Wenn am Schnittpunkt zweier paralleler Linien eine dritte liegt. Wenn am Schnittpunkt zweier Geraden eine dritte liegt

1. Das erste Anzeichen von Parallelität.

Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die kreuzenden Innenwinkel gleich groß sind, dann sind diese Geraden parallel.

Lassen Sie die Geraden AB und CD von der Geraden EF geschnitten werden und ∠1 = ∠2. Nehmen wir Punkt O – die Mitte des Segments KL der Sekante EF (Abb.).

Senken wir die Senkrechte OM vom Punkt O auf die Linie AB ab und setzen wir sie fort, bis sie die Linie CD, AB ⊥ MN schneidet. Beweisen wir, dass CD ⊥ MN.

Betrachten Sie dazu zwei Dreiecke: MOE und NOK. Diese Dreiecke sind einander gleich. Tatsächlich: ∠1 = ∠2 nach dem Satz; ОK = ОL - konstruktionsbedingt;

∠MOL = ∠NOK, wie vertikale Winkel. Somit sind die Seiten- und zwei benachbarte Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei benachbarte Winkel eines anderen Dreiecks; daher ist ΔMOL = ΔNOK und daher ∠LMO = ∠KNO,
aber ∠LMO ist gerade, was bedeutet, dass ∠KNO auch gerade ist. Somit stehen die Linien AB und CD senkrecht auf derselben Linie MN und sind daher parallel, was bewiesen werden musste.

Notiz. Der Schnittpunkt der Geraden MO und CD kann durch Drehung des Dreiecks MOL um den Punkt O um 180° ermittelt werden.

2. Das zweite Zeichen der Parallelität.

Sehen wir uns an, ob die Geraden AB und CD parallel sind, wenn beim Schnittpunkt mit der dritten Geraden EF die entsprechenden Winkel gleich sind.

Einige entsprechende Winkel seien gleich, zum Beispiel ∠ 3 = ∠2 (Abb.);

∠3 = ∠1, als vertikale Winkel; das bedeutet, dass ∠2 gleich ∠1 ist. Aber die Winkel 2 und 1 sind sich schneidende Innenwinkel, und wir wissen bereits, dass diese Linien parallel sind, wenn zwei gerade Linien die dritte schneiden und die sich schneidenden Innenwinkel gleich sind. Daher AB || CD.

Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die entsprechenden Winkel gleich sind, dann sind diese beiden Geraden parallel.

Auf dieser Eigenschaft basiert die Konstruktion paralleler Linien mit Lineal und Zeichendreieck. Dies geschieht wie folgt.

Befestigen wir das Dreieck wie in Abb. gezeigt am Lineal. Wir verschieben das Dreieck so, dass eine seiner Seiten entlang des Lineals gleitet, und zeichnen mehrere gerade Linien entlang einer anderen Seite des Dreiecks. Diese Linien werden parallel sein.

3. Das dritte Zeichen der Parallelität.

Lassen Sie uns wissen, dass die Summe aller einseitigen Innenwinkel gleich 2 ist, wenn sich zwei Geraden AB und CD mit einer dritten Geraden schneiden D(oder 180°). Sind in diesem Fall die Geraden AB und CD parallel (Abb.)?

Seien ∠1 und ∠2 innere einseitige Winkel und addieren sich zu 2 D.

Aber ∠3 + ∠2 = 2 D als benachbarte Winkel. Daher ist ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Daher ist ∠1 = ∠3, und diese Innenwinkel liegen kreuzweise. Daher AB || CD.

Wenn zwei Geraden eine dritte schneiden, ist die Summe der einseitigen Innenwinkel gleich 2 d (oder 180°), dann sind diese beiden Geraden parallel.

Anzeichen paralleler Linien:

1. Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die kreuzweise liegenden Innenwinkel gleich sind, dann sind diese Geraden parallel.

2. Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die entsprechenden Winkel gleich sind, dann sind diese beiden Geraden parallel.

3. Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die Summe der einseitigen Innenwinkel 180° beträgt, dann sind diese beiden Geraden parallel.

4. Wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten Geraden verlaufen, dann sind sie parallel zueinander.

5. Stehen zwei Geraden senkrecht auf einer dritten Geraden, dann sind sie parallel zueinander.

Euklids Axiom der Parallelität

Aufgabe. Zeichnen Sie durch einen Punkt M außerhalb der Linie AB eine Linie parallel zur Linie AB.

Mit den bewährten Sätzen über die Vorzeichen der Parallelität von Geraden lässt sich dieses Problem auf verschiedene Weise lösen,

Lösung. 1. Schritt (Zeichnung 199).

Wir zeichnen MN⊥AB und durch Punkt M zeichnen wir CD⊥MN;

wir erhalten CD⊥MN und AB⊥MN.

Basierend auf dem Satz („Wenn zwei Geraden senkrecht auf derselben Geraden stehen, dann sind sie parallel.“) schließen wir, dass CD || AB.

2. Methode (Zeichnung 200).

Wir zeichnen eine MK, die AB in einem beliebigen Winkel α schneidet, und durch den Punkt M zeichnen wir eine Gerade EF, die mit der Geraden MK einen Winkel EMK bildet, der dem Winkel α entspricht. Basierend auf Theorem () schließen wir, dass EF || AB.

Nachdem wir dieses Problem gelöst haben, können wir es als bewiesen betrachten, dass es durch jeden Punkt M, der außerhalb der Geraden AB liegt, möglich ist, eine Gerade parallel dazu zu zeichnen. Es stellt sich die Frage: Wie viele Geraden kann es parallel zu einer gegebenen Geraden und durch einen gegebenen Punkt geben?

Die Konstruktionspraxis lässt uns davon ausgehen, dass es nur eine solche Gerade gibt, da bei einer sorgfältig ausgeführten Zeichnung auf unterschiedliche Weise durch denselben Punkt parallel zu derselben Geraden gezogene Geraden verschmelzen.

Theoretisch gibt die Antwort auf die gestellte Frage das sogenannte Parallelismus-Axiom von Euklid; es ist wie folgt formuliert:

Durch einen Punkt außerhalb einer bestimmten Linie kann nur eine Linie parallel zu dieser Linie gezogen werden.

In Zeichnung 201 wird eine Gerade SC durch den Punkt O parallel zur Geraden AB gezogen.

Jede andere Gerade, die durch den Punkt O verläuft, verläuft nicht mehr parallel zur Geraden AB, sondern schneidet diese.

Das von Euklid in seinen Elementen übernommene Axiom, das besagt, dass auf einer Ebene durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Linie nur eine gerade Linie parallel zu dieser Linie gezogen werden kann, heißt Euklids Axiom der Parallelität.

Mehr als zweitausend Jahre nach Euklid versuchten viele Mathematiker, diesen mathematischen Satz zu beweisen, doch ihre Versuche waren stets erfolglos. Erst im Jahr 1826 bewies der große russische Wissenschaftler und Professor an der Kasaner Universität Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski, dass dieser mathematische Satz mit allen anderen Axiomen Euklids nicht bewiesen werden kann und dass er tatsächlich als Axiom akzeptiert werden sollte. N. I. Lobatschewski schuf eine neue Geometrie, die im Gegensatz zur Geometrie Euklids Lobatschewski-Geometrie genannt wird.

Anzeichen der Parallelität zweier Linien

Satz 1. Wenn sich zwei Geraden mit einer Sekante schneiden:

gekreuzte Winkel sind gleich, oder

entsprechende Winkel sind gleich, oder

die Summe der einseitigen Winkel beträgt dann 180°

Linien sind parallel(Abb. 1).

Nachweisen. Wir beschränken uns auf den Beweis von Fall 1.

Die Schnittlinien a und b seien kreuzweise und die Winkel AB seien gleich. Zum Beispiel ∠ 4 = ∠ 6. Beweisen wir, dass a || B.

Angenommen, die Linien a und b sind nicht parallel. Dann schneiden sie sich in einem Punkt M und daher ist einer der Winkel 4 oder 6 der Außenwinkel des Dreiecks ABM. Der Bestimmtheit halber sei ∠ 4 der Außenwinkel des Dreiecks ABM und ∠ 6 der Innenwinkel. Aus dem Satz über den Außenwinkel eines Dreiecks folgt, dass ∠ 4 größer als ∠ 6 ist, und dies widerspricht der Bedingung, dass sich die Geraden a und 6 nicht schneiden können, also parallel sind.

Folgerung 1. Zwei verschiedene Linien in einer Ebene senkrecht zur gleichen Linie sind parallel(Abb. 2).

Kommentar. Die Art und Weise, wie wir gerade Fall 1 von Satz 1 bewiesen haben, wird als Methode des Beweises durch Widerspruch oder Reduktion auf die Absurdität bezeichnet. Diese Methode erhielt ihren ersten Namen, weil am Anfang der Argumentation eine Annahme gemacht wird, die im Widerspruch zu dem steht, was bewiesen werden muss. Es wird Absurdität genannt, weil wir auf der Grundlage der getroffenen Annahmen zu einer absurden Schlussfolgerung (zum Absurden) kommen. Der Erhalt einer solchen Schlussfolgerung zwingt uns dazu, die zu Beginn getroffene Annahme abzulehnen und die Annahme zu akzeptieren, die bewiesen werden musste.

Aufgabe 1. Konstruieren Sie eine Gerade, die durch einen gegebenen Punkt M und parallel zu einer gegebenen Geraden a verläuft und nicht durch den Punkt M verläuft.

Lösung. Wir zeichnen eine Gerade p durch den Punkt M senkrecht zur Geraden a (Abb. 3).

Dann zeichnen wir eine Gerade b durch den Punkt M senkrecht zur Geraden p. Linie b ist gemäß der Folgerung von Satz 1 parallel zu Linie a.

Aus dem betrachteten Problem ergibt sich eine wichtige Schlussfolgerung:
Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, ist es immer möglich, eine Gerade parallel zu dieser zu zeichnen.

Die Haupteigenschaft paralleler Linien ist wie folgt.

Axiom paralleler Linien. Durch einen gegebenen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, verläuft nur eine Gerade parallel zu dieser.

Betrachten wir einige Eigenschaften paralleler Geraden, die sich aus diesem Axiom ergeben.

1) Wenn eine Gerade eine von zwei parallelen Geraden schneidet, dann schneidet sie auch die andere (Abb. 4).

2) Wenn zwei verschiedene Geraden parallel zu einer dritten Geraden verlaufen, dann sind sie parallel (Abb. 5).

Der folgende Satz ist ebenfalls wahr.

Satz 2. Wenn zwei parallele Geraden von einer Transversallinie geschnitten werden, dann gilt:

Querwinkel sind gleich;

entsprechende Winkel sind gleich;

die Summe der einseitigen Winkel beträgt 180°.

Folgerung 2. Steht eine Gerade senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen(siehe Abb. 2).

Kommentar. Satz 2 wird die Umkehrung von Satz 1 genannt. Die Konklusion von Satz 1 ist die Bedingung von Satz 2. Und die Bedingung von Satz 1 ist die Konklusion von Satz 2. Nicht jeder Satz hat eine Umkehrung, das heißt, wenn ein bestimmter Satz vorhanden ist wahr, dann kann der Umkehrsatz falsch sein.

Lassen Sie uns dies am Beispiel des Satzes über vertikale Winkel erklären. Dieser Satz lässt sich wie folgt formulieren: Wenn zwei Winkel vertikal sind, dann sind sie gleich. Der umgekehrte Satz wäre: Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind sie vertikal. Und das stimmt natürlich nicht. Zwei gleiche Winkel müssen nicht vertikal sein.

Beispiel 1. Zwei parallele Linien werden von einer dritten gekreuzt. Es ist bekannt, dass der Unterschied zwischen zwei einseitigen Innenwinkeln 30° beträgt. Finden Sie diese Winkel.

Lösung. Abbildung 6 soll die Bedingung erfüllen.

KAPITEL III.
PARALLEL DIREKT

§ 35. ZEICHEN VON PARALLELEN ZWEI LINIEN.

Der Satz, dass zwei Senkrechte zu einer Geraden parallel sind (§ 33), gibt ein Zeichen dafür, dass zwei Geraden parallel sind. Es lassen sich allgemeinere Anzeichen für die Parallelität zweier Geraden ableiten.

1. Das erste Anzeichen von Parallelität.

Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die kreuzenden Innenwinkel gleich groß sind, dann sind diese Geraden parallel.

Lassen Sie die Geraden AB und CD von der Geraden EF und schneiden / 1 = / 2. Nehmen Sie Punkt O – die Mitte des Segments KL der Sekante EF (Abb. 189).

Senken wir die Senkrechte OM vom Punkt O auf die Gerade AB ab und setzen wir sie fort, bis sie die Gerade CD, AB_|_MN schneidet. Beweisen wir, dass CD_|_MN.
Betrachten Sie dazu zwei Dreiecke: MOE und NOK. Diese Dreiecke sind einander gleich. Tatsächlich: / 1 = / 2 gemäß den Bedingungen des Satzes; ОK = ОL - konstruktionsbedingt;
/ MOL = / NEIN, wie vertikale Winkel. Somit sind die Seitenwinkel und zwei benachbarte Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei benachbarte Winkel eines anderen Dreiecks; somit, /\ MOL = /\ NEIN, und daher
/ LMO = / KNO, aber / LMO ist direkt, das heißt / KNO ist auch gerade. Somit stehen die Geraden AB und CD senkrecht auf derselben Geraden MN, also sind sie parallel (§ 33), was bewiesen werden musste.

Notiz. Der Schnittpunkt der Geraden MO und CD kann durch Drehung des Dreiecks MOL um den Punkt O um 180° ermittelt werden.

2. Das zweite Zeichen der Parallelität.

Sehen wir uns an, ob die Geraden AB und CD parallel sind, wenn beim Schnittpunkt mit der dritten Geraden EF die entsprechenden Winkel gleich sind.

Einige entsprechende Winkel seien beispielsweise gleich / 3 = / 2 (Zeichnung 190);
/ 3 = / 1, da die Winkel vertikal sind; Bedeutet, / 2 wird gleich sein / 1. Aber die Winkel 2 und 1 sind sich schneidende Innenwinkel, und wir wissen bereits, dass diese Linien parallel sind, wenn zwei gerade Linien die dritte schneiden und die sich schneidenden Innenwinkel gleich sind. Daher AB || CD.

Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die entsprechenden Winkel gleich sind, dann sind diese beiden Geraden parallel.

Auf dieser Eigenschaft basiert die Konstruktion paralleler Linien mit Lineal und Zeichendreieck. Dies geschieht wie folgt.

Befestigen wir das Dreieck wie in Zeichnung 191 gezeigt am Lineal. Wir verschieben das Dreieck so, dass eine seiner Seiten entlang des Lineals gleitet, und zeichnen mehrere gerade Linien entlang einer anderen Seite des Dreiecks. Diese Linien werden parallel sein.

3. Das dritte Zeichen der Parallelität.

Lassen Sie uns wissen, dass die Summe aller einseitigen Innenwinkel gleich 2 ist, wenn sich zwei Geraden AB und CD mit einer dritten Geraden schneiden D(oder 180°). Sind in diesem Fall die Geraden AB und CD parallel (Abb. 192)?

Lassen / 1 und / 2 sind einseitige Innenwinkel und ergeben zusammen 2 D.
Aber / 3 + / 2 = 2D als benachbarte Winkel. Somit, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Von hier / 1 = / 3, und diese Innenwinkel liegen kreuzweise. Daher AB || CD.

Wenn zwei Geraden eine dritte schneiden, ist die Summe der einseitigen Innenwinkel gleich 2 d, dann sind diese beiden Geraden parallel.

Übung.

Beweisen Sie, dass die Geraden parallel sind:
a) wenn die äußeren Querwinkel gleich sind (Abb. 193);
b) wenn die Summe der äußeren einseitigen Winkel gleich 2 ist D(Zeichnung 194).

Im Abschnitt zur Frage Geometrie. Nennen Sie die drei vom Autor angegebenen Zeichen paralleler Linien Christus machen Die beste Antwort ist Wenn, wenn zwei Geraden ein Drittel schneiden, die Summe der einseitigen Innenwinkel 180 Grad beträgt, dann sind solche Geraden parallel.
Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die kreuzweise liegenden Innenwinkel gleich sind, dann sind diese Geraden parallel.
Stehen zwei Geraden senkrecht auf einer dritten, dann sind sie parallel.

Antwort von Pazitea[Guru]
1. Das erste Anzeichen von Parallelität.
Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die kreuzenden Innenwinkel gleich groß sind, dann sind diese Geraden parallel.
2. Das zweite Zeichen der Parallelität.
Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die entsprechenden Winkel gleich sind, dann sind diese beiden Geraden parallel.
3. Das dritte Zeichen der Parallelität.
Lassen Sie uns wissen, dass die Summe aller einseitigen Innenwinkel gleich 2d (oder 180°) ist, wenn sich zwei Geraden AB und CD mit einer dritten Geraden schneiden. Sind in diesem Fall die Geraden AB und CD parallel (Abb. 192)?
Seien /1 und /2 innere einseitige Winkel und addieren sich zu 2d.
Aber / 3 + / 2 = 2d, da die Winkel benachbart sind. Daher ist / 1 + / 2 = / 3+ / 2.
Daher ist / 1 = / 3, und diese Innenwinkel liegen kreuzweise. Daher AB || CD.
Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die Summe der einseitigen Innenwinkel gleich 2d ist, dann sind diese beiden Geraden parallel.