Was ist die Wurzel der imaginären Einheit. Für komplexe Zahlen. Zur Frage der Interpretation und des Titels

Thema: imaginäre Einheit , Sie Grad. Komplex Zahlen.

Algebraisch die Form umfassend Zahlen.

Ziele: Erweitern Sie den Zahlenbegriff, führen Sie den Begriff einer imaginären Einheit und ihrer Potenzen ein, den Begriff einer komplexen Zahl; betrachten Sie die algebraische Form einer komplexen Zahl; die Fähigkeit zu entwickeln, das erworbene Wissen zu verallgemeinern, die Entwicklung des logischen Denkens zu fördern;

Schüler zu einer bewussten Einstellung zum Lernprozess erziehen.

Planen ( zu untersuchende Themen )

imaginäre Zahlen. Definition der imaginären Einheit. Grad der imaginären Einheit.

Definition einer komplexen Zahl.

Algebraische Form einer komplexen Zahl.

1. Imaginäre Zahlen

Definition. Eine Zahl, deren Quadrat -1 ist, heißt imaginäre Einheit und

bezeichnet і ; і 2 = -1

Definition. Zahlen, die aussehen b і , wobei b eine reelle Zahl ist, genannt

imaginäre zahlen.

Zum Beispiel:

Es ist bekannt, dass reelle Zahlen durch Punkte auf der x-Achse dargestellt werden. Imaginäre Zahlen werden durch Punkte auf der y-Achse dargestellt, wobei die x-Achse als reelle Achse und die y-Achse als imaginäre Achse bezeichnet wird. Die Menge der imaginären Zahlen steht in einer Eins-zu-eins-Übereinstimmung mit der Menge der reellen Zahlen.

Definition. Zwei imaginäre Zahlen b 1 ich und b 2 ich heißen gleich wenn b 1 = b 2

Definition. imaginäre Zahl (- Bi ) heißt das Gegenteil der imaginären Zahl b і .

Zum Beispiel:
und
und
.

Satz. Jede natürliche Potenz einer Zahl і kann umgewandelt werden

einer von vier Typen 1; і ; -1; -і.

Nachweisen .

Betrachten Sie den Ausdruck і m , wobei m eine natürliche Zahl ist. Es ist klar, dass vier Fälle möglich sind:

1) m = 4 k , k =1,2, ...

2) m=4k +1, k =0, 1,2,...

3) m 4k +2, k = 0,1,2,...

4) m = 4k +3, k =0,1,2, ....

Lassen m = 4 k , dann і m =і Ak =(і ABER ) zu =1 zu =1

Lassenm =4 k +1, dann і m = і Ak+1 = і Ak i=1i=i

Lassen m = 4 k +2, dannі m =і Ak+2 = і Ak і 2 = 1(-1)=-1

Lassenm =4 k +3, dann і m

Beispiel. Berechnen Sie den Wert eines Ausdrucks

Lösung:

Kommentar. Um den Grad einer imaginären Einheit zu berechnen, ist es zweckmäßig, die folgende Regel zu verwenden:

1) dividiere den Exponenten durch 4;

2) i ersetzen m auf i R , wobei p der Rest ist, der durch Teilen von m durch 4 erhalten wird, d. h. die Zahl p ergibt sich aus der Gleichung m = 4k + p.

2. Komplexe Zahlen

Definition. Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die die Form hata+bi , wo a, b sind

reelle Zahlen, i - imaginäre Einheit. In diesem Fall wird die Nummer "a" angerufen

der Realteil der komplexen Zahl, "b" - der Imaginärteil

komplexe Zahl.

Symbolisch werden Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl wie folgt bezeichnet:(zurücksetzen), (ich bin z).

Diese Bezeichnungen basieren auf den Anfangsbuchstaben lateinischer Wörter, was „real“ bedeutet, und „Imaginaries“, was „imaginär“ bedeutet.

Kommentar. Manchmal der Imaginärteil einer komplexen Zahlz = a + b і bi genannt.

Definition. Zwei komplexe ZahlenZ 1 = a 1 + b 1 ich undz 2 = a 2 + b 1 ich heißen gleich wenn

Betreffz 1 = Rez 2 , Ich binz 1 = Ich binz 2 .

Für komplexe Zahlen gibt es keine Konzepte von mehr und weniger, dh komplexe Zahlen sind nicht vergleichbar.

Definition. Komplexe Zahl(-a- Bi ) heißt das Gegenteil einer komplexen Zahl

a + bі.

Definition. Zwei komplexe Zahlen mit gleichen Real- und Imaginärteilen

Teilegegenüber heißen komplexe konjugierte Zahlen und

sind entsprechend gekennzeichnet und.

3. Algebraische Form einer komplexen Zahl. Aktionen auf komplexe Zahlen in algebraischer Form.

Eine komplexe Zahl dargestellt als
heißt komplexe Zahl inalgebraische Form .

Addition komplexer Zahlen

Definition. Die Summe zweier komplexer Zahlen
und
genannt

komplexe Zahl .

Also (1)

Um also zwei komplexe Zahlen zu addieren, müssen Sie ihre Realteile addieren, was den Realteil der Summe ergibt, und die Imaginärteile addieren, was den Imaginärteil der Summe ergibt.

Die Summe konjugierter Zahlen ist immer reell Nummer

also,
. (2)

Subtraktion komplexer Zahlen

Definition. Der Unterschied zwischen zwei komplexen Zahlen
und
das nennt man

komplexe Zahl
, die insgesamt mit der Zahl gibt Nummer .

Die Subtraktion komplexer Zahlen ist immer möglich.

Satz. Für beliebige komplexe Zahlen
und
es gibt immer einen unterschied
, die eindeutig definiert ist.

Um also komplexe Zahlen zu subtrahieren, reicht es aus, ihre Realteile zu subtrahieren und ihre Differenz als Realteil der Differenz zu nehmen und auch den Imaginärteil der Differenz zu subtrahieren

Es stellt sich heraus, (3)

Die Differenz zweier konjugierter Zahlen ist immer eine imaginäre Zahl. ,

also,
(4)

Multiplikation komplexer Zahlen

Definition. Das Produkt zweier komplexer Zahlen
und eine solche komplexe Zahl wird aufgerufen, die durch die Formel bestimmt wird: (5)

Um komplexe Zahlen zu multiplizieren, sollten Sie sie nach der Multiplikationsregel für Polynome multiplizieren und ersetzen durch -1 und bringe ähnliche Terme.

Beim Multiplizieren komplexer Zahlen ist es besser, eine direkte Multiplikation durchzuführen. Das Produkt konjugierter Zahlen ist immer eine reelle Zahl Antworten.

Testfragen:

1. Definieren Sie eine komplexe Zahl.

2. Formulieren Sie die Definition einer imaginären Einheit.

3. Wie man den Grad der imaginären Einheit findet.

4. Welche komplexen Zahlen heißen gleich, konjugiert?

5. Schreiben Sie eine Formel auf, um einen beliebigen Grad einer imaginären Einheit zu finden.

6. Nennen Sie Beispiele für rein imaginäre Zahlen.

7. Definieren Sie die Summe, das Produkt und den Quotienten zweier komplexer Zahlen.

Literatur

Pismenny, D. T. Vorlesungsnotizen zur höheren Mathematik: ein vollständiger Kurs D. T. Pismenny. – 9. Aufl. – M.: Iris-press, 2009. 608 S.: mit Abb. - (Hochschulbildung).

Lungu, K. N. Sammlung von Problemen der höheren Mathematik. 1. Kurs / K. N. Lungu, D. T. Pismenny, S. N. Fedin, Yu. A. Shevchenko. – 7. Aufl. – M.: Iris-press, 2008. 576 S.: – (Hochschulbildung).

Grigoriev V. P. Elemente der höheren Mathematik: ein Lehrbuch für Studenten. mittlere Institutionen. Prof. Bildung / V. P. Grigoriev, Yu A. Dubinsky. - 10. Aufl., gelöscht. - M. Verlagszentrum "Akademie", 2014. - 320 p.

imaginäre Einheit ist normalerweise eine komplexe Zahl, deren Quadrat −1 (minus eins) ist. Es sind aber auch andere Möglichkeiten möglich: in der Konstruktion der Verdopplung nach Cayley-Dixon oder im Rahmen der Algebra nach Clifford.

Für komplexe Zahlen

In Mathematik, Physik wird die imaginäre Einheit mit Latein bezeichnet texvc oder Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc . Es erlaubt Ihnen, den Bereich der reellen Zahlen auf den Bereich der komplexen Zahlen zu erweitern. Die genaue Definition hängt von der Erweiterungsmethode ab.

Der Grund für die Einführung der imaginären Einheit ist, dass nicht jede Polynomgleichung Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): f(x)=0 mit reellen Koeffizienten hat Lösungen im Bereich der reellen Zahlen. Also die Gleichung Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Einrichtungshilfe.): x^2 + 1 = 0 hat keine wirklichen Wurzeln. Es stellt sich jedoch heraus, dass jede Polynomgleichung mit komplexen Koeffizienten eine komplexe Lösung hat - "The Fundamental Theorem of Algebra".

Historisch gesehen wurde die imaginäre Einheit zuerst eingeführt, um die reelle kubische Gleichung zu lösen: Um zwei von ihnen zu erhalten, musste die Cardano-Formel oft die Kubikwurzel in komplexen Zahlen ziehen, wenn drei reelle Wurzeln vorhanden waren.

Die Aussage, dass die imaginäre Einheit „die Quadratwurzel von -1“ ist, trifft nicht zu, schließlich hat „-1“ zwei Quadratwurzeln, von denen eine als „i“ und die andere als „-i“ bezeichnet werden kann. Es spielt keine Rolle, welche Wurzel man als imaginäre Einheit nimmt: Alle Gleichheiten bleiben gültig, während gleichzeitig alle "i" durch "-i" und "-i" durch "i" ersetzt werden. Wegen dieser Mehrdeutigkeit sollte man jedoch, um Fehlrechnungen zu vermeiden, die Notation für nicht verwenden Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i durch ein Radikal (wie Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \sqrt(-1)).

Definition

Eine imaginäre Einheit ist eine Zahl, deren Quadrat −1 ist. Diese. Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i ist eine der Lösungen der Gleichung

Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Einrichtungshilfe.): x^2 + 1 = 0, oder Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): x^2 = -1.

Und dann wird seine zweite Lösung der Gleichung sein Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Konfigurationshilfe.): -i, was durch Substitution verifiziert wird.

Potenzen der imaginären Einheit

Grad Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i im Zyklus wiederholt:

Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^(-3) = i Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^(-2) = -1 Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^(-1) = -i Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^0 = 1 Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^1 = i Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^2 = -1 Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^3 = -i Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^4 = 1 Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \ldots

Was für jeden Abschluss geschrieben werden kann als:

Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^(4n) = 1 Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^(4n+1) = i Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^(4n+2) = -1 Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^(4n+3) = -i.

wo n- jede ganze Zahl.

Von hier: Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^n = i^(n \bmod 4) wo Mod 4 ist der Rest nach Division durch 4.

Nummer Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^i ist echt:

Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i^i=(e^((i\pi/2)i))=e^(i^2\pi/2)=e^(-\pi/ 2) =0(,)20787957635\ldots

Fakultät

Fakultät der imaginären Einheit ich kann als Wert der Gammafunktion aus dem Argument 1 + definiert werden ich :

Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i! = \Gamma(1+i) \approx 0,4980 - 0,1549i. Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): |i!| = \sqrt(\pi \over \sinh(\pi)) \approx 0,521564... .

Imaginäre Einheitswurzeln

Im Bereich der komplexen Zahlen die Wurzel n Grad hat n Lösungen. Auf der komplexen Ebene liegen die Wurzeln der imaginären Einheit an den Scheitelpunkten eines regelmäßigen n-Ecks, das einem Kreis mit Einheitsradius einbeschrieben ist.

Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): u_k=\cos (\frac((\frac(\pi)(2)) + 2\pi k)(n)) +i\ \sin (\frac( (\ frac(\pi)(2)) + 2\pi k)(n)), \quad k=0,1,...,n-1

Dies folgt aus der Formel von De Moivre und der Tatsache, dass die imaginäre Einheit in trigonometrischer Form dargestellt werden kann:

Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i=\cos\ (\frac(\pi)(2)) + i\ \sin\ (\frac(\pi)(2))

Insbesondere, Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \sqrt(i ) = \left\(\frac(1 + i)(\sqrt(2));\ \frac(-1 - i)(\sqrt( 2) )\Rechts\) und Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): \sqrt(i ) = \left\(-i;\ \frac(i + (\sqrt(3)))(2);\ \frac(i - ( \sqrt (3)))(2) \richtig\)

Auch die Wurzeln der imaginären Einheit können in exponentieller Form dargestellt werden:

Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Tuning-Hilfe.): u_k=e^(\frac((\frac(\pi)(2) + 2\pi k) i)(n) ), \quad k=0,1 ,. ..,n-1

Andere imaginäre Einheiten

In der Cayley-Dixon-Konstruktion (oder in Clifford-Algebren) kann es mehrere „imaginäre Erweiterungseinheiten“ geben, und/oder ihr Quadrat kann ="+1" oder sogar ="0" sein. In diesem Fall können jedoch Nullteiler auftreten, und es gibt andere Eigenschaften, die sich von den Eigenschaften des Komplexes "i" unterscheiden. Zum Beispiel gibt es im Körper der Quaternionen drei antikommutative imaginäre Einheiten, und es gibt auch unendlich viele Lösungen der Gleichung " Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): x^2 = -1 ».

Zur Frage der Interpretation und des Titels

Gauß argumentierte auch, dass wenn die Größen 1, -1 und √ geheim sind. Die geometrische Darstellung rückt laut Gauß die wahre Metaphysik der imaginären Zahlen in ein neues Licht. Es war Gauß, der den Begriff "komplexe Zahlen" (im Gegensatz zu Descartes' "imaginären Zahlen") prägte und das Symbol i verwendete, um √−1 darzustellen. Maurice Kline, „Mathematik. Definitionsverlust." Kapitel VII. Unlogische Entwicklung: Ernsthafte Schwierigkeiten an der Schwelle zum 19. Jahrhundert.

Notation

Konventionelle Bezeichnung Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): i, aber in der Funktechnik wird normalerweise die imaginäre Einheit bezeichnet Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): j, nicht zu verwechseln mit der Bezeichnung des Momentanstroms: Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Einrichtungshilfe.): i = i (t) .

Siehe auch

• Doppelzahlen und Doppelzahlen

Schreiben Sie eine Rezension zum Artikel "Imaginäre Einheit"

Anmerkungen

Verknüpfungen

• Imaginäre Einheit // Große sowjetische Enzyklopädie: [in 30 Bänden] / Kap. ed. A. M. Prochorow. - 3. Aufl. - M. : Sowjetische Enzyklopädie, 1969-1978.

Sehen Sie sich diese Vorlage an Grade von tausend Alte russische Nummern Andere Zehnerpotenzen Potenzen von zwölf Andere ganz Andere Nummern

Ein Auszug, der die imaginäre Einheit charakterisiert

– Das kann man nicht lehren, Isidora. Die Menschen sollten ein Bedürfnis nach Licht haben, ein Bedürfnis nach Gutem. Sie müssen sich ändern wollen. Denn was mit Gewalt gegeben wird, versucht eine Person instinktiv schnell abzulehnen, ohne auch nur zu versuchen, etwas zu verstehen. Aber wir schweifen ab, Isidora. Soll ich die Geschichte von Radomir und Magdalena fortsetzen?
Ich nickte zustimmend und bedauerte zutiefst, dass ich mich nicht so einfach und ruhig mit ihm unterhalten konnte, ohne mich um die letzten Minuten meines verkrüppelten Lebens zu sorgen, die mir das Schicksal zugeteilt hatte, und nicht mit Entsetzen an die Schwierigkeiten zu denken, die Anna drohten. .
Die Bibel sagt viel über Johannes den Täufer. War er wirklich bei Radomir und den Tempelrittern? Sein Image ist so überraschend gut, dass man manchmal zweifeln konnte, ob John eine echte Figur war? Kannst du antworten, Sever?
Sever lächelte warm und erinnerte sich anscheinend an etwas sehr Angenehmes und Liebes für ihn...
– John war weise und freundlich, wie eine große warme Sonne ... Er war ein Vater für alle, die mit ihm gingen, ihr Lehrer und Freund ... Er wurde geschätzt, gehorcht und geliebt. Aber er war nie der junge und überraschend gutaussehende junge Mann, wie Künstler ihn gewöhnlich darstellten. John war zu dieser Zeit bereits ein betagter Zauberer, aber immer noch sehr stark und ausdauernd. Grauhaarig und groß, sah er eher wie ein mächtiger epischer Krieger aus als wie ein erstaunlich gutaussehender und sanfter junger Mann. Er trug sehr lange Haare, wie alle anderen, die bei Radomir waren.

Es war Radan, er war wirklich außergewöhnlich gutaussehend. Er lebte wie Radomir von klein auf in Meteora neben seiner Mutter Vedunia Maria. Erinnere dich, Isidora, wie viele Gemälde es gibt, auf denen Maria mit zwei fast gleichaltrigen Babys gemalt ist. Aus irgendeinem Grund haben alle berühmten Künstler sie gemalt, vielleicht ohne überhaupt zu verstehen, WEN sie wirklich mit ihrem Pinsel dargestellt haben ... Und das Interessanteste ist, dass Maria Radan in all diesen Gemälden betrachtet. Anscheinend war Radan schon damals, als er noch ein Baby war, so fröhlich und attraktiv, wie er es sein ganzes kurzes Leben lang geblieben war ...

Und noch etwas ... wenn es John war, der von den Künstlern auf diesen Bildern gemalt wurde, wie hätte es dann derselbe John geschafft, bis zu seiner Hinrichtung, die auf Wunsch der launischen Salome durchgeführt wurde, so ungeheuerlich zu altern? ?.. Immerhin geschah dies laut Bibel schon vor der Kreuzigung Christi, dann dürfte Johannes zu diesem Zeitpunkt nicht älter als 34 Jahre alt gewesen sein! Wie wurde er von einem mädchenhaft gutaussehenden, goldhaarigen jungen Mann zu einem alten und völlig unsympathischen Juden?!

„Also ist Magus John nicht gestorben, Sever?“ fragte ich glücklich. Oder ist er anders gestorben?
„Leider wurde der echte John tatsächlich enthauptet, Isidora, aber dies geschah nicht aufgrund des bösen Willens einer kapriziösen, verwöhnten Frau. Der Grund für seinen Tod war der Verrat an einem jüdischen "Freund", dem er vertraute und in dessen Haus er mehrere Jahre lebte...
Aber warum fühlte er es nicht? Wie könnte ich nicht sehen, was für ein „Freund“ das ist?! – Ich war empört.
– Wahrscheinlich ist es unmöglich, jeden Menschen zu verdächtigen, Isidore… Ich glaube, es war für sie sowieso ziemlich schwierig, jemandem zu vertrauen, weil sie sich alle irgendwie anpassen und in diesem fremden, unbekannten Land leben mussten, vergiss das nicht. Daher versuchten sie anscheinend, aus dem größeren und kleineren Übel das kleinere zu wählen. Aber es ist unmöglich, alles vorherzusagen, denn das weißt du selbst sehr gut, Isidora ... Der Tod von Magus John ereignete sich nach der Kreuzigung von Radomir. Er wurde von einem Juden vergiftet, in dessen Haus John damals mit der Familie des verstorbenen Jesus lebte. Eines Abends, als das ganze Haus bereits ruhte, präsentierte ihm der Besitzer im Gespräch mit John seinen Lieblingstee mit einer Beimischung des stärksten Kräutergiftes ... Am nächsten Morgen gelang es niemandem, zu verstehen, was passiert war. Laut dem Besitzer schlief John einfach sofort ein und wachte nie wieder auf ... Seine Leiche wurde am Morgen in seinem blutigen Bett mit ... einem abgetrennten Kopf gefunden ... Laut demselben Besitzer waren die Juden sehr Angst vor John, weil sie ihn für einen unvergleichlichen Zauberer hielten. Und um sicherzugehen, dass er nie wieder auferstehen würde, enthaupteten sie ihn. Johns Kopf wurde später von ihnen gekauft (!!!) und von den Rittern des Tempels mitgenommen, die es schafften, ihn zu retten und ins Tal der Magier zu bringen, um John zumindest einen so kleinen, aber würdigen zu geben und wohlverdienten Respekt, er erlaubte den Juden nicht, ihn einfach zu verspotten, und führte einige seiner magischen Rituale durch. Seitdem ist Johns Kopf immer bei ihnen, wo auch immer sie sind. Und für denselben Kopf wurden die Tempelritter zweihundert Jahre später der kriminellen Anbetung des Teufels beschuldigt ... Sie erinnern sich an den letzten "Fall der Tempelritter" (Knights of the Temple), nicht wahr, Isidora ? Dort wurde ihnen vorgeworfen, den „sprechenden Kopf“ anzubeten, was den gesamten Kirchengeistlichen wütend machte.

„Vergib mir, Sever, aber warum haben die Ritter des Tempels Johns Kopf nicht hierher gebracht, zu Meteora?“ Schließlich haben Sie ihn, soweit ich das verstehe, alle sehr geliebt! Und woher weißt du all diese Details? Du warst nicht bei ihnen, oder? Wer hat dir das alles erzählt?
– Vedunia Maria, die Mutter von Radan und Radomir, hat uns diese ganze traurige Geschichte erzählt...
– Aber ist Maria nach der Hinrichtung Jesu zu Ihnen zurückgekehrt?!.. Immerhin war sie, soweit ich weiß, bei der Kreuzigung bei ihrem Sohn. Wann ist sie zu dir zurückgekehrt? Ist es möglich, dass sie noch lebt…?“ – fragte ich mit angehaltenem Atem.

imaginäre Einheit

imaginäre Einheit ist eine komplexe Zahl, deren Quadrat minus 1 ist.

In Mathematik, Physik wird die imaginäre Einheit mit Latein bezeichnet ich oder j. Es erlaubt Ihnen, den Bereich der reellen Zahlen auf den Bereich der komplexen Zahlen zu erweitern. Die genaue Definition hängt davon ab, wie diese Erweiterung verwendet wird.

Der Hauptgrund für die Einführung der imaginären Einheit ist, dass nicht jede Polynomgleichung f(x) = 0 mit reellen Koeffizienten hat Lösungen im Bereich der reellen Zahlen. Zum Beispiel die Gleichung x 2 + 1 = 0 hat keine echten Wurzeln. Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass die Wurzeln komplexe Zahlen sind, dann ist diese Gleichung, wie irgendein eine andere Polynomgleichung hat eine Lösung.

Die Aussage, dass die imaginäre Einheit „die Quadratwurzel von −1“ ist, ist nicht ganz richtig, denn −1 hat zwei arithmetische Quadratwurzeln, von denen eine geschrieben werden kann als ich, und die andere als − ich.

Definition

Die imaginäre Einheit ist eine Zahl, deren Quadrat −1 ist. Auf diese Weise ich ist die Lösung der Gleichung
oder
Wenn wir definieren ich also betrachten wir es als eine unbekannte („imaginäre“, „imaginäre“) Variable, dann ist die zweite Lösung der Gleichung − ich, was durch Substitution verifiziert werden kann.

Wer und wann entdeckt: Der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano, Freund von Leonardo da Vinci, im Jahr 1545.

Die Zahl i kann nicht als Konstante oder gar als reelle Zahl bezeichnet werden. Lehrbücher beschreiben es als eine Größe, die quadriert minus eins ist. Mit anderen Worten, es ist die Seite des Quadrats mit negativer Fläche. In Wirklichkeit geschieht dies nicht. Aber manchmal kann man auch vom Unwirklichen profitieren.

Die Geschichte der Entdeckung dieser Konstante ist wie folgt. Der Mathematiker Gerolamo Cardano führte beim Lösen von Gleichungen mit Würfeln eine imaginäre Einheit ein. Dies war nur ein Hilfstrick - es gab kein i in den endgültigen Antworten: Die Ergebnisse, die es enthielten, wurden abgelehnt. Aber später, als sie ihren "Müll" genau betrachteten, versuchten Mathematiker, es in die Tat umzusetzen: gewöhnliche Zahlen multiplizieren und mit einer imaginären Einheit dividieren, die Ergebnisse miteinander addieren und sie in neue Formeln einsetzen. So wurde die Theorie der komplexen Zahlen geboren.

Der Nachteil ist, dass „echt“ nicht mit „unwirklich“ verglichen werden kann: zu sagen, dass mehr – eine imaginäre Einheit oder 1 – nicht funktioniert. Andererseits gibt es praktisch keine unlösbaren Gleichungen, wenn wir komplexe Zahlen verwenden. Daher ist es bei komplexen Berechnungen bequemer, mit ihnen zu arbeiten und die Antworten erst ganz am Ende „auszuräumen“. Um beispielsweise ein Tomogramm des Gehirns zu entschlüsseln, können Sie nicht auf i verzichten.

So behandeln Physiker Felder und Wellen. Man kann sogar davon ausgehen, dass sie alle in einem komplexen Raum existieren, und was wir sehen, ist nur ein Schatten „echter“ Prozesse. Die Quantenmechanik, in der sowohl das Atom als auch der Mensch Wellen sind, macht diese Interpretation noch überzeugender.

Mit der Zahl i können Sie die wichtigsten mathematischen Konstanten und Aktionen in einer Formel reduzieren. Die Formel sieht so aus: eπi+1 = 0, und einige sagen, dass solch ein komprimiertes Regelwerk der Mathematik an Aliens geschickt werden kann, um sie von unserer Vernünftigkeit zu überzeugen.

Ausdrücke der Form, die beim Lösen quadratischer und kubischer Gleichungen auftreten, wurden im 16. und 17. Jahrhundert als "imaginär" bezeichnet, aber selbst für viele prominente Wissenschaftler des 17. Jahrhunderts schien die algebraische und geometrische Essenz imaginärer Größen unklar. Leibniz schrieb zum Beispiel: „Der Geist Gottes fand in diesem Wunder der Analyse, einem Freak aus der Welt der Ideen, ein duales Wesen, angesiedelt zwischen Sein und Nichtsein, das subtilste Ventil, das wir die imaginäre Wurzel des Seins nennen negative Einheit."

Lange Zeit war nicht klar, ob alle Operationen mit komplexen Zahlen zu komplexen Ergebnissen führen oder ob beispielsweise das Ziehen einer Wurzel zur Entdeckung einer neuen Art von Zahlen führen kann. Das Problem, die Wurzeln des Grades auszudrücken n dieser Zahl wurde in den Werken von De Moivre (1707) und Cotes (1722) gelöst.

Das Symbol wurde von Euler (1777, veröffentlicht 1794) vorgeschlagen, der dafür den ersten Buchstaben des Wortes Lat nahm. Imaginär. Er erweiterte auch alle Standardfunktionen, einschließlich des Logarithmus, auf den komplexen Bereich. Euler äußerte 1751 auch die Idee der algebraischen Schließung des Körpers der komplexen Zahlen. D'Alembert (1747) kam zu dem gleichen Schluss, aber der erste strenge Beweis dieser Tatsache stammt von Gauß (1799). Gauß und prägte 1831 den Begriff „komplexe Zahl“, obwohl der Begriff bereits 1803 von dem französischen Mathematiker Lazar Carnot im gleichen Sinne verwendet worden war.

Die geometrische Interpretation komplexer Zahlen und Operationen mit ihnen tauchte erstmals in der Arbeit von Wessel (1799) auf. Die ersten Schritte in diese Richtung wurden 1685 von Wallis (England) unternommen. Die moderne geometrische Darstellung, manchmal auch als "Argand-Diagramm" bezeichnet, wurde nach der Veröffentlichung der Arbeit von J. R. Argand in den Jahren 1806 und 1814 verwendet, die Wessels Schlussfolgerungen unabhängig wiederholte.

Das arithmetische Modell komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen wurde von Hamilton (1837) konstruiert; dies bewies die Konsistenz ihrer Eigenschaften. Hamilton schlug auch eine Verallgemeinerung komplexer Zahlen vor - Quaternionen, deren Algebra nicht kommutativ ist.

Betrachten Sie eine unvollständige quadratische Gleichung:

x 2 = a ,

wo a ist eine bekannte Größe. Die Lösung dieser Gleichung kann geschrieben werden als:
Hier gibt es drei mögliche Fälle:

1).	Wenn ein ein = 0 also x= 0.
2).	Wenn ein a eine positive Zahl ist, dann hat ihre Quadratwurzel zwei Werte: einer ist positiv, der andere ist negativ; zum Beispiel die Gleichung x 2 = 25 hat zwei Wurzeln: 5 und -5. Dies wird oft als doppelte Wurzel geschrieben:
3).	Wenn ein a eine negative Zahl ist, dann hat diese Gleichung keine Lösungen unter den uns bekannten positiven und negativen Zahlen, denn die zweite Potenz jeder Zahl ist die Zahl nicht negativ. Aber wenn wir Lösungen für die Gleichung bekommen wollen x 2 = a auch für negative Werte a, sind wir gezwungen, Nummern eines neuen Typs einzuführen - imaginäre Zahlen . Auf diese Weise, imaginär die Nummer wird angerufen dessen zweite Potenz eine negative Zahl ist. Gemäß dieser Definition von imaginären Zahlen können wir und definieren imaginär Einheit:

Dann für die Gleichung x 2 = - 25 bekommen wir zwei imaginär Wurzel:

Setzen wir diese beiden Wurzeln in unsere Gleichung ein, erhalten wir eine Identität. Im Gegensatz zu imaginären Zahlen werden alle anderen Zahlen (positiv und negativ, ganzzahlig und gebrochen, rational und irrational) genannt gültig oder reale Nummern . Man nennt die Summe einer reellen und einer imaginären Zahl komplexe Zahl und bezeichnet:

a + b ich ,

wo ein, b sind reelle Zahlen, ich ist eine imaginäre Einheit.

Weitere Informationen zu komplexen Zahlen finden Sie im Abschnitt Komplexe Zahlen.

Beispiele für komplexe Zahlen: 3 + 4 ich, 7 – 13.6 ich , 0 + 25 ich = 25 ich , 2 + ich.

Potenzen der imaginären Einheit

Grad ich im Zyklus wiederholt:

Was für jeden Abschluss geschrieben werden kann als:

wo n- jede ganze Zahl.

Von hier:
wo Mod 4 stellt den Rest dar, wenn er durch 4 geteilt wird.

reelle Zahlen zum Körper der komplexen Zahlen. Die genaue Definition hängt von der Erweiterungsmethode ab.

Der Grund für die Einführung der imaginären Einheit ist, dass nicht jede Polynomgleichung $f(x)=0$ mit reellen Koeffizienten hat Lösungen im Bereich der reellen Zahlen. Also die Gleichung $x^2\; +\; 1\; =\; 0$ hat keine wirklichen Wurzeln. Es stellt sich jedoch heraus, dass jede Polynomgleichung mit komplexen Koeffizienten eine komplexe Lösung hat - "The Fundamental Theorem of Algebra".

Historisch gesehen wurde die imaginäre Einheit zuerst eingeführt, um die reelle kubische Gleichung zu lösen: Um zwei von ihnen zu erhalten, musste die Cardano-Formel oft die Kubikwurzel in komplexen Zahlen ziehen, wenn drei reelle Wurzeln vorhanden waren.

Die Aussage, dass die imaginäre Einheit „die Quadratwurzel von -1“ ist, trifft nicht zu, schließlich hat „-1“ zwei Quadratwurzeln, von denen eine als „i“ und die andere als „-i“ bezeichnet werden kann. Es spielt keine Rolle, welche Wurzel man als imaginäre Einheit nimmt: Alle Gleichheiten bleiben gültig, während gleichzeitig alle "i" durch "-i" und "-i" durch "i" ersetzt werden. Wegen dieser Mehrdeutigkeit sollte man jedoch, um Fehlrechnungen zu vermeiden, die Notation für nicht verwenden $ich$ durch ein Radikal (wie $\backslash sqrt(-1)$).

Definition

Eine imaginäre Einheit ist eine Zahl, deren Quadrat −1 ist. Diese. $ich$ ist eine der Lösungen der Gleichung

$x^2\; +\; 1\; =\; 0,$ oder $x^2\; =\; -1.$

Und dann wird seine zweite Lösung der Gleichung sein $-ich$, was durch Substitution verifiziert wird.

Potenzen der imaginären Einheit

Grad $ich$ im Zyklus wiederholt:

$\backslash ldots$ $i^(-3)\; =\; ich$ $i^(-2)\; =\; -1$ $i^(-1)\; =\; -i$ $i^0\; =\; 1$ $i^1\; =\; ich$ $i^2\; =\; -1$ $i^3\; =\; -i$ $i^4\; =\; 1$ $\backslash ldots$

Was für jeden Abschluss geschrieben werden kann als:

$i^(4n)\; =\; 1$ $i^(4n+1)\; =\; ich$ $i^(4n+2)\; =\; -1$ $i^(4n+3)\; =\; -i.$

wo n- jede ganze Zahl.

Von hier: $i^n\; =\; i^(n\; \backslash bmod\; 4)$ wo Mod 4 ist der Rest nach Division durch 4.

Nummer $ich^ich$ ist echt:

$i^i=(e^((i\backslash pi/2)i))=e^(i^2\backslash pi/2)=e^(-\backslash pi/2)=0(,)20787957635\backslash ldots$

Fakultät

Fakultät der imaginären Einheit ich kann als Wert der Gammafunktion aus dem Argument 1 + definiert werden ich :

$ich!\; =\; \backslash Gamma(1+i)\; \backslash approx\; 0,4980\; -\; 0,1549i.$

$|ich!|\; =\; \backslash sqrt(\backslash pi\; \backslash over\; \backslash sinh(\backslash pi))\; \backslash approx\; 0,521564...\; .$

Imaginäre Einheitswurzeln

Im Bereich der komplexen Zahlen die Wurzel n Grad hat n Lösungen. Auf der komplexen Ebene liegen die Wurzeln der imaginären Einheit an den Scheitelpunkten eines regelmäßigen n-Ecks, das einem Kreis mit Einheitsradius einbeschrieben ist.

$u\_k=\backslash cos(\backslash frac((\backslash frac(\backslash pi)(2))\; +\; 2\backslash pi\; k)(n))\; +i\backslash \; \backslash sin\; (\backslash frac((\backslash frac(\backslash pi)(2))\; +\; 2\backslash pi\; k)(n)),\; \backslash quad\; k=0,1,...,n-1$

Dies folgt aus der Formel von De Moivre und der Tatsache, dass die imaginäre Einheit in trigonometrischer Form dargestellt werden kann:

$i=\backslash cos\backslash \; (\backslash frac(\backslash pi)(2))\; +\; i\backslash \; \backslash sin\backslash \; (\backslash frac(\backslash pi)(2))$

Insbesondere, $\backslash sqrt(i\; )\; =\; \backslash left\backslash (\backslash frac(1\; +\; i)(\backslash sqrt(2));\backslash \; \backslash frac(-1\; -\; i)(\backslash sqrt(2))\; \backslash right\backslash )$ und $\backslash sqrt(i\; )\; =\; \backslash left\backslash (-i;\backslash \; \backslash frac(i\; +\; (\backslash sqrt(3)))(2);\backslash \; \backslash frac(i\; -\; (\backslash sqrt(3)))(2)\; \backslash right\; \backslash )$

Auch die Wurzeln der imaginären Einheit können in exponentieller Form dargestellt werden:

$u\_k=e^(\backslash frac((\backslash frac(\backslash pi)(2)\; +\; 2\backslash pi\; k)\; i)(n)\; ),\; \backslash quad\; k=0,1,...,n-1$

Andere imaginäre Einheiten

In der Cayley-Dixon-Konstruktion (oder in Clifford-Algebren) kann es mehrere „imaginäre Erweiterungseinheiten“ geben, und/oder ihr Quadrat kann ="+1" oder sogar ="0" sein. In diesem Fall können jedoch Nullteiler auftreten, und es gibt andere Eigenschaften, die sich von den Eigenschaften des Komplexes "i" unterscheiden. Zum Beispiel gibt es im Körper der Quaternionen drei antikommutative imaginäre Einheiten, und es gibt auch unendlich viele Lösungen der Gleichung " $x^2\; =\; -1$».

Zur Frage der Interpretation und des Titels

Gauß argumentierte auch, dass wenn die Größen 1, -1 und √ geheim sind. Die geometrische Darstellung rückt laut Gauß die wahre Metaphysik der imaginären Zahlen in ein neues Licht. Es war Gauß, der den Begriff "komplexe Zahlen" (im Gegensatz zu Descartes' "imaginären Zahlen") prägte und das Symbol i verwendete, um √−1 darzustellen. Maurice Kline, „Mathematik. Definitionsverlust." Kapitel VII. Unlogische Entwicklung: Ernsthafte Schwierigkeiten an der Schwelle zum 19. Jahrhundert.

Notation

Konventionelle Bezeichnung $ich$, aber in der Funktechnik wird normalerweise die imaginäre Einheit bezeichnet $j$, nicht zu verwechseln mit der Bezeichnung des Momentanstroms: $ich\; =\; ich(t)$.

Siehe auch

• Doppelzahlen und Doppelzahlen

Schreiben Sie eine Rezension zum Artikel "Imaginäre Einheit"

Anmerkungen

Verknüpfungen

• Imaginäre Einheit // Große sowjetische Enzyklopädie: [in 30 Bänden] / Kap. ed. A. M. Prochorow. - 3. Aufl. - M. : Sowjetische Enzyklopädie, 1969-1978.

Grade von tausend Alte russische Nummern Andere Zehnerpotenzen Potenzen von zwölf Andere ganz Andere Nummern

Ein Auszug, der die imaginäre Einheit charakterisiert

Mehrere Kaufleute drängten sich um den Offizier.
-E! vergeblich dann zu lügen! - sagte einer von ihnen, dünn, mit einem strengen Gesicht. „Wenn du deinen Kopf abnimmst, weinst du nicht um deine Haare. Nimm was dir gefällt! Und er winkte energisch mit der Hand und drehte sich seitwärts zu dem Offizier um.
„Es ist gut für dich, Ivan Sidoritch, zu sprechen“, sagte der erste Kaufmann wütend. „Bitte, Euer Ehren.
- Was sagt er! schrie der dünne Mann. - Ich habe hier in drei Läden hunderttausend Waren. Wirst du retten, wenn die Armee weg ist. Eh, Leute, Gottes Kraft lässt sich nicht mit Händen falten!
„Bitte, Euer Ehren“, sagte der erste Kaufmann und verbeugte sich. Der Offizier stand verwirrt da, und Zögern war auf seinem Gesicht zu sehen.
- Ja, was ist los mit mir! schrie er plötzlich und ging mit schnellen Schritten die Reihe entlang vorwärts. In einem offenen Laden waren Schläge und Flüche zu hören, und als sich der Beamte näherte, sprang ein Mann in einem grauen Mantel und mit rasiertem Kopf aus der Tür.
Dieser Mann, vornübergebeugt, schlüpfte an den Kaufleuten und dem Offizier vorbei. Der Offizier griff die Soldaten an, die sich im Laden befanden. Aber zu diesem Zeitpunkt waren auf der Moskvoretsky-Brücke die schrecklichen Schreie einer riesigen Menschenmenge zu hören, und der Offizier rannte auf den Platz.
- Was? Was? fragte er, aber sein Kamerad galoppierte bereits auf die Schreie zu, vorbei an St. Basil dem Gesegneten. Der Offizier stieg auf und ritt hinter ihm her. Als er zur Brücke fuhr, sah er zwei Kanonen von den Protzen entfernt, Infanterie auf der Brücke entlanglaufen, mehrere Karren umgeworfen, mehrere verängstigte Gesichter und lachende Gesichter von Soldaten. Neben den Kanonen stand ein Wagen, der von einem Paar gezogen wurde. Vier Windhunde mit Halsband kauerten hinter dem Karren hinter den Rädern. Auf dem Wagen lag ein Berg von Dingen, und ganz oben, neben dem Kinderzimmer, saß eine Frau mit auf den Kopf gestellten Beinen und quietschte durchdringend und verzweifelt. Die Kameraden sagten dem Offizier, dass der Schrei der Menge und das Kreischen der Frauen darauf zurückzuführen seien, dass General Jermolow, der auf diese Menge gestoßen war, erfahren hatte, dass sich die Soldaten um die Geschäfte zerstreuten und die Menge der Anwohner staute die Brücke hinauf, befahl, die Kanonen von den Protzen zu entfernen und ein Exempel zu statuieren, dass er auf die Brücke schießen würde. Die Menge, die die Karren umwarf, sich gegenseitig zermalmte, verzweifelt schrie, sich drängte, die Brücke räumte, und die Truppen rückten vor.

Inzwischen war die Stadt selbst leer. Auf den Straßen war kaum jemand. Die Tore und Geschäfte waren alle verschlossen; An manchen Stellen, in der Nähe der Tavernen, waren einsame Schreie oder betrunkener Gesang zu hören. Niemand fuhr durch die Straßen, und Schritte von Fußgängern waren selten zu hören. Auf Povarskaya war es völlig ruhig und menschenleer. Auf dem riesigen Hof des Hauses der Rostovs lagen Heufetzen, Kot eines abgefahrenen Konvois, und kein einziger Mensch war zu sehen. Im Haus der Rostows, das mit all seiner Güte belassen wurde, befanden sich zwei Personen in einem großen Wohnzimmer. Es waren der Hausmeister Ignat und der Kosake Mischka, der Enkel von Wassiljitsch, der bei seinem Großvater in Moskau blieb. Mischka öffnete die Clavichorde und spielte sie mit einem Finger. Der Hausmeister stand angewinkelt und freudig lächelnd vor einem großen Spiegel.
- Das ist schlau! ABER? Onkel Ignat! sagte der Junge und klatschte plötzlich mit beiden Händen auf die Tasten.
- Sieh dich an! - antwortete Ignat und wunderte sich, wie sein Gesicht im Spiegel immer mehr lächelte.
- Schamlos! Richtig, schamlos! - sprach hinter ihnen die Stimme von Mavra Kuzminishna, die leise eintrat. - Eka, dicker Wächter, er bleckt die Zähne. Um dich zu nehmen! Dort ist nicht alles aufgeräumt, Vasilyich wird umgehauen. Gib der Sache Zeit!
Ignat strich seinen Gürtel glatt, hörte auf zu lächeln und senkte gehorsam die Augen und verließ das Zimmer.
„Tante, ich werde es ruhig angehen lassen“, sagte der Junge.
- Ich gebe Ihnen ein wenig. Schütze! schrie Mavra Kuzminishna und winkte ihm zu. - Geh und bau einen Samowar für deinen Großvater.
Mavra Kuzminishna wischte sich den Staub ab, schloss die Klavichorde, verließ mit einem schweren Seufzer den Salon und schloss die Haustür ab.
Mavra Kuzminishna ging auf den Hof hinaus und überlegte, wohin sie jetzt gehen sollte: Soll ich mit Vasilyich im Flügel Tee trinken oder alles aufräumen, was in der Speisekammer noch nicht aufgeräumt war?
Auf der stillen Straße waren Schritte zu hören. Die Schritte blieben am Tor stehen; die Klinke begann unter der Hand zu klopfen, die versuchte, sie aufzuschließen.
Mavra Kuzminishna ging zum Tor.
- Wen brauchst du?
- Graf, Graf Ilya Andreevich Rostov.
- Wer bist du?
- Ich bin ein Offizier. Ich würde gerne sehen, - sagte eine russische angenehme und herrschaftliche Stimme.
Mavra Kuzminishna schloss das Tor auf. Und ein Offizier mit rundem Gesicht, etwa achtzehn Jahre alt, mit einem Gesicht ähnlich dem der Rostows, betrat den Hof.
- Lass uns gehen, Vater. Sie haben sich dazu herabgelassen, gestern zur Vesper aufzubrechen“, sagte Mavra Kuzmipisna liebevoll.
Der junge Offizier, der am Tor stand, als zögere er, einzutreten oder nicht, schnalzte mit der Zunge.
„Oh, wie schade!“, sagte er. - Ich wünschte gestern ... Oh, wie schade! ..
Mavra Kuzminishna betrachtete unterdessen sorgfältig und mitfühlend die vertrauten Gesichtszüge der Rostov-Rasse im Gesicht eines jungen Mannes, den zerfetzten Mantel und die abgetragenen Stiefel, die er anhatte.
Warum brauchten Sie eine Zählung? Sie fragte.
– Ja… was tun! - sagte der Beamte verärgert und hielt sich am Tor fest, als wolle er gehen. Er zögerte erneut.
- Siehst du? sagte er plötzlich. „Ich bin mit dem Grafen verwandt, und er war immer sehr freundlich zu mir. Sie sehen also (er betrachtete seinen Umhang und seine Stiefel mit einem freundlichen und fröhlichen Lächeln), und er trug sich selbst, und da war nichts; Also wollte ich den Grafen fragen ...
Mavra Kuzminishna ließ ihn nicht ausreden.