Charakteristische Funktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Wissenschaftliches Forum dxdy

Charakteristische Funktion zufällige Variable X heißt Fourier-Transformation der Verteilung einer Zufallsvariablen:

Eigenschaften

Nachweisen.

Nachweisen.

Natürlich, erstreckt sich diese Eigenschaft auf eine größere Anzahl von Begriffen:

.

φ (T) ist gleichmäßig stetig.

Nachweisen.

Der resultierende endgültige Ausdruck hängt nur von ab H. Für eine kontinuierliche Zufallsvariable können wir schreiben

.

Nachweisen. Falls vorhanden k tes Größenmoment X, dann mit Differenzierung nach dem Integralzeichen (was möglich ist, da P(X) existiert), erhalten wir

Mit jeder weiteren Differenzierung wird es „mitgerissen“ ich E[ X], so danach k Differenzierungen, die wir bekommen ich k E[ X k]. Dieses Ergebnis kann im Formular dargestellt werden

.

Die charakteristische Funktion bestimmt eindeutig die Verteilung einer Zufallsvariablen.

Nachweis von Sonderfällen

Lassen X - ganzzahlige diskrete Zufallsvariable ( k Z), dann (inverse Fourier-Transformation)

(Fourierreihe, deren Koeffizienten sind P k), Dann

Alle Begriffe dafür k≠M, gebe 0 (durch Orthogonalität) und bleibt bestehen

.

Lassen φ (T) ist auf der reellen Geraden absolut integrierbar und es gibt eine Verteilungsdichte P(X) 11 .

Lass es uns versuchenäußern P(X) durch die charakteristische Funktion. Schreiben wir die inverse Fourier-Transformation der Funktion φ :

.

Mit dieser Einstellung

Weil das

Durch Ändern von Variablen erhalten wir

und deshalb

.

Wenn in (*) im zweiten Integral beide Integrationsgrenzen das gleiche Vorzeichen haben, erhalten wir 0; falls unterschiedlich - eine endliche Zahl. Das heißt, es gibt eine Grenze ungleich Null bei A<j<B. In diesem Fall erscheint das Integral von −∞ bis ∞, gleich π . Von hier

Bekommen:

,

somit, P wird vollständig durch die charakteristische Funktion bestimmt.

.

Nachweisen..

Charakteristisches Funktionskriterium

Funktion φ X (T) - Merkmal für eine Zufallsvariable X dann und nur dann, wenn:

φ X (0) = 1,

φ X (T) positiv definitiv.

Funktion φ (T) wird genannt positiv definitiv(positivdefinit), wenn

und Gleichheit Null wird nur dann erreicht, wenn z ich = 0ich. Wenn wir die Bedingung für das Erreichen der Gleichheit auf Null abschwächen, erhalten wir nicht negativ definit Funktion.

Lass uns das Prüfen dass die charakteristische Funktion positiv definit ist:

Begründung. Nach Eigenschaft 5),

Bei k= 1, wir erhalten,

Bei k= 2 -.

Wenn E X= 0.D X=E[ X 2 ] = 1,
.

20.2 Beispiele

Lösung. Reduzieren wir den Ausdruck auf die Form

Das ist nicht schwer zu erkennen
. Nach der Transformation können Sie schreiben
.

Schauen wir uns die Werte an P ich :

Abschluss:cos 2 T ist die charakteristische Funktion einer diskreten Zufallsvariablen, die mit Wahrscheinlichkeit 1/2 den Wert 0 und mit Wahrscheinlichkeit 1/4 die Werte 2 und −2 annimmt.

Berechnen Sie die charakteristische Funktion degenerieren zufällige Variable: P(X= 0) = 1.

Lösung..

Wenn P(X=C) = 1, wir erhalten.

Lösung. Reduzieren wir den Ausdruck auf die Form

.

Schauen wir uns die Werte an P ich :

Bekommen: Dies ist die charakteristische Funktion einer diskreten Zufallsvariablen.

Lösung. Lassen Y=X–X′ , Dann

Abschluss: Das Modulquadrat jeder charakteristischen Funktion ist wiederum eine charakteristische Funktion.

Lassen X,Y - Zufallsvariablen mit charakteristischen Funktionen φ X (T) Und φ Y (T);A,B> 0 - solche Konstanten A+B= 1. Betrachten Sie die Funktion

Ist sie charakteristisch und wenn ja, für welche Zufallsvariable?

Antwort: Ja ist es. Lassen Sie die entsprechenden Verteilungsfunktionen X Und Y - F X (X) Und F Y (j). Betrachten wir die Funktion. Offensichtlich handelt es sich hierbei um eine Verteilungsfunktion

Dann die Wahrscheinlichkeitsdichte

Wenn φ (T) - charakteristische Funktion X, Das φ (−T) - charakteristische Funktion (– X). (aus Beispiel 4)).

Lassen φ (TX, dann ist

F (T) =Re[ φ (T)]

Lösung. Offensichtlich,

Lassen φ (T) entspricht der Verteilungsfunktion F X (X), dann für Re[ φ (T)]:

Lassen φ (T) - charakteristische Funktion der Menge X, dann ist

F (T) =Ich[ φ (T)]

charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen?

Lösung. Nein, ist es nicht, denn F (0) = 0.

Finden Sie die charakteristische Funktion der Normalverteilung.

1. X ~ N(0, 1):

Lass uns zählen φ (T), Differenzierung nach dem Integralzeichen:

Lösen wir die Differentialgleichung
mit Anfangszustand φ (0) = 1:

X~N(A,σ 2): Vergleichen Sie diesen Wert mit X 0 ~N(0, 1). Das ist leicht zu erkennen X=A+σ X 0 . Dann nach Eigenschaft 2)

Zufallsvariablen stehen in eindeutiger Beziehung zueinander Fourier-Transformation. Beispielsweise wird die Verteilungsdichte f (x) einer Zufallsvariablen X durch ihre charakteristische Funktion eindeutig ausgedrückt inverse Fourier-Transformation:

wobei υ X (k) (0) der Wert der k-ten Ableitung der charakteristischen Funktion bei t = 0 ist.

Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt der charakteristischen Funktionen der Terme:

VORTRAG 8 Zweidimensionale Zufallsvariablen. Zweidimensionales Verteilungsgesetz

Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) ist eine Menge zweier eindimensionaler Zufallsvariablen, die als Ergebnis desselben Experiments Werte annehmen.

Zweidimensionale Zufallsvariablen zeichnen sich durch Wertemengen Ω X , Ω Y ihrer Komponenten und ein gemeinsames (zweidimensionales) Verteilungsgesetz aus. Abhängig von der Art der Komponenten X,Y werden diskrete, kontinuierliche und gemischte zweidimensionale Zufallsvariablen unterschieden.

Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) kann geometrisch als Zufallspunkt (X, Y) auf der x0y-Ebene oder als Zufallsvektor dargestellt werden, der vom Ursprung zum Punkt (X, Y) gerichtet ist.

Zweidimensionale Verteilungsfunktion zweidimensionale Zufallsvariable

(X,Y) ist gleich der Wahrscheinlichkeit der gemeinsamen Ausführung zweier Ereignisse (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .

Geometrisch zweidimensionale Verteilungsfunktion F(x, y)

Eigenschaften der zweidimensionalen Verteilungsfunktion:

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

ist die Wahrscheinlichkeit

. (x,y)

Nachweisen. Die Eigenschaft ergibt sich aus der Definition der Verteilungsfunktion als Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit ist eine nicht negative Zahl, die 1 nicht überschreitet.

2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), wenn x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), wenn y 2 >y 1 .

Nachweisen. Beweisen wir, dass F (x,y) eine nicht abnehmende Funktion bezüglich ist

Variable x. Betrachten Sie die Wahrscheinlichkeit

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Da p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Ebenso für y.

4. Übergang zu eindimensionalen Merkmalen:

Verteilungsmatrix

Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) ist diskret, wenn die Wertemengen ihrer Komponenten Ω X und Ω Y abzählbare Mengen sind. Um die Wahrscheinlichkeitseigenschaften solcher Größen zu beschreiben, werden eine zweidimensionale Verteilungsfunktion und eine Verteilungsmatrix verwendet.

Verteilungsmatrix ist eine rechteckige Tabelle, die die Werte der Komponente X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), die Werte der Komponente Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 enthält , …,y m ) und die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Wertepaare p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.

ich= 1

Zweidimensionale Verteilungsdichte

Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) ist stetig, wenn sie

die Verteilungsfunktion F (x,y) ist für jedes der Argumente eine stetige, differenzierbare Funktion und es gibt eine zweite

gemischte Ableitung ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Zweidimensionale Verteilungsdichte f(x, y ) charakterisiert die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Umgebung eines Punktes mit Koordinaten ( x, y ) und ist gleich der zweiten gemischten Ableitung der Verteilungsfunktion:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Eigenschaften der zweidimensionalen Dichte:

1. f (x ,y )≥ 0.

2. Normalisierungsbedingung:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .

Gegeben auf dem gesamten Zahlenstrahl durch die Formel

X. f. Die Zufallsvariable X ist per Definition X. f. seine Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die mit der Verwendung von X. f. verbundene Methode wurde zuerst von A. M. Lyapunov verwendet und wurde später zu einer der wichtigsten analytischen Methoden. Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie. Besonders wirkungsvoll wird es zum Beispiel beim Beweis von Grenzwertsätzen in der Wahrscheinlichkeitstheorie eingesetzt. Der zentrale Grenzwertsatz für unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen mit 2 Momenten wird auf die elementare Beziehung reduziert

Grundlegende Eigenschaften von X. f. 1) und positiv definit, d.h.

Für jede endliche Sammlung komplexer Zahlen und Argumente

2) gleichmäßig kontinuierlich entlang der gesamten Achse

4)nimmt insbesondere nur dann und nur dann reelle Werte an (und ist eine gerade Funktion), wenn die entsprechende Wahrscheinlichkeit symmetrisch ist, d. h. wo

5) X. f. definiert das Maß eindeutig; Es gibt einen Einspruch:

Für alle Intervalle (a, 6), deren Enden das m-Maß Null haben. Wenn sie integrierbar ist (absolut, wenn man sie im Riemannschen Sinne versteht), dann hat die entsprechende Verteilungsfunktion

6) X. f. die Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsmaße (die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen) ist ihr X. f.

Die folgenden drei Eigenschaften drücken den Zusammenhang zwischen der Existenz von Momenten einer Zufallsvariablen und dem Grad der Glätte ihrer X-Funktion aus.

7) Wenn für etwas Natürliches P, dann gibt es für alle natürlichen Zahlen Ableitungen der Ordnung r von X. f. Zufallsvariable X und die Gleichheit gilt

8) Wenn vorhanden, dann

9) Wenn für alle

dann gilt es für alle

Verwendung der X.f.-Methode basiert hauptsächlich auf den oben genannten Eigenschaften von X.-Funktionen sowie auf den folgenden beiden Sätzen.
Satz von Bochner (Beschreibung der Klasse der X.-Funktionen). Die Funktion f sei gegeben und f(0)=1. Damit f X ist. f. Da es sich um ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß handelt, ist es notwendig und ausreichend, dass es stetig und positiv definit ist.
Satz von Levy (Korrespondenz). Sei eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen und sei eine Folge ihrer X.f. Dann konvergiert schwach gegen ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß (d. h. für eine beliebige stetige beschränkte Funktion genau dann, wenn sie an jedem Punkt gegen eine bestimmte stetige Funktion f konvergiert; im Fall der Konvergenz ist die Funktion Daraus folgt, dass die relative (im Sinne von schwache Konvergenz) einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen entspricht der Äquikontinuität bei Null der Familie entsprechender X.-Funktionen.
Der Satz von Bochner ermöglicht es uns, die Fourier-Stieltjes-Transformation als zwischen einer Halbgruppe (in Bezug auf die Faltungsoperation) von Wahrscheinlichkeitsmaßen in und einer Halbgruppe (in Bezug auf die punktweise Multiplikation) von positiv definiten stetigen Funktionen gleich eins bei Null zu betrachten. Lévys Der Satz besagt, dass dies algebraisch ist. Isomorphismus ist auch topologisch. Homöomorphismus, wenn wir in der Halbgruppe der Wahrscheinlichkeitsmaße die Topologie der schwachen Konvergenz und in der Halbgruppe der positiv definiten Funktionen die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf begrenzten Mengen meinen.
Ausdrücke von X. f. sind bekannt. grundlegende probabilistische Krankheiten (siehe,), zum Beispiel X. f. Gaußsches Maß mit durchschnittlicher Varianz ist
Für nichtnegative ganzzahlige Zufallsvariablen X, Zusammen mit X. f. wird sein Analogon verwendet -

Verbunden mit X. f. Verhältnis
X. f. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß in einem endlichdimensionalen Raum wird ähnlich definiert:

Wo x> bedeutet . Die oben formulierten Tatsachen gelten auch für X. f. Wahrscheinlichkeit misst in

Zündete.: Lukach E., Charakteristische Funktionen, trans. aus Englisch, M., 1979; Feller V., Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen, Bd. 2. trans. aus Englisch, M., 1967; Prokhorov Yu. V., Rozanov Yu. A., Wahrscheinlichkeitstheorie. Grundlegendes Konzept. Grenzwertsätze. Zufällige Prozesse, 2. Aufl., M., 1973; 3olotarev V. M., Eindimensionale stabile Verteilungen, Moskau, 1983.
N.H. Wachanien.

Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Winogradow. 1977-1985.

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Sie haben übrigens gerade befürwortet, dass der Student nichts über einheitliche Kontinuität wissen sollte, und jetzt bieten Sie ihm Delta-Funktionen an? Ausreichend, ich werde nichts sagen.

Ich freue mich, Sie wieder bei dem Thema mit Diskussionsbereitschaft zu sehen, unabhängig von den Eigenschaften, die mich persönlich betreffen. Ich interessiere mich für Sie. Der Student muss alles wissen, worüber er befragt werden kann, aber vor allem muss er das System der Begriffe, ihre Charakterisierung und die Beziehungen zwischen ihnen beherrschen und darf sich nicht auf den engen Kreis der Disziplin beschränken, der er angehört Ich studiere derzeit und sollte auch kein wandelndes Nachschlagewerk sein, das sich ständig eine Vielzahl von Funktionen merkt, die die eine oder andere Bedingung nicht erfüllen.
Im ursprünglichen Problem musste festgestellt werden, ob die gegebene HF-Funktion eine Zufallsvariable war. Eine solche Aufgabe erhält der Studierende bei der Einführung in das Konzept der HF. Und das Ziel der Lösung solcher Probleme besteht darin, das Verständnis für die Beziehung zwischen CP und PR zu festigen und das Wissen über die Eigenschaften von CP zu festigen.
Es gibt zwei Möglichkeiten zu zeigen, dass eine gegebene Funktion eine HF ist: Entweder Sie sollten die ihr entsprechende Funktion nach Fourier finden und prüfen, ob sie die Normalisierungsbedingung erfüllt und positiv ist, oder Sie sollten die nichtnegative Bestimmtheit der gegebenen Funktion beweisen Funktion und beziehen sich auf das Bochner-Khinchin-Theorem. Gleichzeitig trägt die Verwendung von Theoremen zur Darstellung eines SV in Form einer linearen Kombination anderer Rademacher-SVs in keiner Weise zum Verständnis der grundlegenden Eigenschaften von HF bei; außerdem enthält Ihre Lösung, wie ich oben angedeutet habe eine verschleierte Fourier-Reihe, das heißt, sie entspricht tatsächlich der ersten Methode.
Wenn gezeigt werden muss, dass eine bestimmte Funktion kein HF eines beliebigen SV sein kann, reicht es aus, das Versagen einer der Eigenschaften des HF festzustellen: ein Einheitswert bei Null, begrenzter Modul durch eins, um korrekte Werte zu erhalten ​für die Momente des PDF, einheitliche Kontinuität. Die Überprüfung der Richtigkeit der durch eine bestimmte Funktion berechneten Momentwerte ist mathematisch gleichbedeutend mit der Überprüfung der gleichmäßigen Kontinuität in dem Sinne, dass die Nichterfüllung einer dieser Eigenschaften als dieselbe Grundlage für die Erkennung der Ungeeignetheit einer bestimmten Funktion dienen kann. Allerdings ist die Überprüfung der Korrektheit der Momentwerte formalisiert: Differenzieren und Prüfen. Im allgemeinen Fall muss eine einheitliche Kontinuität nachgewiesen werden, die den Erfolg der Lösung eines Problems vom kreativen Potenzial des Schülers, von seiner Fähigkeit zum „Erraten“ abhängig macht.
Als Teil der Diskussion über die „Konstruktion“ eines SV schlage ich vor, ein einfaches Problem zu betrachten: Konstruieren wir ein SV mit einem HF der Form: Wo