Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, der relativen Häufigkeit und seiner Stabilität. Relative Frequenz. Relative Frequenzstabilität

Die relative Häufigkeit gehört neben der Wahrscheinlichkeit zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Relative Frequenz Ereignisse ist das Verhältnis der Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis auftrat, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche. Somit die relative Häufigkeit des Ereignisses A wird durch die Formel bestimmt

W(A) = M/N,

Wo M– Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses, N– Gesamtzahl der Tests.

Beim Vergleich der Definitionen von Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit kommen wir zu dem Schluss: Die Definition von Wahrscheinlichkeit erfordert nicht, dass die Tests tatsächlich durchgeführt werden; Bei der Bestimmung der relativen Häufigkeit wird davon ausgegangen, dass die Tests tatsächlich durchgeführt wurden. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit wird vor dem Experiment berechnet, die relative Häufigkeit - nach dem Experiment.

Beispiel 1. Die Inspektionsabteilung hat in einer Charge von 80 zufällig ausgewählten Teilen drei nicht standardmäßige Teile gefunden. Relative Häufigkeit des Vorkommens nicht standardmäßiger Teile

W(A) =3/80.

Beispiel 2. Es wurden 24 Schüsse auf das Ziel abgefeuert, wobei 19 Treffer verzeichnet wurden. Relative Zieltrefferquote

W(A) =19/24.

Langzeitbeobachtungen haben gezeigt, dass, wenn Experimente unter identischen Bedingungen durchgeführt werden, bei denen die Anzahl der Tests jeweils ausreichend groß ist, die relative Häufigkeit die Eigenschaft der Stabilität aufweist. Diese Eigenschaft ist dass sich in verschiedenen Experimenten die relative Häufigkeit wenig ändert(je weniger, desto mehr Tests werden durchgeführt), um eine konstante Zahl schwankt. Es stellte sich heraus, dass diese konstante Zahl die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses darstellt.

Wenn also die relative Häufigkeit experimentell ermittelt wird, kann die resultierende Zahl als ungefährer Wahrscheinlichkeitswert verwendet werden.

Der Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit wird im Folgenden detaillierter und präziser beschrieben. Lassen Sie uns nun die Eigenschaft der Stabilität anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 3. Laut schwedischer Statistik war die relative Häufigkeit der Geburten von Mädchen im Jahr 1935. Nach Monaten wird es durch die folgenden Zahlen charakterisiert (die Zahlen sind in der Reihenfolge der Monate beginnend mit Januar angeordnet): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Die relative Häufigkeit schwankt um die Zahl 0,482, was als Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit, Mädchen zu bekommen, angesehen werden kann.

Beachten Sie, dass statistische Daten aus verschiedenen Ländern ungefähr den gleichen relativen Häufigkeitswert ergeben.

Beispiel 4. Es wurden mehrfach Münzwurfexperimente durchgeführt, bei denen die Anzahl der Auftritte des „Wappens“ gezählt wurde. Die Ergebnisse mehrerer Experimente sind in Tabelle 1 aufgeführt.

Hier weichen die relativen Häufigkeiten geringfügig von der Zahl 0,5 ab, und zwar je kleiner, desto größer die Anzahl der Tests. Beispielsweise beträgt die Abweichung bei 4040 Versuchen 0,0069 und bei 24000 Versuchen nur 0,0005. Berücksichtigt man, dass die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens eines „Wappens“ beim Münzwurf 0,5 beträgt, sehen wir erneut, dass die relative Häufigkeit um die Wahrscheinlichkeit schwankt.

§ 7. Einschränkungen der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition. Statistische Wahrscheinlichkeit

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit geht davon aus, dass die Anzahl der elementaren Ergebnisse eines Versuchs endlich ist. In der Praxis kommt es sehr häufig vor, dass Tests durchgeführt werden, bei denen die Zahl der möglichen Ergebnisse unendlich ist. In solchen Fällen ist die klassische Definition nicht anwendbar. Allein dieser Umstand weist auf die Grenzen der klassischen Definition hin. Der festgestellte Nachteil kann insbesondere durch die Einführung geometrischer Wahrscheinlichkeiten (siehe § 8) und natürlich durch die Verwendung axiomatischer Wahrscheinlichkeiten (siehe § 3, Anmerkung) überwunden werden.

Die schwächste Seite der klassischen Definition besteht darin, dass es sehr oft unmöglich ist, das Ergebnis eines Tests in Form einer Reihe elementarer Ereignisse darzustellen. Noch schwieriger ist es, die Gründe anzugeben, warum man elementare Ereignisse gleichermaßen für möglich hält. Üblicherweise wird davon ausgegangen, dass die Gleichmöglichkeit elementarer Testergebnisse auf Symmetrieüberlegungen beruht. Beispielsweise wird davon ausgegangen, dass die Matrize die Form eines regelmäßigen Polyeders (Würfels) hat und aus einem homogenen Material besteht. Allerdings sind Probleme, bei denen Symmetriebetrachtungen eingesetzt werden können, in der Praxis sehr selten. Aus diesem Grund werden neben der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition auch andere Definitionen verwendet, insbesondere die statistische Definition: Als statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird die relative Häufigkeit oder eine nahe daran liegende Zahl angenommen. Wenn sich beispielsweise aufgrund einer ausreichend großen Anzahl von Versuchen herausstellt, dass die relative Häufigkeit sehr nahe an der Zahl 0,4 liegt, kann diese Zahl als statistische Wahrscheinlichkeit des Ereignisses angenommen werden.

Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit, die sich aus der klassischen Definition (siehe § 3) ergeben, auch in der statistischen Definition der Wahrscheinlichkeit erhalten bleiben. In der Tat, wenn das Ereignis zuverlässig ist, dann M =N und relative Häufigkeit

M/N = N/N = 1,

diese. die statistische Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses (wie im Fall der klassischen Definition) ist gleich eins.

Wenn das Ereignis unmöglich ist, dann M= 0 und damit die relative Häufigkeit

0/N = 0,

diese. Die statistische Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Für jedes Ereignis 0 M N und damit die relative Häufigkeit

0 M/N 1,

diese. Die statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen null und eins.

Für die Existenz einer statistischen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A erforderlich:

a) die Möglichkeit, zumindest prinzipiell eine unbegrenzte Anzahl von Tests durchzuführen, bei denen es sich jeweils um ein Ereignis handelt A auftritt oder nicht auftritt;

b) Stabilität der relativen Häufigkeiten des Auftretens A in verschiedenen Serien einer ausreichend großen Anzahl von Tests.

Der Nachteil der statistischen Definition ist die Mehrdeutigkeit der statistischen Wahrscheinlichkeit; Im obigen Beispiel kann also nicht nur 0,4, sondern auch 0,39 als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses angenommen werden; 0,41 usw.

Geometrische Wahrscheinlichkeiten

Um den Nachteil der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition zu überwinden, der darin besteht, dass sie nicht auf Versuche mit unendlich vielen Ergebnissen anwendbar ist, führen wir Folgendes ein: geometrische Wahrscheinlichkeiten– die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt eine Fläche (Segment, Teil einer Ebene usw.) trifft.

Lassen Sie das Segment l ist Teil eines Segments L. Für ein Segment L ein Punkt wurde zufällig gemacht. Dies bedeutet, dass die folgenden Annahmen erfüllt sind: Der Sollwert kann an jedem Punkt des Segments liegen L, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt auf ein Segment fällt l ist proportional zur Länge dieses Segments und hängt nicht von seiner Position relativ zum Segment ab L. Unter diesen Annahmen ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt auf ein Segment fällt l wird durch Gleichheit bestimmt

P= Länge l/ Länge L.

Beispiel 1. Für ein Segment O.A. Länge L Zahlenachse Ochse ein Punkt wurde zufällig platziert B(X). Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das kleinere der Segmente vorliegt O.B. Und B.A. hat eine größere Länge L

Lösung. Teilen wir das Segment auf O.A. Punkte C Und D in 3 gleiche Teile. Die Aufgabenanforderung ist erfüllt, wenn der Punkt erreicht ist B(X) fällt auf das Segment CD Länge L/3. Erforderliche Wahrscheinlichkeit

P = (L /3)/L = 1/3.

Lassen Sie die flache Figur G ist Teil einer flachen Figur G. Fit G Ein Punkt wird zufällig geworfen. Das bedeutet, dass man folgende Annahmen treffen muss: Der geworfene Punkt kann an jedem beliebigen Punkt der Figur landen G, die Wahrscheinlichkeit, dass ein geworfener Punkt eine Figur trifft G ist proportional zur Fläche dieser Figur und hängt nicht von ihrer Lage relativ dazu ab G, weder aus dem Formular G. Unter diesen Annahmen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt eine Figur trifft G wird durch Gleichheit bestimmt

P= Fläche G/ Quadrat G.

Beispiel 2. Auf der Ebene werden zwei konzentrische Kreise gezeichnet, deren Radien 5 bzw. 10 cm betragen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig in einen großen Kreis geworfener Punkt in den Ring fällt, der aus den konstruierten Kreisen besteht. Es wird davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in eine flache Figur fällt, proportional zur Fläche dieser Figur ist und nicht von ihrer Lage relativ zum Großkreis abhängt.

Lösung. Fläche des Rings (Abbildung G)

S g= p(10 2 - 5 2) = 75 p.

Fläche eines Großkreises (Abbildung G)

S G= S. 10 2 = 100 S.

Erforderliche Wahrscheinlichkeit

P= 75 p/(100 p) = 0,75.

Beispiel 3. Das Signalgerät empfängt Signale von zwei Geräten, und der Empfang jedes dieser Signale ist zu jedem Zeitpunkt des Zeitraums gleichermaßen möglich T. Die Zeitpunkte der Signalankunft sind voneinander unabhängig. Der Alarm wird ausgelöst, wenn die Differenz zwischen den Zeitpunkten des Signalempfangs geringer ist T(T<T). Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Alarm rechtzeitig ausgelöst wird T,wenn jedes Gerät ein Signal sendet.

Lösung. Bezeichnen wir die Zeitpunkte des Eintreffens von Signalen vom ersten bzw. zweiten Gerät mit X Und j. Aufgrund der Problembedingungen müssen doppelte Ungleichungen erfüllt sein: 0 X T, 0 j T Betrachten wir das rechteckige Koordinatensystem xOy. In diesem System werden die doppelten Ungleichungen durch die Koordinaten eines beliebigen Punktes des Quadrats erfüllt OTAT(Abb. 1).

Somit kann dieses Quadrat als Figur betrachtet werden G, deren Koordinaten alle möglichen Werte der Zeitpunkte der Signalankunft darstellen.

Der Alarm wird ausgelöst, wenn die Differenz zwischen den Zeitpunkten des Signalempfangs geringer ist T, d.h. Wenn j-X<T bei j>X Und X-j<T bei X>j, oder, was ist dasselbe,

j<X+T bei j>X, (*)

j >X-T bei j<X. (**)

Für diese Punkte der Figur gilt die Ungleichung (*). G, die über der Linie liegen j = X und unterhalb der Linie j = X+T;Ungleichheit (**) gilt für Punkte unterhalb der Linie j= X und über der Geraden j = X-T.

Wie aus Abb. 1 ersichtlich ist. Alle Punkte, deren Koordinaten die Ungleichungen (*) und (**) erfüllen, gehören zum schattierten Sechseck. Somit kann dieses Sechseck als Figur betrachtet werden G, deren Koordinaten der Punkte günstige Zeitpunkte sind X Und j.

Erforderliche Wahrscheinlichkeit

P= Pl. G/ Pl. G = (T 2 - (T - T) 2)/T 2 = (T(2T - T))/T 2 .

Anmerkung 1. Die angegebenen Definitionen sind Sonderfälle der allgemeinen Definition der geometrischen Wahrscheinlichkeit. Wenn wir das Maß (Länge, Fläche, Volumen) einer Region mit mes bezeichnen, dann ist dies die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig geworfener Punkt (im obigen Sinne) in die Region fällt G– Teil der Region G, ist gleich

P=mes G/mes G.

Bemerkung 2. Im Fall der klassischen Definition ist die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen (unmöglichen) Ereignisses gleich eins (null); Auch umgekehrte Aussagen sind wahr (wenn beispielsweise die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Null ist, dann ist das Ereignis unmöglich). Im Falle einer geometrischen Wahrscheinlichkeitsdefinition gelten die umgekehrten Aussagen nicht. Beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass ein geworfener Punkt einen bestimmten Punkt in der Umgebung trifft G ist Null, aber dieses Ereignis kann eintreten und ist daher nicht unmöglich.

Aufgaben

1. Die Box enthält 50 identische Teile, davon 5 lackiert. Ein Stück wird zufällig herausgenommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das extrahierte Teil lackiert wird

Antwort. P = 0,1.

2. Es wird gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Punktzahl zu erreichen.

Antwort. P = 0,5.

3. Die Teilnehmer der Verlosung ziehen Spielsteine ​​mit Zahlen von 1 bis 100 aus der Schachtel. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des ersten zufällig gezogenen Spielsteins nicht die Zahl 5 enthält.

Antwort. P = 0,81.

4. In der Tüte befinden sich 5 identische Würfel. Auf allen Seiten jedes Würfels steht einer der folgenden Buchstaben: o, p, p, s, t. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort „Sport“ auf den Würfeln, die einzeln ausgestreckt und in einer Zeile angeordnet sind, lesbar ist .

Antwort. P = 1/120.

5. Auf jeder der sechs identischen Karten ist einer der folgenden Buchstaben aufgedruckt: a, t, m, p, s, o. Die Karten werden gründlich gemischt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort „Kabel“ auf vier nacheinander gezogenen und „in einer Zeile“ angeordneten Karten lesbar ist.

Antwort. P = 1/ = 1/360.

6. Ein Würfel, dessen Kanten alle gefärbt sind, wird in tausend gleich große Würfel zersägt, die dann gründlich vermischt werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogener Würfel farbige Flächen hat: a) eins; b) zwei; um drei Uhr.

Antwort. a)0,384; b)0,096; c)0,008.

7. Aus einem gründlich gemischten Komplettsatz von 28 Dominosteinen wird nach dem Zufallsprinzip ein Plättchen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite zufällig gezogene Knochen neben dem ersten platziert werden kann, wenn der erste Knochen: a) sich als Doppelknochen herausstellt; b) Es gibt kein Doppel.

Antwort. a)2/9; b)4/9.

8. Das Schloss hat fünf Scheiben auf einer gemeinsamen Achse. Jede Festplatte ist in sechs Sektoren unterteilt, auf denen unterschiedliche Buchstaben geschrieben sind. Das Schloss öffnet sich nur, wenn jede Scheibe eine bestimmte Position relativ zum Schlosskörper einnimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Schloss geöffnet werden kann, wenn die Festplatten zufällig installiert werden.

Antwort. P = 1/6 5 .

9. Acht verschiedene Bücher werden zufällig auf einem Regal platziert. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei bestimmte Bücher nebeneinander platziert werden.

Antwort. P= 7*2!*6!/8! = ¼.

10. Die Bibliothek besteht aus zehn verschiedenen Büchern, wobei fünf Bücher jeweils 4 Rubel kosten, drei Bücher jeweils einen Rubel kosten und zwei Bücher jeweils 3 Rubel kosten. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig genommene Bücher 5 Rubel kosten.

Antwort. P =

11. In einer Charge von 100 Teilen entdeckte die technische Kontrollabteilung 5 nicht standardmäßige Teile. Wie hoch ist die relative Häufigkeit des Vorkommens nicht standardmäßiger Teile?

Antwort. w = 0,05.

12. Beim Schießen mit einem Gewehr betrug die relative Trefferhäufigkeit des Ziels 0,85. Ermitteln Sie die Anzahl der Treffer, wenn insgesamt 120 Schüsse abgefeuert wurden.

Antwort. 102 Treffer.

13. Für ein Segment O.A. Länge L Zahlenachse Ochse ein Punkt wurde zufällig platziert B(X).Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das kleinere der Segmente vorliegt O.B. Und B.A. hat eine Länge von weniger als L/3. Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt auf ein Segment fällt, proportional zur Länge des Segments ist und nicht von seiner Position auf der Zahlenachse abhängt.

Antwort. P = 2/3.

14. Innerhalb des Radiuskreises R Ein Punkt wird zufällig geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt innerhalb eines Quadrats liegt, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Es wird davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in ein Quadrat fällt, proportional zur Fläche des Quadrats ist und nicht von seiner Position relativ zum Kreis abhängt.

P = 7/16.

Kapitel Zwei

Relative Frequenz. Relative Frequenzstabilität

Die relative Häufigkeit gehört neben der Wahrscheinlichkeit zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Relative Frequenz Ereignisse ist das Verhältnis der Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis auftrat, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche. Somit wird die relative Häufigkeit von Ereignis A durch die Formel bestimmt

Dabei ist m die Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses und n die Gesamtzahl der Versuche.

Beim Vergleich der Definitionen von Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit kommen wir zu dem Schluss: Die Definition von Wahrscheinlichkeit erfordert nicht, dass die Tests tatsächlich durchgeführt werden; Bei der Bestimmung der relativen Häufigkeit wird davon ausgegangen, dass die Tests tatsächlich durchgeführt wurden. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit wird vor dem Experiment berechnet und die relative Häufigkeit nach dem Experiment.

Beispiel 1. Die Inspektionsabteilung hat in einer Charge von 80 zufällig ausgewählten Teilen drei nicht standardmäßige Teile gefunden. Relative Häufigkeit des Vorkommens nicht standardmäßiger Teile

Beispiel 2. Es wurden 24 Schüsse auf das Ziel abgefeuert, wobei 19 Treffer verzeichnet wurden. Relative Zieltrefferquote

Langzeitbeobachtungen haben gezeigt, dass, wenn Experimente unter identischen Bedingungen durchgeführt werden, bei denen die Anzahl der Tests jeweils ausreichend groß ist, die relative Häufigkeit die Eigenschaft der Stabilität aufweist. Diese Eigenschaft ist dass sich in verschiedenen Experimenten die relative Häufigkeit kaum ändert (je weniger, desto mehr Tests werden durchgeführt) und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt. Es stellte sich heraus, dass diese konstante Zahl die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses darstellt.

Wenn also die relative Häufigkeit experimentell ermittelt wird, kann die resultierende Zahl als ungefährer Wahrscheinlichkeitswert verwendet werden.

Der Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit wird im Folgenden detaillierter und präziser beschrieben. Lassen Sie uns nun die Eigenschaft der Stabilität anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 3. Laut schwedischer Statistik wird die relative Häufigkeit der Geburten von Mädchen im Jahr 1935 pro Monat durch die folgenden Zahlen charakterisiert (die Zahlen sind nach Monaten geordnet, beginnend mit Januar): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Die relative Häufigkeit schwankt um die Zahl 0,482, was als Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit, Mädchen zu bekommen, angesehen werden kann.

Beachten Sie, dass statistische Daten aus verschiedenen Ländern ungefähr den gleichen relativen Häufigkeitswert ergeben.

Beispiel 4. Es wurden viele Versuche zum Münzwerfen durchgeführt und die Häufigkeit des Erscheinens des „Wappens“ gezählt. Die Ergebnisse mehrerer Experimente sind in der Tabelle aufgeführt. 1.

Dabei weichen die relativen Häufigkeiten geringfügig von der Zahl 0,5 ab und der Strom ist umso geringer, je größer die Anzahl der Tests ist. Beispielsweise beträgt die Abweichung bei 4040 Versuchen 0,0069 und bei 24.000 Versuchen nur 0,0005. Berücksichtigt man, dass die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen eines „Wappens“ beim Münzwurf 0,5 beträgt, ergibt sich wiederum eine relative Häufigkeit schwankt um die Wahrscheinlichkeit.

Relative Frequenz. Relative Frequenzstabilität

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis auftrat, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, die relative Häufigkeit von Ereignis A wird durch die Formel bestimmt

Dabei ist m die Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses und n die Gesamtzahl der Versuche.

Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit erfordert nicht, dass die Tests tatsächlich durchgeführt werden; Bei der Ermittlung der relativen Häufigkeit wird davon ausgegangen, dass die Tests tatsächlich durchgeführt wurden. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit wird vor dem Experiment berechnet und die relative Häufigkeit wird nach dem Experiment berechnet.

Langzeitbeobachtungen haben gezeigt, dass, wenn Experimente unter identischen Bedingungen durchgeführt werden, bei denen die Anzahl der Tests jeweils ausreichend groß ist, die relative Häufigkeit die Eigenschaft der Stabilität aufweist. Diese Eigenschaft besteht darin, dass sich in verschiedenen Experimenten die relative Häufigkeit kaum ändert (je weniger, desto mehr Tests werden durchgeführt) und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt. Es stellte sich heraus, dass diese konstante Zahl die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses darstellt.

Wenn jedoch die relative Häufigkeit experimentell ermittelt wird, kann die resultierende Zahl als ungefährer Wahrscheinlichkeitswert verwendet werden.

Beispiel 1. Es wurden mehrfach Münzwurfexperimente durchgeführt, bei denen die Anzahl der Auftritte des „Wappens“ gezählt wurde. Die Ergebnisse mehrerer Experimente sind in der Tabelle aufgeführt.

Die relative Häufigkeit ist unbedeutend. Sie weichen von der Zahl 0,5 ab, und zwar je weniger, desto größer die Anzahl der Tests.

Wenn wir berücksichtigen, dass die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens von ʼʼГʼʼ beim Werfen einer Münze = 0,5 ist, dann sind wir wieder davon überzeugt, dass es einen Zusammenhang gibt. Die Frequenz schwankt um die Spitze herum.

Die schwächste Seite des Klassikers. Die Grundidee besteht darin, dass es sehr oft unmöglich ist, das Ergebnis eines Tests nur in Form elementarer Ereignisse darzustellen. Noch schwieriger ist es, die Gründe anzugeben, die es uns ermöglichen, die Elemente als gleichermaßen möglich zu betrachten. Aus diesem Grund neben dem Klassiker. Die Definition von ver-ti wird verwendet usw.
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Definition von ver-ti Insbesondere statistisch: Ereignisse werden als statistische Wahrheit angesehen. Frequenz oder eine Zahl in der Nähe davon.

Gleichzeitig hat die Definition der statistischen Ver-ti ihr eigenes „ʼʼ-ʼʼ. Zum Beispiel die Mehrdeutigkeit der statistischen Daten. Im betrachteten Beispiel kann die Qualität der Ereigniswahrheit also nicht nur 0,5, sondern auch 0,5069 und 0,5016 usw. angenommen werden.

Das Konzept von geometrische ver.ʼʼ comp. nächste:

Der Weg zum Bereich G wird durch einen Punkt zufällig geworfen. Der Ausdruck „zufällig geworfen“ wird üblicherweise in dem Sinne verstanden, dass ein geworfener Punkt jeden Punkt im Bereich G treffen kann. Es wird angenommen, dass er irgendeinen Punkt trifft. Ein Teil der Region G ist proportional zum Maß dieses Teils (Länge, Fläche, Volumen) und hängt nicht von seiner Lage und Form ab.

Das. Wenn g Teil der Region G ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, in die Region g zu gelangen, per Definition = P(g) = Maß g/Maß G. Beachten Sie, dass hier die Regel Ω aller Elementarergebnisse die Gesamtheit aller Punkte der Fläche G darstellt und daher aus einer unendlichen Menge elementarer Ereignisse besteht => der Begriff „geom“. „Ver-t“ kann als Verallgemeinerung des Begriffs „klassisch“ betrachtet werden. Glauben Sie an Experimente mit unendlich vielen Ergebnissen.

Besprechungsaufgabe. Lösung: Bezeichnen wir mit x und y die Ankunftszeitpunkte der Personen A und B. Das Treffen findet statt, wenn |x-y|≤10.

Wenn Sie x und y als kartesische Koordinaten auf einem Quadrat darstellen, werden alle möglichen Ergebnisse durch einen Punkt in einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 60 dargestellt.

10≤y-x≤10

Buffons Problem. Lösung: Führen wir die folgende Notation ein: x – der Abstand von der Mitte der Nadel zur nächsten Parallele;

φ ist der Winkel, den diese Parallele mit der Nadel bildet.

Die Position der Nadel wird vollständig durch die gegebenen spezifischen Werte von x und φ bestimmt. Außerdem ist x Є(0;a), φЄ(0;π). Mit anderen Worten: Die Mitte der Nadel kann in jeden Punkt eines Rechtecks ​​mit den Seiten a und π fallen.

Das. Dieses Rechteck kann als Figur G betrachtet werden, deren Punkte alle möglichen Positionen der Nadelmitte darstellen. Offensichtlich ist dieser Bereich der Figur = πa.

Suchen wir eine Figur g, deren jeder Punkt das Ereignis begünstigt, an dem wir interessiert sind, ᴛ.ᴇ. Jeder Punkt der Figur kann als Mittelpunkt der Nadel dienen, deren Kanten von einer Parallele gekreuzt werden.

Die Nadel schneidet die Parallele, die ihr am nächsten liegt, vorausgesetzt: x≤l·sinφ

Diese. wenn die Mitte der Nadel einen der Punkte der in Abb. (2) schattierten Figur trifft. Das. die schattierte Figur kann man sich als g vorstellen. Finden wir seinen Bereich:

Antwort: 2l/aπ

Relative Frequenz. Stabilität der relativen Häufigkeit – Konzept und Typen. Klassifizierung und Merkmale der Kategorie „Relative Häufigkeit. Stabilität der relativen Häufigkeit“ 2017, 2018.

Bei der klassischen Definition wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch die Gleichung P(A)=m/n bestimmt, wobei m die Anzahl der elementaren Testergebnisse ist, die das Eintreten des Ereignisses A begünstigen; n ist die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse des Elementartests.

Es wird davon ausgegangen, dass die Elementarergebnisse eine vollständige Gruppe bilden und gleichermaßen möglich sind.

Relative Häufigkeit von Ereignis A: W(A)=m/n, wobei m die Anzahl der Versuche ist, in denen Ereignis A auftrat; n ist die Gesamtzahl der durchgeführten Tests.

Bei der statistischen Bestimmung wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als seine relative Häufigkeit angesehen.

Beispiel: Es werden zwei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Punkte auf den gewürfelten Seiten gerade ist und auf der Seite von mindestens einem der Würfel eine Sechs erscheint.

Lösung: Auf der fallengelassenen Seite des „ersten“ Würfels dürfen ein Punkt, ..., sechs Punkte erscheinen. Ähnliche sechs elementare Ergebnisse sind beim Werfen des „zweiten“ Würfels möglich. Jedes Ergebnis des Wurfs des „Ersten“ kann mit jedem Ergebnis des Wurfs des „Zweiten“ kombiniert werden. die Gesamtzahl der elementaren Testergebnisse beträgt 6*6=36. Diese Ergebnisse bilden eine vollständige Gruppe und sind aufgrund der Symmetrie der Knochen gleichermaßen möglich. 5 Züge sind für das Ereignis günstig: 1)6,2;2)6,4;3)6,6;4)2,6;5)4,6;

Erforderliche Wahrscheinlichkeit: P(A)=5/36

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2. 27. Statistische Bestimmung der Probe. Variationsreihen und ihre grafische Darstellung. Polygon und Histogramm der Häufigkeiten (relative Häufigkeiten).
3. 39. Konstruktion einer Intervallvariationsreihe. Histogramm der Häufigkeiten und relativen Häufigkeiten.
4. 4. Wahrscheinlichkeit der Abweichung der relativen Häufigkeit von einer konstanten Wahrscheinlichkeit in unabhängigen Tests

angerufen relative Frequenz ( oder Frequenz) Veranstaltungen A in der betrachteten Versuchsreihe.

Die relative Häufigkeit des Ereignisses ist wie folgt Eigenschaften:

1. Die Häufigkeit jedes Ereignisses liegt zwischen null und eins, d.h.

2. Die Häufigkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h.

3. Die Häufigkeit eines zuverlässigen Ereignisses beträgt 1, d.h.

4. Die Häufigkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Häufigkeit
diese Ereignisse, d.h. wenn, dann

Die Frequenz hat eine weitere grundlegende Eigenschaft namens Eigenschaft der statistischen Stabilität: mit zunehmender Anzahl von Experimenten (d. h. N) Es nimmt Werte nahe einer konstanten Zahl an (man sagt: Die Frequenz stabilisiert sich, nähert sich einer bestimmten Zahl, die Frequenz schwankt um eine bestimmte Zahl oder ihre Werte gruppieren sich um eine bestimmte Zahl).

So stellte sich beispielsweise im Experiment (K. Pearson) beim Werfen einer Münze heraus, dass die relative Häufigkeit des Erscheinens des Wappens bei 12.000 und 24.000 Würfen 0,5015 bzw. 0,5005 betrug, d.h. die Frequenz nähert sich der Zahl. Die Häufigkeit, einen Jungen zu bekommen, schwankt, wie Beobachtungen zeigen, um die Zahl 0,515.

Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie nur Massenzufallsphänomene mit ungewissem Ausgang untersucht, für die eine Stabilität der relativen Häufigkeit angenommen wird.

Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit

Um ein zufälliges Ereignis mathematisch zu untersuchen, ist es notwendig, eine quantitative Bewertung des Ereignisses einzuführen. Es ist klar, dass einige Ereignisse wahrscheinlicher („wahrscheinlicher“) sind als andere. Diese Einschätzung ist Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, diese. eine Zahl, die den Grad der Möglichkeit seines Auftretens in der betrachteten Erfahrung ausdrückt. Es gibt mehrere mathematische Definitionen der Wahrscheinlichkeit; sie alle ergänzen und verallgemeinern einander.

Stellen Sie sich ein Experiment vor, das beliebig oft wiederholt werden kann (man sagt: „Es werden wiederholte Tests durchgeführt“), bei dem ein Ereignis beobachtet wird A.

Statistische Wahrscheinlichkeit Veranstaltungen A ist die Zahl, um die die relative Häufigkeit des Ereignisses A für eine ausreichend große Anzahl von Versuchen (Experimenten) schwankt.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird durch das Symbol angezeigt R(A). Nach dieser Definition:

.

(1.2)

Mathematische Begründung für die Nähe von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit R(A) eines Ereignisses A dient als Satz von J. Bernoulli.

Wahrscheinlichkeiten R(A) Eigenschaften von 1-4 relativen Häufigkeiten werden zugeschrieben:

1. Die statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen Null und Eins, d. h.

2. Die statistische Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h.

3. Die statistische Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich 1, d.h.

4. Die statistische Wahrscheinlichkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Häufigkeit dieser Ereignisse, d.h. wenn, dann

Die statistische Methode zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung, die auf realen Erfahrungen basiert, offenbart den Inhalt dieses Konzepts recht vollständig. Der Nachteil der statistischen Definition ist die Mehrdeutigkeit der statistischen Wahrscheinlichkeit; Im Beispiel des Münzwurfs kann man als Wahrscheinlichkeit also nicht nur die Zahl 0,5, sondern auch 0,49 oder 0,51 usw. annehmen. Um die Wahrscheinlichkeit zuverlässig zu bestimmen, müssen Sie eine große Anzahl von Tests durchführen, was nicht immer einfach oder kostengünstig ist.

Klassische Definition von Wahrscheinlichkeit

Es gibt eine einfache Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, die auf der Gleichheit einer endlichen Anzahl von Ergebnissen des Experiments basiert. Lassen Sie das Experiment mit durchführen N Ergebnisse, die dargestellt werden können als vollständige Gruppe von inkompatiblen gleichermaßen möglichen Veranstaltungen. Solche Ergebnisse werden aufgerufen Fälle, Chancen, elementare Ereignisse, Erfahrung - klassisch. Sie sagen über eine solche Erfahrung, auf die es hinausläuft Fallschema oder Urnenschema(da das probabilistische Problem für ein solches Experiment durch ein äquivalentes Problem mit Urnen ersetzt werden kann, die Kugeln unterschiedlicher Farbe enthalten).

Fall w, der zum Eintreten des Ereignisses führt A, angerufen günstig(oder günstig) für ihn, d.h. der Fall w bringt das Ereignis mit sich A: .

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A heißt Zahlenverhältnis M Fälle, die für dieses Ereignis günstig sind, zur Gesamtzahl N Fälle, d.h.

.

(1.3)

Zusammen mit der Bezeichnung R(A) für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A Die verwendete Notation ist R, d.h. p=P(A).

Aus der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition folgt Folgendes: Eigenschaften:

1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen Null und Eins, d. h.

2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h.

3. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist 1, d.h.

4. Die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Häufigkeit dieser Ereignisse, d.h. wenn, dann

Beispiel 1.3. Eine Urne enthält 12 weiße und 8 schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel weiß ist?

Lösung:

Lassen A– ein Ereignis, das darin besteht, dass eine weiße Kugel gezogen wird. Es ist klar, dass dies die Anzahl aller gleich möglichen Fälle ist. Anzahl der Fälle, die das Ereignis begünstigen A, gleich 12, d.h. . Folglich gilt nach Formel (1.3): , d.h. .

Geometrische Definition von Wahrscheinlichkeiten

Die geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit wird verwendet, wenn die Ergebnisse des Experiments gleichermaßen möglich sind und die PES eine unendliche, überzählbare Menge ist. Betrachten wir auf der Ebene einen Bereich Ω mit der Fläche und innerhalb des Bereichs Ω , Region D mit Fläche S D(siehe Abb. 6).

Ein Punkt wird zufällig im Bereich Ω ausgewählt X. Diese Wahl kann interpretiert werden als einen Punkt werfen X zur RegionΩ. In diesem Fall ist der Eintritt eines Punktes in den Bereich Ω ein zuverlässiges Ereignis, in D- zufällig. Es wird angenommen, dass alle Punkte der Region Ω gleich sind (alle Elementarereignisse sind gleichermaßen möglich), d. h. dass ein geworfener Punkt jeden Punkt in der Region Ω treffen kann und die Wahrscheinlichkeit, in die Region zu gelangen D ist proportional zur Fläche dieser Fläche und hängt nicht von ihrer Lage und Form ab. Lassen Sie das Ereignis, d.h. Der geworfene Punkt wird in den Bereich fallen D.

Reis. 6

Geometrische Wahrscheinlichkeit Veranstaltungen A wird das Flächenverhältnis einer Region genannt D auf die Fläche der Region Ω, d.h.

in dieser Sekunde:

wohin durch mes die Maßnahmen, l,V) Bereiche.

Die geometrische Wahrscheinlichkeit hat alles Eigenschaften der klassischen Definition innewohnend:

1. Die geometrische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen Null und Eins, d.h.

2. Die geometrische Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h.

3. Die geometrische Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich 1, d.h.

4. Die geometrische Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Häufigkeit dieser Ereignisse, d.h. wenn, dann