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Was bedeutet die Zahl e? Feinstrukturkonstante. Die Planck-Masse ist die Masse einer Mückenlarve. Aber solange die Mücke nicht durch einen Gravitationskollaps bedroht ist, werden Quantenparadoxien keinen Einfluss auf sie haben

Die Zahl erschien vor relativ kurzer Zeit. Zu Ehren des Erfinders der Logarithmen, des schottischen Mathematikers John Napier (1550-1617), wird sie manchmal als „Napear-Zahl“ bezeichnet. Dies ist jedoch unbegründet, da es keine solide Grundlage für die Behauptung Napiers über die Zahl gibt eübersichtliche Darstellung „. Erstmals die Bezeichnung „ e" wurde von Leonhard Euler (1707-1783) eingeführt. Er berechnete auch die genauen 23 Dezimalstellen dieser Zahl anhand der Darstellung der Zahl e in Form einer unendlichen Zahlenreihe: erhalten von Daniel Bernouli (1700-1782). „Im Jahr 1873 bewies Hermite die Transzendenz der Zahl e.L. Euler erzielte ein bemerkenswertes Ergebnis bei der Verknüpfung der Zahlen e, p, und: . Ihm wird auch die Definition der Funktion für komplexe Werte zugeschrieben z, was den Beginn der mathematischen Analyse im komplexen Bereich markierte – der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen.“ Euler erhielt die folgenden Formeln: Betrachten Sie Logarithmen zur Basis e, natürlich genannt und bezeichnet Lnx.

Bestimmungsmethoden

Nummer e kann auf verschiedene Arten definiert werden.

Über die Grenze:

(zweite wunderbare Grenze).

Als Summe der Reihe:

Als Singular A, wofür

Als einzige positive Zahl A, wofür es wahr ist

Eigenschaften

Diese Eigenschaft spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung von Differentialgleichungen. Beispielsweise ist die einzige Lösung einer Differentialgleichung die Funktion wo C- Willkürliche Konstante.

Nummer e irrational und sogar transzendental. Dies ist die erste Zahl, die nicht ausdrücklich als transzendent abgeleitet wurde; ihre Transzendenz wurde erst 1873 von Charles Hermite bewiesen. Es wird angenommen dass e ist eine normale Zahl, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass in ihrer Notation verschiedene Ziffern vorkommen, ist gleich.

Siehe insbesondere Eulers Formel

Eine weitere Formel, die Zahlen verbindet e Und R, sogenannt „Poisson-Integral“ oder „Gauß-Integral“

Für jede komplexe Zahl z Die folgenden Gleichheiten sind wahr:

Nummer e zerfällt wie folgt in einen unendlichen Kettenbruch:

Katalanische Vertretung:

Geschichte

Diese Nummer wird manchmal angerufen nicht gefiedert zu Ehren des schottischen Wissenschaftlers Napier, Autor des Werkes „Description of the Amazing Table of Logarithms“ (1614). Dieser Name ist jedoch nicht ganz korrekt, da er einen Logarithmus der Zahl hat X war gleich

Die Konstante taucht erstmals stillschweigend in einem Anhang der 1618 veröffentlichten englischen Übersetzung von Napiers oben erwähntem Werk auf. Hinter den Kulissen, denn es enthält nur eine Tabelle der aus kinematischen Überlegungen ermittelten natürlichen Logarithmen, die Konstante selbst ist jedoch nicht vorhanden (siehe: Neper).

Die Konstante selbst wurde erstmals vom Schweizer Mathematiker Bernoulli berechnet, als er den folgenden Grenzwert analysierte:

Die erste bekannte Verwendung dieser Konstante, bei der sie mit dem Buchstaben bezeichnet wurde B, gefunden in Leibniz‘ Briefen an Huygens, 1690-1691.

Brief e Euler begann es im Jahr 1727 zu verwenden, und die erste Veröffentlichung mit diesem Brief war sein Werk „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically“ im Jahr 1736. Jeweils, e normalerweise aufgerufen Euler-Zahl. Obwohl einige Wissenschaftler den Brief später verwendeten C, Buchstabe e wurde häufiger verwendet und ist heute die Standardbezeichnung.

Warum wurde der Buchstabe gewählt? e, genau unbekannt. Vielleicht liegt das daran, dass das Wort damit beginnt exponentiell(„indikativ“, „exponentiell“). Eine andere Annahme ist, dass die Buchstaben A, B, C Und D wurden bereits in großem Umfang für andere Zwecke verwendet und e war der erste „kostenlose“ Brief. Es ist unplausibel anzunehmen, dass Euler gewählt hat e als erster Buchstabe Ihres Nachnamens (deutsch. Euler) [Quelle nicht angegeben 334 Tage] .

NUMMER e. Eine Zahl, die ungefähr 2,718 entspricht und häufig in Mathematik und Naturwissenschaften vorkommt. Zum Beispiel, wenn eine radioaktive Substanz mit der Zeit zerfällt T Von der ursprünglichen Stoffmenge bleibt ein Bruchteil gleich e–kt, Wo k– eine Zahl, die die Zerfallsgeschwindigkeit einer bestimmten Substanz charakterisiert. Kehrwert von 1/ k wird die durchschnittliche Lebensdauer eines Atoms einer bestimmten Substanz genannt, da ein Atom im Durchschnitt eine Zeit von 1/ existiert, bevor es zerfällt k. Wert 0,693/ k nennt man die Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffes, d.h. die Zeit, in der die Hälfte der ursprünglichen Menge eines Stoffes zerfällt; die Zahl 0,693 entspricht ungefähr log e 2, d.h. Logarithmus der Zahl 2 zur Basis e. Wenn sich Bakterien in einem Nährmedium mit einer Geschwindigkeit vermehren, die proportional zu ihrer aktuellen Anzahl ist, dann im Laufe der Zeit T anfängliche Bakterienzahl N verwandelt sich in Ne kt. Dämpfung des elektrischen Stroms ICH in einer einfachen Schaltung mit Reihenschaltung Widerstand R und Induktivität L geschieht nach dem Gesetz Ich = Ich 0 e–kt, Wo k = R/L, ICH 0 – aktuelle Stärke zum jeweiligen Zeitpunkt T= 0. Ähnliche Formeln beschreiben die Spannungsrelaxation in einer viskosen Flüssigkeit und die Dämpfung des Magnetfelds. Nummer 1/ k oft Entspannungszeit genannt. In der Statistik der Wert e–kt auftritt als die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe der Zeit T Es gab keine Ereignisse, die zufällig mit einer durchschnittlichen Häufigkeit auftraten k Ereignisse pro Zeiteinheit. Wenn S- der investierte Geldbetrag R Zinsen mit kontinuierlicher Abgrenzung statt Abgrenzung in diskreten Zeitabständen, dann nach Zeit T Der anfängliche Betrag erhöht sich auf Setr/100.

Der Grund für die „Allgegenwart“ der Zahl e liegt darin, dass mathematische Analyseformeln, die Exponentialfunktionen oder Logarithmen enthalten, einfacher geschrieben werden, wenn die Logarithmen zur Basis genommen werden e und nicht 10 oder eine andere Basis. Zum Beispiel die Ableitung von log 10 X gleich (1/ X)Protokoll 10 e, während die Ableitung von log ex ist einfach gleich 1/ X. Ebenso die Ableitung von 2 X gleich 2 X Protokoll e 2, während die Ableitung von ex gleicht einfach ex. Dies bedeutet, dass die Zahl e als Basis definiert werden B, bei dem der Graph der Funktion y = Protokoll b x hat auf den Punkt X= 1 Tangente mit einer Steigung gleich 1, oder bei der die Kurve y = b x hat in X= 0 Tangente mit Steigung gleich 1. Logarithmen zur Basis e werden „natürlich“ genannt und mit ln bezeichnet X. Manchmal werden sie auch „Nepier“ genannt, was falsch ist, da tatsächlich J. Napier (1550–1617) Logarithmen mit einer anderen Basis erfunden hat: den Nepier-Logarithmus der Zahl X entspricht 10 7 log 1/ e (X/10 7) .

Verschiedene Studiengangskombinationen e Sie kommen in der Mathematik so häufig vor, dass sie besondere Namen haben. Dies sind beispielsweise hyperbolische Funktionen

Graph einer Funktion j= Kap X Oberleitung genannt; Dies ist die Form eines schweren, nicht dehnbaren Fadens oder einer Kette, die an den Enden hängt. Eulers Formeln

Wo ich 2 = –1, Bindungszahl e mit Trigonometrie. Besonderer Fall x = p führt zu der berühmten Beziehung e ip+ 1 = 0, verbindet die 5 berühmtesten Zahlen der Mathematik.

Die Beschreibung von e als „eine Konstante, die ungefähr 2,71828 entspricht …“, ist so, als würde man Pi „eine irrationale Zahl, die ungefähr 3,1415 entspricht …“ nennen. Das ist zweifellos richtig, aber der Punkt bleibt uns noch unklar.

Pi ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, das für alle Kreise gleich ist. Es handelt sich um eine grundlegende Proportion, die allen Kreisen gemeinsam ist, und daher an der Berechnung von Umfang, Fläche, Volumen und Oberfläche von Kreisen, Kugeln, Zylindern usw. beteiligt. Pi zeigt, dass alle Kreise zusammenhängen, ganz zu schweigen von den von Kreisen abgeleiteten trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens).

Die Zahl e ist das grundlegende Wachstumsverhältnis für alle kontinuierlich wachsenden Prozesse. Mit der e-Zahl können Sie eine einfache Wachstumsrate (bei der der Unterschied erst am Jahresende sichtbar ist) heranziehen und die Komponenten dieses Indikators berechnen, das normale Wachstum, bei dem mit jeder Nanosekunde (oder noch schneller) alles ein wenig wächst mehr.

Die Zahl e ist sowohl an exponentiellen als auch an konstanten Wachstumssystemen beteiligt: Bevölkerung, radioaktiver Zerfall, Prozentberechnung und viele, viele andere. Auch Stufensysteme, die nicht gleichmäßig wachsen, können mit der Zahl e angenähert werden.

So wie man sich jede Zahl als „skalierte“ Version von 1 (der Basiseinheit) vorstellen kann, kann man sich jeden Kreis als „skalierte“ Version des Einheitskreises (mit Radius 1) vorstellen. Und jeder Wachstumsfaktor kann als „skalierte“ Version von e (dem „Einheits“-Wachstumsfaktor) betrachtet werden.

Die Zahl e ist also keine zufällig ausgewählte Zahl. Die Zahl e verkörpert die Idee, dass alle kontinuierlich wachsenden Systeme skalierte Versionen derselben Metrik sind.

Konzept des exponentiellen Wachstums

Schauen wir uns zunächst das Grundsystem an Doppel für einen bestimmten Zeitraum. Zum Beispiel:

Bakterien teilen sich und „verdoppeln“ ihre Zahl alle 24 Stunden
Wir bekommen doppelt so viele Nudeln, wenn wir sie halbieren
Ihr Geld verdoppelt sich jedes Jahr, wenn Sie 100 % Gewinn erzielen (Glück!)

Und es sieht ungefähr so aus:

Das Teilen durch zwei oder das Verdoppeln ist ein sehr einfacher Vorgang. Natürlich können wir verdreifachen oder vervierfachen, aber eine Verdoppelung ist zur Erklärung praktischer.

Wenn wir x Divisionen haben, haben wir rechnerisch am Ende 2^x mehr Gutes als zu Beginn. Wenn nur eine Partition erstellt wird, erhalten wir das 2^1-fache. Bei 4 Partitionen erhalten wir 2^4=16 Teile. Die allgemeine Formel sieht so aus:

Höhe= 2 x

Mit anderen Worten: Eine Verdoppelung ist eine Steigerung um 100 %. Wir können diese Formel folgendermaßen umschreiben:

Höhe= (1+100 %) x

Dies ist die gleiche Gleichheit, wir haben lediglich „2“ in seine Bestandteile geteilt, was im Wesentlichen diese Zahl ist: der Anfangswert (1) plus 100 %. Schlau, oder?

Natürlich können wir anstelle von 100 % eine beliebige andere Zahl (50 %, 25 %, 200 %) einsetzen und so die Wachstumsformel für diesen neuen Koeffizienten erhalten. Die allgemeine Formel für x Perioden der Zeitreihe lautet:

Höhe = (1+Wachstum) X

Das bedeutet einfach, dass wir die Rendite (1 + Gewinn) „x“ Mal hintereinander verwenden.

Lass uns genauer hinschauen

Unsere Formel geht davon aus, dass Wachstum in diskreten Schritten erfolgt. Unsere Bakterien warten und warten, und dann bam!, und in letzter Minute verdoppelt sich ihre Zahl. Unser Gewinn aus den Zinsen auf die Einlage erscheint auf magische Weise genau nach einem Jahr. Basierend auf der oben beschriebenen Formel wachsen die Gewinne schrittweise. Plötzlich erscheinen grüne Punkte.

Aber die Welt ist nicht immer so. Wenn wir hineinzoomen, können wir sehen, dass sich unsere Bakterienfreunde ständig teilen:

Der grüne Kerl entsteht nicht aus dem Nichts: Er wächst langsam aus dem blauen Elternteil heraus. Nach einer Zeitspanne (in unserem Fall 24 Stunden) ist der grüne Freund bereits vollreif. Mit zunehmender Reife wird er zu einem vollwertigen blauen Mitglied der Herde und kann selbst neue grüne Zellen bilden.

Werden diese Informationen unsere Gleichung in irgendeiner Weise verändern?

Nein. Bei Bakterien können halbfertige grüne Zellen noch nichts tun, bis sie erwachsen sind und sich vollständig von ihren blauen Eltern trennen. Die Gleichung stimmt also.

PERWUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH

Private Bildungseinrichtung „St. Petersburger Schule „Tete-a-Tete““

Mathematiklehrer der höchsten Kategorie

Nummer e

Die Nummer erschien erstmals inMathematikwie etwas Unbedeutendes. Dies geschah im Jahr 1618. Im Anhang zu Napiers Werk über Logarithmen wurde eine Tabelle mit natürlichen Logarithmen verschiedener Zahlen angegeben. Allerdings erkannte niemand, dass es sich um Logarithmen zur Basis handelte, da der Begriff eines Logarithmus damals so etwas wie eine Basis nicht beinhaltete. Dies nennen wir heute einen Logarithmus, die Potenz, mit der die Basis erhöht werden muss, um die erforderliche Zahl zu erhalten. Wir werden später darauf zurückkommen. Die Tabelle im Anhang wurde höchstwahrscheinlich von Augthred erstellt, der Autor wurde jedoch nicht identifiziert. Einige Jahre später, im Jahr 1624, taucht es erneut in der mathematischen Literatur auf, allerdings erneut in verschleierter Form. In diesem Jahr lieferte Briggs eine numerische Annäherung an den Dezimallogarithmus, die Zahl selbst wird in seiner Arbeit jedoch nicht erwähnt.

Das nächste Erscheinen der Nummer ist erneut zweifelhaft. Im Jahr 1647 berechnete Saint-Vincent die Fläche des Hyperbelsektors. Ob er den Zusammenhang mit Logarithmen verstand, kann nur vermutet werden, aber selbst wenn er es verstanden hätte, wäre es unwahrscheinlich, dass er zur Zahl selbst kommen könnte. Erst 1661 verstand Huygens den Zusammenhang zwischen der gleichseitigen Hyperbel und den Logarithmen. Er bewies, dass die Fläche unter dem Graphen einer gleichseitigen Hyperbel im Intervall von 1 bis gleich 1 ist. Diese Eigenschaft bildet die Grundlage natürlicher Logarithmen, was jedoch von den damaligen Mathematikern nicht verstanden wurde, sie aber schon Ich nähere mich langsam diesem Verständnis.

Huygens machte 1661 den nächsten Schritt. Er definierte eine Kurve, die er logarithmisch nannte (in unserer Terminologie nennen wir sie exponentiell). Dies ist eine Typkurve. Und wieder taucht der dezimale Logarithmus auf, der laut Huygens auf 17 Dezimalstellen genau ist. Sie entstand jedoch bei Huygens als eine Art Konstante und war nicht mit dem Logarithmus einer Zahl verbunden (also kamen sie wiederum nahe an , aber die Zahl selbst bleibt unerkannt).

In weiteren Arbeiten zu Logarithmen taucht die Zahl wiederum nicht explizit auf. Das Studium der Logarithmen geht jedoch weiter. Im Jahr 1668 veröffentlichte Nicolaus Mercator ein WerkLogarithmotechnik, das eine Serienerweiterung enthält. In dieser Arbeit verwendet Mercator zunächst die Bezeichnung „natürlicher Logarithmus“ für den Basislogarithmus. Die Zahl taucht offensichtlich nicht wieder auf, bleibt aber irgendwo daneben verborgen.

Es ist überraschend, dass die Zahl zum ersten Mal in expliziter Form nicht im Zusammenhang mit Logarithmen, sondern im Zusammenhang mit unendlichen Produkten auftritt. Im Jahr 1683 versucht Jacob Bernoulli es zu finden

Er verwendet den Binomialsatz, um zu beweisen, dass dieser Grenzwert zwischen 2 und 3 liegt, was wir uns als erste Näherung für vorstellen können. Obwohl wir davon ausgehen, dass dies die Definition von ist, ist dies das erste Mal, dass eine Zahl als Grenzwert definiert wurde. Bernoulli verstand natürlich nicht den Zusammenhang zwischen seiner Arbeit und der Arbeit über Logarithmen.

Es wurde bereits erwähnt, dass Logarithmen zu Beginn ihrer Studie in keiner Weise mit Exponenten verbunden waren. Natürlich finden wir das aus der Gleichung, aber das ist eine viel spätere Art der Wahrnehmung. Hier meinen wir eigentlich eine Funktion mit einem Logarithmus, während der Logarithmus zunächst nur als Zahl betrachtet wurde, die bei Berechnungen hilft. Jacob Bernoulli war möglicherweise der Erste, der erkannte, dass die logarithmische Funktion die umgekehrte Exponentialfunktion ist. Andererseits könnte James Gregory der erste gewesen sein, der Logarithmen und Potenzen miteinander verbunden hat. 1684 erkannte er sicherlich den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen, aber er war möglicherweise nicht der Erste.

Wir wissen, dass die Zahl in ihrer heutigen Form im Jahr 1690 erschien. Leibniz verwendete die Bezeichnung in einem Brief an Huygens. Schließlich erschien eine Bezeichnung (obwohl sie nicht mit der modernen übereinstimmte), und diese Bezeichnung wurde anerkannt.

Im Jahr 1697 begann Johann Bernoulli mit dem Studium der Exponentialfunktion und veröffentlichteDas Prinzip der Exponentialkalküle ist ihr Percurrentium. In dieser Arbeit werden die Summen verschiedener Exponentialreihen berechnet und einige Ergebnisse werden durch deren Term-für-Term-Integration erhalten.

Euler führte so viele mathematische Notationen ein, dass
Es überrascht nicht, dass die Bezeichnung auch ihm gehört. Es erscheint lächerlich zu sagen, dass er den Buchstaben verwendet hat, weil es der erste Buchstabe seines Namens ist. Das liegt wahrscheinlich nicht einmal daran, dass es vom Wort „exponential“ abgeleitet ist, sondern einfach daran, dass es sich um den nächsten Vokal nach „a“ handelt und Euler in seinem Werk bereits die Notation „a“ verwendet hatte. Unabhängig vom Grund erscheint die Notation erstmals in einem Brief von Euler an Goldbach im Jahr 1731. Während seiner weiteren Studien machte er viele Entdeckungen, jedoch erst 1748.Einführung in Analysin infinitorumEr begründete alle diesbezüglichen Ideen vollständig. Das hat er gezeigt

Euler hat auch die ersten 18 Dezimalstellen einer Zahl gefunden:

allerdings ohne zu erklären, wie er sie bekommen hat. Es sieht so aus, als hätte er diesen Wert selbst berechnet. Wenn wir etwa 20 Terme der Reihe (1) nehmen, erhalten wir tatsächlich die Genauigkeit, die Euler erreicht hat. Zu den weiteren interessanten Ergebnissen seiner Arbeit gehört der Zusammenhang zwischen den Funktionen Sinus und Cosinus und der komplexen Exponentialfunktion, die Euler aus der Formel von De Moivre abgeleitet hat.

Interessant ist, dass Euler sogar die Zerlegung einer Zahl in Kettenbrüche fand und Beispiele für eine solche Zerlegung anführte. Insbesondere erhielt er

Euler lieferte keinen Beweis dafür, dass diese Brüche auf die gleiche Weise fortbestehen, aber er wusste, dass ein solcher Beweis die Irrationalität beweisen würde. In der Tat, wenn der Kettenbruch für , auf die gleiche Weise fortgesetzt würde wie im gegebenen Beispiel, 6,10,14,18,22,26, (wir fügen jedes Mal 4 hinzu), dann würde er niemals unterbrochen werden, und (und daher ) konnte nicht rational sein. Dies ist offensichtlich der erste Versuch, Irrationalität zu beweisen.

Der erste, der eine ziemlich große Anzahl von Dezimalstellen berechnete, war Shanks im Jahr 1854. Glaisher zeigte, dass die ersten 137 von Shanks berechneten Stellen korrekt waren, stellte dann aber einen Fehler fest. Shanks korrigierte es und es wurden 205 Dezimalstellen ermittelt. In Wirklichkeit brauchen Sie ungefähr
120 Erweiterungsterme (1), um 200 korrekte Ziffern der Zahl zu erhalten.

Im Jahr 1864 stand Benjamin Peirce an einer Tafel, auf der geschrieben stand

In seinen Vorlesungen könnte er seinen Studenten sagen: „Meine Herren, wir haben nicht die geringste Ahnung, was das bedeutet, aber wir können sicher sein, dass es etwas sehr Wichtiges bedeutet.“

Die meisten Menschen glauben, dass Euler die Irrationalität der Zahl bewiesen hat. Dies wurde jedoch 1873 von Hermite durchgeführt. Die Frage, ob die Zahl algebraisch ist, bleibt weiterhin offen. Das Endergebnis in dieser Richtung ist, dass mindestens eine der Zahlen transzendent ist.

Als nächstes wurden die nächsten Dezimalstellen der Zahl berechnet. Im Jahr 1884 berechnete Boorman 346 Ziffern, von denen die ersten 187 mit den Ziffern von Shanks übereinstimmten, die folgenden jedoch unterschiedlich waren. Im Jahr 1887 berechnete Adams die 272 Stellen des Dezimallogarithmus.

Verschiedene Studiengangskombinationen e Sie kommen in der Mathematik so häufig vor, dass sie besondere Namen haben. Dies sind beispielsweise hyperbolische Funktionen

Graph einer Funktion j= Kap X Oberleitung genannt; Dies ist die Form eines schweren, nicht dehnbaren Fadens oder einer Kette, die an den Enden hängt. Eulers Formeln

Wo ich 2 = –1, Bindungszahl e mit Trigonometrie. Besonderer Fall x = p führt zu der berühmten Beziehung e ip+ 1 = 0, verbindet die 5 berühmtesten Zahlen der Mathematik.

Typ