Was ist ein gemeinsamer Teiler? Größter gemeinsamer Teiler (GCD) – Definition, Beispiele und Eigenschaften. Einige Anzeichen für die Teilbarkeit von Zahlen

Jetzt und im Folgenden gehen wir davon aus, dass mindestens eine dieser Zahlen ungleich Null ist. Wenn alle gegebenen Zahlen gleich Null sind, dann ist ihr gemeinsamer Teiler eine beliebige ganze Zahl, und da es unendlich viele ganze Zahlen gibt, können wir nicht über die größte davon sprechen. Daher können wir nicht über den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen sprechen, von denen jede gleich Null ist.

Jetzt können wir geben Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zwei Zahlen.

Definition.

Größter gemeinsamer Teiler zwei ganze Zahlen ist die größte ganze Zahl, die zwei gegebene ganze Zahlen teilt.

Um den größten gemeinsamen Teiler kurz zu schreiben, wird häufig die Abkürzung GCD verwendet – Greatest Common Divisor. Außerdem wird der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b oft als GCD(a, b) bezeichnet.

Geben wir Beispiel für den größten gemeinsamen Teiler (GCD) zwei ganze Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 6 und −15 ist 3. Begründen wir das. Schreiben wir alle Teiler der Zahl sechs auf: ±6, ±3, ±1, und die Teiler der Zahl −15 sind die Zahlen ±15, ±5, ±3 und ±1. Jetzt können Sie alle gemeinsamen Teiler der Zahlen 6 und −15 finden, das sind die Zahlen −3, −1, 1 und 3. Seit −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers von drei oder mehr ganzen Zahlen ähnelt der Bestimmung des ggT zweier Zahlen.

Definition.

Größter gemeinsamer Teiler Drei oder mehr ganze Zahlen ist die größte ganze Zahl, die alle gegebenen Zahlen gleichzeitig dividiert.

Wir bezeichnen den größten gemeinsamen Teiler von n ganzen Zahlen a 1 , a 2 , …, a n als GCD(a 1 , a 2 , …, a n) . Wenn der Wert b des größten gemeinsamen Teilers dieser Zahlen gefunden wird, können wir schreiben GCD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.

Als Beispiel geben wir den ggT der vier ganzen Zahlen −8, 52, 16 und −12 an. Er ist gleich 4, also ggT(−8, 52, 16, −12)=4. Dies lässt sich überprüfen, indem man alle Teiler der gegebenen Zahlen aufschreibt, daraus gemeinsame auswählt und den größten gemeinsamen Teiler ermittelt.

Beachten Sie, dass der größte gemeinsame Teiler ganzer Zahlen einer dieser Zahlen entsprechen kann. Diese Aussage ist wahr, wenn alle gegebenen Zahlen durch eine davon teilbar sind (der Beweis wird im nächsten Absatz dieses Artikels gegeben). Beispiel: GCD(15, 60, −45)=15. Dies ist wahr, da 15 sowohl die Zahl 15 als auch die Zahl 60 und die Zahl −45 teilt und es keinen gemeinsamen Teiler der Zahlen 15, 60 und −45 gibt, der 15 überschreitet.

Von besonderem Interesse sind die sogenannten relativ Primzahlen – also ganze Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler gleich eins ist.

Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers, Euklidischer Algorithmus

Der größte gemeinsame Teiler hat eine Reihe charakteristischer Ergebnisse, also eine Reihe von Eigenschaften. Jetzt werden wir die wichtigsten auflisten Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers (GCD), wir werden sie in Form von Theoremen formulieren und sofort Beweise liefern.

Wir formulieren alle Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers für positive ganze Zahlen und betrachten nur die positiven Teiler dieser Zahlen.

Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b ist gleich dem größten gemeinsamen Teiler der Zahlen b und a, also ggT(a, b) = ggT(a, b) .

Diese Eigenschaft von GCD ergibt sich direkt aus der Definition des größten gemeinsamen Teilers.

Wenn a durch b teilbar ist, dann stimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b mit der Menge der Teiler der Zahl b überein, insbesondere gilt ggT(a, b)=b.

Nachweisen.

Jeder gemeinsame Teiler der Zahlen a und b ist ein Teiler jeder dieser Zahlen, einschließlich der Zahl b. Da andererseits a ein Vielfaches von b ist, ist jeder Teiler der Zahl b ein Teiler der Zahl a, da die Teilbarkeit die Eigenschaft der Transitivität hat. Daher ist jeder Teiler der Zahl b ein gemeinsamer Teiler Teiler der Zahlen a und b. Dies beweist, dass, wenn a durch b teilbar ist, die Menge der Teiler der Zahlen a und b mit der Menge der Teiler einer Zahl b übereinstimmt. Und da der größte Teiler der Zahl b die Zahl b selbst ist, ist auch der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b gleich b, also ggT(a, b)=b.

Insbesondere wenn die Zahlen a und b gleich sind gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Beispiel: GCD(132, 132)=132.

Die nachgewiesene Eigenschaft des größten Teilers ermöglicht es uns, den ggT zweier Zahlen zu ermitteln, wenn eine von ihnen durch die andere geteilt wird. In diesem Fall ist GCD gleich einer dieser Zahlen, die durch eine andere Zahl geteilt wird. Beispielsweise ist GCD(8, 24)=8, da 24 ein Vielfaches von acht ist.

Wenn a=b·q+c, wobei a, b, c und q ganze Zahlen sind, dann stimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b mit der Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen b und c überein, insbesondere mit ggT (a, b)=gcd (b, c) .

Begründen wir diese Eigenschaft von GCD.

Da die Gleichheit a=b·q+c gilt, teilt jeder gemeinsame Teiler der Zahlen a und b auch c (dies folgt aus den Eigenschaften der Teilbarkeit). Aus dem gleichen Grund teilt jeder gemeinsame Teiler von b und c a. Daher stimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b mit der Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen b und c überein. Insbesondere muss auch der größte dieser gemeinsamen Teiler übereinstimmen, d. h. die folgende Gleichheit GCD(a, b) = GCD(b, c) muss wahr sein.

Jetzt werden wir den Satz formulieren und beweisen, der lautet Euklidischer Algorithmus. Mit dem Euklid-Algorithmus können Sie den GCD zweier Zahlen ermitteln (siehe Ermitteln des GCD mit dem Euklid-Algorithmus). Darüber hinaus wird uns der Euklid-Algorithmus ermöglichen, die folgenden Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers zu beweisen.

Bevor wir den Satz formulieren, empfehlen wir Ihnen, Ihre Erinnerung an den Satz aus dem Theorieteil aufzufrischen, der besagt, dass der Dividend a als b q + r dargestellt werden kann, wobei b ein Teiler ist, q eine ganze Zahl ist, die als unvollständiger Quotient bezeichnet wird, und r ist eine ganze Zahl, die die Bedingung erfüllt und als Rest bezeichnet wird.

Angenommen, eine Reihe von Gleichungen sei für zwei positive ganze Zahlen a und b ungleich Null wahr

endet, wenn r k+1 =0 (was unvermeidlich ist, da b>r 1 >r 2 >r 3 , ... eine Reihe abnehmender ganzer Zahlen ist und diese Reihe nicht mehr als eine endliche Anzahl positiver Zahlen enthalten kann), dann ist r k – das ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b, also r k = gcd(a, b) .

Nachweisen.

Beweisen wir zunächst, dass r k ein gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b ist. Anschließend zeigen wir, dass r k nicht nur ein Teiler, sondern der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b ist.

Wir werden uns von unten nach oben entlang der geschriebenen Gleichungen bewegen. Aus der letzten Gleichung können wir sagen, dass r k−1 durch r k teilbar ist. Unter Berücksichtigung dieser Tatsache sowie der vorherigen Eigenschaft von GCD erlaubt uns die vorletzte Gleichung r k−2 =r k−1 ·q k +r k die Aussage, dass r k−2 durch r k teilbar ist, da r k−1 durch r k teilbar ist und r k ist durch r k teilbar. Analog schließen wir aus der dritten Gleichung von unten, dass r k−3 durch r k teilbar ist. Usw. Aus der zweiten Gleichung erhalten wir, dass b durch rk teilbar ist, und aus der ersten Gleichung erhalten wir, dass a durch rk teilbar ist. Daher ist rk ein gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b.

Es bleibt noch zu beweisen, dass rk = GCD(a, b) . Denn es genügt zu zeigen, dass jeder gemeinsame Teiler der Zahlen a und b (nennen wir ihn r 0 ) r k teilt.

Wir werden uns von oben nach unten entlang der ursprünglichen Gleichungen bewegen. Aufgrund der vorherigen Eigenschaft folgt aus der ersten Gleichung, dass r 1 durch r 0 teilbar ist. Dann erhalten wir aus der zweiten Gleichung, dass r 2 durch r 0 teilbar ist. Usw. Aus der letzten Gleichung erhalten wir, dass r k durch r 0 teilbar ist. Somit ist rk = GCD(a, b) .

Aus der betrachteten Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers folgt, dass die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b mit der Menge der Teiler des größten gemeinsamen Teilers dieser Zahlen übereinstimmt. Diese Folgerung aus Euklids Algorithmus ermöglicht es uns, alle gemeinsamen Teiler zweier Zahlen als Teiler des ggT dieser Zahlen zu finden.

Seien a und b ganze Zahlen, die gleichzeitig ungleich Null sind, dann gibt es ganze Zahlen u 0 und v 0, dann gilt die Gleichheit GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0. Die letzte Gleichheit ist eine lineare Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der Zahlen a und b. Diese Gleichheit wird Bezout-Relation genannt, und die Zahlen u 0 und v 0 werden Bezout-Koeffizienten genannt.

Nachweisen.

Mit dem Euklidischen Algorithmus können wir die folgenden Gleichungen schreiben



Aus der ersten Gleichheit ergibt sich r 1 =a−b·q 1, und da 1=s 1 und −q 1 =t 1 gilt, hat diese Gleichheit die Form r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b, und die Zahlen s 1 und t 1 sind ganze Zahlen. Dann erhalten wir aus der zweiten Gleichung r 2 =b−r 1 ·q 2 = b−(s 1 ·a+t 1 ·b)·q 2 =−s 1 ·q 2 ·a+(1−t 1 ·q 2)·b. Mit −s 1 ·q 2 =s 2 und 1−t 1 ·q 2 =t 2 kann die letzte Gleichung als r 2 =s 2 ·a+t 2 ·b geschrieben werden, und s 2 und t 2 sind ganze Zahlen (da die Summe, Differenz und das Produkt ganzer Zahlen eine ganze Zahl ist). Ebenso erhalten wir aus der dritten Gleichung r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, aus der vierten Gleichung r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b und so weiter. Schließlich ist r k =s k ·a+t k ·b, wobei s k und t k ganze Zahlen sind. Da r k =GCD(a, b) und s k =u 0 und t k =v 0 bedeuten, erhalten wir eine lineare Darstellung von GCD in der erforderlichen Form: GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 .

Wenn m eine beliebige natürliche Zahl ist, dann GCD(ma, m b)=m GCD(a, b).

Der Grund für diese Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers ist wie folgt. Wenn wir beide Seiten jeder Gleichung des euklidischen Algorithmus mit m multiplizieren, erhalten wir GCD(m·a, m·b)=m·r k , und r k ist GCD(a, b) . Somit, GCD(ma, m b)=m GCD(a, b).

Die Methode zur Ermittlung des GCD mithilfe der Primfaktorzerlegung basiert auf dieser Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers.

Dann sei p ein beliebiger gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, insbesondere wenn p=GCD(a, b) gilt gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, das heißt, die Zahlen a:GCD(a, b) und b:GCD(a, b) sind relativ teilerfremd.

Da a=p·(a:p) und b=p·(b:p) und aufgrund der vorherigen Eigenschaft können wir eine Kette von Gleichungen der Form schreiben GCD(a, b)=GCD(p (a:p), p (b:p))= p·GCD(a:p, b:p) , woraus die zu beweisende Gleichheit folgt.

Die Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers, die wir gerade bewiesen haben, ist die Basis von .

Lassen Sie uns nun über die GCD-Eigenschaft sprechen, die das Problem, den größten gemeinsamen Teiler von drei oder mehr Zahlen zu finden, auf die sequentielle Suche des GCD von zwei Zahlen reduziert.

Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a 1 , a 2 , …, a k ist gleich der Zahl d k , die durch sequentielle Berechnung von GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)= ermittelt wird d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .

Der Beweis basiert auf einer Folgerung des Euklidischen Algorithmus. Die gemeinsamen Teiler der Zahlen a 1 und a 2 fallen mit den Teilern von d 2 zusammen. Dann fallen die gemeinsamen Teiler der Zahlen a 1, a 2 und a 3 mit den gemeinsamen Teilern der Zahlen d 2 und a 3 zusammen, also fallen sie mit den Teilern von d 3 zusammen. Die gemeinsamen Teiler der Zahlen a 1, a 2, a 3 und a 4 fallen mit den gemeinsamen Teilern von d 3 und a 4 zusammen, also fallen sie mit den Teilern von d 4 zusammen. Usw. Schließlich fallen die gemeinsamen Teiler der Zahlen a 1, a 2, ..., a k mit den Teilern d k zusammen. Und da der größte Teiler der Zahl d k die Zahl d k selbst ist, dann GCD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.

Damit ist unsere Überprüfung der grundlegenden Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers abgeschlossen.

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya. und andere. Mathematik. 6. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen.
• Winogradow I.M. Grundlagen der Zahlentheorie.
• Mikhelovich Sh.H. Zahlentheorie.
• Kulikov L.Ya. und andere. Sammlung von Problemen der Algebra und Zahlentheorie: Lehrbuch für Studierende der Physik und Mathematik. Spezialitäten pädagogischer Institute.

Größter gemeinsamer Teiler

Definition 2

Wenn eine natürliche Zahl a durch eine natürliche Zahl $b$ teilbar ist, dann heißt $b$ Teiler von $a$ und $a$ heißt Vielfaches von $b$.

Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen. Die Zahl $c$ wird als gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ bezeichnet.

Die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist endlich, da keiner dieser Teiler größer als $a$ sein kann. Das bedeutet, dass es unter diesen Teilern einen größten gibt, der als größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$ bezeichnet wird und durch die folgende Notation bezeichnet wird:

$GCD\(a;b)\ oder \D\(a;b)$

Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1. Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

Beispiel 1

Finden Sie den ggT der Zahlen $121$ und $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Wählen Sie die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$GCD=2\cdot 11=22$

Beispiel 2

Finden Sie den ggT der Monome $63$ und $81$.

Wir werden nach dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür:

Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Wir wählen die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Lassen Sie uns das Produkt der in Schritt 2 ermittelten Zahlen ermitteln. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$GCD=3\cdot 3=9$

Sie können den ggT zweier Zahlen auf andere Weise ermitteln, indem Sie eine Reihe von Teilern von Zahlen verwenden.

Beispiel 3

Finden Sie den ggT der Zahlen $48$ und $60$.

Lösung:

Finden wir die Menge der Teiler der Zahl $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Finden wir nun die Menge der Teiler der Zahl $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Finden wir den Schnittpunkt dieser Mengen: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ – diese Menge bestimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $48$ und $60 $. Das größte Element in dieser Menge ist die Zahl $12$. Das bedeutet, dass der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $48$ und $60$ $12$ ist.

Definition von NPL

Definition 3

Gemeinsame Vielfache natürlicher Zahlen$a$ und $b$ ist eine natürliche Zahl, die ein Vielfaches von $a$ und $b$ ist.

Gemeinsame Vielfache von Zahlen sind Zahlen, die ohne Rest durch die ursprünglichen Zahlen teilbar sind. Beispielsweise sind für die Zahlen 25 $ und 50 $ die gemeinsamen Vielfachen die Zahlen 50.100, 150.200 $ usw.

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches bezeichnet und mit LCM$(a;b)$ oder K$(a;b).$ bezeichnet

Um den LCM zweier Zahlen zu ermitteln, müssen Sie:

1. Faktorisieren Sie Zahlen in Primfaktoren
2. Schreiben Sie die Faktoren auf, die Teil der ersten Zahl sind, und addieren Sie dazu die Faktoren, die Teil der zweiten, aber nicht Teil der ersten Zahl sind

Beispiel 4

Finden Sie den LCM der Zahlen $99$ und $77$.

Wir werden nach dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür

Faktorisieren Sie Zahlen in Primfaktoren

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Schreiben Sie die im ersten Schritt enthaltenen Faktoren auf

Fügen Sie ihnen Multiplikatoren hinzu, die Teil des zweiten und nicht Teil des ersten sind

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Das Zusammenstellen von Listen mit Teilern von Zahlen ist oft eine sehr arbeitsintensive Aufgabe. Es gibt eine Möglichkeit, GCD zu finden, den sogenannten Euklidischen Algorithmus.

Aussagen, auf denen der Euklidische Algorithmus basiert:

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind und $a\vdots b$ ist, dann ist $D(a;b)=b$

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind, so dass $b

Mit $D(a;b)= D(a-b;b)$ können wir die betrachteten Zahlen sukzessive reduzieren, bis wir ein Zahlenpaar erreichen, bei dem eine von ihnen durch die andere teilbar ist. Dann ist die kleinere dieser Zahlen der gewünschte größte gemeinsame Teiler für die Zahlen $a$ und $b$.

Eigenschaften von GCD und LCM

1. Jedes gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist durch K$(a;b)$ teilbar
2. Wenn $a\vdots b$ , dann К$(a;b)=a$

Wenn K$(a;b)=k$ und $m$ eine natürliche Zahl ist, dann ist K$(am;bm)=km$

Wenn $d$ ein gemeinsamer Teiler für $a$ und $b$ ist, dann ist K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Wenn $a\vdots c$ und $b\vdots c$ , dann ist $\frac(ab)(c)$ das gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$

Für alle natürlichen Zahlen $a$ und $b$ gilt die Gleichheit

$D(a;b)\cdot Š(a;b)=ab$

Jeder gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist ein Teiler der Zahl $D(a;b)$

Dieser Artikel ist über Finden des größten gemeinsamen Teilers (GCD) zwei oder mehr Zahlen. Schauen wir uns zunächst den Euklid-Algorithmus an; er ermöglicht es Ihnen, den ggT zweier Zahlen zu ermitteln. Danach konzentrieren wir uns auf eine Methode, die es uns ermöglicht, den ggT von Zahlen als Produkt ihrer gemeinsamen Primfaktoren zu berechnen. Als nächstes werden wir uns mit der Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers von drei oder mehr Zahlen befassen und auch Beispiele für die Berechnung des ggT negativer Zahlen geben.

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Euklidischer Algorithmus zum Finden von GCD

Beachten Sie, dass wir, wenn wir uns von Anfang an mit der Tabelle der Primzahlen beschäftigt hätten, herausgefunden hätten, dass die Zahlen 661 und 113 Primzahlen sind, von denen wir sofort sagen könnten, dass ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist.

Antwort:

GCD(661, 113)=1 .

Ermitteln des GCD durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, GCD zu finden. Der größte gemeinsame Teiler kann durch Zerlegen von Zahlen in Primfaktoren ermittelt werden. Formulieren wir eine Regel: Der ggT zweier positiver Ganzzahlen a und b ist gleich dem Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren, die in den Primfaktorzerlegungen der Zahlen a und b vorkommen.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um die Regel zum Finden von GCD zu erläutern. Lassen Sie uns die Zerlegungen der Zahlen 220 und 600 in Primfaktoren kennen, sie haben die Form 220=2·2·5·11 und 600=2·2·2·3·5·5. Die üblichen Primfaktoren bei der Faktorisierung der Zahlen 220 und 600 sind 2, 2 und 5. Daher ist GCD(220, 600)=2·2·5=20.

Wenn wir also die Zahlen a und b in Primfaktoren zerlegen und das Produkt aller ihrer gemeinsamen Faktoren ermitteln, dann finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b.

Betrachten wir ein Beispiel für die Suche nach GCD gemäß der angegebenen Regel.

Beispiel.

Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 72 und 96.

Lösung.

Zerlegen wir die Zahlen 72 und 96 in Primfaktoren:

Das heißt, 72=2·2·2·3·3 und 96=2·2·2·2·2·3. Übliche Primfaktoren sind 2, 2, 2 und 3. Somit ist GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

Antwort:

GCD(72, 96)=24 .

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass sich die Gültigkeit der obigen Regel zur Ermittlung des GCD aus der Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers ergibt, die dies besagt GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), wobei m eine beliebige positive ganze Zahl ist.

Ermitteln des gcd von drei oder mehr Zahlen

Das Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers von drei oder mehr Zahlen kann auf das aufeinanderfolgende Ermitteln des ggT zweier Zahlen reduziert werden. Wir haben dies erwähnt, als wir die Eigenschaften von GCD untersuchten. Dort haben wir den Satz formuliert und bewiesen: Der größte gemeinsame Teiler mehrerer Zahlen a 1, a 2, ..., a k ist gleich der Zahl d k, die durch sequentielle Berechnung von GCD(a 1, a 2)=d 2 ermittelt wird , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

Sehen wir uns anhand der Lösung des Beispiels an, wie der Prozess zum Ermitteln des gcd mehrerer Zahlen aussieht.

Beispiel.

Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der vier Zahlen 78, 294, 570 und 36.

Lösung.

In diesem Beispiel ist a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Zunächst ermitteln wir mit dem Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler d 2 der ersten beiden Zahlen 78 und 294. Beim Dividieren erhalten wir die Gleichungen 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 und 18=6·3. Somit ist d 2 =GCD(78, 294)=6.

Nun lasst uns rechnen d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Wenden wir den euklidischen Algorithmus erneut an: 570=6·95, also d 3 = GCD(6, 570)=6.

Es bleibt zu rechnen d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Da 36 durch 6 teilbar ist, gilt d 4 = GCD(6, 36) = 6.

Somit ist der größte gemeinsame Teiler der vier gegebenen Zahlen d 4 =6, also ggT(78, 294, 570, 36)=6.

Antwort:

GCD(78, 294, 570, 36)=6 .

Durch die Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren können Sie auch den ggT von drei oder mehr Zahlen berechnen. In diesem Fall ergibt sich der größte gemeinsame Teiler als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren der gegebenen Zahlen.

Beispiel.

Berechnen Sie den ggT der Zahlen aus dem vorherigen Beispiel anhand ihrer Primfaktorzerlegungen.

Lösung.

Zerlegen wir die Zahlen 78, 294, 570 und 36 in Primfaktoren, so erhalten wir 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Die gemeinsamen Primfaktoren aller dieser vier Zahlen sind die Zahlen 2 und 3. Somit, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Definition. Die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest geteilt werden, heißt größter gemeinsamer Teiler (GCD) diese Nummern.

Finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 24 und 35.
Die Teiler von 24 sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 und die Teiler von 35 sind die Zahlen 1, 5, 7, 35.
Wir sehen, dass die Zahlen 24 und 35 nur einen gemeinsamen Teiler haben – die Zahl 1. Solche Zahlen heißen gegenseitig prim.

Definition. Natürliche Zahlen werden aufgerufen gegenseitig prim, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (GCD) 1 ist.

Größter gemeinsamer Teiler (GCD) kann gefunden werden, ohne alle Teiler der gegebenen Zahlen aufzuschreiben.

Wenn wir die Zahlen 48 und 36 faktorisieren, erhalten wir:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Von den Faktoren, die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, streichen wir diejenigen heraus, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind (d. h. zwei Zweier).
Die verbleibenden Faktoren sind 2 * 2 * 3. Ihr Produkt ist gleich 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36. Es gibt auch den größten gemeinsamen Teiler von drei oder mehr Zahlen.

Finden größter gemeinsamer Teiler

2) Von den Faktoren, die in die Entwicklung einer dieser Zahlen einfließen, streichen Sie diejenigen durch, die nicht in die Entwicklung anderer Zahlen eingehen;
3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.

Wenn alle gegebenen Zahlen durch eine davon teilbar sind, dann ist diese Zahl größter gemeinsamer Teiler gegebene Zahlen.
Beispielsweise ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 15, 45, 75 und 180 die Zahl 15, da alle anderen Zahlen durch sie teilbar sind: 45, 75 und 180.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) Die natürlichen Zahlen a und b sind die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von a und b ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Zahlen 75 und 60 kann ermittelt werden, ohne die Vielfachen dieser Zahlen hintereinander aufzuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in Primfaktoren: 75 = 3 * 5 * 5 und 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Schreiben wir die Faktoren auf, die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, und fügen wir ihnen die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Entwicklung der zweiten Zahl hinzu (d. h. wir kombinieren die Faktoren).
Wir erhalten fünf Faktoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, deren Produkt 300 ist. Diese Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60.

Sie finden auch das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen.

Zu Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache Um mehrere natürliche Zahlen zu erhalten, benötigen Sie:
1) faktorisiere sie in Primfaktoren;
2) Notieren Sie die Faktoren, die in die Entwicklung einer der Zahlen einfließen;
3) füge die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu;
4) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.

Beachten Sie, dass, wenn eine dieser Zahlen durch alle anderen Zahlen teilbar ist, diese Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist.
Beispielsweise ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12, 15, 20 und 60 60, weil es durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Pythagoras (VI. Jahrhundert v. Chr.) und seine Schüler untersuchten die Frage der Teilbarkeit von Zahlen. Sie nannten eine Zahl, die der Summe aller ihrer Teiler (ohne die Zahl selbst) entspricht, eine vollkommene Zahl. Beispielsweise sind die Zahlen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekt. Die nächsten vollkommenen Zahlen sind 496, 8128, 33.550.336. Die Pythagoräer kannten nur die ersten drei vollkommenen Zahlen. Der vierte – 8128 – wurde im 1. Jahrhundert bekannt. N. e. Der fünfte – 33.550.336 – wurde im 15. Jahrhundert gefunden. Bis 1983 waren bereits 27 perfekte Zahlen bekannt. Aber Wissenschaftler wissen immer noch nicht, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt oder ob es eine größte vollkommene Zahl gibt.
Das Interesse der antiken Mathematiker an Primzahlen beruht auf der Tatsache, dass jede Zahl entweder eine Primzahl ist oder als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, d. h. Primzahlen sind wie Bausteine, aus denen die übrigen natürlichen Zahlen aufgebaut sind.
Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass Primzahlen in der Reihe der natürlichen Zahlen ungleichmäßig vorkommen – in einigen Teilen der Reihe gibt es mehr davon, in anderen weniger. Aber je weiter wir uns in der Zahlenreihe bewegen, desto seltener werden Primzahlen. Es stellt sich die Frage: Gibt es eine letzte (größte) Primzahl? Der antike griechische Mathematiker Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) bewies in seinem Buch „Elemente“, das zweitausend Jahre lang das wichtigste Lehrbuch der Mathematik war, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, d. h. hinter jeder Primzahl steht eine noch größere Primzahl Nummer.
Um Primzahlen zu finden, entwickelte ein anderer griechischer Mathematiker der gleichen Zeit, Eratosthenes, diese Methode. Er schrieb alle Zahlen von 1 bis zu einer Zahl auf und strich dann eine durch, die weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist, und strich dann durch eins alle Zahlen durch, die nach 2 kamen (Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind, also 4). 6, 8 usw.). Die erste verbleibende Zahl nach 2 war 3. Dann wurden nach zwei alle Zahlen nach 3 (Zahlen, die ein Vielfaches von 3 waren, also 6, 9, 12 usw.) durchgestrichen. letztlich blieben nur die Primzahlen ungekreuzt.

Lassen Sie uns das Problem lösen. Wir haben zwei Arten von Cookies. Einige bestehen aus Schokolade, andere sind schlicht. Es gibt 48 Schokoladenkekse und 36 einfache Kekse. Sie müssen die größtmögliche Anzahl an Geschenken aus diesen Keksen herstellen und sie alle verwenden.

Schreiben wir zunächst alle Teiler jeder dieser beiden Zahlen auf, da beide Zahlen durch die Anzahl der Geschenke teilbar sein müssen.

Wir bekommen

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Finden wir unter den gemeinsamen Teilern heraus, dass sowohl die erste als auch die zweite Zahl haben.

Gemeinsame Faktoren sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Der größte gemeinsame Teiler von allen ist die Zahl 12. Diese Zahl wird als größter gemeinsamer Teiler der Zahlen 36 und 48 bezeichnet.

Basierend auf den erzielten Ergebnissen können wir den Schluss ziehen, dass aus allen Keksen 12 Geschenke gemacht werden können. Ein solches Geschenk enthält 4 Schokoladenkekse und 3 normale Kekse.

Den größten gemeinsamen Teiler finden

• Die größte natürliche Zahl, die zwei Zahlen a und b ohne Rest teilt, wird als größter gemeinsamer Teiler dieser Zahlen bezeichnet.

Manchmal wird die Abkürzung GCD verwendet, um den Eintrag abzukürzen.

Manche Zahlenpaare haben Eins als größten gemeinsamen Teiler. Solche Nummern werden aufgerufen gegenseitig Primzahlen. Beispielsweise haben die Zahlen 24 und 35 GCD =1.

So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler

Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, ist es nicht notwendig, alle Teiler der gegebenen Zahlen aufzuschreiben.

Sie können es anders machen. Zerlegen Sie zunächst beide Zahlen in Primfaktoren.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Von den Faktoren, die in die Entwicklung der ersten Zahl eingehen, streichen wir nun alle Faktoren durch, die nicht in die Entwicklung der zweiten Zahl eingehen. In unserem Fall sind das zwei Zweien.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Die verbleibenden Faktoren sind 2, 2 und 3. Ihr Produkt ist 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36.

Diese Regel kann auf den Fall von drei, vier usw. erweitert werden. Zahlen.

Allgemeines Schema zum Finden des größten gemeinsamen Teilers

• 1. Teilen Sie Zahlen in Primfaktoren.
• 2. Streichen Sie von den Faktoren, die bei der Entwicklung einer dieser Zahlen berücksichtigt werden, diejenigen durch, die bei der Entwicklung anderer Zahlen nicht berücksichtigt werden.
• 3. Berechnen Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.