Vektorgleichung einer Ebene. Parametrische Gleichungen einer Geraden auf einer Ebene: Beschreibung, Beispiele, Problemlösung. Beweis oder so ein Blödsinn

Bisher haben wir die Gleichung einer Fläche im Raum mit den Koordinatenachsen X, Y, Z in expliziter Form oder in impliziter Form betrachtet

Sie können die Gleichungen einer Oberfläche in parametrischer Form schreiben und dabei die Koordinaten ihrer Punkte als Funktionen zweier unabhängiger variabler Parameter und ausdrücken

Wir gehen davon aus, dass diese Funktionen einwertig und stetig sind und in einem bestimmten Parameterbereich stetige Ableitungen bis zur zweiten Ordnung aufweisen

Wenn wir diese Koordinatenausdrücke durch u und v in die linke Seite der Gleichung (37) einsetzen, sollten wir eine Identität in Bezug auf u und V erhalten. Wenn wir diese Identität in Bezug auf die unabhängigen Variablen u und v differenzieren, erhalten wir

Wenn wir diese Gleichungen als zwei homogene Gleichungen betrachten und das in erwähnte algebraische Lemma anwenden, erhalten wir

wobei k ein bestimmter Proportionalitätskoeffizient ist.

Wir glauben, dass der Faktor k und mindestens eine der Differenzen auf der rechten Seite der letzten Formeln ungleich Null sind.

Der Kürze halber bezeichnen wir die drei geschriebenen Unterschiede wie folgt:

Wie Sie wissen, kann die Gleichung der Tangente an unsere Oberfläche an einem bestimmten Punkt (x, y, z) in der Form geschrieben werden

oder indem wir proportionale Größen ersetzen, können wir die Gleichung der Tangentenebene wie folgt umschreiben:

Es ist bekannt, dass die Koeffizienten in dieser Gleichung proportional zum Richtungskosinus der Flächennormalen sind.

Die Position des variablen Punktes M auf der Oberfläche wird durch die Werte der Parameter u und v charakterisiert, und diese Parameter werden üblicherweise als Koordinaten von Oberflächenpunkten oder Koordinatenparameter bezeichnet.

Wenn wir den Parametern u und v konstante Werte geben, erhalten wir zwei Familien von Linien auf der Oberfläche, die wir Koordinatenlinien der Oberfläche nennen: Koordinatenlinien, entlang derer sich nur v ändert, und Koordinatenlinien, entlang derer sich nur u ändert. Diese beiden Familien von Koordinatenlinien bilden ein Koordinatengitter auf der Oberfläche.

Betrachten Sie als Beispiel eine Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius R. Die parametrischen Gleichungen einer solchen Kugel können wie folgt geschrieben werden:

Koordinatenlinien stellen in diesem Fall offensichtlich Parallelen und Meridiane unserer Sphäre dar.

Wenn wir von den Koordinatenachsen abstrahieren, können wir die Oberfläche mit einem Vektor mit variablem Radius charakterisieren, der vom konstanten Punkt O zum variablen Punkt M unserer Oberfläche verläuft. Partielle Ableitungen dieses Radiusvektors nach Parametern ergeben offensichtlich Vektoren, die entlang Tangenten an die Koordinatenlinien gerichtet sind. Komponenten dieser Vektoren entlang der Achsen

wird dementsprechend, und daraus ist klar, dass die Koeffizienten in der Gleichung der Tangentenebene (39) die Komponenten des Vektorprodukts sind. Dieses Vektorprodukt ist ein Vektor senkrecht zu den Tangenten, d. h. ein Vektor, der entlang der Normalen gerichtet ist der Oberfläche. Das Quadrat der Länge dieses Vektors wird offensichtlich durch das Skalarprodukt des Vektors und sich selbst ausgedrückt, d. h. vereinfacht gesagt, das Quadrat dieses Vektors 1). Im Folgenden wird der Einheitsvektor normal zur Oberfläche eine wesentliche Rolle spielen, was wir natürlich in der Form schreiben können

Indem wir die Reihenfolge der Faktoren im geschriebenen Vektorprodukt ändern, erhalten wir die entgegengesetzte Richtung für Vektor (40). Im Folgenden legen wir die Reihenfolge der Faktoren auf eine bestimmte Weise fest, das heißt, wir legen die Richtung der Flächennormalen auf eine bestimmte Weise fest.

Nehmen wir einen bestimmten Punkt M auf der Oberfläche und zeichnen wir durch diesen Punkt eine auf der Oberfläche liegende Kurve (L). Diese Kurve ist im Allgemeinen keine Koordinatenlinie und sowohl Well als auch v ändern sich entlang dieser Kurve. Die Richtung der Tangente an diese Kurve wird durch den Vektor bestimmt, wenn wir annehmen, dass entlang (L) in der Umgebung des Punktes der Parameter v eine Funktion einer Ableitung ist. Daraus wird deutlich, dass die Richtung der Tangente an die auf der Oberfläche gezeichnete Kurve an jedem Punkt M dieser Kurve vollständig durch den Wert an diesem Punkt gekennzeichnet ist. Bei der Definition der Tangentenebene und der Ableitung ihrer Gleichung (39) haben wir angenommen, dass die Funktionen (38) am betrachteten Punkt und in seiner Umgebung stetige partielle Ableitungen haben und dass mindestens einer der Koeffizienten der Gleichung (39) an dem Punkt ungleich Null ist unter Berücksichtigung.

Vektor- und Parametergleichungen der Ebene. Seien r 0 und r die Radiusvektoren der Punkte M 0 bzw. M. Dann ist M 0 M = r - r 0 und Bedingung (5.1), dass der Punkt M zu einer Ebene gehört, die senkrecht durch den Punkt M 0 verläuft Vektor ungleich Null n (Abb. 5.2, a) kann mit geschrieben werden Skalarprodukt als Verhältnis

n(r - r 0) = 0, (5.4)

Was heisst Vektorgleichung der Ebene.

Eine feste Ebene im Raum entspricht einer Menge von Vektoren parallel dazu, d.h. Raum V 2. Lasst uns in diesem Raum wählen Basis e 1, e 2, d.h. ein Paar nichtkollinearer Vektoren parallel zur betrachteten Ebene und ein Punkt M 0 auf der Ebene. Wenn der Punkt M zur Ebene gehört, dann ist dies gleichbedeutend damit, dass der Vektor M 0 M parallel dazu ist (Abb. 5.2, b), d.h. es gehört zum angegebenen Raum V 2 . Das bedeutet, dass es sie gibt Erweiterung des Vektors M 0 M in der Basis e 1, e 2, d.h. Es gibt Zahlen t 1 und t 2, für die M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2. Nachdem wir die linke Seite dieser Gleichung durch die Radiusvektoren r 0 und r der Punkte M 0 bzw. M geschrieben haben, erhalten wir Vektorparametrische Ebenengleichung

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 ∈ R. (5.5)

Von der Gleichheit der Vektoren in (5.5) zu ihrer Gleichheit übergehen Koordinaten, bezeichnen mit (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) Koordinaten von Punkten M 0, M und durch (e 1x; e 1y; e 1z), (e 2x; e 2y; e 2z) die Koordinaten der Vektoren e 1, e 2. Wenn wir die Koordinaten der Vektoren r und r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 mit demselben Namen gleichsetzen, erhalten wir parametrische Ebenengleichungen

Ein Flugzeug, das durch drei Punkte fliegt. Angenommen, die drei Punkte M 1, M 2 und M 3 liegen nicht auf derselben Linie. Dann gibt es eine eindeutige Ebene π, zu der diese Punkte gehören. Finden wir die Gleichung dieser Ebene, indem wir ein Kriterium dafür formulieren, dass ein beliebiger Punkt M zu einer gegebenen Ebene π gehört. Dann schreiben wir dieses Kriterium durch die Koordinaten der Punkte. Das angegebene Kriterium ist die Beschreibung der Ebene π als die Menge derjenigen Punkte M, für die die Vektoren M 1 M 2, M 1 M 3 und M 1 M gelten koplanar. Das Kriterium für die Koplanarität dreier Vektoren ist ihre Gleichheit mit Null gemischtes Produkt(siehe 3.2). Das Mischprodukt wird berechnet mit Determinante dritter Ordnung, deren Zeilen die Koordinaten der Vektoren in sind orthonormale Basis. Wenn also (x i; yx i; Zx i) die Koordinaten der Punkte Mx i, i = 1, 2, 3 und (x; y; z) die Koordinaten des Punktes M sind, dann ist M 1 M = (x-x 1 ; y-y 1 ; z-z 1 ), M 1 M 2 = (x 2 -x 1 ; y 2 ​​​​-y 1 ; z 2 -z 1 ), M 1 M 3 = (x 3 -x 1 ; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) und die Bedingung dafür, dass das gemischte Produkt dieser Vektoren gleich Null ist, hat die Form

Nachdem wir die Determinante berechnet haben, erhalten wir linear relativ zu x, y, z Die gleichung, welches ist allgemeine Gleichung der gewünschten Ebene. Zum Beispiel, wenn Erweitern Sie die Determinante entlang der 1. Zeile, dann bekommen wir

Diese Gleichheit wird nach der Berechnung der Determinanten und dem Öffnen der Klammern in die allgemeine Gleichung der Ebene umgewandelt.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten der Variablen in der letzten Gleichung mit den Koordinaten übereinstimmen Vektorprodukt M 1 M 2 × M 1 M 3 . Dieses Vektorprodukt ist das Produkt zweier nicht kollinearer Vektoren parallel zur Ebene π und ergibt einen von Null verschiedenen Vektor senkrecht zu π, d. h. ihr Normalenvektor. Das Erscheinen der Koordinaten des Vektorprodukts als Koeffizienten der allgemeinen Ebenengleichung ist also ganz natürlich.

Betrachten Sie den folgenden Sonderfall einer Ebene, die durch drei Punkte verläuft. Die Punkte M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, liegen nicht auf derselben Geraden und definieren eine Ebene, die abschneidet Segmente auf den Koordinatenachsen mit einer Länge ungleich Null (Abb. 5.3). Hier bedeuten „Segmentlängen“ den Wert von Nicht-Null-Koordinaten der Radiusvektoren von Punkten M i, i = 1,2,3.

Da M 1 M 2 = (-a; b;0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), nimmt Gleichung (5.7) die Form an

Nachdem wir die Determinante berechnet haben, finden wir bc(x - a) + acy + abz = 0, dividieren die resultierende Gleichung durch abc und verschieben den freien Term auf die rechte Seite,

x/a + y/b + z/c = 1.

Diese Gleichung heißt Gleichung der Ebene in Segmenten.

Beispiel 5.2. Finden wir die allgemeine Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt mit den Koordinaten (1; 1; 2) verläuft und gleich lange Segmente von den Koordinatenachsen abschneidet.

Die Gleichung einer Ebene in Segmenten hat, sofern sie Segmente gleicher Länge von den Koordinatenachsen abschneidet, sagen wir a ≠ 0, die Form x/a + y/b + z/c = 1. Diese Gleichung muss erfüllt sein durch die Koordinaten (1; 1; 2) bekannter Punkt auf der Ebene, d.h. Es gilt die Gleichung 4/a = 1. Daher ist a = 4 und die erforderliche Gleichung ist x + y + z – 4 = 0.

Normalebenengleichung. Betrachten wir eine Ebene π im Raum. Wir reparieren es für sie Einheit normal Vektor n, gerichtet von Herkunft„zur Ebene hin“ und bezeichnen mit p den Abstand vom Ursprung O des Koordinatensystems zur Ebene π (Abb. 5.4). Wenn die Ebene durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft, ist p = 0, und als Richtung für den Normalenvektor n kann eine von zwei möglichen Richtungen gewählt werden.

Wenn der Punkt M zur Ebene π gehört, dann ist dies gleichbedeutend mit der Tatsache, dass orthographische Vektorprojektion OM zur Richtung Vektor n ist gleich p, d.h. die Bedingung nOM = pr n OM = p ist erfüllt, da Vektorlänge n ist gleich eins.

Bezeichnen wir die Koordinaten des Punktes M mit (x; y; z) und sei n = (cosα; cosβ; cosγ) (denken Sie daran, dass es für einen Einheitsvektor n gilt Richtungskosinus cosα, cosβ, cosγ sind auch seine Koordinaten). Wenn wir das Skalarprodukt in der Gleichung nOM = p in Koordinatenform schreiben, erhalten wir normale Ebenengleichung

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

Ähnlich wie im Fall einer Linie auf einer Ebene kann die allgemeine Gleichung einer Ebene im Raum durch Division durch einen Normierungsfaktor in ihre Normalgleichung umgewandelt werden.

Für die Ebenengleichung Ax + By + Cz + D = 0 ist der Normierungsfaktor die Zahl ±√(A 2 + B 2 + C 2), deren Vorzeichen entgegengesetzt zum Vorzeichen von D gewählt wird. Im Absolutwert gilt Der Normalisierungsfaktor ist die Länge der Normalenvektorebene (A; B; C), und das Vorzeichen entspricht der gewünschten Richtung des Einheitsnormalenvektors der Ebene. Wenn die Ebene durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft, d.h. D = 0, dann kann das Vorzeichen des Normierungsfaktors beliebig gewählt werden.

Einer der Unterpunkte des Themas „Gleichung einer Geraden auf einer Ebene“ ist die Frage der Aufstellung parametrischer Gleichungen einer Geraden auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Im folgenden Artikel wird das Prinzip der Erstellung solcher Gleichungen unter Berücksichtigung bestimmter bekannter Daten erörtert. Wir zeigen, wie man von parametrischen Gleichungen zu Gleichungen eines anderen Typs übergeht; Schauen wir uns die Lösung typischer Probleme an.

Eine bestimmte Linie kann durch die Angabe eines zu dieser Linie gehörenden Punktes und eines Richtungsvektors der Linie definiert werden.

Nehmen wir an, wir erhalten ein rechteckiges Koordinatensystem O x y. Außerdem ist eine Gerade a angegeben, die den darauf liegenden Punkt M 1 (x 1, y 1) und den Richtungsvektor der gegebenen Geraden angibt a → = (a x , a y) . Lassen Sie uns die gegebene Gerade a anhand von Gleichungen beschreiben.

Wir verwenden einen beliebigen Punkt M (x, y) und erhalten einen Vektor M 1 M → ; Berechnen wir seine Koordinaten aus den Koordinaten des Start- und Endpunkts: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Beschreiben wir, was wir bekommen haben: Eine gerade Linie wird durch eine Menge von Punkten M (x, y) definiert, geht durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) und hat einen Richtungsvektor a → = (a x , a y) . Diese Menge definiert nur dann eine Gerade, wenn die Vektoren M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) und a → = (a x, a y) kollinear sind.

Es gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Kollinearität von Vektoren, die in diesem Fall für Vektoren M 1 M → = (x – x 1, y – y 1) und a → = (a x, a y) als Gleichung geschrieben werden kann:

M 1 M → = λ · a → , wobei λ eine reelle Zahl ist.

Definition 1

Die Gleichung M 1 M → = λ · a → heißt vektorparametrische Gleichung der Geraden.

In Koordinatenform sieht es so aus:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Die Gleichungen des resultierenden Systems x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ werden als parametrische Gleichungen einer Geraden auf einer Ebene in einem rechteckigen Koordinatensystem bezeichnet. Der Kern des Namens lautet wie folgt: Die Koordinaten aller Punkte auf einer Geraden können durch parametrische Gleichungen auf einer Ebene der Form x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ bestimmt werden, indem alle reellen Punkte aufgezählt werden Werte des Parameters λ

Gemäß dem oben Gesagten definieren die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie auf der Ebene x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ eine gerade Linie, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem definiert ist und durch den Punkt M verläuft 1 (x 1, y 1) und hat einen Führungsvektor a → = (a x , a y) . Wenn also die Koordinaten eines bestimmten Punktes auf einer Geraden und die Koordinaten seines Richtungsvektors angegeben sind, ist es möglich, die parametrischen Gleichungen einer gegebenen Geraden sofort aufzuschreiben.

Beispiel 1

Es ist notwendig, parametrische Gleichungen einer Geraden auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem aufzustellen, wenn der zu ihr gehörende Punkt M 1 (2, 3) und sein Richtungsvektor gegeben sind a → = (3 , 1) .

Lösung

Basierend auf den Ausgangsdaten erhalten wir: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Die parametrischen Gleichungen sehen folgendermaßen aus:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Lassen Sie uns anschaulich veranschaulichen:

Antwort: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Es ist zu beachten: Wenn der Vektor a → = (a x , a y) dient als Richtungsvektor der Geraden a und die Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) gehören zu dieser Geraden, dann kann er durch Angabe parametrischer Gleichungen der Form: x bestimmt werden = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , sowie diese Option: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

Beispielsweise erhalten wir einen Richtungsvektor einer Geraden a → = (2, - 1), sowie die zu dieser Geraden gehörenden Punkte M 1 (1, - 2) und M 2 (3, - 3). Dann wird die Gerade durch die parametrischen Gleichungen bestimmt: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ oder x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Sie sollten auch auf die folgende Tatsache achten: wenn a → = (a x , a y) der Richtungsvektor der Linie a ist, dann ist jeder der Vektoren ihr Richtungsvektor μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , wobei μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Somit kann die Gerade a auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch parametrische Gleichungen bestimmt werden: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ für jeden Wert von μ ungleich Null.

Nehmen wir an, die Gerade a ist durch die parametrischen Gleichungen x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ gegeben. Dann a → = (2 , - 5) - der Richtungsvektor dieser Geraden. Und auch jeder der Vektoren μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 wird zum Leitvektor für eine gegebene Gerade. Betrachten Sie zur Verdeutlichung einen bestimmten Vektor - 2 · a → = (- 4, 10), er entspricht dem Wert μ = - 2. In diesem Fall kann die gegebene Gerade auch durch die parametrischen Gleichungen x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ bestimmt werden.

Übergang von parametrischen Gleichungen einer Geraden auf einer Ebene zu anderen Gleichungen einer gegebenen Geraden und zurück

Bei der Lösung einiger Probleme ist die Verwendung parametrischer Gleichungen nicht die optimalste Option. Dann besteht die Notwendigkeit, die parametrischen Gleichungen einer Geraden in Gleichungen einer Geraden eines anderen Typs zu übersetzen. Schauen wir uns an, wie das geht.

Parametrische Gleichungen einer Geraden der Form x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ entsprechen der kanonischen Gleichung einer Geraden in der Ebene x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Lösen wir jede der parametrischen Gleichungen hinsichtlich des Parameters λ auf, setzen die rechten Seiten der resultierenden Gleichungen gleich und erhalten die kanonische Gleichung der gegebenen Geraden:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

In diesem Fall sollte es nicht verwirrend sein, ob a x oder a y gleich Null sind.

Beispiel 2

Es ist ein Übergang von den parametrischen Gleichungen der Geraden x = 3 y = - 2 - 4 · λ zur kanonischen Gleichung erforderlich.

Lösung

Schreiben wir die gegebenen parametrischen Gleichungen in der folgenden Form: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Drücken wir den Parameter λ in jeder der Gleichungen aus: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Setzen wir die rechten Seiten des Gleichungssystems gleich und erhalten die erforderliche kanonische Gleichung einer Geraden in der Ebene:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Antwort: x - 3 0 = y + 2 - 4

Für den Fall, dass eine Geradengleichung der Form A x + B y + C = 0 geschrieben werden muss und parametrische Geradengleichungen auf einer Ebene gegeben sind, muss zunächst zum Kanonischen übergegangen werden Gleichung und dann zur allgemeinen Gleichung der Geraden. Schreiben wir den gesamten Aktionsablauf auf:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Beispiel 3

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer Geraden aufzuschreiben, wenn die parametrischen Gleichungen, die sie definieren, gegeben sind: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Lösung

Machen wir zunächst den Übergang zur kanonischen Gleichung:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Der resultierende Anteil ist identisch mit der Gleichung - 3 · (x + 1) = 2 · y. Öffnen wir die Klammern und erhalten wir die allgemeine Gleichung der Geraden: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Antwort: 3 x + 2 y + 3 = 0

Um die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten, die Gleichung einer Geraden in Segmenten oder die Normalgleichung einer Geraden zu erhalten, ist es gemäß der obigen Handlungslogik notwendig, die allgemeine Gleichung der Geraden zu erhalten und dann einen weiteren Übergang davon durchführen.

Betrachten Sie nun die umgekehrte Aktion: Schreiben parametrischer Gleichungen einer Geraden mit einer anderen gegebenen Form der Gleichungen dieser Geraden.

Der einfachste Übergang: von der kanonischen Gleichung zu parametrischen. Gegeben sei eine kanonische Gleichung der Form: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Nehmen wir an, dass jede der Beziehungen dieser Gleichheit gleich dem Parameter λ ist:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Lösen wir die resultierenden Gleichungen für die Variablen x und y:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Beispiel 4

Es ist notwendig, die parametrischen Gleichungen der Geraden aufzuschreiben, wenn die kanonische Gleichung der Geraden in der Ebene bekannt ist: x - 2 5 = y - 2 2

Lösung

Setzen wir die Teile der bekannten Gleichung mit dem Parameter λ gleich: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Aus der resultierenden Gleichheit erhalten wir die parametrischen Gleichungen der Geraden: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Antwort: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Wenn es notwendig ist, von einer gegebenen allgemeinen Geradengleichung, einer Geradengleichung mit Winkelkoeffizienten oder einer Geradengleichung in Segmenten zu parametrischen Gleichungen überzugehen, ist es notwendig, die ursprüngliche Gleichung in die Kanonik zu bringen eine, und machen Sie dann den Übergang zu parametrischen Gleichungen.

Beispiel 5

Es ist notwendig, die parametrischen Gleichungen einer Geraden mit einer bekannten allgemeinen Gleichung dieser Geraden aufzuschreiben: 4 x – 3 y – 3 = 0.

Lösung

Lassen Sie uns die gegebene allgemeine Gleichung in eine Gleichung kanonischer Form umwandeln:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Setzen wir beide Seiten der Gleichheit mit dem Parameter λ gleich und erhalten die erforderlichen parametrischen Gleichungen der Geraden:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Antwort: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Beispiele und Probleme mit parametrischen Gleichungen einer Geraden in einer Ebene

Betrachten wir die häufigsten Arten von Problemen, die parametrische Gleichungen einer Linie auf einer Ebene in einem rechteckigen Koordinatensystem verwenden.

1. Bei Problemen der ersten Art werden die Koordinaten von Punkten angegeben, unabhängig davon, ob sie zu einer durch parametrische Gleichungen beschriebenen Linie gehören oder nicht.

Die Lösung solcher Probleme basiert auf der folgenden Tatsache: Die Zahlen (x, y), die aus den parametrischen Gleichungen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ für einen reellen Wert λ bestimmt werden, sind die Koordinaten eines Punktes, der zu der Geraden gehört, die diese parametrischen Gleichungen beschreiben.

Beispiel 6

Es ist notwendig, die Koordinaten eines Punktes zu bestimmen, der auf einer Linie liegt, die durch die parametrischen Gleichungen x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ für λ = 3 angegeben wird.

Lösung

Setzen wir den bekannten Wert λ = 3 in die gegebenen parametrischen Gleichungen ein und berechnen wir die erforderlichen Koordinaten: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Antwort: 1 1 2 , 5

Auch die folgende Aufgabe ist möglich: Es sei ein Punkt M 0 (x 0 , y 0) auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben und Sie müssen bestimmen, ob dieser Punkt zu der durch die parametrischen Gleichungen x = x 1 beschriebenen Geraden gehört + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Um ein solches Problem zu lösen, ist es notwendig, die Koordinaten eines bestimmten Punktes in die bekannten parametrischen Gleichungen einer Geraden einzusetzen. Wenn festgestellt wird, dass ein Wert des Parameters λ = λ 0 möglich ist, für den beide Parametergleichungen gelten, dann gehört der gegebene Punkt zur gegebenen Geraden.

Beispiel 7

Es werden die Punkte M 0 (4, - 2) und N 0 (- 2, 1) vergeben. Es muss festgestellt werden, ob sie zu der Linie gehören, die durch die parametrischen Gleichungen x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ definiert ist.

Lösung

Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes M 0 (4, - 2) in die gegebenen parametrischen Gleichungen:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Wir schließen daraus, dass der Punkt M 0 zur gegebenen Geraden gehört, weil entspricht dem Wert λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Offensichtlich gibt es keinen solchen Parameter λ, dem der Punkt N 0 entsprechen würde. Mit anderen Worten, die gegebene Gerade geht nicht durch den Punkt N 0 (- 2, 1).

Antwort: Punkt M 0 gehört zu einer bestimmten Linie; Punkt N 0 gehört nicht zur gegebenen Geraden.

1. Bei Problemen der zweiten Art ist es erforderlich, parametrische Gleichungen einer Geraden auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem aufzustellen. Das einfachste Beispiel eines solchen Problems (mit bekannten Koordinaten des Linienpunktes und dem Richtungsvektor) wurde oben betrachtet. Schauen wir uns nun Beispiele an, in denen wir zunächst die Koordinaten des Leitvektors ermitteln und dann die parametrischen Gleichungen aufschreiben müssen.

Beispiel 8

Gegebener Punkt M 1 1 2 , 2 3 . Es ist notwendig, parametrische Gleichungen einer Geraden zu erstellen, die durch diesen Punkt verläuft und parallel zur Geraden x 2 = y – 3 – 1 verläuft.

Lösung

Gemäß den Bedingungen des Problems verläuft die Gerade, deren Gleichung wir vorantreiben müssen, parallel zur Geraden x 2 = y - 3 - 1. Dann ist es möglich, als Richtungsvektor einer Linie, die durch einen bestimmten Punkt verläuft, den Richtungsvektor einer Linie x 2 = y - 3 - 1 zu verwenden, den wir in der Form schreiben: a → = (2, - 1 ). Jetzt sind alle notwendigen Daten bekannt, um die erforderlichen parametrischen Gleichungen aufzustellen:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Antwort: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .

Beispiel 9

Punkt M 1 (0, - 7) ist gegeben. Es ist notwendig, die parametrischen Gleichungen einer Geraden aufzuschreiben, die durch diesen Punkt senkrecht zur Geraden 3 x – 2 y – 5 = 0 verläuft.

Lösung

Als Richtungsvektor der Geraden, dessen Gleichung aufgestellt werden muss, kann man den Normalenvektor der Geraden 3 x – 2 y – 5 = 0 nehmen. Seine Koordinaten sind (3, - 2). Schreiben wir die erforderlichen parametrischen Gleichungen der Geraden auf:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Antwort: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Bei Problemen des dritten Typs ist es notwendig, von parametrischen Gleichungen einer gegebenen Geraden zu anderen Gleichungstypen überzugehen, die diese bestimmen. Wir haben die Lösung für ähnliche Beispiele oben besprochen; wir werden eine weitere geben.

Beispiel 10

Gegeben sei eine gerade Linie auf einer Ebene in einem rechteckigen Koordinatensystem, definiert durch die parametrischen Gleichungen x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Es ist notwendig, die Koordinaten eines beliebigen Normalenvektors dieser Linie zu finden.

Lösung

Um die erforderlichen Koordinaten des Normalenvektors zu bestimmen, gehen wir von parametrischen Gleichungen zur allgemeinen Gleichung über:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Die Koeffizienten der Variablen x und y geben uns die erforderlichen Koordinaten des Normalenvektors. Somit hat der Normalenvektor der Geraden x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ die Koordinaten 1, 3 4.

Antwort: 1 , 3 4 .

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Jede Gleichung ersten Grades in Bezug auf Koordinaten x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

definiert eine Ebene und umgekehrt: Jede Ebene kann durch Gleichung (3.1) dargestellt werden, die aufgerufen wird Ebenengleichung.

Vektor N(A, B, C) orthogonal zur Ebene heißt Normalenvektor Flugzeug. In Gleichung (3.1) sind die Koeffizienten A, B, C gleichzeitig ungleich 0.

Sonderfälle der Gleichung (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 – die Ebene geht durch den Ursprung.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 – die Ebene ist parallel zur Oz-Achse.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 – die Ebene geht durch die Oz-Achse.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 – die Ebene ist parallel zur Oyz-Ebene.

Gleichungen der Koordinatenebenen: x = 0, y = 0, z = 0.

Eine Gerade im Raum kann angegeben werden:

1) als Schnittlinie zweier Ebenen, d.h. Gleichungssystem:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) durch seine beiden Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2), dann ist die durch sie verlaufende Gerade durch die Gleichungen gegeben:

3) der zu ihm gehörende Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) und der Vektor A(m, n, p), kollinear dazu. Dann wird die Gerade durch die Gleichungen bestimmt:

Die Gleichungen (3.4) werden aufgerufen kanonische Gleichungen der Linie.

Vektor A angerufen Richtungsvektor gerade.

Parametrische Gleichungen einer Linie wir erhalten, indem wir jede der Beziehungen (3.4) mit dem Parameter t gleichsetzen:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + p t. (3.5)

Lösungssystem (3.2) als lineares Gleichungssystem für Unbekannte X Und j, gelangen wir zu den Gleichungen der Geraden in Projektionen oder zu gegebene Gleichungen der Geraden :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Von den Gleichungen (3.6) können wir zu den kanonischen Gleichungen gehen und finden z aus jeder Gleichung und Gleichsetzen der resultierenden Werte:

Von den allgemeinen Gleichungen (3.2) kann man auf andere Weise zu kanonischen Gleichungen gelangen, wenn man einen beliebigen Punkt auf dieser Geraden und seinen Richtungsvektor findet N= [N 1 , N 2 ], wo N 1 (A 1, B 1, C 1) und N 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) – Normalenvektoren gegebener Ebenen. Wenn einer der Nenner m, n oder R in den Gleichungen (3.4) gleich Null ist, dann muss der Zähler des entsprechenden Bruchs gleich Null gesetzt werden, d.h. System

ist äquivalent zum System ; Eine solche Gerade verläuft senkrecht zur Ox-Achse.

Das System entspricht dem System x = x 1, y = y 1; Die Gerade verläuft parallel zur Oz-Achse.

Beispiel 1.15. Schreiben Sie eine Gleichung für die Ebene und wissen Sie, dass Punkt A(1,-1,3) als Basis einer Senkrechten dient, die vom Ursprung zu dieser Ebene gezogen wird.

Lösung. Entsprechend den Problembedingungen ist der Vektor OA(1,-1,3) ein Normalenvektor der Ebene ist, dann kann seine Gleichung geschrieben werden als
x-y+3z+D=0. Wenn wir die Koordinaten des zur Ebene gehörenden Punktes A(1,-1,3) einsetzen, finden wir D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Also x-y+3z-11=0.

Beispiel 1.16. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch die Oz-Achse verläuft und mit der Ebene 2x+y-z-7=0 einen Winkel von 60° bildet.

Lösung. Die durch die Oz-Achse verlaufende Ebene ist durch die Gleichung Ax+By=0 gegeben, wobei A und B nicht gleichzeitig verschwinden. Lass B nicht
gleich 0, A/Bx+y=0. Verwendung der Kosinusformel für den Winkel zwischen zwei Ebenen

Wenn wir die quadratische Gleichung 3m 2 + 8m - 3 = 0 lösen, finden wir ihre Wurzeln
m 1 = 1/3, m 2 = -3, woraus wir zwei Ebenen 1/3x+y = 0 und -3x+y = 0 erhalten.

Beispiel 1.17. Stellen Sie die kanonischen Gleichungen der Geraden zusammen:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Lösung. Die kanonischen Gleichungen der Geraden haben die Form:

Wo m, n, p- Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden, x 1 , y 1 , z 1- Koordinaten eines beliebigen Punktes, der zu einer Linie gehört. Eine Gerade ist definiert als die Schnittlinie zweier Ebenen. Um einen Punkt zu finden, der zu einer Geraden gehört, wird eine der Koordinaten festgelegt (am einfachsten ist es beispielsweise, x=0 zu setzen) und das resultierende System als lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten gelöst. Sei also x=0, dann ist y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, also y=-1, z=1. Wir haben die Koordinaten des Punktes M(x 1, y 1, z 1) gefunden, der zu dieser Linie gehört: M (0,-1,1). Der Richtungsvektor einer Geraden lässt sich leicht finden, wenn man die Normalenvektoren der ursprünglichen Ebenen kennt N 1 (5,1,1) und N 2 (2,3,-2). Dann

Die kanonischen Gleichungen der Geraden haben die Form: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

– allgemeine Gleichung einer Ebene im Raum

Normaler Ebenenvektor

Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor ungleich Null, der orthogonal zu jedem in der Ebene liegenden Vektor ist.

Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt mit einem gegebenen Normalenvektor verläuft

– Gleichung der Ebene, die mit einem gegebenen Normalenvektor durch den Punkt M0 verläuft

Ebenenrichtungsvektoren

Wir nennen zwei nichtkollineare Vektoren parallel zur Ebene die Richtungsvektoren der Ebene

Parametrische Ebenengleichungen

– parametrische Gleichung der Ebene in Vektorform

– parametrische Gleichung der Ebene in Koordinaten

Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und zwei Richtungsvektoren

-Fixpunkt

-Nur ein Punkt, lol

-koplanar, was bedeutet, dass ihr Mischprodukt 0 ist.

Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft

– Gleichung einer Ebene durch drei Punkte

Gleichung einer Ebene in Segmenten

– Gleichung der Ebene in Segmenten

Nachweisen

Um dies zu beweisen, nutzen wir die Tatsache, dass unsere Ebene durch A, B, C und den Normalenvektor verläuft

Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes und des Vektors n durch einen Normalenvektor in die Gleichung der Ebene

Teilen wir alles durch und erhalten

So geht es.

Normalebenengleichung

– der Winkel zwischen ox und dem Normalenvektor zur Ebene, die von O ausgeht.

– der Winkel zwischen oy und dem Normalenvektor zur Ebene, die von O ausgeht.

– der Winkel zwischen oz und dem Normalenvektor zur Ebene, die von O ausgeht.

– Abstand vom Ursprung zur Ebene.

Beweis oder so ein Blödsinn

Das Vorzeichen ist entgegengesetzt zu D.

Ebenso für die restlichen Kosinuswerte. Ende.

Abstand vom Punkt zur Ebene

Punkt S, Ebene

– orientierter Abstand vom Punkt S zur Ebene

Wenn , dann liegen S und O auf gegenüberliegenden Seiten der Ebene

Wenn , dann liegen S und O auf derselben Seite

Mit n multiplizieren

Die relative Position zweier Linien im Raum

Winkel zwischen Ebenen

Beim Schnitt entstehen zwei Paare vertikaler Diederwinkel, der kleinste wird als Winkel zwischen den Ebenen bezeichnet

Gerade Linie im Raum

Eine gerade Linie im Raum kann angegeben werden als

Schnittpunkt zweier Ebenen:

Parametrische Gleichungen einer Linie

– parametrische Gleichung einer Geraden in Vektorform

– parametrische Gleichung einer Geraden in Koordinaten

Kanonische Gleichung

– kanonische Gleichung einer Geraden.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

– kanonische Gleichung einer Geraden in Vektorform;

Die relative Position zweier Linien im Raum

Die relative Lage einer Geraden und einer Ebene im Raum

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Abstand von einem Punkt zu einer Linie im Raum

a ist der Richtungsvektor unserer Geraden.

– ein beliebiger Punkt, der zu einer bestimmten Linie gehört

– der Punkt, zu dem wir die Distanz suchen.

Abstand zwischen zwei sich kreuzenden Linien

Abstand zwischen zwei parallelen Linien

M1 – Punkt, der zur ersten Linie gehört

M2 – Punkt, der zur zweiten Linie gehört

Kurven und Flächen zweiter Ordnung

Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, deren Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) ein konstanter Wert ist.

Kanonische Ellipsengleichung

Ersetzen mit

Teilen durch

Eigenschaften der Ellipse

Schnittpunkt mit Koordinatenachsen

Symmetrie relativ

1. Ursprünge

Eine Ellipse ist eine Kurve, die in einem begrenzten Teil der Ebene liegt

Aus einem Kreis kann durch Strecken oder Stauchen eine Ellipse entstehen

Parametrische Gleichung einer Ellipse:

– Schulleiterinnen

Hyperbel

Eine Hyperbel ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, für die der Modul der Abstandsdifferenz zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) ein konstanter Wert ist (2a).

Wir machen das Gleiche wie mit der Ellipse, wir bekommen

Ersetzen mit

Teilen durch

Eigenschaften einer Hyperbel

;

– Schulleiterinnen

Asymptote

Asymptote ist eine Gerade, der sich die Kurve unbegrenzt nähert und sich ins Unendliche entfernt.

Parabel

Eigenschaften von Parawork

Zusammenhang zwischen Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Die Beziehung zwischen diesen Kurven hat eine algebraische Erklärung: Sie sind alle durch Gleichungen zweiten Grades gegeben. In jedem Koordinatensystem haben die Gleichungen dieser Kurven die Form: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, wobei a, b, c, d, e, f Zahlen sind

Konvertieren rechteckiger kartesischer Koordinatensysteme

Parallele Koordinatensystemübertragung

–O‘ im alten Koordinatensystem

– Koordinaten des Punktes im alten Koordinatensystem

– Koordinaten des Punktes im neuen Koordinatensystem

Koordinaten des Punktes im neuen Koordinatensystem.

Drehung in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem

–neues Koordinatensystem

Übergangsmatrix von der alten zur neuen Basis

– (unter der ersten Spalte ICH’ , unter der zweiten – J’ ) Übergangsmatrix von der Basis ICH,J zur Basis ICH’ ,J’

Allgemeiner Fall

1 Option

1. Ein Koordinatensystem drehen

Option 2

1. Ein Koordinatensystem drehen

   Parallele Ursprungsübersetzung

Allgemeine Geradengleichung zweiter Ordnung und ihre Reduktion auf die kanonische Form

– allgemeine Form von Kurvengleichungen zweiter Ordnung

Klassifizierung von Kurven zweiter Ordnung

Ellipsoid

Ellipsoidschnitte

– Ellipse

– Ellipse

Ellipsoide der Revolution

Rotationsellipsoide sind entweder abgeflachte oder verlängerte Sphäroide, je nachdem, um was wir uns drehen.

Einstreifen-Hyperboloid

Abschnitte eines Einstreifen-Hyperboloids

– Hyperbel mit reeller Achse

– Hyperbel mit reeller Achse x

Das Ergebnis ist eine Ellipse für jedes h. So geht es.

Einstreifen-Revolutionshyperboloide

Ein einblättriges Rotationshyperboloid kann durch Drehen der Hyperbel um ihre imaginäre Achse erhalten werden.

Zweiblättriges Hyperboloid

Abschnitte eines zweischichtigen Hyperboloids

- Übertreibung mit Aktion. Achseoz

– Hyperbel mit reeller Achseoz

Kegel

– ein Paar sich kreuzender Linien

– ein Paar sich kreuzender Linien

Elliptisches Paraboloid

- Parabel

– Parabel

Rotationen

Wenn , dann ist ein elliptisches Paraboloid eine Rotationsfläche, die durch die Drehung einer Parabel um ihre Symmetrieachse entsteht.

Hyperbolisches Paraboloid

Parabel

– Parabel

h>0 Hyperbel mit reeller Achse parallel zu x

H<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Mit Zylinder meinen wir die Fläche, die entsteht, wenn sich eine Gerade im Raum bewegt, ohne ihre Richtung zu ändern; wenn sich die Gerade relativ zu oz bewegt, dann ist die Gleichung des Zylinders die Gleichung des Schnitts durch die xoy-Ebene.

Elliptischer Zylinder

Hyperbolischer Zylinder

Parabolischer Zylinder

Geradlinige Generatoren von Flächen zweiter Ordnung

Geraden, die vollständig auf der Oberfläche liegen, werden geradlinige Erzeuger der Oberfläche genannt.

Oberflächen der Revolution

Verdammt, du Idiot

Anzeige

Anzeige Nennen wir eine Regel, nach der jedes Element der Menge A einem oder mehreren Elementen der Menge B zugeordnet ist. Wenn jedem ein einzelnes Element der Menge B zugewiesen wird, wird die Abbildung aufgerufen eindeutig, ansonsten mehrdeutig.

Transformation einer Menge ist eine Eins-zu-eins-Abbildung einer Menge auf sich selbst

Injektion

Injektion oder Eins-zu-eins-Zuordnung von Satz A zu Satz B

(verschiedene Elemente von a entsprechen unterschiedlichen Elementen von B) zum Beispiel y=x^2

Vermutung

Surjektion oder Abbildung von Menge A auf Menge B

Für jedes B gibt es mindestens ein A (zum Beispiel Sinus)

Jedes Element der Menge B entspricht nur einem Element der Menge A. (zum Beispiel y=x)