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Es kommt zu erzwungenen ungedämpften Schwingungen. Ungedämpfte Schwingungen des empfindlichen Elements. Gedämpfte harmonische Schwingungen

Betrachten wir das einfachste mechanische Schwingsystem mit einem Freiheitsgrad, den sogenannten harmonischen Oszillator. Als reale Verkörperung eines Oszillators betrachten wir einen Körper der Masse m, der an einer Feder mit der Steifigkeit k aufgehängt ist, unter der Annahme, dass Widerstandskräfte vernachlässigt werden können. Wir zählen die Dehnung der Feder ausgehend von der Gleichgewichtsposition der Feder. Die statische Elastizitätskraft gleicht die Schwerkraft aus, und weder die eine noch die andere Kraft wird in die Bewegungsgleichung eingehen. Schreiben wir die Bewegungsgleichung nach dem zweiten Newtonschen Gesetz:

(4.1)
Schreiben wir diese Gleichung in Projektionen auf die x-Achse (Abb. 4.1).

Wir stellen die Projektion der Beschleunigung auf die x-Achse als zweite Ableitung der x-Koordinate nach der Zeit dar. Die zeitliche Differenzierung wird üblicherweise durch einen Punkt über dem Buchstabenausdruck der Größe dargestellt. Die zweite Ableitung ist mit zwei Punkten markiert. Dann schreiben wir Gleichung (4.1) in der Form um:

(4.2)
Das Minuszeichen auf der rechten Seite von Gleichung (4.2) zeigt, dass die Kraft gegen die Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage gerichtet ist. Bezeichnen wir k/m mit w2 und geben wir Gleichung (4.2) die Form:

(4.3)
Wo

(4.4)
Gleichung (4.3) wird als harmonische Oszillatorgleichung bezeichnet. Wir sind bereits auf eine ähnliche Gleichung gestoßen (Gleichung 3.29) und werden ihr noch mehr als einmal begegnen. Dies ist eine Differentialgleichung. Sie unterscheidet sich von der Algebra dadurch, dass das darin Unbekannte eine Funktion (in unserem Fall eine Funktion der Zeit) und keine Zahl ist, und auch darin, dass sie Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Eine Differentialgleichung zu lösen bedeutet, eine Funktion x(t) zu finden, die, wenn sie in die Gleichung eingesetzt wird, diese in eine Identität umwandelt. Wir suchen nach einer Lösung im Auswahlverfahren (mit anschließender Überprüfung). Es gibt Grund zu der Annahme, dass die Lösung unserer Gleichung eine Funktion der Form ist

(4.5)
Funktion (4.5) ist eine Sinusfunktion in allgemeiner Form. Die Parameter A, a,j0, 0 sind noch nicht bestimmt, und nur die Einsetzung der Funktion (4.5) in Gleichung (4.3) zeigt, wie sie gewählt werden sollten. Finden wir die zweite Ableitung der Funktion (4.5) und setzen sie in Gleichung (4.3) ein:

(4.6)

(4.7)
Reduzieren wir die Terme der Gleichung um Asin(a t + j0) und erhalten:

(4.8)
Die Tatsache, dass nach Ablauf der Reduktionszeit kein „Ausscheiden“ aus der Gleichung erfolgt, weist darauf hin, dass der Typ der gesuchten Funktion richtig gewählt wurde. Gleichung (4.8) zeigt, dass a gleich w sein muss.
Die Konstanten A und j0 können nicht aus der Bewegungsgleichung ermittelt werden, sondern müssen aus anderen Überlegungen ermittelt werden. Die Lösung der harmonischen Oszillatorgleichung ist also die Funktion

(4.9)
Wie bestimmt man die Konstanten A und j 0? Sie heißen beliebige Konstanten und werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Der Punkt ist, dass es irgendwann zu Schwankungen kommen muss. Ihr Auftreten wird durch einige äußere Gründe verursacht. Betrachten wir zwei verschiedene Fälle des Auftretens von Schwingungen: 1) Schwingungen einer Feder, die vom Experimentator um einen Betrag x0 zurückgezogen und dann freigegeben wird. 2) Schwingungen eines an einer Feder aufgehängten Körpers, der mit einem Hammer geschlagen wurde und dem im Anfangszeitpunkt eine Geschwindigkeit v0 verliehen wurde. Finden wir die Konstanten A und j 0 für diese Fälle.

(4.10)
Differenzieren wir (4.9) nach der Zeit, d.h. Lassen Sie uns die Geschwindigkeit des Körpers ermitteln:

(4.11)
Setzen wir die Anfangsbedingungen in die Gleichungen (4.9) und (4.11) ein:

(4.12)
Daraus folgt, dass 0 = p /2, A = x0.
Das Gesetz der Körperbewegung wird endlich Gestalt annehmen

(4.13)
2)Bei t = 0 x = 0 und Geschwindigkeit v = x = v0.
Ersetzen wir neue Anfangsbedingungen in die Gleichungen (4.9) und (4.11):
0=Asinj 0,
v0=Awcosj 0.
(4.14)
Wir erhalten das bei 0 = 0 A = v0/w. Das Bewegungsgesetz nimmt die Form an

(4.15)
Natürlich sind auch andere, komplexere Anfangsbedingungen möglich, aus denen neue Konstanten A und j 0 gefunden werden müssen. Somit ist die Lösung (4.9) eine allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung des Körpers. Daraus kann ausgehend von den Anfangsbedingungen eine bestimmte Lösung gefunden werden, die einen bestimmten Bewegungsfall beschreibt.
Lassen Sie uns nun die physikalische Bedeutung der eingeführten Konstanten A, j 0,w ermitteln. Offensichtlich stellt A die Amplitude der Schwingungen dar, d.h. die größte Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtslage. j 0 wird als Anfangsphase der Schwingung bezeichnet, und das Sinusargument (wt + j 0) wird als Phase bezeichnet. Die Phase bestimmt den Zustand eines sich bewegenden Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wenn Sie die Phase (Sinus-Argument) kennen, können Sie die Position des Körpers (seine Koordinate) und seine Geschwindigkeit ermitteln. j 0 ist die Phase zum Anfangszeitpunkt.
Es bleibt die Bedeutung des Parameters w herauszufinden. In einer Zeit, die der Periode entspricht
Schwingungen T, d.h. während einer vollständigen Schwingung ändert sich das Argument des Sinus um 2p. Daher ist wТ = 2p, daher

(4.16)
Formel (4.16) zeigt, dass w die Anzahl der Schwingungen in einer Zeit von 2p Sekunden ist – die zyklische Frequenz. Letzteres hängt durch die Beziehung mit der Frequenz n zusammen

(4.17)
Finden wir die Energie freier Schwingungen. Es wird durch zwei Arten von Energie repräsentiert: kinetische und potentielle Energie.

(4.18)
Wenn wir die Werte von x und v gemäß den Beziehungen (4.9) und (4.11) in diese Formel einsetzen, erhalten wir:

(4.19)

Somit ist die Energie freier Schwingungen proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude.
Achten wir auf den folgenden Umstand. Die Funktionen von Sinus und Cosinus unterscheiden sich nur dadurch voneinander, dass die eine gegenüber der anderen um p/2 phasenverschoben ist. Das Quadrat des Sinus bestimmt die potentielle Energie und das Quadrat des Kosinus bestimmt die kinetische Energie. Daraus folgt, dass die zeitlich gemittelte (z. B. über die Schwingungsdauer) kinetische und potentielle Energie gleich ist, d. h.

(4.20)
Und

Elemente der Biomechanik 5
Mechanische Schwingungen 14
Biophysik des Hörens. Klang. Ultraschall 17
Biophysik der Blutzirkulation 21
Elektrische Eigenschaften von Geweben und Organen 28
Elektrokardiographie. Rheographie 33
Grundlagen der Elektrotherapie 36
Biophysik des Sehens. Optische Instrumente 40

1.9 Wärmestrahlung und ihre Eigenschaften 45

2,0 Röntgen 49

2.1 Elemente der Strahlungsphysik. Grundlagen der Dosimetrie 54

3. Diadynamic ist eines der bekanntesten Elektrotherapiegeräte, das die schmerzstillende und krampflösende Wirkung niederfrequenter Ströme für medizinische Zwecke nutzt, um beispielsweise die Durchblutung des Körpers zu verbessern. Der Eingriff wird ausschließlich ärztlich verordnet, die Dauer beträgt 3-6 Minuten (bei akuten Erkrankungen täglich, bei chronischen Erkrankungen 3-mal wöchentlich 5-6 Minuten).

Indikationen: Erkrankungen des Bewegungsapparates, insbesondere Gelenkschmerzen u

Wirbelsäule

Elektroschlaf ist eine Methode der Elektrotherapie, bei der gepulste Ströme mit niedriger oder Schallfrequenz (1-130 Hz), rechteckiger Form, geringer Stärke (bis zu 2-3 mA) und Spannung (bis zu 50 V) verwendet werden und Schläfrigkeit, Benommenheit, und dann Schlaf unterschiedlicher Tiefe und Dauer.
Indikationen: Erkrankungen der inneren Organe (chronische ischämische Herzkrankheit, Bluthochdruck, Hypotonie, Rheuma, Magen- und Zwölffingerdarmgeschwür, Hypothyreose, Gicht), Erkrankungen des Nervensystems (Atherosklerose der Hirngefäße im Anfangsstadium, traumatische Zerebropathie, Hypothalamus). Syndrom, Migräne, Neurasthenie, asthenisches Syndrom, manisch-depressive Psychose, Schizophrenie).

Die Amplipulstherapie ist eine Methode der Elektrotherapie, die auf der Verwendung sinusförmiger modulierter Ströme zu therapeutischen, prophylaktischen und Rehabilitationszwecken basiert.

Ungedämpfte harmonische Schwingungen

Harmonische Schwingungen entstehen unter der Wirkung elastischer oder quasielastischer (elastischer) Kräfte, die durch das Hookesche Gesetz beschrieben werden:

Wo ^F– elastische Kraft;

X – Voreingenommenheit;

k– Elastizitäts- oder Steifigkeitskoeffizient.

Nach Newtons zweitem Gesetz
, Wo A– Beschleunigung, A =
.

Teilen wir Gleichung (1) durch die Masse m und führen wir die Notation ein

, wir erhalten die Gleichung in der Form:

(2).

Gleichung (2) – Differentialgleichung ungedämpfter harmonischer Schwingungen.

Die Lösung sieht so aus: oder .
^ Eigenschaften ungedämpfter harmonischer Schwingungen:

X– Verschiebung; A– Amplitude; T- Zeitraum; – Häufigkeit; – zyklische Frequenz, - Geschwindigkeit; – Beschleunigung, – Phase; 0 – Anfangsphase, E – volle Kraft.

Formeln:

– Anzahl der Schwingungen,

– Zeit, in der N-Schwingungen auftreten;

; oder ;

oder ;

– Phase ungedämpfter harmonischer Schwingungen;

– Gesamtenergie harmonischer Schwingungen.

Gedämpfte harmonische Schwingungen

In realen Systemen, die an oszillierenden Bewegungen beteiligt sind, sind immer Reibungskräfte (Widerstandskräfte) vorhanden:

, – Widerstandskoeffizient;
- Geschwindigkeit.

Dann schreiben wir Newtons zweites Gesetz:

(2)

Lassen Sie uns die Notation einführen:

, Wo

– Dämpfungskoeffizient.

Wir schreiben Gleichung (2) in der Form:

(3)

Gleichung (3) – Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen.

Seine Lösung ist wo

– Amplitude der Schwingungen im Anfangszeitpunkt;

– zyklische Frequenz gedämpfter Schwingungen.

Die Amplitude der Schwingungen ändert sich nach einem Exponentialgesetz:

Reis. 11. Zeitplan X= F(T)

Reis. 12. Zeitplan A T = F(T)

Eigenschaften:

1)
– Zeitraum gedämpfter Schwingungen; 2) – Frequenz gedämpfter Schwingungen; – Eigenfrequenz des Schwingsystems;

3) logarithmische Dämpfungsabnahme (charakterisiert die Abnahmerate der Amplitude):
.

^ Erzwungene Vibrationen

Um ungedämpfte Schwingungen zu erhalten, ist die Einwirkung einer äußeren Kraft erforderlich, deren Arbeit den durch Widerstandskräfte verursachten Energieabfall des Schwingsystems ausgleichen würde. Solche Schwingungen werden erzwungen genannt.

Gesetz der Änderung äußerer Kraft:
, Wo – Amplitude der äußeren Kraft.

Wir schreiben Newtons zweites Gesetz in die Form

Lassen Sie uns die Notation einführen
.

Die Gleichung der erzwungenen Schwingungen hat die Form:

Die Lösung dieser Gleichung im stationären Zustand lautet:

(4)

– Häufigkeit erzwungener Schwingungen.

Aus Formel (4), wann
, die Amplitude erreicht ihren Maximalwert. Dieses Phänomen nennt man Resonanz.

^ 1.3 Biophysik des Hörens. Klang. Ultraschall.

Welle ist der Prozess der Ausbreitung von Schwingungen in einem elastischen Medium.

Wellengleichung drückt die Abhängigkeit der Verschiebung eines am Wellenprozess beteiligten oszillierenden Punktes von der Koordinate seiner Gleichgewichtslage und -zeit aus: S = F (X ; T).

Wenn S und X entlang derselben Geraden gerichtet sind, dann ist die Welle längs, wenn sie senkrecht zueinander stehen, dann die Welle quer

Die Gleichung am Punkt „0“ sieht so aus
. Die Wellenfront erreicht den Punkt „x“ zeitlich verzögert
.

Wellengleichung sieht aus wie
.

Welleneigenschaften:

S– Verschiebung, A– Amplitude, – Frequenz, T– Periode, – zyklische Häufigkeit, - Geschwindigkeit.

– Wellenphase, – Wellenlänge.

Wellenlänge ist der Abstand zwischen zwei Punkten, deren Phasen sich zum gleichen Zeitpunkt unterscheiden
.

^ Wellenfront– eine Menge von Punkten, die gleichzeitig die gleiche Phase haben.

Energiefluss ist gleich dem Verhältnis der von Wellen durch eine bestimmte Oberfläche übertragenen Energie zur Zeit, in der diese Energie übertragen wird:

,
.

Intensität:
, – Quadrat,
.

Der Intensitätsvektor, der die Ausbreitungsrichtung von Wellen angibt und dem Fluss der Wellenenergie durch eine Einheitsfläche senkrecht zu dieser Richtung entspricht, wird aufgerufen Umov-Vektor.

– Dichte des Stoffes.
Schallwellen

Klang ist eine mechanische Welle, deren Frequenz im Bereich liegt,
- Infrasound,
– Ultraschall.

Es gibt Musiktöne (dies ist eine monochromatische Welle mit einer Frequenz oder besteht aus einfachen Wellen mit einem diskreten Satz von Frequenzen – ein komplexer Ton).

^ Lärm ist eine mechanische Welle mit einem kontinuierlichen Spektrum und chaotisch variierenden Amplituden und Frequenzen.

Es hat
, dabei
.

. 1 Dezibel (dB) oder 1 Hintergrund = 0,1 B.

Die Abhängigkeit der Lautstärke von der Frequenz wird anhand experimentell ermittelter gleicher Lautstärkekurven berücksichtigt und zur Beurteilung von Hörfehlern herangezogen. Die Methode zur Messung der Hörschärfe heißt Audiometrie. Ein Gerät zur Messung der Lautstärke wird genannt Schallpegelmesser. Der Lautstärkepegel sollte 40 – 60 dB betragen.

1. Schwingungen. Periodische Schwankungen. Harmonische Schwingungen.

2. Freie Schwingungen. Kontinuierliche und gedämpfte Schwingungen.

3. Erzwungene Vibrationen. Resonanz.

4. Vergleich oszillatorischer Prozesse. Energie ungedämpfter harmonischer Schwingungen.

5. Selbstschwingungen.

6. Schwingungen des menschlichen Körpers und deren Registrierung.

7. Grundkonzepte und Formeln.

8. Aufgaben.

1.1. Schwingungen. Periodische Schwankungen.

Harmonische Schwingungen

Schwingungen sind Prozesse, die sich durch unterschiedliche Wiederholbarkeitsgrade unterscheiden.

Wiederholt In jedem lebenden Organismus laufen ständig Prozesse ab, zum Beispiel: Herzkontraktionen, Lungenfunktion; wir zittern, wenn uns kalt ist; wir hören und sprechen dank der Vibrationen der Trommelfelle und Stimmbänder; Beim Gehen machen unsere Beine oszillierende Bewegungen. Die Atome, aus denen wir bestehen, vibrieren. Die Welt, in der wir leben, ist überraschend anfällig für Schwankungen.

Abhängig von der physikalischen Natur des sich wiederholenden Prozesses werden Vibrationen unterschieden: mechanisch, elektrisch usw. Dieser Vortrag diskutiert mechanische Schwingungen.

Periodische Schwingungen

Periodisch Als solche werden Schwingungen bezeichnet, bei denen sich alle Bewegungsmerkmale nach einer gewissen Zeitspanne wiederholen.

Für periodische Schwingungen werden folgende Eigenschaften verwendet:

Schwingungsdauer T, gleich der Zeit, während der eine vollständige Schwingung auftritt;

Schwingungsfrequenzν, gleich der Anzahl der Schwingungen, die in einer Sekunde ausgeführt werden (ν = 1/T);

Schwingungsamplitude A, gleich der maximalen Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition.

Harmonische Schwingungen

Einen besonderen Platz unter den periodischen Schwingungen nehmen ein harmonisch Schwankungen. Ihre Bedeutung hat folgende Gründe. Erstens haben Schwingungen in Natur und Technik oft einen sehr harmonischen Charakter, und zweitens lassen sich periodische Prozesse anderer Form (mit unterschiedlichem Zeitverlauf) als Überlagerung mehrerer harmonischer Schwingungen darstellen.

Harmonische Schwingungen- Dies sind Schwingungen, bei denen sich die beobachtete Größe im Laufe der Zeit gemäß dem Sinus- oder Cosinusgesetz ändert:

In der Mathematik werden Funktionen dieser Art aufgerufen harmonisch, Daher werden durch solche Funktionen beschriebene Schwingungen auch als harmonisch bezeichnet.

Charakterisiert wird die Lage eines Körpers, der eine oszillierende Bewegung ausführt Verschiebung relativ zur Gleichgewichtslage. In diesem Fall haben die in Formel (1.1) enthaltenen Größen folgende Bedeutung:

X- Voreingenommenheit Körper zum Zeitpunkt t;

A - Amplitude Schwingungen gleich der maximalen Verschiebung;

ω - Kreisfrequenz Schwingungen (Anzahl der in 2 abgeschlossenen Schwingungen π Sekunden), bezogen auf die Schwingungsfrequenz durch die Relation

φ = (ωt +φ 0) - Phase Schwingungen (zum Zeitpunkt t); φ 0 - Anfangsphase Schwingungen (bei t = 0).

Reis. 1.1. Diagramme der Verschiebung über der Zeit für x(0) = A und x(0) = 0

1.2. Kostenlose Vibrationen. Kontinuierliche und gedämpfte Schwingungen

Frei oder eigen Dies sind die Schwingungen, die in einem sich selbst überlassenen System auftreten, nachdem es aus seiner Gleichgewichtslage entfernt wurde.

Ein Beispiel ist die Schwingung einer an einem Faden hängenden Kugel. Um Vibrationen zu erzeugen, müssen Sie den Ball entweder drücken oder durch seitliches Bewegen loslassen. Beim Schieben wird der Ball informiert kinetisch Energie und im Falle einer Abweichung - Potenzial.

Aufgrund der anfänglichen Energiereserve entstehen freie Schwingungen.

Freie ungedämpfte Schwingungen

Freie Schwingungen können nur ohne Reibung ungedämpft werden. Andernfalls wird die anfängliche Energiezufuhr für die Überwindung aufgewendet und die Amplitude der Schwingungen nimmt ab.

Betrachten Sie als Beispiel die Schwingungen eines an einer schwerelosen Feder aufgehängten Körpers, die auftreten, nachdem der Körper nach unten abgelenkt und dann losgelassen wird (Abb. 1.2).

Reis. 1.2. Körperschwingungen an einer Feder

Von der Seite der gedehnten Feder wird der Körper beeinflusst elastische Kraft F, proportional zum Verschiebungswert X:

Der konstante Faktor k heißt Federsteifigkeit und hängt von der Größe und dem Material ab. Das „-“-Zeichen zeigt an, dass die elastische Kraft immer entgegengesetzt zur Verschiebungsrichtung gerichtet ist, d. h. zur Gleichgewichtslage.

Ohne Reibung ist die elastische Kraft (1.4) die einzige Kraft, die auf den Körper wirkt. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz (ma = F):

Nachdem wir alle Terme auf die linke Seite übertragen und durch die Körpermasse (m) dividiert haben, erhalten wir die Differentialgleichung der freien Schwingungen ohne Reibung:

Es stellte sich heraus, dass der Wert ω 0 (1,6) der zyklischen Frequenz entsprach. Diese Frequenz wird aufgerufen eigen.

Somit sind freie Schwingungen ohne Reibung harmonisch, wenn bei Abweichung von der Gleichgewichtslage a elastische Kraft(1.4).

Eigenes Rundschreiben Die Frequenz ist das Hauptmerkmal freier harmonischer Schwingungen. Dieser Wert hängt nur von den Eigenschaften des Schwingsystems ab (im betrachteten Fall von der Masse des Körpers und der Steifigkeit der Feder). Im Folgenden wird immer das Symbol ω 0 zur Bezeichnung verwendet natürliche Kreisfrequenz(d. h. die Frequenz, mit der Schwingungen ohne Reibung auftreten würden).

Amplitude freier Schwingungen wird durch die Eigenschaften des Schwingungssystems (m, k) und die ihm im Anfangszeitpunkt verliehene Energie bestimmt.

In Abwesenheit von Reibung entstehen auch in anderen Systemen freie Schwingungen nahe der Harmonischen: mathematische und physikalische Pendel (die Theorie dieser Probleme wird nicht berücksichtigt) (Abb. 1.3).

Mathe-Pendel- ein kleiner Körper (materieller Punkt), der an einem schwerelosen Faden aufgehängt ist (Abb. 1.3 a). Wird der Faden um einen kleinen (bis zu 5°) Winkel α aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen, so schwingt der Körper mit einer durch die Formel bestimmten Periode

Dabei ist L die Länge des Fadens und g die Erdbeschleunigung.

Reis. 1.3. Mathematisches Pendel (a), physikalisches Pendel (b)

Physikalisches Pendel- ein fester Körper, der unter dem Einfluss der Schwerkraft um eine feste horizontale Achse schwingt. Abbildung 1.3 b zeigt schematisch ein physikalisches Pendel in Form eines Körpers beliebiger Form, der um einen Winkel α von der Gleichgewichtslage abweicht. Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels wird durch die Formel beschrieben

Dabei ist J das Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Achse, m die Masse und h der Abstand zwischen dem Schwerpunkt (Punkt C) und der Aufhängungsachse (Punkt O).

Das Trägheitsmoment ist eine Größe, die von der Masse des Körpers, seiner Größe und seiner Lage relativ zur Rotationsachse abhängt. Das Trägheitsmoment wird nach speziellen Formeln berechnet.

Freie gedämpfte Schwingungen

Die in realen Systemen wirkenden Reibungskräfte verändern die Art der Bewegung erheblich: Die Energie des schwingungsfähigen Systems nimmt ständig ab, ebenso die Schwingungen verblassen oder entstehen gar nicht.

Die Widerstandskraft ist der Bewegung des Körpers entgegengesetzt gerichtet und bei nicht sehr hohen Geschwindigkeiten proportional zur Größe der Geschwindigkeit:

Ein Diagramm solcher Schwankungen ist in Abb. dargestellt. 1.4.

Zur Charakterisierung des Dämpfungsgrades wird eine dimensionslose Größe genannt logarithmisches Dämpfungsdekrementλ.

Reis. 1.4. Zeitabhängigkeit der Auslenkung bei gedämpften Schwingungen

Logarithmisches Dämpfungsdekrement gleich dem natürlichen Logarithmus des Verhältnisses der Amplitude der vorherigen Schwingung zur Amplitude der nachfolgenden Schwingung.

wobei i die Ordnungszahl der Schwingung ist.

Es ist leicht zu erkennen, dass das logarithmische Dämpfungsdekrement durch die Formel ermittelt wird

Starke Dämpfung. Bei

Wenn die Bedingung β ≥ ω 0 erfüllt ist, kehrt das System ohne zu schwingen in die Gleichgewichtslage zurück. Diese Bewegung heißt aperiodisch. Abbildung 1.5 zeigt zwei Möglichkeiten, bei aperiodischer Bewegung in die Gleichgewichtslage zurückzukehren.

Reis. 1.5. Aperiodische Bewegung

1.3. Erzwungene Vibrationen, Resonanz

Freie Schwingungen bei Reibungskräften werden gedämpft. Durch periodische äußere Einwirkung können ungedämpfte Schwingungen erzeugt werden.

Gezwungen Man nennt solche Schwingungen, bei denen das schwingende System einer äußeren periodischen Kraft (man spricht von einer treibenden Kraft) ausgesetzt ist.

Lassen Sie die treibende Kraft sich gemäß dem harmonischen Gesetz ändern

Das Diagramm der erzwungenen Schwingungen ist in Abb. dargestellt. 1.6.

Reis. 1.6. Diagramm der Verschiebung über der Zeit bei erzwungenen Schwingungen

Es ist zu erkennen, dass die Amplitude der erzwungenen Schwingungen allmählich einen stationären Wert erreicht. Stationäre erzwungene Schwingungen sind harmonisch und ihre Frequenz ist gleich der Frequenz der Antriebskraft:

Die Amplitude (A) stationärer erzwungener Schwingungen wird durch die Formel ermittelt:

Resonanz nennt man das Erreichen der maximalen Amplitude erzwungener Schwingungen bei einem bestimmten Wert der Frequenz der Antriebskraft.

Wenn Bedingung (1.18) nicht erfüllt ist, tritt keine Resonanz auf. In diesem Fall nimmt die Amplitude der erzwungenen Schwingungen mit zunehmender Frequenz der Antriebskraft monoton ab und tendiert gegen Null.

Die grafische Abhängigkeit der Amplitude A erzwungener Schwingungen von der Kreisfrequenz der Antriebskraft für verschiedene Werte des Dämpfungskoeffizienten (β 1 > β 2 > β 3) ist in Abb. dargestellt. 1.7. Dieser Satz von Diagrammen wird als Resonanzkurven bezeichnet.

In manchen Fällen ist ein starker Anstieg der Schwingungsamplitude bei Resonanz gefährlich für die Festigkeit des Systems. Es gibt Fälle, in denen Resonanz zur Zerstörung von Strukturen führte.

Reis. 1.7. Resonanzkurven

1.4. Vergleich oszillatorischer Prozesse. Energie ungedämpfter harmonischer Schwingungen

Tabelle 1.1 stellt die Charakteristika der betrachteten Schwingungsprozesse dar.

Tabelle 1.1. Eigenschaften freier und erzwungener Schwingungen

Energie ungedämpfter harmonischer Schwingungen

Ein Körper, der harmonische Schwingungen ausführt, verfügt über zwei Arten von Energie: kinetische Bewegungsenergie E k = mv 2 /2 und potentielle Energie E p, die mit der Wirkung einer elastischen Kraft verbunden ist. Es ist bekannt, dass unter Einwirkung der elastischen Kraft (1.4) die potentielle Energie eines Körpers durch die Formel E p = kx 2 /2 bestimmt wird. Für kontinuierliche Schwingungen X= A cos(ωt), und die Geschwindigkeit des Körpers wird durch die Formel bestimmt v= - À ωsin(ωt). Daraus erhalten wir Ausdrücke für die Energien eines Körpers, der ungedämpfte Schwingungen ausführt:

Die Gesamtenergie des Systems, in dem ungedämpfte harmonische Schwingungen auftreten, ist die Summe dieser Energien und bleibt unverändert:

Dabei ist m die Körpermasse, ω und A die Kreisfrequenz und Amplitude der Schwingungen, k der Elastizitätskoeffizient.

1.5. Selbstschwingungen

Es gibt Systeme, die selbst die periodische Wiederauffüllung verlorener Energie regulieren und daher über einen längeren Zeitraum schwanken können.

Selbstschwingungen- ungedämpfte Schwingungen, die von einer externen Energiequelle unterstützt werden und deren Fluss durch das schwingungsfähige System selbst reguliert wird.

Systeme, in denen solche Schwingungen auftreten, nennt man selbstoszillierend. Die Amplitude und Frequenz der Selbstschwingungen hängen von den Eigenschaften des selbstschwingenden Systems selbst ab. Ein selbstschwingendes System kann durch das folgende Diagramm dargestellt werden:

In diesem Fall wirkt das oszillierende System selbst über einen Rückkopplungskanal auf den Energieregler und informiert ihn über den Zustand des Systems.

Rückmeldung bezieht sich auf die Auswirkung der Ergebnisse eines Prozesses auf seinen Ablauf.

Führt eine solche Einwirkung zu einer Steigerung der Intensität des Prozesses, spricht man von Feedback positiv. Führt der Aufprall zu einer Verringerung der Intensität des Prozesses, spricht man von Feedback Negativ.

In einem selbstschwingenden System können sowohl positive als auch negative Rückkopplungen vorhanden sein.

Ein Beispiel für ein selbstschwingendes System ist eine Uhr, bei der das Pendel durch die Energie eines angehobenen Gewichts oder einer verdrehten Feder Stöße erfährt, die in den Momenten auftreten, in denen das Pendel die Mittelstellung durchläuft.

Beispiele für biologische selbstschwingende Systeme sind Organe wie Herz und Lunge.

1.6. Schwingungen des menschlichen Körpers und deren Registrierung

Die Analyse von Schwingungen, die vom menschlichen Körper oder seinen einzelnen Teilen erzeugt werden, wird in der medizinischen Praxis häufig eingesetzt.

Oszillatorische Bewegungen des menschlichen Körpers beim Gehen

Gehen ist ein komplexer periodischer Bewegungsvorgang, der als Ergebnis der koordinierten Aktivität der Skelettmuskeln des Rumpfes und der Gliedmaßen abläuft. Die Analyse des Gehvorgangs liefert viele diagnostische Anzeichen.

Ein charakteristisches Merkmal des Gehens ist die Periodizität der Stützposition mit einem Bein (einfache Stützperiode) oder zwei Beinen (doppelte Stützperiode). Normalerweise beträgt das Verhältnis dieser Perioden 4:1. Beim Gehen kommt es zu einer periodischen Verschiebung des Schwerpunkts (CM) entlang der Hochachse (normalerweise 5 cm) und einer Abweichung zur Seite (normalerweise 2,5 cm). In diesem Fall bewegt sich das CM entlang einer Kurve, die näherungsweise durch eine harmonische Funktion dargestellt werden kann (Abb. 1.8).

Reis. 1.8. Vertikale Verschiebung des COM des menschlichen Körpers beim Gehen

Komplexe oszillierende Bewegungen unter Beibehaltung einer vertikalen Körperhaltung.

Eine vertikal stehende Person erfährt komplexe Schwingungen des allgemeinen Massenschwerpunkts (GCM) und des Druckzentrums (CP) der Füße auf der Auflageebene. Basierend auf der Analyse dieser Schwankungen Statokinesimetrie- eine Methode zur Beurteilung der Fähigkeit einer Person, eine aufrechte Haltung beizubehalten. Indem die GCM-Projektion innerhalb der Koordinaten der Unterstützungsbereichsgrenze gehalten wird. Diese Methode wird mithilfe eines stabilometrischen Analysators implementiert, dessen Hauptbestandteil eine Stabiloplattform ist, auf der das Subjekt in vertikaler Position sitzt. Schwingungen, die durch die zentrale Bewegung des Probanden bei gleichzeitiger Beibehaltung einer vertikalen Haltung entstehen, werden auf die Stabiloplattform übertragen und von speziellen Dehnungsmessstreifen aufgezeichnet. Die DMS-Signale werden an das Aufzeichnungsgerät übertragen. In diesem Fall steht es geschrieben Statokinesigramm - die Bewegungsbahn des CP des Subjekts auf einer horizontalen Ebene in einem zweidimensionalen Koordinatensystem. Nach dem harmonischen Spektrum Statokinesigramme Es ist möglich, die Merkmale der Vertikalisierung in der Norm und bei Abweichungen davon zu beurteilen. Mit dieser Methode können Sie die Indikatoren der menschlichen statokinetischen Stabilität (SKS) analysieren.

Mechanische Schwingungen des Herzens

Es gibt verschiedene Methoden zur Untersuchung des Herzens, die auf mechanischen periodischen Prozessen basieren.

Ballistokardiographie(BCG) ist eine Methode zur Untersuchung der mechanischen Manifestationen der Herzaktivität, die auf der Aufzeichnung von Pulsmikrobewegungen des Körpers basiert, die durch den Ausstoß von Blut aus den Herzkammern in große Gefäße verursacht werden. In diesem Fall entsteht ein Phänomen Rückstoß. Der menschliche Körper wird auf einer speziellen beweglichen Plattform platziert, die sich auf einem massiven festen Tisch befindet. Durch den Rückstoß gerät die Plattform in eine komplexe Schwingbewegung. Die Abhängigkeit der Verschiebung der Plattform mit dem Körper von der Zeit wird als Ballistokardiogramm bezeichnet (Abb. 1.9), deren Analyse es ermöglicht, die Blutbewegung und den Zustand der Herzaktivität zu beurteilen.

Apexkardiographie(AKG) ist eine Methode zur grafischen Aufzeichnung niederfrequenter Schwingungen des Brustkorbs im Bereich des apikalen Impulses, die durch die Arbeit des Herzens verursacht werden. Die Registrierung des Apexkardiogramms erfolgt in der Regel anhand eines Mehrkanal-Elektrokardiogramms.

Reis. 1.9. Aufzeichnung des Ballistokardiogramms

Diagramm mithilfe eines Piezokristallsensors, der mechanische Schwingungen in elektrische umwandelt. Vor der Aufzeichnung wird der Punkt der maximalen Pulsation (Apex-Impuls) durch Abtasten an der vorderen Brustwand bestimmt, an der der Sensor befestigt wird. Basierend auf den Sensorsignalen wird automatisch ein Apexkardiogramm erstellt. Es wird eine Amplitudenanalyse des ACG durchgeführt – die Amplituden der Kurve werden in verschiedenen Phasen des Herzens mit der maximalen Abweichung von der Nulllinie verglichen – das EO-Segment wird als 100 % angenommen. Abbildung 1.10 zeigt ein Apexkardiogramm.

Reis. 1.10. Aufzeichnung des Apexkardiogramms

Kinetokardiographie(CCG) ist eine Methode zur Aufzeichnung niederfrequenter Schwingungen der Brustwand, die durch Herzaktivität verursacht werden. Ein Kinetokardiogramm unterscheidet sich von einem Apexkardiogramm: Das erste erfasst die absoluten Bewegungen der Brustwand im Raum, das zweite erfasst die Schwankungen der Interkostalräume relativ zu den Rippen. Mit dieser Methode werden der Weg (KKG x), die Bewegungsgeschwindigkeit (KKG v) und die Beschleunigung (KKG a) für Brustschwingungen ermittelt. Abbildung 1.11 zeigt einen Vergleich verschiedener Kinetokardiogramme.

Reis. 1.11. Aufnahme von Kinetokardiogrammen von Weg (x), Geschwindigkeit (v), Beschleunigung (a)

Dynamokardiographie(DCG) – eine Methode zur Beurteilung der Bewegung des Brustschwerpunkts. Mit einem Dynamokardiographen können Sie die Kräfte aufzeichnen, die von der menschlichen Brust ausgehen. Zur Aufnahme eines Dynamokardiogramms wird der Patient auf einem auf dem Rücken liegenden Tisch positioniert. Unter der Brust befindet sich ein Sensorgerät, das aus zwei starren Metallplatten mit den Maßen 30x30 cm besteht, zwischen denen sich elastische Elemente mit darauf montierten Dehnungsmessstreifen befinden. Die auf das Empfangsgerät wirkende Belastung, die periodisch in Größe und Ort der Anwendung variiert, setzt sich aus drei Komponenten zusammen: 1) einer konstanten Komponente – der Masse des Brustkorbs; 2) variabel – die mechanische Wirkung von Atembewegungen; 3) variabel – mechanische Prozesse, die die Herzkontraktion begleiten.

Die Aufzeichnung eines Dynamokardiogramms erfolgt, während der Proband den Atem in zwei Richtungen anhält: relativ zur Längs- und Querachse des Empfangsgeräts. Ein Vergleich verschiedener Dynamokardiogramme ist in Abb. dargestellt. 1.12.

Seismokardiographie basiert auf der Aufzeichnung mechanischer Schwingungen des menschlichen Körpers, die durch die Arbeit des Herzens verursacht werden. Bei dieser Methode wird mithilfe von Sensoren, die an der Basis des Schwertfortsatzes angebracht sind, der Herzimpuls erfasst, der durch die mechanische Aktivität des Herzens während der Kontraktion entsteht. In diesem Fall treten Prozesse auf, die mit der Aktivität von Gewebemechanorezeptoren des Gefäßbetts verbunden sind, die aktiviert werden, wenn das zirkulierende Blutvolumen abnimmt. Das seismisch-kardiosignal wird durch die Form der Brustbeinschwingungen gebildet.

Reis. 1.12. Aufzeichnung normaler longitudinaler (a) und transversaler (b) Dynamokardiogramme

Vibration

Die weit verbreitete Einführung verschiedener Maschinen und Mechanismen in das menschliche Leben erhöht die Arbeitsproduktivität. Der Betrieb vieler Mechanismen ist jedoch mit dem Auftreten von Vibrationen verbunden, die auf den Menschen übertragen werden und sich schädlich auf ihn auswirken.

Vibration- erzwungene Schwingungen des Körpers, bei denen entweder der gesamte Körper als Ganzes oder seine einzelnen Teile mit unterschiedlichen Amplituden und Frequenzen schwingen.

Beim Transport, bei der Arbeit und zu Hause ist der Mensch ständig verschiedenen Vibrationseffekten ausgesetzt. Schwingungen, die an einer beliebigen Stelle des Körpers entstehen (z. B. in der Hand eines Arbeiters, der einen Presslufthammer hält), breiten sich in Form elastischer Wellen im ganzen Körper aus. Diese Wellen verursachen abwechselnde Verformungen verschiedener Art (Druck, Zug, Scherung, Biegung) im Körpergewebe. Die Wirkung von Schwingungen auf einen Menschen wird durch viele Faktoren bestimmt, die Schwingungen charakterisieren: Frequenz (Frequenzspektrum, Grundfrequenz), Amplitude, Geschwindigkeit und Beschleunigung des Schwingungspunktes, Energie schwingender Prozesse.

Eine längere Einwirkung von Vibrationen führt zu einer anhaltenden Störung der normalen physiologischen Funktionen im Körper. Es kann zu einer „Vibrationskrankheit“ kommen. Diese Krankheit führt zu einer Reihe schwerwiegender Störungen im menschlichen Körper.

Die Wirkung von Vibrationen auf den Körper hängt von der Intensität, Frequenz, Dauer der Vibrationen, dem Ort ihrer Anwendung und der Richtung im Verhältnis zum Körper, der Körperhaltung sowie vom Zustand des Menschen und seinen individuellen Eigenschaften ab.

Schwingungen mit einer Frequenz von 3-5 Hz verursachen Reaktionen des Vestibularapparates und Gefäßstörungen. Bei Frequenzen von 3-15 Hz werden Störungen beobachtet, die mit Resonanzschwingungen einzelner Organe (Leber, Magen, Kopf) und des gesamten Körpers verbunden sind. Schwingungen mit Frequenzen von 11–45 Hz verursachen verschwommenes Sehen, Übelkeit und Erbrechen. Bei Frequenzen über 45 Hz kommt es zu Schäden an Hirngefäßen, Durchblutungsstörungen etc. Abbildung 1.13 zeigt die Schwingungsfrequenzbereiche, die eine schädliche Wirkung auf den Menschen und seine Organsysteme haben.

Reis. 1.13. Frequenzbereiche schädlicher Auswirkungen von Vibrationen auf den Menschen

Gleichzeitig werden Vibrationen in einer Reihe von Fällen in der Medizin eingesetzt. Beispielsweise bereitet der Zahnarzt mit einem speziellen Vibrator ein Amalgam vor. Durch den Einsatz hochfrequenter Vibrationsgeräte ist es möglich, ein Loch mit komplexer Form in einen Zahn zu bohren.

Vibrationen werden auch bei der Massage eingesetzt. Bei der manuellen Massage wird das zu massierende Gewebe mit den Händen des Masseurs in eine oszillierende Bewegung versetzt. Bei der Hardware-Massage kommen Vibratoren zum Einsatz, bei denen unterschiedlich geformte Spitzen oszillierende Bewegungen auf den Körper übertragen. Vibrationsgeräte werden unterteilt in Geräte für allgemeine Vibrationen, die eine Erschütterung des gesamten Körpers bewirken (vibrierender „Stuhl“, „Bett“, „Plattform“ usw.) und Geräte für lokale Vibrationseffekte auf einzelne Körperbereiche.

Mechanotherapie

In der Physiotherapie (Physiotherapie) werden Simulatoren eingesetzt, an denen oszillierende Bewegungen verschiedener Teile des menschlichen Körpers ausgeführt werden. Sie werden verwendet in Mechanotherapie - Form der Bewegungstherapie, zu deren Aufgaben die Durchführung dosierter, rhythmisch wiederholter Körperübungen mit dem Ziel gehört, die Beweglichkeit der Gelenke mithilfe von Pendelgeräten zu trainieren oder wiederherzustellen. Die Grundlage dieser Geräte ist das Auswuchten (aus dem Französischen). Balancer- Schwingen, Gleichgewicht) ein Pendel, bei dem es sich um einen doppelarmigen Hebel handelt, der oszillierende (schaukelnde) Bewegungen um eine feste Achse ausführt.

1.7. Grundlegende Konzepte und Formeln

Fortsetzung der Tabelle

Ende der Tabelle

1.8. Aufgaben

1. Nennen Sie Beispiele für Schwingungssysteme beim Menschen.

2. Bei einem Erwachsenen schlägt das Herz 70 Mal pro Minute. Bestimmen Sie: a) Häufigkeit der Kontraktionen; b) Anzahl der Entlassungen über 50 Jahre

Antwort: a) 1,17 Hz; b) 1,84x10 9.

3. Welche Länge muss ein mathematisches Pendel haben, damit seine Schwingungsdauer 1 Sekunde beträgt?

4. Ein dünner, gerader, homogener Stab von 1 m Länge ist mit seinem Ende an einer Achse aufgehängt. Bestimmen Sie: a) Wie groß ist die Periode seiner (kleinen) Schwingungen? b) Wie lang ist ein mathematisches Pendel mit der gleichen Schwingungsdauer?

5. Ein 1 kg schwerer Körper schwingt nach dem Gesetz x = 0,42 cos(7,40 t), wobei t in Sekunden und x in Metern gemessen wird. Finden Sie: a) Amplitude; b) Häufigkeit; c) Gesamtenergie; d) kinetische und potentielle Energie bei x = 0,16 m.

6. Schätzen Sie die Geschwindigkeit, mit der eine Person geht, anhand ihrer Schrittlänge l= 0,65 m. Beinlänge L = 0,8 m; der Schwerpunkt liegt im Abstand H = 0,5 m vom Fuß. Für das Trägheitsmoment des Beins relativ zum Hüftgelenk verwenden Sie die Formel I = 0,2 ml 2.

7. Wie kann man die Masse eines kleinen Körpers an Bord einer Raumstation bestimmen, wenn man über eine Uhr, eine Feder und einen Satz Gewichte verfügt?

8. Die Amplitude gedämpfter Schwingungen nimmt über 10 Schwingungen um 1/10 ihres ursprünglichen Wertes ab. Schwingungsdauer T = 0,4 s. Bestimmen Sie das logarithmische Dekrement und den Dämpfungskoeffizienten.

Betrachten wir Schwingungen, die in mechanischen Systemen auftreten.

Oszillationen sind Prozesse, die im Laufe der Zeit unterschiedlich stark wiederholbar sind.

Sie sind frei, wenn sie aufgrund der zunächst zugeführten Energie in der anschließenden Abwesenheit äußerer Einflüsse auf das schwingungsfähige System erreicht werden. Freie Schwingungen können sein ungedämpft und gedämpft.

Eine andere Art von Schwingung - gezwungen, sie werden unter dem Einfluss einer äußeren, periodisch wirkenden Kraft erreicht.

Die einfachste Art von Schwingungen sind harmonisch. Sowohl freie als auch erzwungene Schwingungen können harmonisch sein.

1.1. Freie ungedämpfte Schwingungen

Die Schwingung, bei der der Wert X schwankende Mengenänderungen im Laufe der Zeit T vor dem Gesetz

x = A sin(ω 0 T+a 0) oder

x = Aсos(ω 0 t+ a), (1.1)

angerufen harmonisch.

In Ausdrücken (1.1) für mechanische Schwingungen X- Verschiebung eines oszillierenden Punktes aus der Gleichgewichtslage; A- Schwingungsamplitude (maximale Verschiebung); (ω 0 t+A) - Phase der Schwingungen im Moment der Zeit T; a, a 0 - Anfangsphasen im Moment der Zeit t = 0; ω 0 - natürliche zyklische Frequenz. Aus einem Vergleich der Gleichungen wird deutlich, dass die Anfangsphasen zusammenhängen: a = a 0 - p / 2. In SI wird die Phase in gemessen Bogenmaß(Der Einfachheit halber in Anteile p, zum Beispiel p/2), kann aber auch in Grad gemessen werden.

Unter dem Einfluss von entstehen mechanische harmonische Schwingungen elastisch oder quasielastisch eine Kraft, die proportional zur Verschiebung ist und immer auf die Gleichgewichtslage gerichtet ist, also dem Gesetz gehorcht F = - k x, Wo k- Proportionalitätskoeffizient (für elastische Kraft, Steifigkeitskoeffizient).

Da - 1 ≤ сos(ω 0 T+a) ≤ 1 und - 1 ≤ sin(ω 0 T+a 0) ≤ 1, dann der Wert X variiert zwischen - A bis + A.

Man nennt die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit FrequenzN, und die Zeit einer vollständigen Schwingung ist Schwingungsdauer T. Die Periode der harmonischen Funktion hängt von der zyklischen Frequenz ab:

T= 2p / ω 0 . (1.2)

Die Frequenz ist daher umgekehrt proportional zur Periode

N = 1 /T,ω 0 = 14 Uhr . (1.3)

Die Einheit der Frequenz ist Hertz(Hz). 1 Hz ist die Schwingungsfrequenz, bei der in einer Sekunde eine vollständige Schwingung auftritt, 1 Hz = 1 s -1.

Die zyklische Frequenz ist gleich der Anzahl vollständiger Schwingungen in 2p Sekunden, gemessen in s -1.

Schwingungsperiode T kann aus den Diagrammen (Abb. 1.1) ermittelt werden.

Kosinus und Sinus sind periodische Funktionen und werden daher durch den Wert des Arguments wiederholt, der 2 π im Bogenmaß entspricht, d. h. nach einer Schwingungsperiode wechselt die Phase zu 2π Bogenmaß. Funktion X= Sünde( T) beginnt bei Null, in Abb. 1.1, A sein Anfang ist links von der Achse Ochse, wird der Graph zeitlich um verschoben T/8 und in Phase um π/4 rad. Um zum Anfang des Diagramms zurückzukehren, müssen Sie sich bewegen Von Zeitachse, daher wird die Phase mit einem Pluszeichen angegeben: α 0 = π/4 rad.

Countdown Anfangsphase nach dem Kosinusgesetz (Abb. 1.1, B) erfolgt aus dem „Buckel“ des Graphen, da die Funktion X= cos( T) ist gleich Eins bei T= 0. Der Graph wird so verschoben, dass der nächste maximale Kosinuswert relativ zur Achse rechts liegt Ochse: mit der Zeit T/8 und in Phase um π/4 rad. Die Rückkehr zum Ursprung der Koordinatenachsen erfolgt entgegengesetzt zur Zeitachse; die Anfangsphase wird in diesem Fall mit einem Minuszeichen betrachtet: α = - π/4 rad. Momentane Phase Schwingungen bestimmen den Zustand des Schwingsystems zu einem bestimmten Zeitpunkt. Für einen Punkt M(Abb. 1.1, B) in der Gleichung nach dem Sinusgesetz ist die Schwingungsphase gleich π Bogenmaß, weil vom nächstgelegenen Funktionswert X= Sünde( T) bei T= 0 Die Hälfte des Zeitraums ist vor dem angegebenen Zeitpunkt vergangen. Vom nächstgelegenen „Buckel“ ist ein Viertel der Periode vergangen, sodass nach dem Kosinusgesetz die Phase gleich π/2 Bogenmaß ist.

Wir erinnern Sie daran, dass diese Funktionen periodisch sind, sodass Sie eine gerade Zahl π zur Phase addieren (oder subtrahieren) können – dies ändert nichts am Zustand des Schwingungssystems.

1.2. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Energie eines oszillierenden Punktes

Geschwindigkeit eines oszillierenden Punktes ist die erste Ableitung der zeitlichen Verschiebung des Punktes (nehmen wir die zweite des Gleichungspaares (1.1) als Grundlage):

Hier u max =Aω 0 - maximal Geschwindigkeit, oder Geschwindigkeitsamplitude.

Beschleunigung ist die zweite Ableitung der zeitlichen Verschiebung des Punktes:

Wo A max =Aω 0 2 - maximale Beschleunigung, oder Beschleunigungsamplitude.

Aus den Formeln (1.1), (1.4) und (1.5) geht hervor, dass Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung nicht übereinstimmen nach Phase (Abb. 1.2). Zu Zeiten, in denen die Verschiebung maximal ist, ist die Geschwindigkeit Null und die Beschleunigung nimmt einen maximalen negativen Wert an. Weg und Beschleunigung sind drin Gegenphase- das sagt man, wenn die Phasendifferenz gleich p ist. Die Beschleunigung ist immer in die der Verschiebung entgegengesetzte Richtung gerichtet.

Gesamtschwingungsenergie gleich der Summe der kinetischen und potentiellen Energien des Schwingungspunktes:

W=W Zu + W P = mdu 2 / 2+ kx 2/ 2.

Ersetzen wir unter Berücksichtigung dieser Formeln die Formeln (1.4) und (1.1) in diesen Ausdruck k = m ω 0 2 (wie weiter unten gezeigt wird), erhalten wir

W = kA 2/ 2 = m A 2ω 0 2 /2. (1.6)

Aus dem Vergleich von Funktionsgraphen X(T), W Zu ( T) Und W P ( T) (Abb. 1.3) ist klar, dass die Frequenz der Energieschwingungen doppelt so groß ist wie die Frequenz der Verschiebungsschwingungen.

Durchschnittswert der potenziellen und kinetischen Energie für den Zeitraum T gleich der Hälfte der Gesamtenergie (Abb. 1.3):

Beispiel 1. Ein materieller Punkt mit einer Masse von 5 g schwingt nach der Gleichung wo X– Weg, siehe Maximalkraft und Gesamtenergie ermitteln.

Lösung: Die maximale Kraft wird durch die Formel ausgedrückt wobei (siehe Formel (1.5)). Dann F max = mAω 0 2 . Aus der Schwingungsgleichung folgt Folgendes: Ersetzen wir die Zahlenwerte: F max =5∙10 -3 0,1∙4 = 2∙10 -3 N = 2mN.

Gesamtenergie Zusammenfassend E= 0,5∙5∙10 -3 ∙4∙10 -2 = 10 -4 J.

1.3. Differentialgleichung

freie ungedämpfte Schwingungen. Pendel

Ein System, das aus einem Massenkörper besteht M an einer Feder aufgehängt, deren anderes Ende fest ist, heißt Federpendel(Abb. 1.4). Dieses System dient als Vorbild linearer Oszillator.

Wenn Sie eine Feder um einen bestimmten Betrag dehnen (stauchen). X, dann entsteht eine elastische Kraft, die dazu neigt, den Körper wieder in die Gleichgewichtslage zu bringen. Für kleine Verformungen gilt das Hookesche Gesetz: F = - kx, Wo k- Federsteifigkeitskoeffizient. Schreiben wir Newtons zweites Gesetz auf:

ma = - kx. (1.7)

Das Minuszeichen bedeutet, dass die elastische Kraft entgegengesetzt zur Verschiebung gerichtet ist X. Ersetzen wir die Beschleunigung in diese Gleichung A Schwingpunkt aus Gleichung (1.5) erhalten wir
- Mω 0 2 x = - k x,
Wo k = mω 0 2 , Schwingungsperiode

(1.8)

Somit ist die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude abhängig.

Beispiel 2. Unter dem Einfluss der Schwerkraft der Last dehnt sich die Feder um 5 cm aus. Nachdem sie aus dem Ruhezustand entfernt wurde, führt die Last harmonische Schwingungen aus. Bestimmen Sie die Periode dieser Schwingungen.

Lösung: Die Schwingungsdauer des Federpendels wird mit der Formel (1.8) ermittelt. Wir berechnen den Federsteifigkeitskoeffizienten mithilfe des Hookeschen Gesetzes, basierend auf der Tatsache, dass die Feder unter dem Einfluss der Schwerkraft gedehnt wird: mg = -kx, woher das Modul kommt k =mg/X. Lasst uns ersetzen k in Formel (1.8):

Lassen Sie uns Berechnungen durchführen und die Maßeinheit anzeigen:

Aus Formel (1.7) folgt die Differentialgleichung harmonischer Schwingungen:

oder

Die Einstellung ersetzen k/m =ω 0 2 , wir erhalten Differentialgleichung natürliche ungedämpfte Schwingungen in der Form

Ungedämpfte Schwingungen

(4.1)
Schreiben wir diese Gleichung in Projektionen auf die x-Achse (Abb. 4.1).

Wir stellen die Projektion der Beschleunigung auf die x-Achse als zweite Ableitung der x-Koordinate nach der Zeit dar. Die zeitliche Differenzierung wird üblicherweise durch einen Punkt über dem Buchstabenausdruck der Größe dargestellt. Die zweite Ableitung ist mit zwei Punkten markiert. Dann schreiben wir Gleichung (4.1) in der Form um:

(4.2)
Das Minuszeichen auf der rechten Seite von Gleichung (4.2) zeigt, dass die Kraft gegen die Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage gerichtet ist. Bezeichnen wir k/m mit w2 und geben wir Gleichung (4.2) die Form:

(4.3)
Wo

(4.4)
Gleichung (4.3) wird als harmonische Oszillatorgleichung bezeichnet. Wir sind bereits auf eine ähnliche Gleichung gestoßen (Gleichung 3.29) und werden ihr noch mehr als einmal begegnen. Dies ist eine Differentialgleichung. Sie unterscheidet sich von der Algebra dadurch, dass das darin Unbekannte eine Funktion (in unserem Fall eine Funktion der Zeit) und keine Zahl ist, und auch darin, dass sie Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Eine Differentialgleichung zu lösen bedeutet, eine Funktion x(t) zu finden, die, wenn sie in die Gleichung eingesetzt wird, diese in eine Identität umwandelt. Wir suchen nach einer Lösung im Auswahlverfahren (mit anschließender Überprüfung). Es gibt Grund zu der Annahme, dass die Lösung unserer Gleichung eine Funktion der Form ist

(4.5)
Funktion (4.5) ist eine Sinusfunktion in allgemeiner Form. Die Parameter A, a, j0, 0 sind noch nicht bestimmt und nur die Einsetzung der Funktion (4.5) in Gleichung (4.3) zeigt, wie sie gewählt werden sollten. Finden wir die zweite Ableitung der Funktion (4.5) und setzen sie in Gleichung (4.3) ein:

(4.6)

(4.7)
Reduzieren wir die Terme der Gleichung um Asin(at + j0) und erhalten:

(4.8)
Die Tatsache, dass nach Ablauf der Reduktionszeit kein „Ausscheiden“ aus der Gleichung erfolgt, weist darauf hin, dass der Typ der gesuchten Funktion richtig gewählt wurde. Gleichung (4.8) zeigt, dass a gleich w sein muss.
Die Konstanten A und j0 können nicht aus der Bewegungsgleichung ermittelt werden, sondern müssen aus anderen Überlegungen ermittelt werden. Die Lösung der harmonischen Oszillatorgleichung ist also die Funktion

(4.9)
Wie können wir die Konstanten A und j0 bestimmen? Sie heißen beliebige Konstanten und werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Der Punkt ist, dass es irgendwann zu Schwankungen kommen muss. Ihr Auftreten wird durch einige äußere Gründe verursacht. Betrachten wir zwei verschiedene Fälle des Auftretens von Schwingungen: 1) Schwingungen einer Feder, die vom Experimentator um einen Betrag x0 zurückgezogen und dann freigegeben wird. 2) Schwingungen eines an einer Feder aufgehängten Körpers, der mit einem Hammer geschlagen wurde und dem im Anfangszeitpunkt eine Geschwindigkeit v0 verliehen wurde. Finden wir die Konstanten A und j0 für diese Fälle.

(4.10)
Differenzieren wir (4.9) nach der Zeit, d.h. Lassen Sie uns die Geschwindigkeit des Körpers ermitteln:

(4.11)
Setzen wir die Anfangsbedingungen in die Gleichungen (4.9) und (4.11) ein:

(4.12)
Daraus folgt, dass 0 = p/2, A = x0.
Das Gesetz der Körperbewegung wird endlich Gestalt annehmen

(4.13)
2) Bei t = 0 x = 0 und Geschwindigkeit v = x = v0 .
Ersetzen wir neue Anfangsbedingungen in die Gleichungen (4.9) und (4.11):
0=Asin J 0,
v0=Awcos J 0.
(4.14)
Wir erhalten das bei 0 = 0 A = v0/w. Das Bewegungsgesetz nimmt die Form an

(4.15)
Natürlich sind auch andere, komplexere Anfangsbedingungen möglich, aus denen neue Konstanten A und j0 gefunden werden müssen. Somit ist Lösung (4.9) eine allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung eines Körpers. Daraus kann ausgehend von den Anfangsbedingungen eine bestimmte Lösung gefunden werden, die einen bestimmten Bewegungsfall beschreibt.
Lassen Sie uns nun die physikalische Bedeutung der eingeführten Konstanten A, j0,w ermitteln. Offensichtlich stellt A die Amplitude der Schwingungen dar, d.h. die größte Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtslage. j0 wird als Anfangsphase der Schwingung bezeichnet, und das Argument des Sinus (wt + j0) wird als Phase bezeichnet. Die Phase bestimmt den Zustand eines sich bewegenden Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wenn Sie die Phase (Sinus-Argument) kennen, können Sie die Position des Körpers (seine Koordinate) und seine Geschwindigkeit ermitteln. j0 ist die Phase zum Anfangszeitpunkt.
Es bleibt die Bedeutung des Parameters w herauszufinden. In einer Zeit, die der Periode entspricht
Schwingungen T, d.h. während einer vollständigen Schwingung ändert sich das Argument des Sinus um 2p. Daher ist wТ = 2p, daher

(4.16)
Formel (4.16) zeigt, dass w die Anzahl der Schwingungen in einer Zeit von 2p Sekunden ist – die zyklische Frequenz. Letzteres hängt durch die Beziehung mit der Frequenz n zusammen

(4.17)
Finden wir die Energie freier Schwingungen. Es wird durch zwei Arten von Energie repräsentiert: kinetische und potentielle Energie.

(4.18)
Wenn wir die Werte von x und v gemäß den Beziehungen (4.9) und (4.11) in diese Formel einsetzen, erhalten wir:

(4.19)

Somit ist die Energie freier Schwingungen proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude.
Achten wir auf den folgenden Umstand. Die Sinus- und Kosinusfunktionen unterscheiden sich nur dadurch voneinander, dass die eine gegenüber der anderen um /2 phasenverschoben ist. Das Quadrat des Sinus bestimmt die potentielle Energie und das Quadrat des Kosinus bestimmt die kinetische Energie. Daraus folgt, dass die zeitlich gemittelte (z. B. über die Schwingungsdauer) kinetische und potentielle Energie gleich ist, d. h.

(4.20)
Und

(4.21)

UNgedämpfte Schwingungen – Schwingungen mit konstanter Amplitude.

Feierabend -

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Typ