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Die Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Quadratische Gleichungen. Lösungsbeispiele. Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Quadratische Gleichung - einfach zu lösen! *Weiter im Text "KU". Freunde, es scheint, dass es in der Mathematik einfacher sein kann, als eine solche Gleichung zu lösen. Aber etwas sagte mir, dass viele Leute Probleme mit ihm haben. Ich habe mich entschieden zu sehen, wie viele Impressionen Yandex pro Anfrage und Monat liefert. Folgendes ist passiert, schau mal:

Was bedeutet das? Dies bedeutet, dass etwa 70.000 Menschen im Monat nach diesen Informationen suchen, und dies ist Sommer und was während des Schuljahres passieren wird - es werden doppelt so viele Anfragen eingehen. Dies ist nicht verwunderlich, da die Jungen und Mädchen, die die Schule längst abgeschlossen haben und sich auf die Prüfung vorbereiten, nach diesen Informationen suchen, und auch die Schulkinder versuchen, ihr Gedächtnis aufzufrischen.

Trotz der Tatsache, dass es viele Websites gibt, die erklären, wie man diese Gleichung löst, habe ich mich entschlossen, auch das Material beizutragen und zu veröffentlichen. Erstens möchte ich, dass Besucher auf diese Anfrage auf meine Website kommen; Zweitens werde ich in anderen Artikeln, wenn die Rede „KU“ auftaucht, einen Link zu diesem Artikel geben; Drittens werde ich Ihnen etwas mehr über seine Lösung erzählen, als normalerweise auf anderen Websites angegeben ist. Lass uns anfangen! Der Inhalt des Artikels:

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:

wo Koeffizienten a,bund mit beliebigen Zahlen, mit a≠0.

Im Schulkurs wird das Material in folgender Form gegeben - die Aufteilung der Gleichungen in drei Klassen erfolgt bedingt:

1. Habe zwei Wurzeln.

2. * Nur eine Wurzel haben.

3. Keine Wurzeln haben. Es ist hier erwähnenswert, dass sie keine wirklichen Wurzeln haben

Wie werden Wurzeln berechnet? Gerade!

Wir berechnen die Diskriminante. Unter diesem „schrecklichen“ Wort verbirgt sich eine ganz einfache Formel:

Die Wurzelformeln lauten wie folgt:

*Diese Formeln müssen auswendig gelernt werden.

Sie können sofort aufschreiben und lösen:

Beispiel:

1. Wenn D > 0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

2. Wenn D = 0, dann hat die Gleichung eine Wurzel.

3. Wenn D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Schauen wir uns die Gleichung an:

Bei dieser Gelegenheit, wenn die Diskriminante Null ist, sagt der Schulkurs, dass eine Wurzel erhalten wird, hier ist sie gleich neun. Das stimmt, ist es, aber...

Diese Darstellung ist etwas falsch. Tatsächlich gibt es zwei Wurzeln. Ja, ja, seien Sie nicht überrascht, es stellt sich heraus, dass zwei gleiche Wurzeln vorhanden sind, und um mathematisch genau zu sein, sollten zwei Wurzeln in die Antwort geschrieben werden:

x 1 = 3 x 2 = 3

Aber das ist so - ein kleiner Exkurs. In der Schule kannst du aufschreiben und sagen, dass es nur eine Wurzel gibt.

Nun folgendes Beispiel:

Wie wir wissen, wird die Wurzel einer negativen Zahl nicht gezogen, daher gibt es in diesem Fall keine Lösung.

Das ist der ganze Entscheidungsprozess.

Quadratische Funktion.

So sieht die Lösung geometrisch aus. Dies ist äußerst wichtig zu verstehen (in Zukunft werden wir in einem der Artikel die Lösung einer quadratischen Ungleichung im Detail analysieren).

Dies ist eine Funktion des Formulars:

wobei x und y Variablen sind

a, b, c sind gegebene Zahlen, wobei a ≠ 0 ist

Der Graph ist eine Parabel:

Das heißt, es stellt sich heraus, dass wir durch Lösen einer quadratischen Gleichung mit "y" gleich Null die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse finden. Es kann zwei dieser Punkte geben (die Diskriminante ist positiv), einer (die Diskriminante ist Null) oder keiner (die Diskriminante ist negativ). Mehr über die quadratische Funktion Sie können anzeigen Artikel von Inna Feldmann.

Betrachten Sie Beispiele:

Beispiel 1: Entscheiden 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Antwort: x 1 = 8 x 2 = -12

* Sie könnten die linke und rechte Seite der Gleichung sofort durch 2 teilen, also vereinfachen. Die Berechnungen werden einfacher.

Beispiel 2: Sich entscheiden x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Wir haben das x 1 \u003d 11 und x 2 \u003d 11

In der Antwort darf x = 11 geschrieben werden.

Antwort: x = 11

Beispiel 3: Sich entscheiden x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Lösung in reellen Zahlen.

Antwort: keine Lösung

Die Diskriminante ist negativ. Es gibt eine Lösung!

Hier sprechen wir über das Lösen der Gleichung für den Fall, dass eine negative Diskriminante erhalten wird. Kennst du dich mit komplexen Zahlen aus? Ich werde hier nicht im Detail darauf eingehen, warum und wo sie entstanden sind und was ihre spezifische Rolle und Notwendigkeit in der Mathematik ist, dies ist ein Thema für einen großen separaten Artikel.

Das Konzept einer komplexen Zahl.

Ein bisschen Theorie.

Eine komplexe Zahl z ist eine Zahl der Form

z = a + bi

wo a und b reelle Zahlen sind, ist i die sogenannte imaginäre Einheit.

a+bi ist eine EINZELNE ZAHL, keine Addition.

Die imaginäre Einheit ist gleich der Wurzel aus minus eins:

Betrachten Sie nun die Gleichung:

Erhalten Sie zwei konjugierte Wurzeln.

Unvollständige quadratische Gleichung.

Betrachten Sie Sonderfälle, dies ist der Fall, wenn der Koeffizient "b" oder "c" gleich Null ist (oder beide gleich Null sind). Sie werden leicht ohne Diskriminanten gelöst.

Fall 1. Koeffizient b = 0.

Die Gleichung nimmt die Form an:

Lassen Sie uns transformieren:

Beispiel:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Fall 2. Koeffizient c = 0.

Die Gleichung nimmt die Form an:

Transformieren, faktorisieren:

*Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

Beispiel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 oder x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Fall 3. Koeffizienten b = 0 und c = 0.

Hier ist klar, dass die Lösung der Gleichung immer x = 0 sein wird.

Nützliche Eigenschaften und Muster von Koeffizienten.

Es gibt Eigenschaften, die das Lösen von Gleichungen mit großen Koeffizienten ermöglichen.

ax 2 + bx+ c=0 Gleichberechtigung

a + b+ c = 0, dann

— if für die Koeffizienten der Gleichung ax 2 + bx+ c=0 Gleichberechtigung

a+ mit =b, dann

Diese Eigenschaften helfen beim Lösen einer bestimmten Art von Gleichung.

Beispiel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Die Summe der Koeffizienten ist 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, also

Beispiel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Gleichberechtigung a+ mit =b, meint

Regelmäßigkeiten von Koeffizienten.

1. Wenn in der Gleichung ax 2 + bx + c \u003d 0 der Koeffizient "b" (a 2 +1) ist und der Koeffizient "c" numerisch gleich dem Koeffizienten "a" ist, dann sind seine Wurzeln

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Wenn in der Gleichung ax 2 - bx + c \u003d 0 der Koeffizient "b" (a 2 +1) ist und der Koeffizient "c" numerisch gleich dem Koeffizienten "a" ist, dann sind seine Wurzeln

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Wenn in der Gleichung ax 2 + bx - c = 0 Koeffizient "b" gleich (eine 2 – 1), und der Koeffizient „c“ numerisch gleich dem Koeffizienten "a", dann sind seine Wurzeln gleich

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Wenn in der Gleichung ax 2 - bx - c \u003d 0 der Koeffizient "b" gleich (a 2 - 1) ist und der Koeffizient c numerisch gleich dem Koeffizienten "a" ist, dann sind seine Wurzeln

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Satz von Vieta.

Der Satz von Vieta ist nach dem berühmten französischen Mathematiker Francois Vieta benannt. Unter Verwendung des Satzes von Vieta kann man die Summe und das Produkt der Wurzeln einer beliebigen KU in Bezug auf ihre Koeffizienten ausdrücken.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

In Summe ergibt die Zahl 14 nur 5 und 9. Das sind die Wurzeln. Mit einer gewissen Geschicklichkeit kann man mit dem vorgestellten Theorem viele quadratische Gleichungen sofort mündlich lösen.

Außerdem der Satz von Vieta. bequem, weil nach dem Lösen der quadratischen Gleichung auf die übliche Weise (durch die Diskriminante) die resultierenden Wurzeln überprüft werden können. Ich empfehle, dies die ganze Zeit zu tun.

ÜBERTRAGUNGSMETHODE

Bei dieser Methode wird der Koeffizient "a" mit dem freien Term multipliziert, als ob er ihm "übertragen" würde, weshalb es heißt Übertragungsmethode. Diese Methode wird verwendet, wenn es einfach ist, die Wurzeln einer Gleichung mit dem Satz von Vieta zu finden, und vor allem, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.

Wenn ein a± b+c≠ 0, dann wird die Übertragungstechnik verwendet, zum Beispiel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Nach dem Vieta-Theorem in Gleichung (2) lässt sich leicht bestimmen, dass x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Die erhaltenen Wurzeln der Gleichung müssen durch 2 geteilt werden (da die beiden von x 2 „geworfen“ wurden), erhalten wir

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Was ist die Begründung? Sehen Sie, was passiert.

Die Diskriminanten der Gleichungen (1) und (2) sind:

Schaut man sich die Wurzeln der Gleichungen an, so erhält man nur unterschiedliche Nenner, und das Ergebnis hängt genau vom Koeffizienten bei x 2 ab:

Die zweiten (modifizierten) Wurzeln sind 2 mal größer.

Deshalb teilen wir das Ergebnis durch 2.

*Wenn wir einen Drilling würfeln, teilen wir das Ergebnis durch 3 und so weiter.

Antwort: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-ie und die Prüfung.

Ich werde kurz auf seine Bedeutung eingehen - SIE SOLLTEN SICH schnell und ohne nachzudenken entscheiden können, Sie müssen die Formeln der Wurzeln und der Diskriminante auswendig kennen. Viele der Aufgaben, die Teil der USE-Aufgaben sind, laufen darauf hinaus, eine quadratische Gleichung (einschließlich geometrischer) zu lösen.

Was ist erwähnenswert!

1. Die Form der Gleichung kann "implizit" sein. Beispielsweise ist folgender Eintrag möglich:

15+ 9x 2 - 45x = 0 oder 15x+42+9x 2 - 45x=0 oder 15 -5x+10x 2 = 0.

Sie müssen es in eine Standardform bringen (um beim Lösen nicht verwirrt zu werden).

2. Denken Sie daran, dass x ein unbekannter Wert ist und mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden kann - t, q, p, h und andere.

In der modernen Gesellschaft kann die Fähigkeit, mit Gleichungen zu operieren, die eine quadrierte Variable enthalten, in vielen Tätigkeitsbereichen nützlich sein und wird in der Praxis bei wissenschaftlichen und technischen Entwicklungen weit verbreitet. Dies kann durch das Design von See- und Flussschiffen, Flugzeugen und Raketen belegt werden. Mit Hilfe solcher Berechnungen werden die Bewegungsbahnen verschiedener Körper, einschließlich Weltraumobjekte, bestimmt. Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen werden nicht nur in Wirtschaftsprognosen, in der Planung und Konstruktion von Gebäuden, sondern auch in den gewöhnlichsten Alltagsumständen verwendet. Sie können auf Campingausflügen, bei Sportveranstaltungen, in Geschäften beim Einkaufen und in anderen sehr häufigen Situationen benötigt werden.

Lassen Sie uns den Ausdruck in Teilfaktoren zerlegen

Der Grad einer Gleichung wird durch den Maximalwert des Grades der Variablen bestimmt, die der gegebene Ausdruck enthält. Wenn es gleich 2 ist, wird eine solche Gleichung als quadratische Gleichung bezeichnet.

Wenn wir in der Sprache der Formeln sprechen, dann lassen sich diese Ausdrücke, egal wie sie aussehen, immer dann in die Form bringen, wenn die linke Seite des Ausdrucks aus drei Gliedern besteht. Darunter: ax 2 (d. h. eine Variable im Quadrat mit ihrem Koeffizienten), bx (eine Unbekannte ohne Quadrat mit ihrem Koeffizienten) und c (freie Komponente, dh eine gewöhnliche Zahl). All dies ist auf der rechten Seite gleich 0. Wenn ein solches Polynom keinen seiner konstituierenden Terme hat, mit Ausnahme von ax 2, wird es eine unvollständige quadratische Gleichung genannt. Beispiele mit der Lösung solcher Probleme, bei denen der Wert der Variablen nicht schwer zu finden ist, sollten zunächst betrachtet werden.

Wenn der Ausdruck so aussieht, als hätte er zwei Terme auf der rechten Seite des Ausdrucks, genauer gesagt ax 2 und bx, ist es am einfachsten, x zu finden, indem man die Variable in Klammern setzt. Jetzt sieht unsere Gleichung so aus: x(ax+b). Außerdem wird offensichtlich, dass entweder x = 0 ist oder das Problem darauf reduziert wird, eine Variable aus dem folgenden Ausdruck zu finden: ax + b = 0. Dies wird durch eine der Eigenschaften der Multiplikation vorgegeben. Die Regel besagt, dass das Produkt zweier Faktoren nur dann 0 ergibt, wenn einer von ihnen null ist.

Beispiel

x=0 oder 8x - 3 = 0

Als Ergebnis erhalten wir zwei Wurzeln der Gleichung: 0 und 0,375.

Gleichungen dieser Art können die Bewegung von Körpern unter der Wirkung der Schwerkraft beschreiben, die sich von einem bestimmten Punkt, der als Ursprung genommen wird, zu bewegen begannen. Hier hat die mathematische Schreibweise folgende Form: y = v 0 t + gt 2 /2. Indem Sie die notwendigen Werte ersetzen, die rechte Seite mit 0 gleichsetzen und mögliche Unbekannte finden, können Sie die Zeit ermitteln, die vom Moment des Aufsteigens des Körpers bis zum Moment des Fallens verstrichen ist, sowie viele andere Größen. Aber wir werden später darüber sprechen.

Faktorisieren eines Ausdrucks

Die oben beschriebene Regel ermöglicht es, diese Probleme in komplexeren Fällen zu lösen. Betrachten Sie Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen dieser Art.

X2 - 33x + 200 = 0

Dieses quadratische Trinom ist vollständig. Zuerst transformieren wir den Ausdruck und zerlegen ihn in Faktoren. Es gibt zwei davon: (x-8) und (x-25) = 0. Als Ergebnis haben wir zwei Wurzeln 8 und 25.

Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen in Klasse 9 ermöglichen es dieser Methode, eine Variable nicht nur in Ausdrücken zweiter, sondern sogar dritter und vierter Ordnung zu finden.

Zum Beispiel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Wenn die rechte Seite in Faktoren mit einer Variablen faktorisiert wird, gibt es drei davon, nämlich (x + 1), (x-3) und (x + 3).

Als Ergebnis wird offensichtlich, dass diese Gleichung drei Wurzeln hat: -3; -eines; 3.

Ziehen der Quadratwurzel

Ein weiterer Fall einer unvollständigen Gleichung zweiter Ordnung ist ein Ausdruck, der in der Buchstabensprache so geschrieben ist, dass die rechte Seite aus den Komponenten ax 2 und c gebildet wird. Um den Wert der Variablen zu erhalten, wird hier der freie Term auf die rechte Seite übertragen und danach die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichheit gezogen. Es sollte beachtet werden, dass in diesem Fall normalerweise zwei Wurzeln der Gleichung vorhanden sind. Einzige Ausnahmen sind Gleichheiten, die den Term c überhaupt nicht enthalten, bei denen die Variable gleich Null ist, sowie Varianten von Ausdrücken, bei denen die rechte Seite negativ ausfällt. Im letzteren Fall gibt es überhaupt keine Lösungen, da die obigen Aktionen nicht mit Roots ausgeführt werden können. Beispiele für Lösungen quadratischer Gleichungen dieser Art sollten betrachtet werden.

In diesem Fall sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -4 und 4.

Berechnung der Grundstücksfläche

Die Notwendigkeit für diese Art von Berechnungen entstand in der Antike, da die Entwicklung der Mathematik in jenen fernen Zeiten größtenteils auf die Notwendigkeit zurückzuführen war, die Flächen und Umfänge von Grundstücken mit größter Genauigkeit zu bestimmen.

Wir sollten auch Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen betrachten, die auf der Grundlage solcher Probleme erstellt wurden.

Nehmen wir also an, es gibt ein rechteckiges Stück Land, dessen Länge 16 Meter länger ist als die Breite. Sie sollten die Länge, Breite und den Umfang des Geländes ermitteln, wenn bekannt ist, dass seine Fläche 612 m 2 beträgt.

Um zur Sache zu kommen, werden wir zuerst die notwendige Gleichung aufstellen. Lassen Sie uns die Breite des Abschnitts mit x bezeichnen, dann ist seine Länge (x + 16). Aus dem Geschriebenen folgt, dass die Fläche durch den Ausdruck x (x + 16) bestimmt wird, der gemäß der Bedingung unseres Problems 612 ist. Dies bedeutet, dass x (x + 16) \u003d 612.

Die Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen, und dieser Ausdruck ist genau das, kann nicht auf die gleiche Weise erfolgen. Wieso den? Obwohl die linke Seite davon immer noch zwei Faktoren enthält, ist das Produkt davon überhaupt nicht gleich 0, sodass hier andere Methoden verwendet werden.

Diskriminant

Zuerst werden wir die notwendigen Transformationen vornehmen, dann sieht dieser Ausdruck so aus: x 2 + 16x - 612 = 0. Dies bedeutet, dass wir einen Ausdruck in der Form erhalten haben, der dem zuvor angegebenen Standard entspricht, wo a=1, b=16, c= -612.

Dies kann ein Beispiel für das Lösen quadratischer Gleichungen durch die Diskriminante sein. Hier werden die notwendigen Berechnungen nach dem Schema durchgeführt: D = b 2 - 4ac. Dieser Hilfswert ermöglicht es nicht nur, die gewünschten Werte in der Gleichung zweiter Ordnung zu finden, er bestimmt die Anzahl der möglichen Optionen. Im Fall D > 0 gibt es zwei davon; für D=0 gibt es eine Wurzel. Im Fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Über Wurzeln und ihre Formel

In unserem Fall ist die Diskriminante: 256 - 4(-612) = 2704. Dies zeigt an, dass es für unser Problem eine Lösung gibt. Wenn Sie wissen, muss die Lösung quadratischer Gleichungen mit der folgenden Formel fortgesetzt werden. Damit können Sie die Wurzeln berechnen.

Das bedeutet im vorgestellten Fall: x 1 = 18, x 2 = -34. Die zweite Option in diesem Dilemma kann keine Lösung sein, da die Größe des Grundstücks nicht in negativen Werten gemessen werden kann, was bedeutet, dass x (also die Breite des Grundstücks) 18 m beträgt. Daraus berechnen wir die Länge: 18+16=34, und der Umfang 2(34+18) = 104 (m 2).

Beispiele und Aufgaben

Wir setzen das Studium der quadratischen Gleichungen fort. Beispiele und eine detaillierte Lösung einiger davon werden unten angegeben.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Lassen Sie uns alles auf die linke Seite der Gleichheit übertragen, eine Transformation durchführen, das heißt, wir erhalten die Form der Gleichung, die normalerweise als Standardform bezeichnet wird, und setzen sie mit Null gleich.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Nachdem wir ähnliche hinzugefügt haben, bestimmen wir die Diskriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Unsere Gleichung hat also zwei Wurzeln. Wir berechnen sie nach der obigen Formel, was bedeutet, dass der erste von ihnen gleich 4/3 und der zweite gleich 1 ist.

2) Jetzt werden wir Rätsel einer anderen Art enthüllen.

Lassen Sie uns herausfinden, ob es hier überhaupt Wurzeln x 2 - 4x + 5 = 1 gibt? Um eine erschöpfende Antwort zu erhalten, bringen wir das Polynom auf die entsprechende bekannte Form und berechnen die Diskriminante. In diesem Beispiel ist es nicht notwendig, die quadratische Gleichung zu lösen, da die Essenz des Problems überhaupt nicht darin besteht. In diesem Fall ist D \u003d 16 - 20 \u003d -4, was bedeutet, dass es wirklich keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Es ist bequem, quadratische Gleichungen durch die obigen Formeln und die Diskriminante zu lösen, wenn die Quadratwurzel aus dem Wert der letzteren gezogen wird. Aber dies geschieht nicht immer. Es gibt jedoch viele Möglichkeiten, in diesem Fall die Werte von Variablen zu erhalten. Beispiel: Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Es ist nach einem Mann benannt, der im Frankreich des 16. Jahrhunderts lebte und dank seines mathematischen Talents und seiner Verbindungen zum Hof eine glänzende Karriere hatte. Sein Porträt ist im Artikel zu sehen.

Das Muster, das der berühmte Franzose bemerkte, war wie folgt. Er bewies, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich -p=b/a ist und ihr Produkt q=c/a entspricht.

Betrachten wir nun bestimmte Aufgaben.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lassen Sie uns der Einfachheit halber den Ausdruck umwandeln:

x 2 + 7x - 18 = 0

Unter Verwendung des Vieta-Theorems erhalten wir Folgendes: Die Summe der Wurzeln ist -7 und ihr Produkt ist -18. Von hier aus erhalten wir, dass die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -9 und 2 sind. Nachdem wir eine Überprüfung vorgenommen haben, stellen wir sicher, dass diese Werte der Variablen wirklich in den Ausdruck passen.

Graph und Gleichung einer Parabel

Die Konzepte einer quadratischen Funktion und quadratischer Gleichungen sind eng miteinander verbunden. Beispiele hierfür wurden bereits zuvor gegeben. Sehen wir uns nun einige mathematische Rätsel etwas genauer an. Jede Gleichung des beschriebenen Typs kann visuell dargestellt werden. Eine solche in Form eines Graphen gezeichnete Abhängigkeit wird als Parabel bezeichnet. Die verschiedenen Typen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt, das heißt einen Punkt, an dem ihre Äste herauskommen. Wenn a > 0, gehen sie hoch bis unendlich, und wenn a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle Darstellungen von Funktionen helfen beim Lösen beliebiger Gleichungen, einschließlich quadratischer. Diese Methode wird Grafik genannt. Und der Wert der x-Variablen ist die Abszissenkoordinate an den Punkten, an denen die Diagrammlinie 0x schneidet. Die Koordinaten des Scheitelpunkts können durch die gerade angegebene Formel x 0 = -b / 2a gefunden werden. Und wenn Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung der Funktion einsetzen, können Sie y 0 herausfinden, dh die zweite Koordinate des Parabelscheitels, der zur y-Achse gehört.

Der Schnittpunkt der Äste der Parabel mit der Abszissenachse

Es gibt viele Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen, aber es gibt auch allgemeine Muster. Betrachten wir sie. Es ist klar, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der 0x-Achse für a > 0 nur möglich ist, wenn y 0 negative Werte annimmt. Und für ein<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sonst D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Aus dem Graphen einer Parabel können Sie auch die Nullstellen bestimmen. Das Gegenteil ist auch wahr. Das heißt, wenn es nicht einfach ist, eine visuelle Darstellung einer quadratischen Funktion zu erhalten, können Sie die rechte Seite des Ausdrucks mit 0 gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen. Und wenn man die Schnittpunkte mit der 0x-Achse kennt, ist es einfacher zu zeichnen.

Aus der Geschichte

Mit Hilfe von Gleichungen, die eine quadratische Variable enthielten, wurden früher nicht nur mathematische Berechnungen durchgeführt und die Fläche geometrischer Formen bestimmt. Die Alten brauchten solche Berechnungen für grandiose Entdeckungen auf dem Gebiet der Physik und Astronomie sowie für astrologische Vorhersagen.

Wie moderne Wissenschaftler vermuten lassen, gehörten die Bewohner Babylons zu den ersten, die quadratische Gleichungen lösten. Es geschah vier Jahrhunderte vor dem Aufkommen unserer Ära. Natürlich waren ihre Berechnungen grundlegend anders als die derzeit akzeptierten und stellten sich als viel primitiver heraus. Beispielsweise hatten mesopotamische Mathematiker keine Ahnung von der Existenz negativer Zahlen. Sie waren auch mit anderen Feinheiten nicht vertraut, die jedem Studenten unserer Zeit bekannt sind.

Vielleicht noch früher als die Wissenschaftler von Babylon hat sich der Weise aus Indien, Baudhayama, der Lösung quadratischer Gleichungen angenommen. Dies geschah etwa acht Jahrhunderte vor der Ankunft der Ära Christi. Die Gleichungen zweiter Ordnung, die Lösungsmethoden, die er angab, waren zwar die einfachsten. Neben ihm interessierten sich früher auch chinesische Mathematiker für ähnliche Fragen. In Europa wurden quadratische Gleichungen erst zu Beginn des 13. Jahrhunderts gelöst, aber später wurden sie von so großen Wissenschaftlern wie Newton, Descartes und vielen anderen in ihrer Arbeit verwendet.

Mit diesem Mathe-Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- Verwendung der Diskriminante
- Verwendung des Vieta-Theorems (wenn möglich).

Außerdem wird die Antwort genau und nicht ungefähr angezeigt.
Beispielsweise wird für die Gleichung $81x^2-16x-1=0$ die Antwort in dieser Form angezeigt:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ statt dessen: $x_1 = 0,247; \ Quad x_2 = -0,05 $

Dieses Programm kann für Schüler zur Vorbereitung auf Tests und Prüfungen nützlich sein, wenn sie Wissen vor dem einheitlichen Staatsexamen testen, für Eltern, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.

Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ usw.

Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Ergebnis: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 $

Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

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Ein bisschen Theorie.

Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen

Jede der Gleichungen
$-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
hat die Form
$ax^2+bx+c=0, $
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen werden aufgerufen quadratische Gleichungen.

Definition.
quadratische Gleichung eine Gleichung der Form ax 2 +bx+c=0 wird aufgerufen, wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind und $a \neq 0 $.

Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als Achsenabschnitt.

In jeder der Gleichungen der Form ax 2 +bx+c=0, wobei $a \neq 0 $, ist die größte Potenz der Variablen x ein Quadrat. Daher der Name: quadratische Gleichung.

Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch als Gleichung zweiten Grades bezeichnet wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.

Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist, wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung. Beispielsweise sind die gegebenen quadratischen Gleichungen die Gleichungen
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

Wenn in der quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische gleichung. Die Gleichungen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sind also unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten b=0, im zweiten c=0, im dritten b=0 und c=0.

Es gibt drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:
1) ax 2 +c=0, wobei $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, wobei $b \neq 0 $;
3) ax2=0.

Betrachten Sie die Lösung von Gleichungen für jeden dieser Typen.

Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0 nach $c \neq 0 $ zu lösen, wird ihr freier Term auf die rechte Seite übertragen und beide Gleichungsteile durch a dividiert:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

Da $c \neq 0 $, dann $-\frac(c)(a) \neq 0 $

Wenn $-\frac(c)(a)>0 $, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

Wenn $-\frac(c)(a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 $ zu lösen, faktorisiere ihre linke Seite und erhalte die Gleichung
$x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. $

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für $b \neq 0 $ hat also immer zwei Wurzeln.

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 \u003d 0 entspricht der Gleichung x 2 \u003d 0 und hat daher eine einzelne Wurzel 0.

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Betrachten wir nun, wie quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen beide Koeffizienten der Unbekannten und der freie Term ungleich Null sind.

Wir lösen die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und erhalten als Ergebnis die Formel der Wurzeln. Dann kann diese Formel angewendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0

Wenn wir beide Teile durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
$x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 $

Wir wandeln diese Gleichung um, indem wir das Quadrat des Binoms hervorheben:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow $ $x+\frac(b). )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

Der Stammausdruck wird aufgerufen Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 („Diskriminant“ auf Latein – Unterscheider). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
$D = b^2-4ac$

Nun schreiben wir unter Verwendung der Notation der Diskriminante die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, wobei $D= b^2-4ac $

Es ist klar, dass:
1) Wenn D>0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn D=0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel $x=-\frac(b)(2a)$.
3) Wenn D Je nach Wert der Diskriminante kann die quadratische Gleichung also zwei Wurzeln (für D > 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln (für D) haben. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel , ist es ratsam, den folgenden Weg zu gehen:
1) Berechne die Diskriminante und vergleiche sie mit Null;
2) wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, dann verwende die Wurzelformel, wenn die Diskriminante negativ ist, dann schreibe auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x+10=0 hat die Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede reduzierte quadratische Gleichung, die Wurzeln hat, hat diese Eigenschaft.

Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Diese. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 die Eigenschaft haben:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

Videolektion 2: Lösen quadratischer Gleichungen

Vorlesung: Quadratische Gleichungen

Die gleichung

Die gleichung- Dies ist eine Art Gleichheit, in deren Ausdrücken eine Variable enthalten ist.

löse die Gleichung- bedeutet, anstelle einer Variablen eine solche Zahl zu finden, die zur richtigen Gleichheit führt.

Eine Gleichung kann eine Lösung haben, mehrere oder gar keine.

Um eine Gleichung zu lösen, sollte sie so weit wie möglich zu folgender Form vereinfacht werden:

Linear: a*x = b;

Quadrat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Das heißt, jede Gleichung muss vor dem Lösen in eine Standardform umgewandelt werden.

Jede Gleichung kann auf zwei Arten gelöst werden: analytisch und grafisch.

In der Grafik gelten die Punkte als Lösung der Gleichung, an denen die Grafik die x-Achse schneidet.

Quadratische Gleichungen

Eine Gleichung kann quadratisch genannt werden, wenn sie vereinfacht die Form annimmt:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Dabei a, b, c sind Koeffizienten der Gleichung, die von Null verschieden sind. ABER "X"- Wurzel der Gleichung. Es wird angenommen, dass eine quadratische Gleichung zwei Wurzeln hat oder überhaupt keine Lösung hat. Die resultierenden Wurzeln können dieselben sein.

"a"- der Koeffizient, der im Quadrat vor der Wurzel steht.

"b"- steht im ersten Grad vor dem Unbekannten.

"Mit"- freier Term der Gleichung.

Wenn wir zum Beispiel eine Gleichung der Form haben:

2x 2 -5x+3=0

Darin ist "2" der Koeffizient am höchsten Term der Gleichung, "-5" ist der zweite Koeffizient und "3" ist der freie Term.

Lösen einer quadratischen Gleichung

Es gibt viele Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen. Im Schulmathematikkurs wird die Lösung jedoch unter Verwendung des Vieta-Theorems sowie unter Verwendung der Diskriminante untersucht.

Diskriminante Lösung:

Bei der Lösung mit dieser Methode muss die Diskriminante mit der Formel berechnet werden:

Wenn Sie während der Berechnungen herausgefunden haben, dass die Diskriminante kleiner als Null ist, bedeutet dies, dass diese Gleichung keine Lösungen hat.

Wenn die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei identische Lösungen. In diesem Fall kann das Polynom gemäß der abgekürzten Multiplikationsformel in das Quadrat der Summe oder Differenz zerlegt werden. Dann lösen Sie es wie eine lineare Gleichung. Oder verwenden Sie die Formel:

Wenn die Diskriminante größer als Null ist, muss die folgende Methode verwendet werden:

Satz von Vieta

Wenn die Gleichung reduziert wird, dh der Koeffizient am höchsten Term gleich eins ist, können Sie verwenden Satz von Vieta.

Nehmen wir also an, die Gleichung lautet:

Die Wurzeln der Gleichung werden wie folgt gefunden:

Unvollständige quadratische Gleichung

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine unvollständige quadratische Gleichung zu erhalten, deren Form vom Vorhandensein von Koeffizienten abhängt.

1. Wenn der zweite und der dritte Koeffizient gleich Null sind (b=0, c=0), dann sieht die quadratische Gleichung so aus:

Diese Gleichung wird eine eindeutige Lösung haben. Gleichheit ist nur wahr, wenn die Lösung der Gleichung Null ist.

Quadratische Gleichungen. Diskriminant. Lösung, Beispiele.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Arten quadratischer Gleichungen

Was ist eine quadratische Gleichung? Wie sieht es aus? In der Bezeichnung quadratische Gleichung Stichwort ist "Quadrat". Es bedeutet das in der Gleichung Notwendig Es muss ein x zum Quadrat geben. Darüber hinaus kann es in der Gleichung nur x (bis zum ersten Grad) und nur eine Zahl geben (oder auch nicht!). (Freies Mitglied). Und es sollte kein x in einem Grad größer als zwei geben.

Mathematisch gesehen ist eine quadratische Gleichung eine Gleichung der Form:

Hier a, b und c- einige Zahlen. b und c- absolut jeder, aber a- alles andere als null. Zum Beispiel:

Hier a =1; b = 3; c = -4

Hier a =2; b = -0,5; c = 2,2

Hier a =-3; b = 6; c = -18

Nun, Sie haben die Idee ...

In diesen quadratischen Gleichungen auf der linken Seite gibt es vollständiger Satz Mitglieder. x quadriert mit Koeffizient a, x hoch 1 mit Koeffizient b und freies Mitglied bei

Solche quadratischen Gleichungen werden aufgerufen Komplett.

Und wenn b= 0, was bekommen wir? Wir haben X wird im ersten Grad verschwinden. Dies geschieht durch Multiplizieren mit Null.) Es stellt sich heraus, zum Beispiel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Usw. Und wenn beide Koeffizienten b und c gleich Null sind, dann ist es noch einfacher:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Solche Gleichungen, wo etwas fehlt, nennt man Unvollständige quadratische Gleichungen. Was ziemlich logisch ist.) Bitte beachten Sie, dass x zum Quadrat in allen Gleichungen vorhanden ist.

Übrigens warum a kann nicht null sein? Und Sie ersetzen stattdessen a Null.) Das X im Quadrat verschwindet! Die Gleichung wird linear. Und es geht anders...

Das sind alle Haupttypen quadratischer Gleichungen. Vollständig und unvollständig.

Lösung quadratischer Gleichungen.

Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen.

Quadratische Gleichungen sind einfach zu lösen. Nach Formeln und klaren einfachen Regeln. In der ersten Phase ist es notwendig, die gegebene Gleichung in die Standardform zu bringen, d.h. zur Ansicht:

Wenn Ihnen die Gleichung in dieser Form bereits gegeben ist, müssen Sie die erste Stufe nicht ausführen.) Die Hauptsache ist, alle Koeffizienten korrekt zu bestimmen. a, b und c.

Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird aufgerufen diskriminierend. Aber mehr über ihn weiter unten. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um x zu finden nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus der quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c in diese Formel und zähle. Ersatz mit deinen Zeichen! Zum Beispiel in der Gleichung:

a =1; b = 3; c= -4. Hier schreiben wir:

Beispiel fast gelöst:

Das ist die Antwort.

Alles ist sehr einfach. Und was denkst du, du kannst nichts falsch machen? Nun ja, wie...

Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit den Vorzeichen von Werten a, b und c. Oder besser gesagt nicht mit ihren Vorzeichen (wo soll da verwechselt werden?), Sondern mit dem Einsetzen negativer Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier wird eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Nummern gespeichert. Bei Rechenproblemen also mach es!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier a = -6; b = -5; c = -1

Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie beim ersten Mal selten Antworten erhalten.

Nun, sei nicht faul. Es dauert 30 Sekunden, um eine zusätzliche Zeile zu schreiben, und die Anzahl der Fehler wird stark abfallen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig zu malen. Aber es scheint nur. Versuch es. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile müssen Sie nicht mehr alles so sorgfältig streichen. Es wird sich einfach als richtig herausstellen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit vielen Minuspunkten wird einfach und fehlerfrei gelöst!

Aber oft sehen quadratische Gleichungen etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Wussten Sie schon?) Ja! Das Unvollständige quadratische Gleichungen.

Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen.

Sie können auch durch die allgemeine Formel gelöst werden. Sie müssen nur richtig herausfinden, was hier gleich ist a, b und c.

Erkannte? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; a c? Es existiert überhaupt nicht! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet dies das c = 0 ! Das ist alles. Setzen Sie stattdessen Null in die Formel ein c, und alles wird für uns klappen. Ähnlich beim zweiten Beispiel. Nur Null haben wir hier nicht Mit, a b !

Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ohne irgendwelche Formeln. Betrachten Sie die erste unvollständige Gleichung. Was kann man auf der linken Seite tun? Du kannst das X aus Klammern nehmen! Nehmen wir es heraus.

Und was ist damit? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann gleich Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist! Glauben Sie nicht? Nun, dann denken Sie sich zwei Zahlen ungleich Null aus, die, wenn sie multipliziert werden, Null ergeben!
Klappt nicht? Etwas...
Daher können wir getrost schreiben: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alles. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide passen. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen können, ist die Lösung viel einfacher als die allgemeine Formel. Ich stelle übrigens fest, welches X das erste und welches das zweite sein wird - es ist absolut gleichgültig. Einfach in Ordnung zu schreiben x 1- was auch immer weniger ist x 2- das was mehr ist.

Auch die zweite Gleichung lässt sich leicht lösen. Wir verschieben 9 auf die rechte Seite. Wir bekommen:

Es bleibt, die Wurzel aus 9 zu ziehen, und das war's. Erhalten:

auch zwei Wurzeln . x 1 = -3, x 2 = 3.

So werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder durch Entfernen von X aus Klammern oder durch einfaches Übertragen der Zahl nach rechts und anschließendem Wurzelziehen.
Es ist äußerst schwierig, diese Methoden zu verwechseln. Einfach, weil Sie im ersten Fall die Wurzel aus X ziehen müssen, was irgendwie unverständlich ist, und im zweiten Fall gibt es nichts aus Klammern zu nehmen ...

Diskriminant. Diskriminante Formel.

magisches Wort diskriminierend ! Ein seltener Gymnasiast hat dieses Wort noch nicht gehört! Der Satz „durch die Diskriminante entscheiden“ ist beruhigend und beruhigend. Denn auf Tricks der Diskriminanten muss nicht gewartet werden! Es ist einfach und problemlos zu verwenden.) Ich erinnere Sie an die allgemeinste Lösungsformel irgendein quadratische Gleichungen:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt Diskriminante. Die Diskriminante wird normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet D. Diskriminanzformel:

D = b2 - 4ac

Und was ist so besonders an diesem Ausdruck? Warum verdient es einen besonderen Namen? Worin Bedeutung der Diskriminante? Schließlich -b, oder 2a In dieser Formel nennen sie nicht speziell ... Buchstaben und Buchstaben.

Der Punkt ist folgender. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel ist es möglich nur drei Fälle.

1. Die Diskriminante ist positiv. Dies bedeutet, dass Sie die Wurzel daraus extrahieren können. Ob die Wurzel gut oder schlecht gezogen wird, ist eine andere Frage. Es ist wichtig, was im Prinzip extrahiert wird. Dann hat deine quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Da das Addieren oder Subtrahieren von Null im Zähler nichts ändert. Genau genommen ist dies keine einzelne Wurzel, sondern zwei identisch. Aber in einer vereinfachten Version ist es üblich, darüber zu sprechen eine Lösung.

3. Die Diskriminante ist negativ. Eine negative Zahl zieht nicht die Quadratwurzel. Na ja, okay. Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Um ehrlich zu sein, ist bei einer einfachen Lösung quadratischer Gleichungen das Konzept einer Diskriminante nicht wirklich erforderlich. Wir ersetzen die Werte der Koeffizienten in der Formel und betrachten. Da stellt sich alles von selbst heraus und zwei Wurzeln und eine und keine einzige. Allerdings beim Lösen komplexerer Aufgaben, ohne Wissen Bedeutung und Diskriminanzformel nicht genug. Besonders - in Gleichungen mit Parametern. Solche Gleichungen sind Kunstflug für das GIA und die Einheitliche Staatsprüfung!)

So, wie man quadratische gleichungen löst durch die Diskriminante, an die Sie sich erinnerten. Oder gelernt, was auch nicht schlimm ist.) Du weißt, wie man richtig erkennt a, b und c. Weißt du wie aufmerksam Ersetzen Sie sie in die Wurzelformel und aufmerksam zählen das Ergebnis. Hast du verstanden, dass das Schlüsselwort hier ist - aufmerksam?

Beachten Sie nun die praktischen Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Gerade die, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind ... Für die es dann schmerzhaft und beleidigend ist ...

Erster Empfang . Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen, um sie in eine Standardform zu bringen. Was bedeutet das?
Angenommen, Sie erhalten nach allen Transformationen die folgende Gleichung:

Beeilen Sie sich nicht, die Formel der Wurzeln zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c. Baue das Beispiel richtig auf. Zuerst x im Quadrat, dann ohne Quadrat, dann ein freies Mitglied. So:

Und noch einmal: keine Eile! Das Minus vor dem x zum Quadrat kann Sie sehr verärgern. Es zu vergessen ist leicht ... Werde das Minus los. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die ganze Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Und jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln sicher aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel vervollständigen. Entscheiden Sie selbst. Sie sollten mit den Wurzeln 2 und -1 enden.

Zweiter Empfang. Überprüfen Sie Ihre Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Keine Sorge, ich erkläre dir alles! Überprüfung letztes Ding Die gleichung. Diese. diejenige, mit der wir die Formel der Wurzeln niedergeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1, überprüfen Sie die Wurzeln leicht. Es reicht aus, sie zu multiplizieren. Sie sollten eine freie Amtszeit bekommen, d.h. in unserem Fall -2. Achtung, nicht 2, sondern -2! Freies Mitglied mit deinem Zeichen . Wenn es nicht geklappt hat, bedeutet das, dass sie bereits irgendwo Mist gebaut haben. Suchen Sie nach einem Fehler.

Wenn es geklappt hat, müssen Sie die Wurzeln falten. Letzte und letzte Kontrolle. Sollte ein Verhältnis sein b Mit Gegenteil Schild. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient b, das vor dem x steht, ist gleich -1. Also alles richtig!
Schade, dass es nur für Beispiele so einfach ist, wo x zum Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1. Aber überprüfen Sie wenigstens solche Gleichungen! Es werden weniger Fehler passieren.

Rezeption dritte . Wenn Ihre Gleichung Bruchkoeffizienten hat, werden Sie die Brüche los! Multiplizieren Sie die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner, wie in der Lektion "Gleichungen lösen? Identitätstransformationen" beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen steigen Fehler aus irgendeinem Grund ...

Übrigens habe ich zur Vereinfachung ein böses Beispiel mit ein paar Minuspunkten versprochen. Bitte! Da ist er.

Um bei den Minuszeichen nicht durcheinander zu kommen, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:

Das ist alles! Entscheiden macht Spaß!

Fassen wir das Thema also nochmal zusammen.

Praktische Tipps:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem x im Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

4. Wenn x zum Quadrat rein ist, der Koeffizient dafür gleich eins ist, kann die Lösung leicht mit dem Satz von Vieta überprüft werden. Tu es!

Jetzt können Sie entscheiden.)

Gleichungen lösen:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Antworten (durcheinander):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - eine beliebige Zahl

x 1 = -3
x 2 = 3

keine Lösungen

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Passt alles? Exzellent! Quadratische Gleichungen sind nicht Ihre Kopfschmerzen. Die ersten drei fielen aus, aber der Rest nicht? Dann liegt das Problem nicht in quadratischen Gleichungen. Das Problem liegt in identischen Transformationen von Gleichungen. Schau dir mal den Link an, ist hilfreich.

Funktioniert nicht ganz? Oder geht das gar nicht? Dann hilft Ihnen Abschnitt 555. Dort sind alle diese Beispiele nach Knochen sortiert. Anzeigen hauptsächlich Fehler in der Lösung. Natürlich wird auch die Anwendung identischer Transformationen beim Lösen verschiedener Gleichungen beschrieben. Hilft sehr!