Beweis der Parallelität der Mittellinie eines Trapezes. Trapez, Mittellinie des Trapezes, Dreieck

Die Wahrung Ihrer Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Daten verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzpraktiken durch und teilen Sie uns mit, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten

Unter personenbezogenen Daten versteht man Daten, die dazu genutzt werden können, eine bestimmte Person zu identifizieren oder mit ihr in Kontakt zu treten.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie mit uns Kontakt aufnehmen.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

• Wenn Sie auf der Website eine Bewerbung einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

Wie wir Ihre persönlichen Daten verwenden:

• Die von uns erfassten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie mit einzigartigen Angeboten, Werbeaktionen und anderen Veranstaltungen sowie bevorstehenden Veranstaltungen zu kontaktieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre persönlichen Daten verwenden, um wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu versenden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, beispielsweise zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Forschungsarbeiten, um die von uns bereitgestellten Dienste zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Diensten zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einer ähnlichen Aktion teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen zur Verwaltung solcher Programme verwenden.

Weitergabe von Informationen an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Wenn es erforderlich ist – in Übereinstimmung mit dem Gesetz, dem Gerichtsverfahren, in Gerichtsverfahren und/oder auf der Grundlage öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation – Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass eine solche Offenlegung aus Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder anderen Gründen von öffentlicher Bedeutung notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den jeweiligen Nachfolger-Dritten weitergeben.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer –, um Ihre persönlichen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung zu schützen.

Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Das Konzept der Mittellinie des Trapezes

Erinnern wir uns zunächst daran, welche Art von Figur als Trapez bezeichnet wird.

Definition 1

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind.

In diesem Fall werden die parallelen Seiten als Basen des Trapezes und die nicht parallelen Seiten als laterale Seiten des Trapezes bezeichnet.

Definition 2

Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet.

Trapezmittelliniensatz

Nun führen wir den Satz über die Mittellinie eines Trapezes ein und beweisen ihn mit der Vektormethode.

Satz 1

Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu den Basen und entspricht deren Halbsumme.

Nachweisen.

Gegeben sei ein Trapez $ABCD$ mit den Basen $AD\ und\ BC$. Und sei $MN$ die Mittellinie dieses Trapezes (Abb. 1).

Abbildung 1. Mittellinie des Trapezes

Beweisen wir, dass $MN||AD\ und\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Betrachten Sie den Vektor $\overrightarrow(MN)$. Als nächstes verwenden wir die Polygonregel, um Vektoren hinzuzufügen. Einerseits verstehen wir das

Andererseits

Addieren wir die letzten beiden Gleichheiten und erhalten

Da $M$ und $N$ die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes sind, gilt:

Wir bekommen:

Somit

Aus derselben Gleichheit (da $\overrightarrow(BC)$ und $\overrightarrow(AD)$ kodirektional und daher kollinear sind) erhalten wir $MN||AD$.

Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme zum Konzept der Mittellinie eines Trapezes

Beispiel 1

Die Seitenflächen des Trapezes betragen jeweils 15 cm und 17 cm. Der Umfang des Trapezes beträgt $52\cm$. Finden Sie die Länge der Mittellinie des Trapezes.

Lösung.

Bezeichnen wir die Mittellinie des Trapezes mit $n$.

Die Summe der Seiten ist gleich

Da der Umfang also $52\ cm$ beträgt, ist die Summe der Basen gleich

Nach Satz 1 erhalten wir also

Antwort:$10\cm$.

Beispiel 2

Die Enden des Kreisdurchmessers sind $9$ cm bzw. $5$ cm von seiner Tangente entfernt. Ermitteln Sie den Durchmesser dieses Kreises.

Lösung.

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$ und Durchmesser $AB$. Zeichnen wir eine Tangente $l$ und konstruieren die Abstände $AD=9\ cm$ und $BC=5\ cm$. Zeichnen wir den Radius $OH$ (Abb. 2).

Figur 2.

Da $AD$ und $BC$ die Abstände zur Tangente sind, dann $AD\bot l$ und $BC\bot l$ und da $OH$ der Radius ist, dann $OH\bot l$, also $OH |\left|AD\right||BC$. Aus all dem erhalten wir, dass $ABCD$ ein Trapez ist und $OH$ seine Mittellinie ist. Nach Satz 1 erhalten wir

In diesem Artikel werden wir versuchen, die Eigenschaften eines Trapezes möglichst vollständig wiederzugeben. Insbesondere werden wir über die allgemeinen Eigenschaften und Eigenschaften eines Trapezes sowie über die Eigenschaften eines eingeschriebenen Trapezes und eines in ein Trapez eingeschriebenen Kreises sprechen. Wir werden auch auf die Eigenschaften eines gleichschenkligen und rechteckigen Trapezes eingehen.

Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mithilfe der besprochenen Eigenschaften hilft Ihnen, es im Kopf zu klären und sich den Stoff besser zu merken.

Trapez und Alles-Alles-Alles

Erinnern wir uns zunächst kurz daran, was ein Trapez ist und welche anderen Konzepte damit verbunden sind.

Ein Trapez ist also eine viereckige Figur, deren zwei Seiten parallel zueinander sind (das sind die Grundflächen). Und die beiden sind nicht parallel – das sind die Seiten.

Bei einem Trapez kann die Höhe abgesenkt werden – senkrecht zu den Grundflächen. Die Mittellinie und Diagonalen werden eingezeichnet. Es ist auch möglich, aus jedem Winkel des Trapezes eine Winkelhalbierende zu zeichnen.

Wir werden nun über die verschiedenen Eigenschaften sprechen, die mit all diesen Elementen und ihren Kombinationen verbunden sind.

Eigenschaften von Trapezdiagonalen

Um es klarer zu machen, skizzieren Sie beim Lesen das Trapez ACME auf einem Blatt Papier und zeichnen Sie Diagonalen hinein.

1. Wenn Sie die Mittelpunkte jeder Diagonale finden (nennen wir diese Punkte X und T) und sie verbinden, erhalten Sie ein Segment. Eine der Eigenschaften der Diagonalen eines Trapezes besteht darin, dass das Segment HT auf der Mittellinie liegt. Und seine Länge kann man erhalten, indem man die Differenz der Basen durch zwei dividiert: ХТ = (a – b)/2.
2. Vor uns liegt das gleiche Trapez ACME. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt O. Schauen wir uns die Dreiecke AOE und MOK an, die aus Segmenten der Diagonalen zusammen mit den Basen des Trapezes gebildet werden. Diese Dreiecke sind ähnlich. Der Ähnlichkeitskoeffizient k von Dreiecken wird durch das Verhältnis der Basen des Trapezes ausgedrückt: k = AE/KM.
   Das Verhältnis der Flächen der Dreiecke AOE und MOK wird durch den Koeffizienten k 2 beschrieben.
3. Das gleiche Trapez, die gleichen Diagonalen, die sich im Punkt O schneiden. Nur dieses Mal betrachten wir die Dreiecke, die die Segmente der Diagonalen zusammen mit den Seiten des Trapezes bilden. Die Flächen der Dreiecke AKO und EMO sind gleich groß – ihre Flächen sind gleich.
4. Eine weitere Eigenschaft eines Trapezes ist die Konstruktion von Diagonalen. Wenn Sie also die Seiten von AK und ME in Richtung der kleineren Basis fortsetzen, werden sie sich früher oder später an einem bestimmten Punkt kreuzen. Zeichnen Sie als nächstes eine gerade Linie durch die Mitte der Basis des Trapezes. Es schneidet die Basen an den Punkten X und T.
   Wenn wir nun die Linie XT verlängern, dann verbindet sie den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes O, den Punkt, an dem sich die Verlängerungen der Seiten und die Mitten der Grundflächen X und T schneiden.
5. Durch den Schnittpunkt der Diagonalen zeichnen wir ein Segment, das die Basen des Trapezes verbindet (T liegt auf der kleineren Basis KM, X auf der größeren AE). Der Schnittpunkt der Diagonalen teilt dieses Segment im folgenden Verhältnis: TO/OX = KM/AE.
6. Nun zeichnen wir durch den Schnittpunkt der Diagonalen ein Segment parallel zu den Grundflächen des Trapezes (a und b). Der Schnittpunkt teilt es in zwei gleiche Teile. Die Länge des Segments können Sie mithilfe der Formel ermitteln 2ab/(a + b).

Eigenschaften der Mittellinie eines Trapezes

Zeichnen Sie die Mittellinie im Trapez parallel zu seinen Basen.

1. Die Länge der Mittellinie eines Trapezes kann berechnet werden, indem die Längen der Basen addiert und in zwei Hälften geteilt werden: m = (a + b)/2.
2. Wenn Sie ein beliebiges Segment (zum Beispiel eine Höhe) durch beide Basen des Trapezes zeichnen, wird es durch die Mittellinie in zwei gleiche Teile geteilt.

Eigenschaft der Trapezhalbierenden

Wählen Sie einen beliebigen Winkel des Trapezes und zeichnen Sie eine Winkelhalbierende. Nehmen wir zum Beispiel den Winkel KAE unseres Trapezes ACME. Nachdem Sie die Konstruktion selbst abgeschlossen haben, können Sie leicht überprüfen, ob die Winkelhalbierende von der Basis (oder ihrer Fortsetzung auf einer geraden Linie außerhalb der Figur selbst) ein Segment mit der gleichen Länge wie die Seite abschneidet.

Eigenschaften von Trapezwinkeln

1. Welches der beiden an die Seite angrenzenden Winkelpaare Sie auch wählen, die Summe der Winkel im Paar beträgt immer 180 0: α + β = 180 0 und γ + δ = 180 0.
2. Verbinden wir die Mittelpunkte der Basen des Trapezes mit einem Segment TX. Schauen wir uns nun die Winkel an den Basen des Trapezes an. Wenn die Summe der Winkel für einen von ihnen 90 0 beträgt, kann die Länge des Segments TX leicht berechnet werden, basierend auf der Differenz der Längen der Basen, geteilt in zwei Hälften: TX = (AE – KM)/2.
3. Wenn parallele Linien durch die Seiten eines Trapezwinkels gezogen werden, teilen sie die Seiten des Winkels in proportionale Segmente.

Eigenschaften eines gleichschenkligen (gleichseitigen) Trapezes

1. Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel an jeder Basis gleich.
2. Bauen Sie jetzt noch einmal ein Trapez, damit Sie sich leichter vorstellen können, wovon wir sprechen. Schauen Sie sich die Basis AE genau an – der Scheitelpunkt der gegenüberliegenden Basis M wird auf einen bestimmten Punkt auf der Linie projiziert, die AE enthält. Der Abstand vom Scheitelpunkt A zum Projektionspunkt des Scheitelpunkts M und der Mittellinie des gleichschenkligen Trapezes sind gleich.
3. Ein paar Worte zur Eigenschaft der Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes – ihre Längen sind gleich. Und auch die Neigungswinkel dieser Diagonalen zur Basis des Trapezes sind gleich.
4. Nur um ein gleichschenkliges Trapez kann ein Kreis beschrieben werden, da die Summe der entgegengesetzten Winkel eines Vierecks 180 0 beträgt – eine Voraussetzung dafür.
5. Die Eigenschaft eines gleichschenkligen Trapezes ergibt sich aus dem vorherigen Absatz: Wenn ein Kreis in der Nähe des Trapezes beschrieben werden kann, ist er gleichschenklig.
6. Aus den Merkmalen eines gleichschenkligen Trapezes folgt die Eigenschaft der Höhe eines Trapezes: Wenn sich seine Diagonalen im rechten Winkel schneiden, dann ist die Länge der Höhe gleich der Hälfte der Summe der Basen: h = (a + b)/2.
7. Zeichnen Sie erneut das Segment TX durch die Mittelpunkte der Basen des Trapezes – bei einem gleichschenkligen Trapez steht es senkrecht zu den Basen. Und gleichzeitig ist TX die Symmetrieachse eines gleichschenkligen Trapezes.
8. Verringern Sie dieses Mal die Höhe vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt des Trapezes auf die größere Basis (nennen wir es a). Sie erhalten zwei Segmente. Die Länge von Eins kann ermittelt werden, wenn die Längen der Basen addiert und in zwei Hälften geteilt werden: (a + b)/2. Den zweiten erhalten wir, wenn wir den kleineren von der größeren Basis subtrahieren und die resultierende Differenz durch zwei dividieren: (a – b)/2.

Eigenschaften eines in einen Kreis eingeschriebenen Trapezes

Da es sich bereits um ein in einen Kreis eingeschriebenes Trapez handelt, wollen wir uns näher mit diesem Thema befassen. Insbesondere, wo sich der Mittelpunkt des Kreises im Verhältnis zum Trapez befindet. Auch hier empfiehlt es sich, sich die Zeit zu nehmen, einen Bleistift in die Hand zu nehmen und zu zeichnen, was im Folgenden besprochen wird. Auf diese Weise werden Sie schneller verstehen und sich besser erinnern.

1. Die Lage des Kreismittelpunkts wird durch den Neigungswinkel der Diagonale des Trapezes zu seiner Seite bestimmt. Beispielsweise kann eine Diagonale von der Oberseite eines Trapezes im rechten Winkel zur Seite verlaufen. In diesem Fall schneidet die größere Basis den Mittelpunkt des Umkreises genau in der Mitte (R = ½AE).
2. Diagonale und Seite können sich auch in einem spitzen Winkel treffen – dann liegt der Kreismittelpunkt innerhalb des Trapezes.
3. Der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises kann außerhalb des Trapezes, jenseits seiner größeren Basis, liegen, wenn zwischen der Diagonale des Trapezes und der Seite ein stumpfer Winkel besteht.
4. Der Winkel zwischen der Diagonale und der großen Basis des Trapezes ACME (eingeschriebener Winkel) ist die Hälfte des ihr entsprechenden Zentralwinkels: MAE = ½MOE.
5. Kurz über zwei Möglichkeiten, den Radius eines umschriebenen Kreises zu ermitteln. Methode eins: Schauen Sie sich Ihre Zeichnung genau an – was sehen Sie? Sie können leicht erkennen, dass die Diagonale das Trapez in zwei Dreiecke teilt. Der Radius ergibt sich aus dem Verhältnis der Dreiecksseite zum Sinus des entgegengesetzten Winkels, multipliziert mit zwei. Zum Beispiel, R = AE/2*sinAME. Auf ähnliche Weise kann die Formel für jede Seite beider Dreiecke geschrieben werden.
6. Methode zwei: Ermitteln Sie den Radius des umschriebenen Kreises durch die Fläche des Dreiecks, das aus Diagonale, Seite und Basis des Trapezes besteht: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Eigenschaften eines um einen Kreis umschriebenen Trapezes

Sie können einen Kreis in ein Trapez einpassen, wenn eine Bedingung erfüllt ist. Lesen Sie weiter unten mehr darüber. Und zusammengenommen hat diese Figurenkombination eine Reihe interessanter Eigenschaften.

1. Wenn ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben ist, kann die Länge seiner Mittellinie leicht ermittelt werden, indem man die Längen der Seiten addiert und die resultierende Summe in zwei Hälften teilt: m = (c + d)/2.
2. Für das Trapez ACME, das um einen Kreis beschrieben wird, ist die Summe der Grundlängen gleich der Summe der Seitenlängen: AK + ME = KM + AE.
3. Aus dieser Eigenschaft der Grundflächen eines Trapezes folgt die umgekehrte Aussage: Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, dessen Grundsumme gleich der Summe seiner Seiten ist.
4. Der Tangentenpunkt eines Kreises mit dem Radius r, der in ein Trapez eingeschrieben ist, teilt die Seite in zwei Segmente, nennen wir sie a und b. Der Radius eines Kreises kann mit der Formel berechnet werden: r = √ab.
5. Und noch eine Immobilie. Um Verwirrung zu vermeiden, zeichnen Sie dieses Beispiel auch selbst. Wir haben das gute alte Trapez ACME, das um einen Kreis herum beschrieben wird. Es enthält Diagonalen, die sich im Punkt O schneiden. Die aus den Segmenten der Diagonalen und den Seitenflächen gebildeten Dreiecke AOK und EOM sind rechteckig.
   Die Höhen dieser Dreiecke, abgesenkt zu den Hypotenusen (d. h. den Seiten des Trapezes), stimmen mit den Radien des eingeschriebenen Kreises überein. Und die Höhe des Trapezes stimmt mit dem Durchmesser des eingeschriebenen Kreises überein.

Eigenschaften eines rechteckigen Trapezes

Ein Trapez heißt rechteckig, wenn einer seiner Winkel richtig ist. Und seine Eigenschaften ergeben sich aus diesem Umstand.

1. Bei einem rechteckigen Trapez steht eine Seite senkrecht zur Grundfläche.
2. Höhe und Seite eines an einen rechten Winkel angrenzenden Trapezes sind gleich. Damit können Sie die Fläche eines rechteckigen Trapezes berechnen (allgemeine Formel). S = (a + b) * h/2) nicht nur durch die Höhe, sondern auch durch die an den rechten Winkel angrenzende Seite.
3. Für ein rechteckiges Trapez sind die oben bereits beschriebenen allgemeinen Eigenschaften der Diagonalen eines Trapezes relevant.

Hinweise auf einige Eigenschaften des Trapezes

Winkelgleichheit an der Basis eines gleichschenkligen Trapezes:

• Sie haben wahrscheinlich schon vermutet, dass wir hier wieder das AKME-Trapez benötigen – zeichnen Sie ein gleichschenkliges Trapez. Zeichnen Sie eine gerade Linie MT vom Scheitelpunkt M parallel zur Seite von AK (MT || AK).

Das resultierende Viereck AKMT ist ein Parallelogramm (AK || MT, KM || AT). Da ME = KA = MT, ist ∆ MTE gleichschenklig und MET = MTE.

AK || MT, daher MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Wobei AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Basierend auf der Eigenschaft eines gleichschenkligen Trapezes (Gleichheit der Diagonalen) beweisen wir das nun Das Trapez ACME ist gleichschenklig:

• Zeichnen wir zunächst eine gerade Linie MX – MX || KE. Wir erhalten ein Parallelogramm KMHE (Basis – MX || KE und KM || EX).

∆AMX ist gleichschenklig, da AM = KE = MX und MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, also MAE = MXE.

Es stellte sich heraus, dass die Dreiecke AKE und EMA einander gleich sind, da AM = KE und AE die gemeinsame Seite der beiden Dreiecke sind. Und auch MAE = MXE. Wir können daraus schließen, dass AK = ME ist, und daraus folgt, dass das Trapez AKME gleichschenklig ist.

Überprüfungsaufgabe

Die Basen des Trapezes ACME betragen 9 cm und 21 cm, die Seitenlänge KA, gleich 8 cm, bildet mit der kleineren Basis einen Winkel von 150 0. Sie müssen die Fläche des Trapezes ermitteln.

Lösung: Vom Scheitelpunkt K verringern wir die Höhe zur größeren Basis des Trapezes. Und beginnen wir mit der Betrachtung der Winkel des Trapezes.

Die Winkel AEM und KAN sind einseitig. Das bedeutet, dass sie insgesamt 180 0 ergeben. Daher ist KAN = 30 0 (basierend auf der Eigenschaft der Trapezwinkel).

Betrachten wir nun das rechteckige ∆ANC (ich glaube, dieser Punkt ist für Leser ohne zusätzliche Beweise offensichtlich). Daraus ermitteln wir die Höhe des Trapezes KH – in einem Dreieck ist es ein Bein, das dem Winkel 30 0 gegenüberliegt. Daher ist KH = ½AB = 4 cm.

Wir ermitteln die Fläche des Trapezes mit der Formel: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Nachwort

Wenn Sie diesen Artikel sorgfältig und sorgfältig studiert haben, nicht zu faul waren, mit einem Bleistift in der Hand Trapeze für alle angegebenen Eigenschaften zu zeichnen und sie in der Praxis zu analysieren, sollten Sie das Material gut beherrschen.

Natürlich gibt es hier viele Informationen, vielfältig und manchmal sogar verwirrend: Es ist nicht so schwer, die Eigenschaften des beschriebenen Trapezes mit den Eigenschaften des eingeschriebenen zu verwechseln. Aber Sie haben selbst gesehen, dass der Unterschied riesig ist.

Jetzt haben Sie einen detaillierten Überblick über alle allgemeinen Eigenschaften eines Trapezes. Sowie spezifische Eigenschaften und Eigenschaften von gleichschenkligen und rechteckigen Trapezen. Es eignet sich sehr gut zur Vorbereitung auf Tests und Prüfungen. Probieren Sie es selbst aus und teilen Sie den Link mit Ihren Freunden!

blog.site: Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Originalquelle erforderlich.

Lernziele:

1) Führen Sie die Schüler in das Konzept der Mittellinie eines Trapezes ein, betrachten Sie seine Eigenschaften und beweisen Sie sie;

2) lehren, wie man die Mittellinie des Trapezes baut;

3) die Fähigkeit der Schüler zu entwickeln, die Definition der Mittellinie eines Trapezes und die Eigenschaften der Mittellinie eines Trapezes bei der Lösung von Problemen zu verwenden;

4) die Fähigkeit der Schüler weiterzuentwickeln, kompetent zu sprechen und dabei die notwendigen mathematischen Begriffe zu verwenden; beweisen Sie Ihren Standpunkt;

5) logisches Denken, Gedächtnis und Aufmerksamkeit entwickeln.

Während des Unterrichts

1. Die Hausaufgaben werden während des Unterrichts überprüft. Die Hausaufgabe war mündlich, denken Sie daran:

a) Definition eines Trapezes; Arten von Trapezen;

b) Bestimmen der Mittellinie des Dreiecks;

c) Eigenschaft der Mittellinie eines Dreiecks;

d) Vorzeichen der Mittellinie des Dreiecks.

2. Neues Material studieren.

a) Die Tafel zeigt ein Trapez ABCD.

b) Der Lehrer bittet Sie, sich die Definition eines Trapezes zu merken. Zu jedem Schreibtisch gibt es ein Hinweisdiagramm, das Ihnen hilft, sich an die Grundkonzepte im Thema „Trapez“ zu erinnern (siehe Anhang 1). Anlage 1 wird jedem Schreibtisch ausgehändigt.

Die Schüler zeichnen das Trapez ABCD in ihre Hefte.

c) Der Lehrer bittet Sie, sich zu merken, in welchem ​​Thema dem Konzept einer Mittellinie begegnet ist („Mittellinie eines Dreiecks“). Die Schüler erinnern sich an die Definition der Mittellinie eines Dreiecks und ihre Eigenschaften.

e) Notieren Sie die Definition der Mittellinie des Trapezes und zeichnen Sie sie in ein Notizbuch.

Mittellinie Ein Trapez ist ein Segment, das die Mittelpunkte seiner Seiten verbindet.

Da die Eigenschaft der Mittellinie eines Trapezes zu diesem Zeitpunkt noch nicht bewiesen ist, besteht die nächste Stufe der Lektion darin, die Eigenschaft der Mittellinie eines Trapezes zu beweisen.

Satz. Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu seinen Basen und entspricht deren Halbsumme.

Gegeben: ABCD – Trapez,

MN – Mittellinie ABCD

Beweisen, Was:

1. v. Chr. || MN || ANZEIGE.

2. MN = (AD + BC).

Wir können einige Folgerungen aufschreiben, die sich aus den Bedingungen des Satzes ergeben:

AM = MB, CN = ND, BC || ANZEIGE.

Allein anhand der aufgeführten Eigenschaften lässt sich die Anforderung nicht nachweisen. Das Fragen- und Übungssystem soll bei den Schülern den Wunsch wecken, die Mittellinie eines Trapezes mit der Mittellinie eines Dreiecks zu verbinden, dessen Eigenschaften sie bereits kennen. Wenn es keine Vorschläge gibt, können Sie die Frage stellen: Wie konstruiert man ein Dreieck, für das das Segment MN die Mittellinie wäre?

Schreiben wir für einen der Fälle eine zusätzliche Konstruktion auf.

Zeichnen wir eine Gerade BN, die die Fortsetzung der Seite AD im Punkt K schneidet.

Es erscheinen zusätzliche Elemente - Dreiecke: ABD, BNM, DNK, BCN. Wenn wir beweisen, dass BN = NK ist, bedeutet dies, dass MN die Mittellinie von ABD ist, und dann können wir die Eigenschaft der Mittellinie eines Dreiecks verwenden und das Notwendige beweisen.

Nachweisen:

1. Betrachten Sie BNC und DNK, sie enthalten:

a) CNB =DNK (Eigenschaft der vertikalen Winkel);

b) BCN = NDK (Eigenschaft der inneren Kreuzwinkel);

c) CN = ND (durch Folge zu den Bedingungen des Satzes).

Das bedeutet BNC =DNK (an der Seite und zwei benachbarten Winkeln).

Q.E.D.

Der Nachweis kann mündlich im Unterricht erfolgen und zu Hause (nach Ermessen des Lehrers) rekonstruiert und in einem Notizbuch niedergeschrieben werden.

Es ist notwendig, über andere Möglichkeiten zum Beweis dieses Satzes zu sprechen:

1. Zeichnen Sie eine der Diagonalen des Trapezes und verwenden Sie das Vorzeichen und die Eigenschaft der Mittellinie des Dreiecks.

2. CF || ausführen BA und betrachten Sie die Parallelogramme ABCF und DCF.

3. Führen Sie EF || aus BA und berücksichtigen Sie die Gleichheit von FND und ENC.

g) In dieser Phase werden Hausaufgaben vergeben: Absatz 84, Lehrbuch-Hrsg. Atanasyan L.S. (Beweis der Eigenschaft der Mittellinie eines Trapezes mit einer Vektormethode), notieren Sie ihn in Ihrem Notizbuch.

h) Wir lösen Probleme anhand der Definition und Eigenschaften der Mittellinie eines Trapezes anhand vorgefertigter Zeichnungen (siehe Anhang 2). Anhang 2 wird jedem Schüler ausgehändigt und die Lösung der Aufgaben wird auf demselben Blatt in Kurzform notiert.