Methoden zur Lösung rationaler Gleichungssysteme. Rationale Ungleichheiten und ihre Systeme. Gleichungssysteme. Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

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Thema III. SYSTEME RATIONALER GLEICHUNGEN

Ein System ist eine Reihe von Bedingungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Diese Bedingungen können in Form von Gleichungen und Ungleichungen ausgedrückt werden.

Die im System enthaltenen Bedingungen werden üblicherweise in eine Spalte geschrieben und auf der linken Seite mit einer Klammer versehen.

Ein aus Gleichungen bestehendes System heißt Gleichungssystem.

Ein System bestehend aus Gleichungen und Ungleichungen wird als gemischtes System bezeichnet.

Ein System zu lösen bedeutet, einen Satz von Werten für die Unbekannten zu finden, der alle seine Bedingungen erfüllt.

Der Definitionsbereich eines Systems ist der allgemeine Teil des Definitionsbereichs seiner konstituierenden Bedingungen. Die Lösung des Systems gehört, sofern vorhanden, immer zum Definitionsbereich.

Ein System, das eine Lösung hat, heißt Gelenk.

Ein System, das keine Lösungen hat, heißt inkonsistent oder inkonsistent.

Kapitel I. LÖSUNG LINEARER SYSTEME DURCH DIE METHODE DER FOLGENDEN ELIMINIERUNG VON UNBEKANNTEN (GAUSS-METHODE)

§ I. Definition von Systemen linearer algebraischer Gleichungen

Eine ganze rationale Gleichung heißt lineare algebraische Gleichung, wenn ihre beiden Teile aus Termen bestehen, deren Grad in Bezug auf die zu bestimmenden Unbekannten nicht höher als der erste ist.

Ein System heißt linear, wenn es nur lineare algebraische Gleichungen enthält.

(Als nächstes gibt es einen programmierbaren Teil des Handbuchs, den Sie bei der Beantwortung von Fragen oder Aufgaben schließen sollten rechte Seite Seiten. In diesem Teil der Seite wird die Richtigkeit der von Ihnen erledigten Aufgabe oder Antwort überprüft. Der Ablauf der Arbeit mit dem programmierbaren Handbuch wird durch diese Beispiele, die gestellten Fragen bzw. die Zuordnungen Ihrer Reaktion darauf bestimmt. Diese Reihenfolge darf nicht unterbrochen werden.)

Bestimmen Sie, ob die in den Beispielen Nr. 1 und Nr. 2 angegebenen Systeme bezüglich x und y linear sind.

Beispiel Nr. 1 Beispiel Nr. 2 Führen Sie in Beispiel Nr. 3 eine Substitution durch, die dieses System zu einem linearen System macht. Beispiel Nr. 3

Antworten: Das System ist linear. Ein ... sehen". Das System ist nicht linear. Siehe „B“. A) Richtig. Gehen Sie zu Beispiel Nr. 2. B) Falsch. Dieses System ist linear, da es aus linearen Gleichungen in Bezug auf x und y besteht. Stellen wir sicher, dass alle Terme der ersten und zweiten Gleichung in Bezug auf x und y einen Grad von nicht mehr als 1 haben. Tatsächlich enthält die linke Seite der ersten Gleichung die Terme Dies sind Terme 1. Grades in Bezug auf x und y (die Summe der Exponenten für x und y in jedem von ihnen ist gleich eins). Die Terme auf der rechten Seite der ersten Gleichung haben relativ zu x und y den Grad Null. Also (Die Summe der Exponenten für x und y in jedem von ihnen ist Null. Hier haben wir die Definition x 0 ≡ 1 für x ≠0, y 0 ≡ 1 für y ≠0 verwendet. Die zweite Gleichung des Systems, wie die Erstens kann es in Form dargestellt werden .Die linke Seite der zweiten Gleichung enthält nun Terme ersten Grades bezüglich x und y und die rechte Seite enthält Null. Dieses System ist also linear, weil besteht aus linearen Gleichungen. Gehen Sie zu Beispiel Nr. 2. Antworten: Das System ist nichtlinear. 2. Das System ist linear. A) Richtig. Aber durch Ersatz dieses System wird bezüglich der neuen Unbekannten u, v, t auf linear reduziert. Gehen Sie zu Beispiel Nr. 3. B) Nicht korrekt. Die Gleichungen des Systems können nicht als linear bezeichnet werden, weil Die linken Seiten der Gleichung enthalten die Summe der Brüche, deren Grad nicht bestimmt ist. (Sie können nur den Grad eines Polynoms bestimmen, also eines analytischen Ausdrucks, in dem nicht mehr als zwei Operationen an Buchstaben und Zahlen durchgeführt werden: algebraische Addition und Multiplikation).

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen.

Das Konzept der Lösung eines Gleichungssystems bedeutet die Bestimmung aller Wurzeln, also der Werte, die nach dem Einsetzen in das System eine Gleichung in eine Identität verwandeln. Beim Lösen von Gleichungssystemen können folgende Methoden verwendet werden:

* Substitutionsmethode. Diese Methode besteht darin, dass es zur Lösung der Gleichung notwendig ist, eine der Variablen auszudrücken und den resultierenden Ausdruck anstelle dieser Variablen in die zweite Gleichung einzusetzen. Nachdem Sie eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten haben, können Sie diese leicht lösen und den Wert der anderen Variablen ermitteln.

* Systemaufteilungsmethode. Diese Methode besteht darin, eine der Gleichungen des Systems so zu faktorisieren, dass rechts \ ist, da dann jeder Faktor mit \ gleichgesetzt wird und wir durch Addition der restlichen Gleichungen des ursprünglichen Systems mehrere Systeme erhalten, von denen jedes wird einfacher sein als die Originale;

* Additions- und Subtraktionsmethode. Der Name selbst sagt Bände über das Wesen der Methode. Indem wir zwei Gleichungen des Systems addieren oder subtrahieren, erhalten wir eine neue, um eine der Gleichungen des ursprünglichen Systems zu ersetzen;

* Divisions- und Multiplikationsmethode. Der Kern der Methode besteht darin, die linke und rechte Seite zweier Gleichungen des Systems zu dividieren/multiplizieren, um eine neue Gleichung zu erhalten und eine der Gleichungen des ursprünglichen Systems durch diese zu ersetzen.

Wo kann ich Systeme rationaler Gleichungen online lösen?

Sie können die Gleichung auf unserer Website https://site lösen. Mit dem kostenlosen Online-Löser können Sie Online-Gleichungen beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Auf unserer Website können Sie sich auch Videoanleitungen ansehen und erfahren, wie Sie die Gleichung lösen. Und wenn Sie noch Fragen haben, können Sie diese in unserer VKontakte-Gruppe http://vk.com/pocketacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.

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Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

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Lektion und Präsentation zum Thema: „Gleichungssysteme. Grundbegriffe“

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Rationale Gleichungen mit zwei Unbekannten

Eine rationale Gleichung in zwei Variablen ist eine Gleichung der Form $f(x;y)= g(x;y)$.
Dabei sind f und g rationale Ausdrücke (Zahlen und beliebige Subtraktions-, Divisions-, Multiplikations-, Additions- und Potenzierungsoperationen), die die Variablen x, y enthalten.

Schauen wir uns Beispiele für rationale Ausdrücke an:

Eine rationale Gleichung kann immer dargestellt werden als:
$u(x;y)=f(x;y)-g(x;y)$. Hier ist $u(x;y)$ ein rationaler Ausdruck.
$u(x;y)=0$ ist eine ganze rationale Gleichung.

Die Lösung der Gleichung lautet: $u(x;y)= 0$. (x;y) – ein Zahlenpaar, das diese Gleichung erfüllt.

Beispiele:

A) (3;2) – Lösung der Gleichung: $x+y=5$. Ersetzen Sie x= 3 und y= 2, wir erhalten $3+2=5$

B) (1;4) – Lösung der Gleichung: $2x^2+y^2=18$. Ersetzen Sie x= 1 und y= 4, wir erhalten $2+16=18$

C) Lösen Sie die Gleichung: $(3x-6)^2+(2y-2)^2=0$.
Lösung: Für jedes x und y $(3x-6)^2≥0\; und \;(2y-2)^2≥0$. Das bedeutet, dass die linke Seite der Gleichheit immer größer oder gleich Null ist und nur dann gleich Null ist, wenn beide Ausdrücke gleich Null sind. Das bedeutet, dass die Lösung der Gleichung ein Zahlenpaar (2;1) sein wird.
Antwort: (2;1).

D) Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung: $x-y=12$.
Lösung: Sei x= z, dann ist $y=z-12$, z ist eine beliebige ganze Zahl. Dann ist die Lösung ein Zahlenpaar (z;z-12), wobei z eine ganze Zahl ist.

D) Finden Sie ganzzahlige Lösungen der Gleichung: $4x+7y=29$.
Lösung: Drücken Sie x durch y aus: $x=\frac(29-7y)(4)=\frac(28+1-7y)(4)=7+\frac(1-7y)(4)=7 -\ frac(7y-1)(4)$.
x ist eine ganze Zahl, wenn $7y-1$ ohne Rest durch 4 teilbar ist. Schauen wir uns die möglichen Optionen für unsere Abteilung an:
1) y ist ein Vielfaches von 4. Dann ist $y=4n$. $7y-1=7*4n-1=28n-1$ – nicht durch 4 teilbar, was bedeutet, dass es nicht passt.

2) y – bei Division durch 4 ist der Rest 1. $y=4n+1$. $7y-1=28n+7-1=28n+6$ – nicht durch 4 teilbar, was bedeutet, dass es nicht passt.

3) y – bei Division durch 4 ist der Rest 2. $y=4n+2$. $7y-1=28n+14-1=28n+13$ – nicht durch 4 teilbar, was bedeutet, dass es nicht passt.

4) y – bei Division durch 4 ist der Rest 3. $y=4n+3$. $7y-1=28n+21-1=28n+20$ – durch 4 teilbar, was bedeutet, dass es geeignet ist.

Wir haben $y=4n+3$, finden wir x.
$x=7-\frac(7y-1)(4)=7-\frac(28n+20)(4)=7-7n+5=2-7n$
Antwort: ($2-7n;4n+3$).

Zwei rationale Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben.

Äquivalente Transformationen einer Gleichung heißen:

A) Übertragung von Termen der Gleichung von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit Vorzeichenwechsel.
Beispiel: $-3x+5y=2x+7y$ entspricht $-3x-2x=7y-5y$

B) Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten von Gleichungen mit einer Zahl, die nicht Null ist.
Beispiel: $2x-0,5y=0,2xy$ entspricht $20x-5y=2xy$. (Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 10).

Eine Gleichung in zwei Variablen grafisch darstellen

Gegeben sei die Gleichung u(x;y)= 0. Die Menge der Punkte (x;y) auf der Koordinatenebene, die eine Lösung der Gleichung u(x;y)= 0 darstellen, wird als Graph der Funktion bezeichnet.

Wenn die Gleichung u(x;y)= 0 in die Form y=f(x) umgewandelt werden kann, dann wird sie gleichzeitig als Graph der Gleichung betrachtet.

Stellen Sie die Gleichung grafisch dar:
a) $y+2x=2$,
b) $yx=5$.

Lösung:
a) Der Graph unserer Gleichung wird eine gerade Linie sein. Leute, erinnert ihr euch, wie wir in der 7. Klasse eine lineare Funktion gezeichnet haben?
Der Graph unserer Funktion wird aus zwei Punkten erstellt:
Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen:

b) Lassen Sie uns unsere Gleichung $yx=5$ umwandeln. Wir erhalten $y=5/x$ – den Graphen der Hyperbel. Lass es uns bauen:

Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenebene

Definition. Der Abstand zwischen zwei Punkten A(x1;y1) und B(x2;y2) wird nach der Formel berechnet: $AB=\sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)$

Beispiel: Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Punkten: A(10;34) und B(3;10).
Lösung: $AB=\sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)=\sqrt((3-10)^2+(10-34)^2)=\sqrt(7^ 2+24^2)=\sqrt(625)=$25.

Definition. Der Graph der Gleichung: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ ist ein Kreis auf der Koordinatenebene mit einem Mittelpunkt im Punkt (a;b) und dem Radius r.

Beispiel: Stellen Sie die Gleichung grafisch dar: $x^2+y^2=4$.
Lösung: Schreiben wir unsere Gleichung gemäß der Definition um: $(x-0)^2+(y-0)^2=4$. Dies ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt (0;0) und einem Radius gleich 2. Zeichnen wir unseren Kreis:

Beispiel: Stellen Sie die Gleichung grafisch dar: $x^2+y^2-6y=0$.
Lösung. Schreiben wir es in der Form um: $x^2+y^2-6y+9-9=0$, $x^2+(y+3)^2=9$, $(x-0)^2+ (y- 3)^2=9$.
Dies ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt (0; 3) und einem Radius gleich 3. Zeichnen wir unseren Kreis:

Gleichungsprobleme zur unabhängigen Lösung

1. Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung $2x+y=16$.
2. Finden Sie ganzzahlige Lösungen: $3х+5y=23$.
3. Stellen Sie die Gleichung grafisch dar: a) $y-5x=-5$, b) $yx=6$, c) $(y+2x)^2=0$.
4. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Punkten: A(5;25) und B(18;10).
5. Konstruieren Sie einen Graphen der Gleichung: a) $x^2+y^2=36$, b) $x^2+8x+y^2+6y=0$.

Kapitel 4. Systeme rationaler Gleichungen

Das vierte Kapitel ist dem Studium von Methoden zur Lösung rationaler Gleichungssysteme gewidmet. Hierbei werden Konzepte verwendet, die in der 7. Klasse gelernt und zuvor auf lineare Gleichungssysteme angewendet wurden, was es ermöglicht, das Gelernte zu wiederholen und zu lernen, in einer neuen Situation zu handeln. Dies sind Konzepte: Lösungen einer Gleichung mit zwei (drei) Unbekannten, Gleichungssysteme mit zwei (drei) Unbekannten, das Konzept der Äquivalenz von Gleichungen, Gleichungssysteme.

Der Zweck des Studiums von Kapitel 4 besteht darin, die aufgeführten Konzepte zu beherrschen, zu lernen, Systeme rationaler Gleichungen zu lösen und sie zur Lösung von Textproblemen anzuwenden.

§ 9. Systeme rationaler Gleichungen

Das Hauptziel des neunten Absatzes besteht darin, auf der Grundlage bekannter Konzepte im Zusammenhang mit Gleichungen und linearen Gleichungssystemen zu lernen, Systeme rationaler Gleichungen zu lösen und sie zur Lösung von Textproblemen anzuwenden.

9.1. Das Konzept eines Systems rationaler Gleichungen

Dieser Absatz stellt die Konzepte einer rationalen Gleichung mit zwei (drei) Unbekannten und ihrer Lösung vor, definiert, was es bedeutet, ein Gleichungssystem zu lösen, und liefert Aussagen über die Äquivalenz von Gleichungssystemen.

Die Hauptaufgaben dieses Absatzes bestehen darin, festzustellen, dass ein bestimmtes Zahlenpaar (drei) eine Lösung für das System ist. Eine zusätzliche Aufgabe dient dazu, die Schüler an das Lösen von Problemen mit Parametern zu gewöhnen.

Revisionsaufgabe. 805–807.

Lösungen und Kommentare

500. Ist die Lösung des Gleichungssystems ein Zahlenpaar:

a) (0; 3); b) (–3; 2).

Lösung. a) Da 0 + 5 3, dann ist das Zahlenpaar (0; 3) keine Lösung der zweiten Gleichung des Systems und daher keine Lösung des Gleichungssystems.

b) Da –3 + 5 = 2, (–3) 2 + (–3)2 – 3 = 0, dann ist das Zahlenpaar (–3; 2) eine Lösung des Gleichungssystems.

501. Ist die Lösung des Gleichungssystems
Zahlentripel:

a) (1; –1; 1); b) (1; 1; 1).

Lösung. a) Da 1 – 1 + 1 3 ist, ist das Zahlentripel (1; –1; 1) keine Lösung der ersten Gleichung des Systems und daher keine Lösung des Gleichungssystems.

b) Da 1 + 1 + 1 = 3, 1 –1 – 1 –2, dann ist das Zahlentripel (1; 1; 1) keine Lösung für die zweite Gleichung des Systems und daher auch keine Lösung für das Gleichungssystem.

Zusätzliche Aufgabe

1. Zu welchem ​​Wert A Ein Zahlenpaar (2; –1) ist eine Lösung des Gleichungssystems

Lösung. Lassen A- eine bestimmte Zahl, für die ein Zahlenpaar (2; –1) eine Lösung eines Gleichungssystems ist, dann gelten zwei numerische Gleichheiten:

1) 2A 2 + A= 21 und 2) 10 + A = A 2 + 4,

die als Gleichungen für betrachtet werden können A. Gleichung 2) hat zwei Wurzeln: A 1 = 3 oder A 2 = –2. Nummer A 1 ist die Wurzel der Gleichung 1) und die Zahl A 2 = –2 - nein, also wann A= 3 Zahlenpaar (2; –1) ist eine Lösung eines Gleichungssystems. Und andere Bedeutungen A Es gibt keine, die die Bedingungen des Problems erfüllen.

9.2. Methode zum Ersetzen von Lösungen für Systeme rationaler Gleichungen

In diesem Absatz zeigen wir anhand von drei Beispielen, wie Sie rationale Gleichungen durch Ersetzen lösen können, in denen es mindestens eine Gleichung der ersten gibt.

Revisionsaufgabe. Beim Studium dieses Artikels können Sie die Aufgabe verwenden 810.

Lösungen und Kommentare

512. Lösen Sie das Gleichungssystem:

G)
D)

Lösung. d) Ausdrücken X durch j aus der zweiten Gleichung des Systems und Ersetzen j+ 1 stattdessen X

(1)

Nachdem wir nun die erste Gleichung des Systems (1) gelöst haben, finden wir seine beiden Wurzeln j 1 = –4 und j 2 = 3. Aus der zweiten Gleichung des Systems (1) erhalten wir die entsprechenden Werte X: X 1 = –3 und X 2 = 4.

d) Ausdrücken j durch X aus der zweiten Gleichung des Systems und Ersetzen von 3 – 3 X anstatt j In die erste Gleichung schreiben wir das System in der Form um:

(2)

Nachdem wir nun die erste Gleichung des Systems (2) gelöst haben, finden wir seine beiden Wurzeln X 1 = und
X 2 = . Aus der zweiten Gleichung des Systems (2) erhalten wir die entsprechenden Werte j: j 1 = – und j 2 = 2.

Antwort. d) (–3; –4), (4; 3); D 2).

Zwischenkontrolle. S-21.

9.3. Andere Möglichkeiten, Systeme rationaler Gleichungen zu lösen

In diesem Absatz werden Beispiele für die Lösung rationaler Gleichungssysteme analysiert – durch die Methode der Addition von Gleichungen, durch die Methode der Einführung neuer Unbekannter, durch die Methode der Isolierung perfekter Quadrate, durch die Methode der Faktorisierung. In diesem Fall werden äquivalente Transformationen von Gleichungen verwendet. Manchmal ist es hilfreich, ein System zu lösen, wenn man weiß, dass die Summe der Quadrate zweier Zahlen genau dann Null ist, wenn diese Zahlen Null sind.

Revisionsaufgabe. Beim Studium dieses Artikels können Sie die Aufgabe verwenden 820.

Lösungen und Kommentare

517. Lösen Sie das Gleichungssystem:

V)
D)

Lösung. c) Ersetzen wir die erste Gleichung im System durch die Summe zweier Gleichungen dieses Systems. Wir erhalten ein dem ursprünglichen System äquivalentes System:

(1)

Wählen wir nun die perfekten Quadrate in der ersten Gleichung von System (1) aus:

(2)

Da die Summe der Quadrate zweier Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn diese Zahlen Null sind, hat die erste Gleichung des Systems (2) eine eindeutige Lösung (2; –6). Dieses Zahlenpaar ist eine Lösung der zweiten Gleichung von System (2), daher ist es eine Lösung von System (2) und dem dazu äquivalenten ursprünglichen System.

e) Nehmen wir eine Änderung der Unbekannten vor: A= und B= . Schreiben wir das System in der Form um:

(3)

System (3) hat eine einzigartige Lösung: A 1 = 1, B 1 = . Folglich gibt es auch für System e) eine einzigartige Lösung: X 1 = 1, j 1 = 2.

Antwort. c) (2; –6); e) (1; 2).

512. g) Lösen Sie das Gleichungssystem

Lösung. Normalerweise wird die Lösung für ein solches System geschrieben, indem dieses System durch gleichwertige Systeme ersetzt wird:

(4)

Äquivalenzzeichen () werden für den Lehrer festgelegt, können aber in einer Klasse mit vertieftem Mathematikstudium verwendet werden.

Die Lösungen der zweiten Gleichung des letzten der Systeme (4) sind die folgenden Zahlenpaare ( X; j), die Lösungen für mindestens eine der Gleichungen sind:

1) X + j= 1 und 2) X + j = –1.

Daher sind alle Lösungen des ursprünglichen Systems die Vereinigung aller Lösungen zweier Systeme:

3)
und 4)

Nachdem wir die Systeme 3) und 4) gelöst haben, erhalten wir alle Lösungen des ursprünglichen Systems: (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

Antwort. (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

518. Lösen Sie das Gleichungssystem:

A)
V)
Und)

Lösung. a) Durch die Einführung einer neuen Unbekannten A = X 2 – 4j
. Es hat eine einzige Wurzel A= 1. Dies bedeutet, dass dieses System dem System äquivalent ist

(5)

Wenn wir die Gleichungen des Systems (5) addieren und die erste Gleichung des Systems durch die resultierende Gleichung ersetzen, erhalten wir ein neues System, das dem System (5) und damit dem ursprünglichen System äquivalent ist:

(6)

Nachdem wir die vollständigen Quadrate in der ersten Gleichung von System (6) isoliert haben, schreiben wir System (6) in der Form um:

(7)

Nun ist es offensichtlich, dass die erste Gleichung des Systems (7) eine eindeutige Lösung hat: X 1 = 3, j 1 = 2. Eine Überprüfung zeigt, dass dieses Zahlenpaar eine Lösung der zweiten Gleichung von System (7) ist, was bedeutet, dass es eine Lösung von System (7) und dem dazu äquivalenten ursprünglichen System ist.

Das ursprüngliche System hat also eine eindeutige Lösung (3; 2).

c) Durch die Einführung einer neuen Unbekannten A =
, schreiben wir die erste Gleichung des Systems in der Form um:
. Es hat zwei Wurzeln: A 1 = 1 und A 2 = –4. Daher sind alle Lösungen des ursprünglichen Systems die Vereinigung aller Lösungen zweier Systeme:

1)
und 2)

Substitution verwenden j = 9 – X, lösen wir jedes der Systeme und stellen fest, dass System 1) eine eindeutige Lösung (6; 3) und System 2) eine eindeutige Lösung (14; –5) hat.

Das ursprüngliche System hat also zwei Lösungen: (6; 3), (14; –5).

g) Schreiben wir das System in der Form um:

(8)

Wenn ein Zahlenpaar ( X 0 ; j 0) eine Lösung für System (8) ist, dann gelten die folgenden numerischen Gleichungen: X 0 (9X 0 + 4j 0) = 1 und j 0 (9X 0 + 4j 0) = –2. Beachten Sie, dass beide Seiten dieser numerischen Gleichheiten nicht Null sind. Daher erhalten wir eine neue numerische Gleichheit, wenn wir die erste Gleichheit termweise durch die zweite dividieren:
. Daraus folgt das j 0 = –2X 0 . Das heißt, die gesuchten Lösungen des Systems (8) sind Lösungen des Systems

(9)

Nachdem wir System (9) gelöst haben, erhalten wir zwei seiner Lösungen: (1; –2), (–1; 2).

Durch die Überprüfung sind wir überzeugt, dass diese beiden Zahlenpaare tatsächlich Lösungen des ursprünglichen Systems sind.

Antwort. a) (3; 2); c) (6; 3), (14; –5); g) (1; –2), (–1; 2).

Kommentar. Beachten Sie, dass wir im Prozess der Lösung von Problem g) die Äquivalenz von System (9) mit dem ursprünglichen System nicht bewiesen haben, aber aus der obigen Überlegung folgt, dass jede Lösung für das ursprüngliche System eine Lösung für System (9) ist (d. h. , System (9) ist eine Folge des ursprünglichen Systems), daher muss überprüft werden, ob jede Lösung von System (9) eine Lösung des ursprünglichen Systems ist. Und diese Prüfung ist zwingender Bestandteil der Systemlösung.

Tatsächlich ist System (9) äquivalent zum ursprünglichen System, wie aus der unten bewiesenen Aussage hervorgeht.

Zusätzliche Aufgaben

1. Lösen Sie das Gleichungssystem

A)
B)

V)
G)

Lösung. a) Nachdem wir die perfekten Quadrate in der ersten Gleichung isoliert haben, schreiben wir sie in der Form um:

(X – 3) 2 + (j – 1) 2 = 0. (1)

Nun ist es offensichtlich, dass die erste Gleichung des Systems eine eindeutige Lösung hat: X 1 = 3, j 1 = 1. Durch die Überprüfung sind wir überzeugt, dass dieses Paar eine Lösung der zweiten Gleichung und damit eine Lösung des Gleichungssystems ist.

b) Wenn wir ähnlich argumentieren, erhalten wir eine eindeutige Lösung des Systems (–2, 0,5).

c) Lassen Sie uns die linke Seite der ersten Gleichung des Systems faktorisieren:

X 2 – 7xy + 12j 2 = X 2 – 3xy – 4xy + 12j 2 = X(X – 3j) – 4j(X– 3j) = (X – 3j)(X – 4j).

Lassen Sie uns dieses System in der Form umschreiben

(2)

Nun ist es offensichtlich, dass alle Lösungen des Systems (2) die Vereinigung aller Lösungen zweier Systeme sind:

1)
und 2)

System 1) hat zwei Lösungen: (3; 1), (–3; –1). System 2) hat auch zwei Lösungen: (12; 3), (–12; –3). Folglich hat das ursprüngliche System vier Lösungen: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3).

d) Schreiben wir das ursprüngliche System in der Form um:

(3)

Offensichtlich hat die erste Gleichung von System (3) eine eindeutige Lösung:
(3; –2). Die Überprüfung zeigt, dass es sich auch um eine Lösung der zweiten Gleichung von System (3) handelt, daher haben System (3) und damit das ursprüngliche System eine eindeutige Lösung (3; –2).

Antwort. a) (3; 1); b) (–2, 0,5); c) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); d) (3; –2).

2. Beweisen Sie die Aussage: if F (X, j) Und G (X, j) - Polynome bezüglich X Und j, A Und B- Zahlen, B 0, dann sind Systeme 1 äquivalent)
und 2)

Nachweisen. 1. Lassen Sie ein Zahlenpaar ( X 0 ; j 0) ist eine Lösung für System 1), dann gelten die folgenden numerischen Gleichungen: F(X 0 , j 0) = A Und G(X 0 , j 0) = B. Als B 0 also G(X 0 , j 0) 0, also ist die numerische Gleichheit wahr:
. Das bedeutet, dass jede Lösung für System 1) eine Lösung für System 2) ist.

2. Sei nun ein Zahlenpaar ( X 0 ; j 0) ist die Lösung für System 2), dann gelten die numerischen Gleichungen: und G(X 0 , j 0) = B. Als B 0 also G(X 0 , j 0) 0, daher werden beide Seiten der ersten numerischen Gleichheit mit gleichen Zahlen ungleich Null multipliziert G(X 0 , j 0) und B, erhalten wir eine neue korrekte numerische Gleichheit: F(X 0 , j 0) = A. Das bedeutet, dass jede Lösung für System 2) eine Lösung für System 1) ist.

3. Angenommen, System 1) hat keine Lösung und System 2) hat eine Lösung. Aus Punkt 2 des obigen Beweises folgt dann, dass System 1) eine Lösung hat. Der daraus resultierende Widerspruch zeigt, dass die getroffene Annahme falsch ist. Das heißt, wenn System 1) keine Lösung hat, dann hat System 2) keine Lösung.

Ebenso ist bewiesen, dass, wenn System 2) keine Lösung hat, auch System 1) keine Lösung hat.

Aus dem obigen Beweis folgt, dass die Systeme 1) und 2) gleichwertig sind, was bewiesen werden musste.

Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Systems geben 518, Und mit dieser Aussage.

Nachdem wir das letzte System gelöst haben, erhalten wir zwei seiner Lösungen: (1; –2), (–1; 2), daher hat das ursprüngliche System zwei Lösungen: (1; –2), (–1; 2).

3. Lösen Sie das Gleichungssystem:

A)
b) c)

Lösung. a) Das ursprüngliche System ist äquivalent zum System

was wir umschreiben als:

(4)

System (4) hat eine eindeutige Lösung (1; 2). Folglich verfügt auch das ursprüngliche System über eine eindeutige Lösung (1; 2).

b) Wir schreiben das ursprüngliche System in der Form um

Dieses System entspricht dem System:

(5)

System (5) hat eine eindeutige Lösung (–1; –5). Folglich hat auch das ursprüngliche System eine eindeutige Lösung (–1; –5).

c) Das ursprüngliche System ist äquivalent zum System

oder System

(6)

System (6) hat zwei Lösungen (1; 2; –2), (–1; –2; 2). Folglich hat das ursprüngliche System auch zwei Lösungen (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Antwort. a) (1; 2); b) (–1; –5); c) zwei Lösungen (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Zwischenkontrolle. S-22, S-23, S–24*.

9.4. Lösen von Problemen mithilfe rationaler Gleichungssysteme

In diesem Abschnitt werden Lösungen für Textaufgaben analysiert, die zu Systemen rationaler Gleichungen führen. Sie können mit einfacheren Aufgaben beginnen, neues Material zu erklären 513, 514, 519, 520 .

Revisionsaufgabe. Beim Studium dieses Artikels können Sie die Aufgabe verwenden 820, 952.

Lösungen und Kommentare

513. a) Teilen Sie die Zahl 171 in zwei Faktoren, deren Summe 28 ergibt.

Lösung. Lassen X- erster Faktor, j - zweiter Multiplikator. Erstellen wir ein Gleichungssystem:

Nachdem wir das System gelöst haben, erhalten wir zwei Lösungen: X 1 = 9, j 1 = 19 und X 2 = 19, j 2 = 9. Die Reihenfolge der Faktoren ist hier nicht wichtig, daher sind die erforderlichen Faktoren 9 und 19.

Antwort. 9 und 19.

519. a) Wenn Sie das Doppelte der zweiten Zahl zum Quadrat der ersten Zahl addieren, erhalten Sie (–7), und wenn Sie die zweite Zahl von der ersten Zahl subtrahieren, erhalten Sie 11. Finden Sie diese Zahlen.

Lösung. Lassen X- erste Zahl, y- zweite Nummer. Basierend auf den Bedingungen des Problems erstellen wir zwei Gleichungen: X 2 + 2j= –7 und X – j= 11. Nachdem wir das System dieser Gleichungen gelöst haben, erhalten wir zwei seiner Lösungen: (–5; –16), (3; –8).x = 6 und j= 4, d. h. die erforderliche Anzahl ist 64.

Antwort. 64.

522. b) Zwei Arbeiter haben gemeinsam die gesamte Arbeit in 5 Tagen erledigt. Wenn der erste Arbeiter doppelt so schnell und der zweite Arbeiter doppelt so langsam arbeiten würde, würde er die gesamte Arbeit in 4 Tagen erledigen. In wie vielen Tagen würde der erste Arbeiter diese Arbeit abschließen?

Lösung. ICHWeg. Lassen Sie für X Und j Tage werden der erste und der zweite Arbeiter jeweils die gesamte Arbeit erledigen. Wenn sie zusammenarbeiten, werden sie den Auftrag in 5 Tagen abschließen. Machen wir die erste Gleichung:
.

Wenn der erste 2-mal schneller und der zweite 2-mal langsamer arbeiten würde, wären sie pro Tag fertig aller Arbeiten bzw. alle Arbeiten würden in 4 Tagen abgeschlossen sein. Erstellen wir die zweite Gleichung:

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952. Wenn Sie 20 Kühe verkaufen, ist das eingelagerte Heu zehn Tage länger haltbar, wenn Sie jedoch 30 Kühe kaufen, ist der Heuvorrat zehn Tage früher aufgebraucht. Wie viele Kühe gab es und wie viele Tage wurde das Heu gelagert?

Lösung. Lassen Sie für X Kühe haben Heu vorbereitet j Tage. Lassen Sie uns kurz den Zustand des Problems beschreiben:

Anzahl Kühe Anzahl Tage

Da bei konstantem Heuvorrat die Anzahl der Tage umgekehrt proportional zur Anzahl der Kühe ist, erstellen wir die erste Gleichung:
.

Erstellen wir die zweite Gleichung auf die gleiche Weise:
.

Das System dieser Gleichungen hat eine eindeutige Lösung: X = 120, j= 50. Das heißt, für 120 Kühe wurde Heu 50 Tage lang gelagert.

Antwort. Für 120 Kühe, 50 Tage lang.