Regeln zum Erstellen eines Wahrscheinlichkeitsbaums. Arbeiten Sie mit Wahrscheinlichkeitslinien und wählen Sie einen Zukunftsplan in Ihrem eigenen Spark. Üben Sie, Ihren Weg zu wählen

Um einen Wahrscheinlichkeitsbaum zu erstellen, müssen Sie zunächst den Baum selbst zeichnen, dann alle für dieses Problem bekannten Informationen in die Zeichnung eintragen und schließlich die Grundregeln verwenden, um die fehlenden Zahlen zu berechnen und den Baum zu vervollständigen.

1. Wahrscheinlichkeiten sind an jedem Endpunkt angegeben und eingekreist. Auf jeder Ebene des Baums muss die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten 1 (oder 100 %) betragen. So zum Beispiel in Abb. 6.5.1 Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf der ersten Ebene beträgt 0,20 + 0,80 = 1,00 und auf der zweiten Ebene - 0,03 + 0,17 + 0,56 + 0,24 = 1,00. Diese Regel hilft, einen leeren Kreis in einer Spalte zu füllen, wenn die Werte aller anderen Wahrscheinlichkeiten auf dieser Ebene bekannt sind.

Reis. 6.5.1

2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten werden neben jedem der Zweige angezeigt (außer
möglicherweise Zweige der ersten Ebene). Für jede Gruppe von Zweigen, die von einem Punkt ausgehen, ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ebenfalls gleich 1 (oder 100 %).
Zum Beispiel in Abb. 6.5.1 für die erste Gruppe von Zweigen erhalten wir 0,15 + 0,85 =
1,00 und für die zweite Gruppe - 0,70 + 0,30 = 1,00. Diese Regel erlaubt
Berechnen Sie einen unbekannten bedingten Wahrscheinlichkeitswert in einer Gruppe von Zweigen, die von einem Punkt ausgehen.

3. Die am Anfang des Zweigs eingekreiste Wahrscheinlichkeit, multipliziert mit der Bedingung
Die Wahrscheinlichkeit neben diesem Zweig gibt die in einem Kreis geschriebene Wahrscheinlichkeit an
Ende der Filiale. Zum Beispiel in Abb. 6.5.1 für den oberen, nach rechts führenden Ast
wir haben 0,20 x 0,15 = 0,03, für den nächsten Zweig - 0,20 x 0,85 = 0,17; Ähnliche Beziehungen gelten für die anderen beiden Zweige. Mit dieser Regel kann ein unbekannter Wert berechnet werden
Wahrscheinlichkeiten von drei, die einem Zweig entsprechen.

4. Der in den Kreis geschriebene Wahrscheinlichkeitswert ist gleich der Summe der eingekreisten Wahrscheinlichkeiten an den Enden aller aus diesem Kreis kommenden Zweige
Nach rechts. So zum Beispiel für Abb. 6.5.1 kommen mit einem Wert von 0,20 aus dem Kreis
zwei Zweige, an deren Enden eingekreiste Wahrscheinlichkeiten stehen, deren Summe diesem Wert entspricht: 0,03 + 0,17 = 0,20. Mit dieser Regel können Sie einen unbekannten Wahrscheinlichkeitswert in einer Gruppe finden.
einschließlich dieser Wahrscheinlichkeit und aller Wahrscheinlichkeiten an den Enden der Zweige des Baums,
Verlassen des entsprechenden Kreises.

Mithilfe dieser Regeln können Sie diesen unbekannten Wert finden, wenn Sie alles außer einem Wahrscheinlichkeitswert für einen Zweig oder eine bestimmte Ebene kennen.

37. Welche Art von Stichprobe wird als repräsentativ bezeichnet? Wie kann eine repräsentative Stichprobe gewonnen werden?

Repräsentativität ist die Fähigkeit einer Stichprobe, die untersuchte Population zu repräsentieren. Je genauer die Zusammensetzung der Stichprobe die Bevölkerung in Bezug auf die untersuchten Themen repräsentiert, desto höher ist ihre Repräsentativität.

Repräsentative Stichprobenziehung ist eines der Schlüsselkonzepte in der Datenanalyse. Eine repräsentative Stichprobe ist eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit einer Verteilung F(X), die die Hauptmerkmale der Bevölkerung darstellen. Wenn in einer Stadt beispielsweise 100.000 Menschen leben, von denen die Hälfte Männer und die Hälfte Frauen sind, dann ist eine Stichprobe von 1.000 Menschen, von denen 10 Männer und 990 Frauen sind, sicherlich nicht repräsentativ. Eine darauf basierende Meinungsumfrage wird natürlich verzerrte Schätzungen enthalten und zu einer Verfälschung der Ergebnisse führen.

Eine notwendige Voraussetzung für die Zusammenstellung einer repräsentativen Stichprobe ist die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass jedes Element der Gesamtbevölkerung einbezogen wird.

Die Stichprobenverteilungsfunktion (empirisch) gibt eine ziemlich gute Vorstellung von der Verteilungsfunktion bei einer großen Stichprobengröße F(X) der ursprünglichen Bevölkerung.

Das diesem Verfahren zugrunde liegende Leitprinzip ist das Prinzip der Randomisierung, des Zufalls. Eine Stichprobe wird als Zufallsstichprobe bezeichnet (manchmal spricht man auch von einfacher Zufallsstichprobe oder reiner Zufallsstichprobe), wenn zwei Bedingungen erfüllt sind. Erstens muss die Stichprobe so gestaltet sein, dass jede Person oder Organisation innerhalb der Grundgesamtheit die gleichen Chancen hat, für die Analyse ausgewählt zu werden. Zweitens muss die Stichprobe so ausgewählt werden, dass jede Kombination von n Objekten (wobei n einfach die Anzahl der Objekte oder Fälle in der Stichprobe ist) die gleiche Chance hat, für die Analyse ausgewählt zu werden.

Bei der Untersuchung von Populationen, die zu groß sind, um eine echte Lotterie zu unterstützen, werden häufig einfache Zufallsstichproben verwendet. Die Namen von mehreren Hunderttausend Objekten aufzuschreiben, sie in eine Trommel zu legen und mehrere Tausend auszuwählen, ist immer noch keine leichte Aufgabe. In solchen Fällen kommt eine andere, aber ebenso zuverlässige Methode zum Einsatz. Jedem Objekt wird gemeinsam eine Nummer zugewiesen. Die Reihenfolge der Zahlen in solchen Tabellen wird normalerweise von einem Computerprogramm namens Zufallszahlengenerator bestimmt, das im Wesentlichen eine große Anzahl von Zahlen in eine Trommel wirft, sie nach dem Zufallsprinzip zieht und sie in der Reihenfolge ausdruckt, in der sie eingegangen sind. Mit anderen Worten, es findet der gleiche Prozess statt, der für eine Lotterie charakteristisch ist, aber der Computer trifft eine universelle Wahl, indem er nicht Namen, sondern Zahlen verwendet. Diese Auswahl können Sie nutzen, indem Sie einfach jedem unserer Objekte eine Nummer zuweisen.

Eine solche Zufallszahlentabelle kann auf verschiedene Arten verwendet werden, und es müssen jeweils drei Entscheidungen getroffen werden. Erstens ist es notwendig zu entscheiden, wie viele Ziffern wir verwenden werden; zweitens ist es notwendig, eine Entscheidungsregel für ihre Verwendung zu entwickeln; Drittens müssen Sie einen Ausgangspunkt und eine Methode zum Durchlaufen der Tabelle auswählen.

Sobald dies erledigt ist, müssen wir eine Regel entwickeln, die die Zahlen in der Tabelle mit den Nummern unserer Objekte verknüpft. Hier gibt es zwei Möglichkeiten. Der einfachste Weg (wenn auch nicht unbedingt der korrekteste) besteht darin, nur die Zahlen zu verwenden, die in die Anzahl der unseren Objekten zugewiesenen Zahlen fallen. Wenn wir also eine Grundgesamtheit von 250 Objekten haben (und daher dreistellige Zahlen verwenden) und beschließen, in der oberen linken Ecke der Tabelle zu beginnen und uns die Spalten nach unten vorzuarbeiten, würden wir die Objekte mit den Nummern 100, 084 und 128 in unsere Stichprobe aufnehmen , und Überspringen wir die Zahlen 375 und 990, die nicht unseren Objekten entsprechen. Dieser Prozess wird fortgesetzt, bis die Anzahl der für unsere Stichprobe benötigten Objekte ermittelt ist.

Ein aufwändigeres, aber methodisch korrekteres Vorgehen basiert auf der Position, dass zur Erhaltung der Zufälligkeitseigenschaft der Tabelle jede Zahl einer bestimmten Dimension verwendet werden muss (z. B. jede dreistellige Zahl). Dieser Logik folgend und wiederum mit einer Population von 250 Objekten arbeitend, müssen wir den Bereich der dreistelligen Zahlen von 000 bis 999 in 250 gleiche Intervalle unterteilen. Da es 1000 solcher Zahlen gibt, teilen wir 1000 durch 250 und stellen fest, dass jeder Teil vier Zahlen enthält. Somit entsprechen die Tabellennummern von 000 bis 003 den Objekten von 004 bis 007 – Objekt 2 usw. Um nun festzustellen, welche Objektnummer der Tabellennummer entspricht, sollten Sie die dreistellige Zahl aus der Tabelle dividieren und auf die nächste ganze Zahl runden.

Schließlich müssen wir den Startpunkt und die Route aus der Tabelle auswählen. Der Startpunkt kann die obere linke Ecke (wie im vorherigen Beispiel), die untere rechte Ecke, der linke Rand der zweiten Linie oder eine beliebige andere Stelle sein. Diese Wahl ist völlig willkürlich. Bei der Arbeit mit einem Tisch müssen wir jedoch systematisch vorgehen. Wir könnten die ersten drei Zeichen jeder fünfstelligen Folge, die mittleren drei Zeichen, die letzten drei Zeichen oder sogar das erste, zweite und vierte Zeichen nehmen. (Aus der ersten fünfstelligen Folge ergeben diese verschiedenen Verfahren die Zahlen 100, 009, 097 und 109.) Wir könnten diese Verfahren von rechts nach links anwenden und so 790, 900, 001 und ergeben 791. Wir könnten uns die Reihen nach unten arbeiten, indem wir nacheinander jede weitere Ziffer berücksichtigen und die Einteilung in Fünfer ignorieren (für die erste Reihe erhält man die Zahlen 100, 973, 253, 376 und 520). Wir konnten nur mit jeder dritten Zahlengruppe umgehen (zum Beispiel 10097, 99019, 04805, 99970). Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten und jede nächste ist nicht schlechter als die vorherige. Sobald wir uns jedoch für eine bestimmte Arbeitsweise entschieden haben, müssen wir diese systematisch befolgen, um die Zufälligkeit der Elemente in der Tabelle so weit wie möglich zu respektieren.

38. Welches Intervall nennen wir ein Konfidenzintervall?

Das Konfidenzintervall ist die zulässige Abweichung der beobachteten Werte von den wahren Werten. Der Umfang dieser Annahme wird vom Forscher unter Berücksichtigung der Anforderungen an die Richtigkeit der Informationen bestimmt. Wenn die Fehlerspanne zunimmt, verringert sich die Stichprobengröße, selbst wenn das Konfidenzniveau bei 95 % bleibt.

Das Konfidenzintervall gibt an, in welchem ​​Bereich die Ergebnisse von Stichprobenbeobachtungen (Befragungen) liegen. Wenn wir 100 identische Umfragen in identischen Stichproben aus einer einzelnen Bevölkerung durchführen (z. B. 100 Stichproben von jeweils 1.000 Personen in einer Stadt mit 5 Millionen Einwohnern), dann fallen bei einem Konfidenzniveau von 95 % 95 von 100 Ergebnissen in den Bereich das Konfidenzintervall (z. B. von 28 % bis 32 % bei einem wahren Wert von 30 %).

Beispielsweise liegt die tatsächliche Zahl der Stadtbewohner, die rauchen, bei 30 %. Wenn wir 1000 Personen 100 Mal hintereinander befragen und in diesen Stichproben die Frage „Rauchen Sie?“ stellen, liegt der Wert bei 95 dieser 100 Stichproben mit einem Konfidenzintervall von 2 % zwischen 28 % und 32 %.

39 Wie nennt man das Konfidenzniveau?

Das Konfidenzniveau spiegelt die Menge an Beweisen wider, die der Evaluator benötigt, um zu sagen, dass das zu evaluierende Programm die beabsichtigte Wirkung hat. In den Sozialwissenschaften wird traditionell ein Konfidenzniveau von 95 % verwendet. Für die meisten öffentlichen Programme ist ein Wert von 95 % jedoch zu hoch. Für eine adäquate Beurteilung des Programms ist ein Konfidenzniveau im Bereich von 80-90 % ausreichend. Auf diese Weise kann die Größe der repräsentativen Gruppe reduziert und damit der Aufwand für die Durchführung der Begutachtung gesenkt werden.

Der statistische Auswertungsprozess prüft die Nullhypothese, die besagt, dass das Programm nicht die beabsichtigte Wirkung hatte. Weichen die erzielten Ergebnisse deutlich von den ursprünglichen Annahmen über die Richtigkeit der Nullhypothese ab, wird diese verworfen.

40. Welches der beiden Konfidenzintervalle ist größer: zweiseitig 99 % oder zweiseitig 95 %? Erklären.

Das zweiseitige Konfidenzintervall von 99 % ist größer als 95 %, da mehr Werte darin liegen. Dokumentieren:

Mithilfe von Z-Scores können Sie das Konfidenzintervall genauer schätzen und die allgemeine Form des Konfidenzintervalls bestimmen. Die genaue Formulierung des Konfidenzintervalls für den Stichprobenmittelwert lautet wie folgt:

Für eine Zufallsstichprobe von 25 Beobachtungen, die die Normalverteilung erfüllen, lautet das Konfidenzintervall des Stichprobenmittelwerts wie folgt:

Somit können Sie zu 95 % sicher sein, dass der Wert innerhalb von ±1,568 Einheiten des Stichprobenmittelwerts liegt. Mit der gleichen Methode können Sie feststellen, dass das 99 %-Konfidenzintervall innerhalb von ±2,0608 Einheiten des Stichprobenmittelwerts liegt

Wert Somit haben wir und von hier aus erhalten wir auf ähnliche Weise die untere Grenze, die gleich ist

Reis. 7.2. Zahlungsmatrix unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignisausgängen

p i – Wahrscheinlichkeit des i-ten Ergebnisses von Ereignissen.

M j – Mat. Erwartung eines Kriteriums bei der Wahl der j-ten Option von Handlungsalternativen, bestimmt durch die Formel:

Die beiden oben genannten Ansätze ermöglichen die Implementierung von vier verschiedenen Lösungsauswahlalgorithmen.

1. Entscheidung basierend auf der Maximum-Likelihood-Regel – Maximierung der wahrscheinlichsten Werte des Kriteriums (Gewinn oder Einkommen).

2. Entscheidung basierend auf der Maximum-Likelihood-Regel – Minimierung der wahrscheinlichsten Werte des Kriteriums (mögliche Verluste oder direkte Verluste).

3. Entscheidung basierend auf der Regel der Maximierung der mathematischen Erwartung (Durchschnittswert) des Kriteriums (Gewinn oder Einkommen).

4. Entscheidung basierend auf der Regel der Minimierung der mathematischen Erwartung (Durchschnittswert) des Kriteriums (Verluste oder Schäden).

Bei den Beispielen, die wir bisher in diesem Kapitel betrachtet haben, handelte es sich um eine einzige Lösung. In der Praxis zwingt uns jedoch das Ergebnis einer Entscheidung dazu, die nächste zu treffen, und so weiter. Diese Reihenfolge kann nicht durch eine Auszahlungsmatrix ausgedrückt werden, daher muss ein anderer Entscheidungsprozess verwendet werden.

Planen Entscheidungsbaum Wird verwendet, wenn unter unsicheren Bedingungen mehrere Entscheidungen getroffen werden müssen und jede Entscheidung vom Ausgang der vorherigen oder vom Ausgang von Ereignissen abhängt.

Beim Erstellen eines Entscheidungsbaums müssen Sie einen „Stamm“ und „Zweige“ zeichnen, die die Struktur des Problems widerspiegeln.

· Die „Bäume“ sind von links nach rechts angeordnet. „Zweige“ stellen mögliche alternative Entscheidungen dar, die getroffen werden können, und die möglichen Ergebnisse, die sich aus diesen Entscheidungen ergeben.

· „Zweige“ entstehen aus Knoten. Es gibt zwei Arten von Knoten.

Der quadratische Knoten stellt den Ort dar, an dem die Entscheidung getroffen wird.

Der runde Knoten stellt den Ort dar, an dem verschiedene mögliche Ergebnisse auftreten.

· Das Diagramm verwendet zwei Arten von „Zweigen“:

Die erste besteht aus gepunkteten Linien, die aus den Quadraten möglicher Lösungen entstehen; die Bewegung entlang dieser Linien hängt von den getroffenen Entscheidungen ab. Alle durch die Entscheidung verursachten Kosten sind auf dem entsprechenden gepunkteten „Zweig“ angegeben.

Das zweite sind durchgezogene Linien, die aus den Kreisen möglicher Ergebnisse hervorgehen. Die Bewegung entlang ihnen wird durch den Ausgang der Ereignisse bestimmt. Die durchgezogene Linie gibt die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses an.

Entscheidungsknoten.

Verzweigungsknoten für mögliche Ergebnisse von Ereignissen.

Zweige, deren Bewegung von der getroffenen Entscheidung abhängt.

Zweige, deren Bewegung vom Ausgang der Ereignisse abhängt.

Die Suche nach einer Lösung gliedert sich in drei Phasen.

Bühne 1. Ein „Baum“ wird gebaut (ein Beispiel wird im praktischen Unterricht besprochen). Wenn alle Entscheidungen und ihre Ergebnisse auf dem „Baum“ angegeben sind, wird jede der Optionen berechnet und am Ende ihr monetärer Ertrag angegeben.

Stufe 2. Sie werden berechnet und auf den entsprechenden Zweigen der Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses platziert.

Stufe 3. In dieser Phase werden die monetären Ergebnisse jedes der „Knoten“ berechnet und von rechts nach links eingegeben. Anfallende Ausgaben werden von den erwarteten Einnahmen abgezogen.

Nachdem die „Lösungs“-Quadrate vervollständigt wurden, wird der „Zweig“ ausgewählt, der zu dem höchstmöglichen erwarteten Einkommen für eine bestimmte Entscheidung führt (auf diesem Zweig wird ein Pfeil platziert).

Der andere „Zweig“ ist durchgestrichen und über dem Lösungsquadrat steht das erwartete Einkommen.

So entsteht am Ende der dritten Stufe eine Abfolge von Entscheidungen, die zu einem maximalen Einkommen führen.

Prinzipiell kann das Kriterium die Maximierung der Matte sein. Einkommenserwartungen und Minimierung des Fluchens. Verlusterwartungen.

1. Ω = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ω = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16,61,34, 43, 25, 52);

● B = (11,12, 21,13,31,14, 41,15, 51,16, 61)

● C = (12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66).

● D= (SUMME DER PUNKTE IST 2 ODER 3);

● E= (SUMME DER PUNKTE IST 10).

Beschreiben Sie das Ereignis: MIT= (KREIS GESCHLOSSEN) für jeden Fall.

Lösung. Führen wir die folgende Notation ein: Ereignis A- Kontakt 1 ist geschlossen; Ereignis IN- Kontakt 2 ist geschlossen; Ereignis MIT- Der Stromkreis ist geschlossen, das Licht ist an.

1. Bei einer Parallelschaltung ist der Stromkreis geschlossen, wenn mindestens einer der Kontakte geschlossen ist, also C = A + B;

2. Bei einer Reihenschaltung ist der Stromkreis geschlossen, wenn beide Kontakte geschlossen sind C = A B.

Aufgabe. 1.1.4 Es wurden zwei elektrische Schaltpläne zusammengestellt:

Ereignis A – der Stromkreis ist geschlossen, Ereignis A i – ICH Der -te Kontakt ist geschlossen. Für welche davon gilt die Beziehung?

A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A?

Lösung. Für die erste Schaltung gilt A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), da eine Parallelschaltung der Summe der Ereignisse und eine Reihenschaltung dem Produkt der Ereignisse entspricht. Für das zweite Schema A = A1 (A2+A3 A4 A5). Daher gilt diese Beziehung für das zweite Schema.

Aufgabe. 1.1.5 Vereinfachen Sie den Ausdruck (A + B)(B + C)(C+ A).

Lösung. Nutzen wir die Eigenschaften der Additions- und Multiplikationsoperationen von Ereignissen.

(A+ B)(B + C)(A + C) =

(AB+ AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB+ AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

Aufgabe. 1.1.6Beweisen Sie, dass die Ereignisse A, AB und A+B Bilden Sie eine vollständige Gruppe.

Lösung. Bei der Lösung des Problems verwenden wir die Eigenschaften von Operationen auf Ereignissen. Zunächst werden wir zeigen, dass diese Ereignisse paarweise inkompatibel sind.

Jetzt werden wir zeigen, dass die Summe dieser Ereignisse den Raum der Elementarereignisse ergibt.

Aufgabe. 1.1.7Überprüfen Sie mithilfe des Euler-Venn-Diagramms die De-Morgan-Regel:

A) Ereignis AB ist schattiert.

B) Ereignis A – vertikale Schraffur; Ereignis B – horizontale Schraffur. Ereignis

(A+B) – schattierter Bereich.

Aus einem Vergleich der Abbildungen a) und c) ergibt sich:

Aufgabe. 1.2.1Auf wie viele Arten können 8 Personen sitzen?

1. In einer Reihe?

2. An einem runden Tisch?

Lösung.

1. Die erforderliche Anzahl an Wegen ist gleich der Anzahl an Permutationen von 8, d.h.

P8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Da an einem runden Tisch die Wahl der ersten Person keinen Einfluss auf den Wechsel der Elemente hat, kann jeder zuerst genommen werden, und die übrigen werden im Verhältnis zum Auserwählten geordnet. Diese Aktion kann auf 8!/8 = 5040 Arten ausgeführt werden.

Aufgabe. 1.2.2Der Kurs umfasst 5 Fächer. Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Zeitplan für den Samstag zu erstellen, wenn es an diesem Tag zwei verschiedene Paare gibt?

Lösung. Die erforderliche Anzahl an Wegen ist die Anzahl der Platzierungen

Von 5 auf 2, da Sie die Reihenfolge der Paare berücksichtigen müssen:

Aufgabe. 1.2.3Wie viele Prüfungsausschüsse, bestehend aus 7 Personen, können aus 15 Lehrkräften bestehen?

Lösung. Die erforderliche Anzahl an Provisionen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) ist die Anzahl der Kombinationen von 15 bis 7:

Aufgabe. 1.2.4 Aus einem Korb mit zwanzig nummerierten Bällen werden 5 Glücksbälle ausgewählt. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente des Raums der Elementarereignisse dieses Experiments, wenn:

Die Kugeln werden nacheinander ausgewählt und kehren nach jeder Ziehung zurück.

Die Kugeln werden einzeln ausgewählt, ohne dass sie zurückgegeben werden;

Wählen Sie 5 Bälle gleichzeitig aus.

Lösung.

Die Anzahl der Möglichkeiten, den ersten Ball aus dem Korb zu entfernen, beträgt 20. Da der entnommene Ball in den Korb zurückgekehrt ist, beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, den zweiten Ball zu entfernen, ebenfalls 20 usw. Dann beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, 5 Bälle zu entfernen Fall ist 20 20 20 20 20 = 3200000.

Die Anzahl der Möglichkeiten, den ersten Ball aus dem Korb zu entfernen, beträgt 20. Da der entnommene Ball nach der Entfernung nicht in den Korb zurückkehrte, beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, den zweiten Ball zu entfernen, 19 usw. Dann beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, ihn zu entfernen, 5 Bälle ohne Rückkehr ist 20 19 18 17 16 = A52 0

Die Anzahl der Möglichkeiten, 5 Bälle aus dem Korb zu ziehen, entspricht sofort der Anzahl der Kombinationen von 20 mal 5:

Aufgabe. 1.2.5 Es werden zwei Würfel geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A, dass mindestens ein Ereignis auftritt.

Lösung. Jeder Würfel kann eine beliebige Anzahl von Punkten von 1 bis 6 würfeln. Daher enthält der Raum der Elementarereignisse 36 gleich mögliche Ergebnisse. Ereignis A wird durch 11 Ergebnisse begünstigt: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1,5), (5,1), (1,6), (6,1), also

Aufgabe. 1.2.6 Auf den roten Karten stehen die Buchstaben u, i, i, k, c, f, n, auf den blauen Karten die Buchstaben a, a, o, t, t, s, h. Nach gründlichem Mischen also Wahrscheinlicher: vom ersten Mal bis zum ersten Mal. Verwenden Sie die roten Karten zum Wort „Funktion“ oder die Buchstaben der blauen Karten zum Wort „Häufigkeit“?

Lösung. Sei Ereignis A das Wort „Funktion“, das zufällig aus 7 Buchstaben besteht, und Ereignis B das Wort „Häufigkeit“, das zufällig aus 7 Buchstaben besteht. Da zwei Sätze von 7 Buchstaben geordnet sind, beträgt die Anzahl aller Ergebnisse für die Ereignisse A und B n = 7!. Ereignis A wird durch ein Ergebnis m = 1 begünstigt, da alle Buchstaben auf den roten Karten unterschiedlich sind. Ereignis B wird durch m = 2 begünstigt! · 2! Ergebnisse, da die Buchstaben „a“ und „t“ zweimal vorkommen. Dann ist P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

Aufgabe. 1.2.7 Während der Prüfung werden dem Studenten 30 Tickets angeboten; Jedes Ticket enthält zwei Fragen. Von den 60 in den Tickets enthaltenen Fragen kennt der Student nur 40. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, aus der das vom Studenten genommene Ticket bestehen wird

1. aus ihm bekannten Problemen;

2. aus ihm unbekannten Fragen;

3. aus einer bekannten und einer unbekannten Frage.

Lösung. Sei A der Fall, dass der Student die Antwort auf beide Fragen kennt; B – kennt die Antwort auf beide Fragen nicht; C – kennt die Antwort auf eine Frage, kennt die Antwort auf eine andere nicht. Die Auswahl von zwei Fragen aus 60 kann auf n = C260 = 60 2·59 = 1770 Arten erfolgen.

1. Es gibt m = C240 ​​​​= 40 2·39 = 780 Möglichkeiten zur Auswahl von Fragen, die dem Schüler bekannt sind. Dann ist P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. Die Auswahl von zwei unbekannten Fragen aus 20 kann auf m = C220 = 20 2·19 = 190 Arten erfolgen. In diesem Fall

P(B) = M N = 11 79 70 0 = 0,11

3. Es gibt m = C14 0 ·C21 0 = 40·20 = 800 Möglichkeiten, ein Ticket mit einer bekannten und einer unbekannten Frage auszuwählen. Dann ist P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Aufgabe. 1.2.8Einige Informationen wurden über drei Kanäle übermittelt. Die Kanäle arbeiten unabhängig voneinander. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Informationen das Ziel erreichen

1. Nur auf einem Kanal;

2. Zumindest auf einem Kanal.

Lösung. Sei A das Ereignis, dass Informationen nur über einen Kanal das Ziel erreichen; B – mindestens ein Kanal. Erfahrung ist die Übertragung von Informationen über drei Kanäle. Das Ergebnis der Erfahrung ist, dass die Informationen ihr Ziel erreicht haben. Bezeichnen wir Ai – Informationen erreichen das Ziel über den i-ten Kanal. Der Raum der Elementarereignisse hat die Form:

Ereignis B wird durch 7 Ergebnisse begünstigt: alle Ergebnisse außer Then n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 3 8 ; P(B) = 7 8.

Aufgabe. 1.2.9Ein Punkt erscheint zufällig auf einem Segment mit einer Längeneinheit. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand vom Punkt zu den Enden des Segments größer als 1/8 ist.

Lösung. Gemäß den Bedingungen des Problems wird das erforderliche Ereignis durch alle Punkte erfüllt, die im Intervall (a; b) erscheinen.

Da seine Länge s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4 beträgt und die Länge des gesamten Segments S = 1 beträgt, beträgt die erforderliche Wahrscheinlichkeit P = s/S = 3/14 = 0,75.

Aufgabe. 1.2.10In der Party vonNProdukteKProdukte sind defekt. m Produkte werden zur Kontrolle ausgewählt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür M Produkte L Es stellt sich heraus, dass sie defekt sind (Ereignis A).

Lösung. Die Auswahl von m Produkten aus n kann auf verschiedene Arten und Weisen erfolgen L defekt von k defekt - in gewisser Weise. Nach der Auswahl L Es bleiben fehlerhafte Produkte (m - L) geeignet, gelegen unter (n - k) Produkten. Dann ist die Anzahl der für Ereignis A günstigen Ergebnisse gleich

Und die gewünschte Wahrscheinlichkeit

Aufgabe. 1.3.1BIn der Urne befinden sich 30 Kugeln: 15 rote, 10 blaue und 5 weiße. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel farbig ist.

Lösung. Angenommen, Ereignis A – eine rote Kugel wird gezogen, Ereignis B – eine blaue Kugel wird gezogen. Dann Ereignisse (A + B) – es wird eine farbige Kugel gezogen. Es gilt P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Da

Die Ereignisse A und B sind inkompatibel, dann ist P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0,83.

Aufgabe. 1.3.2Wahrscheinlichkeit, dass es schneien wird (Ereignis A ), ist gleich 0.6, Und die Tatsache, dass es regnen wird (Ereignis B ), ist gleich 0.45. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit von schlechtem Wetter, wenn die Wahrscheinlichkeit von Regen und Schnee (Ereignis) groß ist AB ) ist gleich 0.25.

Lösung. Die Ereignisse A und B sind gleichzeitig, also P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,6 + 0,45 – 0,25 = 0,8

Aufgabe. 1.3.3BDie erste Schachtel enthält 2 weiße und 10 schwarze Kugeln, die zweite Schachtel enthält 3 weiße und 9 schwarze Kugeln und die dritte Schachtel enthält 6 weiße und 6 schwarze Kugeln. Aus jeder Kiste wurde ein Ball genommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle gezogenen Kugeln weiß sind.

Lösung. Ereignis A – eine weiße Kugel wird aus der ersten Box gezogen, B – aus der zweiten Box, C – aus der dritten. Dann ist P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Ereignis ABC – alles herausgenommen

Die Kugeln sind weiß. Die Ereignisse A, B, C sind daher unabhängig

P(ABC) = P(A) P(B)· P(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0,02

Aufgabe. 1.3.4Bin Reihe geschalteter Stromkreis 5 Elemente, die unabhängig voneinander funktionieren. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten des ersten, zweiten, dritten, vierten und fünften Elements sind jeweils gleich 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass im Stromkreis kein Strom fließt (Ereignis). A ).

Lösung. Da die Elemente in Reihe geschaltet sind, fließt kein Strom im Stromkreis, wenn mindestens ein Element ausfällt. Ereignis Ai(i =1...5) – schlägt fehl ICH- das Element. Veranstaltungen

Aufgabe. 1.3.5Die Schaltung besteht aus unabhängigen Blöcken, die zu einem System mit einem Eingang und einem Ausgang verbunden sind.

Der Ausfall verschiedener Schaltungselemente innerhalb einer Zeit T sind unabhängige Ereignisse mit folgenden WahrscheinlichkeitenP 1 = 0,1; P 2 = 0,2; P 3 = 0,3; P 4 = 0,4. Der Ausfall eines der Elemente führt zu einer Signalunterbrechung in dem Zweig des Stromkreises, in dem sich dieses Element befindet. Finden Sie die Zuverlässigkeit des Systems.

Lösung. Wenn Ereignis A – (SYSTEM IST ZUVERLÄSSIG), Ai – (i – der BLOCK FUNKTIONIERT FEHLERLOS), dann A = (A1 + A2)(A3 + A4). Die Ereignisse A1+A2, A3+A4 sind unabhängig, die Ereignisse A1 und A2, A3 und A4 sind gemeinsam. Verwendung der Formeln zum Multiplizieren und Addieren von Wahrscheinlichkeiten

Aufgabe. 1.3.6Ein Arbeiter bedient 3 Maschinen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine innerhalb einer Stunde nicht die Aufmerksamkeit des Arbeiters erfordert, beträgt 0,9 für die erste Maschine, 0,8 für die zweite Maschine und 0,7 für die dritte Maschine.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Stunde

1. Die zweite Maschine erfordert Aufmerksamkeit;

2. Zwei Maschinen erfordern Aufmerksamkeit;

3. Mindestens zwei Maschinen erfordern Aufmerksamkeit.

Lösung. Sei Ai die i-te Maschine, die die Aufmerksamkeit eines Arbeiters erfordert; die i-te Maschine erfordert nicht die Aufmerksamkeit eines Arbeiters. Dann

Raum elementarer Ereignisse:

1. Ereignis A – die zweite Maschine erfordert Aufmerksamkeit: Dann

Da die Ereignisse inkompatibel und unabhängig sind. P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. Ereignis B – zwei Maschinen erfordern Aufmerksamkeit:

3. Ereignis C – mindestens zwei Phasen erfordern Aufmerksamkeit
kov:

Aufgabe. 1.3.7Bdie Maschine „Examiner“ wurde eingeführt 50 Fragen. Der Student wird angeboten 5 Bei korrekter Beantwortung aller Fragen wird die Note „sehr gut“ vergeben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, „ausgezeichnet“ zu werden, wenn der Schüler sich nur vorbereitet hat 40 Fragen.

Lösung. A – (Note „Ausgezeichnet“ erhalten), Ai – (Beantwortung der i-ten Frage). Dann ist A = A1A2A3A4A5, wir haben:

Oder anders ausgedrückt – mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsformel: UND

Aufgabe. 1.3.8Die Wahrscheinlichkeit, dass das vom Monteur benötigte Teil in istICH, II, III, IVBox sind jeweils gleich 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Sammler alle 4 Kästchen ankreuzen muss (Ereignis).A).

Lösung. Sei Ai - (Der vom Assembler benötigte Teil befindet sich in der i-ten Box.) Dann

Da die Ereignisse also inkompatibel und unabhängig sind

Aufgabe. 1.4.1 Untersucht wurde eine Gruppe von 10.000 Menschen über 60 Jahren. Es stellte sich heraus, dass 4.000 Menschen regelmäßige Raucher sind. 1.800 Raucher zeigten schwerwiegende Veränderungen in der Lunge. Unter den Nichtrauchern hatten 1.500 Menschen Veränderungen in der Lunge. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig untersuchte Person mit Veränderungen in der Lunge Raucher ist?

Lösung. Stellen wir die Hypothesen vor: H1 – die untersuchte Person ist Dauerraucher, H2 – ist Nichtraucher. Dann entsprechend den Bedingungen des Problems

P(H1)= ------- =0,4, P(H2)=--------- =0,6

Mit A bezeichnen wir den Fall, dass die untersuchte Person Veränderungen in der Lunge hat. Dann entsprechend den Bedingungen des Problems

Mit der Formel (1.15) finden wir

Die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass die untersuchte Person Raucher ist, ist nach der Bayes-Formel gleich

Aufgabe. 1.4.2Es kommen Fernseher aus drei Fabriken in den Verkauf: 30 % aus der ersten Fabrik, 20 % aus der zweiten, 50 % aus der dritten. Die Produkte des ersten Werks enthalten 20 % Fernseher mit versteckten Mängeln, das zweite - 10 % und das dritte - 5 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen funktionierenden Fernseher zu kaufen?

Lösung. Betrachten wir die Ereignisse: A – ein funktionierender Fernseher wurde gekauft; Hypothesen H1, H2, H3 – der Fernseher wurde ab dem ersten, zweiten bzw. dritten Werk verkauft. Je nach den Bedingungen des Problems

Mit der Formel (1.15) finden wir

Aufgabe. 1.4.3Es gibt drei identisch aussehende Kisten. Der erste hat 20 weiße Kugeln, der zweite hat 10 weiße und 10 schwarze Kugeln, der dritte hat 20 schwarze Kugeln. Aus einem zufällig ausgewählten Feld wird eine weiße Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball aus der zweiten Box stammt.

Lösung. Angenommen, Ereignis A – die weiße Kugel wird herausgenommen, Hypothesen H1, H2, H3 – die Kugel wird aus der ersten, zweiten bzw. dritten Box entnommen. Aus den Problembedingungen, die wir finden

Dann
Mit der Formel (1.15) finden wir

Mit der Formel (1.16) finden wir

Aufgabe. 1.4.4Eine Telegrafennachricht besteht aus den Punkt- und Strichzeichen. Die statistischen Eigenschaften von Lärm sind so, dass sie im Durchschnitt verzerrt sind 2/5 Nachrichten „Punkt“ und 1/3 Nachrichten „Strich“. Es ist bekannt, dass zwischen den übertragenen Signalen „Punkt“ und „Strich“ im Verhältnis auftreten 5: 3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das gesendete Signal empfangen wird, wenn:

A) das „Punkt“-Signal wird empfangen;

B)„Dash“-Signal empfangen.

Lösung. Angenommen, Ereignis A bedeutet, dass ein „Punkt“-Signal empfangen wird, und Ereignis B bedeutet, dass ein „Strich“-Signal empfangen wird.

Es können zwei Hypothesen aufgestellt werden: H1 – das „Punkt“-Signal wird übertragen, H2 – das „Strich“-Signal wird übertragen. Unter der Bedingung P(H1) : P(H2) =5: 3. Außerdem ist P(H1 ) + P(H2)= 1. Daher P( H1 ) = 5/8, P(H2 ) = 3/8. Es ist bekannt, dass

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen A UND B Mit der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel finden wir:

Die erforderlichen Wahrscheinlichkeiten sind:

Aufgabe. 1.4.5Von den 10 Funkkanälen sind 6 Kanäle vor Störungen geschützt. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe der Zeit ein sicherer Kanal entstehtTnicht fehlschlägt, beträgt 0,95, für einen ungeschützten Kanal - 0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig ausgewählte Kanäle im Laufe der Zeit nicht ausfallenT, und beide Kanäle sind nicht vor Störungen geschützt.

Lösung. Angenommen, Ereignis A – beide Kanäle fallen während der Zeit t, Ereignis, nicht aus A1 - Geschützter Kanal ausgewählt A2 - Ein ungeschützter Kanal wurde ausgewählt.

Schreiben wir für das Experiment den Raum elementarer Ereignisse auf – (zwei Kanäle sind ausgewählt):

Ω = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

Hypothesen:

H1 – beide Kanäle sind vor Störungen geschützt;

H2 – der erste ausgewählte Kanal ist geschützt, der zweite ausgewählte Kanal ist nicht vor Störungen geschützt;

H3 – der erste ausgewählte Kanal ist nicht geschützt, der zweite ausgewählte Kanal ist vor Störungen geschützt;

H4 – beide ausgewählten Kanäle sind nicht vor Störungen geschützt. Dann

UND

Aufgabe. 1.5.1Der Kommunikationskanal sendet 6 Mitteilungen. Jede Nachricht kann durch Interferenz mit einer Wahrscheinlichkeit verzerrt werden 0.2 Unabhängig von anderen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür

1. 4 von 6 Nachrichten sind nicht verzerrt;

2. Mindestens 3 von 6 wurden verzerrt übertragen;

3. Mindestens eine von sechs Nachrichten ist verzerrt.

4. Nicht mehr als 2 von 6 sind nicht verzerrt;

5. Alle Nachrichten werden unverzerrt übertragen.

Lösung. Da die Wahrscheinlichkeit einer Verzerrung 0,2 beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Nachricht störungsfrei zu übertragen, 0,8.

1. Mit der Bernoulli-Formel (1.17) ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit
Fähigkeit, 4 von 6 Nachrichten störungsfrei zu übertragen:

2. mindestens 3 von 6 werden verzerrt übertragen:

3. Mindestens eine von sechs Nachrichten ist verzerrt:

4. Mindestens eine von sechs Nachrichten ist verzerrt:

5. Alle Nachrichten werden unverzerrt übertragen:

Aufgabe. 1.5.2Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tag im Sommer klar ist, beträgt 0,42; Die Wahrscheinlichkeit eines bewölkten Tages beträgt 0,36 und die Wahrscheinlichkeit eines teilweise bewölkten Tages beträgt 0,22. An wie vielen der 59 Tage ist es klar und bewölkt?

Lösung. Aus den Bedingungen des Problems geht hervor, dass wir nach der wahrscheinlichsten Anzahl klarer und bewölkter Tage suchen müssen.

Für klare Tage P= 0.42, N= 59. Wir bilden Ungleichungen (1.20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Mo≤ 25.2 → Mo= 25.

Für bewölkte Tage P= 0.36, N= 59 und

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ M0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Daher 20,16 ≤ M0 ≤ 21.60; → M0 = 21.

Somit ist die wahrscheinlichste Anzahl klarer Tage Mo=25, bewölkte Tage - M0 = 21. Im Sommer können Sie dann damit rechnen Mo+ M0 =46 klare und bewölkte Tage.

Aufgabe. 1.5.3An der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie nehmen 110 Studierende teil. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür

1. k Studierende (k = 0,1,2) der Anwesenden wurden am 1. September geboren;

2. Mindestens ein Student des Studiengangs ist am 1. September geboren.

P = 1/365 ist sehr klein, daher verwenden wir die Poisson-Formel (1.22). Finden wir den Poisson-Parameter. Als

N= 110, dann ist λ = np = 110 1 /365 = 0,3.

Dann nach der Poisson-Formel

Aufgabe. 1.5.4Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil nicht dem Standard entspricht, ist gleich 0.1. Wie viele Teile müssen ausgewählt werden, damit mit Wahrscheinlichkeit P = 0.964228 Man könnte argumentieren, dass die relative Häufigkeit des Auftretens nicht standardmäßiger Teile von einer konstanten Wahrscheinlichkeit p = abweicht 0.1 Im absoluten Wert nicht mehr als 0.01 ?

Lösung.

Erforderliche Nummer N Finden wir es mit der Formel (1.25). Wir haben:

P = 1,1; q = 0,9; P= 0,96428. Ersetzen wir die Daten in der Formel:

Woher finden wir es?

Gemäß der Tabelle der Funktionswerte Φ( X) wir glauben, dass

Aufgabe. 1.5.5Die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Kondensators während der Zeit T beträgt 0,2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass während der Zeit T 100-Kondensatoren ausfallen

1. Genau 10 Kondensatoren;

2. Mindestens 20 Kondensatoren;

3. Weniger als 28 Kondensatoren;

4. Von 14 bis 26 Kondensatoren.

Lösung. Wir haben P = 100, P= 0.2, Q = 1 - P= 0.8.

1. Genau 10 Kondensatoren.

Als P Großartig, verwenden wir den lokalen Satz von Moivre-Laplace:

Rechnen wir

Da die Funktion φ(x)- gerade, dann ist φ(-2,5) = φ(2,50) = 0,0175 (wir finden aus der Tabelle der Funktionswerte φ(x). Erforderliche Wahrscheinlichkeit

2. Mindestens 20 Kondensatoren;

Die Anforderung, dass von 100 Kondensatoren mindestens 20 ausfallen müssen, bedeutet, dass entweder 20 oder 21, ... oder 100 ausfallen. T1 = 20, T 2 =100. Dann

Gemäß der Tabelle der Funktionswerte Φ(x) Finden wir Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0,5. Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

3. Weniger als 28 Kondensatoren;

(hier wurde berücksichtigt, dass die Laplace-Funktion Ф(x) ungerade ist).

4. Von 14 bis 26 Kondensatoren. Nach Bedingung M1= 14, m2 = 26.
Berechnen wir x 1,x2:

Aufgabe. 1.5.6Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einem Experiment beträgt 0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in den meisten der 60 Experimente auftritt?

Lösung. Menge M Das Auftreten eines Ereignisses in einer Testreihe liegt zwischen . „In den meisten Experimenten“ bedeutet das M Gehört zum Intervall Nach Bedingung N= 60, P= 0.6, Q = 0.4, M1 = 30, m2 = 60. Berechnen wir x1 und x2:

Zufallsvariablen und ihre Verteilungen

Aufgabe. 2.1.1Es wird eine Tabelle angezeigt, in der in der oberen Zeile die möglichen Werte der Zufallsvariablen angegeben sind X , und unten - ihre Wahrscheinlichkeiten.

Kann diese Tabelle eine Verteilungszeile sein? X ?

Antwort: Ja, da p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Aufgabe. 2.1.2Freigegeben 500 Lottoscheine und 40 Tickets bringen ihren Besitzern Gewinne 10000 Reiben., 20 Tickets - pro 50000 Reiben., 10 Tickets - pro 100000 Reiben., 5 Tickets - pro 200000 Reiben., 1 Fahrkarte - 500000 Rub., der Rest - kein Gewinn. Finden Sie das Gesetz der Gewinnverteilung für den Besitzer eines Tickets.

Lösung.

Mögliche Werte für X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Die Wahrscheinlichkeiten dieser möglichen Werte sind:

Das erforderliche Vertriebsrecht:

Aufgabe. 2.1.3Schütze mit 5 Patronen, feuert bis zum ersten Treffer auf das Ziel. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt bei jedem Schuss 0.7. Konstruieren Sie ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der verwendeten Patronen und ermitteln Sie die VerteilungsfunktionF(X) und baue seinen Graphen, finde P(2< x < 5).

Lösung.

Raum elementarer Erfahrungsereignisse

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Wobei Ereignis (1) – das Ziel traf, Ereignis (0) – das Ziel nicht traf. Die folgenden Werte der Zufallsvariablen der Anzahl der verwendeten Patronen entsprechen elementaren Ergebnissen: 1, 2, 3, 4, 5. Da das Ergebnis jedes nächsten Schusses nicht vom vorherigen abhängt, sind die Wahrscheinlichkeiten des Möglichen Werte sind:

P1 = P(x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P(x2= 2) = P(01)= 0,3 · 0,7 = 0,21;

P3 = P(x3= 3) = P(001) = 0,32 · 0,7 = 0,063;

P4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0,33 · 0,7 = 0,0189;

P5 = P(x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 · 0,7 + 0,35 = 0,0081.

Das erforderliche Vertriebsrecht:

Finden wir die Verteilungsfunktion F(X), Verwendung der Formel (2.5)

X≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(X= 1) + P2(x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

X>5.F(x) = 1

Finden wir P(2< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X< 5) = F(5) - F(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Aufgabe. 2.1.4DanaF(X) einer Zufallsvariablen:

Schreiben Sie die Verteilungsreihe für X auf.

Lösung.

Von Immobilien F(X) Daraus folgt, dass die möglichen Werte der Zufallsvariablen X - Funktionsunterbrechungspunkte F(X), Und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind Funktionssprünge F(X). Wir finden mögliche Werte der Zufallsvariablen X=(0,1,2,3,4).

Aufgabe. 2.1.5Stellen Sie die Funktion ein

Ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen.

Wenn die Antwort „Ja“ lautet, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die entsprechende Zufallsvariable Werte annimmt[-3,2].

Lösung. Lassen Sie uns die Funktionen F1(x) und F2(x) grafisch darstellen:

Die Funktion F2(x) ist keine Verteilungsfunktion, da sie nicht nicht abnehmend ist. Die Funktion F1(x) ist

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen, da sie nicht abnehmend ist und die Bedingung (2.3) erfüllt. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, in das Intervall zu fallen:

Aufgabe. 2.1.6Gegeben sei die Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X :

Finden:

1. Koeffizient C ;

2. Verteilungsfunktion F(x) ;

3. Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in das Intervall fällt(1, 3).

Lösung. Aus der Normalisierungsbedingung (2.9) finden wir

Somit,

Mit Formel (2.10) finden wir:

Auf diese Weise,

Mit Formel (2.4) finden wir

Aufgabe. 2.1.7Der zufällige Ausfall elektronischer Geräte weist in manchen Fällen eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf

Wo M = lge = 0,4343...

Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x) .

Lösung. Mit der Formel (2.10) finden wir

Wo

Aufgabe. 2.2.1Gegeben sei eine Verteilungsreihe einer diskreten Zufallsvariablen X :

Finden Sie den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung. M, D[-3X + 2].

Lösung.

Mit der Formel (2.12) ermitteln wir den mathematischen Erwartungswert:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0,2 + 20 0,15 + 30 0,25 + 40 0,4 = 28,5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 · 28,5 + 5 = 62. Mit der Formel (2.19) ermitteln wir die Varianz:

Aufgabe. 2.2.2Ermitteln Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X , deren Verteilungsfunktion

.

Lösung. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeitsdichte ermitteln:

Wir ermitteln den mathematischen Erwartungswert mithilfe der Formel (2.13):

Wir ermitteln die Varianz mithilfe der Formel (2.19):

Lassen Sie uns zunächst den mathematischen Erwartungswert des Quadrats der Zufallsvariablen ermitteln:

Standardabweichung

Aufgabe. 2.2.3Xhat eine Vertriebsreihe:

Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer ZufallsvariablenY = EX .

Lösung. M[ Y] = M[ EX ] = e-- 1 · 0,2 + e0 · 0,3 + e1 · 0,4 + e2 · 0,1 =

0,2 · 0,3679 + 1 · 0,3 + 2,71828 · 0,4 + 7,389 · 0,1 = 2,2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2[E X] =

[(e-1)2 0,2 ​​+ (e0)2 0,3 + (e1)2 0,4 + (e2)2 0,1] - (2,2)2 =

= (e--2 0,2 ​​+ 0,3 + e2 0,4 + e4 0,1) - 4,84 = 8,741 - 4,84 = 3,9.

Aufgabe. 2.2.4Diskrete Zufallsvariable X Kann nur zwei Werte annehmen X1 UND X2 , Und X1< x2. Bekannte Wahrscheinlichkeit P1 = 0,2 Mögliche Bedeutung X1 , erwarteter Wert M[X] = 3,8 Und Varianz D[X] = 0,16. Finden Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen.

Lösung. Da die Zufallsvariable X nur zwei Werte x1 und x2 annimmt, ist die Wahrscheinlichkeit p2 = P(X = x2) = 1 – p1 = 1 – 0,2 = 0,8.

Entsprechend den Bedingungen des Problems haben wir:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0,2x1 + 0,8x2 = 3,8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0,2x21 + 0,8x22) - (0,38)2 = 0,16.

Somit haben wir ein Gleichungssystem erhalten:

Zustand x1

Aufgabe. 2.2.5Die Zufallsvariable X unterliegt einem Verteilungsgesetz, dessen Dichtegraph die Form hat:

Ermitteln Sie den erwarteten Wert, die Varianz und die Standardabweichung.

Lösung. Finden wir die Differentialverteilungsfunktion f(x). Außerhalb des Intervalls (0, 3) ist f(x) = 0. Im Intervall (0, 3) ist der Dichtegraph eine gerade Linie mit der Steigung k = 2/9, die durch den Ursprung verläuft. Auf diese Weise,

Erwarteter Wert:

Lassen Sie uns die Varianz und Standardabweichung ermitteln:

Aufgabe. 2.2.6Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Summe der Punkte, die bei einem Wurf auf vier Würfeln erscheinen.

Lösung. Bezeichnen wir A – die Anzahl der Punkte auf einem Würfel in einem Wurf, B – die Anzahl der Punkte auf dem zweiten Würfel, C – auf dem dritten Würfel, D – auf dem vierten Würfel. Für Zufallsvariablen A, B, C, D gilt das Verteilungsgesetz eins.

Dann ist M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5

Aufgabe. 2.3.1Die Wahrscheinlichkeit, dass ein von einer radioaktiven Quelle emittierter Partikel von einem Zähler registriert wird, ist gleich 0.0001. Während des Beobachtungszeitraums flog es aus der Quelle heraus 30000 Partikel Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Zähler registriert hat:

1. Genau 3 Partikel;

2. Kein einziges Teilchen;

3. Mindestens 10 Partikel.

Lösung. Nach Bedingung P= 30000, P= 0,0001. Die Ereignisse, die darin bestehen, dass von einer radioaktiven Quelle emittierte Partikel entdeckt werden, sind unabhängig; Nummer P Großartig, aber die Wahrscheinlichkeit P Klein, daher verwenden wir die Poisson-Verteilung: Finden wir λ: λ = n P = 30000 0,0001 = 3 = M[X]. Gesuchte Wahrscheinlichkeiten:

Aufgabe. 2.3.2Die Charge enthält 5 % nicht standardmäßige Teile. 5 Teile wurden zufällig ausgewählt. Schreiben Sie das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen X - Anzahl der nicht standardmäßigen Teile unter den fünf ausgewählten Teilen; Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz.

Lösung. Die diskrete Zufallsvariable eines nicht standardmäßigen Teils in einer Charge beträgt p = 5 /100 = 0,05. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeiten dieser möglichen Werte ermitteln:

Schreiben wir das erforderliche Verteilungsgesetz:

Finden wir die numerischen Merkmale:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Np= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M– M2 [X]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Oder D[ X] = n p (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Aufgabe. 2.3.3Der Zeitpunkt der Erkennung eines Ziels durch ein Radar verteilt sich nach dem Exponentialgesetz

Wo1/ λ = 10 Sek. - durchschnittliche Zielerkennungszeit. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ziel rechtzeitig erkannt wird5 Vor15 Sek. nach dem Start der Suche.

Lösung. Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen X In der Pause (5, 15) Finden wir mithilfe der Formel (2.8) heraus:

Bei Wir bekommen

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Aufgabe. 2.3.4Zufällige Messfehler unterliegen dem Normalgesetz mit den Parametern a = 0, σ = 20 Mm. Schreiben Sie die DifferentialverteilungsfunktionF(X) und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Messung ein Fehler im Bereich von aufgetreten ist 5 Vor 10 Mm.

Lösung. Ersetzen wir die Werte der Parameter a und σ in die Differentialverteilungsfunktion (2.35):

Mit der Formel (2.42) ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen X Im Intervall, d.h. A= 0, B= 0,1. Dann die Differentialverteilungsfunktion F(x) Es wird so aussehen

Was ist Wahrscheinlichkeit?

Als mir dieser Begriff zum ersten Mal begegnete, hätte ich ihn nicht verstanden. Deshalb werde ich versuchen, es klar zu erklären.

Die Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass das von uns gewünschte Ereignis eintritt.

Wenn Sie beispielsweise beschlossen haben, zum Haus eines Freundes zu gehen, erinnern Sie sich an den Eingang und sogar an die Etage, in der er wohnt. Aber ich habe die Nummer und den Standort der Wohnung vergessen. Und jetzt stehen Sie auf der Treppe und vor Ihnen stehen Türen zur Auswahl.

Wie groß ist die Chance (Wahrscheinlichkeit), dass Ihr Freund die Tür für Sie öffnet, wenn Sie an der ersten Tür klingeln? Es gibt nur Wohnungen und nur hinter einer davon wohnt ein Freund. Bei gleicher Chance können wir jede Tür wählen.

Aber was ist diese Chance?

Die Tür, die rechte Tür. Wahrscheinlichkeit des Erratens durch das erste Klingeln: . Das heißt, in einem von drei Fällen werden Sie es richtig erraten.

Wir möchten wissen, wie oft wir die Tür erraten, wenn wir einmal angerufen haben. Schauen wir uns alle Optionen an:

1. Du hast angerufen 1 Tür
2. Du hast angerufen 2 Tür
3. Du hast angerufen 3 Tür

Schauen wir uns nun alle Möglichkeiten an, wo ein Freund sein könnte:

A. Hinter 1 die Tür
B. Hinter 2 die Tür
V. Hinter 3 die Tür

Vergleichen wir alle Optionen in Tabellenform. Ein Häkchen zeigt Optionen an, wenn Ihre Auswahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt, ein Kreuz, wenn dies nicht der Fall ist.

Wie siehst du alles? Vielleicht Optionen den Standort Ihres Freundes und Ihre Wahl, an welcher Tür geklingelt werden soll.

A positive Ergebnisse für alle . Das heißt, Sie raten einmal, indem Sie einmal an der Tür klingeln, d. h. .

Dies ist die Wahrscheinlichkeit – das Verhältnis eines günstigen Ergebnisses (wenn Ihre Wahl mit dem Standort Ihres Freundes übereinstimmt) zur Anzahl möglicher Ereignisse.

Die Definition ist die Formel. Die Wahrscheinlichkeit wird normalerweise mit p bezeichnet, also:

Es ist nicht sehr praktisch, eine solche Formel zu schreiben, daher nehmen wir für – die Anzahl der günstigen Ergebnisse und für – die Gesamtzahl der Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit kann in Prozent angegeben werden; dazu müssen Sie das resultierende Ergebnis multiplizieren mit:

Das Wort „Ergebnisse“ ist Ihnen wahrscheinlich aufgefallen. Da Mathematiker verschiedene Aktionen (in unserem Fall eine Türklingel) als Experimente bezeichnen, wird das Ergebnis solcher Experimente üblicherweise als Ergebnis bezeichnet.

Nun, es gibt günstige und ungünstige Ergebnisse.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Nehmen wir an, wir haben an einer der Türen geklingelt, aber ein Fremder hat sie für uns geöffnet. Wir haben nicht richtig geraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Freund sie für uns öffnet, wenn wir an einer der verbleibenden Türen klingeln?

Wenn Sie das gedacht haben, dann ist das ein Fehler. Lass es uns herausfinden.

Wir haben noch zwei Türen übrig. Wir haben also mögliche Schritte:

1) Rufen Sie an 1 Tür
2) Rufen Sie an 2 Tür

Trotz alledem steht der Freund definitiv hinter einem von ihnen (schließlich stand er nicht hinter dem, den wir anriefen):

a) Freund für 1 die Tür
b) Freund für 2 die Tür

Zeichnen wir die Tabelle noch einmal:

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen, die günstig sind. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Warum nicht?

Die von uns betrachtete Situation ist Beispiel für abhängige Ereignisse. Das erste Ereignis ist die erste Türklingel, das zweite Ereignis ist die zweite Türklingel.

Und sie werden abhängig genannt, weil sie die folgenden Handlungen beeinflussen. Denn wenn nach dem ersten Klingeln ein Freund an der Tür antwortete, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einem der beiden anderen befand? Rechts, .

Aber wenn es abhängige Ereignisse gibt, dann muss es auch welche geben unabhängig? Das stimmt, es kommt tatsächlich vor.

Ein Beispiel aus dem Lehrbuch ist das Werfen einer Münze.

1. Wirf einmal eine Münze. Wie hoch ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen? Das ist richtig – denn es gibt alle Optionen (entweder Kopf oder Zahl, wir vernachlässigen die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Kante landet), aber es passt nur zu uns.
2. Aber es kam Kopf hoch. Okay, lass es uns noch einmal werfen. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu bekommen? Nichts hat sich verändert, alles ist gleich. Wie viele Optionen? Zwei. Mit wie vielen sind wir zufrieden? Eins.

Und lassen Sie es mindestens tausendmal hintereinander Kopf hochkommen. Die Wahrscheinlichkeit, auf einmal Kopf zu bekommen, ist gleich. Es gibt immer Möglichkeiten, und zwar günstige.

Es ist einfach, abhängige Ereignisse von unabhängigen zu unterscheiden:

1. Wird das Experiment einmal durchgeführt (sie werfen einmal eine Münze, klingeln einmal an der Tür usw.), dann sind die Ereignisse immer unabhängig.
2. Wird ein Experiment mehrmals durchgeführt (eine Münze wird einmal geworfen, es wird mehrmals an der Tür geklingelt), dann ist das erste Ereignis immer unabhängig. Und wenn sich dann die Zahl der günstigen oder die Zahl aller Ergebnisse ändert, dann sind die Ereignisse abhängig, und wenn nicht, sind sie unabhängig.

Üben wir ein wenig die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 1.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander „Kopf“ zu bekommen?

Lösung:

Betrachten wir alle möglichen Optionen:

1. Adler-Adler
2. Kopf-Zahl
3. Zahl-Köpfe
4. Schwanz-Schwanz

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen. Davon sind wir nur zufrieden. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit:

Wenn Sie in der Bedingung lediglich aufgefordert werden, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, muss die Antwort in Form eines Dezimalbruchs angegeben werden. Wenn angegeben wäre, dass die Antwort in Prozent angegeben werden soll, dann würden wir mit multiplizieren.

Antwort:

Beispiel 2.

In einer Pralinenschachtel sind alle Pralinen in der gleichen Hülle verpackt. Allerdings aus Süßigkeiten – mit Nüssen, mit Cognac, mit Kirschen, mit Karamell und mit Nougat.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeit zu nehmen und eine Süßigkeit mit Nüssen zu bekommen? Geben Sie Ihre Antwort in Prozent an.

Lösung:

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? .

Das heißt, wenn Sie eine Süßigkeit nehmen, ist es eine der in der Schachtel verfügbaren.

Wie viele positive Ergebnisse?

Denn in der Schachtel sind ausschließlich Pralinen mit Nüssen enthalten.

Antwort:

Beispiel 3.

In einer Schachtel mit Luftballons. davon sind weiß und schwarz.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
2. Wir haben der Box weitere schwarze Bälle hinzugefügt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?

Lösung:

a) Es sind nur Bälle in der Box. Davon sind weiß.

Die Wahrscheinlichkeit ist:

b) Jetzt sind mehr Bälle in der Box. Und es sind genauso viele Weiße übrig - .

Antwort:

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Nehmen wir an, in einer Schachtel befinden sich rote und grüne Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen? Grüner Ball? Roter oder grüner Ball?

Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen

Grüner Ball:

Roter oder grüner Ball:

Wie Sie sehen, ist die Summe aller möglichen Ereignisse gleich (). Wenn Sie diesen Punkt verstehen, können Sie viele Probleme lösen.

Beispiel 4.

In der Box befinden sich Markierungen: grün, rot, blau, gelb, schwarz.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE rote Markierung zu zeichnen?

Lösung:

Zählen wir die Zahl günstige Ergebnisse.

KEIN roter Marker, das heißt grün, blau, gelb oder schwarz.

Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse. Und die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die wir als ungünstig erachten (wenn wir eine rote Markierung entfernen), beträgt .

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen NICHT roten Filzstift herauszuziehen, .

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Sie wissen bereits, was unabhängige Ereignisse sind.

Was wäre, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln müssten, dass zwei (oder mehr) unabhängige Ereignisse hintereinander auftreten?

Nehmen wir an, wir möchten wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir, wenn wir einmal eine Münze werfen, zweimal „Kopf“ sehen?

Wir haben bereits darüber nachgedacht - .

Was wäre, wenn wir einmal eine Münze werfen würden? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Adler zweimal hintereinander zu sehen?

Insgesamt mögliche Optionen:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich habe beim Zusammenstellen dieser Liste mehrmals Fehler gemacht. Wow! Und nur die Option (erste) passt zu uns.

Für 5 Würfe können Sie selbst eine Liste möglicher Ergebnisse erstellen. Aber Mathematiker sind nicht so fleißig wie Sie.

Daher stellten sie zunächst fest und bewiesen dann, dass die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse jedes Mal um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses abnimmt.

Mit anderen Worten,

Schauen wir uns das Beispiel derselben unglücklichen Münze an.

Wahrscheinlichkeit, in einer Herausforderung Kopf zu bekommen? . Jetzt werfen wir die Münze einmal.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Reihe „Kopf“ zu bekommen?

Diese Regel funktioniert nicht nur, wenn wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln sollen, dass dasselbe Ereignis mehrmals hintereinander eintritt.

Wenn wir die Reihenfolge SCHWANZ-KOPF-SCHWANZ für aufeinanderfolgende Würfe finden wollten, würden wir dasselbe tun.

Die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen, beträgt , Kopf - .

Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge TAILS-HEADS-TAILS-TAILS zu erhalten:

Sie können es selbst überprüfen, indem Sie eine Tabelle erstellen.

Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.

Also hör auf! Neue Definition.

Lass es uns herausfinden. Nehmen wir unsere abgenutzte Münze und werfen sie einmal.
Möglichkeiten:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Inkompatible Ereignisse sind also eine bestimmte, gegebene Abfolge von Ereignissen. - Dies sind inkompatible Ereignisse.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von zwei (oder mehr) inkompatiblen Ereignissen bestimmen wollen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Sie müssen verstehen, dass Kopf und Zahl zwei unabhängige Ereignisse sind.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Sequenz (oder einer anderen) bestimmen möchten, verwenden wir die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf „Kopf“ und beim zweiten und dritten Wurf „Zahl“ zu bekommen?

Wenn wir aber wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine von mehreren Sequenzen zu erhalten, zum Beispiel wenn „Kopf“ genau einmal auftaucht, d. h. Optionen und dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Folgen addieren.

Die Gesamtoptionen passen zu uns.

Wir können das Gleiche erhalten, indem wir die Eintrittswahrscheinlichkeiten jeder Sequenz addieren:

Daher addieren wir Wahrscheinlichkeiten, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmter, inkonsistenter Abfolgen von Ereignissen bestimmen wollen.

Es gibt eine tolle Regel, die Ihnen dabei hilft, nicht zu verwechseln, wann Sie multiplizieren und wann Sie addieren sollten:

Kehren wir zu dem Beispiel zurück, in dem wir einmal eine Münze geworfen haben und wissen wollten, wie wahrscheinlich es ist, dass wir einmal „Kopf“ sehen.
Was wird passieren?

Sollte herausfallen:
(Kopf UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl).
So stellt sich heraus:

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 5.

In der Schachtel sind Bleistifte. rot, grün, orange und gelb und schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit roten oder grünen Stiften zu zeichnen?

Lösung:

Was wird passieren? Wir müssen ziehen (rot ODER grün).

Nun ist es klar, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Antwort:

Beispiel 6.

Wenn ein Würfel zweimal geworfen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 8 ergibt?

Lösung.

Wie können wir Punkte bekommen?

(und) oder (und) oder (und) oder (und) oder (und).

Die Wahrscheinlichkeit, ein (beliebiges) Gesicht zu bekommen, beträgt .

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:

Antwort:

Ausbildung.

Ich denke, jetzt verstehen Sie, wann Sie Wahrscheinlichkeiten berechnen, wann Sie sie addieren und wann Sie sie multiplizieren müssen. Nicht wahr? Lasst uns ein wenig üben.

Aufgaben:

Nehmen wir ein Kartenspiel mit Karten wie Pik, Herz, 13 Kreuz und 13 Karo. Von bis Ass jeder Farbe.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kreuze hintereinander zu ziehen (wir legen die zuerst gezogene Karte zurück in den Stapel und mischen sie)?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Karte (Pik oder Kreuz) zu ziehen?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu zeichnen (Bube, Dame, König oder Ass)?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Bilder hintereinander zu ziehen (wir nehmen die erste gezogene Karte vom Stapel)?
5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit zwei Karten eine Kombination (Bube, Dame oder König) und ein Ass erhält? Die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, spielt keine Rolle.

Antworten:

1. In einem Kartenspiel mit jedem Wert bedeutet dies:
2. Ereignisse sind abhängig, da nach dem Herausziehen der ersten Karte die Anzahl der Karten im Stapel abnahm (ebenso wie die Anzahl der „Bilder“). Zu Beginn sind insgesamt Buben, Damen, Könige und Asse im Deck, was die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ersten Karte ein „Bild“ zu ziehen:

   Da wir die erste Karte aus dem Stapel entfernen, bedeutet dies, dass bereits Karten im Stapel übrig sind, einschließlich Bildern. Wahrscheinlichkeit, mit der zweiten Karte ein Bild zu zeichnen:

   Da uns die Situation interessiert, wenn wir ein „Bild“ UND ein „Bild“ vom Stapel nehmen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

   Antwort:

3. Nachdem die erste Karte herausgezogen wurde, verringert sich die Anzahl der Karten im Stapel. Daher passen zwei Optionen zu uns:
   1) Die erste Karte ist ein Ass, die zweite ist ein Bube, eine Dame oder ein König
   2) Wir ziehen mit der ersten Karte einen Buben, eine Dame oder einen König und mit der zweiten ein Ass. (Ass und (Bube oder Dame oder König)) oder ((Bube oder Dame oder König) und Ass). Vergessen Sie nicht, die Anzahl der Karten im Stapel zu reduzieren!

Wenn Sie alle Probleme selbst lösen konnten, dann sind Sie großartig! Jetzt werden Sie die Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie im Einheitlichen Staatsexamen wie verrückt lösen!

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, wir werfen einen Würfel. Was für ein Knochen ist das, wissen Sie? So nennt man einen Würfel mit Zahlen auf den Seiten. Wie viele Gesichter, so viele Zahlen: von bis wie viele? Vor.

Also würfeln wir und wir wollen, dass es auftaucht oder. Und wir verstehen es.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sagen sie, was passiert ist glückverheißendes Ereignis(nicht zu verwechseln mit wohlhabend).

Wenn es passieren würde, wäre das Ereignis auch günstig. Insgesamt können nur zwei günstige Ereignisse eintreten.

Wie viele sind ungünstig? Da es insgesamt mögliche Ereignisse gibt, bedeutet dies, dass die ungünstigen Ereignisse Ereignisse sind (dies ist, wenn oder herausfällt).

Definition:

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit gibt an, welcher Anteil aller möglichen Ereignisse günstig ist.

Sie bezeichnen Wahrscheinlichkeit mit einem lateinischen Buchstaben (anscheinend vom englischen Wort Wahrscheinlichkeit – Wahrscheinlichkeit).

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit in Prozent zu messen (siehe Themen und). Dazu muss der Wahrscheinlichkeitswert mit multipliziert werden. Im Würfelbeispiel Wahrscheinlichkeit.

Und in Prozent: .

Beispiele (entscheide selbst):

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf „Kopf“ zu bekommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu landen?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine gerade Zahl zu erhalten? Welches ist seltsam?
3. In einer Schachtel mit einfachen blauen und roten Stiften. Wir zeichnen zufällig einen Bleistift. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein einfaches zu bekommen?

Lösungen:

1. Wie viele Optionen gibt es? Kopf und Zahl – nur zwei. Wie viele davon sind günstig? Nur einer ist ein Adler. Also die Wahrscheinlichkeit

   Dasselbe gilt auch für tails: .

2. Gesamtoptionen: (wie viele Seiten hat der Würfel, so viele verschiedene Optionen). Günstige: (das sind alles gerade Zahlen:).
   Wahrscheinlichkeit. Das Gleiche gilt natürlich auch für ungerade Zahlen.
3. Gesamt: . Günstig: . Wahrscheinlichkeit: .

Gesamtwahrscheinlichkeit

Alle Stifte in der Box sind grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Rotstift zu zeichnen? Es gibt keine Chancen: Wahrscheinlichkeit (schließlich günstige Ereignisse -).

Ein solches Ereignis wird als unmöglich bezeichnet.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen? Es gibt genau so viele günstige Ereignisse wie es insgesamt Ereignisse gibt (alle Ereignisse sind günstig). Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich oder.

Ein solches Ereignis wird als zuverlässig bezeichnet.

Wenn eine Schachtel grüne und rote Stifte enthält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, grün oder rot zu zeichnen? Wieder mal. Beachten wir Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, Grün herauszuziehen, ist gleich und Rot ist gleich.

Insgesamt sind diese Wahrscheinlichkeiten genau gleich. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist gleich oder.

Beispiel:

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht grün zu zeichnen?

Lösung:

Wir erinnern uns daran, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten summieren. Und die Wahrscheinlichkeit, grün zu werden, ist gleich. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu zeichnen, gleich ist.

Denken Sie an diesen Trick: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel

Sie werfen eine Münze einmal und möchten, dass sie beide Male „Kopf“ zeigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lassen Sie uns alle möglichen Optionen durchgehen und feststellen, wie viele es gibt:

Kopf-Kopf, Zahl-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Zahl. Was sonst?

Gesamtoptionen. Davon passt nur einer zu uns: Eagle-Eagle. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit gleich.

Bußgeld. Jetzt werfen wir einmal eine Münze. Rechnen Sie selbst. Passiert? (Antwort).

Sie haben vielleicht bemerkt, dass sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem weiteren Wurf um die Hälfte verringert. Die allgemeine Regel heißt Multiplikationsregel:

Die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ändern sich.

Was sind unabhängige Veranstaltungen? Alles ist logisch: Das sind diejenigen, die nicht voneinander abhängig sind. Wenn wir beispielsweise eine Münze mehrmals werfen, wird jedes Mal ein neuer Wurf ausgeführt, dessen Ergebnis nicht von allen vorherigen Würfen abhängt. Wir können genauso gut zwei verschiedene Münzen gleichzeitig werfen.

Mehr Beispiele:

1. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, es beide Male zu bekommen?
2. Die Münze wird einmal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beim ersten Mal „Kopf“ und dann zweimal „Zahl“ gibt?
3. Der Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der darauf befindlichen Zahlen gleich ist?

Antworten:

1. Die Ereignisse sind unabhängig, was bedeutet, dass die Multiplikationsregel funktioniert: .
2. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist gleich. Die Wahrscheinlichkeit für „Zahlen“ ist gleich. Multiplizieren:
3. 12 kann nur erhalten werden, wenn zwei -ki gewürfelt werden: .

Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel

Ereignisse, die sich bis zur vollen Wahrscheinlichkeit ergänzen, werden als inkompatibel bezeichnet. Wie der Name schon sagt, können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, kann es entweder „Kopf“ oder „Zahl“ sein.

Beispiel.

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen?

Lösung .

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen, ist gleich. Rot - .

Günstige Ereignisse insgesamt: Grün + Rot. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen, gleich ist.

Die gleiche Wahrscheinlichkeit kann in dieser Form dargestellt werden: .

Dies ist die Additionsregel: die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Probleme gemischter Art

Beispiel.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse der Würfe unterschiedlich ausfallen?

Lösung .

Das heißt, wenn das erste Ergebnis „Kopf“ ist, muss das zweite Ergebnis „Zahl“ sein und umgekehrt. Es stellt sich heraus, dass es zwei Paare unabhängiger Ereignisse gibt und diese Paare miteinander nicht kompatibel sind. Wie man nicht verwirrt, wo man multipliziert und wo man addiert.

Für solche Situationen gibt es eine einfache Regel. Versuchen Sie zu beschreiben, was passieren wird, indem Sie die Konjunktionen „AND“ oder „OR“ verwenden. In diesem Fall zum Beispiel:

Es sollte (Kopf und Zahl) oder (Zahl und Kopf) erscheinen.

Wo es eine Konjunktion „und“ gibt, wird es eine Multiplikation geben, und wo es ein „oder“ gibt, wird es eine Addition geben:

Versuch es selber:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim zweimaligen Werfen beide Male auf derselben Seite landet?
2. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, insgesamt Punkte zu erzielen?

Lösungen:

1. (Köpfe fielen und Schwänze fielen) oder (Schwänze fielen und Schwänze fielen): .
2. Was sind die Möglichkeiten? Und. Dann:
   Weggelassen (und) oder (und) oder (und): .

Ein anderes Beispiel:

Wirf einmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Köpfe auftauchen?

Lösung:

Oh, wie ich die Optionen nicht durchgehen möchte ... Kopf-Zahl-Zahl, Adler-Kopf-Zahl, ... Aber das ist nicht nötig! Erinnern wir uns an die Gesamtwahrscheinlichkeit. Erinnerst du dich? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Adler wird nie herausfallen? Es ist ganz einfach: Köpfe fliegen ständig, deshalb.

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.

Unabhängige Veranstaltungen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht verändert.

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses

Inkompatible Ereignisse

Inkompatible Ereignisse sind solche, die als Ergebnis eines Experiments unmöglich gleichzeitig auftreten können. Eine Reihe inkompatibler Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen.

Die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Nachdem wir beschrieben haben, was passieren soll, setzen wir mithilfe der Konjunktionen „AND“ oder „OR“ anstelle von „AND“ ein Multiplikationszeichen und anstelle von „OR“ ein Additionszeichen.

Werden Sie YouClever-Student,

Bereiten Sie sich auf das Einheitliche Staatsexamen oder das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik vor.

Und erhalten Sie außerdem uneingeschränkten Zugriff auf das YouClever-Lehrbuch...

„Deine Zahl ist zwölf“, sagte Fir und schrieb etwas in ein Buch. Fash dankte dem Mann und flog zu seinem Haus. „Jetzt kommt es vor allem darauf an, es nicht zu vermasseln.“ Ich hoffe, die Fee lässt uns bei unserem Auftritt nicht im Stich...“ – mit diesen Gedanken landete die Brünette auf einem Ast neben dem Pavillon, wo bereits zwei Leute auf ihn warteten. „Endlich sind Sie da“, einer der Wartenden, Nick, winkte lächelnd ab. Das grauäugige Mädchen mit dem dunklen Bob, das die zweite Person ist, nickte nur zur Begrüßung und kam gleich zur Sache: - Und unter welcher Nummer treten wir auf? - fragte sie und stellte Tassen aromatischen Kaffees auf den Tisch. „Zwölf“, antwortete der Typ und setzte sich an den Tisch. - Wir müssen proben: Wir müssen wissen, wie wir drei klingen. „Wir müssen keine besonders gute Leistung erbringen, Dragotsy“, das Mädchen beruhigte ihn sofort, „das ist eine Tarnung.“ Nach der Aufführung erhalten Sie einfach wie versprochen den Schlüssel zu unserer Herrin“, bei diesen Worten verzog Fash das Gesicht, als hätte er eine Zitrone gegessen, „und Nick wird sich der Initiation unterziehen.“ „Ich möchte vor dem ganzen Gericht nicht mein Gesicht verlieren“, antwortete Dragotsiy. „Fash, Diana“, bettelte Nick und sah die beiden abwechselnd an, „bitte hör auf.“ Ich denke, wir sollten wirklich proben. „Ich habe keine Lust zum Singen“, murmelte Fash und ging, ohne überhaupt etwas zu essen, in sein Zimmer. *vor ein paar Tagen* „Also“, sagte Konstantin mit einem freudigen Lächeln, nachdem er Fash und Nick in der Werkstatt versammelt hatte, „ich habe zwei Neuigkeiten.“ Erstens: Ich habe der Weißen Königin hinsichtlich Ihrer Initiation zugestimmt, Nick. - Wie hast du es gemacht? - Fash sah Lazarev überrascht an. „Das erzähle ich dir später“, lächelte Nicks Vater. - Sohn, könntest du uns verlassen? - Der Blonde verließ den Raum und schloss die Tür hinter sich. Konstantin wurde ernst und richtete seinen Blick auf die Brünette: „Fash, Astarius hat mich gebeten, dir zu sagen, dass die Weiße Königin ihm den Silbernen Schlüssel versprochen hat.“ Du musst zum Zauberer gehen, an der Verzauberung teilnehmen und den Silbernen Schlüssel von der Königin nehmen“, Dragotius war erstaunt, dass er es war, dem Astarius den Träger dieses Schlüssels anvertraute, auch wenn er zum zweiten Mal davon gehört hatte . Der Lehrer hatte ihn bereits gewarnt und erklärt, dass die Brünette aus Astrogor geflohen sei... *** Ihr Auftritt sorgte im Feenreich für Aufsehen: Sechsflügelige Wesen hoben ihre Stundenzeiger, applaudierten und schrien begeistert. Fashs Befürchtungen waren vergebens, worüber er froh war. Bald erhielt er auf der Uhr einen Brief, in dem stand, dass er als Gewinner der Verzauberung um Mitternacht zum Weißen Schloss kommen sollte. Die Brünette näherte sich dem Pavillon, wo bereits Nick und Diana saßen, die sich ebenfalls über den gelungenen Auftritt freuten. „Nun“, er wandte sich scherzhaft an Fraser, „wollen Sie uns zum White Castle begleiten, Madam Trauzeugin?“ - Nick schnaubte in seine Tasse und Diana lächelte nur. -Warum hast du nicht gesagt, dass du eine Trauzeugin bist? – Fash setzte sich an den Tisch – ich kam mir wie ein Idiot vor, als sie auf mich zukamen und sagten, dass mein Auftritt mit Mrs. Diana Fraser, der Trauzeugin Ihrer Majestät, für Aufsehen gesorgt hätte! - weder Nick noch Diana konnten ein Lachen zurückhalten... *Mitternacht* -Fashiar Dragotius, - die Weiße Königin, die vom Thron aufstand, der auf der Rückseite mit goldenen Zweigen mit smaragdgrünen Blättern geschmückt war, winkte einem der beiden mit der Hand zu Mädchen, - für den Gewinn der Verzauberung und die Versprechen an Astarius gebe ich euch den Silbernen Schlüssel. Ich denke, Sie wissen, dass dies eine große Verantwortung ist. Beschütze ihn, behalte ihn wie deinen Augapfel. „Ich verspreche es“, nickte Fash und sah die Feenkönigin selbstbewusst an. Die Tür öffnete sich und das Mädchen brachte den Silbernen Schlüssel herein, der auf einem Kissen aus roter Seide lag. Die Fee näherte sich ihm, verbeugte sich und hielt ihm ein Kissen mit einem Schlüssel hin. Vorsichtig nahm Fash den Schlüssel entgegen und verneigte sich vor der Königin: „Ich danke Ihnen demütig für die Ehre, die Sie mir erwiesen haben.“ Die Feenherrscherin nickte und winkte mit der Hand, sodass Fash zum Rasthaus gehen konnte. Nick wurde zu Beginn mitgenommen, damit er sich der Initiation unterziehen konnte. *** -...und sie gaben mir eine Art Stundentrank. Nun, ich habe es getrunken. Als Ergebnis die dritte Stunde“, lächelte Nick freudig und erzählte seinem Freund, was ihm im Weißen Schloss widerfahren war. Diana saß bei ihnen und trank in aller Ruhe Kaffee, während sie ein Brötchen aß. -Übrigens habe ich auch Neuigkeiten, Diana stellte die Tasse beiseite, lächelte und legte einen kleinen Eisenschlüssel auf den Tisch. Für eine Sekunde blickten Fash und Nick überrascht, erst auf den Schlüssel, dann auf das Mädchen, doch im nächsten Moment sprang Dragotsy von seinem Sitz auf und eilte freudig lächelnd zu Diana, um sie zu umarmen. -Ich wusste es! - er rief aus. Die errötende Fee entkam nur knapp der Umarmung des Kerls: „Lass erst einmal los, du erwürgst mich!“ Zweitens, woher wussten Sie das? „Das war natürlich nicht schwer zu erraten“, sagte ein zufriedener Fash. - Hoffee, die beste Schülerin und auch verzweifelt... Ich vermutete, dass du auch die Haushälterin warst, als ich dich sah. „Ja“, sagte Nick gedehnt, nachdem er sich von der Überraschung gelöst hatte, „Dich im Wald zu treffen, war etwas unerwartet.“ -Was war unerwartet? - Diana sah ihre Freundin interessiert an. „Zum Beispiel die Tatsache, dass du plötzlich aus der Dunkelheit auf uns gesprungen bist“, fügte Fash hinzu. „Ja“, nickte der nun junge Uhrmacher Lazarev, „wir wussten natürlich, dass wir dich im Wald treffen würden, aber du hättest nicht so unerwartet aus der Dunkelheit auf uns springen sollen.“ „Aber es ist gut, dass wir sofort nach Charodol gegangen sind“, kicherte Dragotsy. Die Jungs nickten zustimmend und frühstückten weiter...