Die Gesamtzahl der verschiedenen Permutationen der Buchstaben des Wortes „Kegel“, in dem die Buchstaben enthalten sind. Ereignis D ist sicher, da jede zweistellige Zahl entweder gerade oder ungerade ist

In der Kombinatorik untersuchen sie Fragen dazu, wie viele Kombinationen eines bestimmten Typs aus gegebenen Objekten (Elementen) hergestellt werden können.

Die Geburt der Kombinatorik als Zweig ist mit den Arbeiten von B. Pascal und P. Fermat zur Theorie des Glücksspiels verbunden. Einen großen Beitrag zur Entwicklung kombinatorischer Methoden leistete G.V. Leibniz, J. Bernoulli und L. Euler.

Der französische Philosoph, Schriftsteller, Mathematiker und Physiker Blaise Pascal (1623–1662) zeigte schon früh seine herausragenden mathematischen Fähigkeiten. Pascals Spektrum an mathematischen Interessen war sehr vielfältig. Pascal hat eines bewiesen
aus den Grundsätzen der projektiven Geometrie (Satz von Pascal), entwarf eine Summiermaschine (Additionsmaschine von Pascal), gab eine Methode zur Berechnung von Binomialkoeffizienten (Pascals Dreieck) an, war der erste, der die Methode der mathematischen Induktion zum Beweis genau definierte und anwendete, machte einen bedeutenden Schritt in der Entwicklung der Infinitesimalrechnung wichtige Rolle in den Ursprüngen der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Hydrostatik hat Pascal ihr Grundgesetz (Pascalsches Gesetz) aufgestellt. Pascals „Briefe an einen Provinzial“ waren ein Meisterwerk der klassischen französischen Prosa.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) war ein deutscher Philosoph, Mathematiker, Physiker und Erfinder, Anwalt, Historiker und Sprachwissenschaftler. In der Mathematik entwickelte er zusammen mit I. Newton die Differential- und Integralrechnung. Er leistete wichtige Beiträge zur Kombinatorik. Insbesondere sein Name ist mit zahlentheoretischen Problemen verbunden.

Gottfried Wilhelm Leibniz hatte wenig beeindruckendes Äußeres und machte daher den Eindruck eines eher unscheinbaren Menschen. Eines Tages ging er in Paris in einen Buchladen in der Hoffnung, ein Buch eines Philosophen zu kaufen, den er kannte. Als ein Besucher nach diesem Buch fragte, sagte der Buchhändler, nachdem er ihn von Kopf bis Fuß untersucht hatte, spöttisch: „Warum brauchen Sie es?“ Sind Sie wirklich in der Lage, solche Bücher zu lesen?“ Bevor der Wissenschaftler antworten konnte, betrat der Autor des Buches selbst den Laden mit den Worten: „Grüße und Respekt an den großen Leibniz!“ Der Verkäufer konnte nicht verstehen, dass es sich tatsächlich um den berühmten Leibniz handelte, dessen Bücher bei Wissenschaftlern sehr gefragt waren.

Folgendes wird in Zukunft eine wichtige Rolle spielen

Lemma. Lassen Sie eine Menge von Elementen und in einer Menge Elemente ein. Dann ist die Anzahl aller unterschiedlichen Paare gleich.

Nachweisen. Tatsächlich können wir mit einem Element aus einer Menge so unterschiedliche Paare bilden, und zwar insgesamt in einer Menge von Elementen.

Platzierungen, Permutationen, Kombinationen

Lassen Sie uns eine Menge von drei Elementen haben. Auf welche Weise können wir zwei dieser Elemente auswählen? .

Definition. Anordnungen einer Menge verschiedener Elemente nach Elementen sind Kombinationen, die aus gegebenen Elementen nach > Elementen bestehen und sich entweder in den Elementen selbst oder in der Reihenfolge der Elemente unterscheiden.

Die Anzahl aller Anordnungen einer Menge von Elementen nach Elementen wird mit (aus dem Anfangsbuchstaben des französischen Wortes „arrangement“, was Anordnung bedeutet) bezeichnet, wobei und .

Satz. Die Anzahl der Platzierungen einer Menge von Elementen nach Elementen ist gleich

Nachweisen. Nehmen wir an, wir haben Elemente. Lassen Sie mögliche Platzierungen sein. Wir werden diese Platzierungen nacheinander aufbauen. Definieren wir zunächst das erste Platzierungselement. Aus einer gegebenen Menge von Elementen kann es auf verschiedene Weise ausgewählt werden. Nach Auswahl des ersten Elements gibt es noch Möglichkeiten, das zweite Element usw. auszuwählen. Da jede dieser Wahlmöglichkeiten eine neue Platzierung ergibt, können alle diese Wahlmöglichkeiten frei miteinander kombiniert werden. Deshalb haben wir:

Beispiel. Auf wie viele Arten kann eine Flagge aus drei horizontalen Streifen unterschiedlicher Farbe bestehen, wenn Material in fünf Farben vorhanden ist?

Lösung. Die erforderliche Anzahl an Dreiband-Flaggen:

Definition. Permutation einer Menge von Elementen ist die Anordnung von Elementen in einer bestimmten Reihenfolge.

Somit sind alle unterschiedlichen Permutationen einer Menge von drei Elementen

Angegeben ist die Anzahl aller Permutationen von Elementen (vom Anfangsbuchstaben des französischen Wortes „permutation“, was „Permutation“, „Bewegung“ bedeutet). Daher wird die Anzahl aller verschiedenen Permutationen durch die Formel berechnet

Beispiel. Auf wie viele Arten können die Türme auf dem Schachbrett platziert werden, damit sie sich nicht gegenseitig angreifen?

Lösung. Die erforderliche Anzahl Türme

A-Priorat!

Definition. Kombinationen verschiedener Elemente nach Elementen sind Kombinationen, die aus bestimmten Elementen nach Elementen bestehen und sich in mindestens einem Element unterscheiden (mit anderen Worten, Element-Teilmengen einer bestimmten Menge von Elementen).

Wie Sie sehen, wird bei Kombinationen im Gegensatz zu Platzierungen die Reihenfolge der Elemente nicht berücksichtigt. Die Anzahl aller Kombinationen von Elementen, jeweils der Elemente, wird angegeben (vom Anfangsbuchstaben des französischen Wortes „combinasion“, was „Kombination“ bedeutet).

Zahlen

Alle Kombinationen aus einem Zweierset sind .

Eigenschaften von Zahlen (\sf C)_n^k

Tatsächlich entspricht jede Element-Teilmenge einer gegebenen Element-Menge einer und nur einer Element-Teilmenge derselben Menge.

Tatsächlich können wir Teilmengen von Elementen auf folgende Weise auswählen: ein Element fixieren; die Anzahl der Element-Teilmengen, die dieses Element enthalten, ist gleich; Die Anzahl der Element-Teilmengen, die dieses Element nicht enthalten, ist gleich.

Pascals Dreieck

In diesem Dreieck sind die extremen Zahlen in jeder Zeile gleich 1 und jede nicht extreme Zahl ist gleich der Summe der beiden darüber liegenden Zahlen aus der vorherigen Zeile. Somit können Sie mit diesem Dreieck Zahlen berechnen.

Satz.

Nachweisen. Betrachten wir eine Menge von Elementen und lösen wir das folgende Problem auf zwei Arten: Wie viele Sequenzen können aus den Elementen eines gegebenen Elements erstellt werden?
Mengen, in denen jeweils kein Element zweimal vorkommt?

1 Weg. Wir wählen das erste Mitglied der Sequenz aus, dann das zweite, dritte usw. Mitglied

Methode 2. Wählen wir zunächst Elemente aus einer bestimmten Menge aus und ordnen sie dann in einer bestimmten Reihenfolge an

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs mit:

Beispiel. Auf wie viele Arten kann man im Spiel „Sportloto“ 5 von 36 Zahlen wählen?

Erforderliche Anzahl an Wegen

Aufgaben.

1. Autokennzeichen bestehen aus 3 Buchstaben des russischen Alphabets (33 Buchstaben) und 4 Zahlen. Wie viele verschiedene Kennzeichen gibt es?
2. Das Klavier verfügt über 88 Tasten. Auf wie viele Arten kann man 6 Töne hintereinander erzeugen?
3. Wie viele sechsstellige Zahlen gibt es, die durch 5 teilbar sind?
4. Auf wie viele Arten können 7 verschiedene Münzen in drei Taschen gesteckt werden?
5. Wie viele fünfstellige Zahlen können Sie erstellen, in deren Dezimalschreibweise die Ziffer 5 mindestens einmal vorkommt?
6. Auf wie viele Arten können 20 Personen an einem runden Tisch sitzen, wenn man davon ausgeht, dass die Möglichkeiten gleich sind, wenn sie durch Bewegung im Kreis voneinander erhalten werden können?
7. Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es, die durch 5 teilbar sind und keine identischen Ziffern enthalten?
8. Auf kariertem Papier mit einer Zellenseite von 1 cm wird ein Kreis mit einem Radius von 100 cm gezeichnet, der nicht durch die Oberseite der Zellen geht und die Seiten der Zellen nicht berührt. Wie viele Zellen kann dieser Kreis schneiden?
9. Auf wie viele Arten können Zahlen in einer Reihe angeordnet werden, sodass die Zahlen nebeneinander und in aufsteigender Reihenfolge liegen?
10. Wie viele fünfstellige Zahlen können aus Ziffern gebildet werden, wenn jede Ziffer nur einmal verwendet werden kann?
11. Aus dem Wort ROT können durch Umordnen der Buchstaben die folgenden Wörter erhalten: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. Sie werden Anagramme genannt. Wie viele Anagramme kann man aus dem Wort LOGARITHMUS bilden?
12. Lass uns anrufen Spaltung natürliche Zahl, ihre Darstellung als Summe natürlicher Zahlen. Hier sind zum Beispiel alle Partitionen einer Zahl:

Partitionen gelten als unterschiedlich, wenn sie sich entweder in der Anzahl oder in der Reihenfolge ihrer Begriffe unterscheiden.

Wie viele verschiedene Zerlegungen einer Zahl in Terme gibt es?
13. Wie viele dreistellige Zahlen gibt es mit nicht aufsteigender Ziffernreihenfolge?
14. Wie viele vierstellige Zahlen gibt es mit nicht aufsteigender Ziffernreihenfolge?
15. Auf wie viele Arten können 17 Personen in einer Reihe sitzen, sodass sie am Ende nebeneinander sitzen?
16. Mädchen und Jungen sitzen zufällig in einer Sitzreihe. Auf wie viele Arten können sie sitzen, damit keine zwei Mädchen nebeneinander sitzen?
17. Mädchen und Jungen sitzen zufällig in einer Sitzreihe. Auf wie viele Arten können sie sitzen, sodass alle Mädchen nebeneinander sitzen?

Variante 1

Nr. 1. Auf wie viele Arten können fünf verschiedene Bücher in einem Regal platziert werden?

Nr. 2. Wie viele dreistellige Zahlen mit unterschiedlichen Ziffern lassen sich aus den Ziffern 0, 1, 3, 6, 7, 9 bilden?

Nr. 3. Bei einem Wiedersehen tauschten 9 ehemalige Klassenkameraden Visitenkarten aus. Wie viele Visitenkarten wurden verwendet?

Nummer 4. Wie viele Permutationen der Buchstaben des Wortes „figur“ gibt es, bei denen die Buchstaben „y“, „p“, „a“ in der angegebenen Reihenfolge nebeneinander stehen?

Option 2

Nr. 1. Auf wie viele Arten können sechs verschiedene Bücher in einem Regal platziert werden?

Nr. 2. Wie viele dreistellige Zahlen mit unterschiedlichen Ziffern lassen sich aus den Ziffern 0, 3, 4, 5, 8 bilden?

Nr. 3. Auf der Konferenz tauschten 7 Teilnehmer ihre Telefonnummern aus. Wie viele Telefonnummern wurden ausgetauscht?

Nummer 4. Wie viele Permutationen der Buchstaben des Wortes „Vertex“ gibt es, bei denen die Buchstaben „v“, „e“, „r“ in der angegebenen Reihenfolge nebeneinander stehen?

Selbstständige Arbeit. Kombinatorik.

Option 3

Nr. 1. Auf wie viele Arten können 9 Wettbewerbsteilnehmer in der Reihenfolge ihrer Priorität im Viertelfinale des Wettbewerbs auftreten?

Nr. 2. Bilden Sie aus den Zahlen 0, 3, 7, 8 alle möglichen zweistelligen Zahlen, in denen sich die Zahlen nicht wiederholen.

Nr. 3. Im Gebiet N sind jeweils zwei Dörfer durch eine Straße verbunden. Bestimmen Sie die Anzahl solcher Straßen, wenn es in der Gegend 10 Dörfer gibt.

Nummer 4. Wie viele fünfstellige Telefonnummern gibt es, beginnend mit der Zahl 3, bei denen alle Ziffern unterschiedlich sind?

Option 4

Nr. 1. Der Kurier muss Pizza an sechs Adressen liefern. Wie viele Routen kann er wählen?

Nr. 2. Aus den Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 alle möglichen dreistelligen Zahlen bilden, in denen sich die Zahlen nicht wiederholen?

Nr. 3. Auf der Ebene sind 9 Punkte markiert, keine drei davon liegen auf derselben Geraden. Wie viele Linien können durch diese Punkte gezogen werden?

Nummer 4. Wie viele sechsstellige Telefonnummern gibt es, die mit 36 ​​beginnen und bei denen alle Ziffern unterschiedlich sind?

Beispiel. k, o, n stehen sie in der Nähe?

• Beispiel. Wie viele Permutationen der Buchstaben des Wortes „Kegel“ gibt es in welchen Buchstaben? k, o, n stehen sie in der Nähe?

• Lösung.

• Gegeben sind 5 Buchstaben, von denen drei nebeneinander stehen müssen.

• Drei Buchstaben k, o, n kann neben einem von = 3 stehen! = 6 Wege.

• Für jede Methode zum „Kleben“ von Buchstaben k, o, n wir bekommen = 3! = 6 Wege

• Buchstaben neu anordnen, „kleben“ uns.

• Die Gesamtzahl der verschiedenen Permutationen der Buchstaben des Wortes „Kegel“, in dem die Buchstaben enthalten sind

• k, o, n nebeneinander stehen ergibt 6 · 6 = 36 Permutationen – Anagramme.

• Antwort: 36 Anagramme.

Beispiel.

• Beispiel. Zählen Sie, wie viele der Bilder der Buchstaben A, B, C, D, D, E, F, Z, I, K es Buchstaben gibt, die Folgendes haben: 1) eine vertikale Symmetrieachse; 2) horizontale Symmetrieachse.

• Lösung.

• 1) Buchstaben mit vertikaler Symmetrieachse: A, D, F – 3 Buchstaben (wir berücksichtigen nicht die Verdickung einiger Elemente der Buchstaben A, D auf der rechten Seite).

• 2) Buchstaben mit horizontaler Symmetrieachse: V, E, ZH, Z, K – 5 Buchstaben.

• Antwort: 1) 3 Buchstaben, 2) 5 Buchstaben.

Beispiel.

• Beispiel. Die Bewohner des Planeten XO haben drei Buchstaben in ihrem Alphabet: A, O, X. Wörter in der Sprache bestehen aus nicht mehr als drei Buchstaben (ein Buchstabe in einem Wort kann wiederholt werden). Was ist die größte Anzahl von Wörtern, die im Wortschatz der Bewohner dieses Planeten vorkommen können?

• Lösung. Wörter können aus einem, zwei oder drei Buchstaben bestehen.

• Wörter mit einem Buchstaben: A, O, X – 3 Wörter.

• Wörter mit zwei Buchstaben: AO, AH, AA, OO, OA, OX, XX, HA, XO – 9 Wörter (3·3=9, Wahl von zwei Buchstaben mit Wiederholungen).

• Dreibuchstabige Wörter: 3·9=27 Wörter (Auswahl von drei aus drei mit Wiederholungen, Wahl des ersten Buchstabens – drei Möglichkeiten; jedes der 9 möglichen zweibuchstabigen Wörter zu jedem ersten Buchstaben hinzufügen).

• Somit kann es im Wörterbuch der Bewohner des Planeten XO maximal 3 + 9 + +27 = 39 Wörter geben.

• Antwort: 39 Wörter.

Beispiel Nr. 1.

• Beispiel Nr. 1. Alle Tickets für die Literaturprüfung werden auf Karten mit zweistelligen Nummern geschrieben. Petja wählte zufällig eine Karte aus. Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als sicher, unmöglich oder zufällig:

• Ereignis A – Auf der ausgewählten Karte befindet sich eine Primzahl.

• Ereignis B – auf der Karte befindet sich eine zusammengesetzte Zahl;

• Ereignis C – auf der Karte befindet sich eine Zahl, die weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist;

• Ereignis D – es gibt eine gerade oder ungerade Zahl auf der Karte.

• Lösung.

• Die Ereignisse A und B sind zufällig, weil sie eintreten können oder auch nicht.

• Ereignis C ist unmöglich: Denken Sie an die Definition von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen.

• Ereignis D ist sicher, da jede zweistellige Zahl entweder gerade oder ungerade ist.

• Sie haben das Buch auf einer beliebigen Seite aufgeschlagen und das erste Substantiv gelesen, auf das Sie gestoßen sind. Es stellte sich heraus, dass: a) die Schreibweise des ausgewählten Wortes einen Vokal enthält; b) die Schreibweise des ausgewählten Wortes enthält den Buchstaben „o“; c) die Schreibweise des ausgewählten Wortes enthält keine Vokale; d) Es gibt ein weiches Zeichen in der Schreibweise des ausgewählten Wortes.

• Lösung.

• a) Das Ereignis ist zuverlässig, da es in der russischen Sprache keine Substantive gibt, die nur aus Konsonanten bestehen.

• b) Das Ereignis ist zufällig.

• c) Ein unmögliches Ereignis (siehe Punkt a)).

• d) Das Ereignis ist zufällig.

Beispiel.

• Beispiel. Beschreiben Sie die Summe der folgenden inkompatiblen Ereignisse.

• „Die Königin gebar in der Nacht entweder einen Sohn (Ereignis A) oder eine Tochter (Ereignis B) ...“

• Lösung.

• Die Königin gebar einen Sohn oder eine Tochter (A B).

• Antwort: 4 komplexe Ereignisse, die die Summe zweier inkompatibler Ereignisse sind.

Beispiel. o, t, k, r.

• Beispiel. Auf vier Karten werden Buchstaben geschrieben o, t, k, r. Die Karten wurden umgedreht und gemischt. Dann öffneten sie diese Karten nach dem Zufallsprinzip, eine nach der anderen, und legten sie in eine Reihe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort „Maulwurf“ auftaucht?

• Lösung. Ergebnisse sind alle möglichen Permutationen von vier Elementen ( o, t, k, r); Die Gesamtzahl der Ergebnisse beträgt n = = 4! = 24.

• Ereignis A – „nach dem Öffnen der Karten erhält man das Wort „Maulwurf““; = 1 (nur eine Option für die Anordnung der Buchstaben – „Maulwurf“; = .

• Antwort:

Beispiel Ö, Auf dem zweiten T, am dritten Mit, am vierten P.

• Beispiel. Wir haben vier Karten genommen. Über den ersten schrieben sie einen Brief Ö, Auf dem zweiten T, am dritten Mit, am vierten P. Die Karten wurden umgedreht und gemischt. Dann öffneten sie wahllos eine Karte nach der anderen und legten sie daneben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis das Wort „Stop“ oder das Wort „Post“ war?

• Lösung. Ergebnisse – alle möglichen Permutationen von 4 Buchstaben; Gesamtzahl der Ergebnisse

• n = = 4! = 24.

• Ereignis A – „das Wort „stoppen“ oder „posten“ kam heraus; Anzahl günstiger Ergebnisse = 1 („Stopp“) + 1 („Post“) = 2 (gemäß der Regel der Summe sich gegenseitig ausschließender Ergebnisse).

• Wahrscheinlichkeit = .

• Antwort: 1/12.

• Beispiel Nr. 1. Wir haben die Länge der Wörter (Anzahl der Buchstaben) im folgenden Auszug aus A.S. Puschkins Gedicht „Der eherne Reiter“ gemessen. Es ist notwendig, Histogramme der Verteilung von Multiplizitäten und Häufigkeiten zu erstellen und dabei die Intervalle 1-3, 4-6, 7-9 für die Stichprobenoption auszuwählen.

• „...Er ist schrecklich in der umgebenden Dunkelheit! 6, 2, 1, 9, 4

• Was für ein Gedanke auf der Stirn! 5, 4, 2, 4

• Welche Kraft steckt in ihm und welches Feuer steckt in diesem Pferd! 5, 4, 1, 3, 7

• Wo galoppierst du, stolzes Pferd, 1, 1, 3, 4, 5, 5

• Und wo wirst du deine Hufe hinstellen?..." 1, 3, 8, 2, 6

• Rechts neben dem Text werden anstelle von Wörtern zeilenweise deren Längen notiert. Nach den Berechnungen erstellen wir eine Tabelle.

Beispiel.

• Beispiel. Bei der Prüfung von 70 Werken zur russischen Sprache wurde die Zahl der Rechtschreibfehler der Studierenden festgestellt. Die resultierende Datenreihe wurde in Form einer Häufigkeitstabelle dargestellt:

• Was ist der größte Unterschied in der Anzahl der gemachten Fehler? Welche Fehleranzahl ist typisch für diese Schülergruppe? Geben Sie an, welche statistischen Merkmale zur Beantwortung der gestellten Fragen verwendet wurden.

• Lösung.

• Der größte Unterschied in der Fehleranzahl: 6 – 0 = 6.

• Typische Fehleranzahl: 3 (tritt 26 von 70 auf).

• Maßstab und Mode kommen zum Einsatz.

• Antwort: 6; 3.

Statistische Forschung Häufigkeitstabellen Sprache.

• Statistische Forschung Anhand zahlreicher literarischer Texte zeigten sie, dass die Häufigkeit des Auftretens eines bestimmten Buchstabens (oder Abstands zwischen Wörtern) mit zunehmendem Textvolumen zu bestimmten Konstanten tendiert. Es werden Tabellen aufgerufen, die die Buchstaben einer bestimmten Sprache und die entsprechenden Konstanten enthalten Häufigkeitstabellen Sprache.

• Jeder Autor hat seine eigene Häufigkeitstabelle der Verwendung von Buchstaben, Wörtern, spezifischen literarischen Ausdrücken usw. Mit dieser Häufigkeitstabelle können Sie den Autor etwa so genau bestimmen wie mit Fingerabdrücken.

Zum Beispiel Bis heute dauert die Debatte um die Urheberschaft von „Quiet Don“ an. Nicht wenige Leute glauben, dass M.A. Sholokhov im Alter von 23 Jahren einfach kein so tiefgründiges und wirklich großartiges Buch hätte schreiben können. Es wurden verschiedene Argumente und unterschiedliche Autorenkandidaten vorgebracht. Besonders hitzig war die Debatte zu der Zeit, als M.A. Sholokhov den Nobelpreis für Literatur erhielt (1965). Die statistische Analyse des Romans und sein Vergleich mit Texten, deren Urheberschaft von M. A. Scholochow außer Zweifel stand, bestätigten dennoch die Hypothese von M. A. Scholochow als dem wahren Autor von „Der stille Don“.

Beispiel Nr. 1.

• Beispiel Nr. 1. Das Beispiel besteht aus allen im Couplet enthaltenen Buchstaben

• „...Dieser Baum ist eine Kiefer,

• Und das Schicksal der Kiefer ist klar ...“

• Notieren Sie eine Reihe von Beispieldaten.

• Finden Sie die Stichprobengröße.

• Bestimmen Sie die Vielfalt und Häufigkeit der „o“-Optionen.

• Was ist die höchste prozentuale Häufigkeit der Stichprobenoption?

• Lösung

• 1). Beispieldatenreihe (Option Werte):

• a, b, c, d, f, i, n, o, p, s, t, y, b, s, e, i.

• 2). Die Stichprobengröße ist die Gesamtzahl der Buchstaben im Couplet: n = 30.

• 3). Die Vielfalt der Optionen „o“ beträgt 4, die Häufigkeit der Optionen ist gleich.

• 4). Option „c“ hat die höchste prozentuale Häufigkeit: Ihre Multiplizität beträgt 6, Häufigkeit

• , prozentuale Häufigkeit 20 %.

• Antwort: 1). 16 Buchstaben; 2). dreißig; 3). 4 und 0,133; 4). 20 %.

Beispiel Nr. 1 (Fortsetzung). Das Beispiel besteht aus allen im Couplet enthaltenen Buchstaben

• Beispiel Nr. 1 (Fortsetzung). Das Beispiel besteht aus allen im Couplet enthaltenen Buchstaben

• „...Dieser Baum ist eine Kiefer,

• Und das Schicksal der Kiefer ist klar ...“

• Das Alphabet ist der Reihe nach in drei identische Abschnitte unterteilt: Nr. 1 von „a“ bis „th“, Nr. 2 von „k“ bis „u“, Nr. 3 von „f“ bis „z“.

• 1).Ermitteln Sie die Multiplizität und (prozentuale) Häufigkeit von Abschnitt Nr. 3.

• 2).Erstellen Sie eine Tabelle mit der Häufigkeitsverteilung der Abschnitte.

• 3).Geben Sie den Bereich mit der höchsten Frequenz an.

• 4).Erstellen Sie ein Häufigkeitshistogramm mit der ausgewählten Verteilung in Abschnitte.

• Lösung. Zunächst stellen wir fest, dass, wenn das russische Alphabet 33 Buchstaben hat, drei identische Abschnitte Abschnitte mit 11 Buchstaben sind. Anzahl der Buchstaben in einem Couplet: n = 30.

• Häufigkeits- und Multiplizitätsverteilungstabelle:

Beispiel.

Beispiel. 60 Neuntklässler wurden auf ihre Lesegeschwindigkeit (Anzahl der Wörter pro Leseminute) getestet. Die erhaltenen Daten wurden in fünf Bereiche gruppiert: Nr. 1- (91;100); Nr. 2 (101;110); Nr. 3 (111;120); Nr. 4 (121;130); Nr. 5 (131;140). Das Ergebnis ist ein Histogramm von Multiplizitäten (siehe Abbildung). Schätzen Sie ungefähr: Bereich, Modus, arithmetisches Mittel der Stichprobe, erklären Sie, warum die Antworten nur Näherungswerte sind.

Bereich A = 140-91 = 49

• Bereich A = 140-91 = 49

• Mode.

• Mittlere Bedeutung.

• Die erhaltenen Werte sind nur Näherungswerte, da bei den Berechnungen anstelle tatsächlicher Werte bedingte Werte verwendet wurden – die Grenzen und Mittelpunkte von Teilintervallen, also Werte, die nicht experimentell beobachtet wurden, sondern von uns der Einfachheit halber akzeptiert wurden Daten zu präsentieren.

• Antwort: 49; 125,5; 117,17.

• A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. Veranstaltungen. Wahrscheinlichkeiten. Statistische Datenverarbeitung: Zusätzlich. Absätze für den Algebrakurs 7. – 9. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. 4. Aufl. – M.: Mnemosyne, 2006.-112 S.

• Makarychev Yu.N. Algebra: Elemente der Statistik und Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie: Lehrbuch. Ein Handbuch für Schüler der Klassen 7-9. Allgemeinbildung Institutionen / Yu.N. Makarychev, N.G. bearbeitet von S. A. Telyakovsky – 2. Aufl. – M.: Bildung, 2004.-78 S.

• M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova. Elemente der Statistik und Wahrscheinlichkeit: Ein Lehrbuch für die allgemeinbildenden Klassen 7-9. Institutionen. – M.: Bildung, 2004.-112 S.

Umordnungen. Formel für die Anzahl der Permutationen

Permutationen von N Elemente

Lass das Set X besteht aus N Elemente.

Definition. Platzierung ohne Wiederholung abN Elemente der MengeX Von N angerufen Permutation von N Elemente.

Beachten Sie, dass jede Permutation alle Elemente der Menge umfasstX , und zwar genau einmal. Das heißt, Permutationen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Elemente voneinander und können durch Permutation von Elementen voneinander erhalten werden (daher der Name).

Anzahl aller Permutationen vonN Elemente werden durch das Symbol gekennzeichnet .

Da Permutationen ein Sonderfall von Platzierungen ohne Wiederholungen sind, wenn , dann die Formel zum Ermitteln der Zahl wir erhalten aus Formel (2), indem wir darin substituieren :

Auf diese Weise,

(3)

Beispiel. Auf wie viele Arten können 5 Bücher in einem Regal platziert werden?

Lösung. Es gibt so viele Möglichkeiten, Bücher in einem Regal zu platzieren, wie es unterschiedliche Permutationen der fünf Elemente gibt: Wege.

Kommentar. Die Formeln (1)–(3) müssen nicht auswendig gelernt werden: Anwendungsprobleme können immer mit der Produktregel gelöst werden. Wenn Schüler Schwierigkeiten haben, kombinatorische Problemmodelle zu erstellen, ist es besser, die Menge der verwendeten Formeln und Regeln einzuschränken (damit weniger Fehler möglich sind). Zwar werden Probleme, die Permutationen und Formel (3) verwenden, normalerweise problemlos gelöst.

Aufgaben

1. F. Auf wie viele Arten können sie sich an der Kasse anstellen: 1) 3 Personen; 2) 5 Personen?

Lösung.

Verschiedene Möglichkeiten zur Anordnung von n Personen in einer Warteschlange unterscheiden sich lediglich in der Reihenfolge der Personenanordnung, d. h. es handelt sich um unterschiedliche Permutationen von n Elementen.

Drei Personen können in der Warteschlange P3 = 3 stehen! = 6 verschiedene Möglichkeiten.

Antwort: 1) 6 Möglichkeiten; 2) 120 Wege.

2. T. Auf wie viele Arten passen 4 Personen auf eine Viersitzer-Bank?

Lösung.

Die Anzahl der Personen ist gleich der Anzahl der Sitzplätze auf der Bank, also ist die Anzahl der Platzierungsmöglichkeiten gleich der Anzahl der Permutationen von 4 Elementen: P4 = 4! = 24.

Sie können nach der Produktregel argumentieren: Für die erste Person können Sie einen beliebigen der 4 Plätze auswählen, für den zweiten einen beliebigen der 3 verbleibenden, für den dritten einen beliebigen der 2 verbleibenden Plätze, der letzte nimmt 1 verbleibenden Platz ein ; es gibt alles = 24 verschiedene Möglichkeiten, 4 Personen auf einer Viererbank unterzubringen.

Antwort: 24 Möglichkeiten.

3. M. Bei Vova zum Mittagessen – erster, zweiter, dritter Gang und Kuchen. Er wird auf jeden Fall mit dem Kuchen beginnen und den Rest in zufälliger Reihenfolge essen. Finden Sie die Anzahl der möglichen Mittagsoptionen.

M-Probleme aus dem Lehrbuch. Handbücher von A.G. Mordkovich

T - Hrsg. S.A.Telyakovsky

F-M.V. Tkacheva

Lösung.

Nach dem Kuchen kann Vova eines von drei Gerichten auswählen, dann zwei und mit dem Rest abschließen. Gesamtzahl der möglichen Mittagsoptionen: =6.

Antwort: 6.

4. F. Wie viele verschiedene korrekte (aus der Sicht der russischen Sprache) Sätze können durch Ändern der Wortreihenfolge in einem Satz gebildet werden: 1) „Ich ging spazieren“; 2) „Eine Katze läuft im Hof“?

Lösung.

Im zweiten Satz muss die Präposition „in“ immer vor dem Substantiv „yard“ stehen, auf das sie sich bezieht. Wenn Sie also das Paar „im Hof“ als ein Wort zählen, können Sie die Anzahl der verschiedenen Permutationen von drei bedingten Wörtern ermitteln: P3 = 3! = 6. In diesem Fall können Sie also 6 richtige Sätze bilden.

Antwort: 1) 6; 2) 6.

5. Auf wie viele Arten können Sie die Buchstaben K, L, M, H verwenden, um die Eckpunkte eines Vierecks zu bezeichnen?

Lösung.

Wir gehen davon aus, dass die Eckpunkte des Vierecks nummeriert sind, jeder mit einer konstanten Nummer. Dann besteht das Problem darin, die Anzahl der verschiedenen Arten der Anordnung von 4 Buchstaben an 4 Stellen (Eckpunkten) zu zählen, d. h. die Anzahl der verschiedenen Permutationen zu zählen: P4 = 4! =24 Wege.

Antwort: 24 Möglichkeiten.

6. F. Vier Freunde kauften Kinokarten: für den 1. und 2. Platz in der ersten Reihe und für den 1. und 2. Platz in der zweiten Reihe. Auf wie viele Arten können Freunde diese vier Plätze im Kino einnehmen?

Lösung.

Vier Freunde können 4 verschiedene Plätze einnehmen P4 = 4! = 24 verschiedene Arten.

Antwort: 24 Möglichkeiten.

7. T. Der Kurier muss Pakete an 7 verschiedene Institutionen liefern. Wie viele Routen kann er wählen?

Lösung.

Unter der Route ist die Reihenfolge zu verstehen, in der der Kurier Institutionen besucht. Nummerieren wir die Institutionen von 1 bis 7, dann wird die Route als Folge von 7 Zahlen dargestellt, deren Reihenfolge sich ändern kann. Die Anzahl der Routen ist gleich der Anzahl der Permutationen von 7 Elementen: P7= 7! = 5.040.

Antwort: 5.040 Routen.

8. T. Wie viele Ausdrücke gibt es, die identisch gleich dem Produkt abcde sind, die man daraus durch Umordnung der Faktoren erhält?

Lösung.

Gegeben ist das Produkt von fünf verschiedenen Faktoren abcde, deren Reihenfolge sich ändern kann (bei einer Neuanordnung der Faktoren ändert sich das Produkt nicht).

Insgesamt ergibt sich P5 = 5! = 120 verschiedene Möglichkeiten, die fünf Multiplikatoren anzuordnen; Wir betrachten einen davon (abcde) als den ursprünglichen, die restlichen 119 Ausdrücke sind identisch mit diesem.

Antwort: 119 Ausdrücke.

9. T. Olga erinnert sich, dass die Telefonnummer ihrer Freundin mit den Zahlen 5, 7, 8 endet, aber sie hat vergessen, in welcher Reihenfolge diese Zahlen erscheinen. Geben Sie die größte Anzahl an Optionen an, die sie durchlaufen muss, um ihre Freundin zu erreichen.

Lösung.

Die letzten drei Ziffern einer Telefonnummer können in einem von P3 =3 liegen! =6 mögliche Reihenfolgen, von denen nur eine richtig ist. Olga kann sofort die richtige Option eingeben, sie kann sie an dritter Stelle usw. eingeben. Sie muss die meisten Optionen eingeben, wenn sich herausstellt, dass die richtige Option die letzte, d. h. sechste, ist.

Antwort: 6 Optionen.

10. T. Wie viele sechsstellige Zahlen (ohne sich wiederholende Zahlen) können aus den Zahlen gebildet werden: a) 1,2, 5, 6, 7, 8; b) 0, 2, 5, 6, 7, 8? Lösung.

a) Gegeben sind 6 Ziffern: 1, 2, 5, 6, 7, 8. Aus ihnen können Sie nur durch Umordnen dieser Ziffern verschiedene sechsstellige Zahlen bilden. Die Anzahl der verschiedenen sechsstelligen Zahlen beträgt P6 = 6! = 720.

b) Gegeben seien 6 Ziffern: 0, 2, 5, 6, 7, 8, daraus müssen Sie verschiedene sechsstellige Zahlen bilden. Der Unterschied zum vorherigen Problem besteht darin, dass Null nicht an erster Stelle stehen kann.

Sie können die Produktregel direkt anwenden: Sie können eine beliebige der 5 Ziffern (außer Null) für die erste Stelle wählen; an zweiter Stelle - eine der 5 verbleibenden Ziffern (4 sind „ungleich Null“ und jetzt zählen wir Null); an dritter Stelle – eine der 4 Ziffern, die nach den ersten beiden Auswahlmöglichkeiten übrig bleiben usw. Die Gesamtzahl der Optionen beträgt: = 600.

Sie können die Methode zum Eliminieren unnötiger Optionen verwenden. 6 Ziffern können neu angeordnet werden P6 = 6! = 720 verschiedene Arten. Unter diesen Methoden wird es solche geben, bei denen der erste Platz Null ist, was inakzeptabel ist. Zählen wir die Anzahl dieser ungültigen Optionen. Wenn an der ersten Stelle eine Null steht (sie ist festgelegt), können die nächsten fünf Stellen „Nicht-Null“-Zahlen 2, 5, 6, 7, 8 in beliebiger Reihenfolge enthalten kann an 5 Stellen platziert werden ist gleich P5 = 5! = 120, d. h. die Anzahl der Permutationen von Zahlen beginnend bei Null beträgt 120. Die erforderliche Anzahl verschiedener sechsstelliger Zahlen ist in diesem Fall gleich: P6 - P5 = 720 - 120 = 600.

Antwort: a) 720; b) 600 Zahlen.

11. T. Wie viele der vierstelligen Zahlen (ohne sich wiederholende Zahlen), die aus den Zahlen 3, 5, 7, 9 bestehen, sind diejenigen, die: a) mit der Zahl 3 beginnen;

b) sind Vielfache von 15?

Lösung.

a) Aus den Zahlen 3, 5, 7, 9 bilden wir vierstellige Zahlen, beginnend mit der Zahl 3.

Wir fixieren die Nummer 3 an erster Stelle; dann auf die restlichen dreiZahlen 5, 7 9 können in beliebiger Reihenfolge in beliebiger Reihenfolge platziert werden. Die Gesamtzahl der Optionen für ihren Standort ist P 3 = 3!=6. Es wird so viele verschiedene vierstellige Zahlen geben, die sich zusammensetzenvorgegebenen Zahlen und beginnend mit der Zahl 3.

b) Beachten Sie, dass die Summe dieser Ziffern 3 + 5 + 7 + 9 = 24 durch 3 teilbar ist. Daher ist jede vierstellige Zahl, die aus diesen Ziffern besteht, durch 3 teilbar. Damit sind einige dieser Zahlen teilbar um 15 ist es notwendig, dass sie mit der Zahl 5 enden.

Wir fixieren die Zahl 5 an letzter Stelle; die restlichen 3 Ziffern können an drei Stellen vor 5 Rz = 3 platziert werden! = 6 verschiedene Möglichkeiten. Aus diesen Zahlen werden so viele verschiedene vierstellige Zahlen entstehen, die durch 15 teilbar sind.

Antwort: a) 6 Zahlen; b) 6 Zahlen.

12. T. Finden Sie die Summe der Ziffern aller vierstelligen Zahlen, die aus den Zahlen 1, 3, 5, 7 gebildet werden können (ohne sie zu wiederholen).

Lösung.

Jede vierstellige Zahl, die aus den Ziffern 1, 3, 5, 7 (ohne Wiederholung) besteht, hat eine Ziffernsumme von 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

Aus diesen Zahlen können Sie P4 = 4 machen! = 24 verschiedene Zahlen, die sich nur in der Reihenfolge der Ziffern unterscheiden. Die Summe der Ziffern aller dieser Zahlen ist gleich

16 = 384.

Antwort: 384.

13. T. Sieben Jungen, darunter Oleg und Igor, stehen in einer Reihe. Finden Sie die Anzahl möglicher Kombinationen, wenn:

a) Oleg sollte am Ende der Reihe sein;

b) Oleg sollte am Anfang der Reihe stehen und Igor sollte am Ende der Reihe stehen;

c) Oleg und Igor sollten nebeneinander stehen.
Lösung.

a) Es gibt nur 7 Jungen auf 7 Plätzen, aber ein Element ist fest und kann nicht neu angeordnet werden (Oleg steht am Ende der Reihe). Die Anzahl der möglichen Kombinationen entspricht der Anzahl der Permutationen der 6 Jungen, die vor Oleg stehen: P6=6!=720.

Paar als einzelnes Element, neu angeordnet mit den anderen fünf Elementen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen beträgt dann P6 = 6! = 720.

Lassen Sie Oleg und Igor nun in IO-Reihenfolge Seite an Seite stehen. Dann bekommen wir noch einmal P6 = 6! = 720 weitere Kombinationen.

Die Gesamtzahl der Kombinationen, in denen Oleg und Igor nebeneinander stehen (in beliebiger Reihenfolge), beträgt 720 + 720 = 1.440.

Antwort: a) 720; b) 120; c) 1.440 Kombinationen.

14. M. Elf Fußballspieler stellen sich vor Spielbeginn auf. Der erste ist der Kapitän, der zweite der Torwart und der Rest ist zufällig. Wie viele Bauweisen gibt es?

Lösung.

Nach dem Kapitän und dem Torwart kann der dritte Spieler einen der 9 verbleibenden Plätze wählen, den nächsten aus 8 usw. Die Gesamtzahl der Bauweisen unter Verwendung der Produktregel ist gleich:

1 =362.880, oder P 9 = 9! = 362.880.

Antwort: 362.880.

15. M. Auf wie viele Arten können die Eckpunkte eines Würfels mit den Buchstaben A, B, C, D, E, F, G, K bezeichnet werden?

Lösung.

Für den ersten Scheitelpunkt können Sie einen der 8 Buchstaben wählen, für den zweiten einen der restlichen 7 usw. Die Gesamtzahl der Wege gemäß der Produktregel beträgt=40 320, oder P8 = 8!

Antwort: 40.320.

16. T. Der Stundenplan für Montag sieht sechs Lektionen vor: Algebra, Geometrie, Biologie, Geschichte, Sport, Chemie. Auf wie viele Arten kann man für diesen Tag einen Stundenplan erstellen, sodass zwei Mathematikstunden nebeneinander liegen?

Lösung.

Insgesamt gibt es 6 Lektionen, wovon zwei Mathematik-Lektionen nebeneinander liegen sollten.

Wir „kleben“ zwei Elemente (Algebra und Geometrie) zuerst in der Reihenfolge AG, dann in der Reihenfolge GA. Für jede „Klebe“-Option erhalten wir P5 = 5! = 120 Zeitplanoptionen. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten zum Erstellen eines Zeitplans beträgt 120 (AG) + 120 (GA) = 240.

Antwort: 240 Möglichkeiten.

17. T. Wie viele Permutationen der Buchstaben des Wortes „Kegel“ gibt es, in denen die Buchstaben K, O, N nebeneinander stehen?

Lösung.

Gegeben sind 5 Buchstaben, von denen drei nebeneinander stehen müssen. Drei Buchstaben K, O, N können neben einem von P3 = 3 stehen! = 6 Wege. Für jede Methode zum „Kleben“ der Buchstaben K, O, N erhalten wir P3 = 3! = 6 Arten der Buchstabenpermutation, „Kleben“, U, S. Die Gesamtzahl der verschiedenen Buchstabenpermutationen des Wortes „Kegel“, bei dem die Buchstaben K, O, N nebeneinander stehen, beträgt 6 6 = 36 Permutationen - Anagramme.

Antwort: 36 Anagramme.

18. T. Auf wie viele Arten können 5 Jungen und 5 Mädchen die Plätze 1 bis 10 in derselben Reihe im Theater belegen? Auf wie viele Arten können sie dies tun, wenn die Jungen auf ungeraden Sitzplätzen und die Mädchen auf geraden Sitzplätzen sitzen?

Lösung.

Jede Variante der Jungenanordnung kann mit jeder Variante der Mädchenanordnung kombiniert werden, daher beträgt die Gesamtzahl der Sitzmöglichkeiten für Kinder laut Produktregel in diesem Fall 120 20= 14400.

Antwort: 3.628.800 Wege; 14.400 Wege.

19. T. Fünf Jungen und vier Mädchen wollen auf einer Neunsitzerbank sitzen, sodass jedes Mädchen zwischen zwei Jungen sitzt. Auf wie viele Arten können sie dies tun?

Lösung.

Je nach Aufgabenstellung müssen sich Jungen und Mädchen abwechseln, d. h. Mädchen dürfen nur auf geraden Plätzen sitzen, Jungen nur auf ungeraden Plätzen. Daher können Mädchen nur mit Mädchen den Platz tauschen und Jungen nur mit Jungen. Vier Mädchen können auf vier geraden Plätzen sitzen P4 = 4! = 24 Wege und fünf Jungen an fünf ungeraden Orten P5 = 5! = 120 Wege.

Jede Platzierungsart für Mädchen kann mit jeder Platzierungsart für Jungen kombiniert werden, daher ist die Gesamtzahl der Platzierungsarten gemäß der Produktregel gleich: P420 = 2.880 Wege.

Antwort: 2.880 Wege.

20. F. Faktorisieren Sie die Zahlen 30 und 210 in Primfaktoren. Auf wie viele Arten kann die Zahl als Produkt einfacher Faktoren geschrieben werden: 1) 30; 2) 210?

Lösung.

Zerlegen wir diese Zahlen in Primfaktoren:

30 = 2 ; 210 = 2 .

Die Zahl 30 kann als Produkt von Primfaktoren geschrieben werden

R 3 = 3! = 6 verschiedene Möglichkeiten (durch Umordnen der Faktoren).

Die Zahl 210 kann als Produkt von Primzahlen geschrieben werden
MultiplikatorenR 4 = 4! = 24 verschiedene Arten.

Antwort: 1) 6 Möglichkeiten; 2) 24 Wege.

21. F. Wie viele verschiedene gerade vierstellige Zahlen mit sich nicht wiederholenden Ziffern können mit den Zahlen 1, 2, 3, 5 geschrieben werden?

Lösung.

Damit eine Zahl gerade ist, muss sie mit einer geraden Ziffer enden, also mit 2. Fixieren wir die beiden an der letzten Stelle, die restlichen drei Ziffern müssen in beliebiger Reihenfolge davor stehen. Die Anzahl der verschiedenen Permutationen von 3 Ziffern beträgt P3 = 3! = 6; Daher gibt es auch 6 verschiedene gerade vierstellige Zahlen (die Zahl 2 wird zu jeder Permutation von drei Ziffern hinzugefügt).

Antwort: 6 Zahlen.

22. F. Wie viele verschiedene ungerade fünfstellige Zahlen, die keine identischen Ziffern haben, können mit den Ziffern 1,2, 4, 6, 8 geschrieben werden?

Lösung.

Damit eine zusammengesetzte Zahl ungerade ist, muss sie mit einer ungeraden Ziffer, also Eins, enden. Die restlichen 4 Ziffern können neu angeordnet werden, wobei jede Neuanordnung vor der Einheit steht.

Die Gesamtzahl der ungeraden fünfstelligen Zahlen ist gleich der Anzahl der Permutationen: P4 = 4! =24.

23. F. Wie viele verschiedene sechsstellige Zahlen mit sich nicht wiederholenden Ziffern können mit den Ziffern 1 geschrieben werden; 2 3, 4, 5, 6, wenn: 1) die Zahl mit 56 beginnen muss; 2) Sollten die Zahlen 5 und 6 nebeneinander stehen?

Lösung.

Wir fixieren zwei Ziffern 5 und 6 am Anfang der Zahl und fügen ihnen verschiedene Permutationen aus den 4 verbleibenden Ziffern hinzu; die Anzahl der verschiedenen sechsstelligen Zahlen ist gleich: P4 = 4! = 24.

Die Gesamtzahl verschiedener sechsstelliger Zahlen, in denen die Ziffern 5 und 6 (in beliebiger Reihenfolge) nebeneinander stehen, beträgt 120 + 120 = 240 Zahlen. (Die Optionen 56 und 65 sind inkompatibel und können nicht gleichzeitig realisiert werden; wir wenden die kombinatorische Summenregel an.)

Antwort: 1) 24.; 2) 240 Zahlen.

24. F. Wie viele verschiedene gerade vierstellige Zahlen, die keine identischen Ziffern haben, können aus den Zahlen 1,2,3,4 gebildet werden?

Lösung.

Eine gerade Zahl muss mit einer geraden Ziffer enden. Wir fixieren die Zahl 2 an der letzten Stelle, dann können die 3 vorherigen Zahlen neu angeordnet werden P3 = 3! = 6 verschiedene Möglichkeiten; Wir erhalten 6 Zahlen mit einer Zwei am Ende. Fixieren wir an letzter Stelle die Zahl 4, erhalten wir P3 = 3! = 6 verschiedene Permutationen der drei vorhergehenden Ziffern und 6 Zahlen, die auf 4 enden.

Die Gesamtzahl der geraden vierstelligen Zahlen beträgt 6 + 6 = 12 verschiedene Zahlen.

Antwort: 12 Zahlen.

Kommentar. Wir ermitteln die Gesamtzahl der Optionen mithilfe der kombinatorischen Summenregel (6 Optionen für Zahlen, die auf zwei enden, 6 Optionen für Zahlen, die auf vier enden; die Methoden zum Konstruieren von Zahlen mit einer Zwei und einer Vier am Ende schließen sich gegenseitig aus und sind inkompatibel. daher ist die Gesamtzahl der Optionen gleich der Summe der Anzahl der Optionen mit einer Zwei am Ende und der Anzahl der Optionen mit einer 4 am Ende). Der Eintrag 6 + 6 = 12 spiegelt die Gründe unseres Handelns besser wider als der Eintrag P.

25. F. Auf wie viele Arten kann die Zahl 1) 12 als Produkt von Primfaktoren geschrieben werden? 2) 24; 3) 120?

Lösung.

Die Besonderheit dieses Problems besteht darin, dass es bei der Entwicklung jeder dieser Zahlen identische, sich wiederholende Faktoren gibt. Bei der Bildung verschiedener Permutationen aus Faktoren erhalten wir keine neue Permutation, wenn wir zwei beliebige identische Faktoren vertauschen.

1) Die Zahl 12 wird in drei Primfaktoren zerlegt, von denen zwei identisch sind: 12 = .

Wenn alle Faktoren unterschiedlich wären, könnten sie im Produkt P3 = 3 neu angeordnet werden! = 6 verschiedene Möglichkeiten. Um diese Methoden aufzulisten, werden wir zwei Zweier bedingt „unterscheiden“ und eine davon hervorheben: 12 = 2.

Dann sind folgende 6 Varianten der Zerlegung in Einwohner möglich:

Aber tatsächlich hat das Unterstreichen von Zahlen in der Mathematik keine Bedeutung, daher sehen die resultierenden 6 Permutationen in normaler Schreibweise wie folgt aus:

d.h. tatsächlich haben wir nicht 6, sondern 3 verschiedene Permutationen erhalten. Die Anzahl der Permutationen wurde halbiert, da wir die Permutationen zweier Zweier untereinander nicht berücksichtigen müssen.

Bezeichnen wir P x die erforderliche Anzahl von Permutationen dreier Elemente, darunter zwei identische; dann kann das erhaltene Ergebnis wie folgt geschrieben werden: Рз = Р X Aber 2 ist die Anzahl der verschiedenen Permutationen zweier Elemente, also 2 == 2! = P 2, daher P3, = P x P 2, daher P x ​​= . (Dies ist die Formel für die Anzahl der Permutationen mit Wiederholungen).

Man kann anders argumentieren, nur basierend auf der kombinatorischen Produktregel.

Um ein Produkt aus drei Faktoren zu erstellen, wählen Sie zunächst einen Platz für Faktor 3; Dies kann auf drei Arten erfolgen. Danach füllen wir beide verbleibenden Felder mit Zweien; Dies kann auf eine Weise erfolgen. Nach der Produktregel beträgt die Gesamtzahl der Wege: 3-1 =3., Р x =20.

Zweiter Weg. Wenn wir ein Produkt aus fünf Faktoren zusammenstellen, wählen wir zuerst einen Platz für die fünf (5 Wege), dann für die drei (4 Wege) und füllen die restlichen 3 Plätze mit Zweien (1 Weg); nach der Produktregel 5 4 1 = 20.

Antwort: 1) 3; 2) 4; 3) 20.

26. F. Auf wie viele Arten können 6 Felder so gefärbt werden, dass 3 Felder rot sind und die restlichen 3 weiß, schwarz oder grün (jedes mit seiner eigenen Farbe) bemalt sind?

Lösung.

Permutationen von 6 Elementen, von denen drei identisch sind:

Ansonsten: Um mit Weiß zu malen, können Sie eine von 6 Zellen auswählen, Schwarz – aus 5, Grün – aus 4; Die drei verbleibenden Zellen sind rot eingefärbt. Gesamtzahl der Wege: 6 5 4 1 = 120.

Antwort: 120 Möglichkeiten.

27.T. Ein Fußgänger muss einen Block nach Norden und drei Blocks nach Westen gehen. Notieren Sie alle möglichen Fußgängerrouten.= 4.

Antwort: 4 Routen.

28. M. a) An den Türen von vier identischen Büros müssen Schilder mit den Namen von vier stellvertretenden Direktoren angebracht werden. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

b) In der 9. Klasse „A“ gibt es am Mittwoch 5 Unterrichtsstunden: Algebra, Geometrie, Sport, Russisch, Englisch. Wie viele Zeitplanoptionen können Sie für diesen Tag erstellen?

c) Auf wie viele Arten können sich vier Diebe nacheinander in alle vier Richtungen zerstreuen?

d) Der Adjutant muss fünf Exemplare des Generalbefehls an fünf Regimenter liefern. Auf wie viele Arten kann er den Lieferweg für Kopien der Bestellung wählen?

Lösung.

a) Für die erste Platte können Sie einen von 4 Schränken auswählen,
Für den zweiten – einer der drei verbleibenden, für den dritten – einer der beiden verbleibenden, für den vierten – einer der verbleibenden; nach der Regel
Produkt, die Gesamtzahl der Wege ist: 4 3 2 1 = 24, oder P4 = 4! = 24.= 120, oder P5 = 5! = 120.

Antwort: a) 24; b) 120; c) 24; d) 120.

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