Eigenschaften regelmäßiger sechseckiger Prismen. Die größte Diagonale eines regelmäßigen sechseckigen Prismas mit der Länge d schließt mit der Seitenkante des Prismas einen Winkel α ein. Bestimmen Sie das Volumen des Prismas

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Von jedem Scheitelpunkt eines Prismas, zum Beispiel vom Scheitelpunkt A 1 (Abb.), können drei Diagonalen gezeichnet werden (A 1 E, A 1 D, A 1 C).

Sie werden durch die Diagonalen der Basis (AE, AD, AC) auf die Ebene ABCDEF projiziert. Von den geneigten A 1 E, A 1 D, A 1 C ist die größte diejenige mit der größten Projektion. Folglich ist die größte der drei genommenen Diagonalen A 1 D (im Prisma gibt es auch Diagonalen gleich A 1 D, aber keine größeren).

Aus Dreieck A 1 AD, wobei ∠DA 1 A = α und A 1 D = D , finden wir H=AA 1 = D cos α ,
AD= D Sünde α .

Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks AOB beträgt 1/4 AO 2 √3. Somit,

S ocn. = 6 1/4 AO 2 √3 = 6 1/4 (AD/2) 2 √3.

Volumen V = S H = 3√ 3 / 8 AD 2 AA 1

Antwort: 3√ 3 / 8 D 3 Sünde 2 α cos α .

Kommentar . Um ein regelmäßiges Sechseck (die Basis eines Prismas) darzustellen, können Sie ein beliebiges Parallelogramm BCDO konstruieren. Wenn wir die Segmente OA = OD, OF = OC und OE = OB auf den Fortsetzungen der Linien DO, CO, BO anordnen, erhalten wir das Sechseck ABCDEF. Punkt O stellt das Zentrum dar.

Verschiedene Prismen unterscheiden sich voneinander. Gleichzeitig haben sie viele Gemeinsamkeiten. Um die Grundfläche des Prismas zu ermitteln, müssen Sie verstehen, um welchen Typ es sich handelt.

Allgemeine Theorie

Ein Prisma ist ein Polyeder, dessen Seiten die Form eines Parallelogramms haben. Darüber hinaus kann seine Basis jedes Polyeder sein – vom Dreieck bis zum N-Eck. Darüber hinaus sind die Grundflächen des Prismas immer gleich. Was für die Seitenflächen nicht gilt, ist, dass diese in ihrer Größe stark variieren können.

Bei der Lösung von Problemen wird nicht nur die Fläche der Prismenbasis berücksichtigt. Möglicherweise ist die Kenntnis der Seitenfläche erforderlich, also aller Flächen, die keine Basen sind. Die vollständige Oberfläche ist die Vereinigung aller Flächen, aus denen das Prisma besteht.

Manchmal hängen Probleme mit der Körpergröße zusammen. Es steht senkrecht zu den Basen. Die Diagonale eines Polyeders ist ein Segment, das zwei beliebige Eckpunkte paarweise verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Es ist zu beachten, dass die Grundfläche eines geraden oder geneigten Prismas nicht vom Winkel zwischen ihnen und den Seitenflächen abhängt. Wenn sie auf der Ober- und Unterseite die gleichen Figuren haben, sind ihre Flächen gleich.

Dreieckiges Prisma

An seiner Basis befindet sich eine Figur mit drei Spitzen, also ein Dreieck. Wie Sie wissen, kann es anders sein. Wenn ja, genügt es, sich daran zu erinnern, dass seine Fläche durch die Hälfte des Produkts der Beine bestimmt wird.

Die mathematische Notation sieht so aus: S = ½ av.

Um die Fläche der Basis im Allgemeinen herauszufinden, sind die Formeln nützlich: Heron und diejenige, bei der die Hälfte der Seite durch die darauf gezeichnete Höhe gebildet wird.

Die erste Formel sollte wie folgt geschrieben werden: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Diese Notation enthält einen Halbumfang (p), also die Summe von drei Seiten geteilt durch zwei.

Zweitens: S = ½ n a * a.

Wenn Sie die Grundfläche eines dreieckigen Prismas herausfinden möchten, die regelmäßig ist, dann erweist sich das Dreieck als gleichseitig. Dafür gibt es eine Formel: S = ¼ a 2 * √3.

Viereckiges Prisma

Seine Basis ist eines der bekannten Vierecke. Es kann ein Rechteck oder ein Quadrat, ein Parallelepiped oder eine Raute sein. Um die Grundfläche des Prismas zu berechnen, benötigen Sie jeweils eine eigene Formel.

Wenn die Grundfläche ein Rechteck ist, wird seine Fläche wie folgt bestimmt: S = ab, wobei a, b die Seiten des Rechtecks ​​sind.

Bei einem viereckigen Prisma wird die Grundfläche eines regelmäßigen Prismas anhand der Formel für ein Quadrat berechnet. Denn er ist es, der das Fundament bildet. S = a 2.

Wenn die Basis ein Parallelepiped ist, ist die folgende Gleichheit erforderlich: S = a * n a. Es kommt vor, dass die Seite eines Parallelepipeds und einer der Winkel angegeben sind. Um die Höhe zu berechnen, müssen Sie dann eine zusätzliche Formel verwenden: n a = b * sin A. Darüber hinaus grenzt der Winkel A an die Seite „b“ und die Höhe n ist diesem Winkel entgegengesetzt.

Wenn sich an der Basis des Prismas eine Raute befindet, benötigen Sie zur Bestimmung seiner Fläche die gleiche Formel wie für ein Parallelogramm (da es sich um einen Sonderfall davon handelt). Sie können aber auch Folgendes verwenden: S = ½ d 1 d 2. Hier sind d 1 und d 2 zwei Diagonalen der Raute.

Regelmäßiges fünfeckiges Prisma

In diesem Fall wird das Polygon in Dreiecke unterteilt, deren Flächen sich leichter ermitteln lassen. Es kommt zwar vor, dass Figuren eine unterschiedliche Anzahl von Eckpunkten haben können.

Da die Grundfläche des Prismas ein regelmäßiges Fünfeck ist, kann es in fünf gleichseitige Dreiecke unterteilt werden. Dann ist die Fläche der Basis des Prismas gleich der Fläche eines solchen Dreiecks (die Formel ist oben zu sehen), multipliziert mit fünf.

Regelmäßiges sechseckiges Prisma

Nach dem für ein fünfeckiges Prisma beschriebenen Prinzip ist es möglich, das Sechseck der Grundfläche in 6 gleichseitige Dreiecke zu unterteilen. Die Formel für die Grundfläche eines solchen Prismas ähnelt der vorherigen. Nur sollte es mit sechs multipliziert werden.

Die Formel sieht folgendermaßen aus: S = 3/2 a 2 * √3.

Aufgaben

Nr. 1. Bei einer regelmäßigen Geraden beträgt ihre Diagonale 22 cm, die Höhe des Polyeders beträgt 14 cm. Berechnen Sie die Fläche der Basis des Prismas und der gesamten Oberfläche.

Lösung. Die Grundfläche des Prismas ist quadratisch, seine Seite ist jedoch unbekannt. Sie können seinen Wert aus der Diagonale des Quadrats (x) ermitteln, die mit der Diagonale des Prismas (d) und seiner Höhe (h) zusammenhängt. x 2 = d 2 - n 2. Andererseits ist dieses Segment „x“ die Hypotenuse in einem Dreieck, dessen Schenkel gleich der Seite des Quadrats sind. Das heißt, x 2 = a 2 + a 2. Somit stellt sich heraus, dass a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Ersetzen Sie die Zahl 22 anstelle von d und ersetzen Sie „n“ durch den Wert - 14. Es stellt sich heraus, dass die Seite des Quadrats 12 cm beträgt. Jetzt ermitteln Sie einfach die Fläche der Basis: 12 * 12 = 144 cm 2.

Um die Fläche der gesamten Oberfläche zu ermitteln, müssen Sie die doppelte Grundfläche addieren und die Seitenfläche vervierfachen. Letzteres lässt sich leicht mit der Formel für ein Rechteck ermitteln: Multiplizieren Sie die Höhe des Polyeders und die Seite der Grundfläche. Das heißt, 14 und 12, diese Zahl entspricht 168 cm 2. Die Gesamtoberfläche des Prismas beträgt 960 cm 2.

Antwort. Die Grundfläche des Prismas beträgt 144 cm 2. Die Gesamtfläche beträgt 960 cm 2.

Nr. 2. An der Basis befindet sich ein Dreieck mit einer Seitenlänge von 6 cm. In diesem Fall beträgt die Diagonale der Seitenfläche 10 cm.

Lösung. Da das Prisma regelmäßig ist, ist seine Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck. Daher ist seine Fläche gleich 6 zum Quadrat, multipliziert mit ¼ und der Quadratwurzel aus 3. Eine einfache Berechnung führt zu dem Ergebnis: 9√3 cm 2. Dies ist die Fläche einer Basis des Prismas.

Alle Seitenflächen sind gleich und sind Rechtecke mit Seitenlängen von 6 und 10 cm. Um ihre Flächen zu berechnen, multiplizieren Sie einfach diese Zahlen. Dann multipliziere sie mit drei, denn das Prisma hat genau so viele Seitenflächen. Dann beträgt die Fläche der Seitenfläche der Wunde 180 cm 2.

Antwort. Flächen: Basis - 9√3 cm 2, Seitenfläche des Prismas - 180 cm 2.

Regelmäßiges sechseckiges Prisma- ein Prisma, an dessen Grundflächen sich zwei regelmäßige Sechsecke befinden und dessen Seitenflächen streng senkrecht zu diesen Grundflächen stehen.

• A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 - regelmäßiges sechseckiges Prisma
• A- Länge der Seite der Basis des Prismas
• H- Länge der Seitenkante des Prismas
• Shauptsächlich- Fläche der Prismenbasis
• SSeite.- Fläche der Seitenfläche des Prismas
• Svoll- Gesamtoberfläche des Prismas
• VPrismen- Prismenvolumen

Prismengrundfläche

An den Grundflächen des Prismas befinden sich regelmäßige Sechsecke mit Seiten A. Gemäß den Eigenschaften eines regelmäßigen Sechsecks ist die Fläche der Grundflächen des Prismas gleich

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Shauptsächlich= 3 3 √ 2 ⋅ A2