Wie man Gleichungen löst, indem man Polynome faktorisiert. Wie man eine algebraische Gleichung faktorisiert. Zerlegungsalgorithmus an einem konkreten Beispiel

Ihre Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Informationen verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzerklärung und lassen Sie uns wissen, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Verwendung personenbezogener Daten

Personenbezogene Daten sind Daten, mit denen eine bestimmte Person identifiziert oder kontaktiert werden kann.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie uns kontaktieren.

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Arten von personenbezogenen Daten, die wir möglicherweise erfassen, und wie wir diese Daten möglicherweise verwenden.

Welche personenbezogenen Daten wir erheben:

• Wenn Sie eine Bewerbung auf der Website einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

Wie wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden:

• Die von uns gesammelten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie zu kontaktieren und Sie über einzigartige Angebote, Werbeaktionen und andere Veranstaltungen und bevorstehende Veranstaltungen zu informieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre personenbezogenen Daten verwenden, um Ihnen wichtige Mitteilungen und Nachrichten zu senden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, z. B. zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Recherchen, um die von uns angebotenen Dienstleistungen zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Dienstleistungen zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einem ähnlichen Anreiz teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen verwenden, um solche Programme zu verwalten.

Weitergabe an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Für den Fall, dass es erforderlich ist - gemäß dem Gesetz, der gerichtlichen Anordnung, in Gerichtsverfahren und / oder aufgrund öffentlicher Anfragen oder Anfragen staatlicher Stellen im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation - Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir feststellen, dass eine solche Offenlegung aus Gründen der Sicherheit, der Strafverfolgung oder aus anderen Gründen des öffentlichen Interesses notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den entsprechenden Drittnachfolger übertragen.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer – zum Schutz Ihrer personenbezogenen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung.

Wahrung Ihrer Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitspraktiken an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Die Begriffe „Polynom“ und „Faktorisierung eines Polynoms“ sind in der Algebra sehr verbreitet, da man sie kennen muss, um Berechnungen mit großen mehrwertigen Zahlen problemlos durchführen zu können. In diesem Artikel werden mehrere Dekompositionsmethoden beschrieben. Alle von ihnen sind recht einfach zu bedienen, Sie müssen nur jeweils die richtige auswählen.

Das Konzept eines Polynoms

Ein Polynom ist die Summe von Monomen, also Ausdrücken, die nur die Multiplikationsoperation enthalten.

Zum Beispiel ist 2 * x * y ein Monom, aber 2 * x * y + 25 ist ein Polynom, das aus 2 Monomen besteht: 2 * x * y und 25. Solche Polynome werden Binome genannt.

Manchmal muss der Ausdruck zum bequemen Lösen von Beispielen mit mehrwertigen Werten transformiert werden, beispielsweise in eine bestimmte Anzahl von Faktoren zerlegt werden, dh Zahlen oder Ausdrücke, zwischen denen die Multiplikationsoperation durchgeführt wird. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein Polynom zu faktorisieren. Es lohnt sich, sie ausgehend von den primitivsten zu betrachten, die sogar in Grundschulklassen verwendet werden.

Gruppierung (allgemeiner Eintrag)

Die Formel zum Zerlegen eines Polynoms in Faktoren nach der Gruppierungsmethode sieht im Allgemeinen so aus:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Es ist notwendig, die Monome so zu gruppieren, dass in jeder Gruppe ein gemeinsamer Faktor auftritt. In der ersten Klammer ist dies der Faktor c und in der zweiten - d. Dies muss getan werden, um es dann aus der Halterung zu nehmen, wodurch die Berechnungen vereinfacht werden.

Zerlegungsalgorithmus an einem konkreten Beispiel

Das einfachste Beispiel für die Faktorisierung eines Polynoms in Faktoren mit der Gruppierungsmethode ist unten angegeben:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

In der ersten Klammer müssen Sie die Terme mit dem Faktor a nehmen, der üblich ist, und in der zweiten - mit dem Faktor b. Achten Sie im fertigen Ausdruck auf die Zeichen + und -. Wir setzen vor das Monom das Vorzeichen, das im Anfangsausdruck stand. Das heißt, Sie müssen nicht mit dem Ausdruck 25a arbeiten, sondern mit dem Ausdruck -25. Das Minuszeichen wird sozusagen an den Ausdruck dahinter „geklebt“ und bei Berechnungen immer berücksichtigt.

Im nächsten Schritt müssen Sie den Faktor, der üblich ist, aus der Klammer herausnehmen. Dafür ist die Gruppierung da. Aus der Klammer herausnehmen bedeutet, vor der Klammer (unter Weglassen des Multiplikationszeichens) all jene Faktoren auszuschreiben, die sich in allen Termen, die in der Klammer stehen, genau wiederholen. Stehen nicht 2, sondern 3 oder mehr Terme in der Klammer, muss der gemeinsame Teiler in jedem davon enthalten sein, sonst darf er nicht aus der Klammer genommen werden.

In unserem Fall nur 2 Begriffe in Klammern. Der Gesamtmultiplikator ist sofort sichtbar. Die erste Klammer ist a, die zweite ist b. Hier müssen Sie auf die digitalen Koeffizienten achten. In der ersten Klammer sind beide Koeffizienten (10 und 25) Vielfache von 5. Das bedeutet, dass nicht nur a, sondern auch 5a geklammert werden kann. Schreiben Sie vor der Klammer 5a aus und dividieren Sie dann jeden der Terme in Klammern durch den herausgenommenen gemeinsamen Teiler, und schreiben Sie auch den Quotienten in Klammern, ohne die Zeichen + und - zu vergessen. Machen Sie dasselbe mit der zweiten Klammer , nimm 7b heraus, da 14 und 35 ein Vielfaches von 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Es stellten sich 2 Terme heraus: 5a (2c - 5) und 7b (2c - 5). Jeder von ihnen enthält einen gemeinsamen Faktor (der gesamte Ausdruck in Klammern hier ist derselbe, was bedeutet, dass es sich um einen gemeinsamen Faktor handelt): 2c - 5. Es muss auch aus der Klammer genommen werden, dh die Terme 5a und 7b bleiben in der zweiten Klammer:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Der vollständige Ausdruck lautet also:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Somit wird das Polynom 10ac + 14bc - 25a - 35b in 2 Faktoren zerlegt: (2c - 5) und (5a + 7b). Das Multiplikationszeichen dazwischen kann beim Schreiben weggelassen werden

Manchmal gibt es Ausdrücke dieser Art: 5a 2 + 50a 3, hier kann man nicht nur a oder 5a einklammern, sondern sogar 5a 2. Man sollte immer versuchen, den größtmöglichen gemeinsamen Teiler aus der Klammer zu nehmen. Wenn wir in unserem Fall jeden Term durch einen gemeinsamen Faktor dividieren, erhalten wir:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(bei der Berechnung des Quotienten mehrerer Potenzen mit gleicher Basis wird die Basis beibehalten und der Exponent subtrahiert). Somit bleibt man in der Klammer (auf keinen Fall vergessen eine zu schreiben, wenn man einen der Terme ganz aus der Klammer nimmt) und der Quotient der Division: 10a. Es stellt sich heraus, dass:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Quadratische Formeln

Zur Vereinfachung der Berechnungen wurden mehrere Formeln abgeleitet. Sie werden reduzierte Multiplikationsformeln genannt und werden ziemlich oft verwendet. Diese Formeln helfen bei der Faktorisierung von Polynomen, die Potenzen enthalten. Dies ist eine weitere leistungsstarke Methode zur Faktorisierung. Hier sind sie also:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - die Formel, die als "Quadrat der Summe" bezeichnet wird, da durch die Erweiterung in ein Quadrat die Summe der in Klammern eingeschlossenen Zahlen gebildet wird, dh der Wert dieser Summe wird zweimal mit sich selbst multipliziert, was bedeutet, dass es ein Faktor ist.
• a2 + 2ab - b2 = (a - b) 2 - die Formel des Quadrats der Differenz, sie ist der vorherigen ähnlich. Das Ergebnis ist eine in Klammern eingeschlossene Differenz, die in einer Quadratpotenz enthalten ist.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- Dies ist die Formel für die Differenz von Quadraten, da das Polynom zunächst aus 2 Quadraten von Zahlen oder Ausdrücken besteht, zwischen denen eine Subtraktion durchgeführt wird. Es ist vielleicht das am häufigsten verwendete der drei.

Beispiele für die Berechnung nach Quadratformeln

Berechnungen auf ihnen sind ganz einfach. Zum Beispiel:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - Verwenden Sie die Formel "Quadrat der Summe".
2. 25x 2 ist das Quadrat von 5x. 20xy ist das Doppelte des Produkts von 2*(5x*2y) und 4y 2 ist das Quadrat von 2y.
3. Also 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Dieses Polynom wird in 2 Faktoren zerlegt (die Faktoren sind gleich, daher wird es als Ausdruck mit quadratischer Potenz geschrieben).

Operationen nach der Formel des Differenzquadrats werden ähnlich wie diese durchgeführt. Was bleibt, ist die Quadratdifferenzformel. Beispiele für diese Formel sind sehr einfach zu identifizieren und unter anderen Ausdrücken zu finden. Zum Beispiel:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Seit 25a 2 \u003d (5a) 2 und 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Seit 36x 2 \u003d (6x) 2 und 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Da 169b 2 = (13b) 2

Es ist wichtig, dass jeder der Terme das Quadrat eines Ausdrucks ist. Dann ist dieses Polynom durch die Quadratdifferenzformel zu faktorisieren. Dazu ist es nicht erforderlich, dass die zweite Potenz über der Zahl steht. Es gibt Polynome, die große Potenzen enthalten, aber dennoch für diese Formeln geeignet sind.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

In diesem Beispiel kann eine 8 als (a 4) 2 dargestellt werden, also als Quadrat eines bestimmten Ausdrucks. 25 ist 5 2 und 10a ist 4 - dies ist das doppelte Produkt der Terme 2*a 4 *5. Das heißt, dieser Ausdruck kann trotz des Vorhandenseins von Graden mit großen Exponenten in 2 Faktoren zerlegt werden, um später damit zu arbeiten.

Würfelformeln

Dieselben Formeln existieren zum Faktorisieren von Polynomen, die Würfel enthalten. Sie sind etwas komplizierter als die mit Quadraten:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- Diese Formel wird Würfelsumme genannt, da das Polynom in seiner ursprünglichen Form die Summe zweier Ausdrücke oder Zahlen ist, die in einem Würfel eingeschlossen sind.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - Eine Formel, die mit der vorherigen identisch ist, wird als Differenz von Kubikzahlen bezeichnet.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - Summenwürfel, als Ergebnis von Berechnungen wird die Summe von Zahlen oder Ausdrücken erhalten, in Klammern eingeschlossen und dreimal mit sich selbst multipliziert, dh im Würfel lokalisiert
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - Die Formel, die analog zur vorherigen mit einer Änderung nur einiger Vorzeichen mathematischer Operationen (Plus und Minus) zusammengestellt wurde, wird als "Differenzwürfel" bezeichnet.

Die letzten beiden Formeln werden praktisch nicht zum Faktorisieren eines Polynoms verwendet, da sie komplex sind und es ziemlich selten Polynome gibt, die genau einer solchen Struktur vollständig entsprechen, so dass sie nach diesen Formeln zerlegt werden können. Aber Sie müssen sie trotzdem kennen, da sie für Aktionen in die entgegengesetzte Richtung benötigt werden - beim Öffnen von Klammern.

Beispiele für Würfelformeln

Betrachten Sie ein Beispiel: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Wir haben hier ziemlich Primzahlen genommen, sodass Sie sofort sehen können, dass 64a 3 (4a) 3 und 8b 3 (2b) 3 ist. Somit wird dieses Polynom durch die Formel Differenz von Kubikzahlen in 2 Faktoren erweitert. Aktionen auf der Formel der Würfelsumme werden analog ausgeführt.

Es ist wichtig zu verstehen, dass nicht alle Polynome auf mindestens eine der Arten zerlegt werden können. Aber es gibt solche Ausdrücke, die größere Potenzen enthalten als ein Quadrat oder ein Würfel, aber sie können auch zu abgekürzten Multiplikationsformen erweitert werden. Zum Beispiel: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Dieses Beispiel enthält bis zu 12 Grad. Aber auch das lässt sich mit der Würfelsummenformel faktorisieren. Dazu müssen Sie x 12 als (x 4) 3 darstellen, also als Würfel mit einem bestimmten Ausdruck. Jetzt müssen Sie es anstelle von a in der Formel ersetzen. Nun, der Ausdruck 125y 3 ist die dritte Potenz von 5y. Der nächste Schritt besteht darin, die Formel zu schreiben und die Berechnungen durchzuführen.

Zunächst oder im Zweifelsfall können Sie immer durch umgekehrte Multiplikation prüfen. Sie müssen nur die Klammern im resultierenden Ausdruck öffnen und Aktionen mit ähnlichen Begriffen ausführen. Diese Methode gilt für alle oben genannten Reduktionsmethoden: sowohl für die Arbeit mit einem gemeinsamen Faktor und Gruppierung als auch für Operationen mit den Formeln von Kubik- und Quadratpotenzen.

Es werden 8 Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen gegeben. Sie umfassen Beispiele zum Lösen quadratischer und biquadratischer Gleichungen, Beispiele rekursiver Polynome und Beispiele zum Finden ganzzahliger Wurzeln von Polynomen dritten und vierten Grades.

1. Beispiele mit der Lösung einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Lösung

x herausnehmen 2 für Klammern:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Gleichung Wurzeln:
, .

.

Antworten

Beispiel 1.2

Faktorisieren eines Polynoms dritten Grades:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Lösung

Wir nehmen x aus Klammern heraus:
.
Wir lösen die quadratische Gleichung x 2 + 6 x + 9 = 0:
Seine Diskriminante ist .
Da die Diskriminante gleich Null ist, sind die Wurzeln der Gleichung Vielfache: ;
.

Daraus erhalten wir die Zerlegung des Polynoms in Faktoren:
.

Antworten

Beispiel 1.3

Faktorisieren eines Polynoms fünften Grades:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Lösung

x herausnehmen 3 für Klammern:
.
Wir lösen die quadratische Gleichung x 2 - 2 x + 10 = 0.
Seine Diskriminante ist .
Da die Diskriminante kleiner als Null ist, sind die Wurzeln der Gleichung komplex: ;
, .

Die Faktorisierung eines Polynoms hat die Form:
.

Wenn wir daran interessiert sind, mit reellen Koeffizienten zu faktorisieren, dann:
.

Antworten

Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen mit Formeln

Beispiele mit biquadratischen Polynomen

Beispiel 2.1

Faktorisiere das biquadratische Polynom:
x 4 + x 2 - 20.

Lösung

Wenden Sie die Formeln an:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Antworten

Beispiel 2.2

Faktorisieren eines Polynoms, das sich auf ein Biquadratisches reduziert:
x 8 + x 4 + 1.

Lösung

Wenden Sie die Formeln an:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Antworten

Beispiel 2.3 mit rekursivem Polynom

Faktorisierung des rekursiven Polynoms:
.

Lösung

Das rekursive Polynom hat einen ungeraden Grad. Daher hat es eine Wurzel x = - 1 . Wir teilen das Polynom durch x - (-1) = x + 1. Als Ergebnis erhalten wir:
.
Wir machen einen Ersatz:
, ;
;


;
.

Antworten

Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Wurzeln

Beispiel 3.1

Faktorisieren eines Polynoms:
.

Lösung

Nehmen Sie die Gleichung an

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Wir haben also drei Wurzeln gefunden:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Da das ursprüngliche Polynom dritten Grades ist, hat es nicht mehr als drei Nullstellen. Da wir drei Wurzeln gefunden haben, sind sie einfach. Dann
.

Antworten

Beispiel 3.2

Faktorisieren eines Polynoms:
.

Lösung

Nehmen Sie die Gleichung an

hat mindestens eine ganzzahlige Wurzel. Dann ist es der Teiler der Zahl 2 (ein Mitglied ohne x ). Das heißt, die ganze Wurzel kann eine der Zahlen sein:
-2, -1, 1, 2 .
Ersetzen Sie diese Werte nacheinander:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Wenn wir davon ausgehen, dass diese Gleichung eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist sie ein Teiler der Zahl 2 (ein Mitglied ohne x ). Das heißt, die ganze Wurzel kann eine der Zahlen sein:
1, 2, -1, -2 .
Ersetze x = -1 :
.

Wir haben also eine andere Wurzel x gefunden 2 = -1 . Es wäre möglich, wie im vorherigen Fall, das Polynom durch zu dividieren, aber wir werden die Terme gruppieren:
.

Da die Gleichung x 2 + 2 = 0 keine echten Wurzeln hat, dann hat die Faktorisierung des Polynoms die Form.

Im Allgemeinen erfordert diese Aufgabe einen kreativen Ansatz, da es keine universelle Methode zu ihrer Lösung gibt. Versuchen wir jedoch, ein paar Hinweise zu geben.

In den allermeisten Fällen beruht die Zerlegung eines Polynoms in Faktoren auf der Konsequenz des Bezout-Theorems, das heißt, die Wurzel wird gefunden bzw. gewählt und der Grad des Polynoms durch Division durch um eins reduziert. Das resultierende Polynom wird nach einer Wurzel gesucht und der Vorgang wird bis zur vollständigen Entwicklung wiederholt.

Wenn die Wurzel nicht gefunden werden kann, werden spezielle Dekompositionsmethoden verwendet: von der Gruppierung bis zur Einführung zusätzlicher sich gegenseitig ausschließender Begriffe.

Die weitere Präsentation basiert auf der Fähigkeit, Gleichungen höheren Grades mit ganzzahligen Koeffizienten zu lösen.

Klammerung des gemeinsamen Faktors.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall, wenn der freie Term gleich Null ist, das Polynom also die Form hat.

Offensichtlich ist die Wurzel eines solchen Polynoms , das heißt, das Polynom kann als dargestellt werden.

Diese Methode ist nichts anderes als indem man den gemeinsamen Teiler aus Klammern herausnimmt.

Beispiel.

Zerlege ein Polynom dritten Grades in Faktoren.

Lösung.

Es ist offensichtlich, dass dies die Wurzel des Polynoms ist, d.h. X kann eingeklammert werden:

Finden Sie die Wurzeln eines quadratischen Trinoms

Auf diese Weise,

Seitenanfang

Faktorisierung eines Polynoms mit rationalen Wurzeln.

Betrachten Sie zunächst die Methode zum Erweitern eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten der Form , der Koeffizient am höchsten Grad ist gleich eins.

Wenn das Polynom in diesem Fall ganzzahlige Wurzeln hat, dann sind sie Teiler des freien Terms.

Beispiel.

Lösung.

Lassen Sie uns prüfen, ob es ganzzahlige Wurzeln gibt. Dazu schreiben wir die Teiler der Zahl aus -18 : . Das heißt, wenn das Polynom ganzzahlige Wurzeln hat, gehören sie zu den ausgeschriebenen Zahlen. Lassen Sie uns diese Zahlen der Reihe nach nach Horners Schema überprüfen. Seine Bequemlichkeit liegt auch darin, dass wir am Ende auch die Entwicklungskoeffizienten des Polynoms erhalten:

Also, x=2 und x=-3 sind die Wurzeln des ursprünglichen Polynoms und können als Produkt dargestellt werden:

Es bleibt das quadratische Trinom zu entwickeln.

Die Diskriminante dieses Trinoms ist negativ, daher hat sie keine echten Wurzeln.

Antworten:

Kommentar:

Anstelle des Schemas von Horner könnte man die Auswahl einer Wurzel und die anschließende Division eines Polynoms durch ein Polynom verwenden.

Betrachten Sie nun die Entwicklung eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten der Form , und der Koeffizient am höchsten Grad ist ungleich eins.

In diesem Fall kann das Polynom gebrochen rationale Wurzeln haben.

Beispiel.

Faktorisiere den Ausdruck.

Lösung.

Durch Ändern der Variablen y=2x, gehen wir zu einem Polynom über, dessen Koeffizient höchstens gleich eins ist. Dazu multiplizieren wir den Ausdruck zunächst mit 4 .

Wenn die resultierende Funktion ganzzahlige Wurzeln hat, gehören sie zu den Teilern des freien Terms. Schreiben wir sie auf:

Berechnen Sie nacheinander die Werte der Funktion g(y) an diesen Punkten bis zum Erreichen von Null.

Jedes algebraische Polynom vom Grad n kann als Produkt von n-linearen Faktoren der Form und einer konstanten Zahl dargestellt werden, die die Koeffizienten des Polynoms vom höchsten Grad x sind, d.h.

wo - sind die Nullstellen des Polynoms.

Die Wurzel eines Polynoms ist eine Zahl (reell oder komplex), die das Polynom auf Null setzt. Die Wurzeln eines Polynoms können sowohl reelle Wurzeln als auch komplex konjugierte Wurzeln sein, dann kann das Polynom in der folgenden Form dargestellt werden:

Betrachten Sie Methoden zum Erweitern von Polynomen des Grades "n" in das Produkt von Faktoren des ersten und zweiten Grades.

Methodennummer 1.Methode der unbestimmten Koeffizienten.

Die Koeffizienten eines solchen transformierten Ausdrucks werden durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt. Das Wesen des Verfahrens besteht darin, dass die Art der Faktoren, in die das gegebene Polynom zerlegt wird, im Voraus bekannt ist. Bei Anwendung der Methode der unbestimmten Koeffizienten gelten folgende Aussagen:

P.1. Zwei Polynome sind identisch gleich, wenn ihre Koeffizienten bei denselben Potenzen von x gleich sind.

P.2. Jedes Polynom dritten Grades zerfällt in ein Produkt aus linearen und quadratischen Faktoren.

P.3. Jedes Polynom vierten Grades zerfällt in das Produkt zweier Polynome zweiten Grades.

Beispiel 1.1. Es ist notwendig, den kubischen Ausdruck zu faktorisieren:

P.1. Entsprechend den akzeptierten Aussagen gilt für den kubischen Ausdruck die identische Gleichheit:

P.2. Die rechte Seite des Ausdrucks kann wie folgt als Terme dargestellt werden:

P.3. Wir stellen ein Gleichungssystem aus der Bedingung der Gleichheit der Koeffizienten für die entsprechenden Potenzen des kubischen Ausdrucks zusammen.

Dieses Gleichungssystem kann durch die Methode der Auswahl von Koeffizienten gelöst werden (wenn es sich um ein einfaches akademisches Problem handelt) oder es können Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme verwendet werden. Wenn wir dieses Gleichungssystem lösen, erhalten wir, dass die unsicheren Koeffizienten wie folgt definiert sind:

Somit wird der ursprüngliche Ausdruck in folgender Form in Faktoren zerlegt:

Diese Methode kann sowohl in analytischen Berechnungen als auch in der Computerprogrammierung verwendet werden, um den Prozess zum Finden der Wurzel einer Gleichung zu automatisieren.

Methodennummer 2.Vieta-Formeln

Vieta-Formeln sind Formeln, die die Koeffizienten algebraischer Gleichungen vom Grad n und ihre Wurzeln in Beziehung setzen. Diese Formeln wurden implizit in den Werken des französischen Mathematikers Francois Vieta (1540 - 1603) präsentiert. Aufgrund der Tatsache, dass Viet nur positive reelle Wurzeln berücksichtigte, hatte er daher keine Gelegenheit, diese Formeln in allgemeiner expliziter Form zu schreiben.

Für jedes algebraische Polynom vom Grad n mit n reellen Wurzeln gilt:

es gelten folgende Beziehungen, die die Wurzeln eines Polynoms mit seinen Koeffizienten verbinden:

Die Formeln von Vieta sind bequem zu verwenden, um die Richtigkeit des Findens der Wurzeln eines Polynoms zu überprüfen, sowie um ein Polynom aus gegebenen Wurzeln zusammenzusetzen.

Beispiel 2.1.Überlegen Sie, wie die Wurzeln eines Polynoms mit seinen Koeffizienten zusammenhängen, indem Sie die kubische Gleichung als Beispiel verwenden

Gemäß den Vieta-Formeln ist die Beziehung zwischen den Wurzeln eines Polynoms und seinen Koeffizienten wie folgt:

Ähnliche Beziehungen können für jedes Polynom vom Grad n gemacht werden.

Methodennummer 3. Faktorisierung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Wurzeln

Aus der letzten Formel von Vieta folgt, dass die Wurzeln eines Polynoms Teiler seines freien Terms und des führenden Koeffizienten sind. Diesbezüglich, wenn die Bedingung des Problems ein Polynom vom Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten enthält

dann hat dieses Polynom eine rationale Wurzel (nicht reduzierbarer Bruch), wobei p der Teiler des freien Terms und q der Teiler des führenden Koeffizienten ist. In diesem Fall kann ein Polynom vom Grad n dargestellt werden als (Satz von Bezout):

Ein Polynom, dessen Grad um 1 kleiner ist als der Grad des Anfangspolynoms, wird bestimmt, indem ein Polynom vom Grad n durch ein Binomial dividiert wird, beispielsweise unter Verwendung des Horner-Schemas oder auf einfachste Weise - einer "Spalte".

Beispiel 3.1. Es ist notwendig, das Polynom zu faktorisieren

P.1. Aufgrund der Tatsache, dass der Koeffizient beim höchsten Term gleich Eins ist, sind die rationalen Wurzeln dieses Polynoms Teiler des freien Terms des Ausdrucks, d.h. können ganze Zahlen sein . Wenn wir jede der präsentierten Zahlen in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen, stellen wir fest, dass die Wurzel des präsentierten Polynoms ist.

Teilen wir das ursprüngliche Polynom durch ein Binom:

Lassen Sie uns Horners Schema verwenden

In der obersten Zeile werden die Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms eingetragen, während die erste Zelle der obersten Zeile leer bleibt.

Die gefundene Wurzel wird in die erste Zelle der zweiten Zeile geschrieben (in diesem Beispiel wird die Zahl "2" geschrieben), und die folgenden Werte in den Zellen werden auf bestimmte Weise berechnet und sind die Koeffizienten von das Polynom, das sich aus der Division des Polynoms durch das Binom ergibt. Die unbekannten Koeffizienten sind wie folgt definiert:

Der Wert aus der entsprechenden Zelle der ersten Zeile wird in die zweite Zelle der zweiten Zeile übertragen (in diesem Beispiel wird die Zahl „1“ geschrieben).

Die dritte Zelle der zweiten Zeile enthält den Wert des Produkts der ersten Zelle und der zweiten Zelle der zweiten Zeile plus den Wert aus der dritten Zelle der ersten Zeile (in diesem Beispiel 2 ∙ 1 -5 = -3) .

Die vierte Zelle der zweiten Zeile enthält den Wert des Produkts der ersten Zelle und der dritten Zelle der zweiten Zeile plus den Wert aus der vierten Zelle der ersten Zeile (in diesem Beispiel 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).

Somit wird das ursprüngliche Polynom faktorisiert:

Methodennummer 4.Verwenden von Kurzformeln für Multiplikationen

Abgekürzte Multiplikationsformeln werden verwendet, um Berechnungen sowie die Zerlegung von Polynomen in Faktoren zu vereinfachen. Abgekürzte Multiplikationsformeln ermöglichen es, die Lösung einzelner Aufgaben zu vereinfachen.

Für Factoring verwendete Formeln