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So finden Sie den Teil der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. So finden Sie Beine, wenn die Hypotenuse bekannt ist

Anweisungen

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beachten Sie

Bei der Berechnung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Kenntnis seiner Eigenschaften eine Rolle spielen:
1) Liegt der Schenkel eines rechten Winkels einem Winkel von 30 Grad gegenüber, dann ist er gleich der halben Hypotenuse;
2) Die Hypotenuse ist immer länger als jedes der Beine;
3) Wenn ein Kreis um ein rechtwinkliges Dreieck herum beschrieben wird, muss sein Mittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse liegen.

Die Hypotenuse ist die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Um seine Länge zu berechnen, genügt es, die Länge eines der Schenkel und die Größe eines der spitzen Winkel des Dreiecks zu kennen.

Anweisungen

Teilen Sie uns eines der Beine und den angrenzenden Winkel mit. Genauer gesagt sei dies die Seite |AB| und Winkel α. Dann können wir die Formel für das trigonometrische Kosinus-Kosinus-Verhältnis des benachbarten Beins verwenden. Diese. in unserer Notation cos α = |AB| / |AC|. Daraus erhalten wir die Länge der Hypotenuse |AC| = |AB| / cos α.
Wenn wir die Seite |BC| kennen und Winkel α, dann verwenden wir die Formel, um den Sinus des Winkels zu berechnen – der Sinus des Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Wir finden, dass die Länge der Hypotenuse |AC| beträgt = |BC| / cos α.

Schauen wir uns zur Verdeutlichung ein Beispiel an. Gegeben sei die Länge des Beins |AB|. = 15. Und Winkel α = 60°. Wir erhalten |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Schauen wir uns an, wie Sie Ihr Ergebnis mithilfe des Satzes des Pythagoras überprüfen können. Dazu müssen wir die Länge des zweiten Beins |BC| berechnen. Mit der Formel für den Tangens des Winkels tan α = |BC| / |AC|, wir erhalten |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Als nächstes wenden wir den Satz des Pythagoras an, wir erhalten 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Prüfung abgeschlossen.

Hilfreicher Rat

Überprüfen Sie nach der Berechnung der Hypotenuse, ob der resultierende Wert den Satz des Pythagoras erfüllt.

Quellen:

Tabelle der Primzahlen von 1 bis 10000

Beine sind die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die den Scheitelpunkt bilden, dessen Größe 90° beträgt. Die dritte Seite in einem solchen Dreieck wird Hypotenuse genannt. Alle diese Seiten und Winkel des Dreiecks sind durch bestimmte Beziehungen miteinander verbunden, die es ermöglichen, die Länge des Beins zu berechnen, wenn mehrere andere Parameter bekannt sind.

Anweisungen

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras für Bein (A), wenn Sie die Länge der anderen beiden Seiten (B und C) des rechtwinkligen Dreiecks kennen. Dieser Satz besagt, dass die Summe der Quadratlängen der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Daraus folgt, dass die Länge jedes Schenkels gleich der Quadratwurzel der Längen der Hypotenuse und des zweiten Schenkels ist: A=√(C²-B²).

Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Funktion „Sinus“ für einen spitzen Winkel, wenn Sie den Betrag des Winkels (α) gegenüber dem zu berechnenden Bein und die Länge der Hypotenuse (C) kennen. Dies besagt, dass der Sinus dieses bekannten Verhältnisses der Länge des gewünschten Beins zur Länge der Hypotenuse ist. Das bedeutet, dass die Länge des gewünschten Schenkels gleich dem Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Sinus des bekannten Winkels ist: A=C∗sin(α). Für dieselben bekannten Größen können Sie auch den Kosekans verwenden und die erforderliche Länge berechnen, indem Sie die Länge der Hypotenuse durch den Kosekans des bekannten Winkels A=C/cosec(α) dividieren.

Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Kosinusfunktion, wenn neben der Länge der Hypotenuse (C) auch die Größe des spitzen Winkels (β) neben dem gewünschten Winkel bekannt ist. Der Kosinus dieses Winkels ist das Verhältnis der Längen des gewünschten Schenkels und der Hypotenuse, und daraus können wir schließen, dass die Länge des Schenkels gleich dem Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Kosinus des bekannten Winkels ist: A=C∗cos(β). Sie können die Definition der Sekantenfunktion verwenden und den gewünschten Wert berechnen, indem Sie die Länge der Hypotenuse durch die Sekante des bekannten Winkels A=C/s(β) dividieren.

Leiten Sie die erforderliche Formel aus einer ähnlichen Definition für die Ableitung der trigonometrischen Tangensfunktion ab, wenn zusätzlich zum Wert des spitzen Winkels (α), der dem gewünschten Schenkel (A) gegenüberliegt, die Länge des zweiten Schenkels (B) bekannt ist . Der Tangens des Winkels gegenüber dem gewünschten Schenkel ist das Verhältnis der Länge dieses Schenkels zur Länge des zweiten Schenkels. Das bedeutet, dass der gewünschte Wert dem Produkt aus der Länge des bekannten Schenkels und dem Tangens des bekannten Winkels entspricht: A=B∗tg(α). Aus denselben bekannten Größen kann eine andere Formel abgeleitet werden, wenn wir die Definition der Kotangensfunktion verwenden. In diesem Fall muss zur Berechnung der Beinlänge das Verhältnis der Länge des bekannten Beins zum Kotangens des bekannten Winkels ermittelt werden: A=B/ctg(α).

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Das Wort „kathet“ kam aus dem Griechischen ins Russische. In der genauen Übersetzung bedeutet es eine Lotlinie, also senkrecht zur Erdoberfläche. In der Mathematik sind die Schenkel die Seiten, die einen rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Der Begriff „Kathet“ wird auch in der Architektur und Schweißtechnik verwendet.

Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck DIA. Beschriften Sie seine Beine mit a und b und seine Hypotenuse mit c. Alle Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind untereinander definiert. Das Verhältnis des Schenkels gegenüber einem der spitzen Winkel zur Hypotenuse wird Sinus dieses Winkels genannt. In diesem Dreieck ist sinCAB=a/c. Der Kosinus ist das Verhältnis zur Hypotenuse des benachbarten Schenkels, d. h. cosCAB=b/c. Die inversen Beziehungen heißen Sekante und Kosekans.

Die Sekante dieses Winkels erhält man, indem man die Hypotenuse durch den benachbarten Schenkel dividiert, d. h. secCAB = c/b. Das Ergebnis ist der Kehrwert des Kosinus, das heißt, es kann mit der Formel secCAB=1/cosSAB ausgedrückt werden.
Der Kosekans ist gleich dem Quotienten der Hypotenuse dividiert durch die Gegenkathete und ist der Kehrwert des Sinus. Sie kann mit der Formel cosecCAB=1/sinCAB berechnet werden

Beide Schenkel sind miteinander und durch einen Kotangens verbunden. In diesem Fall ist der Tangens das Verhältnis der Seite a zur Seite b, also der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Diese Beziehung kann durch die Formel tgCAB=a/b ausgedrückt werden. Dementsprechend ist das umgekehrte Verhältnis der Kotangens: ctgCAB=b/a.

Der Zusammenhang zwischen der Größe der Hypotenuse und beider Beine wurde vom antiken griechischen Pythagoras bestimmt. Der Satz und sein Name werden immer noch verwendet. Es besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist, also c2 = a2 + b2. Dementsprechend entspricht jedes Bein der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein. Diese Formel kann als b=√(c2-a2) geschrieben werden.

Die Beinlänge lässt sich auch durch die Ihnen bekannten Zusammenhänge ausdrücken. Nach den Sätzen von Sinus und Cosinus ist ein Bein gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und einer dieser Funktionen. Es kann als und oder Kotangens ausgedrückt werden. Das Bein a kann beispielsweise mit der Formel a = b*tan CAB ermittelt werden. Genauso wird abhängig von der gegebenen Tangente bzw. der zweite Schenkel bestimmt.

Der Begriff „Kathet“ wird auch in der Architektur verwendet. Es wird auf das ionische Kapitell aufgetragen und verläuft durch die Mitte seines Rückens. Das heißt, in diesem Fall steht dieser Term senkrecht zu einer gegebenen Linie.

In der Schweißtechnik gibt es einen „Kehlnahtschenkel“. Wie in anderen Fällen ist dies die kürzeste Entfernung. Hier handelt es sich um den Spalt zwischen einem der Teile, der mit dem Rand der Naht auf der Oberfläche des anderen Teils verschweißt wird.

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Quellen:

Was sind Bein und Hypotenuse im Jahr 2019?

Anweisungen

Wenn Sie mit dem Satz des Pythagoras rechnen müssen, verwenden Sie den folgenden Algorithmus: - Bestimmen Sie in einem Dreieck, welche Seiten die Schenkel und welche die Hypotenuse sind. Die beiden Seiten, die einen Winkel von neunzig Grad bilden, sind die Schenkel, das verbleibende Drittel ist die Hypotenuse. (cm) - Erhöhen Sie jedes Bein dieses Dreiecks mit der zweiten Potenz, dh multiplizieren Sie es mit sich selbst. Beispiel 1. Angenommen, wir müssen die Hypotenuse berechnen, wenn ein Bein in einem Dreieck 12 cm und das andere 5 cm beträgt. Erstens sind die Quadrate der Beine gleich: 12 * 12 = 144 cm und 5 * 5 = 25 cm. Bestimmen Sie als nächstes die Summe der Quadrate der Beine. Eine bestimmte Anzahl ist Hypotenuse, müssen Sie die zweite Potenz der zu findenden Zahl loswerden Länge diese Seite des Dreiecks. Extrahieren Sie dazu aus der Quadratwurzel den Wert der Summe der Quadrate der Beine. Beispiel 1. 144+25=169. Die Quadratwurzel von 169 ist 13. Daher ist die Länge davon Hypotenuse gleich 13 cm.

Eine andere Möglichkeit, die Länge zu berechnen Hypotenuse liegt in der Terminologie von Sinus und Winkeln im Dreieck. Per Definition: der Sinus des Winkels Alpha – das Gegenstück zur Hypotenuse. Das heißt, wenn man sich die Abbildung ansieht, ist sin a = CB / AB. Daher ist Hypotenuse AB = CB / sin a. Beispiel 2. Der Winkel sei 30 Grad und die gegenüberliegende Seite 4 cm. Wir müssen die Hypotenuse finden. Lösung: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm. Antwort: Länge Hypotenuse gleich 8 cm.

Eine ähnliche Art zu finden Hypotenuse aus der Definition des Kosinus eines Winkels. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der angrenzenden Seite und Hypotenuse. Das heißt, cos a = AC/AB, also AB = AC/cos a. Beispiel 3. Im Dreieck ABC ist AB die Hypotenuse, der Winkel BAC beträgt 60 Grad, der Schenkel AC beträgt 2 cm. Finden Sie AB.
Lösung: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Antwort: Die Hypotenuse ist 4 cm lang.

Hilfreicher Rat

Wenn Sie den Wert des Sinus oder Cosinus eines Winkels ermitteln möchten, verwenden Sie entweder die Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte oder die Bradis-Tabelle.

Tipp 2: So ermitteln Sie die Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck

Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, daher ist es nicht verwunderlich, dass das Wort aus dem Griechischen mit „gestreckt“ übersetzt wird. Diese Seite liegt immer dem 90°-Winkel gegenüber, und die Seiten, die diesen Winkel bilden, werden Beine genannt. Wenn wir die Längen dieser Seiten und die Werte der spitzen Winkel in verschiedenen Kombinationen dieser Werte kennen, können wir die Länge der Hypotenuse berechnen.

Anweisungen

Wenn die Längen beider Dreiecke (A und B) bekannt sind, dann verwenden Sie die Längen der Hypotenuse (C), vielleicht das berühmteste mathematische Postulat – den Satz des Pythagoras. Es besagt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse die Summe der Quadrate der Längen der Beine ist, woraus folgt, dass Sie die Wurzel der Summe der Quadratlängen der beiden Seiten berechnen sollten: C = √ ( A² + B²). Wenn beispielsweise die Länge eines Beins 15 und - 10 Zentimeter beträgt, beträgt die Länge der Hypotenuse ungefähr 18,0277564 Zentimeter, da √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Wenn die Länge nur eines der Schenkel (A) in einem rechtwinkligen Dreieck sowie der Wert des gegenüberliegenden Winkels (α) bekannt sind, kann die Länge der Hypotenuse (C) unter Verwendung einer der trigonometrischen Gleichungen verwendet werden Funktionen - der Sinus. Teilen Sie dazu die Länge der bekannten Seite durch den Sinus des bekannten Winkels: C=A/sin(α). Wenn beispielsweise die Länge eines der Beine 15 Zentimeter beträgt und der Winkel am gegenüberliegenden Scheitelpunkt des Dreiecks 30° beträgt, beträgt die Länge der Hypotenuse 30 Zentimeter, da 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck die Größe eines der spitzen Winkel (α) und die Länge des angrenzenden Schenkels (B) bekannt sind, können Sie zur Berechnung der Länge der Hypotenuse (C) eine andere trigonometrische Funktion verwenden – den Kosinus. Sie sollten die Länge des bekannten Schenkels durch den Kosinus des bekannten Winkels teilen: C=B/cos(α). Wenn beispielsweise die Länge dieses Schenkels 15 Zentimeter beträgt und der spitze Winkel daneben 30° beträgt, beträgt die Länge der Hypotenuse ungefähr 17,3205081 Zentimeter, da 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17,3205081.

Als Länge wird üblicherweise der Abstand zwischen zwei Punkten auf einem Liniensegment bezeichnet. Es kann eine gerade, unterbrochene oder geschlossene Linie sein. Sie können die Länge ganz einfach berechnen, wenn Sie einige andere Indikatoren des Segments kennen.

Die beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die einen rechten Winkel bilden, werden Schenkel genannt. Die längste Seite eines Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel wird Hypotenuse genannt. Um die Hypotenuse zu erkennen, müssen Sie die Länge der Beine kennen.

Anweisungen

1. Die Längen der Beine und der Hypotenuse hängen durch eine Beziehung zusammen, die durch den Satz des Pythagoras beschrieben wird. Algebraische Formulierung: „In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der Beine.“ Die pythagoreische Formel sieht so aus: c2 = a2 + b2, wobei c die ist Länge der Hypotenuse, a und b sind die Längen der Beine.

2. Wenn man die Längen der Beine kennt, ist es nach dem Satz des Pythagoras möglich, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden: c = ?(a2 + b2).

3. Beispiel. Die Länge eines der Beine beträgt 3 cm, die Länge des anderen 4 cm. Die Summe ihrer Quadrate beträgt 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? = 25 cm?.Die Länge der Hypotenuse ist in unserem Fall gleich der Quadratwurzel von 25 cm? – 5 cm. Daher beträgt die Länge der Hypotenuse 5 cm.

Anweisungen

1. Beim berühmten Schenkel und spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Größe der Hypotenuse gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Kosinus/Sinus dieses Winkels sein, wenn dieser Winkel ihm entgegengesetzt/angrenzend ist: h = C1 (oder C2)/sin?; h = C1 (oder C2 )/cos?.Beispiel: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit einer Hypotenuse AB und einem rechten Winkel C. Winkel B sei 60 Grad und Winkel A 30 Grad. Die Länge des Beins BC beträgt 8 cm. Wir müssen die Länge der Hypotenuse AB ermitteln. Dazu können Sie eine der oben vorgeschlagenen Methoden verwenden: AB = BC/cos60 = 8 cm. AB = BC/sin30 = 8 cm.

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines Rechtecks Dreieck. Es befindet sich gegenüber dem rechten Winkel. Methode zum Ermitteln der Hypotenuse eines Rechtecks Dreieck hängt davon ab, welche Ausgangsdaten Sie haben.

Anweisungen

1. Wenn wir rechteckige Beine haben Dreieck, dann die Länge der Hypotenuse des Rechtecks Dreieck kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras entdeckt werden – das Quadrat der Länge der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Längen der Beine: c2 = a2 + b2, wobei a und b die Längen der Beine sind eines Rechtecks Dreieck .

2. Wenn wir eines der Beine und einen spitzen Winkel zeichnen, hängt die Formel zum Ermitteln der Hypotenuse davon ab, welcher Winkel in Bezug auf das angetriebene Bein benachbart (in der Nähe des Beins) oder gegenüberliegend (gegenüberliegend) ist. Im Fall einer benachbarten Winkel, die Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Kosinus dieses Winkels: c = a/cos?; E ist der entgegengesetzte Winkel, die Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Sinus des Winkels: c = a/sin?.

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Die Hypotenuse ist die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Es ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie kann mit dem Satz des Pythagoras oder mit den Formeln trigonometrischer Funktionen berechnet werden.

Anweisungen

1. Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die an einen rechten Winkel angrenzen, werden Schenkel genannt. In der Abbildung sind die Beine mit AB und BC bezeichnet. Gegeben seien die Längen beider Beine. Bezeichnen wir sie als |AB| und |BC|. Um die Länge der Hypotenuse |AC| zu ermitteln, verwenden wir den Satz des Pythagoras. Nach diesem Satz ist die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse, d.h. in der Notation unserer Figur |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Aus der Formel ergibt sich, dass sich die Länge der Hypotenuse AC als |AC| ergibt = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben seien die Längen der Beine |AB|. = 13, |BC| = 21. Nach dem Satz des Pythagoras finden wir, dass |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Um die Länge der Hypotenuse zu erhalten, müssen Sie die Quadratwurzel der Summe ziehen der Quadrate der Beine, d.h. ab Nummer 610: |AC| =?610. Anhand der Quadrattabelle ganzer Zahlen finden wir heraus, dass die Zahl 610 kein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl ist. Um den endgültigen Wert der Länge der Hypotenuse zu erhalten, versuchen wir, das gesamte Quadrat unter dem Wurzelzeichen zu verschieben. Dazu faktorisieren wir die Zahl 610. 610 = 2 * 5 * 61. Wenn wir uns die Tabelle der Grundzahlen ansehen, sehen wir, dass 61 eine Grundzahl ist. Folglich ist die nachträgliche Reduzierung der Zahl auf 610 unrealistisch. Wir erhalten das Endergebnis |AC| = ?610. Wenn das Quadrat der Hypotenuse beispielsweise gleich 675 wäre, dann wäre?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Wenn eine ähnliche Reduzierung akzeptabel ist, führen Sie eine umgekehrte Prüfung durch – quadrieren Sie den Gesamtwert und vergleichen Sie ihn mit dem Anfangswert.

3. Teilen Sie uns eines der Beine und den angrenzenden Winkel mit. Genauer gesagt sei dies die Seite |AB| und Winkel?. Dann können wir die Formel für die trigonometrische Funktion Kosinus verwenden – der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Diese. in unserer Notation cos ? = |AB| / |AC|. Daraus erhalten wir die Länge der Hypotenuse |AC| = |AB| /cos ?.Wenn wir mit der Seite |BC| vertraut sind und Winkel?, dann verwenden wir die Formel, um den Sinus eines Winkels zu berechnen – der Sinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse: sin? = |BC| / |AC|. Wir finden, dass die Länge der Hypotenuse |AC| beträgt = |BC| /cos?.

4. Schauen wir uns zur Verdeutlichung ein Beispiel an. Gegeben sei die Länge des Beins |AB|. = 15. Und der Winkel? = 60°. Wir erhalten |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Sehen wir uns an, wie Sie Ihr Ergebnis mithilfe des Satzes des Pythagoras überprüfen können. Dazu müssen wir die Länge des zweiten Beins |BC| berechnen. Verwenden Sie die Formel für den Tangens des Winkels tg? = |BC| / |AC|, wir erhalten |BC| = |AB| *tg? = 15 * tan 60° = 15 * ?3. Als nächstes wenden wir den Satz des Pythagoras an, wir erhalten 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Die Prüfung ist abgeschlossen.

Hilfreicher Rat
Überprüfen Sie nach der Berechnung der Hypotenuse, ob der resultierende Wert den Satz des Pythagoras erfüllt.

Anweisungen

Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die an einen rechten Winkel angrenzen, werden Schenkel genannt. In der Abbildung sind die Beine mit AB und BC bezeichnet. Gegeben seien die Längen beider Beine. Bezeichnen wir sie als |AB| und |BC|. Um die Länge der Hypotenuse |AC| zu ermitteln, verwenden wir den Satz des Pythagoras. Nach diesem Satz ist die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse, d.h. in der Notation unserer Figur |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Aus der Formel ergibt sich, dass sich die Länge der Hypotenuse AC als |AC| ergibt = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
Schauen wir uns ein Beispiel an. Die Längen der Beine seien |AB| = 13, |BC| = 21. Nach dem Satz des Pythagoras finden wir, dass |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Um die Länge der Hypotenuse zu erhalten, ist es notwendig, die Quadratwurzel daraus zu ziehen Summe der Quadrate der Beine, d.h. ab Nummer 610: |AC| = √610. Anhand der Quadrattabelle ganzer Zahlen finden wir heraus, dass die Zahl 610 kein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl ist. Um den endgültigen Wert der Länge der Hypotenuse zu erhalten, versuchen wir, das vollständige Quadrat unter dem Wurzelzeichen zu entfernen. Dazu faktorisieren wir die Zahl 610. 610 = 2 * 5 * 61. Anhand der Primzahlentabelle sehen wir, dass 61 eine Primzahl ist. Daher ist eine weitere Reduzierung der Zahl √610 nicht möglich. Wir erhalten die endgültige Antwort |AC| = √610.
Wenn das Quadrat der Hypotenuse beispielsweise 675 wäre, dann wäre √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Wenn eine solche Reduzierung möglich ist, führen Sie eine umgekehrte Prüfung durch – quadrieren Sie das Ergebnis und vergleichen Sie es mit dem Originalwert.
Teilen Sie uns eines der Beine und den angrenzenden Winkel mit. Genauer gesagt sei dies die Seite |AB| und Winkel α. Dann können wir die Formel für die trigonometrische Funktion Kosinus verwenden – der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Diese. in unserer Notation cos α = |AB| / |AC|. Daraus erhalten wir die Länge der Hypotenuse |AC| = |AB| / cos α.
Wenn wir die Seite |BC| kennen und Winkel α, dann verwenden wir die Formel, um den Sinus des Winkels zu berechnen – der Sinus des Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Wir finden, dass die Länge der Hypotenuse |AC| beträgt = |BC| / cos α.
Schauen wir uns zur Verdeutlichung ein Beispiel an. Gegeben sei die Länge des Beins |AB|. = 15. Und Winkel α = 60°. Wir erhalten |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Schauen wir uns an, wie Sie Ihr Ergebnis mithilfe des Satzes des Pythagoras überprüfen können. Dazu müssen wir die Länge des zweiten Beins |BC| berechnen. Mit der Formel für den Tangens des Winkels tan α = |BC| / |AC|, wir erhalten |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Als nächstes wenden wir den Satz des Pythagoras an, wir erhalten 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Prüfung abgeschlossen.

Im Leben müssen wir uns oft mit mathematischen Problemen auseinandersetzen: in der Schule, an der Universität und dann, wenn wir unserem Kind bei den Hausaufgaben helfen. Menschen in bestimmten Berufen werden täglich mit Mathematik in Berührung kommen. Daher ist es nützlich, sich mathematische Regeln zu merken oder abzurufen. In diesem Artikel werden wir uns eine davon ansehen: die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks finden.

Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?

Erinnern wir uns zunächst daran, was ein rechtwinkliges Dreieck ist. Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine geometrische Figur aus drei Segmenten, die Punkte verbinden, die nicht auf derselben Geraden liegen, und einer der Winkel dieser Figur beträgt 90 Grad. Die Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt, und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird Hypotenuse genannt.

Den Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks finden

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Beinlänge herauszufinden. Ich würde sie gerne genauer betrachten.

Satz des Pythagoras zur Bestimmung der Seite eines rechtwinkligen Dreiecks

Wenn wir die Hypotenuse und das Bein kennen, können wir die Länge des unbekannten Beins mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln. Es klingt so: „Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine.“ Formel: c²=a²+b², wobei c die Hypotenuse und a und b die Katheten sind. Wir transformieren die Formel und erhalten: a²=c²-b².

Beispiel. Die Hypotenuse beträgt 5 cm und das Bein 3 cm. Wir transformieren die Formel: c²=a²+b² → a²=c²-b². Als nächstes lösen wir: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometrische Verhältnisse, um den Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden

Sie können ein unbekanntes Bein auch finden, wenn eine andere Seite und ein spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind. Es gibt vier Möglichkeiten, ein Bein mithilfe trigonometrischer Funktionen zu finden: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens. Die folgende Tabelle hilft uns bei der Lösung von Problemen. Betrachten wir diese Optionen.

Finden Sie den Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe des Sinus

Der Sinus eines Winkels (sin) ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Formel: sin=a/c, wobei a der Schenkel gegenüber dem gegebenen Winkel und c die Hypotenuse ist. Als nächstes transformieren wir die Formel und erhalten: a=sin*c.

Beispiel. Die Hypotenuse beträgt 10 cm, der Winkel A beträgt 30 Grad. Anhand der Tabelle berechnen wir den Sinus des Winkels A, er ist gleich 1/2. Dann lösen wir mithilfe der transformierten Formel: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Finden Sie den Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe des Kosinus

Der Kosinus eines Winkels (cos) ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Formel: cos=b/c, wobei b der an einen gegebenen Winkel angrenzende Schenkel und c die Hypotenuse ist. Lassen Sie uns die Formel umwandeln und erhalten: b=cos*c.

Beispiel. Winkel A beträgt 60 Grad, die Hypotenuse beträgt 10 cm. Anhand der Tabelle berechnen wir den Kosinus von Winkel A, er beträgt 1/2. Als nächstes lösen wir: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Finden Sie den Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe der Tangente

Der Tangens eines Winkels (tg) ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite. Formel: tg=a/b, wobei a die dem Winkel gegenüberliegende Seite und b die angrenzende Seite ist. Lassen Sie uns die Formel umwandeln und erhalten: a=tg*b.

Beispiel. Winkel A ist gleich 45 Grad, die Hypotenuse ist gleich 10 cm. Anhand der Tabelle berechnen wir den Tangens von Winkel A, er ist gleich: Lösen Sie: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Finden Sie den Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe des Kotangens

Der Winkelkotangens (ctg) ist das Verhältnis der Nachbarseite zur Gegenseite. Formel: ctg=b/a, wobei b der an den Winkel angrenzende Schenkel und der gegenüberliegende Schenkel ist. Mit anderen Worten, der Kotangens ist ein „invertierter Tangens“. Wir erhalten: b=ctg*a.

Beispiel. Winkel A beträgt 30 Grad, das gegenüberliegende Bein beträgt 5 cm. Laut Tabelle beträgt der Tangens von Winkel A √3. Wir berechnen: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Jetzt wissen Sie also, wie man ein Bein in einem rechtwinkligen Dreieck findet. Wie Sie sehen, ist das gar nicht so schwer, die Hauptsache ist, sich die Formeln zu merken.

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