Ax2 bx c 0 Erweiterung. Faktorisieren eines quadratischen Trinoms. Alternative Lösung
Entwicklung einer offenen Lektion
Algebra in der 8. Klasse
zum Thema: „Quadratisches Trinom. Faktorisierung eines quadratischen Trinoms.
Mathematiklehrer, KSU-Sekundarschule Nr. 16, Karaganda
Bekenova G.M.
Karaganda 2015
„Mathematik kann man nicht durch Beobachtung lernen.“
Larry Niven – Professor für Mathematik
Unterrichtsthema:
Quadratisches Trinom.
Faktorisieren eines quadratischen Trinoms.
Lernziele:
1. Das erfolgreiche Üben und Anwenden des Wissens aller Schüler in der Klasse bei der Faktorisierung eines quadratischen Trinoms erreichen.
2. Förderung: a) der Entwicklung von Selbstkontrolle und Selbstlernen,
b) die Fähigkeit, ein interaktives Whiteboard zu nutzen,
c) Entwicklung mathematischer Kenntnisse und Genauigkeit.
3. Entwickeln Sie die Fähigkeit, Ihre Gedanken kompetent und prägnant auszudrücken, den Standpunkt Ihrer Klassenkameraden zu tolerieren und mit den erzielten Ergebnissen zufrieden zu sein.
Unterrichtsart: ein kombinierter Unterricht mit einem differenzierten und individuellen Ansatz, mit Elementen des Entwicklungs- und Fortgeschrittenenlernens.
Unterrichtsort: In der dritten Lektion zu diesem Thema (Hauptstunde) lernten die Schüler in den ersten beiden die Definition eines quadratischen Trinoms, lernten, seine Wurzeln zu finden, machten sich mit dem Algorithmus zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms vertraut, der später bei der Lösung von Gleichungen helfen wird. Brüche reduzieren und algebraische Ausdrücke umwandeln.
Unterrichtsaufbau:
1 Wissensaktualisierung durch differenzierte Herangehensweise an Studierende.
2 Kontrolle ist die Selbstprüfung bereits erworbenen Wissens.
3 Die Präsentation neuen Materials ist teilweise eine Suchmethode.
4 Primäre Festigung des Gelernten, eine individuell differenzierte Herangehensweise.
5 Verständnis, Verallgemeinerung von Wissen.
6 Hausaufgaben durch problembasiertes Lernen stellen.
Ausrüstung: interaktives Whiteboard, normales Whiteboard, Aufgabenkarten, Algebra 8-Lehrbuch, Kopierpapier und leere Blätter, Physiognomiesymbole.
Während des Unterrichts
Zeit organisieren(1 Minute).
1. Begrüßung der Schüler; Überprüfung ihrer Bereitschaft für den Unterricht.
2. Kommunizieren Sie den Zweck der Lektion.
Stufe I.
“Wiederholung ist die Mutter des Lernens.“
1. Hausaufgaben überprüfen. Nr. 476 (b,d), Nr. 474, Nr. 475
2. Individuelle Arbeit an Karten (4 Personen) (während der Hausaufgabenkontrolle) (5 Minuten)
Stufe II.
„Vertrauen, aber prüfen“
Testarbeit mit Selbstkontrolle.
Testarbeit (mittels Kohlepapier) mit Selbsttest.
Option 1 m II-Option
1) 2)
2. Faktorisieren Sie das quadratische Trinom:
Antworten
Arbeit zu testen
„Vertrauen, aber prüfen.“
1. Finden Sie die Wurzeln des quadratischen Trinoms:
І Option ІІ Variation NT
2. Faktorisieren Sie das quadratische Trinom:
1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)
2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);
3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).
Ein paar bemerkenswerte Antworten, die es zu beachten gilt.
Frage an Studierende:
Wo können wir Ihrer Meinung nach die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms anwenden?
Richtig: Beim Lösen von Gleichungen
beim Kürzen von Brüchen,
bei der Transformation algebraischer Ausdrücke.
Stufe III
” Geschick und Arbeit werden alles zerstören“(10 Minuten)
1. Erwägen Sie die Verwendung der Faktorisierung eines quadratischen Trinoms beim Reduzieren von Brüchen. Die Schüler arbeiten an der Tafel.
Bruch reduzieren:
2. Betrachten wir nun die Verwendung der Faktorisierung eines quadratischen Trinoms bei Transformationen algebraischer Ausdrücke.
Lehrbuch. Algebra 8. S. 126 Nr. 570 (b)
Zeigen Sie nun, wie Sie die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms verwenden.
Stufe IV
"Schmiede das Eisen so lange es heiss ist!"
Selbstständiges Arbeiten (13 Minuten)
Option I Option 1
Bruch reduzieren:
5. Mir wurde klar, dass…….
6. Jetzt kann ich…….
7. Ich habe gespürt, dass…..
8. Ich habe gekauft….
9. Ich habe gelernt…….
10. Ich habe es geschafft………
11.Ich konnte….
12. Ich werde es versuchen......
13. Ich war überrascht…..
14. Er hat mir eine Lektion fürs Leben gegeben….
15. Ich wollte….
Informationen zu Hausaufgaben: Bringen Sie zu Ihrer nächsten Unterrichtsstunde die unabhängigen Hausaufgaben mit, die Sie vor einer Woche erhalten haben.
Unabhängiges Arbeiten zu Hause.
Option I Option 1
№ 560 (a,c) Nr. 560 (b,d)
№ 564 (a,c) Nr. 564(b,d)
№ 566 (a) Nr. 566 (b)
№ 569 (a) Nr. 569 (b)
№ 571 (a,c) Nr. 571 (b,d)
Die Lektion ist beendet.
Faktorisieren eines quadratischen Trinoms kann nützlich sein, wenn Ungleichungen aus Problem C3 oder Problem mit Parameter C5 gelöst werden. Außerdem werden viele B13-Textaufgaben viel schneller gelöst, wenn Sie den Satz von Vieta kennen.
Dieser Satz kann natürlich aus der Perspektive der 8. Klasse betrachtet werden, in der er erstmals gelehrt wird. Unsere Aufgabe ist es aber, uns gut auf das Einheitliche Staatsexamen vorzubereiten und zu lernen, Prüfungsaufgaben möglichst effizient zu lösen. Daher wird in dieser Lektion ein etwas anderer Ansatz als in der Schule betrachtet.
Formel für die Wurzeln der Gleichung unter Verwendung des Satzes von Vieta Viele Menschen wissen (oder haben es zumindest gesehen):
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
wobei „a, b“ und „c“ die Koeffizienten des quadratischen Trinoms „ax^2+bx+c“ sind.
Um zu lernen, wie man den Satz einfach anwenden kann, sollten wir zunächst verstehen, woher er kommt (dadurch wird es tatsächlich leichter, ihn sich zu merken).
Lassen Sie uns die Gleichung „ax^2+ bx+ c = 0“ haben. Teilen Sie es der Einfachheit halber durch „a“ und erhalten Sie „x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0“. Eine solche Gleichung heißt eine reduzierte quadratische Gleichung.
Wichtiger Unterrichtsgedanke: Jedes quadratische Polynom mit Wurzeln kann in Klammern erweitert werden. Nehmen wir an, dass unsere als „x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)“ dargestellt werden kann, wobei „k“ und „ l` - einige Konstanten.
Mal sehen, wie sich die Klammern öffnen:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Somit ist „k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)“.
Dies unterscheidet sich geringfügig von der klassischen Interpretation Satz von Vieta- Darin suchen wir nach den Wurzeln der Gleichung. Ich schlage vor, nach Begriffen für zu suchen Klammerzerlegung- Auf diese Weise müssen Sie sich nicht an das Minus aus der Formel erinnern (bedeutet „x_1+x_2 = -\frac(b)(a)“). Es reicht aus, zwei solcher Zahlen auszuwählen, deren Summe gleich dem durchschnittlichen Koeffizienten ist und deren Produkt gleich dem freien Term ist.
Wenn wir eine Lösung der Gleichung brauchen, dann ist es offensichtlich: die Wurzeln „x=-k“ oder „x=-l“ (da in diesen Fällen eine der Klammern Null ist, was bedeutet, dass der gesamte Ausdruck Null ist ).
Ich zeige Ihnen den Algorithmus als Beispiel: So erweitern Sie ein quadratisches Polynom in Klammern.
Beispiel eins. Algorithmus zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms
Der Weg, den wir haben, ist ein Quadrantentrinom „x^2+5x+4“.
Es wird reduziert (der Koeffizient von „x^2“ ist gleich eins). Er hat Wurzeln. (Um sicherzugehen, können Sie die Diskriminante schätzen und sicherstellen, dass sie größer als Null ist.)
Weitere Schritte (Sie müssen sie erlernen, indem Sie alle Trainingsaufgaben abschließen):
- Vervollständigen Sie den folgenden Eintrag: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Lassen Sie anstelle von Punkten freien Platz, wir werden dort passende Zahlen und Zeichen hinzufügen.
- Betrachten Sie alle möglichen Möglichkeiten, die Zahl „4“ in das Produkt zweier Zahlen zu zerlegen. Wir erhalten Paare von „Kandidaten“ für die Wurzeln der Gleichung: „2, 2“ und „1, 4“.
- Finden Sie heraus, von welchem Paar Sie den Durchschnittskoeffizienten erhalten können. Offensichtlich ist es „1, 4“.
- Schreiben Sie $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Der nächste Schritt besteht darin, Schilder vor den eingefügten Zahlen zu platzieren.
Wie kann man verstehen und sich für immer daran erinnern, welche Zeichen vor den Zahlen in Klammern stehen sollten? Versuchen Sie, sie zu öffnen (Klammern). Der Koeffizient vor „x“ zur ersten Potenz beträgt „(± 4 ± 1)“ (wir kennen die Vorzeichen noch nicht – wir müssen wählen) und sollte gleich „5“ sein. Offensichtlich wird es zwei Pluspunkte $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ geben.
Führen Sie diesen Vorgang mehrmals durch (Hallo, Trainingsaufgaben!) und Sie werden nie wieder Probleme damit haben.
Wenn Sie die Gleichung „x^2+5x+4“ lösen müssen, wird es jetzt nicht schwierig sein, sie zu lösen. Seine Wurzeln sind „-4, -1“.
Beispiel zwei. Faktorisierung eines quadratischen Trinoms mit Koeffizienten unterschiedlichen Vorzeichens
Lassen Sie uns die Gleichung „x^2-x-2=0“ lösen. Ohne weiteres ist die Diskriminante positiv.
Wir folgen dem Algorithmus.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Es gibt nur eine Faktorisierung von zwei in ganzzahlige Faktoren: „2 · 1“.
- Wir überspringen den Punkt – es gibt nichts zur Auswahl.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Das Produkt unserer Zahlen ist negativ („-2“ ist der freie Term), was bedeutet, dass eine davon negativ und die andere positiv ist.
Da ihre Summe gleich „-1“ (dem Koeffizienten von „x“) ist, ist „2“ negativ (die intuitive Erklärung ist, dass zwei die größere der beiden Zahlen ist, sie wird stärker „ziehen“. negative Richtung). Wir erhalten $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$
Drittes Beispiel. Faktorisieren eines quadratischen Trinoms
Die Gleichung lautet „x^2+5x -84 = 0“.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Zerlegung von 84 in ganzzahlige Faktoren: „4 21, 6 14, 12 7, 2 42“.
- Da die Differenz (oder Summe) der Zahlen 5 sein muss, ist das Paar „7, 12“ geeignet.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Hoffnung, Erweiterung dieses quadratischen Trinoms in Klammern Es ist klar.
Wenn Sie eine Lösung für eine Gleichung benötigen, finden Sie sie hier: „12, -7“.
Trainingsaufgaben
Ich mache Sie auf einige Beispiele aufmerksam, die leicht umzusetzen sind werden mit dem Satz von Vieta gelöst.(Beispiele aus der Zeitschrift „Mathematik“, 2002.)
- „x^2+x-2=0“.
- „x^2-x-2=0“.
- „x^2+x-6=0“.
- „x^2-x-6=0“.
- „x^2+x-12=0“.
- „x^2-x-12=0“.
- „x^2+x-20=0“.
- „x^2-x-20=0“.
- „x^2+x-42=0“.
- „x^2-x-42=0“.
- „x^2+x-56=0“.
- „x^2-x-56=0“.
- „x^2+x-72=0“.
- „x^2-x-72=0“.
- „x^2+x-110=0“.
- „x^2-x-110=0“.
- „x^2+x-420=0“.
- „x^2-x-420=0“.
Einige Jahre nach dem Verfassen des Artikels erschien eine Sammlung von 150 Aufgaben zur Entwicklung eines quadratischen Polynoms unter Verwendung des Satzes von Vieta.
Liken und stellen Sie Fragen in den Kommentaren!
Polynome zu erweitern, um ein Produkt zu erhalten, kann manchmal verwirrend erscheinen. Aber es ist gar nicht so schwierig, wenn man den Prozess Schritt für Schritt versteht. Der Artikel beschreibt ausführlich, wie man ein quadratisches Trinom faktorisiert.
Viele Menschen verstehen nicht, wie man ein quadratisches Trinom faktorisiert und warum man das macht. Auf den ersten Blick mag es wie eine vergebliche Übung erscheinen. Aber in der Mathematik wird nichts umsonst getan. Die Transformation ist notwendig, um den Ausdruck zu vereinfachen und die Berechnung zu erleichtern.
Ein Polynom der Form – ax²+bx+c, ein quadratisches Trinom genannt. Der Begriff „a“ muss negativ oder positiv sein. In der Praxis wird dieser Ausdruck als quadratische Gleichung bezeichnet. Deshalb sagen sie es manchmal anders: wie man eine quadratische Gleichung erweitert.
Interessant! Ein Polynom wird wegen seines größten Grades, dem Quadrat, Quadrat genannt. Und ein Trinom – wegen der 3 Komponenten.
Einige andere Arten von Polynomen:
- lineares Binomial (6x+8);
- kubisches Quadrinom (x³+4x²-2x+9).
Faktorisieren eines quadratischen Trinoms
Zuerst ist der Ausdruck gleich Null, dann müssen Sie die Werte der Wurzeln x1 und x2 ermitteln. Möglicherweise gibt es keine Wurzeln, es können aber eine oder zwei Wurzeln vorhanden sein. Das Vorhandensein von Wurzeln wird durch die Diskriminante bestimmt. Sie müssen die Formel auswendig kennen: D=b²-4ac.
Wenn das Ergebnis D negativ ist, gibt es keine Wurzeln. Wenn positiv, gibt es zwei Wurzeln. Wenn das Ergebnis Null ist, ist die Wurzel eins. Auch die Wurzeln werden nach der Formel berechnet.
Wenn bei der Berechnung der Diskriminante das Ergebnis Null ist, können Sie eine beliebige Formel verwenden. In der Praxis wird die Formel einfach verkürzt: -b / 2a.
Die Formeln für verschiedene Diskriminanzwerte sind unterschiedlich.
Wenn D positiv ist:
Wenn D Null ist:
Online-Rechner
Im Internet gibt es einen Online-Rechner. Es kann zur Faktorisierung verwendet werden. Einige Ressourcen bieten die Möglichkeit, die Lösung Schritt für Schritt anzuzeigen. Solche Dienste helfen, das Thema besser zu verstehen, aber Sie müssen versuchen, es gut zu verstehen.
Nützliches Video: Faktorisieren eines quadratischen Trinoms
Beispiele
Wir empfehlen, sich einfache Beispiele für die Faktorisierung einer quadratischen Gleichung anzusehen.
Beispiel 1
Dies zeigt deutlich, dass das Ergebnis zwei x sind, da D positiv ist. Sie müssen in die Formel eingesetzt werden. Wenn die Wurzeln negativ sind, ändert sich das Vorzeichen in der Formel ins Gegenteil.
Wir kennen die Formel zum Faktorisieren eines quadratischen Trinoms: a(x-x1)(x-x2). Wir setzen die Werte in Klammern: (x+3)(x+2/3). Vor einem Term in einer Potenz steht keine Zahl. Das heißt, da ist einer, er geht unter.
Beispiel 2
Dieses Beispiel zeigt deutlich, wie eine Gleichung mit einer Wurzel gelöst wird.
Wir ersetzen den resultierenden Wert:
Beispiel 3
Gegeben: 5x²+3x+7
Berechnen wir zunächst die Diskriminante, wie in den vorherigen Fällen.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Die Diskriminante ist negativ, das heißt, es gibt keine Wurzeln.
Nach Erhalt des Ergebnisses sollten Sie die Klammern öffnen und das Ergebnis überprüfen. Das ursprüngliche Trinom sollte erscheinen.
Alternative Lösung
Manche Menschen konnten sich nie mit dem Diskriminierenden anfreunden. Es gibt eine andere Möglichkeit, ein quadratisches Trinom zu faktorisieren. Der Einfachheit halber wird die Methode anhand eines Beispiels gezeigt.
Gegeben: x²+3x-10
Wir wissen, dass wir zwei Klammern erhalten sollten: (_)(_). Wenn der Ausdruck so aussieht: x²+bx+c, setzen wir am Anfang jeder Klammer x: (x_)(x_). Die verbleibenden zwei Zahlen sind das Produkt, das „c“ ergibt, also in diesem Fall -10. Um welche Zahlen es sich dabei handelt, lässt sich nur durch Auswahl herausfinden. Die ersetzten Zahlen müssen der Restlaufzeit entsprechen.
Die Multiplikation der folgenden Zahlen ergibt beispielsweise -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nein.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nein.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nein.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passt.
Das bedeutet, dass die Transformation des Ausdrucks x2+3x-10 so aussieht: (x-2)(x+5).
Wichtig! Sie sollten darauf achten, die Zeichen nicht zu verwechseln.
Erweiterung eines komplexen Trinoms
Wenn „a“ größer als eins ist, beginnen Schwierigkeiten. Aber alles ist nicht so schwierig, wie es scheint.
Um zu faktorisieren, müssen Sie zunächst prüfen, ob etwas herausgerechnet werden kann.
Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck: 3x²+9x-30. Hier wird die Zahl 3 aus Klammern herausgenommen:
3(x²+3x-10). Das Ergebnis ist das bereits bekannte Trinom. Die Antwort sieht so aus: 3(x-2)(x+5)
Wie zerlegt man, wenn der Term im Quadrat negativ ist? In diesem Fall wird die Zahl -1 aus Klammern genommen. Beispiel: -x²-10x-8. Der Ausdruck sieht dann so aus:
Das Schema unterscheidet sich kaum vom vorherigen. Es gibt nur ein paar neue Dinge. Nehmen wir an, der Ausdruck sei gegeben: 2x²+7x+3. Die Antwort steht auch in 2 Klammern, die mit (_)(_) ausgefüllt werden müssen. In der 2. Klammer steht x und in der 1. was übrig bleibt. Es sieht so aus: (2x_)(x_). Andernfalls wird das vorherige Schema wiederholt.
Die Zahl 3 ergibt sich aus den Zahlen:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Wir lösen Gleichungen, indem wir diese Zahlen ersetzen. Die letzte Option ist geeignet. Das bedeutet, dass die Transformation des Ausdrucks 2x²+7x+3 so aussieht: (2x+1)(x+3).
Andere Fälle
Es ist nicht immer möglich, einen Ausdruck zu konvertieren. Bei der zweiten Methode ist das Lösen der Gleichung nicht erforderlich. Die Möglichkeit, Begriffe in ein Produkt umzuwandeln, wird jedoch nur durch die Diskriminante geprüft.
Es lohnt sich, das Lösen quadratischer Gleichungen zu üben, damit es bei der Verwendung der Formeln keine Schwierigkeiten gibt.
Nützliches Video: Faktorisieren eines Trinoms
Abschluss
Sie können es auf beliebige Weise verwenden. Aber es ist besser, beides zu üben, bis es automatisch funktioniert. Wer sein Leben mit der Mathematik verbinden möchte, muss außerdem lernen, wie man quadratische Gleichungen gut löst und Polynome faktorisiert. Alle folgenden mathematischen Themen bauen darauf auf.
Die Faktorisierung quadratischer Trinome gehört zu den Schulaufgaben, vor denen jeder früher oder später steht. Wie es geht? Wie lautet die Formel zum Faktorisieren eines quadratischen Trinoms? Lassen Sie es uns Schritt für Schritt anhand von Beispielen herausfinden.
Allgemeine Formel
Quadratische Trinome werden durch Lösen einer quadratischen Gleichung faktorisiert. Dies ist ein einfaches Problem, das mit mehreren Methoden gelöst werden kann – durch das Finden der Diskriminante mithilfe des Satzes von Vieta gibt es auch eine grafische Lösung. Die ersten beiden Methoden werden in der High School studiert.
Die allgemeine Formel sieht so aus:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algorithmus zum Erledigen der Aufgabe
Um quadratische Trinome zu faktorisieren, müssen Sie den Satz von Vita kennen, ein Lösungsprogramm zur Hand haben, eine Lösung grafisch finden können oder mithilfe der Diskriminanzformel nach Wurzeln einer Gleichung zweiten Grades suchen. Wenn ein quadratisches Trinom gegeben ist und es faktorisiert werden muss, lautet der Algorithmus wie folgt:
1) Setzen Sie den ursprünglichen Ausdruck mit Null gleich, um eine Gleichung zu erhalten.
2) Geben Sie ähnliche Begriffe an (falls erforderlich).
3) Finden Sie die Wurzeln mit einer beliebigen bekannten Methode. Die grafische Methode eignet sich am besten, wenn im Voraus bekannt ist, dass es sich bei den Wurzeln um ganze Zahlen und kleine Zahlen handelt. Es muss beachtet werden, dass die Anzahl der Wurzeln gleich dem maximalen Grad der Gleichung ist, d. h. die quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln.
4) Ersetzen Sie den Wert X in Ausdruck (1).
5) Schreiben Sie die Faktorisierung quadratischer Trinome auf.
Beispiele
Durch Übung können Sie endlich verstehen, wie diese Aufgabe ausgeführt wird. Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms:
Es ist notwendig, den Ausdruck zu erweitern:
Greifen wir auf unseren Algorithmus zurück:
1) x 2 -17x+32=0
2) ähnliche Begriffe werden gekürzt
3) Mit der Formel von Vieta ist es schwierig, Wurzeln für dieses Beispiel zu finden, daher ist es besser, den Ausdruck für die Diskriminante zu verwenden:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Setzen wir die Wurzeln, die wir gefunden haben, in die Grundformel für die Zerlegung ein:
(x-2,155) * (x-14,845)
5) Dann wird die Antwort so aussehen:
x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)
Überprüfen wir, ob die von der Diskriminante gefundenen Lösungen den Vieta-Formeln entsprechen:
14,845 . 2,155=32
Für diese Wurzeln wird der Satz von Vieta angewendet, sie wurden korrekt gefunden, was bedeutet, dass die Faktorisierung, die wir erhalten haben, auch korrekt ist.
Erweitern wir auf ähnliche Weise 12x 2 + 7x-6.
x 1 =-7+(337) 1/2
x 2 =-7-(337)1/2
Im vorherigen Fall waren die Lösungen keine ganzen Zahlen, sondern reelle Zahlen, die leicht zu finden sind, wenn Sie einen Taschenrechner vor sich haben. Schauen wir uns nun ein komplexeres Beispiel an, bei dem die Wurzeln komplex sind: Faktor x 2 + 4x + 9. Mit der Formel von Vieta können die Wurzeln nicht gefunden werden und die Diskriminante ist negativ. Die Wurzeln liegen auf der komplexen Ebene.
D=-20
Auf dieser Grundlage erhalten wir die Wurzeln, die uns interessieren -4+2i*5 1/2 und -4-2i * 5 1/2 seit (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Die gewünschte Zerlegung erhalten wir durch Einsetzen der Wurzeln in die allgemeine Formel.
Ein weiteres Beispiel: Sie müssen den Ausdruck 23x 2 -14x+7 faktorisieren.
Wir haben die Gleichung 23x 2 -14x+7 =0
D=-448
Dies bedeutet, dass die Wurzeln 14+21.166i und sind 14-21.166i. Die Antwort wird sein:
23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21.166i )*(X- 14+21.166i ).
Geben wir ein Beispiel, das ohne die Hilfe einer Diskriminante gelöst werden kann.
Nehmen wir an, wir müssen die quadratische Gleichung x 2 -32x+255 erweitern. Natürlich kann man es auch mit einer Diskriminante lösen, aber in diesem Fall ist es schneller, die Wurzeln zu finden.
x 1 =15
x 2 =17
Bedeutet x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).
Es werden 8 Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen angegeben. Dazu gehören Beispiele zum Lösen quadratischer und biquadratischer Gleichungen, Beispiele für reziproke Polynome und Beispiele zum Finden ganzzahliger Wurzeln von Polynomen dritten und vierten Grades.
1. Beispiele zum Lösen einer quadratischen Gleichung
Beispiel 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
Lösung
Wir nehmen x heraus 2
außerhalb der Klammern:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Wurzeln der Gleichung:
, .
.
Antwort
Beispiel 1.2
Faktorisieren Sie das Polynom dritten Grades:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.
Lösung
Nehmen wir x aus Klammern:
.
Lösen der quadratischen Gleichung x 2 + 6 x + 9 = 0:
Seine Diskriminante: .
Da die Diskriminante Null ist, sind die Wurzeln der Gleichung mehrfach: ;
.
Daraus erhalten wir die Faktorisierung des Polynoms:
.
Antwort
Beispiel 1.3
Faktorisieren Sie das Polynom fünften Grades:
X 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Lösung
Wir nehmen x heraus 3
außerhalb der Klammern:
.
Lösen der quadratischen Gleichung x 2 - 2 x + 10 = 0.
Seine Diskriminante: .
Da die Diskriminante kleiner als Null ist, sind die Wurzeln der Gleichung komplex: ;
, .
Die Faktorisierung des Polynoms hat die Form:
.
Wenn wir an der Faktorisierung mit reellen Koeffizienten interessiert sind, dann:
.
Antwort
Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen mithilfe von Formeln
Beispiele mit biquadratischen Polynomen
Beispiel 2.1
Faktorisieren Sie das biquadratische Polynom:
X 4 + x 2 - 20.
Lösung
Wenden wir die Formeln an:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Antwort
Beispiel 2.2
Faktorisieren Sie das Polynom, das sich auf ein biquadratisches reduziert:
X 8 + x 4 + 1.
Lösung
Wenden wir die Formeln an:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Antwort
Beispiel 2.3 mit rekurrentem Polynom
Faktorisieren Sie das reziproke Polynom:
.
Lösung
Ein reziprokes Polynom hat ungeraden Grad. Daher hat es Wurzel x = - 1
. Teilen Sie das Polynom durch x - (-1) = x + 1. Als Ergebnis erhalten wir:
.
Machen wir eine Substitution:
, ;
;
;
.
Antwort
Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Wurzeln
Beispiel 3.1
Faktorisieren Sie das Polynom:
.
Lösung
Nehmen wir an, dass die Gleichung
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Wir haben also drei Wurzeln gefunden:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Da das ursprüngliche Polynom dritten Grades ist, hat es nicht mehr als drei Wurzeln. Da wir drei Wurzeln gefunden haben, sind sie einfach. Dann
.
Antwort
Beispiel 3.2
Faktorisieren Sie das Polynom:
.
Lösung
Nehmen wir an, dass die Gleichung
hat mindestens eine ganze Wurzel. Dann ist es ein Teiler der Zahl 2
(Mitglied ohne x). Das heißt, die ganze Wurzel kann eine der folgenden Zahlen sein:
-2, -1, 1, 2
.
Wir ersetzen diese Werte einzeln:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Wenn wir davon ausgehen, dass diese Gleichung eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist sie ein Teiler der Zahl 2
(Mitglied ohne x). Das heißt, die ganze Wurzel kann eine der folgenden Zahlen sein:
1, 2, -1, -2
.
Ersetzen wir x = -1
:
.
Wir haben also eine weitere Wurzel x gefunden 2
= -1
. Es wäre möglich, wie im vorherigen Fall, das Polynom durch zu dividieren, aber wir werden die Terme gruppieren:
.
Da die Gleichung x 2 + 2 = 0 keine echten Wurzeln hat, dann hat die Faktorisierung des Polynoms die Form.
