Faktorisieren Sie ein quadratisches Trinom. IV. Wissenserwerb testen. Betrachtung. Beispiele mit biquadratischen Polynomen

In dieser Lektion lernen wir, wie man quadratische Trinome in lineare Faktoren faktorisiert. Dazu müssen wir uns an den Satz von Vieta und seine Umkehrung erinnern. Diese Fähigkeit hilft uns, quadratische Trinome schnell und bequem in lineare Faktoren zu erweitern und vereinfacht auch die Reduktion von Brüchen, die aus Ausdrücken bestehen.

Kehren wir also zur quadratischen Gleichung zurück, wobei .

Was wir auf der linken Seite haben, nennt man quadratisches Trinom.

Der Satz ist wahr: Sind die Wurzeln eines quadratischen Trinoms, dann gilt die Identität

Wo ist der führende Koeffizient, sind die Wurzeln der Gleichung.

Wir haben also eine quadratische Gleichung – ein quadratisches Trinom, wobei die Wurzeln der quadratischen Gleichung auch Wurzeln des quadratischen Trinoms genannt werden. Wenn wir also die Wurzeln eines quadratischen Trinoms haben, kann dieses Trinom in lineare Faktoren zerlegt werden.

Nachweisen:

Der Beweis dieser Tatsache erfolgt mithilfe des Satzes von Vieta, den wir in früheren Lektionen besprochen haben.

Erinnern wir uns daran, was uns der Satz von Vieta sagt:

Wenn die Wurzeln eines quadratischen Trinoms für which sind, dann .

Aus diesem Satz folgt die folgende Aussage:

Wir sehen, dass wir gemäß dem Satz von Vieta, d. h. durch Einsetzen dieser Werte in die obige Formel, den folgenden Ausdruck erhalten

Q.E.D.

Denken Sie daran, dass wir den Satz bewiesen haben, dass die Entwicklung gültig ist, wenn die Wurzeln eines quadratischen Trinoms sind.

Erinnern wir uns nun an ein Beispiel einer quadratischen Gleichung, für die wir mithilfe des Satzes von Vieta Wurzeln ausgewählt haben. Aus dieser Tatsache können wir dank des bewährten Satzes die folgende Gleichheit erhalten:

Überprüfen wir nun die Richtigkeit dieser Tatsache, indem wir einfach die Klammern öffnen:

Wir sehen, dass wir richtig faktorisiert haben und jedes Trinom, wenn es Wurzeln hat, gemäß diesem Satz in lineare Faktoren gemäß der Formel faktorisiert werden kann

Lassen Sie uns jedoch prüfen, ob eine solche Faktorisierung für jede Gleichung möglich ist:

Nehmen Sie zum Beispiel die Gleichung. Schauen wir uns zunächst das Diskriminanzzeichen an

Und wir erinnern uns, dass zur Erfüllung des Satzes, den wir gelernt haben, D größer als 0 sein muss, sodass in diesem Fall eine Faktorisierung gemäß dem Satz, den wir gelernt haben, unmöglich ist.

Daher formulieren wir einen neuen Satz: Wenn ein quadratisches Trinom keine Wurzeln hat, kann es nicht in lineare Faktoren zerlegt werden.

Wir haben uns also den Satz von Vieta angesehen, die Möglichkeit, ein quadratisches Trinom in lineare Faktoren zu zerlegen, und werden nun mehrere Probleme lösen.

Aufgabe Nr. 1

In dieser Gruppe werden wir das Problem tatsächlich in umgekehrter Reihenfolge wie das gestellte Problem lösen. Wir hatten eine Gleichung und fanden ihre Wurzeln, indem wir sie faktorisierten. Hier werden wir das Gegenteil tun. Nehmen wir an, wir haben die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Das umgekehrte Problem lautet: Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln.

Es gibt zwei Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen.

Da sind also die Wurzeln der Gleichung ist eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln Zahlen sind. Öffnen wir nun die Klammern und prüfen:

Dies war die erste Möglichkeit, eine quadratische Gleichung mit gegebenen Wurzeln zu erstellen, die keine anderen Wurzeln hat, da jede quadratische Gleichung höchstens zwei Wurzeln hat.

Diese Methode beinhaltet die Verwendung des inversen Vieta-Theorems.

Wenn die Wurzeln der Gleichung sind, dann erfüllen sie die Bedingung, dass .

Für die reduzierte quadratische Gleichung , , also in diesem Fall, und .

Somit haben wir eine quadratische Gleichung erstellt, die die angegebenen Wurzeln hat.

Aufgabe Nr. 2

Es ist notwendig, den Bruch zu reduzieren.

Wir haben ein Trinom im Zähler und ein Trinom im Nenner, und die Trinome können faktorisiert werden oder nicht. Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner faktorisiert werden, können unter ihnen gleiche Faktoren vorhanden sein, die reduziert werden können.

Zunächst müssen Sie den Zähler faktorisieren.

Zuerst müssen Sie prüfen, ob diese Gleichung faktorisiert werden kann. Lassen Sie uns die Diskriminante ermitteln. Da das Vorzeichen vom Produkt abhängt (muss kleiner als 0 sein), hat die gegebene Gleichung in diesem Beispiel Wurzeln.

Zur Lösung verwenden wir den Satz von Vieta:

Da es sich in diesem Fall um Wurzeln handelt, wird es ziemlich schwierig sein, die Wurzeln einfach auszuwählen. Aber wir sehen, dass die Koeffizienten ausgeglichen sind, das heißt, wenn wir davon ausgehen und diesen Wert in die Gleichung einsetzen, erhalten wir das folgende System: , d. h. 5-5=0. Somit haben wir eine der Wurzeln dieser quadratischen Gleichung ausgewählt.

Wir werden nach der zweiten Wurzel suchen, indem wir beispielsweise das bereits Bekannte in das Gleichungssystem einsetzen, d. h. .

Somit haben wir beide Wurzeln der quadratischen Gleichung gefunden und können ihre Werte in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um sie zu faktorisieren:

Erinnern wir uns an das ursprüngliche Problem: Wir mussten den Bruch reduzieren.

Versuchen wir, das Problem durch Ersetzen zu lösen.

Man darf nicht vergessen, dass in diesem Fall der Nenner nicht gleich 0 sein kann, d.h. , .

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, haben wir den ursprünglichen Bruch auf die Form reduziert.

Problem Nr. 3 (Aufgabe mit einem Parameter)

Bei welchen Werten des Parameters liegt die Summe der Wurzeln der quadratischen Gleichung

Wenn die Wurzeln dieser Gleichung existieren, dann , Frage: wann.

Ein quadratisches Trinom ist ein Polynom der Form ax^2+bx+c, wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und a ungleich Null ist.
Tatsächlich ist das erste, was wir wissen müssen, um das unglückliche Trinom zu faktorisieren, der Satz. Es sieht so aus: „Wenn x1 und x2 die Wurzeln des quadratischen Trinoms ax^2+bx+c sind, dann ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).“ Natürlich gibt es einen Beweis für diesen Satz, aber er erfordert einige theoretische Kenntnisse (wenn wir den Faktor a im Polynom ax^2+bx+c herausnehmen, erhalten wir ax^2+bx+c=a(x^2). +(b/a) x + c/a). Nach dem Satz von Viette gilt x1+x2=-(b/a), a=x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1) -x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2). Das bedeutet ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). Manchmal zwingen dich Lehrer, den Beweis zu lernen, aber Wenn es nicht erforderlich ist, rate ich Ihnen, sich die endgültige Formel einfach zu merken.

Schritt 2

Nehmen wir als Beispiel das Trinom 3x^2-24x+21. Als erstes müssen wir das Trinom mit Null gleichsetzen: 3x^2-24x+21=0. Die Wurzeln der resultierenden quadratischen Gleichung sind jeweils die Wurzeln des Trinoms.

Schritt 3

Lösen wir die Gleichung 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Also, lasst uns entscheiden. Für diejenigen, die nicht wissen, wie man quadratische Gleichungen löst, schauen Sie sich meine Anleitung mit zwei Lösungsmöglichkeiten am Beispiel derselben Gleichung an. Die resultierenden Wurzeln sind x1=7, x2=1.

Schritt 4

Da wir nun die Wurzeln des Trinoms haben, können wir sie sicher in die Formel einsetzen =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
wir erhalten: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Sie können den a-Begriff entfernen, indem Sie ihn in Klammern setzen: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
Als Ergebnis erhalten wir: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Hinweis: Jeder der resultierenden Faktoren ((x-7), (3x-3) sind Polynome ersten Grades. Das ist die ganze Entwicklung =) Wenn Sie an der erhaltenen Antwort zweifeln, können Sie sie jederzeit durch Multiplikation der Klammern überprüfen.

Schritt 5

Überprüfung der Lösung. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Jetzt wissen wir sicher, dass unsere Entscheidung richtig ist! Ich hoffe, meine Anleitung hilft jemandem =) Viel Glück beim Lernen!

• In unserem Fall ist in der Gleichung D > 0 und wir haben 2 Wurzeln. Wenn es ein D gäbe<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Wenn ein quadratisches Trinom keine Wurzeln hat, kann es nicht faktorisiert werden, da es sich hierbei um Polynome ersten Grades handelt.

Unterrichtsart: eine Lektion in der Festigung und Systematisierung von Wissen.

Unterrichtsart: Wissen und Handlungsweisen prüfen, bewerten und korrigieren.

Ziele:

• Lehrreich:

– bei den Schülern die Fähigkeit entwickeln, ein quadratisches Trinom zu faktorisieren;
– Festigung des Wissens bei der Lösung verschiedener Aufgaben zum angegebenen Thema;
– Bildung mathematischen Denkens;
– Steigern Sie das Interesse am Thema durch die Wiederholung des behandelten Materials.

Lehrreich:

– Förderung der Organisation und Konzentration;
– Förderung einer positiven Einstellung zum Lernen;
- Neugier wecken.

Lehrreich:

– die Fähigkeit zur Selbstkontrolle entwickeln;
– die Fähigkeit entwickeln, die Arbeit rational zu planen;
– Entwicklung von Unabhängigkeit und Aufmerksamkeit.

Ausrüstung: didaktisches Material für mündliches Arbeiten, selbstständiges Arbeiten, Testaufgaben zur Wissensprüfung, Karten mit Hausaufgaben, Lehrbuch zur Algebra Yu.N. Makarycheva.

Unterrichtsplan.

Unterrichtsschritte	Zeit, min	Techniken und Methoden
I. Stadium der Wissensaktualisierung. Motivation für ein Lernproblem	2	Gespräch des Lehrers
II. Der Hauptinhalt der Lektion. Bildung und Festigung des Verständnisses der Studierenden für die Formel zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms.	10	Erklärung des Lehrers. Heuristisches Gespräch
III. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten. Vertiefung des Gelernten	25	Probleme lösen. Antworten auf Fragen der Studierenden
IV. Wissenserwerb testen. Betrachtung	5	Botschaft des Lehrers. Schülernachricht
V. Hausaufgaben	3	Aufgabe auf Karten

Während des Unterrichts

I. Stadium der Wissensaktualisierung. Motivation für ein Lernproblem.

Zeit organisieren.

Heute werden wir in der Lektion das Wissen zum Thema „Faktorisierung eines quadratischen Trinoms“ verallgemeinern und systematisieren. Beachten Sie bei der Durchführung verschiedener Übungen, auf welche Punkte Sie beim Lösen von Gleichungen und praktischen Problemen besonders achten müssen. Dies ist bei der Prüfungsvorbereitung sehr wichtig.
Schreiben Sie das Thema der Lektion auf: „Faktorisierung eines quadratischen Trinoms.“ Beispiele lösen.“

II. Der Hauptinhalt der Lektion. Bildung und Festigung des Verständnisses der Studierenden für die Formel zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms.

Mündliche Arbeit.

– Um ein quadratisches Trinom erfolgreich zu faktorisieren, müssen Sie sich sowohl die Formel zum Finden der Diskriminante als auch die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung und die Formel zum Faktorisieren eines quadratischen Trinoms merken und diese in der Praxis anwenden.

1. Schauen Sie sich die Karten „Aussage fortsetzen oder erweitern“ an.

2. Schauen Sie sich die Tafel an.

1. Welches der vorgeschlagenen Polynome ist nicht quadratisch?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Geben Sie die Definition eines quadratischen Trinoms an. Definieren Sie die Wurzel eines Quadrattrinoms.

2. Welche Formel ist keine Formel zur Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – B+ ;
3) X 1,2 = .

3. Finden Sie die Koeffizienten a, b, c des quadratischen Trinoms – 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Welche der Formeln ist die Formel zur Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung?

x 2 +px+q= 0 nach dem Satz von Vieta?

1) X 1 +x 2 = p,
X 1 · X 2 = q.

2) X 1 +x 2 = –P,
X 1 · X 2 = q.

3)X 1 +x 2 = –P,
X 1 · X 2 = – q.

5. Erweitern Sie das quadratische Trinom X 2 – 11x + 18 für Multiplikatoren.

Antwort: ( X – 2)(X – 9)

6. Erweitern Sie das quadratische Trinom bei 2 – 9y + 20 für Multiplikatoren

Antwort: ( X – 4)(X – 5)

III. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten. Konsolidierung des untersuchten Materials.

1. Faktorisieren Sie das quadratische Trinom:
a) 3 X 2 – 8X + 2;
b) 6 X 2 – 5X + 1;
um 3 X 2 + 5X – 2;
d) -5 X 2 + 6X – 1.

2. Faktorisieren hilft uns bei der Reduzierung von Brüchen.

3. Finden Sie die Wurzeln des quadratischen Trinoms, ohne die Wurzelformel zu verwenden:
A) X 2 + 3X + 2 = 0;
B) X 2 – 9X + 20 = 0.

4. Bilden Sie ein quadratisches Trinom, dessen Wurzeln die Zahlen sind:
A) X 1 = 4; X 2 = 2;
B) X 1 = 3; X 2 = -6;

Selbstständige Arbeit.

Erledigen Sie die Aufgabe mithilfe der Optionen selbstständig und prüfen Sie sie anschließend. Die ersten beiden Aufgaben erfordern eine Antwort mit „Ja“ oder „Nein“. Aus jeder Option wird ein Schüler aufgerufen (er arbeitet an den Klappen der Tafel). Nach Abschluss der eigenständigen Arbeit an der Platine erfolgt eine gemeinsame Prüfung der Lösung. Die Studierenden bewerten ihre Arbeit.

1. Möglichkeit:

1. D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Die Zahl 2 ist die Wurzel der Gleichung x 2 + 3x – 10 = 0.

3. Faktorisieren Sie das quadratische Trinom 6 X 2 – 5X + 1;

2. Möglichkeit:

1. D>0. Die Gleichung hat 2 Wurzeln.

2. Die Zahl 3 ist die Wurzel der quadratischen Gleichung x 2 – x – 12 = 0.

3. Faktorisieren Sie das quadratische Trinom 2 X 2 – 5x + 3

IV. Wissenserwerb testen. Betrachtung.

– Die Lektion hat gezeigt, dass Sie das grundlegende theoretische Material dieses Themas kennen. Wir haben das Wissen zusammengefasst

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