen Sie ihn vertikal, bis die Meldung „root“ in Zeile N (Zelle N53) erscheint.

Abb.1 Lösen nichtlinearer Gleichungen in Excel

Während viele Schüler in der Schule mit dem Lösen von Gleichungen im Mathematikunterricht kämpfen, sind sie oft davon überzeugt, dass sie ihre Zeit völlig umsonst verschwenden, und dennoch wird eine solche Fähigkeit im Leben nicht nur für diejenigen von Nutzen sein, die sich entscheiden, in die Fußstapfen von Descartes zu treten. Euler oder Lobatschewski.

In der Praxis, beispielsweise in der Medizin oder der Wirtschaftswissenschaft, kommt es häufig vor, dass ein Facharzt herausfinden muss, wann die Wirkstoffkonzentration eines bestimmten Arzneimittels im Blut des Patienten den erforderlichen Wert erreicht, oder die dafür erforderliche Zeit berechnen muss bestimmtes Geschäft profitabel zu machen.

Am häufigsten geht es um die Lösung nichtlinearer Gleichungen verschiedener Art. Numerische Methoden ermöglichen eine möglichst schnelle Durchführung, insbesondere am Computer. Sie sind gut untersucht und haben ihre Wirksamkeit seit langem bewiesen. Dazu gehört die Newtonsche Tangentenmethode, die Gegenstand dieses Artikels ist.

Formulierung des Problems

In diesem Fall gibt es eine Funktion g, die auf dem Segment (a, b) definiert ist und auf diesem bestimmte Werte annimmt, d. h. jedem x, das zu (a, b) gehört, kann eine bestimmte Zahl g zugeordnet werden (X).

Es ist erforderlich, alle Wurzeln der Gleichung aus dem Intervall zwischen den Punkten a und b (einschließlich der Enden) zu ermitteln, für die die Funktion auf Null gesetzt wird. Offensichtlich sind dies die Schnittpunkte von y = g(x) mit OX.

In manchen Fällen ist es bequemer, g(x)=0 durch ein ähnliches zu ersetzen, wie z. B. g 1 (x) = g 2 (x). Als Wurzeln fungieren in diesem Fall die Abszissen (x-Wert) der Schnittpunkte der Graphen g 1 (x) und g 2 (x).

Die Lösung einer nichtlinearen Gleichung ist auch für Optimierungsprobleme wichtig, bei denen die Bedingung für ein lokales Extremum darin besteht, dass die Ableitung der Funktion gegen 0 geht. Mit anderen Worten, ein solches Problem kann darauf reduziert werden, die Wurzeln der Gleichung p(x) = 0 zu finden, wobei p(x) identisch mit g"(x) ist.

Lösungsmethoden

Für einige Arten nichtlinearer Gleichungen, wie etwa quadratische oder einfache trigonometrische Gleichungen, können Wurzeln auf recht einfache Weise gefunden werden. Insbesondere kennt jedes Schulkind Formeln, mit denen sich leicht die Werte des Arguments der Punkte ermitteln lassen, an denen das quadratische Trinom verschwindet.

Methoden zum Extrahieren von Wurzeln nichtlinearer Gleichungen werden normalerweise in analytische (direkte) und iterative Methoden unterteilt. Im ersten Fall hat die gesuchte Lösung die Form einer Formel, mit deren Hilfe man in einer bestimmten Anzahl von Rechenoperationen den Wert der gesuchten Wurzeln ermitteln kann. Ähnliche Methoden wurden für exponentielle, trigonometrische, logarithmische und einfache algebraische Gleichungen entwickelt. Im Übrigen müssen spezielle numerische Methoden verwendet werden. Sie lassen sich einfach mithilfe von Computern umsetzen, sodass Sie die Wurzeln mit der erforderlichen Genauigkeit finden können.

Dazu gehört die sogenannte numerische Tangensmethode. Letztere wurde Ende des 17. Jahrhunderts vom großen Wissenschaftler Isaac Newton vorgeschlagen. In den folgenden Jahrhunderten wurde die Methode immer wieder verbessert.

Lokalisierung

Numerische Methoden zur Lösung komplexer Gleichungen, für die es keine analytischen Lösungen gibt, werden normalerweise in zwei Schritten durchgeführt. Zuerst müssen Sie sie lokalisieren. Diese Operation besteht darin, solche Segmente auf OX zu finden, auf denen sich eine Wurzel der zu lösenden Gleichung befindet.

Betrachten wir das Segment. Wenn g(x) keine Diskontinuitäten aufweist und an den Endpunkten Werte unterschiedlichen Vorzeichens annimmt, dann liegt zwischen a und b oder in ihnen mindestens 1 Wurzel der Gleichung g(x) = 0. Damit es so ist Um eindeutig zu sein, ist es erforderlich, dass g(x) nicht monoton war. Bekanntlich wird es diese Eigenschaft haben, vorausgesetzt, dass das Vorzeichen von g’(x) konstant ist.

Mit anderen Worten: Wenn g(x) keine Diskontinuitäten aufweist und monoton zunimmt oder abnimmt und seine Werte an den Endpunkten nicht die gleichen Vorzeichen haben, dann gibt es 1 und nur 1 Wurzel von g(x).

Sie sollten jedoch wissen, dass dieses Kriterium nicht für die Wurzeln mehrfacher Gleichungen gilt.

Lösen einer Gleichung durch Halbieren

Bevor wir uns mit komplexeren numerischen Tangenten und ihren Varianten befassen, lohnt es sich, sich mit der einfachsten Methode zur Identifizierung von Wurzeln vertraut zu machen. Es wird Dichotomie genannt und bezieht sich auf die intuitive Art, Wurzeln zu finden, basierend auf dem Satz, dass, wenn für g(x), stetig, die Bedingung unterschiedlicher Vorzeichen erfüllt ist, es auf dem betrachteten Segment mindestens 1 Wurzel g( x) = 0.

Um es zu finden, müssen Sie das Segment in zwei Hälften teilen und den Mittelpunkt als x 2 festlegen. Dann sind zwei Optionen möglich: g(x 0) * g(x 2) oder g(x 2) * g(x 1) sind gleich oder kleiner als 0. Wir wählen diejenige, für die eine dieser Ungleichungen wahr ist. Wir wiederholen den oben beschriebenen Vorgang, bis die Länge einen bestimmten vorgewählten Wert unterschreitet, der die Genauigkeit der Bestimmung der Wurzel der Gleichung bestimmt.

Zu den Vorteilen der Methode gehören ihre Zuverlässigkeit und Einfachheit, der Nachteil besteht jedoch darin, dass zunächst Punkte identifiziert werden müssen, an denen g(x) unterschiedliche Vorzeichen annimmt, sodass sie nicht für Wurzeln gerader Multiplizität verwendet werden kann. Darüber hinaus lässt es sich nicht auf den Fall eines Gleichungssystems verallgemeinern oder wenn es sich um komplexe Wurzeln handelt.

Beispiel 1

Wir wollen die Gleichung g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0 lösen. Um nicht lange nach einem geeigneten Segment suchen zu müssen, erstellen wir einen Graphen, beispielsweise mit dem bekannten Excel-Programm . Wir sehen, dass es besser ist, Werte aus dem Intervall als Segment zur Lokalisierung der Wurzel zu verwenden. Wir können sicher sein, dass darauf mindestens eine Wurzel der erforderlichen Gleichung existiert.

g"(x) = 10x 4 + 1, d. h. es ist eine monoton steigende Funktion, es gibt also nur 1 Wurzel auf dem ausgewählten Segment.

Wir setzen die Endpunkte in die Gleichung ein. Wir haben jeweils 0 und 1. Im ersten Schritt nehmen wir Punkt 0,5 als Lösung. Dann ist g(0,5) = -0,4375. Das bedeutet, dass das nächste Segment zur Halbierung sein wird. Sein Mittelpunkt liegt bei 0,75. Darin beträgt der Wert der Funktion 0,226. Wir berücksichtigen das Segment und seine Mitte, die sich bei Punkt 0,625 befindet. Wir berechnen den Wert von g(x) mit 0,625. Er beträgt -0,11, also negativ. Basierend auf diesem Ergebnis wählen wir das Segment aus. Wir erhalten x = 0,6875. Dann ist g(x) = -0,00532. Wenn die Genauigkeit der Lösung 0,01 beträgt, können wir davon ausgehen, dass das gewünschte Ergebnis 0,6875 beträgt.

Theoretische Basis

Diese Methode zum Finden von Nullstellen mithilfe der Newtonschen Tangentenmethode ist wegen ihrer sehr schnellen Konvergenz beliebt.

Es basiert auf der nachgewiesenen Tatsache, dass, wenn x n eine Näherung an die Wurzel f(x) = 0 ist, so dass f" C 1, dann die nächste Näherung an dem Punkt erfolgt, an dem die Gleichung der Tangente an f(x) ist auf Null gesetzt, d.h.

Ersetzen Sie x = x n+1 und setzen Sie y auf Null.

Dann sehen die Tangenten so aus:

Beispiel 2

Versuchen wir, Newtons klassische Tangentenmethode zu verwenden und eine Lösung für eine nichtlineare Gleichung zu finden, die analytisch nur schwer oder gar nicht zu finden ist.

Es sei notwendig, die Wurzeln für x 3 + 4x - 3 = 0 mit einiger Genauigkeit zu identifizieren, zum Beispiel 0,001. Bekanntlich muss der Graph jeder Funktion in Form eines Polynoms ungeraden Grades die OX-Achse mindestens einmal schneiden, d.h. es besteht kein Zweifel an der Existenz von Wurzeln.

Bevor wir unser Beispiel mit der Tangentenmethode lösen, erstellen wir punktweise einen Graphen f(x) = x 3 + 4x - 3. Dies ist beispielsweise mit einem Excel-Tabellenkalkulationsprogramm sehr einfach möglich. Aus dem resultierenden Diagramm wird deutlich, dass es die OX-Achse nicht schneidet und die Funktion y = x 3 + 4x - 3 monoton ansteigt. Wir können sicher sein, dass die Gleichung x 3 + 4x - 3 = 0 eine Lösung hat und eindeutig ist.

Algorithmus

Jede Lösung von Gleichungen nach der Tangentenmethode beginnt mit der Berechnung von f "(x). Wir haben:

Dann ist die zweite Ableitung x * 6.

Mit diesen Ausdrücken können wir eine Formel zum Identifizieren der Wurzeln einer Gleichung mithilfe der Tangensmethode in der Form schreiben:

Als nächstes müssen Sie eine anfängliche Näherung wählen, d. h. mit der Bestimmung beginnen, welcher Punkt als Startpunkt (Volumen x 0) für den iterativen Prozess gilt. Wir betrachten die Enden des Segments. Wir verwenden diejenige, für die die Bedingung gilt, dass die Funktion und ihre 2. Ableitung bei x 0 unterschiedliche Vorzeichen haben. Wie wir sehen können, ist es beim Ersetzen von x 0 = 0 kaputt, aber x 0 = 1 ist durchaus geeignet.

Wenn wir dann daran interessiert sind, die Tangentenmethode mit der Genauigkeit e zu lösen, kann davon ausgegangen werden, dass der Wert x n die Anforderungen des Problems erfüllt, vorausgesetzt, dass die Ungleichung |f(x n) / f’(x n)| gilt< e.

Im ersten Tangentenschritt gilt:

• x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1- 0,2857 = 0,71429;
• da die Bedingung nicht erfüllt ist, fahren wir fort;
• wir erhalten einen neuen Wert für x 2, der 0,674 entspricht;
• Wenn wir feststellen, dass das Verhältnis des Funktionswerts zu seiner Ableitung in x 2 kleiner als 0,0063 ist, stoppen wir den Prozess.

Tangentenmethode in Excel

Sie können das vorherige Beispiel viel einfacher und schneller lösen, wenn Sie Berechnungen nicht manuell (auf einem Taschenrechner) durchführen, sondern die Fähigkeiten eines Tabellenkalkulationsprozessors von Microsoft nutzen.

Dazu müssen Sie eine neue Seite in Excel erstellen und deren Zellen mit den folgenden Formeln füllen:

• in C7 schreiben wir „= DEGREE (B7;3) + 4 * B7 – 3“;
• in D7 geben wir „= 4 + 3 * DEGREE (B7;2)“ ein;
• in E7 schreiben wir „= (DEGREE (B7;3)- 3 + 4 * B7) / (3* DEGREE (B7;2) + 4)“;
• in D7 geben wir den Ausdruck „=B7 - E7“ ein;
• in B8 geben wir die Bedingungsformel „=IF(E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

Bei einem bestimmten Problem erscheint in Zelle B10 die Aufschrift „Abschließen von Iterationen“. Um das Problem zu lösen, müssen Sie die in der Zelle eine Zeile darüber geschriebene Zahl verwenden. Sie können dafür auch eine separate „dehnbare“ Spalte auswählen, indem Sie dort eine Formelbedingung eingeben, nach der das Ergebnis dort geschrieben wird, wenn der Inhalt in der einen oder anderen Zelle von Spalte B die Form „Abschluss der Iterationen“ annimmt.

Implementierung in Pascal

Versuchen wir, mit der Tangentenmethode in Pascal eine Lösung für die nichtlineare Gleichung y = x 4 - 4 - 2 * x zu erhalten.

Wir verwenden eine Hilfsfunktion, die dabei hilft, eine Näherungsberechnung f"(x) = (f(x + Delta) - f(x)) / Delta durchzuführen. Als Bedingung für den Abschluss des iterativen Prozesses wählen wir die Erfüllung von die Ungleichung |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Das Programm zeichnet sich dadurch aus, dass keine manuelle Berechnung der Ableitung erforderlich ist.

Akkordmethode

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, die Wurzeln nichtlinearer Gleichungen zu identifizieren. Der Iterationsprozess besteht darin, dass als sukzessive Annäherungen an die gewünschte Wurzel für f(x) = 0 die Werte der Schnittpunkte der Sehne mit der Abszisse der Endpunkte a und b mit OX genommen werden, bezeichnet als x 1, ..., x n. Wir haben:

Für den Punkt, an dem die Sehne die OX-Achse schneidet, wird der Ausdruck wie folgt geschrieben:

Die zweite Ableitung sei für x £ positiv (Der umgekehrte Fall reduziert sich auf den betrachteten, wenn wir f(x) = 0 schreiben). In diesem Fall ist der Graph y = f(x) eine unten konvexe Kurve, die sich unterhalb der Sehne befindet AB. Es kann zwei Fälle geben: wenn die Funktion an Punkt a einen positiven Wert hat oder an Punkt b negativ ist.

Im ersten Fall wählen wir Ende a als festes Ende und nehmen Punkt b als x 0. Dann bilden aufeinanderfolgende Näherungen gemäß der oben dargestellten Formel eine Folge, die monoton abnimmt.

Im zweiten Fall ist Ende b auf x 0 = a fixiert. Die bei jedem Iterationsschritt erhaltenen x-Werte bilden eine Folge, die monoton ansteigt.

Somit können wir Folgendes feststellen:

• Bei der Akkordmethode ist das feste Ende des Segments dasjenige, bei dem die Vorzeichen der Funktion und ihrer zweiten Ableitung nicht zusammenfallen;
• Näherungen für die Wurzel x - x m - liegen von dieser auf der Seite, auf der f(x) ein Vorzeichen hat, das nicht mit dem Vorzeichen von f"" (x) übereinstimmt.

Iterationen können fortgesetzt werden, bis die Bedingungen für die Nähe der Wurzeln bei diesem und dem vorherigen Iterationsschritt modulo abs(x m - x m - 1) erfüllt sind.< e.

Modifizierte Methode

Die kombinierte Methode von Akkorden und Tangenten ermöglicht es Ihnen, die Wurzeln einer Gleichung zu ermitteln, indem Sie sie von verschiedenen Seiten angehen. Dieser Wert, bei dem der Graph f(x) OX schneidet, ermöglicht es Ihnen, die Lösung viel schneller zu verfeinern, als jede der Methoden einzeln zu verwenden.

Angenommen, wir müssen die Wurzeln von f(x)=0 finden, falls sie auf existieren. Sie können jede der oben beschriebenen Methoden anwenden. Es ist jedoch besser, eine Kombination davon auszuprobieren, wodurch die Genauigkeit der Wurzel deutlich verbessert wird.

Wir betrachten den Fall mit einer anfänglichen Näherung, die der Bedingung entspricht, dass die erste und zweite Ableitung an einem bestimmten Punkt x unterschiedliche Vorzeichen haben.

Unter solchen Bedingungen ermöglicht die Lösung nichtlinearer Gleichungen mit der Tangentenmethode, eine Wurzel mit einem Überschuss zu finden, wenn x 0 =b, und die Methode, die Akkorde mit einem festen Ende b verwendet, führt zur Suche einer ungefähren Wurzel mit einem Defizit.

Verwendete Formeln:

Nun muss im Intervall die benötigte Wurzel x gesucht werden. Im nächsten Schritt müssen Sie die kombinierte Methode auf dieses Segment anwenden. Wenn wir auf diese Weise vorgehen, erhalten wir Formeln der Form:

Wenn die erste und zweite Ableitung unterschiedliche Vorzeichen haben, erhalten wir bei ähnlicher Argumentation zur Klärung der Wurzel die folgenden wiederkehrenden Formeln:

Die verwendete Bedingung ist die geschätzte Ungleichheit| b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Wenn die obige Ungleichung wahr ist, nehmen Sie als Wurzel der nichtlinearen Gleichung für ein bestimmtes Segment den Punkt, der genau in der Mitte zwischen den in einem bestimmten Iterationsschritt gefundenen Lösungen liegt.

Die kombinierte Methode lässt sich problemlos in der TURBO PASCAL-Umgebung implementieren. Wenn Sie wirklich möchten, können Sie versuchen, alle Berechnungen mit der tabellarischen Methode in Excel durchzuführen.

Im letzteren Fall werden mehrere Spalten für die Lösung des Problems mithilfe von Akkorden und separat für die von Isaac Newton vorgeschlagene Methode zugewiesen.

In diesem Fall wird jede Zeile verwendet, um Berechnungen in einem bestimmten Iterationsschritt mit zwei Methoden aufzuzeichnen. Anschließend wird auf der linken Seite des Lösungsbereichs auf der aktiven Arbeitsseite eine Spalte hervorgehoben, in der das Ergebnis der Berechnung des Moduls der Wertedifferenz des nächsten Iterationsschritts für jede der Methoden eingetragen wird. Mit einem anderen können die Ergebnisse von Berechnungen eingegeben werden, die auf der Formel zur Berechnung des logischen Konstrukts „IF“ basieren und dazu dienen, herauszufinden, ob eine Bedingung wahr ist oder nicht.

Jetzt wissen Sie, wie man komplexe Gleichungen löst. Die Tangentenmethode ist, wie Sie bereits gesehen haben, sowohl in Pascal als auch in Excel recht einfach implementiert. Daher können Sie die Wurzeln einer Gleichung, die sich nur schwer oder gar nicht lösen lässt, jederzeit mithilfe von Formeln ermitteln.

„Im Gegensatz zur Sehnenmethode wird bei der Tangentenmethode anstelle einer Sehne bei jedem Schritt eine Tangente an die Kurve gezeichnet y=F(x) bei x=x N und der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse wird gesucht:

Die Formel für die (n+1)-Näherung lautet:

Wenn F(a)*F"(a)>0, X 0 =a, sonst X 0 =b.

Der iterative Prozess wird fortgesetzt, bis Folgendes festgestellt wird:

Beispiel:

Wir erhalten eine Aufgabe folgender Art: Klären Sie die Wurzeln der Gleichung cos(2x)+x-5=0 unter Verwendung der Tangentenmethode mit einer Genauigkeit von 0,00001.

Zunächst müssen Sie entscheiden, was x0 ist: entweder a oder b. Dazu müssen Sie Folgendes tun:

Finden Sie die Ableitung erster Ordnung der Funktion f(x)=cos(2x)+x-5. Es wird so aussehen: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Finden Sie die Ableitung zweiter Ordnung der Funktion f(x)=cos(2x)+x-5. Es wird so aussehen: f2(x)=-4cos(2x).

Das Ergebnis ist folgendes:

Da x0=b ist, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

Füllen Sie die Zellen wie folgt aus (achten Sie beim Ausfüllen auf die Namen und Nummern der Spalten – diese sollten mit der Abbildung übereinstimmen):

Geben Sie in Zelle A6 die Formel =D5 ein.

Wählen Sie den Zellbereich B5:E5 aus und verwenden Sie die Drag-and-Drop-Methode, um den Zellbereich B6:E6 zu füllen.

Wählen Sie den Zellbereich A6:E5 aus und füllen Sie per Drag-and-Drop den Bereich der unteren Zellen aus, bis Sie ein Ergebnis in einer der Zellen in Spalte E (Zellbereich A6:E9) erhalten.

Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

4. Kombinierte Methode von Akkorden und Tangenten

Um den genauesten Fehler zu erzielen, ist es notwendig, gleichzeitig die Akkord- und Tangensmethode zu verwenden. „Mithilfe der Akkordformel findet man X n+1, und nach der Tangensformel - z n+1. Der Prozess der Suche nach einer ungefähren Wurzel stoppt, sobald:

Nehmen Sie als ungefähre Wurzel den Wert gleich (11) :"[2 ]

Möglicherweise müssen die Wurzeln der Gleichung cos(2x)+x-5=0 mit einer kombinierten Methode mit einer Genauigkeit von 0,00001 geklärt werden.

Um dieses Problem mit Excel zu lösen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

Da bei der kombinierten Methode die Verwendung einer der Akkordformeln und der Tangensformel erforderlich ist, sollte zur Vereinfachung folgende Notation eingeführt werden:

Bezeichnen Sie für Akkordformeln:

Die Variable c übernimmt je nach Situation die Rolle von a oder b.

Die übrigen Notationen ähneln denen in den Akkordformeln, berücksichtigen jedoch nur die oben eingeführten Variablen.

Bezeichnen Sie für die Tangensformel:

Die übrigen Notationen ähneln denen der Tangensformel, berücksichtigen jedoch nur die oben eingeführten Variablen.

Finden Sie die Ableitung erster Ordnung der Funktion f(x)=cos(2x)+x-5. Es wird so aussehen: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Finden Sie die Ableitung zweiter Ordnung der Funktion f(x)=cos(2x)+x-5. Es wird so aussehen: f2(x)=-4cos(2x).

Füllen Sie die Zellen wie folgt aus (achten Sie beim Ausfüllen auf die Namen und Nummern der Spalten – diese sollten mit der Abbildung übereinstimmen):

Das Ergebnis ist folgendes:

Geben Sie in Zelle G1 e und in G2 die Zahl 0,00001 ein.

Geben Sie in Zelle H1 c ein und in H2 die Zahl 6, da c=b (siehe Zelle F2).

Geben Sie in Zelle I1 f(c) und in I2 die Formel =COS(2*H2)+H2-5 ein.

Füllen Sie die Zellen der Reihe nach wie folgt aus (achten Sie beim Ausfüllen auf die Namen und Nummern der Spalten – sie sollten mit denen in der Abbildung übereinstimmen):

Geben Sie in Zelle A6 die Formel =E5 ein.

Geben Sie in Zelle F6 die Formel =I5 ein.

Wählen Sie den Zellbereich B5:E5 aus und verwenden Sie die Markierung zum automatischen Ausfüllen, um den Zellbereich B6:E6 zu füllen.

Wählen Sie den Zellbereich G5:K5 aus und verwenden Sie die Markierung für automatisches Ausfüllen, um den Zellbereich G6:K6 zu füllen.

Wählen Sie den Zellbereich A6:K6 aus und füllen Sie alle unteren Zellen per Drag-and-Drop aus, bis Sie die Antwort in einer der Zellen der Spalte K (Zellbereich A6:K9) erhalten.

Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

Antwort: Die Wurzel der Gleichung cos(2x)+x-5=0 ist 5,32976.

Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation

BUNDESHAUSHALTSPLAN

BILDUNGSEINRICHTUNG

Höhere Berufsausbildung

„STAAT SAMARA

ARCHITEKTUR- UND BAUUNIVERSITÄT“

Fachbereich Angewandte Mathematik und Informatik

ExcelUndMathcad

METHODISCHE ANWEISUNGEN

Laborarbeiten durchzuführen

in der Disziplin „Computational Mathematics“

Lösen nichtlinearer Gleichungen inExcel undMathcad: Methode. Dekret. / Komp. , - Samara: SGASU, 20p.

Die Richtlinien wurden in Anlehnung an den Landesbildungsstandard für das Studium der Disziplin „Informatische Mathematik“ entwickelt.

Berücksichtigt wird die Implementierung numerischer Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme in Excel und MathCad. Es stehen Möglichkeiten für Aufgaben zur individuellen Bearbeitung und Fragen zur Selbstkontrolle und zum Testen zur Verfügung.

Gedacht für Studierende der Fachrichtung 230201 – „Informationssysteme und Technologien“ aller Bildungsformen.

Gutachter Ph.D. N.

Ó, Zusammenstellung, 2012

ã SGASU, 2012

1.2 Wurzeltrennung
1.5 Akkordmethode
1.6 Newton-Methode (Tangenten)
1.7 Kombinierte Methode
1.8 Iterationsmethode
2.2 Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen mit der Newton-Methode
3 Laboraufgaben
Labor Nr. 1. Wurzeltrennung und Standardwerkzeuge zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
Labor Nr. 2. Vergleich von Methoden zur Verfeinerung der Wurzeln einer nichtlinearen Gleichung
Labor Nr. 3. Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen
Labor Nr. 4. Programmiermethoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen und Systeme
4 Fragen und Tests zur Selbstkontrolle

1 Lösen einer nichtlinearen Gleichung

1.1 Allgemeine Informationen zum Lösen einer nichtlinearen Gleichung

In der Regel eine nichtlineare Gleichung allgemeiner Form f(x)=0 analytisch nicht lösbar. Für praktische Probleme reicht es aus, den Näherungswert zu ermitteln X, in gewisser Weise nahe an der exakten Lösung der Gleichung xtochn.

In den meisten Fällen umfasst die Suche nach einer Näherungslösung zwei Schritte. An erste Stufe separate Wurzeln, d. h. sie finden Segmente, in denen es genau eine Wurzel gibt. An zweite Etage klären Wurzel auf einem dieser Segmente, d. h. seinen Wert mit der erforderlichen Genauigkeit ermitteln.

Die erreichte Genauigkeit kann entweder „funktionell“ (am gefundenen Punkt) beurteilt werden X, die Funktion liegt hinreichend nahe bei 0, d. h. die Bedingung | F(x)|≤eF, Wo eF erforderliche Genauigkeit entlang der Ordinatenachse) oder „durch Argument“ (es wurde ein ausreichend kleines Segment gefunden). [ A,B], in dem sich eine Wurzel befindet, d.h. | B-a|≤eX, Wo eX erforderliche Genauigkeit entlang der x-Achse).

1.2 Wurzeltrennung

Die Wurzeltrennung kann durch eine Kombination erfolgen Grafik Und analytisch Funktionsstudien. Eine solche Studie basiert auf dem Satz von Weierstrass, wonach für eine kontinuierliche Linie in einem Intervall gilt [ A,B] Funktionen f(x) und eine beliebige Zahl j, Erfüllung der Bedingung F(a)≤y≤F(B), es gibt einen Punkt in diesem Segment X, in der die Funktion gleich ist j. Daher reicht es für eine stetige Funktion aus, ein Segment zu finden, an dessen Enden die Funktion unterschiedliche Vorzeichen hat, und Sie können sicher sein, dass auf diesem Segment eine Wurzel der Gleichung liegt f(x)=0.

Für eine Reihe von Verfeinerungsmethoden ist es wünschenswert, dass das im ersten Schritt gefundene Segment nur eine Wurzel der Gleichung enthält. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Funktion auf dem Segment monoton ist. Die Monotonie kann entweder durch den Graphen der Funktion oder durch das Vorzeichen der Ableitung überprüft werden.

Beispiel Finden Sie bis zu ganze Zahlen Alle Wurzeln der nichtlinearen Gleichung y(x)=x3 - 10x+7=0 a) durch die Erstellung einer Tabelle und b) durch die Erstellung eines Diagramms. Finden Sie die Wurzel der Gleichung im ausgewählten Segment mithilfe der Optionen „Parameter auswählen“ und „Nach einer Lösung suchen“.

Lösung Lassen Sie uns in Excel eine Tabelle mit den Argumenten und Werten der Funktion erstellen und diese zum Erstellen verwenden Streudiagramm . Abbildung 1 zeigt eine Momentaufnahme der Lösung.

Die Grafik zeigt, dass die Gleichung drei Wurzeln hat, die zu den Segmenten [-4, -3] und gehören. Diese Segmente können identifiziert werden, indem man den Vorzeichenwechsel der Funktion in der Tabelle beobachtet. Anhand des gezeichneten Diagramms können wir schließen, dass die Funktion auf den angegebenen Segmenten liegt F(X) ist monoton und enthält daher jeweils nur eine Wurzel.

Die gleiche Analyse kann in Mathcad durchgeführt werden. Geben Sie dazu einfach die Definition der Funktion ein F(X) Definieren Sie mithilfe des Zuweisungsoperators (:=) und natürlicher konventioneller Notationen für mathematische Operationen und Standardfunktionen eine Schleife, um beispielsweise das Argument zu ändern, und zeigen Sie dann eine Tabelle mit Funktionswerten an (befindet sich in einer Zeile mit Befehlen). X= F(X)= ) und Zeitplan. Der Zyklus kann beispielsweise mit dem Befehl angegeben werden X:=-5,-4.5…5 . Ein Zyklusschritt wird durch die Angabe des Anfangs- und Folgewerts der Variablen gebildet und vor dem Endwert der Variablen wird ein Semikolon platziert, das auf dem Bildschirm visuell als Auslassungspunkte angezeigt wird.

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Abbildung 1 – Tabelle und Grafik zum Trennen der Wurzeln einer nichtlinearen Gleichung

1.3 Wurzeln mit Standard-Excel- und Mathcad-Tools verfeinern

Bei allen Methoden zur Verfeinerung von Wurzeln ist es notwendig, eine anfängliche Näherung anzugeben, die dann verfeinert wird. Wenn die Gleichung mehrere Wurzeln hat, wird je nach gewählter Anfangsnäherung eine davon gefunden. Wenn die anfängliche Näherung schlecht gewählt ist, kann die Lösung möglicherweise nicht gefunden werden. Wenn als Ergebnis der ersten Berechnungsstufe bereits ein Segment ausgewählt wurde, das eine einzelne Wurzel der Gleichung enthält, kann jeder Punkt dieses Segments als erste Näherung verwendet werden.

Um die Werte der Wurzeln zu verdeutlichen, können Sie in Excel die Optionen „Parameterauswahl“ und „Lösung suchen“ verwenden. Ein Beispiel für den Lösungsentwurf ist in den Abbildungen 2 und 3 dargestellt.

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Abbildung 3 – Ergebnisse der Verwendung von Gleichungslösungswerkzeugen inExcel

In Mathcad können Sie die Funktion verwenden, um die Wurzeln einer Gleichung zu klären Wurzel(….) oder Lösungsblock. Ein Beispiel für die Verwendung der Funktion root(...) ist in Abbildung 4 und der Lösungsblock in Abbildung 5 dargestellt. Bitte beachten Sie, dass im Lösungsblock (nach dem Blockheader) Gegeben) zwischen der linken und rechten Seite der Gleichung sein sollte fettes Gleichheitszeichen(Identitäten), die durch Auswahl aus der entsprechenden Werkzeugpalette oder durch gleichzeitiges Drücken der Taste abgerufen werden können Strg Und = .

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Abbildung 5 – Lösen einer Gleichung mit dem Lösungsblock inMathcad

Wie Sie sehen, findet jedes Standardtool mit einer gewissen Genauigkeit eine Lösung der Gleichung. Diese Genauigkeit hängt von der im Paket verwendeten Methode und in gewissem Maße von den Einstellungen des Pakets ab. Die Genauigkeit des Ergebnisses zu kontrollieren ist hier ziemlich schwierig und oft unmöglich.

Gleichzeitig ist es sehr einfach, eine eigene Tabelle zu erstellen oder ein Programm zu schreiben, das eine der Methoden zur Verfeinerung von Wurzeln implementiert. Hier können Sie vom Benutzer vorgegebene Berechnungsgenauigkeitskriterien verwenden. Gleichzeitig wird ein Verständnis des Berechnungsprozesses erreicht, ohne sich auf Mitrofanushkas Prinzip zu verlassen: „Es gibt einen Taxifahrer, der bringt Sie dorthin.“

Nachfolgend werden einige der gebräuchlichsten Methoden besprochen. Beachten wir den offensichtlichen Punkt: Alle anderen Dinge bleiben gleich diese Methode Effektiver ist die Verfeinerung der Wurzeln, bei der das Ergebnis mit dem gleichen Fehler gefunden wird kleiner Anzahl der Funktionsauswertungen f(x)(Gleichzeitig wird bei gleicher Anzahl an Funktionsberechnungen maximale Genauigkeit erreicht).

1.4 Methode zum Teilen eines Segments in zwei Hälften

Bei dieser Methode wird das Segment bei jedem Schritt in zwei gleiche Teile geteilt. Dann werden die Vorzeichen der Funktion an den Enden jeder der beiden Hälften verglichen (z. B. anhand des Vorzeichens des Produkts der Werte der Funktionen an den Enden), diejenige bestimmt, die die Lösung enthält (die Vorzeichen der Funktion an den Enden müssen unterschiedlich sein) und. Schränken Sie das Segment ein, indem Sie seine Grenze zum gefundenen Punkt verschieben ( A oder B). Die Abbruchbedingung ist die Kleinheit des Segments, das die Wurzel enthält („Genauigkeit in“) X"), oder die Nähe zu 0 des Funktionswerts in der Mitte des Segments („Genauigkeit in y"). Als Lösung der Gleichung gilt die Mitte des im letzten Schritt gefundenen Segments.

Beispiel. Erstellen Sie eine Tabelle, um die Wurzel der Gleichung zu verdeutlichen X3 –10 X+7=0 auf dem Segment [-4, -3] indem man ein Segment in zwei Hälften teilt. Bestimmen Sie, wie viele Schritte mit der Methode der Teilung eines Segments in zwei Hälften ausgeführt werden müssen und welche Genauigkeit in diesem Fall erreicht wird X, Genauigkeit zu erreichen gem j, gleich 0,1; 0,01; 0,001.

Lösung Um dieses Problem zu lösen, können Sie den Excel-Tabellenkalkulationsprozessor verwenden, der es Ihnen ermöglicht, Zeilen automatisch fortzusetzen. Im ersten Schritt tragen wir die Werte des linken und rechten Endes des ausgewählten Anfangssegments in die Tabelle ein und berechnen den Wert der Mitte des Segments Mit=(A+B)/2 und geben Sie dann die Formel zur Berechnung der Funktion an diesem Punkt ein A (F(A)) und strecken (kopieren) Sie es, um es zu berechnen F(C) Und F(B). In der letzten Spalte berechnen wir den Ausdruck ( B-A)/2, charakterisiert den Grad der Genauigkeit der Berechnungen. Alle eingegebenen Formeln können in die zweite Zeile der Tabelle kopiert werden.

Im zweiten Schritt müssen Sie den Suchvorgang nach der Hälfte des Segments automatisieren, die die Wurzel enthält. Verwenden Sie dazu die logische Funktion IF ( Speisekarte: InsertFunctionBoolean). Für den neuen linken Rand des Segments überprüfen wir die Wahrheit der Bedingung F(A)*F(C)>0, wenn es wahr ist, dann nehmen wir die Zahl als neuen Wert des linken Endes des Segments C A, C A. In ähnlicher Weise prüfen wir für die neue rechte Kante des Segments die Wahrheit der Bedingung F(C)* F(B)>0, wenn es wahr ist, dann nehmen wir die Zahl als neuen Wert am rechten Ende des Segments C(da diese Bedingung zeigt, dass die Wurzeln auf dem Segment [ C, B] nein), ansonsten belassen wir den Wert B.

Die zweite Zeile der Tabelle kann für die erforderliche Anzahl nachfolgender Zeilen fortgesetzt (kopiert) werden.

Der iterative Prozess endet, wenn der nächste Wert in der letzten Spalte kleiner als die angegebene Genauigkeit wird. In diesem Fall wird der Wert der Segmentmitte in letzter Näherung als Näherungswert der gewünschten Wurzel der nichtlinearen Gleichung angenommen. Abbildung 6 zeigt eine Momentaufnahme der Lösung. Um einen ähnlichen Prozess in Mathcad zu erstellen, können Sie ein Formular ähnlich dem in Abbildung 7 verwenden. Die Anzahl der Schritte N kann variieren, bis die erforderliche Genauigkeit in der Ergebnistabelle erreicht ist. In diesem Fall wird die Tabelle automatisch verlängert oder verkürzt.

Also eine der drei Wurzeln der nichtlinearen Gleichung X 3 – 10X+ 7=0, gefunden mit einer Genauigkeit von e=0,0001, ist X= - 3,46686. Wie wir sehen, gehört es tatsächlich zum Segment [-4; -3].

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Abbildung 7 – Verfeinerung der Wurzel durch Halbierung des SegmentsMathcad

1.5 Akkordmethode

Bei dieser Methode handelt es sich um eine nichtlineare Funktion f(x) auf dem getrennten Intervall [ a, b] wird durch eine lineare ersetzt – die Akkordgleichung, d. h. eine gerade Linie, die die Randpunkte des Graphen auf einem Segment verbindet. Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Methode ist die Monotonie der Funktion auf dem Anfangssegment, wodurch die Eindeutigkeit der Wurzel auf diesem Segment sichergestellt wird. Die Berechnung mit der Akkordmethode ähnelt der Berechnung mit der Methode, ein Segment in zwei Hälften zu teilen, aber jetzt gibt es bei jedem Schritt einen neuen Punkt X innerhalb des Segments [ A, B] wird mithilfe einer der folgenden Formeln berechnet:

(x) > 0) oder seine rechte Grenze: x0 = b(Wenn f(b) f"(x)>0). Berechnung einer neuen Näherung im nächsten Schritt ich+1 hergestellt nach der Formel:

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Abbildung 8 – Verfeinerung der Wurzel mit der Tangentenmethode in Excel

Berechnungen in Mathcad werden auf ähnliche Weise durchgeführt. Eine wesentliche Erleichterung ist in diesem Fall das Vorhandensein eines Operators in diesem Paket, der automatisch die Ableitung einer Funktion berechnet.

Der zeitaufwändigste Teil der Berechnungen mit der Newton-Methode ist die Berechnung der Ableitung bei jedem Schritt.

Kann unter bestimmten Bedingungen verwendet werden vereinfachte Newton-Methode, bei dem die Ableitung nur einmal berechnet wird – am Anfangspunkt. In diesem Fall wird eine modifizierte Formel verwendet

.

Natürlich erfordert die vereinfachte Methode in der Regel mehr Schritte.

Wenn die Berechnung der Ableitung mit ernsthaften Schwierigkeiten verbunden ist (z. B. wenn die Funktion nicht durch einen analytischen Ausdruck, sondern durch ein Programm angegeben wird, das ihre Werte berechnet), wird eine modifizierte Newton-Methode namens - verwendet. Sekantenmethode. Hier wird die Ableitung näherungsweise aus den Werten der Funktion an zwei aufeinanderfolgenden Punkten berechnet, also die Formel verwendet

.

Bei der Sekantenmethode ist es notwendig, nicht einen, sondern zwei Startpunkte anzugeben – X0 Und X1 . Punkt x1 normalerweise durch eine Verschiebung angegeben x0 zur anderen Grenze des Segments um einen kleinen Betrag, beispielsweise um 0,01.

1.7 Kombinierte Methode

Es kann gezeigt werden, dass die Funktion auf dem Anfangssegment liegt f(x) Bleiben die Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung unverändert, nähern sich die Akkord- und Newton-Methode dem Grundton aus unterschiedlichen Richtungen. Die kombinierte Methode nutzt bei jedem Schritt beide Algorithmen gleichzeitig, um die Effizienz zu verbessern. In diesem Fall wird das Intervall, das die Wurzel enthält, auf beiden Seiten reduziert, was eine weitere Bedingung für das Beenden der Suche bestimmt. Die Suche kann gestoppt werden, sobald in der Mitte des im nächsten Schritt erhaltenen Intervalls der Wert der Funktion in seinem Absolutwert kleiner wird als der voreingestellte Fehler eF.

Wenn gemäß der oben formulierten Regel das Newtonsche Verfahren auf den rechten Rand des Segments angewendet wird, werden für die Berechnungen die Formeln verwendet:

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Wendet man das Newtonsche Verfahren auf den linken Rand an, vertauschen sich die Bezeichnungen in den bisherigen Formeln A Und B.

1.8 Iterationsmethode

Um diese Methode anzuwenden, muss die ursprüngliche Gleichung verwendet werden f(x)=0 in die Form umwandeln: X=j(X). Wählen Sie dann den Anfangswert aus x0 und setze es in die linke Seite der Gleichung ein und erhalte im Allgemeinen: X1 = j(x0)¹ x0¹ j(x1), weil das x0 willkürlich genommen und ist nicht die Wurzel der Gleichung. Erhaltener Wert x1 als eine weitere Annäherung an die Wurzel betrachtet. Er wird erneut auf der rechten Seite der Gleichung eingesetzt und man erhält den folgenden Wert x2=j(x1)). Die Berechnung läuft nach der Formel weiter xi+1=j(xi). Die resultierende Sequenz ist: x0, x1, x2, x3 x4,... unter bestimmten Bedingungen zur Wurzel konvergieren xtochn.

Es kann gezeigt werden, dass der iterative Prozess unter der Bedingung konvergiert
|j’ (X) | < 1 на [A, B].

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Gleichung umzuwandeln f(x)= 0 zum Ansehen j(X) = X, und in einem bestimmten Fall werden einige von ihnen zu einem konvergenten und andere zu einem divergenten Berechnungsprozess führen.

Eine Möglichkeit besteht darin, die Formel zu verwenden

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Wo M= max | j’ (X)| An [ A, B].

2 Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen

2.1 Allgemeine Informationen zum Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen

System N nichtlineare Gleichungen mit N Unbekannt x1, x2, ..., xn geschrieben in der Form:

Wo F1, F2,…, Fn– Funktionen unabhängiger Variablen, einschließlich nichtlinearer.

Wie bei linearen Gleichungssystemen ist die Lösung des Systems der folgende Vektor X*, das bei der Substitution gleichzeitig alle Gleichungen des Systems in Identitäten umwandelt.

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Anfangswerte X0 Und j0 werden grafisch ermittelt. Um jede nachfolgende Näherung zu finden (xi+1 , yi+1 ) Verwenden Sie einen Vektor von Funktionswerten und eine Matrix von Werten ihrer ersten Ableitungen, die am vorherigen Punkt berechnet wurden (xi, yi) .

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Um neue Näherungen in einem Schritt zu berechnen i+1 Es wird eine Matrixformel verwendet

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Die obigen Formeln lassen sich besonders einfach in Mathcad schreiben, wo es Operatoren zur Berechnung von Ableitungen und Operationen mit Matrizen gibt. Bei richtiger Anwendung der Matrixoperationen lassen sich diese Formeln jedoch ganz einfach in Excel schreiben. Allerdings müssen Sie sich hier vorab Formeln zur Berechnung von Derivaten besorgen. Mathcad kann auch zur analytischen Berechnung von Ableitungen verwendet werden.

2.3 Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen mit Iterationsmethoden

Um diese Methoden umzusetzen, muss das ursprüngliche Gleichungssystem explizit durch algebraische Transformationen für jede Variable in Bezug auf die anderen ausgedrückt werden. Für den Fall von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hat das neue System die Form

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Wenn eine der Lösungen des Systems und die Anfangswerte X0 Und j0 liegen in der Gegend D, gegeben durch die Ungleichungen: A ≤ X ≤ B, C ≤ j ≤ D, dann konvergiert die Berechnung mit der einfachen Iterationsmethode, wenn sie in der Region durchgeführt wird D Verhältnisse:

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IN Seidel-Iterationsmethode Für jede Berechnung werden die genauesten Werte jeder bereits gefundenen Variablen verwendet. Für den Fall zweier betrachteter Variablen führt diese Logik zu den Formeln

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Werkzeug (optional)

Erste Annäherung

WurzelX

f(x)

3. Sortieren Sie die erhaltenen Ergebnisse nach der Genauigkeit der Lösung.

N Beispiel 2.3. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung

X- tg (x)= 0. (2.18)

Die erste Stufe der Lösung (Stufe Wurzeltrennung) wurde in Abschnitt 2.1 implementiert (Beispiel 2.2). Die erforderliche Wurzel der Gleichung liegt auf dem Segment XÎ, wie in der Grafik (Abb. 2.9) zu sehen ist.

Abb.2.9. Phase der Wurzeltrennung

Phase der Wurzelverfeinerung Wir setzen es mit Excel um. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels demonstrieren Hälften-Methode . Berechnungsschemata für Tangentenmethoden Und Akkorde nicht viel anders als im Diagramm unten.

Reihenfolge:

1. Erstellen Sie eine Tabelle wie in Abb. 2.10 gezeigt und geben Sie die Werte ein A, B, ε jeweils in den Zellen B3, B4, B5.

2. Füllen Sie die erste Zeile der Tabelle aus:

D4=0 Iterationsnummer;

E4=B3, F4=B4, zur Berechnung Fa): G4=E4-TAN(E4),

Ebenso geben wir in den Zellen H4, I4, J4 jeweils zu berechnende Formeln ein F(B), x n=(a+b)/2 und F(x n);

In Zelle K4 berechnen wir die Länge des Segments [ A, B]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, um die Iterationszahl zu bilden.

4. In die Zellen E5, F5 geben wir Formeln zur Bildung der Enden verschachtelter Segmente gemäß dem in Abschnitt 2.2.1 beschriebenen Algorithmus ein:

E5=WENN(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Wählen Sie die Zellen G4:K4 aus und kopieren Sie sie nach unten eine Linie.

6. Wählen Sie die Zellen D5:K5 aus und kopieren Sie sie bis zum Ende der Tabelle.

Abb.2.10. Schema zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung mit der Halbierungsmethode

Wir teilen die Segmente weiter, bis deren Länge kleiner als das gegebene ε wird, d. h. bis die Bedingung erfüllt ist.

Um das Ende des iterativen Prozesses zu verdeutlichen, verwenden wir Bedingte Formatierung

Bedingte Formatierung - Hierbei handelt es sich um die Formatierung ausgewählter Zellen auf der Grundlage eines bestimmten Kriteriums, die zur Einfärbung von Zellen führt, deren Inhalt (in unserem Fall) eine bestimmte Bedingung erfüllt.

Führen Sie dazu die folgenden Schritte aus:

Wählen wir die Zellen der letzten Spalte (K) des Berechnungsschemas (Abb. 2.10) aus, in denen das Kriterium für die Beendigung des iterativen Prozesses festgelegt wird;

Lassen Sie uns den Befehl ausführen

Home\Stile\ Bedingte Formatierung;

Abb.2.11. Fenster bei Wortformatierung

Wählen Sie im erscheinenden Fenster (Abb. 2.11) die Zeile aus:

Regeln für die Auswahl von Zellen\Less;

Auf der linken Seite des angezeigten Dialogfelds Weniger (Abb. 2.12) Wir legen den Wert fest, der als Kriterium verwendet wird (in unserem Beispiel ist dies die Adresse der Zelle B5, in der sich der Wert befindet). ε ).

Abb.2.12. Dialogfenster Weniger

Auf der rechten Seite des Fensters Weniger Wählen Sie die Farbe aus, mit der die Zellen gefärbt werden sollen, die die angegebene Bedingung erfüllen. und drücken Sie die Taste OK.

Aufgrund dieser Formatierung werden die Zellen in Spalte K , deren Werte weniger als 0,1, getönt, Abb. 2.10.

Also für einen Näherungswert der Wurzel der Gleichung X- tg (x)= 0 mit einer Genauigkeit von e=0,1 wird die 3. Iteration akzeptiert, d.h. x * "4.46875. Für e=0,01 - x * » 4,49609(6. Iteration).

Lösen nichtlinearer Gleichungen mit dem Add-In „Parameterauswahl“.

Das Lösen nichtlinearer Gleichungen kann in der MS-Anwendung implementiert werden Excel verwenden Add-ons Parameterauswahl, wo ein iterativer Prozess implementiert wird.

Finden wir die Wurzeln der oben diskutierten Gleichung (2.18).

Als Nullnäherung der Lösung der Gleichung können wir, wie aus Abb. 2.13 ersichtlich, annehmen X 0 =4 oder X 0 =4,5.

Sequenzierung

1. Bereiten Sie eine Tabelle vor, wie in Abb. 2.13 gezeigt. Zur Zelle A2 Geben wir einen Wert ein x 0 (Zum Beispiel X 0 =4) aus der ODZ-Funktion y=f(x). Dies ist die erste Näherung für den von der Anwendung implementierten iterativen Prozess Auswahl des Parameters.

2. Zelle UM 2 Ist variable Zelle während das Add-on läuft. Geben wir diesen Wert ein x 0 , und in der Zelle C3 Berechnen wir den Wert der Funktion f(x n) für diese Näherung.

3. Wählen Sie einen Befehl:

Daten\Arbeiten mit Daten\Was-wäre-wenn-Analyse\Parameterauswahl.

4. Nehmen Sie im Fenster „Parameterauswahl“ die Einstellungen wie in Abb. 2.13 gezeigt vor und klicken Sie auf OK.

Abb.2.13. Lösen einer nichtlinearen Gleichung mit dem Add-In „Parameterauswahl“.

Wenn alles richtig gemacht wurde, erhält man in Zelle B2 (Abb. 2.13) einen Näherungswert der Wurzel unserer Gleichung.

Führen Sie alle diese Operationen beispielsweise erneut mit einem anderen anfänglichen Schätzwert aus x 0 =4,5.

Kontrollfragen

1. Welche Gleichung heißt nichtlinear? Was ist die Lösung einer nichtlinearen Gleichung?

2. Geometrische Interpretation der Lösung einer nichtlinearen Gleichung.

3. Methoden zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung (direkt und iterativ), was ist der Unterschied.

4. Zwei Stufen der numerischen Lösung einer nichtlinearen Gleichung. Welche Aufgaben werden in der ersten und zweiten Phase gestellt?

5. Die erste Stufe der Lösung einer nichtlinearen Gleichung. Wie die Nullnäherung (Nulliteration) gewählt wird.

6. Konstruktion einer iterativen Sequenz. Das Konzept der Konvergenz einer Iterationssequenz. Ermitteln des Näherungswerts der Wurzel einer nichtlinearen Gleichung mit einer Genauigkeit von ε.

7. Geometrische Interpretation numerischer Methoden zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung: Halbdivision, Newton (Tangenten), Akkorde.

Kapitel 3.