Die Fläche der Seiten- und Gesamtfläche des Prismas. Gerades Prisma – Wissens-Hypermarkt

Die Basis des Prismas kann ein beliebiges Polygon sein – Dreieck, Viereck usw. Beide Basen sind absolut identisch, und dementsprechend sind die Ecken paralleler Kanten, mit denen sie miteinander verbunden werden, immer parallel. An der Basis eines regelmäßigen Prismas liegt ein regelmäßiges Vieleck, also eines, bei dem alle Seiten gleich sind. Bei einem geraden Prisma stehen die Rippen zwischen den Seitenflächen senkrecht zur Grundfläche. In diesem Fall kann die Basis eines geraden Prismas ein Polygon mit beliebig vielen Winkeln enthalten. Ein Prisma, dessen Basis ein Parallelogramm ist, wird Parallelepiped genannt. Ein Rechteck ist ein Sonderfall eines Parallelogramms. Wenn diese Figur an der Basis liegt und die Seitenflächen im rechten Winkel zur Basis stehen, heißt das Parallelepiped rechteckig. Der zweite Name für diesen geometrischen Körper ist rechteckig.

Wie sieht sie aus

Im Umfeld des modernen Menschen gibt es eine ganze Reihe rechteckiger Prismen. Dies ist beispielsweise gewöhnlicher Karton für Schuhe, Computerkomponenten usw. Umschauen. Selbst in einem Raum werden Sie wahrscheinlich viele rechteckige Prismen sehen. Dazu gehören ein Computergehäuse, ein Bücherregal, ein Kühlschrank, ein Kleiderschrank und viele andere Gegenstände. Die Form ist vor allem deshalb äußerst beliebt, weil Sie damit Ihren Raum optimal nutzen können, egal ob Sie Ihr Interieur dekorieren oder Dinge vor dem Umzug in Pappe verpacken.

Eigenschaften eines rechteckigen Prismas

Ein rechteckiges Prisma hat eine Reihe spezifischer Eigenschaften. Als Flächenpaar kann jedes beliebige Flächenpaar dienen, da alle angrenzenden Flächen im gleichen Winkel zueinander stehen und dieser Winkel 90° beträgt. Das Volumen und die Oberfläche eines rechteckigen Prismas sind einfacher zu berechnen als bei jedem anderen. Nehmen Sie einen beliebigen Gegenstand, der die Form eines rechteckigen Prismas hat. Messen Sie seine Länge, Breite und Höhe. Um das Volumen zu ermitteln, multiplizieren Sie einfach diese Maße. Das heißt, die Formel sieht so aus: V=a*b*h, wobei V das Volumen ist, a und b die Seiten der Basis sind, h die Höhe ist, die mit der Seitenkante dieses geometrischen Körpers zusammenfällt. Die Grundfläche wird nach der Formel S1=a*b berechnet. Für die Seitenfläche müssen Sie zunächst den Umfang der Basis mit der Formel P=2(a+b) berechnen und diesen dann mit der Höhe multiplizieren. Die resultierende Formel lautet S2=P*h=2(a+b)*h. Um die Gesamtoberfläche eines rechteckigen Prismas zu berechnen, addieren Sie das Doppelte der Grundfläche und der Seitenfläche. Die resultierende Formel lautet S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Definition.

Dies ist ein Sechseck, dessen Grundflächen zwei gleiche Quadrate und dessen Seitenflächen gleiche Rechtecke sind

Seitliche Rippe- ist die gemeinsame Seite zweier benachbarter Seitenflächen

Prismenhöhe- Dies ist ein Segment senkrecht zur Basis des Prismas

Prismendiagonale- ein Segment, das zwei Eckpunkte der Basen verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören

Diagonale Ebene- eine Ebene, die durch die Diagonale des Prismas und seine Seitenkanten verläuft

Diagonaler Abschnitt- die Grenzen des Schnittpunkts des Prismas und der Diagonalebene. Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck

Senkrechter Schnitt (orthogonaler Schnitt)- Dies ist der Schnittpunkt eines Prismas und einer Ebene, die senkrecht zu seinen Seitenkanten verläuft

Elemente eines regelmäßigen viereckigen Prismas

Die Abbildung zeigt zwei regelmäßige viereckige Prismen, die durch die entsprechenden Buchstaben gekennzeichnet sind:

• Die Basen ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sind gleich und parallel zueinander
• Seitenflächen AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C und CC 1 D 1 D, die jeweils ein Rechteck sind
• Seitenfläche – die Summe der Flächen aller Seitenflächen des Prismas
• Gesamtfläche – die Summe der Flächen aller Grundflächen und Seitenflächen (Summe der Fläche der Seitenfläche und Grundflächen)
• Seitenrippen AA 1, BB 1, CC 1 und DD 1.
• Diagonale B 1 D
• Basisdiagonale BD
• Diagonalschnitt BB 1 D 1 D
• Senkrechter Abschnitt A 2 B 2 C 2 D 2.

Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas

• Die Grundflächen sind zwei gleiche Quadrate
• Die Basen sind parallel zueinander
• Die Seitenflächen sind Rechtecke
• Die Seitenkanten sind einander gleich
• Die Seitenflächen stehen senkrecht zu den Basen
• Die seitlichen Rippen sind parallel zueinander und gleich
• Senkrechter Schnitt senkrecht zu allen Seitenrippen und parallel zu den Basen
• Winkel des senkrechten Abschnitts - gerade
• Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck
• Senkrecht (orthogonaler Schnitt) parallel zu den Basen

Formeln für ein regelmäßiges viereckiges Prisma

Anleitung zur Lösung von Problemen

Bei der Lösung von Problemen zum Thema „ regelmäßiges viereckiges Prisma" bedeutet, dass:

Richtiges Prisma- ein Prisma, an dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck liegt und dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basis stehen. Das heißt, ein regelmäßiges viereckiges Prisma enthält an seiner Basis Quadrat. (siehe Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas oben) Notiz. Dies ist Teil einer Lektion mit Geometrieproblemen (Abschnitt Stereometrie – Prisma). Hier gibt es Probleme, die schwer zu lösen sind. Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. Um den Vorgang des Ziehens der Quadratwurzel bei der Lösung von Problemen zu kennzeichnen, wird das Symbol verwendet√ .

Aufgabe.

Bei einem regelmäßigen viereckigen Prisma beträgt die Grundfläche 144 cm 2 und die Höhe 14 cm. Ermitteln Sie die Diagonale des Prismas und die Gesamtoberfläche.

Lösung.
Ein regelmäßiges Viereck ist ein Quadrat.
Dementsprechend ist die Seite der Basis gleich

√144 = 12 cm.
Von dort aus ist die Diagonale der Basis eines regelmäßigen rechteckigen Prismas gleich
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Die Diagonale eines regelmäßigen Prismas bildet mit der Diagonale der Grundfläche und der Höhe des Prismas ein rechtwinkliges Dreieck. Dementsprechend ist nach dem Satz des Pythagoras die Diagonale eines gegebenen regelmäßigen viereckigen Prismas gleich:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Antwort: 22 cm

Aufgabe

Bestimmen Sie die Gesamtoberfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas, wenn seine Diagonale 5 cm und die Diagonale seiner Seitenfläche 4 cm beträgt.

Lösung.
Da die Grundfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas ein Quadrat ist, ermitteln wir die Seite der Grundfläche (bezeichnet als a) mithilfe des Satzes des Pythagoras:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Die Höhe der Seitenfläche (bezeichnet als h) ist dann gleich:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Die Gesamtoberfläche entspricht der Summe aus der Seitenoberfläche und dem Doppelten der Grundfläche

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Antwort: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Prisma. Parallelepiped

Prisma ist ein Polyeder, dessen beiden Flächen gleiche n-Ecke sind (Basen) , liegen in parallelen Ebenen und die restlichen n Flächen sind Parallelogramme (Seitenflächen) . Seitliche Rippe eines Prismas ist die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Grundfläche gehört.

Ein Prisma, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Grundflächen stehen, heißt gerade Prisma (Abb. 1). Stehen die Seitenkanten nicht senkrecht zu den Grundflächenebenen, spricht man von einem Prisma geneigt . Richtig Ein Prisma ist ein gerades Prisma, dessen Grundflächen regelmäßige Vielecke sind.

Höhe Prisma ist der Abstand zwischen den Ebenen der Basen. Diagonale Ein Prisma ist ein Segment, das zwei Eckpunkte verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören. Diagonaler Abschnitt heißt ein Abschnitt eines Prismas durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur gleichen Fläche gehören. Senkrechter Abschnitt wird als Schnitt eines Prismas durch eine Ebene senkrecht zur Seitenkante des Prismas bezeichnet.

Seitenfläche eines Prismas ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen. Gesamtfläche nennt man die Summe der Flächen aller Flächen des Prismas (d. h. die Summe der Flächen der Seitenflächen und der Flächen der Grundflächen).

Für ein beliebiges Prisma gelten folgende Formeln::

Wo l– Länge der Seitenrippe;

H- Höhe;

P

Q

S-Seite

S voll

S-Basis– Bereich der Stützpunkte;

V– Volumen des Prismas.

Für ein gerades Prisma gelten folgende Formeln:

Wo P– Basisumfang;

l– Länge der Seitenrippe;

H- Höhe.

Parallelepiped ein Prisma genannt, dessen Basis ein Parallelogramm ist. Ein Parallelepiped, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen stehen, heißt Direkte (Abb. 2). Stehen die Seitenkanten nicht senkrecht zu den Grundflächen, spricht man von einem Parallelepiped geneigt . Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist, heißt rechteckig. Ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle Kanten gleich sind, heißt Würfel

Die Flächen eines Parallelepipeds, die keine gemeinsamen Eckpunkte haben, werden aufgerufen Gegenteil . Die Längen der Kanten, die von einem Scheitelpunkt ausgehen, werden aufgerufen Messungen Parallelepiped. Da ein Parallelepiped ein Prisma ist, werden seine Hauptelemente auf die gleiche Weise definiert wie für Prismen.

Theoreme.

1. Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und werden von diesem halbiert.

2. Bei einem rechteckigen Parallelepiped ist das Quadrat der Länge der Diagonale gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen:

3. Alle vier Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind einander gleich.

Für ein beliebiges Parallelepiped gelten folgende Formeln:

Wo l– Länge der Seitenrippe;

H- Höhe;

P– Umfang des senkrechten Abschnitts;

Q– Senkrechte Querschnittsfläche;

S-Seite– seitliche Oberfläche;

S voll– Gesamtfläche;

S-Basis– Bereich der Stützpunkte;

V– Volumen des Prismas.

Für ein rechtwinkliges Parallelepiped gelten folgende Formeln:

Wo P– Basisumfang;

l– Länge der Seitenrippe;

H– Höhe eines Parallelepipeds.

Für ein rechteckiges Parallelepiped sind die folgenden Formeln korrekt:

(3)

Wo P– Basisumfang;

H- Höhe;

D– diagonal;

ABC– Maße eines Parallelepipeds.

Die folgenden Formeln sind für einen Würfel richtig:

Wo A– Rippenlänge;

D- Diagonale des Würfels.

Beispiel 1. Die Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds beträgt 33 dm und seine Abmessungen stehen im Verhältnis 2:6:9. Finden Sie die Abmessungen des Parallelepipeds.

Lösung. Um die Abmessungen des Parallelepipeds zu ermitteln, verwenden wir Formel (3), d.h. dadurch, dass das Quadrat der Hypotenuse eines Quaders gleich der Summe der Quadrate seiner Abmessungen ist. Bezeichnen wir mit k Proportionalitätsfaktor. Dann sind die Abmessungen des Parallelepipeds gleich 2 k, 6k und 9 k. Schreiben wir Formel (3) für die Problemdaten:

Lösen Sie diese Gleichung nach k, wir bekommen:

Dies bedeutet, dass die Abmessungen des Parallelepipeds 6 dm, 18 dm und 27 dm betragen.

Antwort: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Beispiel 2. Ermitteln Sie das Volumen eines geneigten dreieckigen Prismas, dessen Basis ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 cm ist, wenn die Seitenkante gleich der Seite der Basis ist und in einem Winkel von 60° zur Basis geneigt ist.

Lösung . Machen wir eine Zeichnung (Abb. 3).

Um das Volumen eines geneigten Prismas zu ermitteln, müssen Sie dessen Grundfläche und Höhe kennen. Die Grundfläche dieses Prismas ist die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Seitenlänge von 8 cm. Berechnen wir es:

Die Höhe eines Prismas ist der Abstand zwischen seinen Grundflächen. Von oben A 1 der oberen Basis, senken Sie die Senkrechte zur Ebene der unteren Basis ab A 1 D. Seine Länge entspricht der Höhe des Prismas. Betrachten Sie D A 1 ANZEIGE: da dies der Neigungswinkel der Seitenkante ist A 1 A zur Basisebene, A 1 A= 8 cm. Aus diesem Dreieck finden wir A 1 D:

Nun berechnen wir das Volumen mit Formel (1):

Antwort: 192 cm3.

Beispiel 3. Die Seitenkante eines regelmäßigen sechseckigen Prismas beträgt 14 cm. Die Fläche des größten Diagonalabschnitts beträgt 168 cm 2. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Prismas.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 4)

Der größte diagonale Abschnitt ist ein Rechteck A.A. 1 DD 1 seit Diagonale ANZEIGE regelmäßiges Sechseck ABCDEF ist der grösste. Um die Mantelfläche des Prismas zu berechnen, ist es notwendig, die Seite der Grundfläche und die Länge der Seitenkante zu kennen.

Wenn wir die Fläche des Diagonalabschnitts (Rechteck) kennen, ermitteln wir die Diagonale der Basis.

Seit damals

Seit damals AB= 6 cm.

Dann ist der Umfang der Basis:

Finden wir die Fläche der Seitenfläche des Prismas:

Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 6 cm beträgt:

Finden Sie die Gesamtoberfläche des Prismas:

Antwort:

Beispiel 4. Die Basis eines Parallelepipeds ist eine Raute. Die diagonalen Querschnittsflächen betragen 300 cm2 und 875 cm2. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche des Parallelepipeds.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 5).

Bezeichnen wir die Seite der Raute mit A, Diagonalen einer Raute D 1 und D 2, Parallelepipedhöhe H. Um die Fläche der Seitenfläche eines geraden Parallelepipeds zu ermitteln, muss der Umfang der Basis mit der Höhe multipliziert werden: (Formel (2)). Basisumfang p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, als A B C D- Raute H = AA 1 = H. Das. Ich muss finden A Und H.

Betrachten wir diagonale Abschnitte. AA 1 SS 1 – ein Rechteck, dessen eine Seite die Diagonale einer Raute ist Wechselstrom = D 1, zweite – Seitenkante AA 1 = H, Dann

Ebenso für den Abschnitt BB 1 DD 1 wir bekommen:

Unter Verwendung der Eigenschaft eines Parallelogramms, dass die Summe der Quadrate der Diagonalen gleich der Summe der Quadrate aller seiner Seiten ist, erhalten wir die Gleichheit. Wir erhalten Folgendes.

Verschiedene Prismen unterscheiden sich voneinander. Gleichzeitig haben sie viele Gemeinsamkeiten. Um die Grundfläche des Prismas zu ermitteln, müssen Sie verstehen, um welchen Typ es sich handelt.

Allgemeine Theorie

Ein Prisma ist ein Polyeder, dessen Seiten die Form eines Parallelogramms haben. Darüber hinaus kann seine Basis jedes Polyeder sein – vom Dreieck bis zum N-Eck. Darüber hinaus sind die Grundflächen des Prismas immer gleich. Was für die Seitenflächen nicht gilt, ist, dass diese in ihrer Größe stark variieren können.

Bei der Lösung von Problemen wird nicht nur die Fläche der Prismenbasis berücksichtigt. Möglicherweise ist die Kenntnis der Seitenfläche erforderlich, also aller Flächen, die keine Basen sind. Die vollständige Oberfläche ist die Vereinigung aller Flächen, aus denen das Prisma besteht.

Manchmal hängen Probleme mit der Körpergröße zusammen. Es steht senkrecht zu den Basen. Die Diagonale eines Polyeders ist ein Segment, das zwei beliebige Eckpunkte paarweise verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Es ist zu beachten, dass die Grundfläche eines geraden oder geneigten Prismas nicht vom Winkel zwischen ihnen und den Seitenflächen abhängt. Wenn sie auf der Ober- und Unterseite die gleichen Figuren haben, sind ihre Flächen gleich.

Dreieckiges Prisma

An seiner Basis befindet sich eine Figur mit drei Spitzen, also ein Dreieck. Wie Sie wissen, kann es anders sein. Wenn ja, genügt es, sich daran zu erinnern, dass seine Fläche durch die Hälfte des Produkts der Beine bestimmt wird.

Die mathematische Notation sieht so aus: S = ½ av.

Um die Fläche der Basis im Allgemeinen herauszufinden, sind die Formeln nützlich: Heron und die, bei der die Hälfte der Seite durch die darauf gezeichnete Höhe gebildet wird.

Die erste Formel sollte wie folgt geschrieben werden: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Diese Notation enthält einen Halbumfang (p), also die Summe von drei Seiten geteilt durch zwei.

Zweitens: S = ½ n a * a.

Wenn Sie die Grundfläche eines dreieckigen Prismas herausfinden möchten, die regelmäßig ist, dann erweist sich das Dreieck als gleichseitig. Dafür gibt es eine Formel: S = ¼ a 2 * √3.

Viereckiges Prisma

Seine Basis ist eines der bekannten Vierecke. Es kann ein Rechteck oder ein Quadrat, ein Parallelepiped oder eine Raute sein. Um die Grundfläche des Prismas zu berechnen, benötigen Sie jeweils eine eigene Formel.

Wenn die Grundfläche ein Rechteck ist, wird seine Fläche wie folgt bestimmt: S = ab, wobei a, b die Seiten des Rechtecks ​​sind.

Bei einem viereckigen Prisma wird die Grundfläche eines regelmäßigen Prismas anhand der Formel für ein Quadrat berechnet. Denn er ist es, der das Fundament bildet. S = a 2.

Wenn die Basis ein Parallelepiped ist, ist die folgende Gleichheit erforderlich: S = a * n a. Es kommt vor, dass die Seite eines Parallelepipeds und einer der Winkel angegeben sind. Um die Höhe zu berechnen, müssen Sie dann eine zusätzliche Formel verwenden: n a = b * sin A. Darüber hinaus grenzt der Winkel A an die Seite „b“ und die Höhe n ist diesem Winkel entgegengesetzt.

Wenn sich an der Basis des Prismas eine Raute befindet, benötigen Sie zur Bestimmung seiner Fläche die gleiche Formel wie für ein Parallelogramm (da es sich um einen Sonderfall davon handelt). Sie können aber auch Folgendes verwenden: S = ½ d 1 d 2. Hier sind d 1 und d 2 zwei Diagonalen der Raute.

Regelmäßiges fünfeckiges Prisma

In diesem Fall wird das Polygon in Dreiecke unterteilt, deren Flächen sich leichter ermitteln lassen. Es kommt zwar vor, dass Figuren eine unterschiedliche Anzahl von Eckpunkten haben können.

Da die Grundfläche des Prismas ein regelmäßiges Fünfeck ist, kann es in fünf gleichseitige Dreiecke unterteilt werden. Dann ist die Fläche der Basis des Prismas gleich der Fläche eines solchen Dreiecks (die Formel ist oben zu sehen), multipliziert mit fünf.

Regelmäßiges sechseckiges Prisma

Nach dem für ein fünfeckiges Prisma beschriebenen Prinzip ist es möglich, das Sechseck der Grundfläche in 6 gleichseitige Dreiecke zu unterteilen. Die Formel für die Grundfläche eines solchen Prismas ähnelt der vorherigen. Nur sollte es mit sechs multipliziert werden.

Die Formel sieht folgendermaßen aus: S = 3/2 a 2 * √3.

Aufgaben

Nr. 1. Bei einer regelmäßigen Geraden beträgt ihre Diagonale 22 cm, die Höhe des Polyeders beträgt 14 cm. Berechnen Sie die Fläche der Basis des Prismas und der gesamten Oberfläche.

Lösung. Die Grundfläche des Prismas ist quadratisch, seine Seite ist jedoch unbekannt. Sie können seinen Wert aus der Diagonale des Quadrats (x) ermitteln, die mit der Diagonale des Prismas (d) und seiner Höhe (h) zusammenhängt. x 2 = d 2 - n 2. Andererseits ist dieses Segment „x“ die Hypotenuse in einem Dreieck, dessen Schenkel gleich der Seite des Quadrats sind. Das heißt, x 2 = a 2 + a 2. Somit stellt sich heraus, dass a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Ersetzen Sie die Zahl 22 anstelle von d und ersetzen Sie „n“ durch den Wert - 14. Es stellt sich heraus, dass die Seite des Quadrats 12 cm beträgt. Finden Sie nun einfach die Fläche der Basis heraus: 12 * 12 = 144 cm 2.

Um die Fläche der gesamten Oberfläche zu ermitteln, müssen Sie die doppelte Grundfläche addieren und die Seitenfläche vervierfachen. Letzteres lässt sich leicht mit der Formel für ein Rechteck ermitteln: Multiplizieren Sie die Höhe des Polyeders und die Seite der Grundfläche. Das heißt, 14 und 12, diese Zahl entspricht 168 cm 2. Die Gesamtoberfläche des Prismas beträgt 960 cm 2.

Antwort. Die Grundfläche des Prismas beträgt 144 cm 2 . Die Gesamtfläche beträgt 960 cm 2.

Nr. 2. An der Basis befindet sich ein Dreieck mit einer Seitenlänge von 6 cm. In diesem Fall beträgt die Diagonale der Seitenfläche 10 cm.

Lösung. Da das Prisma regelmäßig ist, ist seine Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck. Daher ist seine Fläche gleich 6 zum Quadrat, multipliziert mit ¼ und der Quadratwurzel aus 3. Eine einfache Berechnung führt zu dem Ergebnis: 9√3 cm 2. Dies ist die Fläche einer Basis des Prismas.

Alle Seitenflächen sind gleich und sind Rechtecke mit Seitenlängen von 6 und 10 cm. Um ihre Flächen zu berechnen, multiplizieren Sie einfach diese Zahlen. Dann multipliziere sie mit drei, denn das Prisma hat genau so viele Seitenflächen. Dann beträgt die Fläche der Seitenfläche der Wunde 180 cm 2.

Antwort. Flächen: Basis - 9√3 cm 2, Seitenfläche des Prismas - 180 cm 2.

Im schulischen Lehrplan für einen Stereometriekurs beginnt das Studium dreidimensionaler Figuren meist mit einem einfachen geometrischen Körper – dem Polyeder eines Prismas. Die Rolle seiner Basen übernehmen zwei gleiche Polygone, die in parallelen Ebenen liegen. Ein Sonderfall ist ein regelmäßiges viereckiges Prisma. Seine Grundflächen sind zwei identische regelmäßige Vierecke, zu denen die Seiten senkrecht stehen und die Form von Parallelogrammen (oder Rechtecken, wenn das Prisma nicht geneigt ist) haben.

Wie sieht ein Prisma aus?

Ein regelmäßiges viereckiges Prisma ist ein Sechseck, dessen Grundflächen zwei Quadrate sind und dessen Seitenflächen durch Rechtecke dargestellt werden. Ein anderer Name für diese geometrische Figur ist ein gerades Parallelepiped.

Unten ist eine Zeichnung dargestellt, die ein viereckiges Prisma zeigt.

Kann man auch auf dem Bild sehen die wichtigsten Elemente, aus denen ein geometrischer Körper besteht. Diese beinhalten:

Bei Geometrieproblemen kann man manchmal auf das Konzept eines Abschnitts stoßen. Die Definition wird so klingen: Ein Abschnitt sind alle Punkte eines volumetrischen Körpers, die zu einer Schnittebene gehören. Der Schnitt kann senkrecht sein (schneidet die Kanten der Figur in einem Winkel von 90 Grad). Für ein rechteckiges Prisma wird auch ein diagonaler Abschnitt berücksichtigt (die maximale Anzahl der konstruierbaren Abschnitte beträgt 2), der durch 2 Kanten und die Diagonalen der Basis verläuft.

Wird der Schnitt so gezeichnet, dass die Schnittebene weder zu den Grundflächen noch zu den Seitenflächen parallel ist, entsteht ein Prismenstumpf.

Um die reduzierten prismatischen Elemente zu finden, werden verschiedene Beziehungen und Formeln verwendet. Einige davon sind aus dem Planimetriekurs bekannt (um beispielsweise die Grundfläche eines Prismas zu ermitteln, genügt es, sich an die Formel für die Fläche eines Quadrats zu erinnern).

Oberfläche und Volumen

Um das Volumen eines Prismas anhand der Formel zu bestimmen, müssen Sie die Fläche seiner Grundfläche und Höhe kennen:

V = Sbas h

Da die Grundfläche eines regelmäßigen tetraedrischen Prismas ein Quadrat mit einer Seite ist A, Sie können die Formel detaillierter schreiben:

V = a²·h

Wenn es sich um einen Würfel handelt – ein regelmäßiges Prisma mit gleicher Länge, Breite und Höhe – berechnet sich das Volumen wie folgt:

Um zu verstehen, wie man die Mantelfläche eines Prismas ermittelt, muss man sich dessen Entwicklung vorstellen.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die Seitenfläche aus 4 gleichen Rechtecken besteht. Seine Fläche wird als Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Figur berechnet:

Sside = Posn h

Berücksichtigen Sie, dass der Umfang des Quadrats gleich ist P = 4a, Die Formel hat die Form:

Sside = 4a h

Für Würfel:

Sseite = 4a²

Um die Gesamtoberfläche des Prismas zu berechnen, müssen Sie zur Seitenfläche 2 Grundflächen addieren:

Sfull = Sside + 2Smain

Bezogen auf ein viereckiges regelmäßiges Prisma sieht die Formel wie folgt aus:

Gesamt = 4a h + 2a²

Für die Oberfläche eines Würfels:

Sfull = 6a²

Wenn Sie das Volumen oder die Oberfläche kennen, können Sie die einzelnen Elemente eines geometrischen Körpers berechnen.

Finden von Prismenelementen

Oft gibt es Probleme, bei denen das Volumen angegeben ist oder der Wert der Mantelfläche bekannt ist, bei denen es notwendig ist, die Seitenlänge der Basis oder die Höhe zu bestimmen. In solchen Fällen können die Formeln abgeleitet werden:

• Basisseitenlänge: a = Sside / 4h = √(V / h);
• Höhe bzw. Seitenrippenlänge: h = Sside / 4a = V / a²;
• Grundfläche: Sbas = V/h;
• Seitenfläche: Seite gr = Seite / 4.

Um zu bestimmen, wie viel Fläche der Diagonalabschnitt hat, müssen Sie die Länge der Diagonale und die Höhe der Figur kennen. Für ein Quadrat d = a√2. Daher:

Sdiag = ah√2

Um die Diagonale eines Prismas zu berechnen, verwenden Sie die Formel:

dprize = √(2a² + h²)

Um zu verstehen, wie man die gegebenen Zusammenhänge anwendet, können Sie einige einfache Aufgaben üben und lösen.

Beispiele für Probleme mit Lösungen

Hier finden Sie einige Aufgaben aus staatlichen Abschlussprüfungen in Mathematik.

Übung 1.

Sand wird in einen Kasten gegossen, der die Form eines regelmäßigen viereckigen Prismas hat. Die Höhe seiner Wasserwaage beträgt 10 cm. Wie hoch wird die Sandwaage sein, wenn Sie sie in einen Behälter derselben Form, aber mit doppelt so langem Boden, stellen?

Es sollte wie folgt begründet werden. Die Sandmenge im ersten und zweiten Behälter hat sich nicht verändert, d. h. das Volumen darin ist gleich. Sie können die Länge der Basis mit bezeichnen A. In diesem Fall beträgt das Volumen des Stoffes für das erste Kästchen:

V₁ = ha² = 10a²

Für die zweite Box beträgt die Länge der Basis 2a, aber die Höhe des Sandspiegels ist unbekannt:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Weil das V₁ = V₂, wir können die Ausdrücke gleichsetzen:

10a² = 4ha²

Nachdem wir beide Seiten der Gleichung um a² reduziert haben, erhalten wir:

Dadurch entsteht ein neuer Sandspiegel h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Aufgabe 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ist ein korrektes Prisma. Es ist bekannt, dass BD = AB₁ = 6√2. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Körpers.

Um leichter zu verstehen, welche Elemente bekannt sind, können Sie eine Figur zeichnen.

Da es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt, können wir daraus schließen, dass sich an der Basis ein Quadrat mit einer Diagonale von 6√2 befindet. Die Diagonale der Seitenfläche ist gleich groß, daher hat die Seitenfläche auch die Form eines Quadrats gleich der Grundfläche. Es stellt sich heraus, dass alle drei Dimensionen – Länge, Breite und Höhe – gleich sind. Wir können daraus schließen, dass ABCDA₁B₁C₁D₁ ein Würfel ist.

Die Länge einer beliebigen Kante wird durch eine bekannte Diagonale bestimmt:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Die Gesamtoberfläche wird mit der Formel für einen Würfel ermittelt:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Aufgabe 3.

Das Zimmer wird renoviert. Es ist bekannt, dass sein Boden die Form eines Quadrats mit einer Fläche von 9 m² hat. Die Raumhöhe beträgt 2,5 m. Was kostet das Tapezieren eines Raums am wenigsten, wenn 1 m² 50 Rubel kostet?

Da Boden und Decke Quadrate, also regelmäßige Vierecke, sind und seine Wände senkrecht zu horizontalen Flächen stehen, können wir daraus schließen, dass es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt. Es ist notwendig, die Fläche seiner Seitenfläche zu bestimmen.

Die Länge des Raumes beträgt a = √9 = 3 M.

Der Bereich wird mit Tapeten abgedeckt Seitenteil = 4 3 2,5 = 30 m².

Die niedrigsten Tapetenkosten für diesen Raum betragen 50·30 = 1500 Rubel

Um Probleme mit einem rechteckigen Prisma zu lösen, reicht es daher aus, die Fläche und den Umfang eines Quadrats und eines Rechtecks ​​berechnen zu können sowie die Formeln zur Ermittlung des Volumens und der Oberfläche zu kennen.

So finden Sie die Fläche eines Würfels