Projekt zum Thema der wunderbaren Punkte des Dreiecks. Vier wunderbare Punkte des Dreiecks. Schnittpunkt der Dreieckshöhen
VIER BEMERKENSWERTE PUNKTE
DREIECK
Geometrie
8. Klasse
Sacharowa Natalja Iwanowna
MBOU-Sekundarschule Nr. 28 von Simferopol
- Schnittpunkt der Dreiecksmediane
- Schnittpunkt der Dreieckshalbierenden
- Schnittpunkt der Dreieckshöhen
- Schnittpunkt der senkrechten Mittellinien eines Dreiecks
Median
Median (BD) eines Dreiecks ist das Segment, das den Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.
Mediane Dreiecke schneiden sich an einer Stelle (Schwerpunkt Dreieck) und werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 geteilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt.
Winkelhalbierende
Winkelhalbierende (AD) eines Dreiecks ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks. ∟ SCHLECHT = ∟CAD.
Jeder Punkt Halbierende eines unentwickelten Winkels ist von seinen Seiten gleich weit entfernt.
Zurück: Jeder Punkt, der innerhalb eines Winkels liegt und von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt ist, liegt auf seinem Halbierende.
Alle Winkelhalbierenden Dreiecke schneiden sich in einem Punkt - Mitte der Inschrift in ein Dreieck Kreise.
Der Radius des Kreises (OM) ist eine Senkrechte, die vom Mittelpunkt (ZU) zur Seite des Dreiecks absteigt
HÖHE
Höhe (CD) eines Dreiecks ist ein senkrechtes Segment, das von einem Scheitelpunkt des Dreiecks auf eine Linie gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält.
Höhen Dreiecke (oder ihre Verlängerungen) schneiden sich eins Punkt.
MITTLERE SENKRECHTE
Mittelsenkrechte (DF) bezeichnet eine gerade Linie, die senkrecht zu einer Seite eines Dreiecks steht und diese in zwei Hälften teilt.
Jeder Punkt Mittelsenkrechte(m) zu einem Segment ist von den Enden dieses Segments gleich weit entfernt.
Zurück: Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden eines Segments liegt auf dem Mittelpunkt aufrecht zu ihm.
Alle Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt - das Zentrum des Beschriebenen in der Nähe des Dreiecks Kreis .
Der Radius des Umkreises ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Scheitelpunkt des Dreiecks (OA).
Seite 177 Nr. 675 (Zeichnung)
Hausaufgaben
S. 173 § 3 Definitionen und Theoreme S. 177 Nr. 675 (Abschluss)
Silchenkov Ilja
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Folienunterschriften:
Die Mittellinie eines Dreiecks ist ein Segment, das die Mittelpunkte seiner beiden Seiten verbindet und gleich der Hälfte dieser Seite ist. Außerdem ist nach dem Satz die Mittellinie eines Dreiecks parallel zu einer seiner Seiten und gleich der Hälfte dieser Seite.
Steht eine Gerade senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen
Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks
Bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks Schnittpunkt der Mediane (Schwerpunkt des Dreiecks); Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises; Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; Schnittpunkt der Höhen (Orthozentrum); Eulers Gerade und Neun-Punkte-Kreis; Gergonne- und Nagel-Punkte; Punkt Fermat-Torricelli;
Mittlerer Schnittpunkt
Der Median eines Dreiecks ist ein Segment, das den Scheitelpunkt eines beliebigen Winkels des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet.
I. Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jeden Mittelwert im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt.
Nachweisen:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt zweier Mediane AA 1 und B B1 des Dreiecks ABC und zeichnen wir die Mittellinie A 1 B 1 dieses Dreiecks. 2. Die Strecke A 1 B 1 ist parallel zur Seite AB und 1/2 AB = A 1 B 1, d. h. AB = 2A1B1 (nach dem Satz über die Mittellinie des Dreiecks), also 1 = 4 und 3 = 2 (da Sie bilden interne Kreuzwinkel mit den Parallelen AB und A 1 B 1 und der Sekante BB 1 für 1, 4 und AA 1 für 3, 2 3. Folglich sind die Dreiecke AOB und A 1 OB 1 in zwei Winkeln ähnlich und daher ähnlich Seiten sind proportional , d.h. die Verhältnisse der Seiten AO und A 1 O, BO und B 1 O, AB und A 1 B 1 sind gleich. Aber AB = 2A 1 B 1, also AO = 2A 1 O und BO = 2B 1 O. Somit teilt der Punkt O des Schnittpunkts der Mediane BB 1 und AA 1 jeden von ihnen im Verhältnis 2:1, gerechnet vom Scheitelpunkt. Der Satz ist bewiesen. Ebenso können Sie die beiden anderen Mediane beweisen
Der Schwerpunkt wird manchmal als Schwerpunkt bezeichnet. Deshalb sagt man, dass der Schnittpunkt der Mediane der Schwerpunkt des Dreiecks ist. Der Massenschwerpunkt einer homogenen dreieckigen Platte liegt im gleichen Punkt. Legt man eine solche Platte so auf einen Stift, dass die Spitze des Stiftes genau den Schwerpunkt des Dreiecks trifft, dann befindet sich die Platte im Gleichgewicht. Außerdem ist der Schnittpunkt der Mediane der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises seines medialen Dreiecks. Eine interessante Eigenschaft des Schnittpunkts der Mediane hängt mit dem physikalischen Konzept des Massenschwerpunkts zusammen. Es stellt sich heraus, dass, wenn man gleiche Massen an den Eckpunkten eines Dreiecks platziert, deren Mittelpunkt genau auf diesen Punkt fällt.
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist ein Segment der Winkelhalbierenden, das den Scheitelpunkt eines der Winkel des Dreiecks mit einem auf der gegenüberliegenden Seite liegenden Punkt verbindet.
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt mit gleichem Abstand zu seinen Seiten.
Nachweisen:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden AA 1 und BB 1 des Dreiecks ABC. 3. Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht entwickelten Winkels den gleichen Abstand von seinen Seiten hat und umgekehrt: Jeder Punkt, der innerhalb des Winkels liegt und den gleichen Abstand von den Seiten des Winkels hat, liegt auf seiner Winkelhalbierenden. Dann ist OK=OL und OK=OM. Das bedeutet OM=OL, d. h. Punkt O ist von den Seiten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt und liegt daher auf der Winkelhalbierenden CC1 des Winkels C. 4. Folglich schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC im Punkt O. K L M Der Satz ist bewiesen. 2.Zeichnen Sie von diesem Punkt aus die Senkrechten OK, OL und OM zu den Geraden AB, BC und CA.
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
Eine Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die durch die Mitte eines gegebenen Segments verläuft und senkrecht dazu steht.
Die Mittelsenkrechten zu den Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der gleich weit von den Eckpunkten des Dreiecks entfernt ist.
Nachweisen:
B C A m n 1. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden m und n zu den Seiten AB und BC des Dreiecks ABC. O 2. Mit dem Satz, dass jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment den gleichen Abstand von den Enden dieses Segments hat und umgekehrt: Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden des Segments liegt auf der Mittelsenkrechten dazu, erhalten wir OB = OA und OB = OC. 3. Daher ist OA = OC, d. h. Punkt O ist von den Enden des Segments AC gleich weit entfernt und liegt daher auf der Mittelsenkrechten zu diesem Segment. 4. Folglich schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden m, n und p zu den Seiten des Dreiecks ABC im Punkt O. Der Satz ist bewiesen. R
Schnittpunkt von Höhen (oder deren Verlängerungen)
Die Höhe eines Dreiecks ist die Senkrechte, die vom Scheitelpunkt eines beliebigen Winkels des Dreiecks zur Geraden gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält.
Die Höhen eines Dreiecks bzw. deren Verlängerungen schneiden sich in einem Punkt, der innerhalb oder außerhalb des Dreiecks liegen kann.
Nachweisen:
Beweisen wir, dass sich die Linien AA 1, BB 1 und CC 1 in einem Punkt schneiden. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Zeichnen Sie durch jeden Scheitelpunkt des Dreiecks ABC eine gerade Linie parallel zur gegenüberliegenden Seite. Wir erhalten das Dreieck A 2 B 2 C 2. 2. Die Punkte A, B und C sind die Mittelpunkte der Seiten dieses Dreiecks. Tatsächlich sind AB=A 2 C und AB=CB 2 wie gegenüberliegende Seiten der Parallelogramme ABA 2 C und ABCB 2, daher A 2 C=CB 2. Ebenso gilt C 2 A=AB 2 und C 2 B=BA 2. Darüber hinaus steht CC 1, wie aus der Konstruktion hervorgeht, senkrecht auf A 2 B 2, AA 1 steht senkrecht auf B 2 C 2 und BB 1 steht senkrecht auf A 2 C 2 (aus der Folgerung zum Satz paralleler Geraden und Sekanten). ). Somit sind die Linien AA 1, BB 1 und CC 1 die senkrechten Winkelhalbierenden zu den Seiten des Dreiecks A 2 B 2 C 2. Daher schneiden sie sich in einem Punkt. Der Satz ist bewiesen.
In dieser Lektion werden wir uns vier wunderbare Punkte des Dreiecks ansehen. Lassen Sie uns auf zwei davon im Detail eingehen, uns an die Beweise wichtiger Theoreme erinnern und das Problem lösen. Erinnern wir uns an die verbleibenden beiden und charakterisieren wir sie.
Thema:Überarbeitung des Geometriekurses der 8. Klasse
Lektion: Vier wunderbare Punkte eines Dreiecks
Ein Dreieck besteht zunächst einmal aus drei Segmenten und drei Winkeln, daher sind die Eigenschaften von Segmenten und Winkeln von grundlegender Bedeutung.
Gegeben ist die Strecke AB. Jedes Segment hat einen Mittelpunkt und eine Senkrechte kann durch ihn gezogen werden – bezeichnen wir ihn als p. Somit ist p die Mittelsenkrechte.
Satz (Haupteigenschaft der Mittelsenkrechten)
Jeder Punkt, der auf der Mittelsenkrechten liegt, ist von den Enden des Segments gleich weit entfernt.
Beweise das
Nachweisen:
Betrachten Sie Dreiecke und (siehe Abb. 1). Sie sind rechteckig und gleich, weil. haben ein gemeinsames Bein OM und die Beine AO und OB sind bedingt gleich, wir haben also zwei rechtwinklige Dreiecke, die in zwei Beinen gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Hypotenusen der Dreiecke gleich sind, also das, was bewiesen werden musste.
Reis. 1
Der umgekehrte Satz ist wahr.
Satz
Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden eines Segments liegt auf der Mittelsenkrechten zu diesem Segment.
Gegeben sei ein Segment AB, eine dazu senkrechte Winkelhalbierende p, ein Punkt M mit gleichem Abstand von den Enden des Segments (siehe Abb. 2).
Beweisen Sie, dass der Punkt M auf der Mittelsenkrechten des Segments liegt.
Reis. 2
Nachweisen:
Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist je nach Bedingung gleichschenklig. Betrachten Sie den Median eines Dreiecks: Punkt O ist die Mitte der Basis AB, OM ist der Median. Gemäß der Eigenschaft eines gleichschenkligen Dreiecks ist der zu seiner Basis gezogene Mittelwert sowohl eine Höhe als auch eine Winkelhalbierende. Es folgt dem . Die Gerade p steht aber auch senkrecht auf AB. Wir wissen, dass es am Punkt O möglich ist, eine einzelne Senkrechte zum Segment AB zu zeichnen, was bedeutet, dass die Geraden OM und p zusammenfallen. Daraus folgt, dass der Punkt M zur Geraden p gehört, was wir beweisen mussten.
Wenn es notwendig ist, einen Kreis um ein Segment zu beschreiben, ist dies möglich, und es gibt unendlich viele solcher Kreise, aber der Mittelpunkt jedes einzelnen von ihnen liegt auf der Mittelsenkrechten zum Segment.
Sie sagen, dass die Mittelsenkrechte der Ort der Punkte ist, die von den Enden eines Segments gleich weit entfernt sind.
Ein Dreieck besteht aus drei Segmenten. Zeichnen wir zu zwei von ihnen senkrechte Winkelhalbierende und erhalten wir den Punkt O ihres Schnittpunkts (siehe Abb. 3).
Punkt O gehört zur Mittelsenkrechten zur Seite BC des Dreiecks, was bedeutet, dass er von seinen Eckpunkten B und C den gleichen Abstand hat. Bezeichnen wir diesen Abstand als R: .
Außerdem liegt Punkt O auf der Mittelsenkrechten zum Segment AB, d.h. , gleichzeitig, von hier aus.
Somit ist Punkt O der Schnittpunkt zweier Mittelpunkte
Reis. 3
Die Senkrechte des Dreiecks ist von seinen Eckpunkten gleich weit entfernt, liegt also auch auf der dritten Mittelsenkrechten.
Wir haben den Beweis eines wichtigen Satzes wiederholt.
Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des Umkreises.
Also haben wir uns den ersten bemerkenswerten Punkt des Dreiecks angesehen – den Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden.
Kommen wir zur Eigenschaft eines beliebigen Winkels (siehe Abb. 4).
Der Winkel ist gegeben, seine Winkelhalbierende ist AL, der Punkt M liegt auf der Winkelhalbierenden.
Reis. 4
Liegt Punkt M auf der Winkelhalbierenden, dann ist er von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt, d. h. die Abstände der Seiten des Winkels von Punkt M zu AC und zu BC sind gleich.
Nachweisen:
Betrachten Sie Dreiecke und . Das sind rechtwinklige Dreiecke und sie sind gleich, weil... haben eine gemeinsame Hypotenuse AM und die Winkel sind gleich, da AL die Winkelhalbierende ist. Rechtwinklige Dreiecke haben also die gleiche Hypotenuse und den gleichen spitzen Winkel. Daraus folgt, was bewiesen werden musste. Somit ist ein Punkt auf der Winkelhalbierenden von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt.
Der umgekehrte Satz ist wahr.
Satz
Wenn ein Punkt von den Seiten eines nicht entwickelten Winkels gleich weit entfernt ist, liegt er auf seiner Winkelhalbierenden (siehe Abb. 5).
Es wird ein unbearbeiteter Winkel, Punkt M, angegeben, so dass der Abstand von ihm zu den Seiten des Winkels gleich ist.
Beweisen Sie, dass der Punkt M auf der Winkelhalbierenden liegt.
Reis. 5
Nachweisen:
Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge der Senkrechten. Vom Punkt M zeichnen wir die Senkrechten MK zur Seite AB und MR zur Seite AC.
Betrachten Sie Dreiecke und . Das sind rechtwinklige Dreiecke und sie sind gleich, weil... haben eine gemeinsame Hypotenuse AM, die Beine MK und MR sind bedingt gleich. Somit sind rechtwinklige Dreiecke in Hypotenuse und Bein gleich. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der entsprechenden Elemente; gleiche Winkel liegen gleichen Seiten gegenüber, also 
Daher liegt Punkt M auf der Winkelhalbierenden des gegebenen Winkels.
Wenn Sie einen Kreis in einen Winkel einschreiben müssen, ist dies möglich, und es gibt unendlich viele solcher Kreise, deren Mittelpunkte jedoch auf der Winkelhalbierenden eines bestimmten Winkels liegen.
Man sagt, dass eine Winkelhalbierende der Ort der Punkte ist, die von den Seiten eines Winkels gleich weit entfernt sind.
Ein Dreieck besteht aus drei Winkeln. Konstruieren wir die Winkelhalbierenden von zwei von ihnen und ermitteln wir den Punkt O ihres Schnittpunkts (siehe Abb. 6).
Punkt O liegt auf der Winkelhalbierenden, was bedeutet, dass er von seinen Seiten AB und BC den gleichen Abstand hat. Bezeichnen wir den Abstand als r: . Außerdem liegt Punkt O auf der Winkelhalbierenden, was bedeutet, dass er von seinen Seiten AC und BC gleich weit entfernt ist: , , von hier.
Es ist leicht zu erkennen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von den Seiten des dritten Winkels gleich weit entfernt ist, also auf dieser liegt
Reis. 6
Winkelhalbierende. Somit schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden des Dreiecks in einem Punkt.
Wir erinnerten uns also an den Beweis eines weiteren wichtigen Satzes.
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.
Also haben wir uns den zweiten bemerkenswerten Punkt des Dreiecks angesehen – den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Wir haben die Winkelhalbierende untersucht und ihre wichtigen Eigenschaften festgestellt: Die Punkte der Winkelhalbierenden sind von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt, außerdem sind die Tangentensegmente, die von einem Punkt an den Kreis gezogen werden, gleich.
Lassen Sie uns eine Notation einführen (siehe Abb. 7).
Bezeichnen wir gleiche Tangentensegmente mit x, y und z. Die dem Scheitelpunkt A gegenüberliegende Seite BC wird mit a bezeichnet, ebenso AC mit b, AB mit c.
Reis. 7
Aufgabe 1: In einem Dreieck sind der Halbumfang und die Länge der Seite a bekannt. Finden Sie die Länge der Tangente, die vom Scheitelpunkt A - AK gezogen wird und mit x bezeichnet wird.
Offensichtlich ist das Dreieck nicht vollständig definiert, und es gibt viele solcher Dreiecke, aber es stellt sich heraus, dass sie einige Elemente gemeinsam haben.
Für Probleme mit einem eingeschriebenen Kreis kann folgende Lösungsmethode vorgeschlagen werden:
1. Zeichnen Sie Winkelhalbierende und ermitteln Sie den Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.
2. Zeichnen Sie vom Mittelpunkt O aus Senkrechte zu den Seiten und ermitteln Sie Tangentialpunkte.
3. Markieren Sie gleiche Tangenten.
4. Schreiben Sie die Beziehung zwischen den Seiten des Dreiecks und den Tangenten auf.
Ministerium für allgemeine und berufliche Bildung des Gebiets Swerdlowsk.
Städtische Bildungseinrichtung von Jekaterinburg.
Bildungseinrichtung – MOUSOSH Nr. 212 „Jekaterinburger Kulturlyzeum“
Bildungsbereich – Mathematik.
Thema - Geometrie.
Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks
Referent: Schüler der 8. Klasse
Selizki Dmitri Konstantinowitsch.
Wissenschaftlicher Leiter:
Rabkanow Sergej Petrowitsch.
Jekaterinburg, 2001
Einführung 3
Beschreibender Teil:
Orthocenter 4
Icenter 5
Schwerpunkt 7
Umfang 8
Euler-Linie 9
Praktischer Teil:
Orthozentrisches Dreieck 10
Fazit 11
Referenzen 11
Einführung.
Geometrie beginnt mit einem Dreieck. Seit zweieinhalb Jahrtausenden ist das Dreieck ein Symbol der Geometrie. Seine neuen Eigenschaften werden ständig entdeckt. Es wird viel Zeit in Anspruch nehmen, über alle bekannten Eigenschaften eines Dreiecks zu sprechen. Mich interessierten die sogenannten „Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks“. Ein Beispiel für solche Punkte ist der Schnittpunkt von Winkelhalbierenden. Das Bemerkenswerte daran ist, dass wenn man drei beliebige Punkte im Raum nimmt, daraus ein Dreieck konstruiert und Winkelhalbierende zeichnet, dann werden sie (die Winkelhalbierenden) sich in einem Punkt schneiden! Es scheint, dass dies nicht möglich ist, da wir willkürliche Punkte genommen haben, aber diese Regel gilt immer. Andere „bemerkenswerte Punkte“ haben ähnliche Eigenschaften.
Nachdem ich die Literatur zu diesem Thema gelesen hatte, legte ich für mich selbst die Definitionen und Eigenschaften von fünf wunderbaren Punkten und einem Dreieck fest. Aber damit war meine Arbeit noch nicht beendet; ich wollte diese Punkte selbst erforschen.
Deshalb Ziel Diese Arbeit ist eine Untersuchung einiger bemerkenswerter Eigenschaften eines Dreiecks und eine Untersuchung eines orthozentrischen Dreiecks. Bei der Erreichung dieses Ziels lassen sich folgende Phasen unterscheiden:
Auswahl der Literatur mit Hilfe eines Lehrers
Untersuchung der grundlegenden Eigenschaften der bemerkenswerten Punkte und Linien eines Dreiecks
Verallgemeinerung dieser Eigenschaften
Aufstellen und Lösen eines Problems mit einem orthozentrischen Dreieck
Ich habe die in dieser Forschungsarbeit erzielten Ergebnisse vorgestellt. Alle Zeichnungen habe ich mit Computergrafik (Vektorgrafikeditor CorelDRAW) erstellt.
Orthozentrum. (Schnittpunkt der Höhen)
Beweisen wir, dass sich die Höhen in einem Punkt schneiden. Wir führen Sie durch die Gipfel A, IN Und MIT Dreieck ABC gerade Linien parallel zu gegenüberliegenden Seiten. Diese Linien bilden ein Dreieck A 1 IN 1 MIT 1 . Höhe des Dreiecks ABC sind die Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks A 1 IN 1 MIT 1 . Daher schneiden sie sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks A 1 IN 1 MIT 1 . Der Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks wird Orthozentrum genannt ( H).
Icenter ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.
(Schnittpunkt der Winkelhalbierenden)
Beweisen wir, dass die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ABC sich in einem Punkt schneiden. Bedenken Sie den Punkt UM Winkelhalbierende Schnittpunkte A Und IN. Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Winkels A sind von den Geraden gleich weit entfernt AB Und Wechselstrom und jeder Punkt der Winkelhalbierenden IN gleich weit von Geraden entfernt AB Und Sonne, also Punkt UM gleich weit von Geraden entfernt Wechselstrom Und Sonne, d.h. es liegt auf der Winkelhalbierenden MIT. Punkt UM gleich weit von Geraden entfernt AB, Sonne Und SA, was bedeutet, dass es einen Kreis mit Mittelpunkt gibt UM, tangential zu diesen Linien, und die Tangentenpunkte liegen auf den Seiten selbst und nicht auf ihren Verlängerungen. Tatsächlich sind es die Winkel an den Eckpunkten A Und IN Dreieck AOB scharfer daher Projektionspunkt UM direkt AB liegt innerhalb des Segments AB.
Für Partys Sonne Und SA Der Beweis ist ähnlich.
Das icenter verfügt über drei Eigenschaften:
Wenn die Fortsetzung der Winkelhalbierenden MIT schneidet den Umkreis eines Dreiecks ABC am Punkt M, Das MA=MV=MO.
Wenn AB- Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ABC, dann der Kreis, der die Seiten des Winkels tangiert DIA an Punkten A Und IN, geht durch den Punkt UM.
Wenn eine Linie durch einen Punkt geht UM parallel zur Seite AB, kreuzt die Seiten Sonne Und SA an Punkten A 1 Und IN 1 , Das A 1 IN 1 =A 1 IN+AB 1 .
Schwerpunkt. (Schnittpunkt der Mediane)
Beweisen wir, dass sich die Mediane eines Dreiecks in einem Punkt schneiden. Bedenken Sie dazu den Punkt M, an dem sich die Mediane schneiden AA 1 Und BB 1 . Lass uns ein Dreieck zeichnen BB 1 MIT Mittellinie A 1 A 2 , parallel BB 1 . Dann A 1 M:AM=IN 1 A 2 :AB 1 =IN 1 A 2 :IN 1 MIT=VA 1 :SONNE=1:2, d.h. mittlerer Schnittpunkt BB 1 Und AA 1 teilt den Median AA 1 im Verhältnis 1:2. Ebenso der Schnittpunkt der Mediane SS 1 Und AA 1 teilt den Median AA 1 im Verhältnis 1:2. Daher der Schnittpunkt der Mediane AA 1 Und BB 1 fällt mit dem Schnittpunkt der Mediane zusammen AA 1 Und SS 1 .
Wenn der Schnittpunkt der Mittellinien eines Dreiecks mit den Eckpunkten verbunden ist, werden die Dreiecke in drei Dreiecke gleicher Fläche geteilt. Tatsächlich reicht es aus, zu beweisen, dass wenn R– jeder Punkt des Medians AA 1 im Dreieck ABC, dann die Flächen der Dreiecke AVR Und ASR sind gleich. Immerhin Mediane AA 1 Und RA 1 in Dreiecken ABC Und RVS Schneiden Sie sie in gleichgroße Dreiecke.
Die umgekehrte Aussage gilt auch: Wenn für einen bestimmten Punkt R, innerhalb des Dreiecks liegend ABC, Fläche von Dreiecken AVR, AM MITTWOCH Und SAR sind also gleich R– Schnittpunkt der Mediane.
Der Schnittpunkt hat noch eine weitere Eigenschaft: Wenn Sie aus einem beliebigen Material ein Dreieck ausschneiden, Mittellinien darauf zeichnen, eine Stange am Schnittpunkt der Mittellinien anbringen und die Aufhängung an einem Stativ befestigen, dann ist das Modell (Dreieck) drin ein Gleichgewichtszustand, daher ist der Schnittpunkt nichts anderes als der Schwerpunkt des Dreiecks.
Mittelpunkt des umschriebenen Kreises.
Beweisen wir, dass es einen Punkt gibt, der von den Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat, oder mit anderen Worten, dass es einen Kreis gibt, der durch die drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft. Der Ort von Punkten mit gleichem Abstand zu Punkten A Und IN, ist senkrecht zum Segment AB, durch seine Mitte (die Mittelsenkrechte des Segments) verlaufend AB). Bedenken Sie den Punkt UM, in dem sich die Winkelhalbierenden der Senkrechten zu den Segmenten schneiden AB Und Sonne. Punkt UM gleich weit von Punkten entfernt A Und IN, sowie aus Punkten IN Und MIT. daher ist es von den Punkten gleich weit entfernt A Und MIT, d.h. es liegt auch auf der Mittelsenkrechten zum Segment Wechselstrom.
Center UM Der Umkreis liegt nur dann innerhalb eines Dreiecks, wenn das Dreieck spitz ist. Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann der Punkt UM mit der Mitte der Hypotenuse zusammenfällt und wenn der Winkel am Scheitelpunkt liegt MIT stumpf, dann gerade AB trennt die Punkte UM Und MIT.
In der Mathematik kommt es häufig vor, dass sich völlig unterschiedlich definierte Objekte als gleich herausstellen. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.
Lassen A 1 , IN 1 ,MIT 1 – Mittelpunkte der Seiten Sonne,SA und AB. Es lässt sich nachweisen, dass Kreise von Dreiecken umschrieben werden AB 1 MIT, A 1 Sonne 1 Und A 1 IN 1 MIT 1 schneiden sich in einem Punkt, und dieser Punkt ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Wir haben also zwei scheinbar völlig unterschiedliche Punkte: den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks ABC und der Schnittpunkt der Umkreise der Dreiecke AB 1 MIT 1 , A 1 Sonne Und A 1 IN 1 MIT 1 . aber es stellt sich heraus, dass diese beiden Punkte übereinstimmen.
Eulers Gerade.
Die erstaunlichste Eigenschaft der bemerkenswerten Punkte eines Dreiecks besteht darin, dass einige von ihnen durch bestimmte Beziehungen miteinander verbunden sind. Zum Beispiel der Schwerpunkt M, Orthozentrum N und der Mittelpunkt des Umkreises UM liegen auf derselben Geraden und der Punkt M teilt die Strecke OH, sodass die Beziehung gültig ist OM:MN=1:2. Dieser Satz wurde 1765 vom Schweizer Wissenschaftler Leonardo Euler bewiesen.
Orthozentrisches Dreieck.
Orthozentrisches Dreieck(Orthodreieck) ist ein Dreieck ( MNZU), deren Eckpunkte die Basis der Höhen dieses Dreiecks sind ( ABC). Dieses Dreieck hat viele interessante Eigenschaften. Geben wir einen davon.
Eigentum.
Beweisen:
Dreiecke AKM, CMN Und BKNähnlich einem Dreieck ABC;
Winkel eines Orthodreiecks MNK Sind: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.
Nachweisen:
Wir haben AB cos A, A.K. cos A. Somit, BIN./AB = A.K./A.C..
Weil bei Dreiecken ABC Und AKM Ecke A– gemeinsam, dann sind sie ähnlich, woraus wir auf den Winkel schließen L AKM = L C. Deshalb L BKM = L C. Als nächstes haben wir L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – - - L C, d.h. SK- Winkelhalbierende MNK. Also, L MNK= π – 2 L C. Die übrigen Gleichheiten werden auf ähnliche Weise bewiesen.
Abschluss.
Am Ende dieser Forschungsarbeit können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden:
Die bemerkenswerten Punkte und Linien des Dreiecks sind:
Orthozentrum eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner Höhen;
undZentrum Dreieck ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden;
Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner Mediane;
Umkreiszentrum– ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden;
Eulers Gerade- das ist die Gerade, auf der der Schwerpunkt, das Orthozentrum und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises liegen.
Ein orthozentrisches Dreieck teilt ein gegebenes Dreieck in drei ähnliche.
Nach dieser Arbeit habe ich viel über die Eigenschaften eines Dreiecks gelernt. Diese Arbeit war für mich im Hinblick auf die Weiterentwicklung meiner Kenntnisse auf dem Gebiet der Mathematik relevant. Ich beabsichtige, dieses interessante Thema in Zukunft weiterzuentwickeln.
Referenzliste.
Kiselyov A.P. Elementare Geometrie. – M.: Bildung, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Neue Begegnungen mit der Geometrie. – M.: Nauka, 1978.
Prasolov V.V. Probleme in der Planimetrie. – M.: Nauka, 1986. – Teil 1.
Sharygin I.F. Geometrieprobleme: Planimetrie. – M.: Nauka, 1986.
Scanavi M. I. Mathematik. Probleme mit Lösungen. – Rostow am Don: Phoenix, 1998.
Berger M. Geometrie in zwei Bänden – M: Mir, 1984.
Inhalt
Einleitung………………………………………………………………………………3
Kapitel 1.
1.1 Dreieck……………………………………………………………………………..4
1.2. Mittelwerte eines Dreiecks
1.4. Höhen im Dreieck
Abschluss
Liste der verwendeten Literatur
Broschüre
Einführung
Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verschiedenen Figuren und ihren Eigenschaften beschäftigt. Geometrie beginnt mit einem Dreieck. Seit zweieinhalb Jahrtausenden ist das Dreieck ein Symbol der Geometrie; Aber es ist nicht nur ein Symbol, ein Dreieck ist ein Atom der Geometrie.
In meiner Arbeit werde ich die Eigenschaften der Schnittpunkte von Winkelhalbierenden, Medianen und Höhen eines Dreiecks betrachten und über ihre bemerkenswerten Eigenschaften und die Linien des Dreiecks sprechen.
Zu den in einem Schulgeometriekurs untersuchten Punkten gehören:
a) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises);
b) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises);
c) Schnittpunkt der Höhen (Orthozentrum);
d) Schnittpunkt der Mediane (Schwerpunkt).
Relevanz: Erweitern Sie Ihr Wissen über das Dreieck,seine Eigenschaftenwunderbare Punkte.
Ziel: Erkundung des Dreiecks bis zu seinen bemerkenswerten Punkten,sie zu studierenKlassifizierungen und Eigenschaften.
Aufgaben:
1. Studieren Sie die notwendige Literatur
2. Studieren Sie die Klassifizierung bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks
3. Seien Sie in der Lage, bemerkenswerte Dreieckspunkte zu konstruieren.
4. Fassen Sie das untersuchte Material für die Gestaltung der Broschüre zusammen.
Projekthypothese:
Die Fähigkeit, bemerkenswerte Punkte in jedem Dreieck zu finden, ermöglicht es Ihnen, geometrische Konstruktionsprobleme zu lösen.
Kapitel 1. Historische Informationen zu den bemerkenswerten Punkten des Dreiecks
Im vierten Buch der Elemente löst Euklid das Problem: „Einen Kreis in ein gegebenes Dreieck einschreiben.“ Aus der Lösung folgt, dass sich die drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks in einem Punkt schneiden – dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Aus der Lösung eines anderen euklidischen Problems folgt, dass sich die an den Seiten des Dreiecks in ihren Mittelpunkten wiederhergestellten Senkrechten ebenfalls in einem Punkt schneiden – dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Die Elemente sagen nicht, dass sich die drei Höhen des Dreiecks in einem Punkt schneiden, dem sogenannten Orthozentrum (das griechische Wort „orthos“ bedeutet „gerade“, „richtig“). Dieser Vorschlag war jedoch Archimedes, Pappus und Proklos bekannt.
Der vierte singuläre Punkt des Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mediane. Archimedes bewies, dass es sich um den Schwerpunkt (Schwerpunkt) des Dreiecks handelt. Den oben genannten vier Punkten wurde besondere Aufmerksamkeit gewidmet und seit dem 18. Jahrhundert werden sie als „bemerkenswerte“ oder „besondere“ Punkte des Dreiecks bezeichnet.
Das Studium der Eigenschaften eines Dreiecks, das mit diesen und anderen Punkten verbunden ist, diente als Beginn der Schaffung eines neuen Zweigs der Elementarmathematik – der „Dreiecksgeometrie“ oder „neuen Dreiecksgeometrie“, deren Begründer Leonhard Euler war. Im Jahr 1765 bewies Euler, dass in jedem Dreieck das Orthozentrum, der Schwerpunkt und das Umkreiszentrum auf derselben Geraden liegen, die später „Euler-Gerade“ genannt wurde.
Dreieck
Dreieck - eine geometrische Figur, bestehend aus drei Punkten, die nicht auf derselben Linie liegen, und drei Segmenten, die diese Punkte paarweise verbinden. Punkte -Gipfel Dreieck, Segmente -Seiten Dreieck.
IN A, B, C – Eckpunkte
AB, BC, SA - Seiten
Ein C
Jedem Dreieck sind vier Punkte zugeordnet:
Schnittpunkt der Mediane;
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden;
Schnittpunkt der Höhen.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten;
1.2. Mittelwerte eines Dreiecks
Medina eines Dreiecks - , den Scheitelpunkt verbindend von der Mitte der gegenüberliegenden Seite (Abbildung 1). Der Punkt, an dem der Median die Seite des Dreiecks schneidet, wird Basis des Medians genannt.
Abbildung 1. Mediane eines Dreiecks
Konstruieren wir die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks und zeichnen wir Segmente, die jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbinden. Solche Segmente werden Mediane genannt.
Und wieder beobachten wir, dass sich diese Segmente in einem Punkt schneiden. Wenn wir die Längen der resultierenden Mediansegmente messen, können wir eine weitere Eigenschaft überprüfen: Der Schnittpunkt der Mediane teilt alle Mediane im Verhältnis 2:1, gezählt von den Eckpunkten. Und doch ist das Dreieck, das im Schnittpunkt der Mediane auf der Nadelspitze ruht, im Gleichgewicht! Ein Punkt mit dieser Eigenschaft wird als Schwerpunkt (Schwerpunkt) bezeichnet. Der Mittelpunkt gleicher Masse wird manchmal als Schwerpunkt bezeichnet. Daher lassen sich die Eigenschaften der Mediane eines Dreiecks wie folgt formulieren: Die Mediane eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt und werden vom Schnittpunkt aus im Verhältnis 2:1 durch den Schnittpunkt geteilt.
1.3. Winkelhalbierende eines Dreiecks
Halbierende angerufen Winkelhalbierende, die vom Scheitelpunkt des Winkels bis zu seinem Schnittpunkt mit der gegenüberliegenden Seite verläuft. Ein Dreieck hat drei Winkelhalbierende, die seinen drei Eckpunkten entsprechen (Abbildung 2).
Abbildung 2. Dreieckshalbierende
In einem beliebigen Dreieck ABC zeichnen wir die Winkelhalbierenden ein. Und wieder schneiden sich bei einer exakten Konstruktion alle drei Winkelhalbierenden in einem Punkt D. Punkt D ist ebenfalls ungewöhnlich: Er ist von allen drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt. Dies kann durch Absenken der Senkrechten DA 1, DB 1 und DC1 zu den Seiten des Dreiecks überprüft werden. Alle sind einander gleich: DA1=DB1=DC1.
Wenn Sie einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt D und einem Radius DA 1 zeichnen, berührt er alle drei Seiten des Dreiecks (d. h. er hat mit jeder nur einen gemeinsamen Punkt). Ein solcher Kreis wird als in ein Dreieck eingeschrieben bezeichnet. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich also im Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.
1.4. Höhen im Dreieck
Höhe des Dreiecks - , fiel von oben zur gegenüberliegenden Seite oder eine gerade Linie, die mit der gegenüberliegenden Seite zusammenfällt. Abhängig von der Art des Dreiecks kann die Höhe innerhalb des Dreiecks enthalten sein (z Dreieck), fallen mit seiner Seite zusammen (sein Dreieck) oder außerhalb des Dreiecks an einem stumpfen Dreieck vorbeigehen (Abbildung 3).
Abbildung 3. Höhen in Dreiecken
Wenn Sie drei Höhen in einem Dreieck konstruieren, schneiden sie sich alle in einem Punkt H. Dieser Punkt wird Orthozentrum genannt. (Figur 4).
Mithilfe von Konstruktionen können Sie überprüfen, dass je nach Dreieckstyp das Orthozentrum unterschiedlich liegt:
für ein spitzes Dreieck - innen;
für eine rechteckige - auf der Hypotenuse;
bei einem stumpfen Winkel liegt es außen.
Abbildung 4. Orthozentrum des Dreiecks
Damit haben wir einen weiteren bemerkenswerten Punkt des Dreiecks kennengelernt und können sagen: Die Höhen des Dreiecks schneiden sich im Orthozentrum.
1.5. Senkrechte Winkelhalbierende zu den Seiten eines Dreiecks
Die Mittelsenkrechte eines Segments ist eine Gerade, die senkrecht zum gegebenen Segment steht und durch dessen Mittelpunkt verläuft.
Zeichnen wir ein beliebiges Dreieck ABC und zeichnen wir senkrechte Winkelhalbierende zu seinen Seiten. Wenn die Konstruktion genau ausgeführt wird, schneiden sich alle Senkrechten in einem Punkt – Punkt O. Dieser Punkt ist von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt. Mit anderen Worten: Wenn Sie einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt O zeichnen, der durch einen der Eckpunkte des Dreiecks verläuft, verläuft er auch durch seine beiden anderen Eckpunkte.
Ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Dreiecks verläuft, wird als umschrieben bezeichnet. Daher lässt sich die etablierte Eigenschaft eines Dreiecks wie folgt formulieren: Die Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks schneiden sich im Mittelpunkt des umschriebenen Kreises (Abbildung 5).
Abbildung 5. In einen Kreis eingeschriebenes Dreieck
Kapitel 2. Untersuchung der bemerkenswerten Punkte des Dreiecks.
Untersuchung der Höhe in Dreiecken
Alle drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt wird Orthozentrum des Dreiecks genannt.
Die Höhen eines spitzen Dreiecks liegen streng innerhalb des Dreiecks.
Dementsprechend liegt auch der Schnittpunkt der Höhen innerhalb des Dreiecks.
In einem rechtwinkligen Dreieck fallen zwei Höhen mit den Seiten zusammen. (Dies sind die Höhen, die von den Scheitelpunkten spitzer Winkel zu den Beinen gezogen werden).
Die zur Hypotenuse gezeichnete Höhe liegt innerhalb des Dreiecks.
AC ist die Höhe vom Scheitelpunkt C zur Seite AB.
AB ist die Höhe vom Scheitelpunkt B zur Seite AC.
AK ist die Höhe vom Scheitelpunkt des rechten Winkels A zur Hypotenuse BC.
Die Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks schneiden sich am Scheitelpunkt des rechten Winkels (A ist das Orthozentrum).
In einem stumpfen Dreieck gibt es innerhalb des Dreiecks nur eine Höhe – diejenige, die vom Scheitelpunkt des stumpfen Winkels ausgeht.
Die anderen beiden Höhen liegen außerhalb des Dreiecks und sind bis zur Fortsetzung der Dreiecksseiten abgesenkt.
AK ist die zur Seite BC gezogene Höhe.
BF – Höhe in Fortsetzung der Seite AC.
CD ist die Höhe, die zur Fortsetzung der Seite AB gezogen wird.
Der Schnittpunkt der Höhen eines stumpfen Dreiecks liegt ebenfalls außerhalb des Dreiecks:
H ist das Orthozentrum des Dreiecks ABC.
Untersuchung der Winkelhalbierenden in einem Dreieck
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist der Teil der Winkelhalbierenden des Dreiecks (Strahl), der innerhalb des Dreiecks liegt.
Alle drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden in spitzen, stumpfen und rechtwinkligen Dreiecken ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises im Dreieck und liegt im Inneren.
Mediane in einem Dreieck studieren
Da ein Dreieck drei Scheitelpunkte und drei Seiten hat, gibt es auch drei Segmente, die den Scheitelpunkt und die Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden.
Nachdem ich diese Dreiecke untersucht hatte, wurde mir klar, dass sich in jedem Dreieck die Mediane in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt des Dreiecks.
Untersuchung von Mittelsenkrechten zu einer Seite eines Dreiecks
Senkrechte Winkelhalbierende eines Dreiecks ist eine Senkrechte, die zur Mitte einer Seite eines Dreiecks gezogen wird.
Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und bilden den Mittelpunkt des Umkreises.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in einem spitzen Dreieck liegt innerhalb des Dreiecks; in einem stumpfen Winkel - außerhalb des Dreiecks; in einem rechteckigen - in der Mitte der Hypotenuse.
Abschluss
Im Zuge der durchgeführten Arbeiten kommen wir zu folgenden Schlussfolgerungen:
Ziel erreicht:erkundete das Dreieck und fand seine bemerkenswerten Punkte.
Die gestellten Aufgaben wurden gelöst:
1). Wir haben die notwendige Literatur studiert;
2). Wir haben die Klassifizierung bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks untersucht;
3). Wir haben gelernt, wie man wunderbare Dreieckspunkte baut;
4). Wir haben das untersuchte Material für die Gestaltung der Broschüre zusammengefasst.
Die Hypothese, dass die Fähigkeit, bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks zu finden, bei der Lösung von Konstruktionsproblemen hilft, wurde bestätigt.
Das Werk beschreibt konsequent die Techniken zur Konstruktion bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks und liefert historische Informationen über geometrische Konstruktionen.
Informationen aus dieser Arbeit können im Geometrieunterricht in der 7. Klasse nützlich sein. Das Heft kann zu einem Nachschlagewerk zur Geometrie zum vorgestellten Thema werden.
Referenzliste
Lehrbuch. L.S. Atanasyan „Geometrie Klassen 7-9Mnemosyne, 2015.
Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png
Portal-Scharlachrote Segel
Führendes Bildungsportal in Russland http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
