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Formel für die Summe von Tangenten verschiedener Winkel. Serienerweiterungen. Graph der Tangensfunktion, y = tan x

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Alexei:

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Referenzdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.

Geometrische Definition

|BD| - Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt im Punkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tan α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge des benachbarten Beins |AB| .

Kotangens ( ctg α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge des gegenüberliegenden Beins |BC| .

Tangente

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Tangens wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tan x

Kotangens

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Folgende Notationen werden ebenfalls akzeptiert:
;
;
.

Diagramm der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y = tg x und y = ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, zunehmend, abnehmend

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( N- ganz).

	y= tg x	y= ctg x
Umfang und Kontinuität
Wertebereich	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Zunehmend		-
Absteigend	-
Extreme	-	-
Nullen, y = 0
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y= 0	-

Formeln

Ausdrücke mit Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens aus Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu erhalten

Produkt von Tangenten

Formel für Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle zeigt die Werte von Tangenten und Kotangenten für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion:
.
Formeln für Tangenten ableiten > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Serienerweiterungen

Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie mehrere Terme der Entwicklung in einer Potenzreihe für die Funktionen verwenden Sünde x Und weil x und dividiere diese Polynome durcheinander, . Dadurch ergeben sich die folgenden Formeln.

Bei .

bei .
Wo Mrd- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
Wo .
Oder nach Laplaces Formel:

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arcustangens, arctg

, Wo N- ganz.

Arkuskotangens, arcctg

, Wo N- ganz.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Am häufigsten gestellte Fragen

Neueste Bewertungen

Alexei:

Wiederholung der Lektion über zuvor untersuchtes Material zur Trigonometrie: Wiederholung trigonometrischer Formeln, Üben der Fähigkeit, trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln und Gleichungen mithilfe grundlegender trigonometrischer Formeln zu lösen.

Auf den Tischen liegen Aufgabenkarten. Aus den vorgeschlagenen Gleichungen wird die Gleichung ausgewählt, bei deren Lösung die Formel für den Sinus der Summe oder Differenz der Argumente verwendet wird. Ein Student wird nach Belieben an die Tafel gerufen, löst und kommentiert lautstark die gesamte Lösung.

Lösen Sie die folgende Gleichung selbst mit dieser Formel.

Selbsteinschätzungsarbeit. Jeder Schüler zeigt auf dem Diagramm, wie gut er diese Formel beherrscht und in der Lage ist, sie zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung anzuwenden.

Wir überlegen, die folgende Gleichung mit einer anderen Formel zu lösen

Herunterladen:

Vorschau:

Unterrichtsthema: Tangens der Summe und Differenz der Argumente.

Lernziele: pädagogisch - Systematisierung des vorhandenen Wissens über trigonometrische Formeln, Entwicklung von Fähigkeiten zur Verwendung von Formeln für trigonometrische Ausdrücke;

pädagogisch – Förderung von Unabhängigkeit, Effizienz,Charaktereigenschaften wie Beharrlichkeit beim Erreichen eines Ziels, die Fähigkeit, sich in problematischen Situationen nicht zu verwirren, die Fähigkeit zur Zusammenarbeit;

Entwicklung - Entwicklung der Kommunikationsfähigkeiten, Steigerung des intellektuellen Niveaus, des Horizonts, Steigerung der Motivation zum Mathematikstudium, Entwicklung des logischen Denkens, der Fähigkeit, das Wesentliche hervorzuheben, zu verallgemeinern und richtige logische Schlussfolgerungen zu ziehen.

Lernziele:

Wiederholung von zuvor untersuchtem Material zur Trigonometrie;

Überprüfung der Trigonometrieformeln;

Üben Sie das Umwandeln trigonometrischer Ausdrücke und das Lösen von Gleichungen mithilfe grundlegender trigonometrischer Formeln.

Ausrüstung : Multimedia-Beamer, Leinwand, Tafel, Präsentation, Karten mit Aufgaben für die Arbeit im Unterricht, Karten mit Aufgaben für selbstständiges Arbeiten.

Aktivitätsmethoden: Fortpflanzung und teilweise Suche.

Verwendung der neuesten Technologien der kognitiven Aktivität:Präsentation, Wissenskontrolle im Modus der Selbstkontrolle und Wissensdiagnostik.

Unterrichtsplan

№	Unterrichtsphase	Zweck der Bühne	Zeit
	Zeit organisieren	Vermittlung des Unterrichtsthemas, Festlegung des Unterrichtsziels, Vermittlung der Unterrichtsphasen	2 Minuten.
	Durchführung von Wissensaktualisierungen	Testen Sie Ihr Wissen über trigonometrische Formeln	7 Min.
	Fixieren des Materials in drei Etappen	Festigung und Übung der Fähigkeiten und Fertigkeiten zur Lösung trigonometrischer Gleichungen unter Verwendung der Formeln Sinus, Cosinus und Tangens der Summe und Differenz von Argumenten	4 Minuten – 3 Mal
	Selbstständiges Arbeiten durchführen	Testen Sie Ihr Wissen zu diesem Thema	4 Minuten – 3 Mal
	Interessant zum Thema	Fördern Sie die Motivation und das Interesse am Erlernen der Trigonometrie	5 Minuten
	Zusammenfassung der Lektion	Ziehen Sie eine Schlussfolgerung über die Arbeit der Schüler im Unterricht	2 Minuten

Während des Unterrichts:

1. Organisatorischer Moment.

Begrüßung, Nachricht über das Thema und die Ziele der Lektion.

Lehrer: Das deutsche Genie Johann Wolfgang Goethe bemerkte einmal: „Es reicht nicht aus, nur Wissen zu erwerben, man muss eine Anwendung dafür finden.“ Es reicht nicht aus, nur zu wünschen; tun müssen". Folgen wir also heute im Unterricht der Aussage dieses Autors, seien wir aktiv, aufmerksam und nehmen wir das Wissen mit großer Freude auf, denn es wird Ihnen in Ihrem zukünftigen Leben nützlich sein.

2. Wissen aktualisieren.

Wir beginnen die Lektion mit einer kleinen mündlichen Arbeit, die darauf abzielt, die grundlegenden trigonometrischen Identitäten zu wiederholen und die Assimilation des vorherigen Materials zu überprüfen.

Vereinfachen Sie die Ausdrücke und finden Sie ihre Bedeutung:

a) sin sin (2 +3 ) + cos (2 +3 ) cos

b) cos 2 sin (- ) - cos (- ) sin 2

c) sin 81° cos 21° - cos 81° sin 21°

d) cos cos – Sünde Sünde

e) sin · cos + cos · sin

e) cos78° cos18° + sin78° sin18°

Antworten auf die Aufgabe: a) cos (3 + ); b) – Sünde(+); V) ; G)- ; e)1; f) ;g) ;

Hi) ; Zu) - .

Lehrer: Arbeiten Sie an Ihrem Selbstwertgefühl. Zeigen Sie den Grad der theoretischen Beherrschung im Diagramm an.

3. Fixieren des Materials.

Lehrer: Betrachten wir das Lösen von Gleichungen mithilfe von Formeln (ein Schüler wird nach Belieben an die Tafel gerufen, der die gesamte Lösung löst und laut kommentiert):

a)sin x cos 3x - cos x sin 3x =

Lösung : Wenn wir den Sinus der Summenformel anwenden, erhalten wir sin (x + 3x) =

Sünde 4x =

4x = (-1) n + n, wobei n

Х= (-1) n + , wobei n

4. Fähigkeitentraining.

Lehrer: Das Erlernen trigonometrischer Formeln in der Schule dient nicht dazu, ein Leben lang Sinus, Cosinus und Tangens berechnen zu können, sondern dazu, dass Ihr Gehirn arbeitsfähig wird. „Straßen sind nicht das Wissen, das sich wie Fett im Gehirn ablagert; Die Straßen verwandeln sich in mentale Muskeln“, schrieb der englische Philosoph und Soziologe G. Speser. Auf Ihren Schreibtischen liegen Aufgabenkarten. Wählen Sie aus den vorgeschlagenen Gleichungen die Gleichung aus, deren Lösung mit der Formel für den Sinus der Summe oder Differenz der Argumente gelöst werden soll. Entscheide dich selbst.

Vorgeschlagene Aufgaben:

c) = -

b) sin 5x cos x + cos 5x sin x = -

Sin6x = -

6x = (-1) n + n, wobei n

X = (-1) n + , wobei n

Lehrer: Betrachten Sie die Lösung der folgenden Gleichung: cos 3x cos5x - sin3x sin5x = 0

Cos 8x = 0

8х = + , wo

X = + , wo

Lehrer: Wählen Sie aus den vorgeschlagenen Gleichungen die Gleichung aus, bei der beim Lösen der Formelkosinus der Summe oder Differenz der Argumente verwendet wird. Entscheide dich selbst.

Aufgaben zur Selbstauswahl lösen:

a) cos 4х · cosх - sin4х · sinх = -

Cos 5x = -

5x = +2, wobei

X = + , wo

Lehrer: Arbeiten Sie an Ihrem Selbstwertgefühl. Zeigen Sie im Diagramm, wie gut Sie diese Formel beherrschen und ob Sie sie zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung anwenden können.

Lehrer: Betrachten Sie die Lösung der Gleichung= 1

(Ein Schüler wird nach Belieben an die Tafel gerufen, löst und kommentiert die gesamte Lösung lautstark)

Antwort: x = - , wo

Lehrer: Wählen Sie aus den vorgeschlagenen Gleichungen die Gleichung aus, bei der die Formel für den Tangens der Summe oder Differenz der Argumente beim Lösen verwendet wird. Entscheide dich selbst.

Aufgaben zur Selbstauswahl lösen:

c) = -

tg(+ x) = -

X = - + n, wobei n

x = - + n, wobei n

Lehrer: Arbeiten Sie an Ihrem Selbstwertgefühl. Zeigen Sie im Diagramm, wie gut Sie diese Formel beherrschen und ob Sie sie zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung anwenden können.

Zusammenfassung der Arbeit. Vergabe von Noten nach Kriterien.

Bewertungsschlüssel:

16–20 Punkte – Punktzahl „5“

13 -15 Punkte – Punktzahl „4“

6–12 Punkte – Punktzahl „3“

weniger als 6 Punkte – Punktzahl „2“

5.Zusatzaufgabe:

Berechnung:

)A)

B))

Arbeiten Sie an der Folie (wiederholen Sie die Lösung der einfachsten trigonometrischen trigonometrischen Gleichungen, sind alle Lösungen richtig?):

Arbeiten mit einem Kreuzworträtsel.

Zusammenfassung der Lektion. Vergabe und Kommentierung von Noten an Studierende, die an der Tafel arbeiten. Angabe der von den Studierenden vergebenen Noten gemäß der Notentabelle.

Lehrer : Eines Tages ging Sokrates, umgeben von Jüngern, zum Tempel. Eine berühmte athenische Hetäre kam auf sie zu. „Du bist stolz auf deine Schüler, Sokrates“, lächelte sie ihn an, „aber wenn ich sie nur sanft winke, werden sie dich verlassen und mir folgen.“ Der Weise antwortete so: „Ja, aber du rufst sie hinunter, in ein warmes, fröhliches Tal, und ich führe sie hinauf, zu unzugänglichen, reinen Gipfeln.“

Heute sind Sie und ich einen Schritt weitergekommen und haben gelernt, trigonometrische Formeln anzuwenden.

Gebrauchte Bücher.

1. Mordkovich A.G. Algebra und Beginn der Analysis Klasse 10 – 11 in 2 Teilen (Lehrbuch, Problembuch) Für allgemeinbildende Einrichtungen. – 12. Aufl. – M.: Mnemosyne, 2011.

2. Makeeva A.V. Trigonometrie-Lernkarten. Klassen 10-11: Didaktisches Material für Lehrer - JSC Publishing House Lyceum, Saratov, 2002.

3. Studium der Algebra und Anfänge der Analysis 10-11: Methodische Empfehlungen für das Studium; Buch für Lehrer / N.E. Fedorova, M.V. Tkatschow. – M.: Bildung, 2007.

4. Didaktisches Material zur Algebra und den Anfängen der Analysis für die 10. Klasse/M.I. Shabunin, M.V. Tkachev und andere – 2. Aufl. - M.: Bildung, 2007.

5. Reshetnikov N.N. Materialien des Kurses „Trigonometrie in der Schule“, Vorlesungen 1-8. – M.: Pädagogische Universität „Erster September“, 2006

6. Zeitung „Erster September. Mathematik". - Nr. 6, 2004.

7. Aufgabensammlungen für das Einheitliche Staatsexamen 2002, 2011.

Elektronische Unterrichtsunterstützung:

Im Trigonometriekurs, der einen Großteil der Unterrichtsstunden in der 10. Klasse umfasst, werden die grundlegenden vier trigonometrischen Funktionen untersucht: Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Schulkinder müssen in der Lage sein, mit diesen Funktionen umzugehen, ihre Diagramme zu erstellen, jede der Funktionen zu analysieren, Diagramme transformierter Funktionen zu erstellen, mit einer Tabelle trigonometrischer Werte arbeiten zu können usw.

Außerdem sollten sie in der Lage sein, einige grundlegende trigonometrische Formeln zu handhaben, zu reproduzieren und sie bei der Lösung praktischer Beispiele zu verwenden. Dies alles wurde in früheren Video-Tutorials behandelt. Die Studierenden können den Stoff im Kopf durchgehen und auffrischen.

Daher ist diese Videolektion dem Studium der Formeln für den Tangens der Summe und die Differenz von Argumenten gewidmet. Zuvor haben wir Formeln für den Sinus der Summe und Differenz von Argumenten sowie den Kosinus untersucht.

Sie werden vom Ansager demonstriert und auf dem Bildschirm rot umrahmt angezeigt, um die Wichtigkeit der Erinnerung an diese Formeln hervorzuheben.

Was den Tangens betrifft, wissen wir, wie man dieses Konzept schreibt, das heißt, wie man es durch Sinus und Cosinus ausdrückt. Der Tangens der Summe der Argumente kann als Sinus der Summe der Argumente dividiert durch den Kosinus der Summe der Argumente geschrieben werden. Wir haben einen Bruch, bei dem Zähler und Nenner mithilfe zuvor gelernter Formeln geschrieben werden können. Wir erhalten eine fertige neue Formel, die leicht vereinfacht und transformiert werden kann. Der Sprecher schlägt vor, jeden Term des Polynoms durch das Produkt aus dem Kosinus eines Arguments und dem Sinus eines anderen zu dividieren. Durch die Teilung schrumpfen einige Mitglieder und der Ausdruck nimmt insgesamt ab.

Wir erhalten eine vereinfachte neue Formel, an die es sich zu erinnern lohnt. Wenn Sie das Prinzip des Empfangs verstehen, werden beim weiteren Verstehen und Auswendiglernen keine Probleme auftreten.

Weiter wird ausgeführt, dass die Argumente keine Werte annehmen können, die auf den Asymptoten des Graphen der Tangensfunktion liegen. Ausnahmen werden auch für Argumentsummen gedruckt. Der Lehrer muss diesen Punkt mit der Klasse besprechen.

Im ersten Beispiel, das im Video-Tutorial gezeigt wird, wird vorgeschlagen, einen ziemlich großen Bruchausdruck zu berechnen, der die Summe der Tangenten sowohl im Nenner als auch im Zähler enthält. Da es sich bei den Tangentialargumenten nicht um tabellarische Werte handelt, wird empfohlen, sie als Summe bequemerer Grade darzustellen. Nachdem Sie diesen Vorgang abgeschlossen haben, können Sie die untersuchte Formel zur weiteren Lösung verwenden und eine Antwort erhalten.

Das zweite Beispiel schlägt vor, einen Ausdruck zu vereinfachen, der die Summe zweier Brüche ist. Auf der rechten Seite befinden sich alle Callouts, die zur Lösung des Problems verwendet werden. Der Ansager erklärt alles Schritt für Schritt mit ruhiger und klarer Stimme. Kein einziger Moment wurde verpasst.

Das dritte Beispiel ist komplexer. Hier wird vorgeschlagen, den Tangens eines bestimmten Wertes zu berechnen, wenn einige Daten bekannt sind. Beim Lösen verwenden sie auch zuvor untersuchte Formeln, die in den Legenden auf der rechten Seite erscheinen.

Die Lösung ist ziemlich lang. Die Antwort wird endlich angezeigt. Nach diesem Beispiel wird im Video eine weitere Beispielgleichung besprochen. Da zur Lösung eine trigonometrische Wertetabelle verwendet wird, wird diese der Übersichtlichkeit und Einfachheit halber auf dem Bildschirm angezeigt. Auf diese Weise können Schüler erkennen, woher bestimmte Werte stammen, und sie besser verstehen.

Den Schülern können ähnliche Beispiele gegeben werden, die sie zu Hause ausarbeiten können. Wenn sie Probleme bei der Lösung haben, können sie auf dieses Video verweisen und es sich noch einmal ansehen.

Diese elektronische Ressource kann zur Demonstration in der Schule während des Unterrichts verwendet werden. Mithilfe solcher Materialien kann der Lehrer den Unterricht „wiederbeleben“. Es wird unvergesslicher und interessanter. Wenn Schüler Fragen haben, kann der Lehrer oder Tutor, der die Unterrichtsstunde mit ihnen betrachtet, detaillierter kommentieren und erklären. Intelligente Schüler können den Stoff selbstständig verstehen und ohne zusätzliche Hilfe beherrschen.

TEXTDEKODIERUNG:

Tangens der Summe und Differenz der Argumente

Wir haben bereits Formeln kennengelernt, die den Sinus und Cosinus der Summe und Differenz von Argumenten ausdrücken. Formeln anzeigen

Überlegen wir, wie wir den Tangens der Summe und Differenz der Argumente ausdrücken können. Denken Sie daran, dass der Tangens das Verhältnis des Sinus einer Zahl zum Kosinus dieser Zahl ist

Dann drücken wir den Tangens der Summe zweier Winkel durch den Sinus und Cosinus der Summe zweier Winkel aus, indem wir die Formeln Sinus der Summe und Cosinus der Summe verwenden:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

(Wenn es schließlich Tangenten der Winkel x und y gibt, ist das Produkt der Kosinuswerte dieser Winkel von Null verschieden), nachdem Zähler und Nenner durch cos dividiert wurden X cos j Wir erhalten die Summe im Zähler und diese ist gleich tgx und und dies ist gleich tgy.

Wir reduzieren den Nenner und erhalten eins

wie im Zähler und dies ist gleich tgx und und dies ist gleich tgy.

Daher ist tan(x+y) =.

(Der Tangens der Summe zweier Argumente ist gleich der Summe der Tangenten dieser Argumente geteilt durch eins minus dem Produkt der Tangenten dieser Argumente.)

Die Formel für den Tangens der Argumentdifferenz wird auf ähnliche Weise bewiesen:

tg(x-y) =. (Der Tangens der Differenz zweier Argumente ist gleich der Differenz der Tangenten dieser Argumente geteilt durch eins plus dem Produkt der Tangenten dieser Argumente.)

Natürlich sind alle Tangenten sinnvoll, d.h. x+ πn, y + πn,

x + y + πn (für den Tangens der Summe zweier Argumente), x - y + πn (für den Tangens der Differenz zweier Argumente).

Schauen wir uns Beispiele an.

BEISPIEL 1. Berechnen.

Lösung. Dieser Ausdruck stellt die rechte Seite der Tan-Summenformel für die Argumente 16° und 44° dar. Daher reduzieren wir den Ausdruck auf die Form der linken Seite und stellen fest, dass der Tangens gleich 60 0 ist, also gleich. (Wertetabelle anzeigen)

Tg(16°+44°) = tg 60° = .

BEISPIEL 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck + (den Quotienten der Summe der Tangenten der Argumente x und y durch den Tangens der Summe dieser Argumente plus den Quotienten der Differenz der Tangenten der Argumente x und y durch den Tangens von der Unterschied dieser Argumente).

Lösung. Im Nenner des ersten und zweiten Bruchs wenden wir die Formeln für den Tangens der Summe und die Differenz der Argumente an, führen Reduktionen durch und erhalten 1 - tgxtgy + 1 + tgxtgy, - tgxtgy und tgxtgy als Ergebnis ergibt dann Null Die Antwort ist 2.

1 - tgxtgy + 1 + tgxtgy = 2.

BEISPIEL 3. Berechnen Sie tan(+y) (Tangens pi mal vier plus y), wenn bekannt ist, dass cosy = , π<у< (игрек больше пи, но меньше трех пи на два).

Lösung. Wenn wir die Formeln für den Tangens der Summe der Argumente anwenden, erhalten wir

Finden wir tgy (mit dem Wissen cosy = , π<у<), воспользовавшись формулой. Получим tg 2 у = - 1 подставим значение косинуса в формулу, тогда получим - 1 = .

tan 2 y = - 1 - 1 = .

tan 2 y =. Ziehen wir die Quadratwurzel tg y = und tg y =

Gemäß der Bedingung gehört das Argument y (y) zum dritten Viertel, und dort ist der Tangens positiv. Das bedeutet tg y = . Kehren wir nun zur ursprünglichen Formel zurück und ersetzen den gefundenen Wert:

Antwort: = 7.

BEISPIEL 4. Lösen Sie die Gleichung = -1 (Die Differenz zwischen den Tangenten von drei x und x, dividiert durch die Summe von eins und das Produkt der Tangenten von drei x und x ist gleich minus eins).