Berechnen Sie die Determinante einer Matrix mithilfe der Dreiecksregel. Lösen der inversen Matrix. Berechnung der Determinante durch Spaltenerweiterung

- Lass die Meise in den sicheren Tod frei!
Lass die Freiheit sie streicheln!
Und das Schiff segelt und der Reaktor brüllt ...
- Pash, bist du stur?

Ich erinnere mich, dass ich Algebra bis zur 8. Klasse nicht mochte. Es hat mir überhaupt nicht gefallen. Sie hat mich verärgert. Weil ich da nichts verstanden habe.

Und dann änderte sich alles, weil ich einen Trick entdeckte:

In der Mathematik im Allgemeinen (und in der Algebra im Besonderen) basiert alles auf einem kompetenten und konsistenten Definitionssystem. Wenn Sie die Definitionen kennen und ihr Wesen verstehen, wird es nicht schwer sein, den Rest herauszufinden.

So ist es mit dem Thema der heutigen Lektion. Wir werden mehrere verwandte Themen und Definitionen im Detail betrachten, dank derer Sie Matrizen, Determinanten und alle ihre Eigenschaften ein für alle Mal verstehen werden.

Determinanten sind ein zentrales Konzept in der Matrixalgebra. Wie abgekürzte Multiplikationsformeln werden sie Sie im Laufe der höheren Mathematik begleiten. Deshalb lesen, schauen und verstehen wir gründlich. :)

Und wir beginnen mit dem Intimsten – was ist eine Matrix? Und wie man richtig damit arbeitet.

Korrekte Platzierung der Indizes in der Matrix

Eine Matrix ist einfach eine mit Zahlen gefüllte Tabelle. Neo hat damit nichts zu tun.

Eines der Schlüsselmerkmale einer Matrix ist ihre Dimension, d.h. die Anzahl der Zeilen und Spalten, aus denen es besteht. Normalerweise sagen wir, dass eine bestimmte Matrix $A$ die Größe $\left[ m\times n \right]$ hat, wenn sie $m$ Zeilen und $n$ Spalten hat. Schreiben Sie es so:

Oder so:

Es gibt noch andere Bezeichnungen – alles hängt von den Vorlieben des Dozenten/Seminaristen/Autors des Lehrbuchs ab. Aber auf jeden Fall tritt bei all diesen $\left[ m\times n \right]$ und $((a)_(ij))$ das gleiche Problem auf:

Welcher Index ist wofür verantwortlich? Kommt zuerst die Zeilennummer und dann die Spaltennummer? Oder umgekehrt?

Beim Lesen von Vorlesungen und Lehrbüchern wird die Antwort offensichtlich sein. Aber wenn man in einer Prüfung nur ein Blatt Papier mit einer Aufgabe vor sich hat, kann es passieren, dass man sich überfordert und plötzlich verwirrt.

Lassen Sie uns dieses Problem also ein für alle Mal klären. Erinnern wir uns zunächst an das übliche Koordinatensystem aus einem Schulmathematikkurs:

Einführung eines Koordinatensystems auf einer Ebene

Erinnere dich an sie? Es hat einen Ursprung (Punkt $O=\left(0;0 \right)$) der $x$- und $y$-Achsen, und jeder Punkt auf der Ebene wird eindeutig durch die Koordinaten bestimmt: $A=\left( 1;2 \right)$, $B=\left(3;1 \right)$ usw.

Nehmen wir nun diese Konstruktion und platzieren sie neben der Matrix, sodass der Koordinatenursprung in der oberen linken Ecke liegt. Warum dort? Ja, denn wenn wir ein Buch öffnen, beginnen wir mit dem Lesen genau in der oberen linken Ecke der Seite – das ist leicht zu merken.

Aber wohin sollen die Achsen gerichtet sein? Wir werden sie so lenken, dass unsere gesamte virtuelle „Seite“ von diesen Achsen abgedeckt wird. Dafür müssen wir zwar unser Koordinatensystem drehen. Die einzig mögliche Option für diese Vereinbarung ist:

Überlagerung eines Koordinatensystems auf einer Matrix

Jetzt hat jede Zelle der Matrix eindeutige Koordinaten $x$ und $y$. Wenn Sie beispielsweise $((a)_(24))$ schreiben, bedeutet dies, dass wir auf das Element mit den Koordinaten $x=2$ und $y=4$ zugreifen. Auch die Dimensionen der Matrix werden durch ein Zahlenpaar eindeutig angegeben:

Indizes in einer Matrix definieren

Schauen Sie sich dieses Bild einfach genau an. Spielen Sie mit Koordinaten herum (insbesondere, wenn Sie mit realen Matrizen und Determinanten arbeiten) – und Sie werden sehr bald verstehen, dass Sie selbst in den komplexesten Theoremen und Definitionen perfekt verstehen, was gesagt wird.

Habe es? Kommen wir nun zum ersten Schritt der Aufklärung – der geometrischen Definition der Determinante. :)

Geometrische Definition

Zunächst möchte ich anmerken, dass die Determinante nur für quadratische Matrizen der Form $\left[ n\times n \right]$ existiert. Eine Determinante ist eine Zahl, die nach bestimmten Regeln berechnet wird und eines der Merkmale dieser Matrix ist (es gibt noch weitere Merkmale: Rang, Eigenvektoren, aber mehr dazu in anderen Lektionen).

Was ist also dieses Merkmal? Was bedeutet das? Es ist einfach:

Die Determinante einer quadratischen Matrix $A=\left[ n\times n \right]$ ist das Volumen eines $n$-dimensionalen Parallelepipeds, das entsteht, wenn wir die Zeilen der Matrix als Vektoren betrachten, die die Kanten davon bilden Parallelepiped.

Beispielsweise ist die Determinante einer 2x2-Matrix einfach die Fläche eines Parallelogramms, bei einer 3x3-Matrix jedoch bereits das Volumen eines dreidimensionalen Parallelepipeds – dasselbe, das alle Gymnasiasten im Stereometrieunterricht wütend macht .

Auf den ersten Blick mag diese Definition völlig unzureichend erscheinen. Aber lassen Sie uns keine voreiligen Schlüsse ziehen – schauen wir uns Beispiele an. Tatsächlich ist alles elementar, Watson:

Aufgabe. Finden Sie die Determinanten der Matrizen:

\[\left| \begin(matrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matrix) \right|\]

Lösung. Die ersten beiden Determinanten haben die Größe 2x2. Das sind also einfach die Flächen von Parallelogrammen. Lassen Sie uns sie zeichnen und die Fläche berechnen.

Das erste Parallelogramm wird aus den Vektoren $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ und $((v)_(2))=\left(0;3 \right) aufgebaut. $:

Die Determinante von 2x2 ist die Fläche eines Parallelogramms

Offensichtlich ist dies nicht nur ein Parallelogramm, sondern ein rechtes Rechteck. Seine Fläche beträgt

Das zweite Parallelogramm ist aus den Vektoren $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ und $((v)_(2))=\left(2;2 \right) aufgebaut )$. Na so was? Dies ist auch ein Rechteck:

Eine weitere 2x2-Determinante

Die Seiten dieses Rechtecks ​​(im Wesentlichen die Längen der Vektoren) lassen sich leicht mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

\[\begin(align) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\left| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\end(align)\]

Es bleibt noch die letzte Determinante zu klären – sie enthält bereits eine 3x3-Matrix. Sie müssen sich an die Stereometrie erinnern:

Die Determinante von 3x3 ist das Volumen eines Parallelepipeds

Es sieht umwerfend aus, aber tatsächlich reicht es, sich die Formel für das Volumen eines Parallelepipeds zu merken:

wobei $S$ die Fläche der Basis ist (in unserem Fall ist dies die Fläche des Parallelogramms auf der Ebene $OXY$), $h$ die zu dieser Basis gezeichnete Höhe (tatsächlich das $ z$-Koordinate des Vektors $((v)_(3) )$).

Auch die Fläche eines Parallelogramms (wir haben es separat gezeichnet) lässt sich leicht berechnen:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir schreiben die Antworten auf.

Antwort: 3; 4; 24.

Eine kleine Anmerkung zum Notationssystem. Manchen Leuten wird es wahrscheinlich nicht gefallen, dass ich die „Pfeile“ über den Vektoren ignoriere. Angeblich kann man einen Vektor mit einem Punkt oder etwas anderem verwechseln.

Aber seien wir mal im Ernst: Wir sind bereits erwachsene Jungen und Mädchen, daher verstehen wir aus dem Kontext heraus sehr gut, wann wir über einen Vektor und wann über einen Punkt sprechen. Die Pfeile verstopfen nur die Erzählung, die ohnehin bis zum Rand mit mathematischen Formeln vollgestopft ist.

Und weiter. Im Prinzip hindert uns nichts daran, die Determinante einer 1x1-Matrix zu betrachten – eine solche Matrix ist einfach eine Zelle, und die in diese Zelle geschriebene Zahl ist die Determinante. Hier gibt es jedoch einen wichtigen Hinweis:

Im Gegensatz zum klassischen Volumen gibt uns die Determinante das sogenannte „ orientiertes Volumen", d.h. Volumen unter Berücksichtigung der Reihenfolge der Betrachtung von Zeilenvektoren.

Und wenn Sie das Volumen im klassischen Sinne des Wortes erhalten möchten, müssen Sie das Determinantenmodul belegen, aber jetzt brauchen Sie sich darüber keine Sorgen mehr zu machen – jedenfalls werden wir in wenigen Sekunden lernen, wie man jede Determinante berechnet mit beliebigen Zeichen, Größen usw. :)

Algebraische Definition

Bei aller Schönheit und Klarheit des geometrischen Ansatzes hat er einen gravierenden Nachteil: Er sagt uns nichts darüber, wie genau diese Determinante berechnet werden soll.

Daher werden wir nun eine alternative Definition analysieren – algebraisch. Dazu benötigen wir eine kurze theoretische Vorbereitung, am Ende erhalten wir aber ein Werkzeug, mit dem wir in Matrizen berechnen können, was und wie wir wollen.

Zwar wird dort ein neues Problem auftauchen ... aber das Wichtigste zuerst.

Permutationen und Inversionen

Schreiben wir die Zahlen von 1 bis $n$ in eine Zeile. Sie erhalten so etwas:

Lassen Sie uns nun (nur zum Spaß) ein paar Zahlen vertauschen. Sie können die benachbarten ändern:

Oder vielleicht - nicht besonders benachbart:

Und rate was? Nichts! In der Algebra nennt man diesen Mist Permutation. Und es hat viele Eigenschaften.

Definition. Eine Permutation der Länge $n$ ist eine Folge von $n$ verschiedenen Zahlen, die in beliebiger Reihenfolge geschrieben sind. Normalerweise werden die ersten $n$ natürlichen Zahlen berücksichtigt (d. h. nur die Zahlen 1, 2, ..., $n$) und dann gemischt, um die gewünschte Permutation zu erhalten.

Permutationen werden auf die gleiche Weise wie Vektoren bezeichnet – einfach durch einen Buchstaben und eine fortlaufende Auflistung ihrer Elemente in Klammern. Zum Beispiel: $p=\left(1;3;2 \right)$ oder $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Der Buchstabe kann alles sein, aber sei $p$. :)

Darüber hinaus werden wir der Einfachheit halber mit Permutationen der Länge 5 arbeiten – sie sind bereits schwerwiegend genug, um verdächtige Auswirkungen zu beobachten, aber für ein fragiles Gehirn noch nicht so schwerwiegend wie Permutationen der Länge 6 oder mehr. Hier sind Beispiele für solche Permutationen:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(align)\]

Natürlich kann eine Permutation der Länge $n$ als eine Funktion betrachtet werden, die auf der Menge $\left\( 1;2;...;n \right\)$ definiert ist und diese Menge bijektiv auf sich selbst abbildet. Zurück zu den gerade notierten Permutationen $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ und $((p)_(3))$, können wir ganz berechtigt schreiben:

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ links(2 \rechts)=4;\]

Die Anzahl verschiedener Permutationen der Länge $n$ ist immer begrenzt und gleich $n!$ – das ist eine aus der Kombinatorik leicht beweisbare Tatsache. Wenn wir beispielsweise alle Permutationen der Länge 5 aufschreiben wollen, dann werden wir sehr zögern, da es solche Permutationen geben wird

Eines der Hauptmerkmale jeder Permutation ist die Anzahl der darin enthaltenen Inversionen.

Definition. Inversion in der Permutation $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ – jedes Paar $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ mit $i \lt j$, aber $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. Einfach ausgedrückt liegt eine Inversion vor, wenn eine größere Zahl links von einer kleineren Zahl steht (nicht unbedingt ihrem Nachbarn).

Wir werden mit $N\left(p \right)$ die Anzahl der Inversionen in der Permutation $p$ bezeichnen, aber seien Sie darauf vorbereitet, auf andere Notationen in verschiedenen Lehrbüchern und verschiedenen Autoren zu stoßen – hier gibt es keine einheitlichen Standards. Das Thema Inversionen ist sehr umfangreich und wird in einer eigenen Lektion behandelt. Jetzt besteht unsere Aufgabe lediglich darin, zu lernen, wie man sie bei realen Problemen zählt.

Zählen wir zum Beispiel die Anzahl der Inversionen in der Permutation $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right ).\]

Somit ist $N\left(p \right)=5$. Wie Sie sehen, ist daran nichts auszusetzen. Ich sage gleich: Von nun an werden wir uns nicht mehr so ​​sehr für die Zahl $N\left(p \right)$ selbst interessieren, sondern für ihre Gleichmäßigkeit/Ungerade. Und hier kommen wir nahtlos zum Schlüsselbegriff der heutigen Lektion.

Was ist eine Determinante?

Gegeben sei eine quadratische Matrix $A=\left[ n\times n \right]$. Dann:

Definition. Die Determinante der Matrix $A=\left[ n\times n \right]$ ist die algebraische Summe von $n!$ Termen, die wie folgt zusammengesetzt sind. Jeder Term ist das Produkt von $n$ Matrixelementen, eines aus jeder Zeile und jeder Spalte, multipliziert mit (−1) hoch der Anzahl der Inversionen:

\[\left| A\right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Der grundlegende Punkt bei der Auswahl von Faktoren für jeden Term in der Determinante ist die Tatsache, dass keine zwei Faktoren in derselben Zeile oder derselben Spalte erscheinen.

Dadurch können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass die Indizes $i$ der Faktoren $((a)_(i;j))$ die Werte 1, ..., $n$ „durchlaufen“. , und die Indizes $j$ sind eine Permutation von first:

Und wenn es eine Permutation $p$ gibt, können wir die Inversionen $N\left(p \right)$ leicht berechnen – und der nächste Term der Determinante ist fertig.

Natürlich verbietet niemand den Austausch von Faktoren in irgendeinem Term (oder in allen auf einmal – warum Zeit mit Kleinigkeiten verschwenden?), und dann werden die ersten Indizes auch eine Art Neuordnung darstellen. Aber am Ende wird sich nichts ändern: Die Gesamtzahl der Inversionen in den Indizes $i$ und $j$ bleibt bei solchen Verzerrungen gleich, was durchaus mit der guten alten Regel übereinstimmt:

Durch die Neuanordnung der Faktoren ändert sich das Produkt der Zahlen nicht.

Hängen Sie diese Regel nur nicht an die Matrixmultiplikation an – im Gegensatz zur Zahlenmultiplikation ist sie nicht kommutativ. Aber ich schweife ab. :)

Matrix 2x2

Tatsächlich können Sie auch eine 1x1-Matrix in Betracht ziehen – dies ist eine Zelle, und ihre Determinante ist, wie Sie sich vorstellen können, gleich der in dieser Zelle geschriebenen Zahl. Nichts Interessantes.

Betrachten wir also eine 2x2-Quadratmatrix:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(matrix) \right]\]

Da die Anzahl der darin enthaltenen Zeilen $n=2$ beträgt, enthält die Determinante $n!=2!=1\cdot 2=2$ Terme. Schreiben wir sie auf:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \right))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \right))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\end(align)\]

Offensichtlich gibt es in der aus zwei Elementen bestehenden Permutation $\left(1;2 \right)$ keine Inversionen, also $N\left(1;2 \right)=0$. Aber in der Permutation $\left(2;1 \right)$ gibt es eine Umkehrung (tatsächlich 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Insgesamt sieht die universelle Formel zur Berechnung der Determinante für eine 2x2-Matrix wie folgt aus:

\[\left| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( Matrix) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Grafisch lässt sich dies als Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale minus dem Produkt der Elemente auf der Seitendiagonale darstellen:

Determinante einer 2x2-Matrix

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

\[\left| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|;\quad \left| \begin(matrix) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matrix) \right|.\]

Lösung. Alles wird in einer Zeile gezählt. Erste Matrix:

Und der zweite:

Antwort: −3; −161.

Allerdings war es zu einfach. Schauen wir uns 3x3-Matrizen an – das ist schon interessant.

Matrix 3x3

Betrachten Sie nun eine 3x3-Quadratmatrix:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matrix) \right]\]

Bei der Berechnung seiner Determinante erhalten wir $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ Terme – nicht zu viele, um in Panik zu geraten, aber genug, um nach Mustern zu suchen. Schreiben wir zunächst alle Permutationen der drei Elemente auf und zählen wir die Umkehrungen in jedem von ihnen:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\ left(1;2;3 \right)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2 \right)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3 \right)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1 \right)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2 \right)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1 \right)=3. \\\end(align)\]

Wie erwartet wurden insgesamt 6 Permutationen ausgeschrieben: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (natürlich wäre es möglich, sie in auszuschreiben eine andere Reihenfolge - das macht keinen Unterschied, wird sich ändern), und die Anzahl der Inversionen variiert zwischen 0 und 3.

Im Allgemeinen haben wir drei Terme mit einem „Plus“ (wobei $N\left(p \right)$ gerade ist) und drei weitere mit einem „Minus“. Im Allgemeinen wird die Determinante nach der Formel berechnet:

\[\left| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\end (Matrix) \right|=\begin(matrix) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matrix)\]

Setzen Sie sich jetzt bloß nicht hin und stopfen Sie hektisch alle diese Indizes! Anstelle unverständlicher Zahlen ist es besser, sich die folgende Gedächtnisregel zu merken:

Dreiecksregel. Um die Determinante einer 3x3-Matrix zu ermitteln, müssen Sie drei Produkte von Elementen addieren, die sich auf der Hauptdiagonale und an den Eckpunkten gleichschenkliger Dreiecke mit einer Seite parallel zu dieser Diagonale befinden, und dann dieselben drei Produkte subtrahieren, jedoch auf der Nebendiagonale . Schematisch sieht es so aus:

Determinante einer 3x3-Matrix: Dreiecksregel

Es sind diese Dreiecke (oder Pentagramme, was auch immer Sie bevorzugen), die in allen Arten von Algebra-Lehrbüchern und -Handbüchern gerne gezeichnet werden. Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Berechnen wir besser eine solche Determinante – um uns vor den wirklich schwierigen Dingen aufzuwärmen. :)

Aufgabe. Berechnen Sie die Determinante:

\[\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

Lösung. Wir arbeiten nach der Dreiecksregel. Zählen wir zunächst drei Terme, die aus Elementen auf der Hauptdiagonalen und parallel dazu bestehen:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(align) \]

Schauen wir uns nun die Seitendiagonale an:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(align) \]

Jetzt müssen wir nur noch die zweite von der ersten Zahl subtrahieren – und wir erhalten die Antwort:

Das ist alles!

Determinanten von 3x3-Matrizen sind jedoch noch nicht der Gipfel des Könnens. Das Interessanteste erwartet uns weiterhin. :)

Allgemeines Schema zur Berechnung von Determinanten

Wie wir wissen, beträgt die Anzahl der Terme in der Determinante mit zunehmender Matrixdimension $n$ $n!$ und wächst schnell. Dennoch ist Fakultät kein Blödsinn; es ist eine ziemlich schnell wachsende Funktion.

Schon für 4x4-Matrizen wird die direkte Zählung von Determinanten (d. h. durch Permutationen) irgendwie nicht sehr gut. Über 5x5 und mehr schweige ich im Allgemeinen. Daher spielen einige Eigenschaften der Determinante eine Rolle, aber um sie zu verstehen, bedarf es einer kleinen theoretischen Vorbereitung.

Bereit? Gehen!

Was ist ein Matrix-Moll?

Gegeben sei eine beliebige Matrix $A=\left[ m\times n \right]$. Hinweis: Nicht unbedingt quadratisch. Im Gegensatz zu Determinanten sind Minderjährige so niedliche Dinge, die nicht nur in strengen quadratischen Matrizen existieren. Wählen wir mehrere (zum Beispiel $k$) Zeilen und Spalten in dieser Matrix aus, mit $1\le k\le m$ und $1\le k\le n$. Dann:

Definition. Ein Minor der Ordnung $k$ ist die Determinante einer quadratischen Matrix, die am Schnittpunkt ausgewählter $k$-Spalten und -Zeilen entsteht. Wir werden diese neue Matrix selbst auch Moll nennen.

Ein solcher Minderjähriger wird mit $((M)_(k))$ bezeichnet. Natürlich kann eine Matrix eine ganze Reihe von Minderjährigen der Ordnung $k$ haben. Hier ist ein Beispiel für einen Minor der Ordnung 2 für die Matrix $\left[ 5\times 6 \right]$:

Auswahl von $k = 2$ Spalten und Zeilen, um einen Minor zu bilden

Es ist überhaupt nicht notwendig, dass die ausgewählten Zeilen und Spalten nebeneinander liegen, wie im besprochenen Beispiel. Die Hauptsache ist, dass die Anzahl der ausgewählten Zeilen und Spalten gleich ist (das ist die Zahl $k$).

Es gibt eine andere Definition. Vielleicht gefällt es jemandem besser:

Definition. Gegeben sei eine rechteckige Matrix $A=\left[ m\times n \right]$. Wenn nach dem Löschen einer oder mehrerer Spalten und einer oder mehrerer Zeilen eine quadratische Matrix der Größe $\left[ k\times k \right]$ entsteht, dann ist ihre Determinante die Nebenmatrix $((M)_(k)) $ . Wir werden die Matrix selbst manchmal auch als Moll bezeichnen – dies wird aus dem Kontext deutlich.

Wie meine Katze sagte: Manchmal ist es besser, aus dem 11. Stock zum Fressen zurückzukommen, als auf dem Balkon zu miauen.

Beispiel. Die Matrix sei gegeben

Durch Auswahl von Zeile 1 und Spalte 2 erhalten wir ein Nebenfach erster Ordnung:

\[((M)_(1))=\left| 7\right|=7\]

Durch Auswahl der Zeilen 2, 3 und Spalten 3, 4 erhalten wir einen Nebensatz zweiter Ordnung:

\[((M)_(2))=\left| \begin(matrix) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matrix) \right|=5-18=-13\]

Und wenn Sie alle drei Zeilen sowie die Spalten 1, 2, 4 auswählen, gibt es ein Nebenfach dritter Ordnung:

\[((M)_(3))=\left| \begin(matrix) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

Für den Leser wird es nicht schwer sein, weitere Minderjährige der Ordnungen 1, 2 oder 3 zu finden. Deshalb machen wir weiter.

Algebraische Ergänzungen

„Na gut, was geben uns diese kleinen Schergen?“ - Sie fragen sich wahrscheinlich. Allein - nichts. Aber in quadratischen Matrizen hat jedes Moll einen „Begleiter“ – einen zusätzlichen Moll sowie ein algebraisches Komplement. Und zusammen werden uns diese beiden Tricks ermöglichen, die Determinanten wie Nüsse zu knacken.

Definition. Gegeben sei eine quadratische Matrix $A=\left[ n\times n \right]$, in der das Nebenelement $((M)_(k))$ gewählt ist. Dann ist der zusätzliche Minor für den Minor $((M)_(k))$ ein Teil der ursprünglichen Matrix $A$, der nach dem Löschen aller Zeilen und Spalten übrig bleibt, die an der Bildung des Minor $((M)_ beteiligt sind. (k))$:

Zusätzliches Moll zu Moll $((M)_(2))$

Lassen Sie uns einen Punkt klarstellen: Ein zusätzliches Moll ist nicht nur ein „Stück der Matrix“, sondern eine Determinante dieses Stücks.

Zusätzliche Minderjährige sind mit einem Sternchen gekennzeichnet: $M_(k)^(*)$:

wobei die Operation $A\nabla ((M)_(k))$ wörtlich „die in $((M)_(k))$ enthaltenen Zeilen und Spalten aus $A$ löschen“ bedeutet. Diese Operation wird in der Mathematik nicht allgemein akzeptiert – ich habe sie nur der Schönheit der Geschichte wegen selbst erfunden. :)

Zusätzliche Minderjährige werden selten allein verwendet. Sie sind Teil einer komplexeren Konstruktion – des algebraischen Komplements.

Definition. Das algebraische Komplement eines kleinen $((M)_(k))$ ist das zusätzliche kleine $M_(k)^(*)$ multipliziert mit dem Wert $((\left(-1 \right))^(S ))$ , wobei $S$ die Summe der Anzahl aller Zeilen und Spalten ist, die am ursprünglichen Nebenwert $((M)_(k))$ beteiligt sind.

In der Regel wird das algebraische Komplement eines kleinen $((M)_(k))$ mit $((A)_(k))$ bezeichnet. Deshalb:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Schwierig? Auf den ersten Blick ja. Aber genau das ist es nicht. Denn in Wirklichkeit ist alles einfach. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Beispiel. Gegeben eine 4x4-Matrix:

Wählen wir ein Moll zweiter Ordnung

\[((M)_(2))=\left| \begin(matrix) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matrix) \right|\]

Captain Obviousness scheint uns darauf hinzuweisen, dass bei der Zusammenstellung dieses Nebenfachs die Zeilen 1 und 4 sowie die Spalten 3 und 4 beteiligt waren. Streichen Sie sie durch und wir erhalten ein zusätzliches Nebenfach:

Es bleibt noch die Zahl $S$ zu finden und das algebraische Komplement zu erhalten. Da wir die Anzahl der beteiligten Zeilen (1 und 4) und Spalten (3 und 4) kennen, ist alles einfach:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Antwort: $((A)_(2))=-4$

Das ist alles! Tatsächlich liegt der ganze Unterschied zwischen einem zusätzlichen Moll und einem algebraischen Komplement nur im Minus vorne, und selbst dann nicht immer.

Satz von Laplace

Und so kamen wir zu dem Punkt, warum all diese Moll- und algebraischen Ergänzungen tatsächlich nötig waren.

Satz von Laplace über die Zerlegung der Determinante. Es seien $k$ Zeilen (Spalten) in einer Matrix der Größe $\left[ n\times n \right]$ ausgewählt, mit $1\le k\le n-1$. Dann ist die Determinante dieser Matrix gleich der Summe aller Produkte von Minderjährigen der Ordnung $k$, die in den ausgewählten Zeilen (Spalten) enthalten sind, und ihrer algebraischen Komplemente:

\[\left| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Darüber hinaus wird es genau $C_(n)^(k)$ solcher Terme geben.

Okay, okay: über $C_(n)^(k)$ – ich gebe schon an, so etwas gab es im ursprünglichen Laplace-Theorem nicht. Aber niemand hat die Kombinatorik abgeschafft, und ein kurzer Blick auf die Bedingung lässt Sie buchstäblich selbst erkennen, dass es genau so viele Begriffe geben wird. :)

Wir werden es nicht beweisen, obwohl es keine besondere Schwierigkeit darstellt – alle Berechnungen laufen auf die guten alten Permutationen und gerade/ungerade Umkehrungen hinaus. Der Beweis wird jedoch in einem separaten Absatz vorgelegt, und heute haben wir eine rein praktische Lektion.

Daher gehen wir zu einem Sonderfall dieses Theorems über, bei dem die Minderjährigen einzelne Zellen der Matrix sind.

Zerlegung der Determinante in Zeile und Spalte

Worüber wir jetzt sprechen werden, ist genau das Hauptwerkzeug für die Arbeit mit Determinanten, für das dieser ganze Unsinn mit Permutationen, Minoren und algebraischen Additionen begonnen wurde.

Lesen und genießen Sie:

Folgerung des Satzes von Laplace (Zerlegung der Determinante in Zeile/Spalte). Es sei eine Zeile in einer Matrix der Größe $\left[ n\times n \right]$ ausgewählt. Die Untergeordneten in dieser Zeile sind $n$ einzelne Zellen:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Auch zusätzliche Nebenwerte lassen sich leicht berechnen: Nehmen Sie einfach die Originalmatrix und streichen Sie die Zeile und Spalte mit $((a)_(ij))$ durch. Nennen wir solche Minderjährigen $M_(ij)^(*)$.

Für das algebraische Komplement benötigen wir noch die Zahl $S$, im Fall eines Minor der Ordnung 1 ist es aber einfach die Summe der „Koordinaten“ der Zelle $((a)_(ij))$:

Und dann kann die ursprüngliche Determinante gemäß dem Satz von Laplace als $((a)_(ij))$ und $M_(ij)^(*)$ geschrieben werden:

\[\left| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Das ist es Formel zum Zerlegen der Determinante in einer Reihe. Das Gleiche gilt jedoch auch für Spalten.

Aus dieser Konsequenz lassen sich sofort mehrere Schlussfolgerungen ziehen:

1. Dieses Schema funktioniert für Zeilen und Spalten gleichermaßen gut. Tatsächlich erfolgt die Zerlegung meist genau entlang der Spalten und nicht entlang der Zeilen.
2. Die Anzahl der Terme in der Erweiterung beträgt immer genau $n$. Das ist deutlich weniger als $C_(n)^(k)$ und noch mehr als $n!$.
3. Anstelle einer Determinante $\left[ n\times n \right]$ müssen Sie mehrere Determinanten der Größe eins weniger berücksichtigen: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \ rechts) \right ]$.

Die letzte Tatsache ist besonders wichtig. Anstelle der brutalen 4x4-Determinanten reicht es jetzt beispielsweise aus, mehrere 3x3-Determinanten zu zählen – damit kommen wir schon irgendwie zurecht. :)

Aufgabe. Finden Sie die Determinante:

\[\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matrix) \right|\]

Lösung. Erweitern wir diese Determinante entlang der ersten Zeile:

\[\begin(align) \left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matrix) \right|= & \\\end(align)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end(align)\]

Aufgabe. Finden Sie die Determinante:

\[\left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|\ ]

Lösung. Lassen Sie uns zur Abwechslung dieses Mal mit Spalten arbeiten. Beispielsweise enthält die letzte Spalte zwei Nullen gleichzeitig – dies wird die Berechnungen natürlich erheblich verkürzen. Jetzt werden Sie sehen, warum.

Also erweitern wir die Determinante in der vierten Spalte:

\[\begin(align) \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ right))^(2+4))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ right))^(3+4))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ rechts))^(4+4))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right| & \\\end(align)\]

Und dann – oh, Wunder! - Zwei Terme gehen sofort den Bach runter, da sie den Faktor „0“ enthalten. Es bleiben noch zwei 3x3-Determinanten übrig, mit denen wir leicht umgehen können:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end(align)\]

Gehen wir zurück zur Quelle und finden die Antwort:

\[\left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

OK, jetzt ist alles vorbei. Und nein 4! = 24 Begriffe mussten nicht gezählt werden. :)

Antwort: −2

Grundlegende Eigenschaften der Determinante

Im letzten Problem haben wir gesehen, wie das Vorhandensein von Nullen in den Zeilen (Spalten) der Matrix die Zerlegung der Determinante und im Allgemeinen alle Berechnungen erheblich vereinfacht. Es stellt sich natürlich die Frage: Ist es möglich, diese Nullen auch in der Matrix erscheinen zu lassen, wo sie ursprünglich nicht vorhanden waren?

Die Antwort ist klar: Kann. Und hier helfen uns die Eigenschaften der Determinante:

1. Wenn Sie zwei Zeilen (Spalten) vertauschen, ändert sich die Determinante nicht;
2. Wenn eine Zeile (Spalte) mit der Zahl $k$ multipliziert wird, wird auch die gesamte Determinante mit der Zahl $k$ multipliziert;
3. Wenn Sie eine Zeile nehmen und sie beliebig oft von einer anderen addieren (subtrahieren), ändert sich die Determinante nicht;
4. Wenn zwei Zeilen der Determinante gleich oder proportional sind oder eine der Zeilen mit Nullen gefüllt ist, dann ist die gesamte Determinante gleich Null;
5. Alle oben genannten Eigenschaften gelten auch für Spalten.
6. Beim Transponieren einer Matrix ändert sich die Determinante nicht;
7. Die Determinante des Matrizenprodukts ist gleich dem Determinantenprodukt.

Die dritte Eigenschaft ist von besonderem Wert: Wir können Subtrahieren Sie von einer Zeile (Spalte) eine andere, bis Nullen an den richtigen Stellen erscheinen.

Meistens laufen Berechnungen darauf hinaus, die gesamte Spalte überall bis auf ein Element auf „Null“ zu setzen und dann die Determinante über diese Spalte zu erweitern, wodurch eine Matrix mit einer um 1 kleineren Größe erhalten wird.

Mal sehen, wie das in der Praxis funktioniert:

Aufgabe. Finden Sie die Determinante:

\[\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ ]

Lösung. Hier scheint es überhaupt keine Nullen zu geben, Sie können also in jeder Zeile oder Spalte „bohren“ – die Anzahl der Berechnungen wird ungefähr gleich sein. Verschwenden wir keine Zeit mit Kleinigkeiten und „nullen“ die erste Spalte aus: Sie hat bereits eine Zelle mit einer Eins. Nehmen Sie also einfach die erste Zeile und subtrahieren Sie sie viermal von der zweiten, dreimal von der dritten und zweimal von der letzten.

Als Ergebnis erhalten wir eine neue Matrix, deren Determinante jedoch dieselbe ist:

\[\begin(matrix) \left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ begin(matrix) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matrix)= \\ =\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(Matrix) \right|= \\ =\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(Matrix) \right| \\\end(matrix)\]

Nun legen wir mit dem Gleichmut von Piglet diese Determinante in der ersten Spalte dar:

\[\begin(matrix) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|+0\cdot ((\ left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \richtig| \\\end(matrix)\]

Es ist klar, dass nur der erste Term „überleben“ wird – die Determinanten für den Rest habe ich nicht einmal aufgeschrieben, da sie immer noch mit Null multipliziert werden. Der Koeffizient vor der Determinante ist gleich eins, d.h. Du musst es nicht aufschreiben.

Aber Sie können die „Nachteile“ aus allen drei Zeilen der Determinante herausnehmen. Im Wesentlichen haben wir den Faktor (−1) dreimal herausgenommen:

\[\left| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\]

Wir haben eine kleine Determinante 3x3 erhalten, die bereits mit der Dreiecksregel berechnet werden kann. Aber wir werden versuchen, es in die erste Spalte zu zerlegen – glücklicherweise enthält die letzte Zeile stolz eine:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matrix)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right| \\\end(align)\]

Sie können natürlich trotzdem Spaß haben und die 2x2-Matrix entlang einer Zeile (Spalte) erweitern, aber Sie und ich reichen aus, also berechnen wir einfach die Antwort:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

So werden Träume zerstört. Nur −160 in der Antwort. :)

Antwort: −160.

Ein paar Anmerkungen, bevor wir zur letzten Aufgabe übergehen:

1. Die ursprüngliche Matrix war symmetrisch zur Sekundärdiagonale. Alle Minderjährigen in der Erweiterung sind ebenfalls symmetrisch in Bezug auf dieselbe Sekundärdiagonale.
2. Streng genommen könnten wir überhaupt nichts erweitern, sondern die Matrix einfach auf eine obere Dreiecksform reduzieren, wenn sich unter der Hauptdiagonale durchgezogene Nullen befinden. Dann ist (übrigens in strikter Übereinstimmung mit der geometrischen Interpretation) die Determinante gleich dem Produkt von $((a)_(ii))$ – den Zahlen auf der Hauptdiagonale.

Aufgabe. Finden Sie die Determinante:

\[\left| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|\ ]

Lösung. Nun, hier schreit die erste Zeile geradezu danach, „auf Null gesetzt“ zu werden. Nehmen Sie die erste Spalte und subtrahieren Sie genau einmal von allen anderen:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\left| \begin(matrix) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\left| \begin(matrix) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right| \\\end(align)\]

Wir erweitern entlang der ersten Zeile und entfernen dann die gemeinsamen Faktoren aus den verbleibenden Zeilen:

\[\cdot \left| \begin(matrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\]

Wieder sehen wir „schöne“ Zahlen, aber in der ersten Spalte legen wir die Determinante entsprechend an:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matrix)=240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ rechts))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( ausrichten)\]

Befehl. Das Problem ist behoben.

Matrizen lösen ist ein Konzept, das alle möglichen Operationen verallgemeinert, die mit Matrizen ausgeführt werden. Eine mathematische Matrix ist eine Tabelle mit Elementen. Über einen Tisch, wo M Linien und N Spalten soll diese Matrix die Dimension haben M An N.

Gesamtansicht der Matrix:

Für Matrixlösungen Es ist notwendig zu verstehen, was eine Matrix ist und ihre Hauptparameter zu kennen. Hauptelemente der Matrix:

Haupttypen von Matrizen:

• Quadrat ist eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen = die Anzahl der Spalten ( m=n).
• Null – wobei alle Matrixelemente = 0 sind.
• Transponierte Matrix - Matrix IN, die aus der Originalmatrix erhalten wurde A durch Ersetzen von Zeilen durch Spalten.
• Einheit – alle Elemente der Hauptdiagonale = 1, alle anderen = 0.
• Eine inverse Matrix ist eine Matrix, die bei Multiplikation mit der Originalmatrix eine Identitätsmatrix ergibt.

Die Matrix kann bezüglich der Haupt- und Nebendiagonalen symmetrisch sein. Das heißt, wenn a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, dann ist die Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale. Nur quadratische Matrizen können symmetrisch sein.

Methoden zur Lösung von Matrizen.

Fast alle Matrixlösungsmethoden besteht darin, seine Determinante zu finden N-te Reihenfolge und die meisten davon sind ziemlich umständlich. Um die Determinante 2. und 3. Ordnung zu finden, gibt es andere, rationalere Methoden.

Determinanten 2. Ordnung finden.

Die Determinante einer Matrix berechnen A 2. Ordnung ist es notwendig, das Produkt der Elemente der Nebendiagonale vom Produkt der Elemente der Hauptdiagonale zu subtrahieren:

Methoden zum Finden von Determinanten 3. Ordnung.

Nachfolgend finden Sie die Regeln zum Ermitteln der Determinante 3. Ordnung.

Die Dreiecksregel zum Lösen von Matrizen.

Vereinfachte Dreiecksregel als eine von Matrixlösungsmethoden lässt sich so darstellen:

Mit anderen Worten: Das Produkt der Elemente in der ersten Determinante, die durch gerade Linien verbunden sind, wird mit einem „+“-Zeichen versehen; Auch für die 2. Determinante werden die entsprechenden Produkte mit dem „-“-Zeichen genommen, also nach folgendem Schema:

Regel von Sarrus zum Lösen von Matrizen.

Bei Lösen von Matrizen mithilfe der Sarrus-Regel, rechts von der Determinante die ersten beiden Spalten addieren und die Produkte der entsprechenden Elemente auf der Hauptdiagonale und auf den dazu parallelen Diagonalen mit einem „+“-Zeichen versehen; und die Produkte der entsprechenden Elemente der Nebendiagonale und der dazu parallelen Diagonalen mit dem Vorzeichen „-“:

Zerlegen der Determinante in einer Zeile oder Spalte beim Lösen von Matrizen.

Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente der Reihe der Determinante und ihrer algebraischen Komplemente. Normalerweise wird die Zeile/Spalte ausgewählt, die Nullen enthält. Die Zeile oder Spalte, entlang derer die Zerlegung durchgeführt wird, wird durch einen Pfeil angezeigt.

Reduzierung der Determinante auf Dreiecksform beim Lösen von Matrizen.

Bei Lösen von Matrizen Methode zur Reduzierung der Determinante auf eine Dreiecksform, sie funktionieren wie folgt: Durch die Verwendung der einfachsten Transformationen in Zeilen oder Spalten nimmt die Determinante eine Dreiecksform an und dann ist ihr Wert entsprechend den Eigenschaften der Determinante gleich dem Produkt der Elemente, die auf der Hauptdiagonale liegen.

Satz von Laplace zur Lösung von Matrizen.

Wenn Sie Matrizen mithilfe des Satzes von Laplace lösen, müssen Sie den Satz selbst kennen. Satz von Laplace: Let Δ ist eine Determinante N-te Ordnung. Wir wählen alle aus k Zeilen (oder Spalten) bereitgestellt k ≤ n – 1. In diesem Fall die Summe der Produkte aller Minderjährigen k-te Ordnung in der Auswahl enthalten k Zeilen (Spalten) werden durch ihre algebraischen Komplemente gleich der Determinante sein.

Lösen der inversen Matrix.

Aktionsfolge für inverse Matrixlösungen:

1. Bestimmen Sie, ob eine gegebene Matrix quadratisch ist. Wenn die Antwort negativ ist, wird klar, dass es dafür keine inverse Matrix geben kann.
2. Wir berechnen algebraische Komplemente.
3. Wir erstellen eine Unionsmatrix (gegenseitig, adjungiert). C.
4. Wir bilden die inverse Matrix aus algebraischen Additionen: allen Elementen der adjungierten Matrix C dividiere durch die Determinante der Anfangsmatrix. Die endgültige Matrix ist die erforderliche inverse Matrix relativ zur angegebenen.
5. Wir überprüfen die geleistete Arbeit: Multiplizieren Sie die Ausgangsmatrix und die resultierende Matrix. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.

Lösung von Matrixsystemen.

Für Lösungen von Matrixsystemen Am häufigsten wird die Gaußsche Methode verwendet.

Die Gauß-Methode ist eine Standardmethode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme (SLAEs) und besteht darin, dass Variablen sequentiell eliminiert werden, d. h. mit Hilfe elementarer Änderungen wird das Gleichungssystem auf ein äquivalentes Dreieckssystem gebracht Form und finden Sie daraus nacheinander, ausgehend von dieser (nach Nummer), jedes Element des Systems.

Gauß-Methode ist das vielseitigste und beste Werkzeug zum Finden von Matrixlösungen. Wenn ein System unendlich viele Lösungen hat oder das System inkompatibel ist, kann es nicht mit der Cramer-Regel und der Matrixmethode gelöst werden.

Die Gauß-Methode impliziert auch direkte (Reduzieren der erweiterten Matrix auf eine schrittweise Form, d. h. Erhalten von Nullen unter der Hauptdiagonale) und umgekehrte (Erhalten von Nullen über der Hauptdiagonalen der erweiterten Matrix) Bewegungen. Die Vorwärtsbewegung ist die Gauß-Methode, die Rückwärtsbewegung ist die Gauß-Jordan-Methode. Die Gauß-Jordan-Methode unterscheidet sich von der Gauß-Methode nur in der Reihenfolge der Eliminierung der Variablen.

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In diesem Artikel lernen wir ein sehr wichtiges Konzept aus dem Zweig der linearen Algebra kennen, das als Determinante bezeichnet wird.

Einen wichtigen Punkt möchte ich gleich anmerken: Das Konzept der Determinante gilt nur für quadratische Matrizen (Anzahl Zeilen = Anzahl Spalten), andere Matrizen haben es nicht.

4. Schauen wir uns nun Beispiele mit reellen Zahlen an:

Die Dreiecksregel ist eine Methode zur Berechnung der Determinante einer Matrix, bei der sie nach dem folgenden Schema ermittelt wird:

Wie Sie bereits wissen, wurde die Methode Dreiecksregel genannt, da die multiplizierten Elemente der Matrix eigentümliche Dreiecke bilden.

Um dies besser zu verstehen, schauen wir uns ein Beispiel an:

Schauen wir uns nun die Berechnung der Determinante einer Matrix mit reellen Zahlen mithilfe der Dreiecksregel an:

Um das behandelte Material zu festigen, lösen wir ein weiteres praktisches Beispiel:

3. Die Determinante der transponierten Matrix ist gleich der Determinante der Originalmatrix.

4. Die Determinante ist gleich Null, wenn die Elemente einer Zeile gleich den entsprechenden Elementen einer anderen Zeile sind (auch für Spalten). Das einfachste Beispiel für diese Eigenschaft von Determinanten ist:

5. Die Determinante ist gleich Null, wenn ihre beiden Zeilen proportional sind (auch für die Spalten). Beispiel (Zeilen 1 und 2 sind proportional):

6. Der gemeinsame Faktor einer Zeile (Spalte) kann aus dem Determinantenzeichen entnommen werden.

7) Die Determinante ändert sich nicht, wenn die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) zu den Elementen einer beliebigen Zeile (Spalte) addiert und mit demselben Wert multipliziert werden. Schauen wir uns das anhand eines Beispiels an:

Determinante einer Matrix: Algorithmus und Beispiele zur Berechnung der Determinante einer Matrix

Die Determinante einer Matrix ist eine bestimmte Zahl, mit der jede quadratische Matrix A = (a i j) n × n verglichen werden kann.

|A|, ∆, det A sind Symbole, die die Determinante der Matrix bezeichnen.

Die Methode zur Berechnung der Determinante wird abhängig von der Reihenfolge der Matrix gewählt.

Die Determinante einer Matrix 2. Ordnung wird nach folgender Formel berechnet:

d e t A = 1 - 2 3 1 = 1 × 1 - 3 × (- 2) = 1 + 6 = 7

Determinante einer Matrix 3. Ordnung: Dreiecksregel

Um die Determinante einer Matrix 3. Ordnung zu finden, benötigen Sie eine der folgenden Regeln:

• Dreiecksregel;
• Sarrus-Regel.

Wie finde ich die Determinante einer Matrix 3. Ordnung mit der Dreiecksmethode?

A = 1 3 4 0 2 1 1 5 - 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 - 1 = 1 × 2 × (- 2) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 - 1 × 2 × 4 - 0 × 3 × (- 1) - 5 × 1 × 1 = (- 2) + 3 + 0 - 8 - 0 - 5 = - 12

Sarrus-Herrschaft

Um die Determinante mit der Sarrus-Methode zu berechnen, müssen Sie einige Bedingungen berücksichtigen und die folgenden Schritte ausführen:

• füge die ersten beiden Spalten links von der Determinante hinzu;
• Multiplizieren Sie die Elemente, die sich auf der Hauptdiagonale und den dazu parallelen Diagonalen befinden, und nehmen Sie die Produkte mit dem „+“-Zeichen;
• Multiplizieren Sie die Elemente, die sich auf den Seitendiagonalen und parallel dazu befinden, und nehmen Sie die Produkte mit dem „-“-Zeichen.

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 – a 31 × a 22 × a 13 – a 21 × a 12 × a 33 – a 11 × a 23 × a 32

A = 1 3 4 0 2 1 - 2 5 - 1 1 3 0 2 - 2 5 = 1 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 2) + 4 × 0 × 5 - 4 × 2 × ( - 2) - 1 × 1 × 5 - 3 × 0 × (- 1) = - 2 - 6 + 0 + 16 - 5 - 0 = 3

Methoden zur Zerlegung nach Zeilen- und Spaltenelementen

Um die Determinante einer Matrix 4. Ordnung zu berechnen, können Sie eine von zwei Methoden verwenden:

• Zerlegung in Linienelemente;
• Erweiterung in Säulenelemente.

Die vorgestellten Methoden bestimmen die Berechnung der Determinante N wie man die Ordnungsdeterminante berechnet N -1 indem man die Determinante als Summe der Produkte der Elemente einer Zeile (Spalte) und ihrer algebraischen Komplemente darstellt.

Zerlegung einer Matrix in Zeilenelemente:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + a i n × A i n

Matrixzerlegung in Spaltenelemente:

d e t A = a 1 i × A 1 i + a 2 i × A 2 i + . . . + a n i × A n i

Wenn Sie eine Matrix nach Zeilen- (Spalten-) Elementen zerlegen, müssen Sie die Zeile (Spalte) auswählen, die Nullen enthält.

A = 0 1 - 1 3 2 1 0 0 - 2 4 5 1 3 2 1 0

• Erweitern Sie die 2. Zeile:

A = 0 1 - 1 3 2 1 0 0 - 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × (- 1) 3 × 1 - 1 3 - 2 5 1 3 1 0 = - 2 × 1 - 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

• Ordnen Sie nach der 4. Spalte:

A = 0 1 - 1 3 2 1 0 0 - 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × (- 1) 5 × 2 1 0 - 2 4 5 3 2 1 + 1 × (- 1) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

Eigenschaften der Determinante

• Wenn Sie Spalten oder Zeilen mit geringfügigen Aktionen transformieren, hat dies keinen Einfluss auf den Wert der Determinante.
• Wenn Sie Zeilen und Spalten vertauschen, ändert sich das Vorzeichen in das Gegenteil;
• Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Elemente, die auf der Hauptdiagonale liegen.

A = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t A = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Die Determinante einer Matrix, die die Nullspalte enthält, ist Null.

Berechnung von Determinanten

Methoden zum Finden von Determinanten

1. Determinante einer Matrix durch Zeilen- und Spaltenerweiterung durch Minderjährige.
2. Determinante einer Matrix nach der Dreiecksmethode
3. Matrixdeterminante durch Ordnungsreduktionsmethode
4. Determinante durch Reduktionsmethode auf Dreiecksform (Gauss-Methode)
5. Matrixdeterminante durch Zerlegungsmethode

Eigenschaft von Determinanten

1. Wenn eine Matrix transponiert wird, ändert sich ihre Determinante nicht.
2. Wenn Sie zwei Zeilen oder zwei Spalten einer Determinante vertauschen, ändert sich das Vorzeichen der Determinante, der Absolutwert ändert sich jedoch nicht.
3. Sei C = AB, wobei A und B quadratische Matrizen sind. Dann ist detC = detA ∙ detB.
4. Eine Determinante mit zwei identischen Zeilen oder zwei identischen Spalten ist gleich 0. Wenn alle Elemente einer bestimmten Zeile oder Spalte gleich Null sind, dann ist die Determinante selbst gleich Null.
5. Eine Determinante mit zwei proportionalen Zeilen oder Spalten ist 0.
6. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale.
7. Wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit derselben Zahl multipliziert werden, wird die Determinante mit dieser Zahl multipliziert.
8. Wenn jedes Element einer bestimmten Zeile (Spalte) einer Determinante als Summe zweier Terme dargestellt wird, dann ist die Determinante gleich der Summe zweier Determinanten, in denen alle Zeilen (Spalten) außer dieser gleich sind, und in In dieser Zeile (Spalte) ist die erste Determinante der erste und in der zweiten der zweite Term.
9. Satz von Jacobi: Wenn wir zu den Elementen einer bestimmten Spalte der Determinante die entsprechenden Elemente einer anderen Spalte hinzufügen, multipliziert mit einem beliebigen Faktor λ, dann ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Somit bleibt die Determinante der Matrix unverändert, wenn:

• Matrix transponieren;
• Füge zu jeder Zeichenfolge eine weitere Zeichenfolge hinzu, multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

Übung 1. Berechnen Sie die Determinante, indem Sie sie zeilen- oder spaltenweise erweitern.
Lösung:xml:xls
Beispiel 1:xml:xls

Aufgabe 2. Berechnen Sie die Determinante auf zwei Arten: a) mit der „Dreiecks“-Regel; b) Erweiterung entlang einer Linie.

Lösung.
a) Die im Minuszeichen enthaltenen Terme sind hinsichtlich der Seitendiagonalen gleich aufgebaut.

Berechnung der Determinante durch Spaltenerweiterung

Nebenfach für (1,1):

∆ 1,1 = (2 1-(-1 (-1))) = 1
Moll für (2,1):

Lassen Sie uns eine Determinante für dieses Moll finden.
∆ 2,1 = (-1 1-(-1 0)) = -1
Nebenfach für (3,1):

Aufgabe Nr. 2. Berechnen Sie die Determinante vierter Ordnung.
Lösung.
Wir schreiben die Originalmatrix in der Form:

Lassen Sie uns die Determinante mithilfe der Spaltenerweiterung ermitteln:
Wir berechnen den Minor für das Element, das sich am Schnittpunkt der ersten Spalte und der ersten Zeile (1,1) befindet:
Wir streichen die 1. Zeile und 1. Spalte aus der Matrix.

Lassen Sie uns eine Determinante für dieses Moll finden.
∆ 1,1 = 0 (1 0-1 0)-1 (1 0-1 1)+1 (1 0-1 1) = 0
Moll für (2,1):
Wir streichen die 2. Zeile und 1. Spalte aus der Matrix.

Lassen Sie uns eine Determinante für dieses Moll finden.
∆ 2,1 = 1 (1 0-1 0)-1 (1 0-1 1)+1 (1 0-1 1) = 0
Wir berechnen den Minor für das Element, das sich am Schnittpunkt der ersten Spalte und der dritten Zeile befindet (3,1):
Wir streichen die 3. Zeile und 1. Spalte aus der Matrix.

Lassen Sie uns eine Determinante für dieses Moll finden.
∆ 3,1 = 1 (1 0-1 1)-0 (1 0-1 1)+1 (1 1-1 1) = -1
Nebenfach für (4,1):
Wir streichen die 4. Zeile und 1. Spalte aus der Matrix.

Beispiele:
B = a 1 1 a 2 2 a 3 3 - a 1 1 a 3 2 a 2 3 - a 1 2 a 2 1 a 3 3 + a 1 2 a 3 1 a 2 3 + a 1 3 a 2 1 a 3 2 - a 1 3 a 3 1 a 2 2
Die drei Terme, die in der Summe mit dem Pluszeichen enthalten sind, ergeben sich wie folgt: Ein Term besteht aus dem Produkt von Elementen, die auf der Hauptdiagonale liegen, die anderen beiden sind das Produkt von Elementen, die auf einer Parallele zu dieser Diagonale liegen, zuzüglich a dritter Faktor aus der gegenüberliegenden Ecke.
Die im Minuszeichen enthaltenen Terme sind in Bezug auf die Seitendiagonale gleich aufgebaut.

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Bei der Lösung von Problemen in der höheren Mathematik entsteht sehr oft der Bedarf Berechnen Sie die Determinante einer Matrix. Die Determinante einer Matrix kommt in der linearen Algebra, der analytischen Geometrie, der mathematischen Analysis und anderen Zweigen der höheren Mathematik vor. Daher ist es einfach unmöglich, auf die Fähigkeit zur Lösung von Determinanten zu verzichten. Zum Selbsttest können Sie außerdem kostenlos einen Determinantenrechner herunterladen. Er bringt Ihnen zwar nicht bei, wie man Determinanten selbst löst, ist aber sehr praktisch, da es immer von Vorteil ist, die richtige Antwort im Voraus zu kennen!

Ich werde keine strenge mathematische Definition der Determinante geben und im Allgemeinen versuchen, die mathematische Terminologie auf ein Minimum zu beschränken; dies wird es für die meisten Leser nicht einfacher machen. Der Zweck dieses Artikels besteht darin, Ihnen beizubringen, wie Sie Determinanten zweiter, dritter und vierter Ordnung lösen. Das gesamte Material wird in einer einfachen und zugänglichen Form präsentiert, und selbst eine volle (leere) Teekanne in höherer Mathematik wird nach sorgfältigem Studium des Materials in der Lage sein, die Determinanten richtig zu lösen.

In der Praxis findet man am häufigsten eine Determinante zweiter Ordnung, zum Beispiel: und eine Determinante dritter Ordnung, zum Beispiel: .

Determinante vierter Ordnung Es ist auch keine Antiquität und wir werden am Ende der Lektion darauf zurückkommen.

Ich hoffe, dass jeder Folgendes versteht: Die Zahlen innerhalb der Determinante leben von selbst, und von einer Subtraktion ist keine Rede! Nummern können nicht getauscht werden!

(Insbesondere ist es möglich, paarweise Permutationen von Zeilen oder Spalten der Determinante durchzuführen, indem man ihr Vorzeichen ändert, aber oft ist dies nicht notwendig – siehe nächste Lektion Eigenschaften der Determinante und Reduktion ihrer Ordnung)

Wenn also eine Determinante gegeben ist, dann Wir berühren nichts darin!

Bezeichnungen: Wenn eine Matrix gegeben ist , dann wird seine Determinante bezeichnet. Sehr oft wird die Determinante auch mit einem lateinischen oder griechischen Buchstaben bezeichnet.

1)Was bedeutet es, eine Determinante zu lösen (zu finden, aufzudecken)? Die Determinante zu berechnen bedeutet, DIE ZAHL ZU FINDEN. Die Fragezeichen in den obigen Beispielen sind ganz normale Zahlen.

2) Jetzt bleibt es noch herauszufinden WIE finde ich diese Nummer? Dazu müssen Sie bestimmte Regeln, Formeln und Algorithmen anwenden, die jetzt besprochen werden.

Beginnen wir mit der Determinante „zwei“ durch „zwei“:

Dies muss zumindest im Studium der höheren Mathematik an einer Universität beachtet werden.

Schauen wir uns gleich ein Beispiel an:

Bereit. Das Wichtigste ist, sich nicht von den Zeichen verwirren zu lassen.

Determinante einer Drei-mal-Drei-Matrix kann auf 8 Arten geöffnet werden, 2 davon sind einfach und 6 sind normal.

Beginnen wir mit zwei einfachen Möglichkeiten

Ähnlich wie die Zwei-mal-Zwei-Determinante kann die Drei-mal-Drei-Determinante mit der Formel erweitert werden:

Die Formel ist lang und aus Unachtsamkeit kann man leicht einen Fehler machen. Wie vermeide ich lästige Fehler? Zu diesem Zweck wurde eine zweite Methode zur Berechnung der Determinante erfunden, die tatsächlich mit der ersten übereinstimmt. Es wird Sarrus-Methode oder „Parallelstreifen“-Methode genannt.
Die Quintessenz ist, dass Sie rechts von der Determinante die erste und zweite Spalte zuordnen und sorgfältig Linien mit einem Bleistift zeichnen:

Multiplikatoren auf den „roten“ Diagonalen werden mit einem „Plus“-Zeichen in die Formel einbezogen.
Multiplikatoren auf den „blauen“ Diagonalen werden mit einem Minuszeichen in die Formel einbezogen:

Beispiel:

Vergleichen Sie die beiden Lösungen. Es ist leicht zu erkennen, dass dies dasselbe ist, nur dass im zweiten Fall die Formelfaktoren leicht neu angeordnet sind und, was am wichtigsten ist, die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, viel geringer ist.

Schauen wir uns nun die sechs normalen Methoden zur Berechnung der Determinante an

Warum normal? Denn in den allermeisten Fällen müssen Qualifikationsmerkmale auf diese Weise offengelegt werden.

Wie Sie bemerkt haben, hat die Drei-mal-Drei-Determinante drei Spalten und drei Zeilen.
Sie können die Determinante lösen, indem Sie sie öffnen nach jeder Zeile oder nach jeder Spalte.
Somit gibt es in allen Fällen 6 Methoden dieselbe Art Algorithmus.

Die Determinante der Matrix ist gleich der Summe der Produkte der Elemente der Zeile (Spalte) mit den entsprechenden algebraischen Komplementen. Beängstigend? Alles ist viel einfacher; wir werden einen unwissenschaftlichen, aber verständlichen Ansatz verwenden, der auch für jemanden zugänglich ist, der weit von der Mathematik entfernt ist.

Im nächsten Beispiel erweitern wir die Determinante in der ersten Zeile.
Dazu benötigen wir eine Zeichenmatrix: . Es ist leicht zu erkennen, dass die Schilder im Schachbrettmuster angeordnet sind.

Aufmerksamkeit! Die Zeichenmatrix ist meine eigene Erfindung. Dieses Konzept ist nicht wissenschaftlich, es muss nicht bei der endgültigen Gestaltung von Aufgaben verwendet werden, es hilft Ihnen lediglich, den Algorithmus zur Berechnung der Determinante zu verstehen.

Ich werde zuerst die vollständige Lösung geben. Wir nehmen wieder unsere experimentelle Determinante und führen die Berechnungen durch:

Und die Hauptfrage: WIE erhält man dies aus der Determinante „drei mal drei“:
?

Bei der „drei mal drei“-Determinante kommt es also darauf an, drei kleine Determinanten zu lösen, oder wie sie auch genannt werden: Minorow. Ich empfehle, sich den Begriff zu merken, zumal er einprägsam ist: Moll – klein.

Sobald die Zerlegungsmethode der Determinante ausgewählt ist in der ersten Zeile, es ist offensichtlich, dass sich alles um sie dreht:

Elemente werden normalerweise von links nach rechts angezeigt (oder von oben nach unten, wenn eine Spalte ausgewählt wurde).

Los geht's, zunächst beschäftigen wir uns mit dem ersten Element der Zeile, also mit einem:

1) Aus der Zeichenmatrix schreiben wir das entsprechende Zeichen heraus:

2) Dann schreiben wir das Element selbst:

3) Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, in der das erste Element vorkommt:

Die restlichen vier Zahlen bilden die „zwei mal zwei“-Determinante, die man nennt UNERHEBLICH eines bestimmten Elements (Einheit).

Kommen wir zum zweiten Element der Zeile.

4) Aus der Zeichenmatrix schreiben wir das entsprechende Zeichen aus:

5) Dann schreiben Sie das zweite Element:

6) Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, in der das zweite Element vorkommt:

Nun, das dritte Element der ersten Zeile. Keine Originalität:

7) Aus der Zeichenmatrix schreiben wir das entsprechende Zeichen aus:

8) Schreiben Sie das dritte Element auf:

9) Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, die das dritte Element enthält:

Die restlichen vier Zahlen schreiben wir in eine kleine Determinante.

Die übrigen Aktionen bereiten keine Schwierigkeiten, da wir bereits wissen, wie man die Zwei-mal-Zwei-Determinanten zählt. Lassen Sie sich nicht von den Zeichen verwirren!

Ebenso kann die Determinante über jede Zeile oder in jede Spalte erweitert werden. Natürlich ist die Antwort in allen sechs Fällen dieselbe.

Die Vier-mal-Vier-Determinante kann mit demselben Algorithmus berechnet werden.
In diesem Fall erhöht sich unsere Zeichenmatrix:

Im folgenden Beispiel habe ich die Determinante erweitert gemäß der vierten Spalte:

Wie es passiert ist, versuchen Sie es selbst herauszufinden. Weitere Informationen folgen später. Wenn jemand die Determinante bis zum Ende lösen möchte, lautet die richtige Antwort: 18. Zur Übung ist es besser, die Determinante nach einer anderen Spalte oder anderen Zeile zu lösen.

Üben, Aufdecken, Rechnen ist sehr gut und sinnvoll. Aber wie viel Zeit werden Sie für das große Qualifikationsspiel aufwenden? Gibt es nicht einen schnelleren und zuverlässigeren Weg? Ich schlage vor, dass Sie sich in der zweiten Lektion mit effektiven Methoden zur Berechnung von Determinanten vertraut machen – Eigenschaften der Determinante. Reduzieren der Ordnung der Determinante.

SEIEN SIE AUFMERKSAM!

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