Einige Eigenschaften von Operationen auf Matrizen. Matrixausdrücke. Kommutativität eines numerischen Faktors in Bezug auf die Matrixmultiplikation

Heutzutage hat wahrscheinlich mehr als ein Student Schwierigkeiten in der höheren Mathematik und fragt sich insbesondere, wie man Matrizen multipliziert. Natürlich kann in unserer fortschrittlichen Zeit fast alles im World Wide Web erledigt werden. Im Internet können Sie jetzt die meisten Operationen der höheren Mathematik, einschließlich der Online-Multiplikation von Matrizen, problemlos durchführen. Bei vielen modernen Ressourcen und Diensten müssen Sie zur Lösung des besprochenen Problems nur bestimmte Bedingungen eingeben und ein paar weitere Klicks ausführen. Aber in unserem Artikel werden wir versuchen, dieses Thema aus einer traditionelleren Sicht zu behandeln.

Unterschied zwischen Multiplikationen

Die Matrixmultiplikation unterscheidet sich in gewissem Maße von der gewöhnlichen Variablen- oder Zahlenmultiplikation. Der Grund dafür liegt in der Struktur der an Operationen beteiligten Elemente und weist daher eigene Merkmale und Regeln auf.

Das Wesentliche dieser Operation lässt sich am einfachsten und kurzstens wie folgt formulieren: Es ist notwendig, die Zeilen der Matrix mit ihren Spalten zu multiplizieren. Lassen Sie uns etwas detaillierter auf diese Regel eingehen und auch auf einige Funktionen und mögliche Einschränkungen hinweisen.

Multiplikation mit Identitätsmatrizen

Wie multipliziert man eine Matrix mit einer Matrix, wenn eine davon Identität ist? Mit dieser Operation verwandelt sich die ursprüngliche Matrix in sich selbst. Dementsprechend führt die Multiplikation einer beliebigen Matrix mit einer Nullmatrix auch zu einer Nullmatrix. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal groß darüber nachdenken, wie Sie eine Matrix mit einer Zeile multiplizieren.

Klassische Multiplikation

Die Hauptbedingung für die an der Operation beteiligten Matrizen besteht darin, dass die Anzahl der Zeilen in einer Matrix der Anzahl der Spalten in einer anderen entspricht. Schließlich ist es nicht schwer zu erraten, dass es in anderen Fällen einfach nichts gibt, mit dem man multiplizieren kann.

Ein wichtiger Punkt sollte gesondert erwähnt werden. Die Matrixmultiplikation besitzt nicht die Eigenschaft der Kommutativität („Vertauschbarkeit“ von Faktoren). Einfacher ausgedrückt ist das Produkt von A und B nicht gleich dem Produkt von B und A. Verwechseln Sie es nicht mit den Regeln für die Multiplikation gewöhnlicher Zahlen. Schauen wir uns nun genauer an, wie eine Matrix mit einer Spalte multipliziert wird.

Nehmen wir an, dass wir gemäß den Bedingungen des Problems die Matrix A mit der Matrix B multiplizieren müssen. Dazu müssen wir die erste Zeile der ersten Matrix nehmen und ihre Elemente mit den Elementen der ersten Spalte der zweiten multiplizieren Matrix. Alle resultierenden Produkte sollten addiert und an der Stelle a-1-1 in das Endprodukt (Endmatrix) geschrieben werden.

Anschließend multiplizieren Sie auf ähnliche Weise die erste Zeile der ersten Matrix mit der zweiten Spalte der zweiten Matrix. Schreiben Sie das resultierende Ergebnis rechts von der ersten in der endgültigen Matrix empfangenen Zahl, d. h. platzieren Sie es an Position a-1-2.

Machen Sie dann dasselbe mit der ersten Zeile der ersten Matrix sowie mit der dritten, vierten usw. Spalte der zweiten Matrix. Letztendlich füllen Sie die erste Zeile der endgültigen Matrix aus.

Gehen Sie dann zur zweiten Zeile der ersten Matrix und multiplizieren Sie sie erneut der Reihe nach mit jeder Spalte, beginnend mit der allerersten. Das Ergebnis, das hier herauskommt, sollte in die zweite Zeile des Produkts (endgültige Matrix) geschrieben werden.

Solche einfachen Schritte sollten wiederholt werden, bis jede Zeile der ersten Matrix mit jeder Spalte der zweiten Matrix multipliziert ist.

Um unsere Betrachtung einer unserer heutigen Fragen abzuschließen, stellen wir unten einen Link mit dem einfachsten Beispiel für die Multiplikation von Matrizen bereit.

Mit einer Zahl multiplizieren

Um zu lernen, wie man eine Zahl mit einer Matrix multipliziert, müssen Sie sich nur an die Regel erinnern, dass das Produkt einer beliebigen Matrix mit einer beliebigen Zahl ungleich Null eine Matrix derselben Ordnung ist, die als Ergebnis aus der ursprünglichen Matrix erhalten wird jedes Element mit einer bestimmten vorgegebenen Zahl zu multiplizieren.

Die Ergebnisse beim Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl und Zahlen mit einer Matrix sind genau die gleichen. Aus dieser Definition folgt auch, dass die gemeinsamen Faktoren jedes Elements der Matrix aus seinem Vorzeichen entnommen werden können. Das ist jedoch eine ganz andere Geschichte.

Damit sind alle für die Matrixmultiplikation notwendigen Informationen erschöpft. Wir hoffen aufrichtig, dass die Lektüre unseres Artikels Ihnen dabei hilft, die komplexe Wissenschaft der höheren Mathematik zu meistern. Und denken Sie daran, dass das menschliche Gehirn durch unabhängige Selbstbildung trainiert wird und nicht durch die Suche nach Informationen oder Online-Diensten zur Lösung bestimmter Probleme im Internet.

Einige Eigenschaften von Operationen auf Matrizen.
Matrixausdrücke

Und nun wird es eine Fortsetzung des Themas geben, in der wir nicht nur neues Material betrachten, sondern auch ausarbeiten Operationen mit Matrizen.

Einige Eigenschaften von Operationen auf Matrizen

Es gibt eine ganze Reihe von Eigenschaften, die sich auf Operationen mit Matrizen beziehen; in derselben Wikipedia können Sie die geordneten Ränge der entsprechenden Regeln bewundern. In der Praxis sind jedoch viele Eigenschaften gewissermaßen „tot“, da nur wenige von ihnen zur Lösung realer Probleme genutzt werden. Mein Ziel ist es, die praktische Anwendung der Eigenschaften anhand konkreter Beispiele zu untersuchen. Wenn Sie eine fundierte Theorie benötigen, nutzen Sie bitte eine andere Informationsquelle.

Schauen wir uns einige an Ausnahmen von der Regel, die zur Erledigung praktischer Aufgaben erforderlich sind.

Wenn eine quadratische Matrix hat inverse Matrix, dann ist ihre Multiplikation kommutativ:

Identitätsmatrix heißt eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale Einheiten sind lokalisiert und die restlichen Elemente sind gleich Null. Zum Beispiel: usw.

Dabei Die folgende Eigenschaft ist wahr: wenn eine beliebige Matrix multipliziert wird links oder rechts auf eine Identitätsmatrix geeigneter Größe, dann ist das Ergebnis die Originalmatrix:

Wie Sie sehen, findet auch hier die Kommutativität der Matrizenmultiplikation statt.

Nehmen wir eine Matrix, sagen wir, die Matrix aus dem vorherigen Problem: .

Interessenten können Folgendes überprüfen und sicherstellen:

Die Einheitsmatrix für Matrizen ist ein Analogon der numerischen Einheit für Zahlen, was insbesondere an den gerade besprochenen Beispielen deutlich wird.

Kommutativität eines numerischen Faktors in Bezug auf die Matrixmultiplikation

Für Matrizen und reelle Zahlen gilt die folgende Eigenschaft:

Das heißt, der numerische Faktor kann (und sollte) nach vorne verschoben werden, damit er die Multiplikation von Matrizen „nicht stört“.

Notiz : Im Allgemeinen ist die Formulierung der Eigenschaft unvollständig – das „Lambda“ kann irgendwo zwischen den Matrizen platziert werden, sogar am Ende. Die Regel bleibt gültig, wenn drei oder mehr Matrizen multipliziert werden.

Beispiel 4

Produkt berechnen

Lösung:

(1) Nach Eigentum Verschieben Sie den numerischen Faktor nach vorne. Die Matrizen selbst können nicht neu angeordnet werden!

(2) – (3) Führen Sie eine Matrixmultiplikation durch.

(4) Hier können Sie jede Zahl durch 10 teilen, aber dann erscheinen Dezimalbrüche zwischen den Elementen der Matrix, was nicht gut ist. Allerdings stellen wir fest, dass alle Zahlen in der Matrix durch 5 teilbar sind, also multiplizieren wir jedes Element mit .

Antwort:

Eine kleine Farce, die Sie selbst lösen können:

Beispiel 5

Berechnen Sie, ob

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Welche Technik ist bei der Lösung solcher Beispiele wichtig? Lassen Sie uns die Zahlen herausfinden zuallerletzt .

Hängen wir einen weiteren Waggon an die Lokomotive an:

Wie multipliziert man drei Matrizen?

Zunächst einmal: WAS sollte das Ergebnis der Multiplikation dreier Matrizen sein? Eine Katze bringt keine Maus zur Welt. Wenn eine Matrixmultiplikation möglich ist, ist das Ergebnis ebenfalls eine Matrix. Hmmm, nun ja, mein Algebralehrer versteht nicht, wie ich die Geschlossenheit der algebraischen Struktur relativ zu ihren Elementen erkläre =)

Das Produkt dreier Matrizen kann auf zwei Arten berechnet werden:

1) Finden und multiplizieren Sie sie dann mit der Matrix „ce“: ;

2) entweder zuerst finden, dann multiplizieren.

Die Ergebnisse werden auf jeden Fall übereinstimmen, und zwar theoretisch Diese Eigenschaft wird Assoziativität der Matrixmultiplikation genannt:

Beispiel 6

Multiplizieren Sie Matrizen auf zwei Arten

Algorithmus Lösungen zweistufig: Wir ermitteln das Produkt zweier Matrizen, dann ermitteln wir erneut das Produkt zweier Matrizen.

1) Verwenden Sie die Formel

Aktion eins:

Zweiter Akt:

2) Verwenden Sie die Formel

Aktion eins:

Zweiter Akt:

Antwort:

Die erste Lösung ist natürlich vertrauter und standardisierter, bei der „alles in Ordnung zu sein scheint“. Übrigens, was die Bestellung betrifft. Bei der betrachteten Aufgabe entsteht oft die Illusion, dass es sich um eine Art Permutation von Matrizen handelt. Sie sind nicht hier. Ich erinnere Sie noch einmal daran Im Algemeinen Es ist unmöglich, Matrizen umzukehren. Im zweiten Absatz führen wir also im zweiten Schritt eine Multiplikation durch, tun dies aber auf keinen Fall. Mit gewöhnlichen Zahlen würde eine solche Zahl funktionieren, mit Matrizen jedoch nicht.

Die Eigenschaft der assoziativen Multiplikation gilt nicht nur für quadratische, sondern auch für beliebige Matrizen – sofern diese multipliziert werden:

Beispiel 7

Finden Sie das Produkt von drei Matrizen

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. In der Beispiellösung werden die Berechnungen auf zwei Arten durchgeführt: Analysieren, welcher Weg rentabler und kürzer ist.

Die Assoziativitätseigenschaft der Matrixmultiplikation gilt auch für eine größere Anzahl von Faktoren.

Jetzt ist es an der Zeit, zu Matrizenpotenzen zurückzukehren. Das Quadrat der Matrix wird ganz am Anfang betrachtet und die Frage auf der Tagesordnung lautet:

Wie würfelt man eine Matrix und höhere Potenzen?

Auch diese Operationen sind nur für quadratische Matrizen definiert. Um eine quadratische Matrix zu würfeln, müssen Sie das Produkt berechnen:

Tatsächlich ist dies ein Sonderfall der Multiplikation von drei Matrizen gemäß der Assoziativitätseigenschaft der Matrixmultiplikation: . Und eine mit sich selbst multiplizierte Matrix ist das Quadrat der Matrix:

Somit erhalten wir die Arbeitsformel:

Das heißt, die Aufgabe wird in zwei Schritten ausgeführt: Zuerst muss die Matrix quadriert werden und dann muss die resultierende Matrix mit der Matrix multipliziert werden.

Beispiel 8

Konstruieren Sie die Matrix zu einem Würfel.

Dies ist ein kleines Problem, das Sie selbst lösen müssen.

Die Erhöhung einer Matrix in die vierte Potenz erfolgt auf natürliche Weise:

Mithilfe der Assoziativität der Matrixmultiplikation leiten wir zwei Arbeitsformeln ab. Erstens: – Dies ist das Produkt von drei Matrizen.

1) . Mit anderen Worten, wir finden zuerst , multiplizieren es dann mit „be“ – wir erhalten einen Würfel, und schließlich führen wir die Multiplikation erneut durch – es wird eine vierte Potenz geben.

2) Aber es gibt eine Lösung, die einen Schritt kürzer ist: . Das heißt, im ersten Schritt finden wir ein Quadrat und führen unter Umgehung des Würfels eine Multiplikation durch

Zusatzaufgabe zu Beispiel 8:

Erhöhen Sie die Matrix auf die vierte Potenz.

Wie bereits erwähnt, kann dies auf zwei Arten erfolgen:

1) Da der Würfel bekannt ist, führen wir eine Multiplikation durch.

2) Wenn es jedoch gemäß den Bedingungen des Problems erforderlich ist, eine Matrix zu erstellen nur bis zur vierten Potenz, dann ist es vorteilhaft, den Weg zu verkürzen – das Quadrat der Matrix zu finden und die Formel zu verwenden.

Beide Lösungen und die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Ebenso wird die Matrix auf die fünfte und höhere Potenz angehoben. Aus praktischer Erfahrung kann ich sagen, dass ich manchmal auf Beispiele für die Erhöhung in die 4. Potenz stoße, mich aber an nichts über die fünfte Potenz erinnern kann. Aber für alle Fälle gebe ich den optimalen Algorithmus an:

1) finden;
2) finden;
3) Erhöhen Sie die Matrix auf die fünfte Potenz: .

Dies sind möglicherweise alle grundlegenden Eigenschaften von Matrixoperationen, die bei praktischen Problemen nützlich sein können.

Im zweiten Unterrichtsabschnitt wird ein ebenso buntes Publikum erwartet.

Matrixausdrücke

Wiederholen wir die üblichen Schulausdrücke mit Zahlen. Ein numerischer Ausdruck besteht aus Zahlen, mathematischen Symbolen und Klammern, zum Beispiel: . Beim Rechnen gilt die bekannte algebraische Priorität: Erstens Klammern, dann ausgeführt Potenzierung/Wurzeln, Dann Multiplikation/Division Zuguterletzt - Addition Subtraktion.

Wenn ein numerischer Ausdruck sinnvoll ist, dann ist das Ergebnis seiner Auswertung eine Zahl, Zum Beispiel:

Matrixausdrücke sind fast gleich angeordnet! Mit dem Unterschied, dass die Hauptfiguren Matrizen sind. Plus einige spezifische Matrixoperationen, wie z. B. Transponieren und Finden der Umkehrung einer Matrix.

Betrachten Sie den Matrixausdruck , wo sind einige Matrizen. In diesem Matrixausdruck werden zuletzt drei Terme und Additions-/Subtraktionsoperationen ausgeführt.

Im ersten Term müssen Sie zunächst die Matrix „be“ transponieren: , dann die Multiplikation durchführen und die „zwei“ in die resultierende Matrix eingeben. beachten Sie, dass Die Transponierungsoperation hat eine höhere Priorität als die Multiplikation. Klammern ändern wie in numerischen Ausdrücken die Reihenfolge der Aktionen: - Hier wird zuerst eine Multiplikation durchgeführt, dann wird die resultierende Matrix transponiert und mit 2 multipliziert.

Im zweiten Term wird zunächst die Matrixmultiplikation durchgeführt und aus dem Produkt die inverse Matrix ermittelt. Wenn Sie die Klammern entfernen: , müssen Sie zuerst die inverse Matrix finden und dann die Matrizen multiplizieren: . Das Ermitteln der Umkehrung einer Matrix hat ebenfalls Vorrang vor der Multiplikation.

Beim dritten Term ist alles klar: Wir heben die Matrix in einen Würfel und tragen die „Fünf“ in die resultierende Matrix ein.

Wenn ein Matrixausdruck sinnvoll ist, dann ist das Ergebnis seiner Auswertung eine Matrix.

Alle Aufgaben stammen aus echten Tests und wir beginnen mit den einfachsten:

Beispiel 9

Gegebene Matrizen . Finden:

Lösung: Die Reihenfolge der Operationen ist klar: Zuerst wird die Multiplikation und dann die Addition durchgeführt.

Die Addition kann nicht durchgeführt werden, da die Matrizen unterschiedlich groß sind.

Seien Sie nicht überrascht, bei Aufgaben dieser Art werden offensichtlich oft unmögliche Aktionen vorgeschlagen.

Versuchen wir, den zweiten Ausdruck zu berechnen:

Alles ist gut hier.

Antwort: Aktion kann nicht ausgeführt werden, .

1. Jahr, Höhere Mathematik, Studium Matrizen und grundlegende Maßnahmen dazu. Hier systematisieren wir die grundlegenden Operationen, die mit Matrizen durchgeführt werden können. Wo fängt man an, sich mit Matrizen vertraut zu machen? Natürlich von den einfachsten Dingen – Definitionen, Grundkonzepten und einfachen Operationen. Wir versichern Ihnen, dass die Matrizen von jedem verstanden werden, der ihnen zumindest ein wenig Zeit widmet!

Matrixdefinition

Matrix ist eine rechteckige Tabelle mit Elementen. Nun, in einfachen Worten – eine Zahlentabelle.

Typischerweise werden Matrizen in lateinischen Großbuchstaben bezeichnet. Zum Beispiel Matrix A , Matrix B usw. Matrizen können unterschiedliche Größen haben: rechteckig, quadratisch, und es gibt auch Zeilen- und Spaltenmatrizen, die als Vektoren bezeichnet werden. Die Größe der Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt. Schreiben wir zum Beispiel eine rechteckige Größenmatrix M An N , Wo M – Anzahl der Zeilen und N – Anzahl der Spalten.

Artikel, für die i=j (a11, a22, .. ) bilden die Hauptdiagonale der Matrix und werden Diagonale genannt.

Was kann man mit Matrizen machen? Addieren/Subtrahieren, mit einer Zahl multiplizieren, untereinander vermehren, transponieren. Nun zu all diesen grundlegenden Operationen an Matrizen der Reihe nach.

Matrixadditions- und -subtraktionsoperationen

Wir weisen Sie gleich darauf hin, dass Sie nur Matrizen gleicher Größe hinzufügen können. Das Ergebnis ist eine Matrix gleicher Größe. Das Addieren (oder Subtrahieren) von Matrizen ist einfach - Sie müssen nur die entsprechenden Elemente addieren . Geben wir ein Beispiel. Führen wir die Addition zweier Matrizen A und B der Größe zwei mal zwei durch.

Die Subtraktion erfolgt analog, nur mit umgekehrtem Vorzeichen.

Jede Matrix kann mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden. Um dies zu tun, Sie müssen jedes seiner Elemente mit dieser Zahl multiplizieren. Lassen Sie uns zum Beispiel die Matrix A aus dem ersten Beispiel mit der Zahl 5 multiplizieren:

Matrixmultiplikationsoperation

Nicht alle Matrizen können miteinander multipliziert werden. Wir haben zum Beispiel zwei Matrizen – A und B. Sie können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix B ist. In diesem Fall Jedes Element der resultierenden Matrix, das sich in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte befindet, ist gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Elemente in der i-ten Zeile des ersten Faktors und der j-ten Spalte von der Zweite. Um diesen Algorithmus zu verstehen, schreiben wir auf, wie zwei quadratische Matrizen multipliziert werden:

Und ein Beispiel mit reellen Zahlen. Lassen Sie uns die Matrizen multiplizieren:

Matrix-Transponierungsoperation

Bei der Matrixtransposition handelt es sich um einen Vorgang, bei dem die entsprechenden Zeilen und Spalten vertauscht werden. Transponieren wir zum Beispiel die Matrix A aus dem ersten Beispiel:

Matrixdeterminante

Determinante oder Determinante ist eines der Grundkonzepte der linearen Algebra. Es gab einmal eine Zeit, in der die Menschen lineare Gleichungen erfanden, und danach mussten sie sich eine Determinante ausdenken. Am Ende liegt es an Ihnen, mit all dem fertig zu werden, also der letzte Anstoß!

Die Determinante ist ein numerisches Merkmal einer quadratischen Matrix, das zur Lösung vieler Probleme benötigt wird.
Um die Determinante der einfachsten quadratischen Matrix zu berechnen, müssen Sie die Differenz zwischen den Produkten der Elemente der Haupt- und Nebendiagonalen berechnen.

Die Determinante einer Matrix erster Ordnung, also bestehend aus einem Element, ist gleich diesem Element.

Was ist, wenn die Matrix drei mal drei ist? Das ist schwieriger, aber Sie können es schaffen.

Für eine solche Matrix ist der Wert der Determinante gleich der Summe der Produkte der Elemente der Hauptdiagonale und der Produkte der Elemente, die auf den Dreiecken mit einer zur Hauptdiagonalen parallelen Fläche liegen, woraus das Produkt der Elemente der Nebendiagonale und das Produkt der auf den Dreiecken liegenden Elemente mit der Fläche der parallelen Nebendiagonale werden subtrahiert.

Glücklicherweise ist es in der Praxis selten erforderlich, Determinanten großer Matrizen zu berechnen.

Hier haben wir uns grundlegende Operationen auf Matrizen angesehen. Natürlich kann es sein, dass Sie im wirklichen Leben nie auch nur den Hauch eines Matrixgleichungssystems antreffen, oder im Gegenteil, Sie können auf viel komplexere Fälle stoßen, in denen Sie sich wirklich den Kopf zerbrechen müssen. Für solche Fälle gibt es professionelle Studierendenservices. Bitten Sie um Hilfe, erhalten Sie eine hochwertige und detaillierte Lösung, genießen Sie Studienerfolg und Freizeit.