Axiomatische Definition der Addition natürlicher Zahlen. Additionsgesetze natürlicher Zahlen. Addition natürlicher Zahlen: Regeln, Beispiele und Lösungen

Definition. Die Addition natürlicher Zahlen ist eine algebraische Operation mit folgenden Eigenschaften: „1) (a Î N)a + 1 = a“, 2) „(a, b Î N)a + b“ =(a +b) ". Zahl a + b heißt die Summe der Zahlen a und b, und die Zahlen a und b selbst sind Terme. Bekanntlich ist auch die Summe zweier natürlicher Zahlen eine natürliche Zahl, und zwar für alle natürlichen Zahlen a und b, die Summe a + b ist eindeutig, existiert und ist einzigartig. Die Besonderheit der Definition besteht darin, dass nicht im Voraus bekannt ist, ob es eine algebraische Operation gibt, die die angegebenen Eigenschaften hat, und wenn sie existiert, ist sie daher einzigartig In der axiomatischen Konstruktion der Theorie der natürlichen Zahlen wird die folgende Aussage bewiesen: Die Addition natürlicher Zahlen existiert und ist einzigartig? Dieser Satz besteht aus zwei Aussagen (zwei Sätzen): Die Addition natürlicher Zahlen ist einzigartig Addition wird verwendet, um Berechnungen zu vereinfachen. Es gibt zwei Additionsgesetze für natürliche Zahlen: kommutative und kombinatorische. Regel: Durch eine Ortsveränderung der Terme ändert sich die Summe nicht (kommutatives Additionsgesetz). Zum Beispiel: 37 + 42 = 42 + 37 = 79. Im Allgemeinen gilt: a + b = b + a. Regel. Um der Summe zweier Terme einen dritten Term hinzuzufügen, können Sie die Summe des zweiten und dritten Termes zum ersten Term addieren (kombinatives Additionsgesetz). Zum Beispiel: (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13). In allgemeiner Form: (a + b) + c = a + (b + c). In Beispielen werden oft beide Additionsgesetze gleichzeitig für Berechnungen verwendet, zum Beispiel: 1.300 + 400 + 700 + 600 = (1.300 + 700) + (400 + 600) = 2.000 + 1.000 = 3.000.

Axiomatische Definition der Multiplikation natürlicher Zahlen. Satz über seine Existenz und Einzigartigkeit mit Beweis. Multiplikationstabelle.

Die Multiplikation natürlicher Zahlen ist eine algebraische Operation, die auf dem Plural N natürlicher Zahlen definiert ist und jedem Paar (a, b) eine Zahl a * b zuordnet, die die Eigenschaften (Axiome) erfüllt: 1. (∀a є N)a∙1 = ein ; 2. (∀ a,b є N) a∙b" = a∙b + a. Die Zahl a∙b heißt das Produkt der Zahlen a und b, und die Zahlen a und b selbst sind Faktoren. Satz 1. Multiplikation Es gibt eine Anzahl natürlicher Zahlen, und diese ist eindeutig. Mithilfe der Definition der Multiplikationsoperation erstellen wir eine Tabelle zur Multiplikation einstelliger Zahlen: a) 3×1=3; usw. 1); b)1x2=1x1'=1x1+1= 1+1=2; 2x2=2x1'= 2x1+1= 2+1=3; =3×1'= 3×1+1= 3 +1=4 usw. (basierend auf Eigenschaft 2). (∀a,b,c є N)(a+b)∙ c = a∙c + b∙c und b willkürlich gewählt werden, und c nehme unterschiedliche natürliche Werte an, und zwar nur diejenigen natürlichen Zahlen, für die die Gleichheit (a + b) gilt Wir zeigen, dass für c=1 die Gleichheit (a + b)∙1 = a∙1 + b∙1 wahr ist das Verteilungsgesetz für eine willkürlich gewählte Zahl c erfüllt sein, d. h. die Gleichheit (a + b)∙c = a∙c + b∙c ist wahr. Basierend auf der Annahme beweisen wir die Gültigkeit der Gleichheit: (a + b ) ∙c" = a∙c" + b∙c" für die Zahl c". Betrachten wir die linke Seite der Gleichheit und zeigen, dass sie gleich der rechten ist: (a + b)∙c" = (a + b)∙c + (a + b)=(a∙c+b∙c) + (a+b) = (a∙c+a)+(b∙c+b)= a∙c'+b∙c'. Diese Gleichheit (a + b)∙c = a∙c + b∙c gilt für jede natürliche Zahl c, und da die Zahlen a und b willkürlich gewählt wurden, gilt diese Gleichheit für alle a und b. Das linksverteilende Gesetz der Multiplikation wird auf ähnliche Weise bewiesen: (∀а,b,с є N)а ∙(b+с)= а∙ b+а∙с. Satz 3. (∀ а,b,с є N)(а∙b) ∙с= a∙(b ∙с).-assoziativer Satz 4. (∀a,b є N) a ∙b = b∙a.- kommunikativ. Die Multiplikationsoperation erfüllt zwei Gesetze: ab = bà (kommutatives Gesetz der Multiplikation), a(bс) = (аb)с (assoziatives Gesetz). der Multiplikation) Es gibt auch ein Gesetz, das Addition und Multiplikation verbindet: a). Ihr Produkt wird verwendet, um die Multiplikation zu lehren.

In dieser Lektion lernen Sie die Addition natürlicher Zahlen und die Gesetze kennen, die sie regeln. Finden Sie heraus, dass es mit diesen Gesetzen viel bequemer ist, Zahlen zu addieren. Und lösen Sie auch einige Beispiele.

BAN + KA = BANK

Aber manchmal machen sie es auch umgekehrt: KA + BAN = BOAR

Lena und Vanya gießen Wasser in einen Eimer. Lena hat ein Zwei-Liter-Glas Wasser und Vanya hat ein Drei-Liter-Glas. Ist es wichtig, in welcher Reihenfolge das Wasser ausgeschüttet wird? Nein. In jedem Fall ist die gleiche Wassermenge (5 Liter) vorhanden.

In beiden Beispielen wurden zwei Teile hinzugefügt. Aber im ersten Fall war die Reihenfolge wichtig, und wenn wir die Begriffe neu anordneten, änderte sich das Ergebnis. Im zweiten Fall war die Reihenfolge nicht wichtig; die Bedingungen konnten vertauscht werden.

Berechnung: .

Berechnung: .

Also .

Alle drei Einträge bedeuten die gleiche Menge.

Wenn wir uns an die Beispiele mit Silben und Wasser erinnern, kommen wir zu der Annahme, dass die mathematische Addition dem zweiten Beispiel mit Wasser ähnelt, wo es möglich war, Begriffe zu vertauschen.

Um zu verstehen, was Sie beim Hinzufügen tun können und was nicht, müssen Sie herausfinden, was es ist. Was bedeutet es, 5 und 3 zu addieren? Das bedeutet, dass Sie 5 Einheiten und 3 Einheiten hinzufügen müssen. Man kann sie sich als Stöcke vorstellen (siehe Abb. 1).

Reis. 1. Darstellung der Addition

Das Wort „falten“ bedeutet „auf einen Haufen legen“. Und dann zählen Sie, wie viel es insgesamt gibt. Sie erhalten acht (siehe Abb. 2).

Die Anzahl der Einheiten oder Stäbchen in einem großen Stapel kann immer gezählt werden. Das heißt, zwei beliebige Gruppen von Stöcken können zu einer großen zusammengelegt werden. Und es wird eine bestimmte Anzahl von Stöcken geben.

In der Sprache der Mathematik lässt sich das so sagen: Es können zwei beliebige natürliche Zahlen addiert werden. Das Ergebnis wird eine neue natürliche Zahl sein.

Die Zahlen werden Terme genannt. Eine Zahl heißt Summe der Zahlen und . Der Eintrag selbst wird auch Summe genannt.

Wenn Sie zwei Einheitengruppen zu einer großen zusammenfügen, können Sie dies auf zwei Arten tun:

1) eine zweite zur ersten Gruppe hinzufügen,

2) Addiere das erste zum zweiten.

Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie es tun. Nehmen Sie zunächst fünf Einheiten und addieren Sie drei dazu oder umgekehrt. Das heißt, wir haben einfach mehrere Elemente innerhalb eines großen Stapels ausgetauscht. An ihrer Zahl wird sich dadurch jedoch nichts ändern. Das Ergebnis wird immer das gleiche sein. Es wird immer die gleiche Anzahl an Einheiten und Stäbchen in einem gemeinsamen Stapel geben. In diesem Fall acht.

In der Sprache der Mathematik lässt sich das so sagen: Eine Neuordnung der Terme verändert die Summe nicht.

Also , weil beide Summen gleich 8 sind.

Dieses Gesetz funktioniert auch mit großen Zahlen: . Diese beiden Beträge sind einander gleich. Um das zu verstehen, muss man nicht zählen. Wir wissen, dass eine Neuordnung der Terme die Summe nicht verändert.

Wir haben jetzt drei Zahlen (drei Gruppen von Einheiten) und müssen sie addieren. Das heißt, legen Sie sie auf einen Stapel. Es gibt zwei Möglichkeiten:

1) füge zum ersten zuerst das zweite, dann das dritte hinzu,

2) Fügen Sie dem ersten die bereits im Voraus gefalteten zweiten und dritten hinzu.

Es gibt keinen Unterschied. Wir erhalten immer den gleichen Satz Einheiten, Stöcke. Neue werden nicht aus dem Nichts kommen und bestehende werden nicht verloren gehen.

Wenn wir dies mit Zahlen schreiben:

Wenn Sie drei beliebige Zahlen addieren, können Sie zuerst die ersten beiden Zahlen hinzufügen oder mit den letzten beiden beginnen. Die Reihenfolge der Aktionen beim Hinzufügen mehrerer Begriffe ist nicht wichtig.

Diese Gesetze können Berechnungen erheblich erleichtern.

Wir können in beliebiger Reihenfolge hinzufügen. Wählen wir eine geeignete Reihenfolge. Werfen wir einen Blick auf die neuesten Zahlen. Wenn sie zusammen 10 ergeben, ist es besser, mit ihnen zu beginnen, da sie leichter zu addieren sind. Der zweite Term hat am Ende 6 und der dritte hat 4, sie ergeben zusammen 10, also addieren wir sie zuerst und fügen dann den ersten Term hinzu.

Die erste und die letzte Zahl enden auf fünf, was bedeutet, dass die Summe auf Null endet, das ist praktisch. Aber sie stehen nicht in einer Reihe. Lass uns 39 und 295 tauschen.

Die Idee ist einfach: Wenn wir mehrere Zahlen gleichzeitig hinzufügen müssen, können wir sie nach Belieben neu anordnen und die Aktionen in beliebiger Reihenfolge ausführen.

Es ist praktisch, die erste Zahl mit der letzten und die zweite mit der dritten zu addieren.

Lassen Sie uns mehrere Vasen mit jeweils einer bestimmten Anzahl Äpfel haben. Sie müssen herausfinden, wie viele Äpfel es insgesamt gibt. Es ist nicht nötig, alle Äpfel auf einen Stapel zu legen und zu zählen. Schreiben wir einfach auf Papier, wie viele Äpfel sich in jeder Vase befinden, und addieren diese Zahlen. Zum Beispiel, .

Wenn sich herausstellt, dass eine Vase leer ist, schreiben wir, dass sich darin keine Äpfel befinden, und die Gesamtzahl sieht so aus: .

Eine leere Vase hat keinen Einfluss auf die Gesamtzahl der Äpfel. Das heißt, das Hinzufügen von Null ändert nichts an der ursprünglichen Menge: .

Die Spaltenaddition, oder auch Spaltenaddition genannt, ist eine weit verbreitete Methode zur Addition mehrstelliger natürlicher Zahlen. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass die Addition von zwei oder mehr mehrstelligen Zahlen auf mehrere einfache Operationen zum Addieren einstelliger Zahlen reduziert wird.

Der Artikel beschreibt ausführlich, wie man die Addition von zwei oder mehr mehrstelligen natürlichen Zahlen durchführt. Es werden die Regel zum Hinzufügen von Zahlen zu einer Spalte und Lösungsbeispiele mit einer Analyse aller typischsten Situationen gegeben, die beim Hinzufügen von Zahlen zu einer Spalte auftreten.

Zwei Zahlen in einer Spalte addieren: Was müssen Sie wissen?

Bevor wir direkt zur Operation der Spaltenaddition übergehen, betrachten wir einige wichtige Punkte. Um das Material schnell zu beherrschen, empfiehlt es sich:

1. Kennen und verstehen Sie die Additionstabelle gut. So müssen Sie bei Zwischenrechnungen keine Zeit verschwenden und ständig auf die Additionstabelle zurückgreifen.
2. Denken Sie an die Eigenschaften der Addition natürlicher Zahlen. Insbesondere Eigenschaften im Zusammenhang mit dem Hinzufügen von Nullen. Erinnern wir uns kurz daran. Ist einer der beiden Terme gleich Null, dann ist die Summe gleich dem anderen Term. Die Summe zweier Nullen ist Null.
3. Kennen Sie die Regeln zum Vergleich natürlicher Zahlen.
4. Wissen Sie, was die Ziffer einer natürlichen Zahl ist. Denken Sie daran, dass die Ziffer die Position und den Wert der Ziffer in der Notation der Zahl ist. Die Ziffer bestimmt die Bedeutung einer Ziffer in einer Zahl – Einer, Zehner, Hunderter, Tausender usw.

Beschreiben wir den Algorithmus zum Addieren von Zahlen in einer Spalte anhand eines konkreten Beispiels. Fügen wir die Zahlen 724980032 und 30095 hinzu. Zuerst sollten Sie diese Zahlen gemäß den Regeln zum Schreiben von Additionen in eine Spalte aufschreiben.

Zahlen werden untereinander geschrieben, die Ziffern jeder Ziffer stehen jeweils untereinander. Wir setzen links ein Pluszeichen und zeichnen eine horizontale Linie unter den Zahlen.

Jetzt unterteilen wir den Datensatz gedanklich nach Rang in Spalten.

Jetzt müssen nur noch die einstelligen Zahlen in jeder Spalte addiert werden.

Wir beginnen mit der Spalte ganz rechts (der Einerstelle). Wir addieren die Zahlen und schreiben den Wert der Einheiten unter den Strich. Wenn sich beim Addieren herausstellt, dass der Wert der Zehner von Null abweicht, merken Sie sich diese Zahl.

Addieren Sie die Zahlen in der zweiten Spalte. Zum Ergebnis addieren wir die Zehnerzahl, die wir uns im vorherigen Schritt gemerkt haben.

Wir wiederholen den gesamten Vorgang mit jeder Spalte bis ganz nach links.

Diese Präsentation ist ein vereinfachtes Diagramm des Algorithmus zum Addieren natürlicher Zahlen in einer Spalte. Nachdem wir nun das Wesentliche der Methode verstanden haben, schauen wir uns jeden Schritt im Detail an.

Zuerst addieren wir die Einheiten, also die Zahlen in der rechten Spalte. Wenn wir eine Zahl kleiner als 10 erhalten, schreiben Sie sie in dieselbe Spalte und fahren Sie mit der nächsten fort. Wenn das Ergebnis der Addition größer oder gleich 10 ist, notieren wir unter der Zeile in der ersten Spalte den Wert der Einerstelle und merken uns den Wert der Zehnerstelle. Es stellte sich beispielsweise heraus, dass die Zahl 17 war. Dann schreiben wir die Zahl 7 auf – den Wert der Einheiten, und den Wert der Zehner – 1 – merken wir uns. Normalerweise sagen sie: „Wir schreiben sieben, eins im Kopf.“

In unserem Beispiel erhalten wir durch Addition der Zahlen in der ersten Spalte die Zahl 7.

7 < 10 , поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.

Als nächstes addieren wir die Zahlen in der nächsten Spalte, also an der Zehnerstelle. Wir führen die gleichen Aktionen aus, nur müssen wir die Zahl, die wir im Gedächtnis behalten haben, zum Betrag hinzufügen. Wenn der Betrag weniger als 10 beträgt, schreiben Sie die Zahl einfach unter die zweite Spalte. Wenn das Ergebnis größer oder gleich 10 ist, schreiben wir den Wert der Einheiten dieser Zahl in die zweite Spalte und merken uns die Zahl ab der Zehnerstelle.

In unserem Fall addieren wir die Zahlen 3 und 9, was 3 + 9 = 12 ergibt. Da wir uns im vorherigen Schritt an nichts erinnert haben, müssen wir diesem Ergebnis nichts hinzufügen.

12 > 10, also schreiben wir in der zweiten Spalte die Zahl 2 von der Einerstelle auf und behalten die Zahl 1 von der Zehnerstelle im Hinterkopf. Der Einfachheit halber können Sie diese Zahl in einer anderen Farbe über die nächste Spalte schreiben.

In der dritten Spalte ist die Summe der Ziffern Null (0 + 0 = 0). Zu dieser Summe addieren wir die Zahl, die wir uns zuvor gemerkt haben, und wir erhalten 0 + 1 = 1. aufschreiben:

Wenn wir zur nächsten Spalte übergehen, addieren wir ebenfalls 0 + 0 = 0 und schreiben das Ergebnis als 0, da wir uns im vorherigen Schritt an nichts erinnert haben.

Der nächste Schritt ergibt 8 + 3 = 11. In die Spalte schreiben wir die Zahl 1 aus der Einerstelle. Wir behalten die Zahl 1 aus der Zehnerstelle im Kopf und gehen zur nächsten Spalte über.

Diese Spalte enthält nur eine Nummer 9. Wenn wir die Zahl 1 nicht im Gedächtnis hätten, würden wir einfach die Zahl 9 unter den horizontalen Strich umschreiben. Da wir uns jedoch im vorherigen Schritt an die Zahl 1 erinnert haben, müssen wir 9 + 1 addieren und das Ergebnis aufschreiben.

Deshalb schreiben wir unter die horizontale Linie 0 und behalten wieder eins im Hinterkopf.

Gehen Sie zur nächsten Spalte, addieren Sie 4 und 1 und schreiben Sie das Ergebnis unter die Zeile.

Die nächste Spalte enthält nur die Nummer 2. Im vorherigen Schritt haben wir uns also an nichts erinnert, wir haben diese Zahl einfach unter die Zeile umgeschrieben.

Dasselbe machen wir mit der letzten Spalte, die die Zahl 7 enthält.

Es gibt keine weiteren Spalten und auch nichts im Speicher. Wir können also sagen, dass der Vorgang zum Hinzufügen der Spalten abgeschlossen ist. Die unter der Zeile geschriebene Zahl ist das Ergebnis der Addition der beiden oberen Zahlen.

Um alle möglichen Nuancen zu verstehen, schauen wir uns noch ein paar Beispiele an.

Beispiel 1. Addition natürlicher Zahlen in einer Spalte

Addieren wir zwei natürliche Zahlen: 21 und 36.

Schreiben wir zunächst diese Zahlen gemäß der Regel zum Schreiben von Additionen in eine Spalte:

Ausgehend von der rechten Spalte beginnen wir mit der Addition von Zahlen.

Seit dem 7< 10 , записываем 7 под чертой.

Addieren Sie die Zahlen in der zweiten Spalte.

Seit 5< 10 , а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат

Es sind keine Zahlen mehr im Speicher vorhanden und in der nächsten Spalte ist die Addition abgeschlossen. 21 + 36 = 57

Beispiel 2. Addition natürlicher Zahlen in einer Spalte

Was ist 47 + 38?

7 + 8 = 15, also schreiben wir 5 in die erste Spalte unter der Zeile und behalten 1 im Hinterkopf.

Nun addieren wir die Werte ab der Zehnerstelle: 4 + 3 = 7. Vergessen Sie eines nicht und fügen Sie es dem Ergebnis hinzu:

7 + 1 = 8. Die resultierende Zahl schreiben wir unter die Zeile.

Dies ist das Ergebnis der Addition.

Beispiel 3. Hinzufügen natürlicher Zahlen in einer Spalte

Nehmen wir nun zwei dreistellige Zahlen und addieren sie.

3 + 9 = 12 ; 12 > 10

Schreiben Sie 2 unter die Zeile, behalten Sie 1 im Hinterkopf.

8 + 5 = 13 ; 13 > 10

Wir addieren 13 und die gespeicherte Einheit und erhalten:

13 + 1 = 14 ; 14 > 10

Wir schreiben 4 unter die Zeile, behalten Sie 1 im Hinterkopf.

Vergessen Sie nicht, dass wir uns im vorherigen Schritt an 1 erinnert haben.

Wir schreiben 0 unter die Zeile, denken Sie an 1.

In der letzten Spalte verschieben wir die Einheit, die wir uns zuvor gemerkt haben, unter die Zeile und erhalten das Endergebnis der Addition.

783 + 259 = 1042

Beispiel 4. Hinzufügen natürlicher Zahlen in einer Spalte

Finden wir die Summe der Zahlen 56927 und 90.

Wie immer notieren wir zunächst die Bedingung:

7 + 0 = 7 ; 7 < 10

2 + 9 = 11 ; 11 > 10

Wir schreiben 1 unter die Zeile, behalten 1 im Gedächtnis und gehen zur nächsten Spalte über.

Wir schreiben 0 unter die Zeile, merken uns die 1 und fahren mit der nächsten Spalte fort.

Die Spalte enthält eine Nummer 6. Wir addieren es mit der gemerkten Einheit.

6 + 1 = 7 ; 7 < 10

Wir schreiben 7 unter die Zeile und gehen zur nächsten Spalte über.

Die Spalte enthält eine Nummer 5​​​​​. Wir verschieben es unter die Linie und beenden den Additionsvorgang.

56927 + 90 = 57017

Wir präsentieren das folgende Beispiel ohne Zwischenergebnisse und Erläuterungen als Beispiel für das Schreiben von Spaltenadditionen in der Praxis.

Addition natürlicher Zahlen ist eine binäre Operation, die die folgenden zwei Axiome erfüllt:

C1: a + 1 = a /

C2: a + b / = (a + b) /

Beispiel. Basierend auf der Definition finden wir die Summe 2 + 2:

2 + 2 = 2 + 1 / = (2 + 1) / = (2 /) / = 3 / = 4.

Satz 1(über die Existenz und Einzigartigkeit der Addition). Jedes Paar natürlicher Zahlen a und b entspricht einer eindeutig definierten Summe a + b und erfüllt die Definition der Addition (Axiome C1 und C2).

Nachweisen. Einzigartigkeit. Nehmen wir an, dass es neben der Operation +, die die Bedingungen C1 und C2 erfüllt, auch eine weitere Operation  gibt, die die Bedingungen C1 / und C2 / erfüllt:

C1 / : a  1 = a /

C2 / : a  b / = (a  b) /

Dann gilt für alle natürlichen Zahlen die Gleichheit: a + b = a  b.

Den Beweis führen wir mit der Methode der mathematischen Induktion auf die Variable b durch. Für b = 1, basierend auf C1 und C1 / erhalten wir:

a + 1 = a / = a  1

Für b = 1 gilt diese Eigenschaft also.

Induktionshypothese: a + k = a  k

Beweisen wir diese Aussage für b = k / :

Basierend auf C2 a + k / = (a +k) /

Aus der Induktionsannahme basierend auf Axiom A 2 aus der Definition natürlicher Zahlen a + k = a  k => (a + k) / = (a  k) /, woraus gemäß den Bedingungen C2 und C2 / wir haben :

a + k / = (a +k) / = (a  k) / = a  k / ,

Das war es, was erforderlich war.

Existenz. Die eingeführte induktive Definition ermöglicht es uns, die Summe für jeden zweiten Term (Element b) zu finden. Lassen Sie uns herausfinden, ob es möglich ist, die Summe für jeden ersten Term (Element a) zu finden. Dazu führen wir selbst eine Operation ein, die die Bedingungen (*) und (**) erfüllt.

(**) a / + b = (a + b) / .

Lassen Sie uns beweisen, dass die von uns eingeführte Operation eine Addition ist, das heißt, sie erfüllt die Bedingungen C1 und C2. Wir führen den Beweis durch Induktion über a durch.

Beginnen wir mit Beweis C1. Induktionsbasis: Für a = 1

1 + 1 = 1 / (basierend auf Bedingung (*)).

Induktionshypothese: k + 1 = k /

Induktionsschritt: Für a = k / muss bewiesen werden, dass k / + 1 = (k /) / .

Basierend auf der Bedingung (**) k / + 1 = (k+1) / = (k /) / (nach induktiver Hypothese). Somit ist die Bedingung C1 für alle natürlichen a erfüllt.

C2: Für a = 1 nach Bedingung (*) 1 + b / = (b /) / = (1 + b) / .

Induktionshypothese (i.p.): k + b / = (k + b) / .

Für a = k / muss bewiesen werden, dass k / + b / = (k / + b) / .

Hier wird über jeder Gleichheit eine Begründung angegeben – die Eigenschaft, auf deren Grundlage diese Gleichheit erfüllt ist. Somit ist Bedingung C2 auch für alle natürlichen a erfüllt. Der Satz ist vollständig bewiesen.

Satz 2. Für alle natürlichen Zahlen a, b, c, Assoziatives Additionsgesetz(a.z.s.): (a + b) + c = a + (b +c)

Nachweisen(durch Induktion über c): Für c = 1 gilt:

Induktionshypothese: (a+b)+k = a+(b+k).

Nach dem Induktionsprinzip müssen wir das nun beweisen

(a+b)+k / = a+(b+k /). Lass es uns beweisen.

Für k / ist die Aussage also wahr, daher gilt nach dem Induktionssatz das Assoziativgesetz für alle natürlichen Zahlen.

Satz 3. Für alle natürlichen Zahlen ist das kommutative Additionsgesetz (LLA) a + b = b + a erfüllt

Wir stellen dem Beweis des Theorems ein Lemma voran.

Lemma 1. a + 1 = 1 + a (L1)

Beweisen wir es durch Induktion über a. Induktionsbasis: 1 + 1 = 1 + 1 (fair)

Induktionshypothese: k + 1 = 1 + k.

Induktionsschritt: Beweisen wir, dass k / + 1 = 1 + k / .

Das Lemma ist bewiesen.

Nun beweisen wir den Satz selbst durch Induktion nach b. Für b = 1 ist der Satz nach Lemma 1 wahr.

Induktionshypothese: a + k = k + a.

Induktionsschritt:

Satz 4. Die Summe zweier Zahlen entspricht keinem der folgenden Terme:

Nachweisen durch Induktion über b: Für b = 1 gilt die Aussage des Satzes nach Axiom 1 aus der Definition der natürlichen Zahlen (a /  1).

Induktionshypothese: a + k  k.

Aus der Induktionshypothese und Satz 1 von Absatz 1.2 folgt, dass (a + k) /  k / . Mit C2 erhalten wir:

a + k / = (a + k) /  k / .

Satz 5. a = b => a + c = b + c.

Nachweisen(durch Induktion über c):

a = b => (durch A 2) a / = b / => (durch C1) a + 1 = b +1.

Induktionshypothese: a = b => a + k = b+k.

Beweisen wir, dass aus a = b a + k / = b + k / folgt.

Für k / ist die Aussage also wahr, daher gilt der Satz nach dem Induktionssatz für alle natürlichen Zahlen.

Folgerung 1. a + c  b + c = > a  b (Der Beweis erfolgt durch Widerspruch und bleibt dem Leser überlassen).

Satz 6. a + c = b + c => a = b.

Nachweisen(durch Induktion über c):

a + 1 = b + 1 => a / = b / => a = b (nach C1 und A 3).

Induktionshypothese: a + k = b + k => a = b.

Beweisen wir, dass a + k / = b + k / a = b impliziert.

Daher gilt die Aussage auch für k /, was unseren Satz beweist.

Folgerung 2. a  b = > a + c  b + c (Beweis durch Widerspruch).

Die Lösung der Gleichung a + x = b (a, b sind natürliche Zahlen, x ist eine Variable) ist eine solche natürliche Zahl c, wenn man sie anstelle von x in die Gleichung einsetzt, lautet die korrekte numerische Gleichheit a + c = b erhalten

Satz 7. Wenn die Gleichung a + x = b eine Lösung hat, dann ist diese Lösung eindeutig.

Nachweisen: Nehmen wir an, dass es zwei Lösungen mit 1 und mit 2 gibt. Dann ist a + c 1 = b und a + c 2 = b, woraus a + c 1 = a + c 2, und nach Satz 6 und dem Kommutativgesetz bedeutet dies, dass c 1 = c 2 (d. h. die Lösung ist eindeutig). ).

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

Nr. 1.2. Addieren Sie basierend auf der Definition der Addition der natürlichen Zahlen 5 + 3. Führen Sie die gleiche Operation in den unten dargestellten Modellen natürlicher Zahlen durch

a) (3, 4, 5...); n / = n +1

b) (n  –2, n  Z); n / = n +1

c) ungerade natürliche Zahlen, n / = n +2

d) Ganze Zahlen

Nr. 1.3. Beweisen Sie die Gleichheiten für jede natürliche Zahl n:

a) 1 + 2 + …+ n =
;

b) 1 2 + 2 2 + … + n 2 =
;

c) 1 3 + 2 3 + … + n 3 =
;

d) 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1) 2 ;

e) 1 2 + 3 2 + … + (2n – 1) 2 =
;

e) 12 + 23 + … + (n – 1)n =
;

Und)
;

H)
.