Ungefähre Werte. Genaue und ungefähre Mengenwerte

Für moderne Probleme ist es notwendig, komplexe mathematische Apparate und entwickelte Methoden zu deren Lösung einzusetzen. Dabei stößt man häufig auf Probleme, für die eine analytische Lösung, d. h. Eine Lösung in Form eines analytischen Ausdrucks, der die Ausgangsdaten mit den erforderlichen Ergebnissen verbindet, ist entweder völlig unmöglich oder wird durch so umständliche Formeln ausgedrückt, dass ihre Verwendung für praktische Zwecke unpraktisch ist.

Dabei kommen numerische Lösungsverfahren zum Einsatz, die es ermöglichen, ganz einfach eine numerische Lösung des gestellten Problems zu erhalten. Numerische Methoden werden mithilfe von Rechenalgorithmen implementiert.

Die gesamte Vielfalt numerischer Verfahren gliedert sich in zwei Gruppen:

Exakt – Gehen Sie davon aus, dass bei genauer Durchführung der Berechnungen mit einer endlichen Anzahl arithmetischer und logischer Operationen genaue Werte der gewünschten Größen ermittelt werden können.

Näherungswerte – die selbst unter der Annahme, dass die Berechnungen ohne Rundung durchgeführt werden, eine Lösung des Problems nur mit einer bestimmten Genauigkeit ermöglichen.

1. Größe und Zahl. Eine Menge ist etwas, das als Zahl in bestimmten Einheiten ausgedrückt werden kann.

Wenn wir vom Wert einer Größe sprechen, meinen wir eine bestimmte Zahl, den sogenannten Zahlenwert der Größe, und ihre Maßeinheit.

Somit ist eine Größe ein Merkmal einer Eigenschaft eines Objekts oder Phänomens, das vielen Objekten gemeinsam ist, aber für jedes von ihnen individuelle Werte hat.

Mengen können konstant oder variabel sein. Wenn eine Größe unter bestimmten Bedingungen nur einen Wert annimmt und diesen nicht ändern kann, wird sie als Konstante bezeichnet. Wenn sie jedoch verschiedene Werte annehmen kann, wird sie als Variable bezeichnet. Somit ist die Beschleunigung des freien Falls eines Körpers an einem bestimmten Ort auf der Erdoberfläche eine konstante Größe, die einen einzigen numerischen Wert annimmt g = 9,81... m/s2, während der Weg s von einem materiellen Punkt während seines zurückgelegt wird Bewegung ist eine variable Größe.

2. Näherungswerte von Zahlen. Den Wert einer Größe, an deren Wahrheit wir nicht zweifeln, nennt man exakt. Wenn man jedoch nach dem Wert einer Größe sucht, erhält man oft nur ihren ungefähren Wert. In der Rechenpraxis hat man es am häufigsten mit Näherungswerten von Zahlen zu tun. Somit ist p eine exakte Zahl, aber aufgrund seiner Irrationalität kann nur sein Näherungswert verwendet werden.

Bei vielen Problemen werden aufgrund der Komplexität und oft der Unmöglichkeit, exakte Lösungen zu erhalten, Näherungslösungsmethoden verwendet, dazu gehören: Näherungslösung von Gleichungen, Interpolation von Funktionen, Näherungsberechnung von Integralen usw.

Die Hauptanforderung an Näherungsberechnungen ist die Einhaltung der angegebenen Genauigkeit der Zwischenberechnungen und des Endergebnisses. Gleichzeitig ist es ebenso inakzeptabel, die Fehler (Irrtümer) durch ungerechtfertigte Aufrauhungen der Berechnungen zu erhöhen und redundante Zahlen beizubehalten, die nicht der tatsächlichen Genauigkeit entsprechen.

Es gibt zwei Klassen von Fehlern, die sich aus Berechnungen und Rundungen von Zahlen ergeben – absolute und relative.

1. Absoluter Fehler (Fehler).

Führen wir die folgende Notation ein:

Sei A der genaue Wert einer bestimmten Größe. Schreiben Sie a » A wir werden lesen „a ist ungefähr gleich A“. Manchmal schreiben wir A = a, was bedeutet, dass wir von ungefährer Gleichheit sprechen.

Wenn bekannt ist, dass a< А, то а называют ein ungefährer Wert von A mit einem Nachteil. Wenn a > A, dann heißt a ungefährer Wert von A mit Überschuss.

Die Differenz zwischen dem genauen und dem Näherungswert einer Größe nennt man Näherungsfehler und wird mit D bezeichnet, d.h.

D = A – a (1)

Der Näherungsfehler D kann entweder eine positive oder eine negative Zahl sein.

Um den Unterschied zwischen einem Näherungswert einer Größe und einem exakten Wert zu charakterisieren, reicht es oft aus, den absoluten Wert der Differenz zwischen dem genauen und dem Näherungswert anzugeben.

Der absolute Wert der Differenz zwischen den ungefähren Werten A und genau A die Werte einer Zahl werden aufgerufen absoluter Fehler (Fehler) der Näherung und mit D bezeichnet A:

D A = ½ A – A½ (2)

Beispiel 1. Beim Messen eines Segments l Wir haben ein Lineal verwendet, dessen Skalenteilung 0,5 cm beträgt. Wir haben einen ungefähren Wert für die Länge des Segments erhalten A= 204 cm.

Es ist klar, dass es bei der Messung zu einem Fehler von höchstens 0,5 cm kommen konnte, d.h. Der absolute Messfehler beträgt nicht mehr als 0,5 cm.

Normalerweise ist der absolute Fehler unbekannt, da der genaue Wert der Zahl A unbekannt ist. Daher jeder Bewertung Absoluter Fehler:

D A <= DA Vor. (3)

wo d und davor. – maximaler Fehler (Anzahl, mehr Null), gegeben unter Berücksichtigung der Zuverlässigkeit, mit der die Zahl a bekannt ist.

Der maximale absolute Fehler wird auch genannt Fehlermarge. Im gegebenen Beispiel gilt also:
D und davor. = 0,5 cm.

Aus (3) erhalten wir: D A = ½ A – A½<= DA Vor. . und dann

A-D A Vor. ≤ A≤ A+D A Vor. . (4)

Bedeutet, Anzeige A Vor. wird ein ungefährer Wert sein A mit einem Nachteil, und a + D A Vor – ungefährer Wert A in Hülle und Fülle. Es wird auch die Kurzschreibweise verwendet: A= A±D A Vor (5)

Aus der Definition des maximalen absoluten Fehlers folgt, dass die Zahlen D A Vor, die Ungleichung (3) erfüllt, wird es eine unendliche Menge geben. In der Praxis versuchen sie zu wählen möglicherweise weniger aus Zahlen D und davor, die die Ungleichung D erfüllt A <= DA Vor.

Beispiel 2. Bestimmen wir den maximalen absoluten Fehler der Zahl a=3,14, angenommen als Näherungswert der Zahl π.

Es ist bekannt, dass 3,14<π<3,15. Es folgt dem

|A – π |< 0,01.

Der maximale absolute Fehler kann als Zahl D angenommen werden A = 0,01.

Wenn wir das berücksichtigen 3,14<π<3,142 , dann bekommen wir eine bessere Bewertung: D A= 0,002 also π ≈3,14 ±0,002.

Relativer Fehler (Fehler). Um die Qualität der Messung zu charakterisieren, reicht es nicht aus, nur den absoluten Fehler zu kennen.

Wenn man beispielsweise zwei Körper wiegt, erhält man folgende Ergebnisse:

P 1 = 240,3 ±0,1 g.

P 2 = 3,8 ±0,1 g.

Obwohl die absoluten Messfehler beider Ergebnisse gleich sind, ist die Messqualität im ersten Fall besser als im zweiten. Es ist durch einen relativen Fehler gekennzeichnet.

Relativer Fehler (Error) Annäherung an die Zahl A wird als absolute Fehlerquote bezeichnet D a Annäherung an den Absolutwert der Zahl A:

Da der genaue Wert einer Größe meist unbekannt ist, wird er durch einen Näherungswert ersetzt und dann:

Maximaler relativer Fehler oder Grenze des relativen Approximationsfehlers, heißt die Zahl d und davor>0, so dass:

D A<= D und davor

Der maximale relative Fehler kann offensichtlich als Verhältnis des maximalen absoluten Fehlers zum absoluten Wert des Näherungswerts angesehen werden:

Aus (9) ergibt sich leicht die folgende wichtige Beziehung:

∆und davor = |A| D und davor

Der maximale relative Fehler wird normalerweise als Prozentsatz ausgedrückt:

Beispiel. Für die Berechnung wird angenommen, dass die Basis des natürlichen Logarithmus gleich ist e=2,72. Wir haben den genauen Wert angenommen e t = 2,7183. Finden Sie die absoluten und relativen Fehler der ungefähren Zahl.

D e = ½ e – e t ½=0,0017;

.

Die Größe des relativen Fehlers bleibt bei einer proportionalen Änderung der ungefährsten Zahl und ihres absoluten Fehlers unverändert. Somit sind für die Zahl 634,7, berechnet mit einem absoluten Fehler von D = 1,3, und für die Zahl 6347 mit einem Fehler von D = 13 die relativen Fehler gleich: D= 0,2.

Einführung

Absoluter Fehler- ist eine Schätzung des absoluten Messfehlers. Auf unterschiedliche Weise berechnet. Die Berechnungsmethode wird durch die Verteilung der Zufallsvariablen bestimmt. Dementsprechend kann die Größe des absoluten Fehlers je nach Verteilung der Zufallsvariablen unterschiedlich sein. Wenn der gemessene Wert der wahre Wert ist, muss die Ungleichung mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nahe 1 erfüllt sein. Wenn eine Zufallsvariable nach einem Normalgesetz verteilt ist, wird ihre Standardabweichung normalerweise als absoluter Fehler angenommen. Der absolute Fehler wird in denselben Einheiten gemessen wie die Größe selbst.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Größe zusammen mit ihrem absoluten Fehler anzugeben.

· Normalerweise wird die Notation mit dem ±-Zeichen verwendet. Zum Beispiel der 1983 aufgestellte 100-Meter-Rekord 9,930 ± 0,005 s.

· Um mit sehr hoher Genauigkeit gemessene Größen zu erfassen, wird eine andere Schreibweise verwendet: Die Zahlen, die dem Fehler der letzten Ziffern der Mantisse entsprechen, werden in Klammern hinzugefügt. Der gemessene Wert der Boltzmann-Konstante beträgt beispielsweise 1.380 6488 (13)?10 ?23 J/K, was auch viel länger geschrieben werden kann als 1,380 6488?10 ?23 ±0,000 0013?10 ?23 J/K.

Relativer Fehler- Messfehler, ausgedrückt als Verhältnis des absoluten Messfehlers zum tatsächlichen oder Durchschnittswert des Messwerts (RMG 29-99):.

Der relative Fehler ist eine dimensionslose Größe oder wird in Prozent gemessen.

Annäherung

Mit Übermaß und Unzulänglichkeit? Bei Berechnungen muss man sich oft mit Näherungszahlen auseinandersetzen. Lassen A- der genaue Wert einer bestimmten Menge, im Folgenden genannt genaue Zahl A. Unter dem ungefähren Wert A, oder ungefähre Zahlen angerufene Nummer A und ersetzt den genauen Wert der Menge A. Wenn A< A, Das A nennt man den ungefähren Wert der Zahl Und aus Mangel. Wenn A> A,- Das durch Überschuss. Beispielsweise ist 3,14 eine Annäherung an die Zahl R bei Mangel und 3,15 - bei Überschuss. Um den Genauigkeitsgrad dieser Näherung zu charakterisieren, wird das Konzept verwendet Fehler oder Fehler.

Genauigkeit D A ungefähre Zahl A wird als Differenz der Form bezeichnet

D a = A-A,

Wo A- die entsprechende genaue Zahl.

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Länge des Segments AB zwischen 6 cm und 7 cm beträgt.

Dies bedeutet, dass 6 ein ungefährer Wert der Länge des Segments AB (in Zentimetern) > bei einem Mangel ist und 7 bei einem Überschuss.

Wenn wir die Länge des Segments mit dem Buchstaben y bezeichnen, erhalten wir: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина Segment AB (siehe Abb. 149) liegt näher bei 6 cm als bei 7 cm. Es entspricht ungefähr 6 cm. Man sagt, dass die Zahl 6 durch Aufrunden der Länge des Segments auf ganze Zahlen erhalten wurde.

Absoluter Wert Unterschiede zwischen dem ungefähren und dem genauen (wahren) Wert einer Größe bezeichnet man Absoluter Fehler ungefährer Wert. Zum Beispiel, wenn die genaue Zahl 1,214 Wenn wir auf das nächste Zehntel runden, erhalten wir eine ungefähre Zahl 1,2 . In diesem Fall beträgt der absolute Fehler der ungefähren Zahl 1,214 – 1,2 = 0,014 .

In den meisten Fällen ist der genaue Wert des betrachteten Wertes jedoch unbekannt, sondern nur ein ungefährer Wert. Dann ist der absolute Fehler unbekannt. In diesen Fällen angeben Grenze, die es nicht überschreitet. Diese Nummer wird angerufen Begrenzung des absoluten Fehlers. Sie sagen, dass der genaue Wert einer Zahl ihrem Näherungswert mit einem Fehler entspricht, der kleiner als der Grenzfehler ist. Zum Beispiel, Nummer 23,71 ist ein ungefährer Wert der Zahl 23,7125 bis zu 0,01 , da der absolute Näherungsfehler gleich ist 0,0025 und weniger 0,01 . Hier ist der begrenzende absolute Fehler gleich 0,01 .*

(* Absolut Der Fehler kann sowohl positiv als auch negativ sein. Zum Beispiel, 1,68 ≈ 1,7 . Der absolute Fehler beträgt 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Grenze der Fehler ist immer positiv).

Grenzabsoluter Fehler der ungefähren Zahl " A » wird durch das Symbol angezeigt Δ A . Aufzeichnen

x ≈ A ( Δ A)

ist wie folgt zu verstehen: der genaue Wert der Menge X liegt zwischen den Zahlen A +Δ A Und A –Δ A, die entsprechend heißen unten Und Höchstgrenze X und bezeichnen N G X Und IN G X .

Zum Beispiel, Wenn X≈ 2,3 ( 0,1), Das 2,2 < X < 2,4 .

Im Gegenteil, wenn 7,3 < X < 7,4, Das X≈ 7,35 ( 0,05).

Absoluter oder marginaler absoluter Fehler Nicht charakterisieren die Qualität der durchgeführten Messung. Abhängig von der Zahl, mit der der Messwert ausgedrückt wird, kann der gleiche absolute Fehler als signifikant und unbedeutend angesehen werden.

Zum Beispiel Wenn wir die Entfernung zwischen zwei Städten mit einer Genauigkeit von einem Kilometer messen, dann ist diese Genauigkeit für diese Messung völlig ausreichend, aber gleichzeitig ist diese Genauigkeit bei der Messung der Entfernung zwischen zwei Häusern in derselben Straße inakzeptabel.

Folglich hängt die Genauigkeit des Näherungswerts einer Größe nicht nur von der Größe des absoluten Fehlers ab, sondern auch vom Wert der gemessenen Größe. Deshalb Das Maß für die Genauigkeit ist der relative Fehler.

Relativer Fehler heißt das Verhältnis des absoluten Fehlers zum Wert der Näherungszahl. Das Verhältnis des begrenzenden absoluten Fehlers zur ungefähren Zahl wird aufgerufen Begrenzen Sie den relativen Fehler; bezeichne es so: Δ a/a. Relative und marginale relative Fehler werden normalerweise ausgedrückt als in Prozent.

Zum Beispiel, wenn Messungen zeigen, dass der Abstand zwischen zwei Punkten größer ist 12,3 km, aber weniger 12,7 km, dann für ungefähr seine Bedeutung wird akzeptiert arithmetische Mittel diese beiden Zahlen, d.h. ihre die Hälfte der Summe, Dann Grenze der absolute Fehler ist halbe Unterschiede diese Nummern. In diesem Fall X≈ 12,5 ( 0,2). Hier ist die Grenze absolut Der Fehler ist gleich 0,2 km und die Grenze

1. Die Zahlen sind exakt und ungefähr. Die Zahlen, denen wir in der Praxis begegnen, sind zweierlei Art. Manche geben den wahren Wert der Menge an, andere nur Näherungswerte. Die ersten heißen exakt, die zweiten ungefähr. In den meisten Fällen ist es praktischer, eine ungefähre Zahl anstelle einer genauen Zahl zu verwenden, insbesondere da es in vielen Fällen unmöglich ist, überhaupt eine genaue Zahl zu finden.

Die Ergebnisse von Operationen mit Zahlen ergeben: mit Näherungszahlen, Näherungszahlen. Zum Beispiel. Während der Epidemie leiden 60 % der Einwohner von St. Petersburg an der Grippe. Das sind etwa 3 Millionen Menschen. mit genauen Zahlen genaue Zahlen Zum Beispiel. Im Vorlesungssaal Mathematik sind 65 Personen. ungefähre Zahlen Zum Beispiel. Die durchschnittliche Körpertemperatur des Patienten beträgt tagsüber 37,3: morgens: 37,2; Tag:36,8; Abend38.

Die Theorie der Näherungsberechnungen ermöglicht: 1) Kenntnis des Genauigkeitsgrades der Daten, Beurteilung des Genauigkeitsgrades der Ergebnisse; 2) Daten mit einem angemessenen Genauigkeitsgrad erfassen, der ausreicht, um die erforderliche Genauigkeit des Ergebnisses sicherzustellen; 3) Rationalisieren Sie den Berechnungsprozess und befreien Sie ihn von Berechnungen, die die Genauigkeit des Ergebnisses nicht beeinträchtigen.

1) Wenn die erste (links) der verworfenen Ziffern kleiner als 5 ist, wird die letzte verbleibende Ziffer nicht geändert (abgerundet); 2) Wenn die erste zu verwerfende Ziffer größer als 5 oder gleich 5 ist, wird die letzte verbleibende Ziffer um eins erhöht (Rundung mit Überschuss). Rundung: a) auf Zehntel 12,34 12,3; b) bis Hundertstel 3,2465 3,25; 1038,79. c) in Tausendstel 3,4335 3,434. d) bis zu Tausenden; Berücksichtigt werden:

Die in der Medizin am häufigsten gemessenen Größen sind: Masse m, Länge l, Prozessgeschwindigkeit v, Zeit t, Temperatur t, Volumen V usw. Eine physikalische Größe zu messen bedeutet, sie mit einer homogenen Größe als Einheit zu vergleichen. 9 Maßeinheiten für physikalische Größen: Grundlänge – 1 m – (Meter) Zeit – 1 s – (Sekunde) Masse – 1 kg – (Kilogramm) Ableitungen Volumen – 1 m³ – (Kubikmeter) Geschwindigkeit – 1 m/ s - (Meter pro Sekunde)

Präfixe für Einheitennamen: Mehrere Präfixe – Erhöhung um 10, 100, 1000 usw. mal g - Hekto (×100) k – Kilo (× 1000) M – Mega (×) 1 km (Kilometer) 1 kg (Kilogramm) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g Unterabschnitte – Verringerung um 10, 100, 1000 usw. mal d – Dezi (× 0,1) s – Centi (× 0,01) m – Milli (× 0,001) 1 dm (Dezimeter) 1 dm = 0,1 m 1 cm (Zentimeter) 1 cm = 0,01 m 1 mm (Millimeter) 1 mm = 0,001 m Bei der Messung großer Abstände, Massen, Volumina, Geschwindigkeiten usw. werden mehrere Aufsätze verwendet. Bei der Messung kleiner Abstände, Geschwindigkeiten, Massen, Volumina usw. werden mehrere Aufsätze verwendet.

Zur Diagnose, Behandlung und Vorbeugung von Krankheiten werden in der Medizin verschiedene medizinische Messgeräte eingesetzt.

Thermometer. Zunächst müssen Sie die Ober- und Untergrenzen der Messungen berücksichtigen. Die untere Grenze ist der minimale und die obere Grenze der maximale Messwert. Wenn der Erwartungswert des Messwertes unbekannt ist, ist es besser, ein Gerät mit „Reserve“ zu nehmen. Beispielsweise sollte die Messung der Warmwassertemperatur nicht mit einem Straßen- oder Raumthermometer durchgeführt werden. Besser ist es, ein Gerät mit einer Obergrenze von 100 °C zu finden. Zweitens müssen Sie verstehen, wie genau der Wert gemessen werden sollte. Da der Messfehler vom Teilungswert abhängt, wird für genauere Messungen ein Gerät mit einem niedrigeren Teilungswert ausgewählt.

Messfehler. Zur Messung verschiedener Diagnoseparameter benötigen Sie ein eigenes Gerät. Beispielsweise wird die Länge mit einem Lineal und die Temperatur mit einem Thermometer gemessen. Aber Lineale, Thermometer, Tonometer und andere Instrumente sind unterschiedlich. Um also eine physikalische Größe zu messen, müssen Sie ein Gerät auswählen, das für diese Messung geeignet ist.

Preis der Instrumentenabteilung. Die Körpertemperatur eines Menschen muss genau bestimmt werden, Medikamente müssen in einer genau definierten Menge verabreicht werden, daher ist die Wertigkeit der Skalenteilung eines Messgerätes ein wichtiges Merkmal jedes Geräts. Regel zur Berechnung des Werts der Instrumententeilungen. Um den Wert der Skalenteilungen zu berechnen, müssen Sie: a) die beiden nächstgelegenen digitalisierten Linien auf der Skala auswählen; b) zählen Sie die Anzahl der Divisionen zwischen ihnen; c) Teilen Sie die Wertedifferenz um die ausgewählten Striche durch die Anzahl der Teilungen.

Preis der Instrumentenabteilung. Teilungswert (50-30)/4=5 (ml) Teilungswert: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1 g, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 Temp., (4-2)/10=0,2 s

Bestimmen Sie den Preis für die Aufteilung der Geräte: 16

Absoluter Messfehler. Bei Messungen treten zwangsläufig Fehler auf. Diese Fehler werden durch verschiedene Faktoren verursacht. Alle Faktoren können in drei Teile unterteilt werden: Fehler, die durch unvollkommene Instrumente verursacht werden; Fehler, die durch unvollkommene Messmethoden verursacht werden; Fehler, die durch den Einfluss zufälliger Faktoren verursacht werden und nicht beseitigt werden können. Wenn Sie eine Größe messen, möchten Sie nicht nur ihren Wert kennen, sondern auch, wie sehr Sie diesem Wert vertrauen können und wie genau er ist. Dazu müssen Sie wissen, um wie viel der wahre Wert einer Größe vom gemessenen abweichen kann. Zu diesem Zweck wird das Konzept der absoluten und relativen Fehler eingeführt.

Absolute und relative Fehler. Der absolute Fehler gibt an, um wie viel der tatsächliche Wert einer physikalischen Größe vom gemessenen Wert abweicht. Sie hängt vom Gerät selbst (instrumenteller Fehler) und vom Messvorgang (Skalenfehler) ab. Der Instrumentenfehler muss im Instrumentenpass angegeben werden (in der Regel entspricht er dem Instrumententeilungswert). Der Zählfehler wird normalerweise gleich der Hälfte des Divisionswerts angenommen. Der absolute Fehler eines Näherungswerts ist die Differenz Δ x = |x – x 0 |, wobei x 0 ein Näherungswert und x der genaue Wert des gemessenen Werts ist, oder manchmal A ΔA = |A – A 0 | wird anstelle von x verwendet.

Absolute und relative Fehler. Beispiel. Es ist bekannt, dass -0,333 ein ungefährer Wert für -1/3 ist. Dann gilt nach der Definition des absoluten Fehlers Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. In vielen praktisch wichtigen Fällen ist es unmöglich, den absoluten Fehler der Näherung zu ermitteln, da der genaue Wert der Größe unbekannt ist. Sie können jedoch eine positive Zahl angeben, über die dieser absolute Fehler nicht hinausgehen darf. Dies ist eine beliebige Zahl h, die die Ungleichung | erfüllt Δ x | h Dies wird als absolute Fehlergrenze bezeichnet.

In diesem Fall sagen sie, dass der Wert von x bis zu h ungefähr gleich x 0 ist. x = x 0 ± h oder x 0 - h x x 0 + h

Absolute Instrumentenfehler von Messgeräten

Abschätzung von Gerätefehlern gemessener Größen. Bei den meisten Messgeräten entspricht der Gerätefehler dem Wert seiner Teilung. Eine Ausnahme bilden digitale Instrumente und Messuhren. Bei digitalen Instrumenten wird der Fehler im Pass angegeben und ist in der Regel um ein Vielfaches höher als der Teilungswert des Instruments. Bei Zeigermessgeräten wird der Fehler durch ihre Genauigkeitsklasse, die auf der Skala des Geräts angegeben ist, und die Messgrenze bestimmt. Die Genauigkeitsklasse wird auf der Instrumentenskala als Zahl angezeigt, die nicht von Rahmen umgeben ist. In der gezeigten Abbildung beträgt die Genauigkeitsklasse des Manometers beispielsweise 1,5. Die Genauigkeitsklasse gibt an, um wie viel Prozent der Fehler des Instruments von seiner Messgrenze abweicht. Bei einem Zeigermanometer liegt die Messgrenze bei 3 atm bzw. der Fehler bei der Druckmessung beträgt 1,5 % von 3 atm, also 0,045 atm. Es ist zu beachten, dass der Fehler bei den meisten Zeigerinstrumenten dem Wert der Instrumententeilung entspricht. Wie in unserem Beispiel, wo der Barometer-Teilungspreis 0,05 atm beträgt.

Absolute und relative Fehler. Der absolute Fehler wird benötigt, um den Bereich zu bestimmen, in den der wahre Wert fallen kann, er ist jedoch nicht sehr aussagekräftig für die Beurteilung der Genauigkeit des Ergebnisses als Ganzes. Schließlich ist die Messung einer Länge von 10 m mit einem Fehler von 1 mm sicherlich sehr genau, während die Messung einer Länge von 2 mm mit einem Fehler von 1 mm offensichtlich äußerst ungenau ist. Der absolute Messfehler wird üblicherweise auf eine signifikante Zahl ΔA 0,17 0,2 gerundet. Der Zahlenwert des Messergebnisses wird so gerundet, dass seine letzte Ziffer in derselben Ziffer wie die Fehlerziffer liegt A = 10,332 · 10,3

Absolute und relative Fehler. Neben dem absoluten Fehler ist es üblich, den relativen Fehler zu berücksichtigen, der dem Verhältnis des absoluten Fehlers zum Wert der Größe selbst entspricht. Der relative Fehler einer Näherungszahl ist das Verhältnis des absoluten Fehlers der Näherungszahl zu dieser Zahl selbst: E = Δx. 100 % x 0 Der relative Fehler gibt an, bei wie viel Prozent des Wertes selbst ein Fehler auftreten könnte und ist ein Indikator für die Beurteilung der Qualität der Versuchsergebnisse.

Beispiel. Bei der Messung der Länge und des Durchmessers der Kapillare erhielten wir l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Welche dieser Messungen ist genauer? Bei der Messung der Länge einer Kapillare ist ein absoluter Fehler von 10 mm pro 100 mm zulässig, daher beträgt der absolute Fehler 10/100 = 0,1 = 10 %. Bei der Messung des Kapillardurchmessers beträgt der zulässige absolute Fehler 0,1/2,5=0,04=4 %. Daher ist die Messung des Kapillardurchmessers genauer.

In vielen Fällen kann der absolute Fehler nicht gefunden werden. Daher der relative Fehler. Sie können jedoch die Grenze des relativen Fehlers ermitteln. Jede Zahl δ, die die Ungleichung | erfüllt Δ x | / | x o | δ ist die relative Fehlergrenze. Insbesondere wenn h die absolute Fehlergrenze ist, dann ist die Zahl δ= h/| x o | ist die Grenze des relativen Fehlers der Näherung x o. Von hier. Kenntnis des Grenzrelativs p-i. δ können Sie die absolute Fehlergrenze h ermitteln. h= δ | x o |

Beispiel. Es ist bekannt, dass 2=1,41... Finden Sie die relative Genauigkeit der ungefähren Gleichheit oder die relative Fehlergrenze der ungefähren Gleichheit 2 1,41. Hier ist x = 2, x o = 1,41, Δ x = 2-1,41. Offensichtlich 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, die absolute Fehlergrenze beträgt 0,01, die relative Fehlergrenze beträgt 1/141

Beispiel. Beim Ablesen von Messwerten auf einer Skala ist es wichtig, dass Ihr Blick senkrecht zur Skala des Geräts fällt. In diesem Fall ist der Fehler geringer. So bestimmen Sie den Thermometerwert: 1. Bestimmen Sie die Anzahl der Teilungen, 2. multiplizieren Sie sie mit dem Teilungspreis 3. Berücksichtigen Sie den Fehler 4. Notieren Sie das Endergebnis. t = 20 °C ± 1,5 °C Das bedeutet, dass die Temperatur zwischen 18,5° und 21,5° liegt. Das heißt, es kann beispielsweise 19, 20 oder 21 Grad Celsius betragen. Um die Genauigkeit der Messungen zu erhöhen, ist es üblich, diese mindestens dreimal zu wiederholen und den Mittelwert des Messwertes zu berechnen

FINDEN DES MITTELWERTS Messergebnisse C 1 = 34,5 C 2 = 33,8 C 3 = 33,9 C 4 = 33,5 C 5 = 54,2 a) Ermitteln Sie den Durchschnittswert von vier Größen mit av = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c av = (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Ermitteln Sie die Abweichung des Wertes vom Durchschnittswert Δс = | c – c cp | Δc 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 Δc 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 Δc 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 Δc 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Finden wir den absoluten Fehler Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4):4 Δc = (0,6 + 0,4) :4 = 0,275 0,3 g) Finden wir den relativen Fehler δ = Δс: s CP δ = (0,3: 33,9) 100 % = 0,9 % e) Schreiben wir die endgültige Antwort auf c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9 %

HAUSAUFGABEN Bereiten Sie sich anhand der Vorlesungsmaterialien auf den praktischen Unterricht vor. Eine Aufgabe erledigen. Finden Sie den Durchschnittswert und den Fehler: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Erstellen Sie Präsentationen zu den Themen: „Rundung von Mengen in der Medizin“, „Messfehler“, „Medizinische Messgeräte“

Da eine Person nun über ein leistungsstarkes Arsenal an Computergeräten (verschiedene Taschenrechner, Computer usw.) verfügt, ist die Einhaltung der Regeln für Näherungsberechnungen besonders wichtig, um die Zuverlässigkeit des Ergebnisses nicht zu verfälschen.

Bei der Durchführung von Berechnungen sollten Sie sich an die Genauigkeit des Ergebnisses erinnern, das erzielt werden kann oder sollte (falls festgestellt). Daher ist es nicht akzeptabel, Berechnungen mit größerer Genauigkeit durchzuführen, als es die Daten des physikalischen Problems vorgeben oder die experimentellen Bedingungen erfordern1. Wenn Sie beispielsweise mathematische Operationen mit numerischen Werten physikalischer Größen durchführen, die zwei zuverlässige (signifikante) Ziffern haben, können Sie das Ergebnis von Berechnungen nicht mit einer Genauigkeit aufschreiben, die über die Grenzen von zwei zuverlässigen Ziffern hinausgeht, selbst wenn dies am Ende der Fall ist wir haben mehr davon.

Der Wert physikalischer Größen muss notiert werden, wobei nur die Anzeichen eines zuverlässigen Ergebnisses zu beachten sind. Wenn beispielsweise der Zahlenwert 39.600 drei zuverlässige Ziffern hat (der absolute Fehler des Ergebnisses beträgt 100), sollte das Ergebnis als 3,96 104 oder 0,396 105 geschrieben werden. Bei der Berechnung zuverlässiger Ziffern sind die Nullen links von der Zahl werden nicht berücksichtigt.

Damit das Berechnungsergebnis korrekt ist, muss gerundet werden, so dass nur der wahre Wert der Menge übrig bleibt. Wenn der numerische Wert einer Größe zusätzliche (unzuverlässige) Ziffern enthält, die die angegebene Genauigkeit überschreiten, wird die letzte gespeicherte Ziffer um 1 erhöht, vorausgesetzt, dass der Überschuss (zusätzliche Ziffern) gleich oder größer als die Hälfte des Werts der nächsten Ziffer von ist die Nummer.

In verschiedenen numerischen Werten kann Null entweder eine zuverlässige oder eine unzuverlässige Zahl sein. In Beispiel b) handelt es sich also um eine unzuverlässige Zahl und in d) um eine zuverlässige und signifikante Zahl. Wenn man in der Physik die Zuverlässigkeit der Ziffer eines numerischen Werts einer physikalischen Größe hervorheben möchte, gibt man in ihrem Standardausdruck „0“ an. Beispielsweise zeigt die Aufzeichnung eines Massenwerts von 2,10 · 10-3 kg drei zuverlässige Ziffern des Ergebnisses und die entsprechende Messgenauigkeit an, während ein Wert von 2,1 · 10-3 kg nur zwei zuverlässige Ziffern anzeigt.

Es ist zu beachten, dass das Ergebnis von Aktionen mit numerischen Werten physikalischer Größen ein ungefähres Ergebnis ist, das die Berechnungsgenauigkeit oder den Messfehler berücksichtigt. Daher sollten Sie sich bei Näherungsberechnungen an folgenden Regeln zur Berechnung verlässlicher Zahlen orientieren:

1. Bei der Durchführung arithmetischer Operationen mit numerischen Werten physikalischer Größen sollte deren Ergebnis so viele zuverlässige Vorzeichen haben, wie es numerische Werte mit der geringsten Anzahl zuverlässiger Vorzeichen gibt.

2. Bei allen Zwischenberechnungen sollte eine Ziffer mehr beibehalten werden als der numerische Wert mit der geringsten Anzahl zuverlässiger Ziffern. Letztendlich wird dieser „zusätzliche“ Betrag durch Rundung verworfen.

3. Wenn einige Daten zuverlässigere Vorzeichen haben als andere, sollten ihre Werte zuerst gerundet werden (Sie können eine „überschüssige“ Ziffer speichern) und dann Aktionen ausführen.