Zentripetale Geschwindigkeit. Zentripetalbeschleunigung (Normalbeschleunigung)

Ein Objekt, das sich auf einer kreisförmigen Umlaufbahn mit Radius bewegt R mit gleichmäßiger Tangentialgeschwindigkeit u ist der Geschwindigkeitsvektor v, dessen Betrag konstant ist, dessen Richtung sich jedoch ständig ändert. Daraus folgt, dass ein Objekt eine Beschleunigung haben muss, da (Vektor) die Änderungsrate der (Vektor-)Geschwindigkeit ist und (Vektor-)Geschwindigkeit tatsächlich zeitlich unterschiedlich ist.

Angenommen, ein Objekt bewegt sich von einem Punkt P auf den Punkt Q zwischenzeit T Und, T + δ T wie im Bild oben gezeigt. Nehmen wir weiterhin an, dass das Objekt um gedreht wird δθ Bogenmaß während dieser Zeitspanne. Der Vektor ist, wie im Diagramm dargestellt, identisch mit dem Vektor. Außerdem der Winkel zwischen den Vektoren und diesem δθ . Der Vektor stellt die Änderung des Geschwindigkeitsvektors dar, δ v, zwischenzeit T Und T + δ T. Daraus ist klar, dass dieser Vektor auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet ist. Gemäß der Standardtrigonometrie beträgt die Länge eines Vektors:

Allerdings in kleinen Winkeln Sünde θ ≃ θ , unter der Vorraussetzung, dass θ gemessen im Bogenmaß. Somit,

δv ≃ v δθ.

Wo ist die Winkelgeschwindigkeit des Objekts im Bogenmaß pro Sekunde. Somit bewegt sich ein Objekt auf einer Kreisbahn mit einem Radius R, bei gleichmäßiger Tangentialgeschwindigkeit v, und gleichmäßige Winkelgeschwindigkeit, hat eine Beschleunigung, die zum Mittelpunkt des Kreises gerichtet ist, d. h. Zentripetalbeschleunigung- Größe:

Nehmen wir an, dass es sich um einen Körper mit Masse handelt M, am Ende eines Kabels befestigt, Länge R und dreht sich so, dass der Körper einen horizontalen Kreis mit Radius beschreibt R, mit gleichmäßiger Tangentialgeschwindigkeit v. Wie wir gerade erfahren haben, hat ein Körper eine Zentripetalbeschleunigung der Größe . Daher erfährt der Körper eine Zentripetalkraft

Was gibt diese Kraft? Okay, in diesem Beispiel wird die Kraft durch die Spannung im Kabel bereitgestellt. Somit, .

Nehmen wir an, dass das Kabel so beschaffen ist, dass es bricht, wenn die Spannung darin einen bestimmten kritischen Wert überschreitet. Daraus folgt, dass es eine maximale Geschwindigkeit gibt, mit der sich ein Körper bewegen kann, nämlich:

Wenn vüberschreitet vmax, das Kabel wird reißen. Sobald das Kabel reißt, erfährt der Körper keine Zentripetalkraft mehr und bewegt sich daher mit hoher Geschwindigkeit vmax entlang einer geraden Linie, die die bereits bestehende Kreisbahn tangiert.

Zentripetalbeschleunigung- Komponente der Beschleunigung eines Punktes, die die Geschwindigkeit der Änderung der Richtung des Geschwindigkeitsvektors für eine Trajektorie mit Krümmung charakterisiert (die zweite Komponente, Tangentialbeschleunigung, charakterisiert die Änderung des Geschwindigkeitsmoduls). Auf den Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn gerichtet, daher der Begriff. Der Wert entspricht dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Krümmungsradius. Der Begriff „Zentripetalbeschleunigung“ entspricht dem Begriff „ normale Beschleunigung" Der Anteil der Kräftesumme, der diese Beschleunigung verursacht, wird Zentripetalkraft genannt.

Das einfachste Beispiel für die Zentripetalbeschleunigung ist der Beschleunigungsvektor bei gleichförmiger Bewegung im Kreis (auf den Kreismittelpunkt gerichtet).

Rasante Beschleunigung in der Projektion auf eine Ebene senkrecht zur Achse erscheint es als zentripetal.

Enzyklopädisches YouTube

• 1 / 5

  A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)

  Wo ein n (\displaystyle a_(n)\ )- normale (zentripetale) Beschleunigung, v (\displaystyle v\ )- (augenblickliche) lineare Bewegungsgeschwindigkeit entlang der Flugbahn, ω (\displaystyle \omega \ )- (momentane) Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung relativ zum Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn, R (\displaystyle R\ )- Krümmungsradius der Flugbahn an einem bestimmten Punkt. (Der Zusammenhang zwischen der ersten und der zweiten Formel ist offensichtlich v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).

  Die obigen Ausdrücke umfassen absolute Werte. Sie können durch Multiplikation mit einfach in Vektorform geschrieben werden e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- Einheitsvektor vom Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn zu ihrem gegebenen Punkt:

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac(v^(2))(R^(2)))\mathbf(R) ) a n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)

  Diese Formeln sind gleichermaßen auf den Fall einer Bewegung mit konstanter (im Absolutwert) Geschwindigkeit und auf einen beliebigen Fall anwendbar. Im zweiten Fall muss man jedoch bedenken, dass die Zentripetalbeschleunigung nicht der vollständige Beschleunigungsvektor ist, sondern nur ihre Komponente senkrecht zur Flugbahn (oder, was dasselbe ist, senkrecht zum Vektor der momentanen Geschwindigkeit); der volle Beschleunigungsvektor enthält dann auch eine tangentiale Komponente ( Tangentialbeschleunigung) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), in Richtung, die mit der Tangente an die Flugbahn (oder, was dasselbe ist, mit der Momentangeschwindigkeit) zusammenfällt.

  Motivation und Fazit

  Die Tatsache, dass die Zerlegung des Beschleunigungsvektors in Komponenten – eine entlang der Tangente zur Vektortrajektorie (Tangentialbeschleunigung) und die andere orthogonal dazu (Normalbeschleunigung) – praktisch und nützlich sein kann, ist an sich ziemlich offensichtlich. Bei einer Bewegung mit konstanter Modulgeschwindigkeit wird die Tangentialkomponente gleich Null, das heißt, sie bleibt in diesem wichtigen Sonderfall bestehen nur normale Komponente. Darüber hinaus hat jede dieser Komponenten, wie unten zu sehen ist, klar definierte Eigenschaften und Struktur, und die Normalbeschleunigung enthält in der Struktur ihrer Formel einen recht wichtigen und nicht trivialen geometrischen Inhalt. Ganz zu schweigen vom wichtigen Sonderfall der Kreisbewegung.

  Formeller Abschluss

  Die Zerlegung der Beschleunigung in Tangential- und Normalkomponenten (die zweite davon ist die Zentripetal- oder Normalbeschleunigung) kann durch Differenzieren des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit ermittelt werden, dargestellt in der Form v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) durch den Einheitstangensvektor e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( N)\ ,)

  Hier verwenden wir die Notation für den Einheitsvektor normal zur Flugbahn und l (\displaystyle l\ )- für die aktuelle Flugbahnlänge ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); Auch der letzte Übergang nutzt das Offensichtliche d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).

  v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )

  Normale (zentripetale) Beschleunigung. Darüber hinaus ist seine Bedeutung, die Bedeutung der darin enthaltenen Objekte sowie ein Beweis dafür, dass er tatsächlich orthogonal zum Tangentenvektor ist (d. h. dass e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- eigentlich ein Normalenvektor) - ergibt sich aus geometrischen Überlegungen (die Tatsache, dass die Ableitung eines beliebigen Vektors konstanter Länge nach der Zeit senkrecht zu diesem Vektor selbst ist, ist jedoch eine ziemlich einfache Tatsache; in diesem Fall wenden wir diese Aussage an d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

  Anmerkungen

  Es ist leicht zu erkennen, dass der Absolutwert der Tangentialbeschleunigung nur von der Bodenbeschleunigung abhängt und mit ihrem Absolutwert übereinstimmt, im Gegensatz zum Absolutwert der Normalbeschleunigung, der nicht von der Bodenbeschleunigung abhängt, sondern von der Geschwindigkeit über Grund.

  Die hier vorgestellten Methoden oder Variationen davon können verwendet werden, um Konzepte wie die Krümmung einer Kurve und den Krümmungsradius einer Kurve einzuführen (da in dem Fall, in dem die Kurve ein Kreis ist, R fällt mit dem Radius eines solchen Kreises zusammen; Es ist auch nicht allzu schwierig zu zeigen, dass der Kreis in der Ebene liegt e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),e_(n)\ ) mit der Mitte in Richtung e n (\displaystyle e_(n)\ ) von einem bestimmten Punkt in einiger Entfernung R von ihr - wird mit der gegebenen Kurve - Trajektorie - bis zur zweiten Kleinheitsordnung in der Entfernung zum gegebenen Punkt zusammenfallen).

  Geschichte

  Der erste, der korrekte Formeln für die Zentripetalbeschleunigung (oder Zentrifugalkraft) erhielt, war offenbar Huygens. Fast von diesem Zeitpunkt an ist die Berücksichtigung der Zentripetalbeschleunigung Teil der üblichen Technik zur Lösung mechanischer Probleme usw. geworden.

  Etwas später spielten diese Formeln eine bedeutende Rolle bei der Entdeckung des Gesetzes der universellen Gravitation (die Formel der Zentripetalbeschleunigung wurde verwendet, um das Gesetz der Abhängigkeit der Gravitationskraft vom Abstand zur Schwerkraftquelle zu erhalten, basierend auf dem dritten Keplerschen Gesetz). abgeleitet aus Beobachtungen).

  Im 19. Jahrhundert war die Berücksichtigung der Zentripetalbeschleunigung sowohl in der reinen Wissenschaft als auch in technischen Anwendungen völlig zur Routine geworden.

  Zuvor wurden die Eigenschaften der geradlinigen Bewegung berücksichtigt: Bewegung, Geschwindigkeit, Beschleunigung. Ihre Analoga in der Rotationsbewegung sind: Winkelverschiebung, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung.

  • Die Rolle der Verschiebung bei der Rotationsbewegung wird gespielt von Ecke;
  • Die Größe des Drehwinkels pro Zeiteinheit beträgt Winkelgeschwindigkeit;
  • Die Änderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit beträgt Winkelbeschleunigung.

  Bei einer gleichförmigen Rotationsbewegung bewegt sich ein Körper mit gleicher Geschwindigkeit, aber wechselnder Richtung im Kreis. Diese Bewegung wird beispielsweise durch die Zeiger einer Uhr auf einem Zifferblatt ausgeführt.

  Nehmen wir an, der Ball dreht sich gleichmäßig auf einem 1 Meter langen Faden. Gleichzeitig wird ein Kreis mit einem Radius von 1 Meter beschrieben. Die Länge dieses Kreises beträgt: C = 2πR = 6,28 m

  Die Zeit, die die Kugel benötigt, um eine vollständige Umdrehung um den Kreis zu vollenden, wird als bezeichnet Rotationsperiode - T.

  Um die lineare Geschwindigkeit des Balls zu berechnen, ist es notwendig, die Verschiebung durch die Zeit zu dividieren, d. h. Umfang pro Umdrehungsperiode:

  V = C/T = 2πR/T

  Rotationszeitraum:

  T = 2πR/V

  Wenn unser Ball in 1 Sekunde eine Umdrehung macht (Rotationsperiode = 1 s), dann ist seine lineare Geschwindigkeit:
  V = 6,28/1 = 6,28 m/s

  2. Zentrifugalbeschleunigung

  An jedem Punkt der Rotationsbewegung der Kugel ist ihr linearer Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Radius gerichtet. Es ist nicht schwer zu erraten, dass bei einer solchen Kreisdrehung der lineare Geschwindigkeitsvektor des Balls ständig seine Richtung ändert. Die Beschleunigung, die eine solche Geschwindigkeitsänderung charakterisiert, wird aufgerufen Zentrifugalbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung)..

  Bei gleichförmiger Rotationsbewegung ändert sich nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, nicht jedoch der Betrag! Daher lineare Beschleunigung = 0 . Die Änderung der Lineargeschwindigkeit wird durch die Zentrifugalbeschleunigung unterstützt, die senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor auf die Mitte des Rotationskreises gerichtet ist - ein c.

  Die Zentrifugalbeschleunigung lässt sich nach folgender Formel berechnen: a c = V 2 /R

  Je größer die lineare Geschwindigkeit des Körpers und je kleiner der Rotationsradius, desto größer ist die Zentrifugalbeschleunigung.

  3. Zentrifugalkraft

  Aus der geradlinigen Bewegung wissen wir, dass die Kraft gleich dem Produkt aus der Masse eines Körpers und seiner Beschleunigung ist.

  Bei gleichförmiger Rotationsbewegung wirkt auf einen rotierenden Körper eine Zentrifugalkraft:

  F c = ma c = mV 2 /R

  Wenn unser Ball wiegt 1 kg, um es auf dem Kreis zu halten, benötigen Sie Zentrifugalkraft:

  F c = 1 6,28 2 /1 = 39,4 N

  Der Fliehkraft begegnen wir im Alltag auf Schritt und Tritt.

  Die Reibungskraft muss die Zentrifugalkraft ausgleichen:

  F c = mV 2 / R; F tr = μmg

  F c = F tr; mV 2 /R = μmg

  V = √μmgR/m = √μgR = √0,9 9,8 30 = 16,3 m/s = 58,5 km/h

  Antwort: 58,5 km/h

  Bitte beachten Sie, dass die Drehgeschwindigkeit nicht vom Körpergewicht abhängt!

  Sicher ist Ihnen aufgefallen, dass einige Kurven auf der Autobahn eine leichte Neigung zur Kurveninnenseite aufweisen. Solche Kurven sind „einfacher“ bzw. man kann mit höherer Geschwindigkeit abbiegen. Überlegen wir, welche Kräfte bei einer solchen Schräglage auf das Auto einwirken. In diesem Fall berücksichtigen wir die Reibungskraft nicht und die Zentrifugalbeschleunigung wird nur durch die horizontale Komponente der Schwerkraft kompensiert:

  
  

  F c = mV 2 /R oder F c = F n sinα

  In vertikaler Richtung wirkt die Schwerkraft auf den Körper F g = mg, die durch die vertikale Komponente der Normalkraft ausgeglichen wird F n cosα:

  Fn cosα = mg, daher: Fn = mg/cosα

  Wir setzen den Wert der Normalkraft in die ursprüngliche Formel ein:

  F c = F n sinα = (mg/cosα)sinα = mg sinα/cosα = mg tgα

  Somit ist der Neigungswinkel der Fahrbahn:

  α = arctg(F c /mg) = arctg(mV 2 /mgR) = arctg(V 2 /gR)

  Beachten Sie auch hier, dass das Körpergewicht nicht in die Berechnungen einbezogen wird!

  Aufgabe #2: Auf einem bestimmten Abschnitt der Autobahn gibt es eine Kurve mit einem Radius von 100 Metern. Die Durchschnittsgeschwindigkeit der Autos, die diesen Straßenabschnitt passieren, beträgt 108 km/h (30 m/s). Wie groß sollte der sichere Neigungswinkel der Fahrbahn in diesem Abschnitt sein, damit das Auto nicht „wegfliegt“ (Reibung vernachlässigen)?

  α = arctan(V 2 /gR) = arctan(30 2 /9,8 · 100) = 0,91 = 42° Antwort: 42°. Ziemlich guter Winkel. Vergessen Sie jedoch nicht, dass wir in unseren Berechnungen die Reibungskraft der Straßenoberfläche nicht berücksichtigen.

  4. Grad und Bogenmaß

  Viele Menschen sind beim Verständnis von Winkelwerten verwirrt.

  Bei der Rotationsbewegung ist die grundlegende Maßeinheit für die Winkelbewegung Bogenmaß.

  • 2π Bogenmaß = 360° – vollständiger Kreis
  • π Bogenmaß = 180° – ein halber Kreis
  • π/2 Bogenmaß = 90° - Viertelkreis

  Um Grad in Bogenmaß umzurechnen, teilen Sie den Winkel durch 360° und multiplizieren Sie ihn mit 2π. Zum Beispiel:

  • 45° = (45°/360°) 2π = π/4 Bogenmaß
  • 30° = (30°/360°) 2π = π/6 Bogenmaß

  In der folgenden Tabelle sind die Grundformeln für lineare und rotatorische Bewegungen aufgeführt.

  Zwei von ihm ausgehende Strahlen bilden einen Winkel. Sein Wert kann sowohl im Bogenmaß als auch in Grad definiert werden. Zeichnen wir nun in einiger Entfernung vom Mittelpunkt gedanklich einen Kreis. Das im Bogenmaß ausgedrückte Winkelmaß ist dann das mathematische Verhältnis der Länge des durch zwei Strahlen getrennten Bogens L zum Wert des Abstands zwischen dem Mittelpunkt und der Kreislinie (R), d. h.:

  Wenn wir uns nun das beschriebene System als Material vorstellen, dann können wir darauf nicht nur die Begriffe Winkel und Radius anwenden, sondern auch Zentripetalbeschleunigung, Rotation usw. Die meisten von ihnen beschreiben das Verhalten eines Punktes, der sich auf einem rotierenden Kreis befindet. Eine feste Scheibe kann übrigens auch durch eine Ansammlung von Kreisen dargestellt werden, deren Unterschied nur im Abstand vom Mittelpunkt besteht.

  Eines der Merkmale eines solchen rotierenden Systems ist seine Umlaufzeit. Sie gibt den Zeitwert an, in dem ein Punkt auf einem beliebigen Kreis in seine Ausgangsposition zurückkehrt oder sich, was ebenfalls zutrifft, um 360 Grad dreht. Bei konstanter Drehzahl ist die Korrespondenz T = (2*3,1416) / Ug erfüllt (im Folgenden ist Ug der Winkel).

  Die Rotationsgeschwindigkeit gibt die Anzahl der vollständigen Umdrehungen an, die in 1 Sekunde ausgeführt werden. Bei konstanter Geschwindigkeit erhalten wir v = 1 / T.

  Hängt von der Zeit und dem sogenannten Drehwinkel ab. Das heißt, wenn wir einen beliebigen Punkt A auf dem Kreis als Ursprung nehmen, bewegt sich dieser Punkt bei der Drehung des Systems in der Zeit t nach A1 und bildet einen Winkel zwischen den Radien A-Mittelpunkt und A1-Mittelpunkt. Wenn Sie Zeit und Winkel kennen, können Sie die Winkelgeschwindigkeit berechnen.

  Und da es einen Kreis, eine Bewegung und eine Geschwindigkeit gibt, bedeutet dies, dass auch eine Zentripetalbeschleunigung vorhanden ist. Es stellt eine der Komponenten dar, die die Bewegung bei krummliniger Bewegung beschreiben. Die Begriffe „Normalbeschleunigung“ und „Zentripetalbeschleunigung“ sind identisch. Der Unterschied besteht darin, dass die Sekunde verwendet wird, um eine Bewegung in einem Kreis zu beschreiben, wenn der Beschleunigungsvektor auf die Mitte des Systems gerichtet ist. Daher ist es immer notwendig, genau zu wissen, wie sich der Körper (Punkt) bewegt und wie hoch seine Zentripetalbeschleunigung ist. Seine Definition lautet wie folgt: Es ist die Geschwindigkeitsänderungsrate, deren Vektor senkrecht zur Richtung des Vektors gerichtet ist und dessen Richtung ändert. In der Enzyklopädie heißt es, dass Huygens sich mit diesem Thema befasst habe. Die von ihm vorgeschlagene Formel für die Zentripetalbeschleunigung sieht so aus:

  Acs = (v*v) / r,

  wobei r der Krümmungsradius des zurückgelegten Weges ist; v - Bewegungsgeschwindigkeit.

  Die Formel zur Berechnung der Zentripetalbeschleunigung sorgt immer noch für heftige Debatten unter Enthusiasten. Beispielsweise wurde kürzlich eine interessante Theorie geäußert.

  Huygens ging bei der Betrachtung des Systems davon aus, dass sich der Körper auf einem Kreis mit dem Radius R mit der am Anfangspunkt A gemessenen Geschwindigkeit v bewegt. Da der Trägheitsvektor entlang gerichtet ist, erhält man eine Flugbahn in Form einer Geraden AB. Allerdings hält die Zentripetalkraft den Körper am Punkt C auf dem Kreis. Wenn wir den Mittelpunkt als O markieren und die Linien AB, BO (die Summe von BS und CO) sowie AO zeichnen, erhalten wir ein Dreieck. Nach dem Gesetz des Pythagoras:

  BS=(a*(t*t)) / 2, wobei a die Beschleunigung ist; t – Zeit (a*t*t ist die Geschwindigkeit).

  Wenn wir nun die pythagoräische Formel verwenden, dann gilt:

  R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, wobei R der Radius und die alphanumerische Schreibweise ohne das Multiplikationszeichen der Grad ist.

  Huygens gab zu, dass die Zeit t, da sie klein ist, in den Berechnungen ignoriert werden kann. Nachdem sie die vorherige Formel umgeformt hatte, gelangte sie zu dem bekannten Acs = (v*v) / r.

  Da man die Zeit jedoch quadriert, ergibt sich eine Progression: Je größer t, desto höher der Fehler. Beispielsweise bleibt für 0,9 fast der Gesamtwert von 20 % unberücksichtigt.

  Das Konzept der Zentripetalbeschleunigung ist für die moderne Wissenschaft wichtig, aber es ist offensichtlich noch zu früh, dieses Problem zu lösen.

  Typ