Standardquadratische Gleichung. So lösen Sie quadratische Gleichungen

Bibliografische Beschreibung: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen // Junger Wissenschaftler. 2016. Nr. 6.1. S. 17-20.03.2019).



In unserem Projekt geht es um Möglichkeiten zur Lösung quadratischer Gleichungen. Ziel des Projekts: Lernen, quadratische Gleichungen auf Arten zu lösen, die nicht im Lehrplan der Schule enthalten sind. Aufgabe: Finden Sie alle Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen, lernen Sie, diese selbst anzuwenden und stellen Sie diese Methoden Ihren Klassenkameraden vor.

Was sind „quadratische Gleichungen“?

Quadratische Gleichung- Gleichung der Form Axt2 + bx + c = 0, Wo A, B, C- einige Zahlen ( a ≠ 0), X- Unbekannt.

Die Zahlen a, b, c heißen die Koeffizienten der quadratischen Gleichung.

• a heißt erster Koeffizient;
• b wird der zweite Koeffizient genannt;
• c – kostenloses Mitglied.

Wer war der Erste, der quadratische Gleichungen „erfand“?

Einige algebraische Techniken zur Lösung linearer und quadratischer Gleichungen waren bereits vor 4000 Jahren im antiken Babylon bekannt. Die Entdeckung alter babylonischer Tontafeln aus der Zeit zwischen 1800 und 1600 v. Chr. liefert den frühesten Beweis für das Studium quadratischer Gleichungen. Dieselben Tafeln enthalten Methoden zum Lösen bestimmter Arten quadratischer Gleichungen.

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur ersten, sondern auch zweiten Grades zu lösen, ergab sich schon in der Antike aus der Notwendigkeit, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Grundstücksflächen und auch mit Ausgrabungsarbeiten militärischer Art zu lösen ebenso wie die Entwicklung der Astronomie und Mathematik selbst.

Die in den babylonischen Texten dargelegte Regel zur Lösung dieser Gleichungen stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, es ist jedoch nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel gelangten. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte liefern lediglich Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten, ohne Hinweise darauf, wie sie gefunden wurden. Trotz des hohen Entwicklungsstands der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen.

Babylonische Mathematiker etwa ab dem 4. Jahrhundert v. Chr. verwendete die Quadratkomplementmethode, um Gleichungen mit positiven Wurzeln zu lösen. Um 300 v. Chr Euklid entwickelte eine allgemeinere geometrische Lösungsmethode. Der erste Mathematiker, der Lösungen für Gleichungen mit negativen Wurzeln in Form einer algebraischen Formel fand, war ein indischer Wissenschaftler Brahmagupta(Indien, 7. Jahrhundert n. Chr.).

Brahmagupta legte eine allgemeine Regel zur Lösung quadratischer Gleichungen fest, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden:

ax2 + bx = c, a>0

Die Koeffizienten in dieser Gleichung können auch negativ sein. Brahmaguptas Herrschaft ist im Wesentlichen dieselbe wie unsere.

Öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme waren in Indien üblich. In einem der alten indischen Bücher heißt es über solche Wettbewerbe: „Wie die Sonne mit ihrem Glanz die Sterne übertrifft, so wird ein gelehrter Mann in öffentlichen Versammlungen seinen Ruhm übertreffen, indem er algebraische Probleme vorschlägt und löst.“ Probleme wurden oft in poetischer Form dargestellt.

In einer algebraischen Abhandlung Al-Khwarizmi Es wird eine Klassifizierung linearer und quadratischer Gleichungen gegeben. Der Autor zählt 6 Arten von Gleichungen und drückt sie wie folgt aus:

1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d. h. ax2 = bx.

2) „Quadrate sind gleich Zahlen“, d. h. ax2 = c.

3) „Die Wurzeln sind gleich der Zahl“, d. h. ax2 = c.

4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d. h. ax2 + c = bx.

5) „Quadrate und Wurzeln sind gleich der Zahl“, d. h. ax2 + bx = c.

6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d. h. bx + c == ax2.

Für Al-Khwarizmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Addenden und keine Subtrahierbaren. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor stellt Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Techniken von al-jabr und al-mukabal vor. Seine Entscheidung stimmt natürlich nicht vollständig mit unserer überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sollte beispielsweise beachtet werden, dass Al-Khorezmi, wie alle Mathematiker bis zum 17. Jahrhundert, bei der Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung erster Art die Nulllösung nicht berücksichtigt. wahrscheinlich, weil es in bestimmten praktischen Aufgaben keine Rolle spielt. Bei der Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen legt Al-Khwarizmi die Regeln zu deren Lösung anhand bestimmter numerischer Beispiele und anschließend ihrer geometrischen Beweise fest.

Formen zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von Al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“ aus dem Jahr 1202 dargelegt. Italienischer Mathematiker Leonard Fibonacci. Der Autor entwickelte eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Lösung von Problemen und war der erste in Europa, der sich der Einführung negativer Zahlen näherte.

Dieses Buch trug zur Verbreitung algebraischer Kenntnisse nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Probleme aus diesem Buch wurden in fast allen europäischen Lehrbüchern des 14.-17. Jahrhunderts verwendet. Die allgemeine Regel zur Lösung quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form x2 + bх = с für alle möglichen Kombinationen von Vorzeichen und Koeffizienten b, c, wurde 1544 in Europa formuliert. M. Stiefel.

Die Ableitung der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form ist von Viète erhältlich, Viète erkannte jedoch nur positive Wurzeln. Italienische Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli zu den ersten im 16. Jahrhundert. Neben positiven werden auch negative Wurzeln berücksichtigt. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Bemühungen Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern nimmt die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form an.

Schauen wir uns verschiedene Möglichkeiten zur Lösung quadratischer Gleichungen an.

Standardmethoden zur Lösung quadratischer Gleichungen aus dem Schullehrplan:

1. Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.
2. Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.
3. Quadratische Gleichungen mit der Formel lösen.
4. Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung.
5. Lösen von Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Lassen Sie uns näher auf die Lösung reduzierter und nicht reduzierter quadratischer Gleichungen unter Verwendung des Satzes von Vieta eingehen.

Denken Sie daran, dass es zur Lösung der obigen quadratischen Gleichungen ausreicht, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt gleich dem freien Term ist und deren Summe gleich dem zweiten Koeffizienten mit entgegengesetztem Vorzeichen ist.

Beispiel.X 2 -5x+6=0

Sie müssen Zahlen finden, deren Produkt 6 und deren Summe 5 ist. Diese Zahlen sind 3 und 2.

Antwort: x 1 =2, x 2 =3.

Sie können diese Methode aber auch für Gleichungen verwenden, bei denen der erste Koeffizient ungleich eins ist.

Beispiel.3x 2 +2x-5=0

Nehmen Sie den ersten Koeffizienten und multiplizieren Sie ihn mit dem freien Term: x 2 +2x-15=0

Die Wurzeln dieser Gleichung sind Zahlen, deren Produkt gleich - 15 und deren Summe gleich - 2 ist. Diese Zahlen sind 5 und 3. Um die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zu finden, dividieren Sie die resultierenden Wurzeln durch den ersten Koeffizienten.

Antwort: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Gleichungen mit der „Wurf“-Methode lösen.

Betrachten Sie die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, wobei a≠0.

Wenn wir beide Seiten mit a multiplizieren, erhalten wir die Gleichung a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Sei ax = y, woraus x = y/a; dann erhalten wir die Gleichung y 2 + by + ac = 0, die der gegebenen entspricht. Wir finden seine Wurzeln für 1 und 2 mithilfe des Satzes von Vieta.

Wir erhalten schließlich x 1 = y 1 /a und x 2 = y 2 /a.

Bei dieser Methode wird der Koeffizient a mit dem freien Term multipliziert, als wäre er auf ihn „geworfen“, weshalb sie „Wurf“-Methode genannt wird. Diese Methode wird verwendet, wenn die Wurzeln der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta leicht gefunden werden können und, was am wichtigsten ist, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.

Beispiel.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Lassen Sie uns den Koeffizienten 2 auf den freien Term „werfen“, eine Substitution vornehmen und die Gleichung y 2 - 11y + 30 = 0 erhalten.

Nach dem Umkehrsatz von Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5;

Antwort: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung.

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Wenn a+ b + c = 0 (d. h. die Summe der Koeffizienten der Gleichung ist Null), dann ist x 1 = 1.

2. Wenn a - b + c = 0 oder b = a + c, dann ist x 1 = - 1.

Beispiel.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Da a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), dann ist x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Antwort: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Beispiel.132x 2 + 247x + 115 = 0

Weil a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), dann x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Antwort: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Es gibt andere Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung. aber ihre Verwendung ist komplexer.

8. Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm.

Abb. 1. Nomogramm

Dies ist eine alte und derzeit vergessene Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen, platziert auf Seite 83 der Sammlung: Bradis V.M. Vierstellige Mathematiktabellen. - M., Bildung, 1990.

Tabelle XXII. Nomogramm zur Lösung der Gleichung z 2 + pz + q = 0. Dieses Nomogramm ermöglicht es, ohne eine quadratische Gleichung zu lösen, die Wurzeln der Gleichung aus ihren Koeffizienten zu bestimmen.

Die krummlinige Skala des Nomogramms wird nach den Formeln erstellt (Abb. 1):

Glauben OS = p, ED = q, OE = a(alles in cm), aus Abb. 1 Ähnlichkeiten von Dreiecken SAN Und CDF wir bekommen den Anteil

was nach Substitutionen und Vereinfachungen die Gleichung ergibt z 2 + pz + q = 0, und der Brief z bezeichnet die Markierung eines beliebigen Punktes auf einer gekrümmten Skala.

Reis. 2 Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm

Beispiele.

1) Für die Gleichung z 2 - 9z + 8 = 0 Das Nomogramm ergibt die Wurzeln z 1 = 8,0 und z 2 = 1,0

Antwort:8,0; 1,0.

2) Mithilfe eines Nomogramms lösen wir die Gleichung

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Teilen Sie die Koeffizienten dieser Gleichung durch 2, wir erhalten die Gleichung z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Das Nomogramm ergibt Wurzeln z 1 = 4 und z 2 = 0,5.

Antwort: 4; 0,5.

9. Geometrische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen.

Beispiel.X 2 + 10x = 39.

Im Original wird dieses Problem wie folgt formuliert: „Das Quadrat und die zehn Wurzeln sind gleich 39.“

Betrachten Sie ein Quadrat mit der Seite x. An seinen Seiten werden Rechtecke so konstruiert, dass die andere Seite von jedem von ihnen 2,5 beträgt, daher beträgt die Fläche von jedem 2,5x. Die resultierende Figur wird dann zu einem neuen Quadrat ABCD ergänzt, wodurch in den Ecken vier gleiche Quadrate entstehen, deren Seitenlänge jeweils 2,5 und deren Fläche 6,25 beträgt

Reis. 3 Grafische Methode zur Lösung der Gleichung x 2 + 10x = 39

Die Fläche S des Quadrats ABCD kann als Summe der Flächen von: dem ursprünglichen Quadrat x 2, vier Rechtecken (4∙2,5x = 10x) und vier zusätzlichen Quadraten (6,25∙4 = 25) dargestellt werden, d. h. S = x 2 + 10x = 25. Wenn wir x 2 + 10x durch die Zahl 39 ersetzen, erhalten wir S = 39 + 25 = 64, was bedeutet, dass die Seite des Quadrats ABCD ist, d. h. Segment AB = 8. Für die benötigte Seite x des ursprünglichen Quadrats erhalten wir

10. Gleichungen mit dem Satz von Bezout lösen.

Satz von Bezout. Der Rest der Division des Polynoms P(x) durch das Binomial x - α ist gleich P(α) (d. h. der Wert von P(x) bei x = α).

Wenn die Zahl α die Wurzel des Polynoms P(x) ist, dann ist dieses Polynom ohne Rest durch x -α teilbar.

Beispiel.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Teilen Sie P(x) durch (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 oder x-3=0, x=3; Antwort: x1 =2, x2 =3.

Abschluss: Die Fähigkeit, quadratische Gleichungen schnell und rational zu lösen, ist für die Lösung komplexerer Gleichungen, wie z. B. gebrochener rationaler Gleichungen, Gleichungen höherer Potenz, biquadratischer Gleichungen und in der Oberstufe trigonometrischer, exponentieller und logarithmischer Gleichungen, von wesentlicher Bedeutung. Nachdem wir alle gefundenen Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen studiert haben, können wir unseren Klassenkameraden zusätzlich zu den Standardmethoden raten, nach der Übertragungsmethode (6) zu lösen und Gleichungen mithilfe der Koeffizienteneigenschaft (7) zu lösen, da diese leichter zugänglich sind zum Verständnis.

Literatur:

1. Bradis V.M. Vierstellige Mathematiktabellen. - M., Bildung, 1990.
2. Algebra 8. Klasse: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. Auflage, überarbeitet. - M.: Bildung, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Handbuch für Lehrer. / Ed. V.N. Jünger. - M.: Bildung, 1964.

Kopyevskaya ländliches Gymnasium

10 Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen

Leitung: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

Mathematiklehrer

Dorf Kopevo, 2007

1. Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen

1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon

1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste

1.3 Quadratische Gleichungen in Indien

1.4 Quadratische Gleichungen von al-Khorezmi

1.5 Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVII Jahrhunderte

1.6 Über den Satz von Vieta

2. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

Abschluss

Literatur

1. Geschichte der Entwicklung quadratischer Gleichungen

1.1 Quadratische Gleichungen im alten Babylon

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur ersten, sondern auch zweiten Grades zu lösen, ergab sich bereits in der Antike aus der Notwendigkeit, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Grundstücksflächen und auch mit Ausgrabungsarbeiten militärischer Art zu lösen ebenso wie die Entwicklung der Astronomie und Mathematik selbst. Quadratische Gleichungen konnten um 2000 v. Chr. gelöst werden. e. Babylonier.

Mit moderner algebraischer Notation können wir sagen, dass es in ihren Keilschrifttexten neben unvollständigen auch vollständige quadratische Gleichungen gibt:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Die in den babylonischen Texten dargelegte Regel zur Lösung dieser Gleichungen stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, es ist jedoch nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel gelangten. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte bieten lediglich Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten, ohne Hinweise darauf, wie sie gefunden wurden.

Trotz des hohen Entwicklungsstands der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen.

1.2 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste.

Die Arithmetik des Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, sondern eine systematische Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch die Konstruktion von Gleichungen unterschiedlichen Grades gelöst werden.

Beim Verfassen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen.

Hier liegt zum Beispiel eine seiner Aufgaben.

Aufgabe 11.„Finden Sie zwei Zahlen und wissen Sie, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist.“

Diophantus argumentiert wie folgt: Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass die erforderlichen Zahlen nicht gleich sind, denn wenn sie gleich wären, wäre ihr Produkt nicht gleich 96, sondern 100. Somit wäre eine von ihnen größer als die Hälfte ihrer Summe, d.h. . 10 + x, der andere ist weniger, d.h. 10er. Der Unterschied zwischen ihnen 2x .

Daher die Gleichung:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Von hier x = 2. Eine der erforderlichen Zahlen ist gleich 12 , andere 8 . Lösung x = -2 denn Diophantus existiert nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte.

Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir eine der benötigten Zahlen als Unbekannte wählen, dann kommen wir zu einer Lösung der Gleichung

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Es ist klar, dass Diophantus die Lösung vereinfacht, indem er die halbe Differenz der erforderlichen Zahlen als Unbekannte wählt; es gelingt ihm, das Problem auf die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung (1) zu reduzieren.

1.3 Quadratische Gleichungen in Indien

Probleme zu quadratischen Gleichungen finden sich bereits in der astronomischen Abhandlung „Aryabhattiam“, die 499 vom indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta verfasst wurde. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (7. Jahrhundert), skizzierte eine allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden:

ah 2 + B x = c, a > 0. (1)

In Gleichung (1) sind die Koeffizienten, außer A, kann auch negativ sein. Brahmaguptas Herrschaft ist im Wesentlichen dieselbe wie unsere.

Im alten Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher heißt es über solche Wettbewerbe: „Wie die Sonne mit ihrem Glanz die Sterne übertrifft, so wird ein gelehrter Mann in öffentlichen Versammlungen den Ruhm eines anderen in den Schatten stellen und algebraische Probleme vorschlagen und lösen.“ Probleme wurden oft in poetischer Form dargestellt.

Dies ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskars.

Aufgabe 13.

„Ein Schwarm verspielter Affen und zwölf entlang der Weinreben ...

Die Behörden hatten nach dem Essen Spaß. Sie fingen an zu springen, zu hängen...

Da sind sie auf dem Platz, Teil acht. Wie viele Affen gab es?

Ich hatte Spaß auf der Lichtung. Sag mir, in diesem Paket?

Bhaskaras Lösung zeigt, dass er wusste, dass die Wurzeln quadratischer Gleichungen zweiwertig sind (Abb. 3).

Die Gleichung zu Aufgabe 13 lautet:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara schreibt unter dem Deckmantel:

x 2 - 64x = -768

und um die linke Seite dieser Gleichung zu quadrieren, addiert man beide Seiten 32 2 , dann erhalten:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Quadratische Gleichungen in al-Khorezmi

In der algebraischen Abhandlung von al-Khorezmi wird eine Klassifizierung linearer und quadratischer Gleichungen gegeben. Der Autor zählt 6 Arten von Gleichungen und drückt sie wie folgt aus:

1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d. h. Axt 2 + c = B X.

2) „Quadrate sind gleich Zahlen“, d.h. Axt 2 = c.

3) „Die Wurzeln sind gleich der Zahl“, d.h. ah = s.

4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d. h. Axt 2 + c = B X.

5) „Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahlen“, d. h. ah 2 + bx = s.

6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d. h. bx + c = Axt 2 .

Für al-Khorezmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Addenden und keine Subtrahierbaren. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor stellt Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Techniken von al-Jabr und al-Muqabala vor. Seine Entscheidungen stimmen natürlich nicht vollständig mit unseren überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sollte beispielsweise beachtet werden, dass bei der Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung erster Art

al-Khorezmi berücksichtigt, wie alle Mathematiker vor dem 17. Jahrhundert, die Nulllösung nicht, wahrscheinlich weil sie bei bestimmten praktischen Problemen keine Rolle spielt. Bei der Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen legt al-Khorezmi die Regeln zu deren Lösung anhand bestimmter numerischer Beispiele und anschließender geometrischer Beweise fest.

Aufgabe 14.„Das Quadrat und die Zahl 21 entsprechen 10 Wurzeln. Finde die Wurzel“ (was die Wurzel der Gleichung x 2 + 21 = 10x impliziert).

Die Lösung des Autors sieht ungefähr so ​​aus: Teile die Anzahl der Wurzeln in zwei Hälften, du erhältst 5, multipliziere 5 mit sich selbst, subtrahiere 21 vom Produkt, was übrig bleibt ist 4. Ziehe die Wurzel aus 4, du erhältst 2. Subtrahiere 2 von 5 , erhalten Sie 3, dies ist die gewünschte Wurzel. Oder addieren Sie 2 zu 5, was 7 ergibt, das ist auch eine Wurzel.

Die Abhandlung von al-Khorezmi ist das erste uns überlieferte Buch, das systematisch die Klassifikation quadratischer Gleichungen darlegt und Formeln zu ihrer Lösung angibt.

1.5 Quadratische Gleichungen in Europa XIII - XVII bb

Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im Buch Abakus dargelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Dieses umfangreiche Werk, das den Einfluss der Mathematik sowohl aus den Ländern des Islam als auch aus dem antiken Griechenland widerspiegelt, zeichnet sich durch seine Vollständigkeit und Klarheit der Darstellung aus. Der Autor entwickelte eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Lösung von Problemen und war der erste in Europa, der sich der Einführung negativer Zahlen näherte. Sein Buch trug zur Verbreitung algebraischer Kenntnisse nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Probleme aus dem Buch Abakus wurden in fast allen europäischen Lehrbüchern des 16. bis 17. Jahrhunderts verwendet. und teilweise XVIII.

Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen reduziert auf eine einzige kanonische Form:

x 2 + bx = c,

für alle möglichen Kombinationen von Koeffizientenzeichen B , Mit wurde in Europa erst 1544 von M. Stiefel formuliert.

Die Ableitung der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form ist von Viète erhältlich, Viète erkannte jedoch nur positive Wurzeln. Zu den ersten im 16. Jahrhundert gehörten die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano und Bombelli. Neben positiven werden auch negative Wurzeln berücksichtigt. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeit von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern erhält die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form.

1.6 Über den Satz von Vieta

Der nach Vieta benannte Satz, der die Beziehung zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln ausdrückt, wurde von ihm erstmals 1591 wie folgt formuliert: „Wenn B + D, multipliziert mit A - A 2 , gleich BD, Das A gleicht IN und gleich D ».

Um Vieta zu verstehen, sollten wir uns daran erinnern A, wie jeder Vokalbuchstabe, bedeutete das Unbekannte (unser X), Vokale IN, D- Koeffizienten für das Unbekannte. In der Sprache der modernen Algebra bedeutet die obige Vieta-Formulierung: wenn vorhanden

(ein + B )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + B )x + a B = 0,

x 1 = a, x 2 = B .

Viète drückte die Beziehung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten von Gleichungen mit allgemeinen Formeln aus, die unter Verwendung von Symbolen geschrieben wurden, und stellte eine Einheitlichkeit in den Methoden zur Lösung von Gleichungen her. Allerdings ist die Symbolik Vietnams noch weit von ihrer modernen Form entfernt. Er kannte keine negativen Zahlen und berücksichtigte daher beim Lösen von Gleichungen nur Fälle, in denen alle Wurzeln positiv waren.

2. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind die Grundlage, auf der das majestätische Gebäude der Algebra ruht. Quadratische Gleichungen werden häufig zur Lösung trigonometrischer, exponentieller, logarithmischer, irrationaler und transzendentaler Gleichungen und Ungleichungen verwendet. Wir alle wissen von der Schule (8. Klasse) bis zum Abschluss, wie man quadratische Gleichungen löst.

Wir beschäftigen uns weiterhin mit dem Thema „ Gleichungen lösen" Wir haben uns bereits mit linearen Gleichungen vertraut gemacht und beginnen mit der Einarbeitung quadratische Gleichungen.

Zunächst werden wir uns ansehen, was eine quadratische Gleichung ist, wie sie in allgemeiner Form geschrieben wird, und entsprechende Definitionen geben. Anschließend werden wir anhand von Beispielen im Detail untersuchen, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden. Als nächstes werden wir mit der Lösung vollständiger Gleichungen fortfahren, die Wurzelformel ermitteln, uns mit der Diskriminante einer quadratischen Gleichung vertraut machen und Lösungen für typische Beispiele betrachten. Lassen Sie uns abschließend die Zusammenhänge zwischen den Wurzeln und Koeffizienten verfolgen.

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Was ist eine quadratische Gleichung? Ihre Typen

Zuerst müssen Sie klar verstehen, was eine quadratische Gleichung ist. Daher ist es logisch, ein Gespräch über quadratische Gleichungen mit der Definition einer quadratischen Gleichung sowie verwandten Definitionen zu beginnen. Anschließend können Sie die wichtigsten Arten quadratischer Gleichungen betrachten: reduzierte und nichtreduzierte sowie vollständige und unvollständige Gleichungen.

Definition und Beispiele quadratischer Gleichungen

Definition.

Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a x 2 +b x+c=0, wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und a ungleich Null ist.

Sagen wir gleich, dass quadratische Gleichungen oft als Gleichungen zweiten Grades bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass die Gleichung quadratisch ist algebraische Gleichung zweiter Grad.

Die angegebene Definition ermöglicht es uns, Beispiele für quadratische Gleichungen zu geben. Also 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 usw. Das sind quadratische Gleichungen.

Definition.

Zahlen a, b und c heißen Koeffizienten der quadratischen Gleichung a·x 2 +b·x+c=0, und der Koeffizient a wird der erste oder höchste oder der Koeffizient von x 2 genannt, b ist der zweite Koeffizient oder der Koeffizient von x, und c ist der freie Term .

Nehmen wir zum Beispiel eine quadratische Gleichung der Form 5 x 2 −2 x −3=0, hier ist der führende Koeffizient 5, der zweite Koeffizient ist gleich −2 und der freie Term ist gleich −3. Bitte beachten Sie, dass, wenn die Koeffizienten b und/oder c negativ sind, wie im gerade gegebenen Beispiel, die Kurzform der quadratischen Gleichung 5 x 2 −2 x−3=0 und nicht 5 x 2 +(−2 ) lautet. ·x+(−3)=0 .

Es ist erwähnenswert, dass die Koeffizienten a und/oder b, wenn sie gleich 1 oder −1 sind, normalerweise nicht explizit in der quadratischen Gleichung vorkommen, was auf die Besonderheiten der Schreibweise zurückzuführen ist. Beispielsweise ist in der quadratischen Gleichung y 2 −y+3=0 der führende Koeffizient eins und der Koeffizient von y gleich −1.

Reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen

Abhängig vom Wert des Leitkoeffizienten werden reduzierte und nichtreduzierte quadratische Gleichungen unterschieden. Geben wir die entsprechenden Definitionen an.

Definition.

Eine quadratische Gleichung, in der der führende Koeffizient 1 ist, wird aufgerufen gegebene quadratische Gleichung. Ansonsten lautet die quadratische Gleichung unberührt.

Nach dieser Definition sind quadratische Gleichungen x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 usw. – gegeben, in jedem von ihnen ist der erste Koeffizient gleich eins. A 5 x 2 −x−1=0 usw. - nichtreduzierte quadratische Gleichungen, deren führende Koeffizienten von 1 verschieden sind.

Aus jeder nicht reduzierten quadratischen Gleichung können Sie durch Division beider Seiten durch den führenden Koeffizienten zur reduzierten Gleichung gelangen. Diese Aktion ist eine äquivalente Transformation, das heißt, die auf diese Weise erhaltene reduzierte quadratische Gleichung hat dieselben Wurzeln wie die ursprüngliche nicht reduzierte quadratische Gleichung oder hat, wie diese, keine Wurzeln.

Schauen wir uns ein Beispiel an, wie der Übergang von einer nicht reduzierten quadratischen Gleichung zu einer reduzierten erfolgt.

Beispiel.

Gehen Sie von der Gleichung 3 x 2 +12 x−7=0 zur entsprechenden reduzierten quadratischen Gleichung.

Lösung.

Wir müssen nur beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch den führenden Koeffizienten 3 dividieren, dieser ist ungleich Null, damit wir diese Aktion ausführen können. Wir haben (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, was dasselbe ist, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, und dann (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, von wo . So haben wir die reduzierte quadratische Gleichung erhalten, die der ursprünglichen entspricht.

Antwort:

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Die Definition einer quadratischen Gleichung enthält die Bedingung a≠0. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Gleichung a x 2 + b x + c = 0 quadratisch ist, da sie bei a = 0 tatsächlich zu einer linearen Gleichung der Form b x + c = 0 wird.

Die Koeffizienten b und c können sowohl einzeln als auch zusammen gleich Null sein. In diesen Fällen wird die quadratische Gleichung als unvollständig bezeichnet.

Definition.

Die quadratische Gleichung a x 2 +b x+c=0 heißt unvollständig, wenn mindestens einer der Koeffizienten b, c gleich Null ist.

Wiederum

Definition.

Vollständige quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der alle Koeffizienten von Null verschieden sind.

Solche Namen wurden nicht zufällig vergeben. Dies wird aus den folgenden Diskussionen deutlich werden.

Wenn der Koeffizient b Null ist, nimmt die quadratische Gleichung die Form a·x 2 +0·x+c=0 an und ist äquivalent zur Gleichung a·x 2 +c=0. Wenn c=0, das heißt, die quadratische Gleichung hat die Form a·x 2 +b·x+0=0, dann kann sie als a·x 2 +b·x=0 umgeschrieben werden. Und mit b=0 und c=0 erhalten wir die quadratische Gleichung a·x 2 =0. Die resultierenden Gleichungen unterscheiden sich von der vollständigen quadratischen Gleichung dadurch, dass ihre linken Seiten weder einen Term mit der Variablen x noch einen freien Term oder beides enthalten. Daher ihr Name – unvollständige quadratische Gleichungen.

Die Gleichungen x 2 +x+1=0 und −2 x 2 −5 x+0,2=0 sind also Beispiele für vollständige quadratische Gleichungen, und x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sind unvollständige quadratische Gleichungen.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Aus den Informationen im vorherigen Absatz folgt, dass dies der Fall ist drei Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen:

• a·x 2 =0, ihm entsprechen die Koeffizienten b=0 und c=0;
• a x 2 +c=0 wenn b=0 ;
• und a·x 2 +b·x=0, wenn c=0.

Lassen Sie uns der Reihe nach untersuchen, wie unvollständige quadratische Gleichungen jedes dieser Typen gelöst werden.

a x 2 =0

Beginnen wir mit der Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen, in denen die Koeffizienten b und c gleich Null sind, also mit Gleichungen der Form a x 2 =0. Die Gleichung a·x 2 =0 entspricht der Gleichung x 2 =0, die man aus dem Original erhält, indem man beide Teile durch eine von Null verschiedene Zahl a dividiert. Offensichtlich ist die Wurzel der Gleichung x 2 =0 Null, da 0 2 =0. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was dadurch erklärt wird, dass für jede Zahl p ungleich Null die Ungleichung p 2 >0 gilt, was bedeutet, dass für p≠0 die Gleichheit p 2 =0 nie erreicht wird.

Die unvollständige quadratische Gleichung a·x 2 =0 hat also eine einzige Wurzel x=0.

Als Beispiel geben wir die Lösung der unvollständigen quadratischen Gleichung −4 x 2 =0. Sie entspricht der Gleichung x 2 =0, ihre einzige Wurzel ist x=0, daher hat die ursprüngliche Gleichung eine einzige Nullstelle.

Eine kurze Lösung in diesem Fall kann wie folgt geschrieben werden:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Schauen wir uns nun an, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden, in denen der Koeffizient b Null und c≠0 ist, also Gleichungen der Form a x 2 +c=0. Wir wissen, dass das Verschieben eines Termes von einer Seite der Gleichung auf die andere mit dem entgegengesetzten Vorzeichen sowie die Division beider Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null eine äquivalente Gleichung ergibt. Daher können wir die folgenden äquivalenten Transformationen der unvollständigen quadratischen Gleichung a x 2 +c=0 durchführen:

• Verschiebe c auf die rechte Seite, was die Gleichung a x 2 =−c ergibt,
• und dividiere beide Seiten durch a, wir erhalten .

Die resultierende Gleichung lässt Rückschlüsse auf ihre Wurzeln zu. Abhängig von den Werten von a und c kann der Wert des Ausdrucks negativ (z. B. wenn a=1 und c=2, dann) oder positiv (z. B. wenn a=−2 und c=6 ist) sein. dann ist es nicht Null, da nach der Bedingung c≠0. Schauen wir uns die Fälle separat an.

Wenn, dann hat die Gleichung keine Wurzeln. Diese Aussage folgt aus der Tatsache, dass das Quadrat jeder Zahl eine nichtnegative Zahl ist. Daraus folgt, dass wann für jede Zahl p die Gleichheit nicht wahr sein kann.

Wenn , dann ist die Situation mit den Wurzeln der Gleichung anders. Wenn wir uns in diesem Fall an erinnern, wird die Wurzel der Gleichung sofort offensichtlich; Es ist leicht zu erraten, dass die Zahl tatsächlich auch die Wurzel der Gleichung ist. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was beispielsweise durch Widerspruch gezeigt werden kann. Lass es uns tun.

Bezeichnen wir die Wurzeln der gerade angekündigten Gleichung mit x 1 und −x 1 . Angenommen, die Gleichung hat eine weitere Wurzel x 2, die sich von den angegebenen Wurzeln x 1 und −x 1 unterscheidet. Es ist bekannt, dass das Einsetzen seiner Wurzeln in eine Gleichung anstelle von x die Gleichung in eine korrekte numerische Gleichheit umwandelt. Für x 1 und −x 1 gilt , und für x 2 gilt . Die Eigenschaften numerischer Gleichungen ermöglichen es uns, Term für Term korrekte numerische Gleichungen zu subtrahieren. Die Subtraktion der entsprechenden Teile der Gleichungen ergibt also x 1 2 −x 2 2 =0. Die Eigenschaften von Operationen mit Zahlen ermöglichen es uns, die resultierende Gleichheit als (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 umzuschreiben. Wir wissen, dass das Produkt zweier Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens eine davon gleich Null ist. Daher folgt aus der resultierenden Gleichheit, dass x 1 −x 2 =0 und/oder x 1 +x 2 =0, was dasselbe ist, x 2 =x 1 und/oder x 2 =−x 1. Damit kamen wir zu einem Widerspruch, da wir zu Beginn sagten, dass die Wurzel der Gleichung x 2 von x 1 und −x 1 verschieden sei. Dies beweist, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln als und hat.

Fassen wir die Informationen in diesem Absatz zusammen. Die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 +c=0 entspricht der Gleichung that

• hat keine Wurzeln, wenn ,
• hat zwei Wurzeln und , wenn .

Betrachten wir Beispiele für die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen der Form a·x 2 +c=0.

Beginnen wir mit der quadratischen Gleichung 9 x 2 +7=0. Nachdem der freie Term auf die rechte Seite der Gleichung verschoben wurde, nimmt er die Form 9 x 2 =−7 an. Wenn wir beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 9 dividieren, erhalten wir . Da die rechte Seite eine negative Zahl hat, hat diese Gleichung keine Wurzeln, daher hat die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 x 2 +7 = 0 keine Wurzeln.

Lösen wir eine weitere unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0. Wir verschieben die Neun auf die rechte Seite: −x 2 =−9. Teilen wir nun beide Seiten durch −1, erhalten wir x 2 =9. Auf der rechten Seite steht eine positive Zahl, woraus wir schließen, dass oder . Dann schreiben wir die endgültige Antwort auf: Die unvollständige quadratische Gleichung −x 2 +9=0 hat zwei Wurzeln x=3 oder x=−3.

a x 2 +b x=0

Es bleibt noch die Lösung der letzten Art unvollständiger quadratischer Gleichungen für c=0. Sie können unvollständige quadratische Gleichungen der Form a x 2 + b x = 0 lösen Faktorisierungsmethode. Offensichtlich können wir dies auf der linken Seite der Gleichung tun, wofür es ausreicht, den gemeinsamen Faktor x aus den Klammern zu nehmen. Dadurch können wir von der ursprünglichen unvollständigen quadratischen Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung der Form x·(a·x+b)=0 übergehen. Und diese Gleichung entspricht einem Satz von zwei Gleichungen x=0 und a·x+b=0, wobei letztere linear ist und eine Wurzel x=−b/a hat.

Die unvollständige quadratische Gleichung a·x 2 +b·x=0 hat also zwei Wurzeln x=0 und x=−b/a.

Um das Material zu festigen, analysieren wir die Lösung anhand eines konkreten Beispiels.

Beispiel.

Löse die Gleichung.

Lösung.

Nimmt man x aus der Klammer, erhält man die Gleichung. Es entspricht zwei Gleichungen x=0 und . Wir lösen die resultierende lineare Gleichung: und indem wir die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch dividieren, finden wir . Daher sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung x=0 und .

Wenn man die nötige Übung erlangt hat, können Lösungen für solche Gleichungen kurz geschrieben werden:

Antwort:

x=0 , .

Diskriminante, Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Um quadratische Gleichungen zu lösen, gibt es eine Wurzelformel. Schreiben wir es auf Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung: , Wo D=b 2 −4 a c- sogenannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Der Eintrag bedeutet im Wesentlichen, dass .

Es ist hilfreich zu wissen, wie die Wurzelformel abgeleitet wurde und wie sie zum Finden der Wurzeln quadratischer Gleichungen verwendet wird. Lassen Sie uns das herausfinden.

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir müssen die quadratische Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 lösen. Lassen Sie uns einige äquivalente Transformationen durchführen:

• Wir können beide Seiten dieser Gleichung durch eine Zahl a ungleich Null dividieren, was zu der folgenden quadratischen Gleichung führt.
• Jetzt Wähle ein vollständiges Quadrat aus auf der linken Seite: . Danach nimmt die Gleichung die Form an.
• In diesem Stadium ist es möglich, die letzten beiden Terme mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite zu übertragen, wir haben .
• Und lasst uns auch den Ausdruck auf der rechten Seite umwandeln: .

Als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung, die der ursprünglichen quadratischen Gleichung a·x 2 +b·x+c=0 entspricht.

Gleichungen ähnlicher Form haben wir bereits in den vorangegangenen Absätzen gelöst, als wir sie untersucht haben. Daraus können wir folgende Schlussfolgerungen bezüglich der Wurzeln der Gleichung ziehen:

• wenn , dann hat die Gleichung keine reellen Lösungen;
• wenn, dann hat die Gleichung also die Form, aus der ihre einzige Wurzel sichtbar ist;
• wenn, dann oder, was dasselbe ist wie oder, das heißt, die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Somit hängt das Vorhandensein oder Fehlen von Wurzeln der Gleichung und damit der ursprünglichen quadratischen Gleichung vom Vorzeichen des Ausdrucks auf der rechten Seite ab. Das Vorzeichen dieses Ausdrucks wird wiederum durch das Vorzeichen des Zählers bestimmt, da der Nenner 4·a 2 immer positiv ist, also durch das Vorzeichen des Ausdrucks b 2 −4·a·c. Dieser Ausdruck wurde b 2 −4 a c genannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung und durch den Buchstaben bezeichnet D. Von hier aus ist das Wesen der Diskriminante klar – basierend auf ihrem Wert und Vorzeichen schließen sie, ob die quadratische Gleichung echte Wurzeln hat, und wenn ja, welche Zahl hat sie – eins oder zwei.

Kehren wir zur Gleichung zurück und schreiben sie mit der Diskriminanzschreibweise um: . Und wir ziehen Schlussfolgerungen:

• wenn D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• wenn D=0, dann hat diese Gleichung eine einzige Wurzel;
• schließlich, wenn D>0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln oder, die in die Form oder umgeschrieben werden können, und nachdem wir die Brüche erweitert und auf einen gemeinsamen Nenner gebracht haben, erhalten wir.

Also haben wir die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung abgeleitet, sie sehen so aus, wobei die Diskriminante D durch die Formel D=b 2 −4·a·c berechnet wird.

Mit ihrer Hilfe können Sie mit einer positiven Diskriminante beide reellen Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnen. Wenn die Diskriminante gleich Null ist, ergeben beide Formeln den gleichen Wert der Wurzel, was einer eindeutigen Lösung der quadratischen Gleichung entspricht. Und wenn wir bei einer negativen Diskriminante versuchen, die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, müssen wir die Quadratwurzel einer negativen Zahl ziehen, was den Rahmen des Schullehrplans sprengt. Bei einer negativen Diskriminante hat die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln, sondern ein Paar komplexes Konjugat Wurzeln, die mit denselben Wurzelformeln gefunden werden können, die wir erhalten haben.

Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen mithilfe von Wurzelformeln

In der Praxis können Sie beim Lösen quadratischer Gleichungen sofort die Wurzelformel verwenden, um deren Werte zu berechnen. Dies hängt jedoch eher mit der Suche nach komplexen Wurzeln zusammen.

Allerdings sprechen wir in einem Schulalgebrakurs meist nicht über komplexe, sondern über reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung. In diesem Fall ist es ratsam, vor der Verwendung der Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zunächst die Diskriminante zu finden und sicherzustellen, dass sie nicht negativ ist (andernfalls können wir daraus schließen, dass die Gleichung keine echten Wurzeln hat). und erst dann die Werte der Wurzeln berechnen.

Die obige Argumentation ermöglicht es uns zu schreiben Algorithmus zur Lösung einer quadratischen Gleichung. Um die quadratische Gleichung a x 2 +b x+c=0 zu lösen, müssen Sie:

• Berechnen Sie unter Verwendung der Diskriminanzformel D=b 2 −4·a·c seinen Wert;
• schlussfolgern, dass eine quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln hat, wenn die Diskriminante negativ ist;
• Berechnen Sie die einzige Wurzel der Gleichung mit der Formel, wenn D=0;
• Finden Sie zwei reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung mithilfe der Wurzelformel, wenn die Diskriminante positiv ist.

Hier stellen wir nur fest, dass Sie die Formel auch verwenden können, wenn die Diskriminante gleich Null ist.

Sie können mit Beispielen für die Verwendung des Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen fortfahren.

Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen

Betrachten wir Lösungen für drei quadratische Gleichungen mit einer positiven, negativen und Null-Diskriminante. Nachdem wir uns mit ihrer Lösung beschäftigt haben, wird es analog möglich sein, jede andere quadratische Gleichung zu lösen. Lass uns anfangen.

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung x 2 +2·x−6=0.

Lösung.

In diesem Fall haben wir die folgenden Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=1, b=2 und c=−6. Gemäß dem Algorithmus müssen Sie zunächst die Diskriminante berechnen; dazu setzen wir die angegebenen a, b und c in die Diskriminantenformel ein, die wir haben D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Da 28>0, also die Diskriminante größer als Null ist, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Wurzeln. Finden wir sie mithilfe der Wurzelformel, die wir erhalten. Hier können Sie die resultierenden Ausdrücke vereinfachen, indem Sie Folgendes tun Verschieben des Multiplikators über das Wurzelzeichen hinaus gefolgt von der Reduzierung des Bruchs:

Antwort:

Kommen wir zum nächsten typischen Beispiel.

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Gleichung −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lösung.

Wir beginnen mit der Bestimmung der Diskriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Daher hat diese quadratische Gleichung eine einzige Wurzel, die wir als finden, d. h.

Antwort:

x=3,5.

Es bleibt zu überlegen, quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante zu lösen.

Beispiel.

Lösen Sie die Gleichung 5·y 2 +6·y+2=0.

Lösung.

Hier sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a=5, b=6 und c=2. Wir setzen diese Werte in die Diskriminanzformel ein, die wir haben D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Die Diskriminante ist negativ, daher hat diese quadratische Gleichung keine echten Wurzeln.

Wenn Sie komplexe Wurzeln angeben müssen, wenden wir die bekannte Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung an und führen sie durch Operationen mit komplexen Zahlen:

Antwort:

Es gibt keine echten Wurzeln, komplexe Wurzeln sind: .

Beachten wir noch einmal: Wenn die Diskriminante einer quadratischen Gleichung negativ ist, schreiben sie in der Schule normalerweise sofort eine Antwort auf, in der sie darauf hinweisen, dass es keine echten Wurzeln gibt und keine komplexen Wurzeln gefunden werden.

Wurzelformel für gerade zweite Koeffizienten

Mit der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit D=b 2 −4·a·c können Sie eine Formel mit einer kompakteren Form erhalten, mit der Sie quadratische Gleichungen mit einem geraden Koeffizienten für x (oder einfach mit a) lösen können Koeffizient der Form 2·n zum Beispiel oder 14· ln5=2·7·ln5 ). Holen wir sie raus.

Nehmen wir an, wir müssen eine quadratische Gleichung der Form a x 2 +2 n x+c=0 lösen. Lassen Sie uns seine Wurzeln anhand der Formel finden, die wir kennen. Dazu berechnen wir die Diskriminante D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), und dann verwenden wir die Wurzelformel:

Bezeichnen wir den Ausdruck n 2 −a c als D 1 (manchmal wird er auch mit D " bezeichnet). Dann nimmt die Formel für die Wurzeln der betrachteten quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n die Form an , wobei D 1 =n 2 −a·c.

Es ist leicht zu erkennen, dass D=4·D 1 oder D 1 =D/4. Mit anderen Worten, D 1 ist der vierte Teil der Diskriminante. Es ist klar, dass das Vorzeichen von D 1 das gleiche ist wie das Vorzeichen von D . Das heißt, das Zeichen D 1 ist auch ein Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen von Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Um also eine quadratische Gleichung mit einem zweiten Koeffizienten 2·n zu lösen, benötigen Sie

• Berechnen Sie D 1 =n 2 −a·c ;
• Wenn D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Wenn D 1 =0, dann berechnen Sie die einzige Wurzel der Gleichung mit der Formel;
• Wenn D 1 >0, dann finden Sie mithilfe der Formel zwei reelle Wurzeln.

Betrachten wir die Lösung des Beispiels mithilfe der in diesem Absatz erhaltenen Wurzelformel.

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Gleichung 5 x 2 −6 x −32=0 .

Lösung.

Der zweite Koeffizient dieser Gleichung kann als 2·(−3) dargestellt werden. Das heißt, Sie können die ursprüngliche quadratische Gleichung in der Form 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, hier a=5, n=−3 und c=−32, umschreiben und den vierten Teil davon berechnen Diskriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Da ihr Wert positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln. Finden wir sie mithilfe der entsprechenden Wurzelformel:

Beachten Sie, dass es möglich war, die übliche Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu verwenden, in diesem Fall wäre jedoch mehr Rechenarbeit erforderlich.

Antwort:

Vereinfachung der Form quadratischer Gleichungen

Bevor man mit der Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung mithilfe von Formeln beginnt, kann es manchmal nicht schaden, die Frage zu stellen: „Ist es möglich, die Form dieser Gleichung zu vereinfachen?“ Stimmen Sie zu, dass es rechnerisch einfacher sein wird, die quadratische Gleichung 11 x 2 −4 x−6=0 zu lösen als 1100 x 2 −400 x−600=0.

Typischerweise wird die Form einer quadratischen Gleichung vereinfacht, indem beide Seiten mit einer bestimmten Zahl multipliziert oder dividiert werden. Im vorherigen Absatz war es beispielsweise möglich, die Gleichung 1100 x 2 −400 x −600=0 zu vereinfachen, indem beide Seiten durch 100 dividiert wurden.

Eine ähnliche Transformation wird mit quadratischen Gleichungen durchgeführt, deren Koeffizienten nicht sind. In diesem Fall werden normalerweise beide Seiten der Gleichung durch die Absolutwerte ihrer Koeffizienten dividiert. Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Gleichung 12 x 2 −42 x+48=0. absolute Werte seiner Koeffizienten: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Wenn wir beide Seiten der ursprünglichen quadratischen Gleichung durch 6 dividieren, erhalten wir die äquivalente quadratische Gleichung 2 x 2 −7 x+8=0.

Und die Multiplikation beider Seiten einer quadratischen Gleichung erfolgt normalerweise, um gebrochene Koeffizienten zu entfernen. In diesem Fall erfolgt die Multiplikation mit den Nennern seiner Koeffizienten. Wenn beispielsweise beide Seiten der quadratischen Gleichung mit LCM(6, 3, 1)=6 multipliziert werden, nimmt sie die einfachere Form x 2 +4·x−18=0 an.

Abschließend stellen wir fest, dass sie das Minus am höchsten Koeffizienten einer quadratischen Gleichung fast immer dadurch entfernen, dass sie die Vorzeichen aller Terme ändern, was einer Multiplikation (oder Division) beider Seiten mit −1 entspricht. Beispielsweise geht man normalerweise von der quadratischen Gleichung −2 x 2 −3 x+7=0 zur Lösung 2 x 2 +3 x−7=0 über.

Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung drückt die Wurzeln der Gleichung durch ihre Koeffizienten aus. Basierend auf der Wurzelformel können Sie andere Beziehungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten ermitteln.

Die bekanntesten und anwendbarsten Formeln aus dem Satz von Vieta haben die Form und . Insbesondere ist für die gegebene quadratische Gleichung die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit entgegengesetztem Vorzeichen und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Wenn wir uns zum Beispiel die Form der quadratischen Gleichung 3 x 2 −7 x + 22 = 0 ansehen, können wir sofort sagen, dass die Summe ihrer Wurzeln gleich 7/3 und das Produkt der Wurzeln gleich 22 ist /3.

Mit den bereits geschriebenen Formeln können Sie eine Reihe weiterer Zusammenhänge zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der quadratischen Gleichung herstellen. Sie können beispielsweise die Summe der Quadrate der Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch ihre Koeffizienten ausdrücken: .

Referenzliste.

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• Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0.
Wenden wir auf das quadratische Trinom ax 2 + bx + c die gleichen Transformationen an, die wir in § 13 durchgeführt haben, als wir den Satz bewiesen haben, dass der Graph der Funktion y = ax 2 + bx + c eine Parabel ist.
Wir haben

Normalerweise wird der Ausdruck b 2 - 4ac mit dem Buchstaben D bezeichnet und als Diskriminante der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 (oder Diskriminante des quadratischen Trinoms ax + bx + c) bezeichnet.

Auf diese Weise

Dies bedeutet, dass die quadratische Gleichung ax 2 + them + c = O in die Form umgeschrieben werden kann

Jede quadratische Gleichung kann in die Form (1) umgewandelt werden, was, wie wir jetzt sehen werden, praktisch ist, um die Anzahl der Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu bestimmen und diese Wurzeln zu finden.

Nachweisen. Wenn D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Lösung. Hier ist a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Da D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Nachweisen. Wenn D = 0, dann nimmt Gleichung (1) die Form an

ist die einzige Wurzel der Gleichung.

Anmerkung 1. Erinnern Sie sich, dass x = - die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel ist, die als Graph der Funktion y = ax 2 + them + c dient? Warum das
Es stellte sich heraus, dass der Wert die einzige Wurzel der quadratischen Gleichung ax 2 + sie + c - 0 war? Die „Schatulle“ öffnet sich einfach: Wenn D 0 ist, dann gilt, wie wir zuvor festgestellt haben,

Graph derselben Funktion ist eine Parabel mit einem Scheitelpunkt in einem Punkt (siehe zum Beispiel Abb. 98). Das bedeutet, dass die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel und die einzige Wurzel der quadratischen Gleichung für D = 0 die gleiche Zahl sind.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Lösung. Hier ist a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Da D = 0 ist, hat diese quadratische Gleichung nach Satz 2 eine Wurzel. Diese Wurzel wird durch die Formel gefunden

Antwort: 2.5.

Anmerkung 2. Beachten Sie, dass 4x 2 - 20x +25 ein perfektes Quadrat ist: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Wenn wir das sofort gemerkt hätten, hätten wir die Gleichung so gelöst: (2x - 5) 2 = 0, also 2x - 5 = 0, woraus wir x = 2,5 erhalten. Im Allgemeinen gilt, wenn D = 0, dann

ax 2 + bx + c = – wir haben dies bereits in Bemerkung 1 erwähnt.
Wenn D > 0, dann hat die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 zwei Wurzeln, die durch die Formeln gefunden werden

Nachweisen. Schreiben wir die quadratische Gleichung ax 2 + b x + c = 0 in der Form (1) um.

Lasst uns
Bedingung: D > 0, was bedeutet, dass die rechte Seite der Gleichung eine positive Zahl ist. Dann erhalten wir das aus Gleichung (2).

Die gegebene quadratische Gleichung hat also zwei Wurzeln:

Notiz 3. In der Mathematik kommt es selten vor, dass der eingeführte Begriff im übertragenen Sinne keinen alltäglichen Hintergrund hat. Nehmen wir etwas Neues
Konzept - Diskriminante. Denken Sie an das Wort „Diskriminierung“. Was bedeutet das? Es bedeutet die Demütigung einiger und die Erhebung anderer, d.h. andere Einstellung
an verschiedene Personen. Beide Wörter (Diskriminant und Diskriminierung) stammen vom lateinischen discriminans – „diskriminieren“. Die Diskriminante unterscheidet quadratische Gleichungen anhand der Anzahl der Wurzeln.

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Lösung. Hier ist a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Da D > 0 ist, hat diese quadratische Gleichung nach Satz 3 zwei Wurzeln. Diese Wurzeln werden nach Formeln (3) gefunden

Tatsächlich haben wir die folgende Regel entwickelt:

Regel zum Lösen der Gleichung
Axt 2 + bx + c = 0

Diese Regel ist universell; sie gilt sowohl für vollständige als auch für unvollständige quadratische Gleichungen. Allerdings lassen sich unvollständige quadratische Gleichungen normalerweise nicht mit dieser Regel lösen; es ist bequemer, sie so zu lösen, wie wir es im vorherigen Absatz getan haben.

Beispiel 4. Gleichungen lösen:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Lösung: a) Hier ist a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 – 4ac = Z 2 – 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Da D > 0 ist, hat diese quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Wir finden diese Wurzeln mithilfe der Formeln (3)

B) Wie die Erfahrung zeigt, ist es bequemer, mit quadratischen Gleichungen umzugehen, bei denen der führende Koeffizient positiv ist. Daher multiplizieren wir zunächst beide Seiten der Gleichung mit -1 und erhalten

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Hier ist a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Da D = 0 ist, hat diese quadratische Gleichung eine Wurzel. Diese Wurzel wird durch die Formel x = - gefunden. Bedeutet,

Diese Gleichung könnte auch anders gelöst werden: seit
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, dann erhalten wir die Gleichung (Зх - I) 2 = 0, woraus sich Зх - 1 = 0 ergibt, d. h. x = .

c) Hier ist a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Da D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Mathematiker sind praktische, wirtschaftliche Menschen. Warum, so heißt es, eine so lange Regel zum Lösen einer quadratischen Gleichung verwendet, ist es besser, sofort eine allgemeine Formel zu schreiben:

Wenn sich herausstellt, dass die Diskriminante D = b 2 - 4ac eine negative Zahl ist, dann macht die geschriebene Formel keinen Sinn (unter dem Quadratwurzelzeichen steht eine negative Zahl), was bedeutet, dass es keine Wurzeln gibt. Wenn sich herausstellt, dass die Diskriminante gleich Null ist, dann erhalten wir

Das heißt, eine Wurzel (man sagt auch, dass die quadratische Gleichung in diesem Fall zwei identische Wurzeln hat:

Wenn sich schließlich herausstellt, dass b 2 - 4ac > 0, dann erhalten wir zwei Wurzeln x 1 und x 2, die mit denselben Formeln (3) wie oben angegeben berechnet werden.

Die Zahl selbst ist in diesem Fall positiv (wie jede Quadratwurzel einer positiven Zahl), und das Doppelzeichen davor bedeutet, dass in einem Fall (beim Finden von x 1) diese positive Zahl zur Zahl - b und addiert wird in einem anderen Fall (beim Finden von x 2) ist dies eine positive Zahl
aus der Zahl lesen - b.

Sie haben die freie Wahl. Möchten Sie die quadratische Gleichung im Detail mit der oben formulierten Regel lösen? Wenn Sie möchten, schreiben Sie gleich Formel (4) auf und ziehen Sie daraus die notwendigen Schlussfolgerungen.

Beispiel 5. Gleichungen lösen:

Lösung, a) Natürlich können Sie die Formeln (4) oder (3) verwenden, berücksichtigen Sie dies in diesem Fall Aber warum mit Brüchen arbeiten, wenn es einfacher und vor allem angenehmer ist, mit ganzen Zahlen umzugehen? Lassen Sie uns die Nenner loswerden. Dazu müssen Sie beide Seiten der Gleichung mit 12 multiplizieren, also mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche, die als Koeffizienten der Gleichung dienen. Wir bekommen

daher 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Jetzt verwenden wir Formel (4)

B) Wir haben wieder eine Gleichung mit Bruchkoeffizienten: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 100, dann erhalten wir eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Als nächstes verwenden wir Formel (4):

Eine einfache Rechnung zeigt, dass die Diskriminante (Radikalausdruck) eine negative Zahl ist. Das bedeutet, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Beispiel 6. Löse die Gleichung
Lösung. Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel sollte hier lieber nach der Regel als nach der Kurzformel (4) vorgegangen werden.

Wir haben a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Da D > 0 ist, hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln, nach denen wir mithilfe der Formeln (3) suchen werden.

Beispiel 7. Löse die Gleichung
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Lösung. Diese quadratische Gleichung unterscheidet sich von allen bisher betrachteten quadratischen Gleichungen dadurch, dass es sich bei den Koeffizienten nicht um bestimmte Zahlen, sondern um Buchstabenausdrücke handelt. Solche Gleichungen werden Gleichungen mit Buchstabenkoeffizienten oder Gleichungen mit Parametern genannt. In diesem Fall ist der Parameter (Buchstabe) p im zweiten Koeffizienten und im freien Term der Gleichung enthalten.
Finden wir die Diskriminante:

Beispiel 8. Lösen Sie die Gleichung px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Lösung. Dies ist ebenfalls eine Gleichung mit dem Parameter p, die jedoch im Gegensatz zum vorherigen Beispiel nicht sofort mit den Formeln (4) oder (3) gelöst werden kann. Tatsache ist, dass die angegebenen Formeln auf quadratische Gleichungen anwendbar sind, wir können dies jedoch noch nicht über eine bestimmte Gleichung sagen. Was wäre, wenn p = 0 wäre? Dann
Die Gleichung nimmt die Form 0 an. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, d. h. x - 1 = 0, woraus wir x = 1 erhalten. Wenn Sie das nun sicher wissen, können Sie die Formeln für die Wurzeln des Quadrats anwenden Gleichung:

Die Diskriminante wird ebenso wie quadratische Gleichungen ab der 8. Klasse in einem Algebrakurs studiert. Sie können eine quadratische Gleichung durch eine Diskriminante und den Satz von Vieta lösen. Die Methode zum Studium quadratischer Gleichungen sowie Diskriminanzformeln wird Schulkindern, wie viele andere Dinge in der realen Bildung, eher erfolglos beigebracht. Daher vergehen Schuljahre, die Ausbildung in den Klassen 9-11 wird durch „Hochschulbildung“ ersetzt und alle schauen wieder hin – „Wie löst man eine quadratische Gleichung?“, „Wie findet man die Wurzeln der Gleichung?“, „Wie findet man die Diskriminante?“ Und...

Diskriminanzformel

Die Diskriminante D der quadratischen Gleichung a*x^2+bx+c=0 ist gleich D=b^2–4*a*c.
Die Wurzeln (Lösungen) einer quadratischen Gleichung hängen vom Vorzeichen der Diskriminante (D) ab:
D>0 – die Gleichung hat 2 verschiedene reelle Wurzeln;
D=0 – die Gleichung hat 1 Wurzel (2 passende Wurzeln):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Die Formel zur Berechnung der Diskriminante ist recht einfach, daher bieten viele Websites einen Online-Diskriminanzrechner an. Wir haben diese Art von Skripten noch nicht herausgefunden. Wenn also jemand weiß, wie man das implementiert, schreiben Sie uns bitte per E-Mail Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt. Um es anzuzeigen, muss JavaScript aktiviert sein. .

Allgemeine Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung:

Wir finden die Wurzeln der Gleichung mithilfe der Formel
Wenn der Koeffizient einer quadrierten Variablen gepaart ist, empfiehlt es sich, nicht die Diskriminante, sondern deren vierten Teil zu berechnen
In solchen Fällen werden die Wurzeln der Gleichung mithilfe der Formel ermittelt

Der zweite Weg, Wurzeln zu finden, ist der Satz von Vieta.

Der Satz wird nicht nur für quadratische Gleichungen, sondern auch für Polynome formuliert. Sie können dies auf Wikipedia oder anderen elektronischen Ressourcen lesen. Betrachten wir jedoch zur Vereinfachung den Teil, der die obigen quadratischen Gleichungen betrifft, also Gleichungen der Form (a=1)
Der Kern der Formeln von Vieta besteht darin, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich dem Koeffizienten der Variablen mit umgekehrtem Vorzeichen ist. Das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist gleich dem freien Term. Der Satz von Vieta kann in Formeln geschrieben werden.
Die Herleitung der Vieta-Formel ist recht einfach. Schreiben wir die quadratische Gleichung durch einfache Faktoren
Wie Sie sehen, ist alles Geniale gleichzeitig einfach. Es ist effektiv, die Formel von Vieta zu verwenden, wenn die Differenz im Modul der Wurzeln oder die Differenz in den Modulen der Wurzeln 1,2 beträgt. Beispielsweise haben die folgenden Gleichungen gemäß dem Satz von Vieta Wurzeln




Bis zu Gleichung 4 sollte die Analyse so aussehen. Das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist 6, daher können die Wurzeln die Werte (1, 6) und (2, 3) oder Paare mit entgegengesetztem Vorzeichen sein. Die Summe der Wurzeln beträgt 7 (der Koeffizient der Variablen mit dem umgekehrten Vorzeichen). Daraus schließen wir, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung x=2 sind; x=3.
Es ist einfacher, die Wurzeln der Gleichung unter den Teilern des freien Termes auszuwählen und ihr Vorzeichen anzupassen, um die Vieta-Formeln zu erfüllen. Auf den ersten Blick scheint dies schwierig zu sein, aber mit der Übung an einer Reihe quadratischer Gleichungen wird sich diese Technik als effektiver erweisen als die Berechnung der Diskriminante und das Finden der Wurzeln der quadratischen Gleichung auf klassische Weise.
Wie Sie sehen, ist die Schultheorie des Studiums der Diskriminante und der Methoden zum Finden von Lösungen für die Gleichung ohne praktische Bedeutung – „Warum brauchen Schulkinder eine quadratische Gleichung?“, „Was ist die physikalische Bedeutung der Diskriminante?“

Versuchen wir es herauszufinden Was beschreibt die Diskriminante?

Im Algebrakurs studieren sie Funktionen, Schemata zur Untersuchung von Funktionen und die Konstruktion eines Funktionsgraphen. Von allen Funktionen nimmt die Parabel einen wichtigen Platz ein, deren Gleichung in der Form geschrieben werden kann
Die physikalische Bedeutung der quadratischen Gleichung sind also die Nullstellen der Parabel, also die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Abszissenachse Ox
Ich bitte Sie, sich die im Folgenden beschriebenen Eigenschaften von Parabeln zu merken. Es wird Zeit, Prüfungen, Prüfungen oder Aufnahmeprüfungen abzulegen, und Sie werden für das Referenzmaterial dankbar sein. Das Vorzeichen der quadrierten Variablen entspricht der Frage, ob die Zweige der Parabel im Diagramm nach oben gehen (a>0).

oder eine Parabel mit nach unten gerichteten Ästen (a<0) .

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt in der Mitte zwischen den Wurzeln

Physikalische Bedeutung der Diskriminante:

Wenn die Diskriminante größer als Null ist (D>0), hat die Parabel zwei Schnittpunkte mit der Ox-Achse.
Wenn die Diskriminante Null ist (D=0), dann berührt die Parabel am Scheitelpunkt die x-Achse.
Und im letzten Fall, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Unvollständige quadratische Gleichungen