Gleichungen mit der Einführung einer neuen Variablen. Methode zur Einführung einer neuen Variablen

Im Algebrakurs der 8. Klasse haben Sie die Methode zur Einführung einer neuen Variablen beim Lösen rationaler Gleichungen mit einer Variablen kennengelernt. Der Kern dieser Methode zur Lösung von Gleichungssystemen ist derselbe, aus technischer Sicht gibt es jedoch einige Besonderheiten, die wir in den folgenden Beispielen diskutieren werden.

Beispiel 3. Gleichungssystem lösen

Lösung. Lassen Sie uns eine neue Variable einführen. Dann kann die erste Gleichung des Systems in eine einfachere Form umgeschrieben werden: Lösen wir diese Gleichung für die Variable t:

Beide Werte erfüllen die Bedingung und sind daher die Wurzeln einer rationalen Gleichung mit der Variablen t. Aber das bedeutet entweder, dass x = 2y ist, oder
Mit der Methode der Einführung einer neuen Variablen gelang es uns also, die erste Gleichung des Systems, die recht komplex im Aussehen war, in zwei einfachere Gleichungen zu „schichten“:

x = 2 y; y - 2x.

Was kommt als nächstes? Und dann muss jede der beiden erhaltenen einfachen Gleichungen der Reihe nach in einem System mit der Gleichung x 2 - y 2 = 3 betrachtet werden, an die wir uns noch nicht erinnern. Mit anderen Worten besteht das Problem darin, zwei Gleichungssysteme zu lösen:

Wir müssen Lösungen für das erste System und das zweite System finden und alle resultierenden Wertepaare in die Antwort einbeziehen. Lösen wir das erste Gleichungssystem:

Nutzen wir die Substitutionsmethode, zumal hier alles dafür bereit ist: Setzen wir den Ausdruck 2y statt x in die zweite Gleichung des Systems ein. Wir bekommen

Da x = 2y ist, finden wir jeweils x 1 = 2, x 2 = 2. Somit erhält man zwei Lösungen des gegebenen Systems: (2; 1) und (-2; -1). Lösen wir das zweite Gleichungssystem:

Verwenden wir erneut die Substitutionsmethode: Ersetzen Sie den Ausdruck 2x anstelle von y in der zweiten Gleichung des Systems. Wir bekommen

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat. Daher müssen nur die Lösungen des ersten Systems in die Antwort einbezogen werden.

Antwort: (2; 1); (-2;-1).

Die Methode der Einführung neuer Variablen beim Lösen von Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen wird in zwei Versionen verwendet. Erste Option: Eine neue Variable wird eingeführt und nur in einer Gleichung des Systems verwendet. Genau das ist in Beispiel 3 passiert. Zweite Option: Zwei neue Variablen werden eingeführt und gleichzeitig in beiden Gleichungen des Systems verwendet. Dies wird in Beispiel 4 der Fall sein.

Beispiel 4. Gleichungssystem lösen

Lektion zum Thema: Gleichungen lösen

Zusammengestellt von: Vera Viktorovna Volkova – Mathematiklehrerin

Unterrichtsthema: Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen lösen.

Unterrichtsziele:1. Führen Sie die Schüler in eine neue Methode zum Lösen von Gleichungen ein.

2. Stärkung der Fähigkeiten zur Lösung quadratischer Gleichungen und zur Auswahl von Methoden zu deren Lösung;

3. Führen Sie eine erste Konsolidierung eines neuen Themas durch.

4. Die Fähigkeit entwickeln, den eigenen Standpunkt zu verteidigen und einen begründeten Dialog mit Klassenkameraden zu führen;

Entwickeln Sie Aufmerksamkeit, Gedächtnis und logisches Denken sowie Beobachtungsfähigkeiten

Vermittlung von Kommunikationsfähigkeiten und Kommunikationskultur

Vermitteln Sie Fähigkeiten zum selbstständigen Arbeiten

Während des Unterrichts

1. Organisierender Moment

Das Unterrichtsthema kommunizieren und ein Ziel setzen.

2. Wiederholung

In den vorherigen Lektionen haben wir gelernt, wie man quadratische Gleichungen auf verschiedene Arten und Gleichungen löst. Was auf quadratische reduziert werden kann.

Welche Gleichung heißt quadratisch?

Welche Lösungswege kennen Sie?

Welche Gleichungen können auf quadratisch reduziert werden?

a) (x+3) 2 +(x-2) 2 + (x+5)(x -5)= 11x +20

b) x 2 (x+1)-(x+4)x=12(x-1) 2

c) x 2 + x + 9 = 3x-7,

G) x+1 + x = 2,5

X x+1

D) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9

X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10 ?

3. Neues Material studieren.

Jetzt werden wir in Gruppen arbeiten (erinnern Sie sich an den Arbeitsablauf und die Verhaltensregeln bei der Arbeit in Gruppen). Ihre Aufgabe besteht darin, die vorgeschlagenen Gleichungen zu lösen (Karten mit der Aufgabe werden verteilt, ein Poster wird an die Tafel gehängt).

A) x+1 + x = 2,5

X x+1

B) x 2 +2x+2 + x 2 +2x+3 = 9

X 2 +2x+5 x 2 +2x+6 10

Der Lehrer beobachtet den Fortschritt der Arbeit und wählt eine Form zur Überprüfung der ersten Gleichung:

Je nach Erfolg des Kurses mündlich oder an der Tafel.

Lassen Sie uns überprüfen, was Sie haben.

Die erste Gleichung reduziert sich auf die quadratische Gleichung x 2 + x -2 = 0.

Die Lösung dafür sind die Zahlen -2 und 1.

Kommen wir nun zur Lösung der zweiten Gleichung. Am Ende hatten alle Gruppen eine Gleichung vierten Grades, von der man nicht weiß, wie man sie löst.

Versuchen wir es mit ihm herauszufinden.

Wie jedes Problem besteht auch die Lösung einer Gleichung aus mehreren Schritten:

• Gleichungsanalyse
• Erstellen eines Lösungsplans.
• Umsetzung dieses Plans.
• Überprüfung der Lösung.
• Analyse der Lösungsmethode, Systematisierung der Erfahrungen.
• - Wie wird eine Gleichung normalerweise analysiert?

Zunächst beantworten wir die Frage: Sind uns Gleichungen dieser Art schon einmal begegnet?

Ja, das haben wir, es ist eine gebrochene rationale Gleichung.

Sie können versuchen, diese „schwierige“ Gleichung zu lösen, oder Sie können zu ihr zurückkehren

die ursprüngliche Gleichung und analysieren Sie sie erneut.

Dafür:

• Lassen Sie uns einige Elemente der Gleichung hervorheben:
• Lassen Sie uns ihre allgemeinen Eigenschaften ermitteln,
• Lassen Sie uns die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Elementen der Gleichung untersuchen.
• Nutzen wir diese Informationen.

Lassen Sie uns nach diesem Plan 5 Minuten lang in Gruppen arbeiten.

Die meisten identifizierten das Element, das in den Zählern und Nennern der Brüche in der Gleichung enthalten ist. Um die Gleichung zu vereinfachen, ersetzen wir diesen Ausdruck durch einen Buchstaben, zum Beispiel Z:

X 2 + 2x = Z

Z +2 + Z +3 = 9

Z +5 Z +6 10

Sie kann als neue Gleichung für die neue Unbekannte Z betrachtet werden. In ihr ist die Variable x nicht explizit vorhanden.

Sie sagen, dass eine Variable ersetzt wurde.

Ist ein solcher Austausch sinnvoll? Um diese Frage zu beantworten, reicht es herauszufinden:

Ist es möglich, die neue Gleichung zu lösen und die Z-Werte zu finden?

Ist es möglich, Z zu verwenden, um den Wert der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung zu ermitteln?

Versuchen Sie in Gruppenarbeit, den ersten Teil der Frage zu beantworten.

Der Lehrer beobachtet den Fortschritt der Arbeit. Anschließend werden die Suchergebnisse für die Werte der Variablen Z überprüft.

Also haben wir die Werte der Variablen Z gefunden: Z 1= 0, Z 2 = - 61| elf

Uns interessieren aber alle Werte der Variablen x, die die ursprüngliche Gleichung erfüllen. Finden wir diese Werte. Der Zusammenhang zwischen den Wurzeln der ursprünglichen und der neuen Gleichung ist in der Formel x 2 + 2x = Z enthalten. Die Werte der Variablen Z haben wir bereits gefunden. Daher ist jede Wurzel der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung die Wurzel einer der Gleichungen: x 2 + 2x =Z 1 oder x 2 + 2x =Z 2

Lösen Sie diese Gleichungen mithilfe der Optionen selbst.

Überprüfen wir die Ergebnisse: Die erste Gleichung hat Wurzeln x 1 = 0, x 2 = -2 und die zweite Gleichung hat keine Wurzeln.

Es bleibt nur noch, die erhaltenen Ergebnisse für die ursprüngliche Gleichung zu überprüfen und die Antwort aufzuschreiben.

Antwort: x 1 =0, x 2 = -2.

Also haben wir die ursprüngliche Gleichung mit einer neuen Methode namens gelöst durch Einführung einer neuen Variablen.

Erstellen Sie einen Algorithmus zur Lösung unserer Gleichung durch Einführung einer neuen Variablen.(in Gruppen arbeiten)

• Wählen Sie den Ausdruck x 2 + 2x;
• Wir bezeichnen diesen Ausdruck mit einem Buchstaben x 2 + 2x =Z;
• Wir führen die Substitution durch und erhalten eine neue Gleichung;
• Wir reduzieren es auf ein Quadrat und lösen;
• Anhand der Werte der Variablen Z ermitteln wir die Werte der Variablen x;
• Wir überprüfen die erhaltenen Ergebnisse und schreiben die Antwort auf.

3. Sichern Sie das Material.

Glauben Sie, dass eine andere Änderung der Variablen hätte vorgenommen werden können? (Zum Beispiel x 2 + 2x

2 = Z oder x 2 + 2x +6 = Z.) Welche Form wird die neue Gleichung dann haben? Wie kann man sie lösen? Kann die erste Hausgleichung durch Einführung einer neuen Variablen gelöst werden? Welcher Ausdruck kann durch eine neue Variable ersetzt werden? Wie lautet die Gleichung? Wie man es löst? Welche Werte hat die Variable Z? Welche Werte hat die Variable x?

4. Zusammenfassung.

• Was haben wir heute im Unterricht gelernt?
• Welche neue Art, Gleichungen zu lösen, haben Sie gelernt?
• Wie wird eine neue Variable eingeführt?
• Was ist der Algorithmus für diese Methode?
• Kam Ihnen diese Methode schwierig oder unbequem vor?
• Kann es auf alle Gleichungen angewendet werden?

5. Hausaufgaben.

• Schreiben Sie den Algorithmus zur Anwendung der Methode zur Einführung einer neuen Variablen auf und lernen Sie ihn kennen.
• Lösen Sie mit dieser Methode Nr. 2.43 (1; 2) GIA S.117.

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2.2.3. Methode zur Einführung einer neuen Variablen.

Ein leistungsfähiges Werkzeug zur Lösung irrationaler Gleichungen ist die Methode der Einführung einer neuen Variablen oder „Substitutionsmethode“. Die Methode wird normalerweise verwendet, wenn ein bestimmter Ausdruck, der von einer unbekannten Größe abhängt, in einer Gleichung wiederholt vorkommt. Dann ist es sinnvoll, diesen Ausdruck mit einem neuen Buchstaben zu bezeichnen und zu versuchen, die Gleichung zunächst in Bezug auf die eingeführte Unbekannte zu lösen und dann die ursprüngliche Unbekannte zu finden. In einer Reihe von Fällen ermöglichen erfolgreich eingeführte neue Unbekannte manchmal eine schnellere und einfachere Lösung; Manchmal ist es völlig unmöglich, das Problem ohne Ersatz zu lösen. ,

Beispiel 7. Lösen Sie die Gleichung.

Lösung. Durch Setzen erhalten wir eine wesentlich einfachere irrationale Gleichung. Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung: .

;

;

;

Die Überprüfung der gefundenen Werte durch Einsetzen in die Gleichung zeigt, dass dies die Wurzel der Gleichung und eine Fremdwurzel ist.

Kehren wir zur ursprünglichen Variablen x zurück, erhalten wir die Gleichung, also eine quadratische Gleichung , bei deren Lösung wir zwei Wurzeln finden: ,. Beide Wurzeln erfüllen, wie die Überprüfung zeigt, die ursprüngliche Gleichung.

Der Ersatz ist insbesondere dann sinnvoll, wenn dadurch eine neue Qualität erreicht wird, beispielsweise eine irrationale Gleichung in eine quadratische umgewandelt wird.

Beispiel 8. Lösen Sie die Gleichung.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung folgendermaßen um: .

Es ist ersichtlich, dass wir eine neue Variable einführen , dann nimmt die Gleichung die Form an , Wo , .

Jetzt kommt es darauf an, die Gleichung zu lösen und Gleichungen . Die erste dieser Lösungen hat dies nicht, aber aus der zweiten erhalten wir , . Beide Wurzeln erfüllen, wie die Überprüfung zeigt, die ursprüngliche Gleichung.

Beachten Sie, dass die „gedankenlose“ Anwendung der Methode der „Radikalisolation“ in Beispiel 8 und der Quadrierung zu einer Gleichung vierten Grades führen würde, deren Lösung im allgemeinen Fall ein äußerst schwieriges Problem darstellt.

Beispiel 9. Lösen Sie die Gleichung .

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen

Infolgedessen nimmt die ursprüngliche irrationale Gleichung die Form einer quadratischen Gleichung an

,

woraus wir unter Berücksichtigung der Einschränkung erhalten. Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir die Wurzel. Wie die Prüfung zeigt, erfüllt es die ursprüngliche Gleichung.

Manchmal ist es durch eine Substitution möglich, eine irrationale Gleichung in eine rationale Form zu bringen, wie in den Beispielen 8 und 9 besprochen. In diesem Fall sagen sie, dass diese Substitution die betrachtete irrationale Gleichung rationalisiert, und sie nennen sie rationalisieren Bei der Verwendung rationalisierender Substitutionen spricht man von der Rationalisierungsmethode.

Diese Methode zur Lösung irrationaler Gleichungen muss nicht mit allen Schülern im Unterricht besprochen werden, kann aber im Rahmen von Wahlpflicht- oder Vereinsmathematikkursen mit Schülern in Betracht gezogen werden, die ein erhöhtes Interesse an Mathematik zeigen.

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Eine Gleichung der Form ax4 + bx2 + c = 0 wird biquadratische Gleichung genannt. Absolut jede Gleichung dieser Art kann gelöst werden, indem man eine neue Variable einführt und dann die Gleichung danach löst. Anschließend wird die umgekehrte Substitution durchgeführt und das benötigte x gefunden.
Schauen wir uns an, wie man diese Methode zur Lösung rationaler Gleichungen anwendet.

Die Gleichung lautet: x4 - 4x2 + 4 = 0.
Lösung
Um diese Gleichung zu lösen, ist es notwendig, eine neue Variable einzuführen, die die Form y = x2 hat. Es gilt auch die folgende Gleichung: x4 = (x2)2 = y2. Wir schreiben die ursprüngliche Gleichung wie folgt um: y2 - 4y + 4 =0. Dies ist eine gewöhnliche quadratische Gleichung, bei deren Lösung Sie die Wurzeln y1 = y2 = 2 erhalten. Da y = x2, besteht die Lösung dieses Problems darin, eine andere Gleichung zu lösen, nämlich: x2 = 2. Wir finden die Antwort: +- √2.

In dieser Situation war die Methode zur Einführung einer Variablen „der Situation angemessen“, d. h. es war klar erkennbar, welcher Ausdruck durch eine neue Variable ersetzt werden sollte, was jedoch nicht immer der Fall ist. Grundsätzlich entsteht ein ersetzbarer Ausdruck nur durch den Prozess der Transformation und Vereinfachung des ursprünglichen Ausdrucks. Ein ähnliches Beispiel können Sie sich im Video-Tutorial ansehen.

Eigenschaften der Funktion y = k/x, für k >0
Im Video-Tutorial lernen Sie die grundlegenden Eigenschaften einer Hyperbel anhand ihres geometrischen Modells kennen.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) – der Definitionsbereich der Funktion besteht aus allen Zahlen außer 0.
2. Für x > 0 => y > 0 und für x< 0 =>j< 0.

3. Für k > 0 nimmt die Funktion auf dem offenen Strahl (-∞;0) und auf dem offenen Strahl (0; ∞) ab.
4. Die Funktion y = k/x hat keine oberen oder unteren Einschränkungen.
5. Die Funktion y = k/x hat keine Maximal- und Minimalwerte.
6. Kontinuierlich im Intervall (-∞;0) und (0; ∞), mit einer Diskontinuität bei x = 0.