Monotonieintervalle und kritische Punkte online. Funktionsstudie. Extrema und Intervalle der Monotonie einer Funktion

Monotone Funktion ist eine Funktion Zuwachs die das Vorzeichen nicht ändert, also entweder immer nicht negativ oder immer nicht positiv ist. Ist außerdem das Inkrement ungleich Null, wird die Funktion aufgerufen streng eintönig. Eine monotone Funktion ist eine Funktion, die sich in die gleiche Richtung ändert.

Eine Funktion wird inkrementiert, wenn ein größerer Argumentwert einem größeren Funktionswert entspricht. Eine Funktion nimmt ab, wenn ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion entspricht.

Dann sei die Funktion gegeben

Eine (streng) steigende oder fallende Funktion heißt (streng) monoton.

Definition von Extremum

Man sagt, dass eine Funktion y = f(x) in einem bestimmten Intervall zunimmt (abnimmt), wenn für x1 gilt< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Wenn die differenzierbare Funktion y = f(x) in einem Intervall zunimmt (abnimmt), dann ist ihre Ableitung in diesem Intervall f "(x) > 0

(f" (x)< 0).

Ein Punkt xо wird als lokaler maximaler (minimaler) Punkt der Funktion f(x) bezeichnet, wenn es eine Umgebung des Punktes xо gibt, für die die Ungleichung f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо) gilt )) gilt für alle Punkte.

Die Maximal- und Minimalpunkte werden als Extrempunkte bezeichnet, und die Werte der Funktion an diesen Punkten werden als ihre Extrema bezeichnet.

Extremumpunkte

Notwendige Bedingungen für ein Extremum. Wenn der Punkt xо ein Extrempunkt der Funktion f(x) ist, dann ist entweder f "(xо) = 0 oder f (xо) existiert nicht. Solche Punkte werden als kritisch bezeichnet, und die Funktion selbst wird am kritischen Punkt definiert Die Extrema der Funktion sollten unter ihren kritischen Punkten gesucht werden.

Die erste hinreichende Bedingung. Sei xo der kritische Punkt. Wenn f "(x) beim Durchgang durch den Punkt xo das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, dann hat die Funktion am Punkt xo ein Maximum, andernfalls hat sie ein Minimum. Wenn die Ableitung beim Durchgang durch den kritischen Punkt das Vorzeichen nicht ändert, dann gibt es im Punkt xo kein Extremum.

Zweite ausreichende Bedingung. Die Funktion f(x) habe eine Ableitung f " (x) in der Nähe des Punktes xо und eine zweite Ableitung am Punkt xо selbst. Wenn f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Auf einem Segment kann die Funktion y = f(x) entweder an kritischen Punkten oder an den Enden des Segments ihren minimalen oder maximalen Wert erreichen.

7. Konvexitätsintervalle, Konkavitätsfunktionen .Wendepunkte.

Graph einer Funktion j=f(x) angerufen konvex auf dem Intervall (a; b), wenn es unterhalb einer seiner Tangenten in diesem Intervall liegt. Graph einer Funktion j=f(x) angerufen konkav auf dem Intervall (a; b), wenn es über einer seiner Tangenten in diesem Intervall liegt. Die Abbildung zeigt eine Kurve, die bei konvex ist (a; b) und konkav auf (b;c). Beispiele. Betrachten wir ein ausreichendes Kriterium, mit dem wir bestimmen können, ob der Graph einer Funktion in einem bestimmten Intervall konvex oder konkav ist. Satz. Lassen j=f(x) differenzierbar durch (a; b). Wenn an allen Punkten des Intervalls (a; b) zweite Ableitung der Funktion j = f(x) negativ, d.h. F""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(X) > 0 – konkav. Nachweisen. Nehmen wir das zur Sicherheit an F""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Nehmen wir die Funktionen im Diagramm y = f(x) beliebiger Punkt M 0 mit Abszisse X 0  (A; B) und zeichnen Sie durch den Punkt M 0 Tangente. (a; b) Ihre Gleichung. Wir müssen zeigen, dass der Graph der Funktion auf X liegt unterhalb dieser Tangente, d.h. zum gleichen Wert y = f(x) Ordinate der Kurve

wird kleiner sein als die Ordinate der Tangente.

Wendepunkt einer Funktion Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe.

Wendepunkt Wendepunkt eines funktionsinternen Punktes Definitionsbereich

, so dass es an diesem Punkt stetig ist, gibt es an diesem Punkt eine endliche oder mit einem bestimmten Vorzeichen unendliche Ableitung, ist gleichzeitig das Ende des Intervalls strenger Konvexität nach oben und der Beginn des Intervalls strenger Konvexität nach unten oder umgekehrt.

Inoffiziell In diesem Fall geht es darum Wendepunkt Graph einer Funktion, d. h. der Graph einer Funktion an einem Punkt „knickt“ durch Tangente

dazu an dieser Stelle: an der Tangente liegt unter dem Graphen und über dem Graphen (oder umgekehrt)

Steigende, fallende und Extrema einer Funktion Das Ermitteln der Anstiegs-, Abfall- und Extremaintervalle einer Funktion ist sowohl eine eigenständige Aufgabe als auch ein wesentlicher Bestandteil anderer Aufgaben, insbesondere Vollständige Funktionsstudie . Erste Informationen zu Anstieg, Abfall und Extrema der Funktion finden Sie in Theoretisches Kapitel zur Ableitung , das ich zum Vorstudium wärmstens empfehlen kann(oder Wiederholung) – auch aus dem Grund, dass das folgende Material auf genau diesem basiert im Wesentlichen ein Derivat,

Dies ist eine harmonische Fortsetzung dieses Artikels. Wenn die Zeit jedoch knapp ist, ist auch ein rein formales Üben von Beispielen aus der heutigen Lektion möglich. Und heute liegt eine Stimmung seltener Einmütigkeit in der Luft, und ich spüre direkt, dass alle Anwesenden vor Verlangen brennen Lernen Sie, eine Funktion mithilfe ihrer Ableitung zu untersuchen

. Daher erscheint auf Ihren Bildschirmen sofort eine vernünftige, freundliche und ewige Terminologie. Wofür? Einer der Gründe ist der praktischste:!

damit klar ist, was bei einer bestimmten Aufgabe generell von Ihnen verlangt wird

Betrachten wir eine Funktion. Vereinfacht gesagt gehen wir davon aus, dass sie kontinuierlich auf dem gesamten Zahlenstrahl:

Lassen Sie uns für alle Fälle mögliche Illusionen sofort loswerden, insbesondere für diejenigen Leser, die sich erst kürzlich damit vertraut gemacht haben Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion. Jetzt wir NICHT INTERESSIERT, wie sich der Graph der Funktion relativ zur Achse befindet (oben, unten, wo sich die Achse schneidet). Um zu überzeugen, löschen Sie im Geiste die Achsen und lassen Sie ein Diagramm übrig. Denn darin liegt das Interesse.

Funktion erhöht sich auf einem Intervall, wenn für zwei beliebige Punkte dieses Intervalls, die durch die Beziehung verbunden sind, die Ungleichung wahr ist. Das heißt, ein größerer Wert des Arguments entspricht einem größeren Wert der Funktion und ihr Diagramm verläuft „von unten nach oben“. Die Demonstrationsfunktion wächst über das Intervall.

Ebenso die Funktion nimmt ab auf einem Intervall, wenn für zwei beliebige Punkte eines gegebenen Intervalls, so dass die Ungleichung wahr ist. Das heißt, ein größerer Wert des Arguments entspricht einem kleineren Wert der Funktion und ihr Diagramm verläuft „von oben nach unten“. Unsere Funktion nimmt in Intervallen ab .

Wenn eine Funktion über ein Intervall zunimmt oder abnimmt, wird sie aufgerufen streng eintönig in diesem Intervall. Was ist Monotonie? Nehmen Sie es wörtlich: Monotonie.

Sie können auch definieren nicht abnehmend Funktion (entspannter Zustand in der ersten Definition) und nicht zunehmend Funktion (erweichter Zustand in der 2. Definition). Eine nicht abnehmende oder nicht steigende Funktion in einem Intervall wird als monotone Funktion in einem bestimmten Intervall bezeichnet (strenge Monotonie ist ein Sonderfall der „einfachen“ Monotonie).

Die Theorie berücksichtigt auch andere Ansätze zur Bestimmung der Zunahme/Abnahme einer Funktion, einschließlich halber Intervalle und Segmente, aber um Ihnen kein Öl-Öl-Öl auf den Kopf zu gießen, werden wir uns darauf einigen, mit offenen Intervallen mit kategorialen Definitionen zu arbeiten - Das ist klarer und zur Lösung vieler praktischer Probleme völlig ausreichend.

Auf diese Weise, In meinen Artikeln wird die Formulierung „Monotonie einer Funktion“ fast immer ausgeblendet Intervalle strenge Monotonie(streng steigende oder streng fallende Funktion).

Nachbarschaft eines Punktes. Worte, nach denen die Schüler davonlaufen, wo immer sie können, und sich entsetzt in den Ecken verstecken. ...Allerdings nach dem Beitrag Cauchy-Grenzen Sie verstecken sich wahrscheinlich nicht mehr, sondern zittern nur noch leicht =) Keine Sorge, jetzt wird es keine Beweise für die Theoreme der mathematischen Analysis geben – ich brauchte die Umgebung, um die Definitionen strenger zu formulieren Extrempunkte. Lass uns erinnern:

Nachbarschaft eines Punktes Ein Intervall, das einen bestimmten Punkt enthält, wird aufgerufen, und der Einfachheit halber wird das Intervall oft als symmetrisch angenommen. Zum Beispiel ein Punkt und seine Standardumgebung:

Eigentlich sind die Definitionen:

Der Punkt heißt strenger Höchstpunkt, Wenn existiert ihre Nachbarschaft, für alle Werte, deren Ungleichheit bis auf den Punkt selbst gilt. In unserem konkreten Beispiel ist dies ein Punkt.

Der Punkt heißt strenge Mindestpunktzahl, Wenn existiert ihre Nachbarschaft, für alle Werte, deren Ungleichheit bis auf den Punkt selbst gilt. In der Zeichnung gibt es Punkt „a“.

Notiz : Das Erfordernis der Nachbarschaftssymmetrie ist überhaupt nicht notwendig. Darüber hinaus ist es wichtig die Tatsache der Existenz Nachbarschaft (ob winzig oder mikroskopisch), die die angegebenen Bedingungen erfüllt

Die Punkte werden aufgerufen streng Extremumpunkte oder einfach Extrempunkte Funktionen. Das heißt, es handelt sich um einen verallgemeinerten Begriff für Höchstpunktzahl und Mindestpunktzahl.

Wie verstehen wir das Wort „extrem“? Ja, genauso direkt wie die Monotonie. Extrempunkte von Achterbahnen.

Wie im Fall der Monotonie gibt es lose Postulate, die in der Theorie sogar noch häufiger vorkommen (worunter natürlich die betrachteten strengen Fälle fallen!):

Der Punkt heißt Maximalpunkt, Wenn existiert seine Umgebung ist so für alle
Der Punkt heißt Mindestpunktzahl, Wenn existiert seine Umgebung ist so für alle Werte dieser Nachbarschaft gilt die Ungleichung.

Beachten Sie, dass gemäß den letzten beiden Definitionen jeder Punkt einer konstanten Funktion (oder ein „flacher Abschnitt“ einer Funktion) sowohl als Maximal- als auch als Minimalpunkt betrachtet wird! Die Funktion ist übrigens sowohl nicht steigend als auch nicht fallend, also monoton. Wir überlassen diese Überlegungen jedoch den Theoretikern, da wir in der Praxis fast immer über traditionelle „Hügel“ und „Mulden“ (siehe Zeichnung) mit einem einzigartigen „König des Hügels“ oder einer „Prinzessin des Sumpfes“ nachdenken. Als Varietät kommt es vor Tipp, nach oben oder unten gerichtet, zum Beispiel das Minimum der Funktion an dem Punkt.

Oh, und wo wir gerade vom Königtum sprechen:
– die Bedeutung heißt maximal Funktionen;
– die Bedeutung heißt Minimum Funktionen.

Gemeinsamen Namen - Extreme Funktionen.

Bitte seien Sie vorsichtig mit Ihren Worten!

Extremumpunkte– das sind „X“-Werte.
Extreme– „Spiel“-Bedeutungen.

! Notiz : Manchmal beziehen sich die aufgeführten Begriffe auf die „X-Y“-Punkte, die direkt auf dem GRAPH DER Funktion SELBST liegen.

Wie viele Extrema kann eine Funktion haben?

Keine, 1, 2, 3, ... usw. zur Unendlichkeit. Beispielsweise hat der Sinus unendlich viele Minima und Maxima.

WICHTIG! Der Begriff „Maximum der Funktion“ Nicht identisch der Begriff „Maximalwert einer Funktion“. Es ist leicht zu erkennen, dass der Wert nur in einer lokalen Nachbarschaft maximal ist und sich oben links „coolere Kameraden“ befinden. Ebenso ist „Minimum einer Funktion“ nicht dasselbe wie „Minimalwert einer Funktion“, und in der Zeichnung sehen wir, dass der Wert nur in einem bestimmten Bereich minimal ist. In diesem Zusammenhang werden auch Extrempunkte genannt lokale Extrempunkte, und die Extrema – lokale Extreme. Sie gehen und wandern in der Nähe und global Brüder. Jede Parabel hat also an ihrem Scheitelpunkt globales Minimum oder globales Maximum. Darüber hinaus werde ich nicht zwischen den Arten von Extremen unterscheiden, und die Erklärung wird eher für allgemeine Bildungszwecke geäußert – die zusätzlichen Adjektive „lokal“/„global“ sollten Sie nicht überraschen.

Fassen wir unseren kurzen Ausflug in die Theorie mit einer Testaufnahme zusammen: Was bedeutet die Aufgabe „Finde die Monotonieintervalle und Extrempunkte der Funktion“?

Der Wortlaut ermutigt Sie, Folgendes zu finden:

– Intervalle mit zunehmender/abfallender Funktion (nicht abnehmend, nicht zunehmend erscheint viel seltener);

– Höchst- und/oder Mindestpunktzahl (falls vorhanden). Nun, um Fehler zu vermeiden, ist es besser, die Mindest-/Höchstwerte selbst zu ermitteln ;-)

Wie kann man das alles feststellen? Verwendung der Ableitungsfunktion!

So finden Sie Intervalle mit zunehmender, abnehmender,
Extrempunkte und Extrema der Funktion?

Tatsächlich sind viele Regeln bereits bekannt und werden von ihnen verstanden Lektion über die Bedeutung einer Ableitung.

Tangentenableitung bringt die erfreuliche Nachricht, dass die Funktion überall zunimmt Definitionsbereich.

Mit Kotangens und seiner Ableitung die Situation ist genau das Gegenteil.

Der Arkussinus nimmt über das Intervall zu – die Ableitung ist hier positiv: .
Wenn die Funktion definiert, aber nicht differenzierbar ist. Am kritischen Punkt gibt es jedoch eine rechtsgängige Ableitung und eine rechtsgängige Tangente, und am anderen Rand gibt es deren linksgängige Gegenstücke.

Ich denke, es wird Ihnen nicht allzu schwer fallen, ähnliche Überlegungen für den Arkuskosinus und seine Ableitung anzustellen.

Alle oben genannten Fälle, viele davon tabellarische Ableitungen Ich erinnere Sie daran, folgen Sie direkt von Ableitungsdefinitionen.

Warum eine Funktion mithilfe ihrer Ableitung untersuchen?

Um besser zu verstehen, wie der Graph dieser Funktion aussieht: wo es „von unten nach oben“ geht, wo „von oben nach unten“, wo es Minima und Maxima erreicht (wenn es überhaupt erreicht). Nicht alle Funktionen sind so einfach – in den meisten Fällen haben wir überhaupt keine Ahnung vom Graphen einer bestimmten Funktion.

Es ist an der Zeit, zu aussagekräftigeren Beispielen überzugehen und darüber nachzudenken Algorithmus zum Finden von Intervallen der Monotonie und Extrema einer Funktion:

Beispiel 1

Finden Sie Anstiegs-/Abfallintervalle und Extrema der Funktion

Lösung:

1) Der erste Schritt besteht darin, zu finden Domäne einer Funktion, und notieren Sie sich auch die Haltepunkte (falls vorhanden). In diesem Fall ist die Funktion auf der gesamten Zahlengeraden stetig und diese Aktion ist gewissermaßen formal. Aber in einigen Fällen flammen hier ernsthafte Leidenschaften auf, also behandeln wir den Absatz ohne Verachtung.

2) Der zweite Punkt des Algorithmus ist darauf zurückzuführen

eine notwendige Bedingung für ein Extremum:

Wenn es an einem Punkt ein Extremum gibt, dann existiert der Wert entweder nicht.

Verwirrt durch das Ende? Extremum der Funktion „Modul x“. .

Die Bedingung ist notwendig, aber nicht genug, und das Gegenteil ist nicht immer der Fall. Aus der Gleichheit folgt also noch nicht, dass die Funktion im Punkt ein Maximum oder Minimum erreicht. Ein klassisches Beispiel wurde oben bereits hervorgehoben – dies ist eine kubische Parabel und ihr kritischer Punkt.

Aber wie dem auch sei, die notwendige Bedingung für ein Extremum diktiert die Notwendigkeit, verdächtige Punkte zu finden. Finden Sie dazu die Ableitung und lösen Sie die Gleichung:

Am Anfang des ersten Artikels über Funktionsgraphen Wie man schnell eine Parabel baut, habe ich dir anhand eines Beispiels erklärt : „...wir nehmen die erste Ableitung und setzen sie mit Null gleich: ...Also die Lösung unserer Gleichung: - An diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel ...“. Jetzt, denke ich, versteht jeder, warum der Scheitelpunkt der Parabel genau an diesem Punkt liegt =) Im Allgemeinen sollten wir hier mit einem ähnlichen Beispiel beginnen, aber es ist zu einfach (selbst für eine Teekanne). Darüber hinaus gibt es ganz am Ende der Lektion ein Analogon zum Thema Ableitung einer Funktion. Erhöhen wir daher den Grad:

Beispiel 2

Finden Sie Intervalle der Monotonie und Extrema der Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Eine vollständige Lösung und ein ungefähres Endbeispiel des Problems am Ende der Lektion.

Der lang erwartete Moment der Begegnung mit gebrochenrationalen Funktionen ist gekommen:

Beispiel 3

Untersuchen Sie eine Funktion mit der ersten Ableitung

Bitte beachten Sie, wie unterschiedlich ein und dieselbe Aufgabe umformuliert werden kann.

Lösung:

1) Die Funktion weist an Punkten unendliche Diskontinuitäten auf.

2) Wir erkennen kritische Punkte. Finden wir die erste Ableitung und setzen sie mit Null gleich:

Lassen Sie uns die Gleichung lösen. Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null ist:

Somit erhalten wir drei kritische Punkte:

3) Wir zeichnen ALLE erkannten Punkte auf der Zahlenlinie auf und Intervallmethode Wir definieren die Zeichen des Derivativs:

Ich erinnere Sie daran, dass Sie einen Punkt im Intervall nehmen und den Wert der Ableitung an diesem Punkt berechnen müssen und bestimmen Sie sein Vorzeichen. Es ist profitabler, nicht einmal zu zählen, sondern mündlich zu „schätzen“. Nehmen wir zum Beispiel einen zum Intervall gehörenden Punkt und führen die Ersetzung durch: .

Zwei „Plus“ und ein „Minus“ ergeben also ein „Minus“, was bedeutet, dass die Ableitung über das gesamte Intervall negativ ist.

Wie Sie wissen, muss die Aktion für jedes der sechs Intervalle ausgeführt werden. Beachten Sie übrigens, dass Zählerfaktor und Nenner für jeden Punkt in jedem Intervall streng positiv sind, was die Aufgabe erheblich vereinfacht.

Die Ableitung sagte uns also, dass die FUNKTION SELBST um wächst und verringert sich um . Es ist praktisch, Intervalle desselben Typs mit dem Verbindungssymbol zu verbinden.

An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Maximum:
An dem Punkt erreicht die Funktion ein Minimum:

Überlegen Sie, warum Sie den zweiten Wert nicht neu berechnen müssen ;-)

Beim Durchlaufen eines Punktes ändert die Ableitung das Vorzeichen nicht, daher hat die Funktion dort KEIN EXTREMUM – sie nahm ab und blieb absteigend.

! Wiederholen wir einen wichtigen Punkt: Punkte gelten nicht als kritisch – sie enthalten eine Funktion unentschlossen. Dementsprechend hier Grundsätzlich kann es keine Extreme geben(auch wenn die Ableitung das Vorzeichen ändert).

Antwort: Funktion erhöht sich um und verringert sich um An dem Punkt, an dem das Maximum der Funktion erreicht ist: , und an der Stelle – das Minimum: .

Kenntnisse über Monotonieintervalle und Extrema, gepaart mit etablierten Asymptoten gibt bereits eine sehr gute Vorstellung vom Aussehen des Funktionsgraphen. Eine durchschnittlich geschulte Person kann verbal feststellen, dass der Graph einer Funktion zwei vertikale Asymptoten und eine schräge Asymptote hat. Hier ist unser Held:

Versuchen Sie noch einmal, die Ergebnisse der Studie mit dem Diagramm dieser Funktion zu korrelieren.
Am kritischen Punkt gibt es kein Extremum, aber es gibt eins Wendepunkt(was in der Regel in ähnlichen Fällen der Fall ist).

Beispiel 4

Finden Sie die Extrema der Funktion

Beispiel 5

Finden Sie Monotonieintervalle, Maxima und Minima der Funktion

…es ist heute fast wie eine Art „X im Würfel“-Feiertag....
Soooo, wer in der Galerie hat dafür einen Drink angeboten? =)

Jede Aufgabe hat ihre eigenen inhaltlichen Nuancen und technischen Feinheiten, die am Ende der Lektion kommentiert werden.

zunehmend auf dem Intervall \(X\) wenn für jedes \(x_1, x_2\in X\) so dass \(x_1

Die Funktion wird aufgerufen nicht abnehmend

\(\blacktriangleright\) Die Funktion \(f(x)\) wird aufgerufen abnehmend auf dem Intervall \(X\) wenn für jedes \(x_1, x_2\in X\) so dass \(x_1 f(x_2)\).

Die Funktion wird aufgerufen nicht zunehmend auf dem Intervall \(X\) wenn für jedes \(x_1, x_2\in X\) so dass \(x_1

\(\blacktriangleright\) Es werden steigende und fallende Funktionen aufgerufen streng eintönig, und nicht zunehmend und nicht abnehmend sind einfach eintönig.

\(\blacktriangleright\) Grundeigenschaften:

ICH. Wenn die Funktion \(f(x)\) streng monoton auf \(X\) ist, dann folgt aus der Gleichheit \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) \(f( x_1)= f(x_2)\) und umgekehrt.

Beispiel: Die Funktion \(f(x)=\sqrt x\) ist für alle \(x\in \) streng steigend, daher hat die Gleichung \(x^2=9\) höchstens eine Lösung auf diesem Intervall, oder besser gesagt: \(x=-3\) .

die Funktion \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) ist streng steigend für alle \(x\in (-1;+\infty)\), also ist die Gleichung \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) hat auf diesem Intervall nicht mehr als eine Lösung, oder vielmehr keine, weil Der Zähler der linken Seite kann niemals gleich Null sein.

III. Wenn die Funktion \(f(x)\) auf dem Segment \(\) nicht abnehmend (nicht steigend) und stetig ist und an den Enden des Segments die Werte \(f(a)= annimmt A, f(b)=B\) , dann hat für \(C\in \) (\(C\in \) ) die Gleichung \(f(x)=C\) immer mindestens eine Lösung.

Beispiel: Die Funktion \(f(x)=x^3\) ist streng steigend (also streng monoton) und stetig für alle \(x\in\mathbb(R)\), also für jedes \(C\ in ( -\infty;+\infty)\) hat die Gleichung \(x^3=C\) genau eine Lösung: \(x=\sqrt(C)\) .

Aufgabe 1 #3153

Aufgabenstufe: Einfacher als das Einheitliche Staatsexamen

hat genau zwei Wurzeln.

Schreiben wir die Gleichung wie folgt um: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Betrachten Sie die Funktion \(f(t)=t^3+t\) . Dann wird die Gleichung in der Form umgeschrieben: \ Lasst uns die Funktion \(f(t)\) untersuchen. \ Folglich nimmt die Funktion \(f(t)\) für alle \(t\) zu. Dies bedeutet, dass jedem Wert der Funktion \(f(t)\) genau ein Wert des Arguments \(t\) entspricht. Damit die Gleichung Wurzeln hat, ist es daher notwendig: \ Damit die resultierende Gleichung zwei Wurzeln hat, muss ihre Diskriminante positiv sein: \

Antwort:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Aufgabe 2 #2653

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\), für den die Gleichung gilt \

hat zwei Wurzeln.

(Aufgabe von Abonnenten.)

Machen wir eine Ersetzung: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Dann nimmt die Gleichung die Form an: \ Betrachten Sie die Funktion \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Dann nimmt unsere Gleichung die Form an: \

Finden wir die Ableitung \ Beachten Sie, dass für alle \(w\ne 0\) die Ableitung \(f"(w)>0\) ist, da \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Beachten Sie auch dass die Funktion \(f(w)\) selbst für alle \(w\) definiert ist. Da \(f(w)\) stetig ist, können wir daraus schließen, dass \(f (w)\) insgesamt zunimmt \(\mathbb(R)\) .
Dies bedeutet, dass die Gleichheit \(f(t)=f(u)\) genau dann möglich ist, wenn \(t=u\) . Kehren wir zu den ursprünglichen Variablen zurück und lösen die resultierende Gleichung:

\ Damit diese Gleichung zwei Wurzeln hat, muss sie quadratisch sein und ihre Diskriminante muss positiv sein:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Antwort:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Aufgabe 3 #3921

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle positiven Werte des Parameters \(a\), für den die Gleichung gilt

hat mindestens \(2\) Lösungen.

Verschieben wir alle Terme, die \(ax\) enthalten, nach links und diejenigen, die \(x^2\) enthalten, nach rechts und betrachten wir die Funktion
\

Dann nimmt die ursprüngliche Gleichung die Form an:
\

Finden wir die Ableitung:
\

Weil \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), dann \(f"(t)\geqslant 0\) für jedes \(t\in \mathbb(R)\) .

Darüber hinaus gilt \(f"(t)=0\), wenn \((t-2)^2=0\) und \(1+\cos(2t)=0\) gleichzeitig, was nicht wahr ist für jedes \(t\) . Daher ist \(f"(t)> 0\) für jedes \(t\in \mathbb(R)\) .

Somit ist die Funktion \(f(t)\) für alle \(t\in \mathbb(R)\) streng steigend.

Das bedeutet, dass die Gleichung \(f(ax)=f(x^2)\) äquivalent zur Gleichung \(ax=x^2\) ist.

Die Gleichung \(x^2-ax=0\) für \(a=0\) hat eine Wurzel \(x=0\) und für \(a\ne 0\) hat sie zwei verschiedene Wurzeln \(x_1 =0 \) und \(x_2=a\) .
Wir müssen die Werte von \(a\) finden, bei denen die Gleichung mindestens zwei Wurzeln hat, und dabei auch die Tatsache berücksichtigen, dass \(a>0\) .
Daher lautet die Antwort: \(a\in (0;+\infty)\) .

Antwort:

\((0;+\infty)\) .

Aufgabe 4 #1232

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \

hat eine einzigartige Lösung.

Lassen Sie uns die rechte und linke Seite der Gleichung mit \(2^(\sqrt(x+1))\) multiplizieren (da \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) und die Gleichung neu schreiben in der Form : \

Betrachten Sie die Funktion \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) für \(t\geqslant 0\) (da \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Derivat \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\).

Weil \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) für alle \(t\geqslant 0\) , dann ist \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Folglich nimmt die Funktion \(y\) mit \(t\geqslant 0\) monoton ab.

Die Gleichung kann in der Form \(y(t)=y(z)\) betrachtet werden, wobei \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Aus der Monotonie der Funktion folgt, dass Gleichheit nur möglich ist, wenn \(t=z\) .

Dies bedeutet, dass die Gleichung der Gleichung: \(ax=\sqrt(x+1)\) entspricht, die wiederum dem System entspricht: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

Wenn \(a=0\) hat das System eine Lösung \(x=-1\), die die Bedingung \(ax\geqslant 0\) erfüllt.

Betrachten Sie den Fall \(a\ne 0\) . Diskriminante der ersten Gleichung des Systems \(D=1+4a^2>0\) für alle \(a\) . Folglich hat die Gleichung immer zwei Wurzeln \(x_1\) und \(x_2\), und diese haben unterschiedliche Vorzeichen (da nach dem Satz von Vieta \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Das bedeutet, dass für \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) Die Bedingung wird durch eine positive Wurzel erfüllt. Daher verfügt das System immer über eine einzigartige Lösung.

Also, \(a\in \mathbb(R)\) .

Antwort:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Aufgabe 5 #1234

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \

hat mindestens eine Wurzel aus dem Segment \([-1;0]\) .

Betrachten Sie die Funktion \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) für einige feste \(a\) . Finden wir seine Ableitung: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Beachten Sie, dass \(f"(x)\geqslant 0\) für alle Werte von \(x\) und \(a\) ist und nur für \(x=a=1) gleich \(0\) ist \). Aber für \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) Die Gleichung \(2(x-1)^3=0\) hat eine einzelne Wurzel \(x=1\), die die Bedingung nicht erfüllt. Daher kann \(a\) nicht gleich \(1\) sein.

Das bedeutet, dass für alle \(a\ne 1\) die Funktion \(f(x)\) streng steigend ist, daher kann die Gleichung \(f(x)=0\) nicht mehr als eine Wurzel haben. Unter Berücksichtigung der Eigenschaften der kubischen Funktion sieht der Graph von \(f(x)\) für ein festes \(a\) wie folgt aus:

Das heißt, damit die Gleichung eine Wurzel aus dem Segment \([-1;0]\) hat, ist es notwendig: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Somit ist \(a\in [-2;0]\) .

Antwort:

\(a\in [-2;0]\) .

Aufgabe 6 #2949

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

hat Wurzeln.

(Aufgabe von Abonnenten)

ODZ-Gleichungen: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Damit eine Gleichung Wurzeln hat, ist es daher notwendig, dass mindestens eine der Gleichungen vorhanden ist \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] hatte Entscheidungen über ODZ.

1) Betrachten Sie die erste Gleichung \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Diese Gleichung muss Wurzeln in \(\) haben. Betrachten Sie einen Kreis:

Wir sehen also, dass die Gleichung für jedes \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) eine Lösung hat und für alle anderen keine Lösungen. Deshalb wann \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) Die Gleichung hat Lösungen.

2) Betrachten Sie die zweite Gleichung \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Betrachten Sie die Funktion \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Finden wir seine Ableitung: \ Auf der ODZ hat die Ableitung eine Nullstelle: \(x=\frac34\) , die auch der Maximalpunkt der Funktion \(f(x)\) ist.
Beachten Sie, dass \(f(0)=f(1)=0\) . Schematisch sieht der Graph \(f(x)\) also folgendermaßen aus:

Damit die Gleichung Lösungen hat, ist es daher notwendig, dass der Graph \(f(x)\) die Gerade \(y=-a\) schneidet (die Abbildung zeigt eine der geeigneten Optionen). Das heißt, es ist notwendig \ . Für diese \(x\) :

Die Funktion \(y_1=\sqrt(x-1)\) ist streng steigend. Der Graph der Funktion \(y_2=5x^2-9x\) ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt im Punkt \(x=\dfrac(9)(10)\) liegt. Folglich ist für alle \(x\geqslant 1\) auch die Funktion \(y_2\) streng wachsend (der rechte Ast der Parabel). Weil die Summe der streng steigenden Funktionen ist streng steigend, dann ist \(f_a(x)\) streng steigend (die Konstante \(3a+8\) hat keinen Einfluss auf die Monotonie der Funktion).

Die Funktion \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) für alle \(x\geqslant 1\) stellt einen Teil des rechten Zweigs der Hyperbel dar und ist streng fallend.

Das Lösen der Gleichung \(f_a(x)=g_a(x)\) bedeutet, die Schnittpunkte der Funktionen \(f\) und \(g\) zu finden. Aus ihrer entgegengesetzten Monotonie folgt, dass die Gleichung höchstens eine Wurzel haben kann.

Wenn \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Daher hat die Gleichung eine eindeutige Lösung, wenn:

\\Tasse

Antwort:

\(a\in (-\infty;-1]\cup die Bedingungen des Satzes von Lagrange sind also erfüllt

Wo , d.h. gehört zu dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist, was bedeutet, dass und die rechte Seite der Gleichheit ist positiv. Von hier Und

Ein anderer Satz wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Satz (ausreichende Bedingung für die Abnahme einer Funktion). Wenn die Ableitung der differenzierbaren Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalls negativ ist X, dann nimmt es in diesem Intervall ab.

Eine geometrische Interpretation der Bedingung für die Monotonie einer Funktion ist in Abbildung 7 dargestellt.

Wenn die Tangenten an die Kurve in einem bestimmten Intervall in spitzen Winkeln zur Abszissenachse gerichtet sind (Abb. 7a), nimmt die Funktion zu, bei stumpfen Winkeln (Abb. 7b) nimmt sie ab.

Abbildung 7 – Geometrische Interpretation der Bedingung der Monotonie einer Funktion

Beispiel 1 bei = X 2 – 4X + 3.

Lösung. Wir haben Offensichtlich bei X> 2i y"< 0 um X< 2, d.h. Die Funktion nimmt im Intervall ab und nimmt im Laufe des Intervalls zu Wo X 0 = 2 - Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel.

Beachten Sie, dass die notwendige Bedingung für Monotonie schwächer ist. Wenn eine Funktion über ein bestimmtes Intervall zunimmt (abnimmt). X, dann können wir nur sagen, dass die Ableitung in diesem Intervall nicht negativ (nicht positiv) ist: d. h. An einzelnen Punkten kann die Ableitung einer monotonen Funktion gleich Null sein.

Beispiel 2. Finden Sie Intervalle der Monotonie einer Funktion bei = X 3 .

Lösung. Finden wir die Ableitung Es ist klar, dass bei> 0 bei . Bei X= 0 geht die Ableitung gegen Null. Die Funktion wächst monoton entlang der gesamten Zahlenachse.

Extremum der Funktion

Definition 1. Punkt X 0 heißt Punkt maximal Funktionen F(XX 0 Ungleichheit gilt

Definition 2. Punkt X 1, Punkt genannt Minimum Funktionen F(X), wenn in irgendeiner Umgebung des Punktes X 1 gilt die Ungleichung

Funktionswerte an Punkten X 0 und X 1 heißen entsprechend Maximum und Minimum der Funktion.

Die Maximum- und Minimum-Funktionen werden durch einen gemeinsamen Namen vereint Extremum der Funktion.

Das Extremum einer Funktion wird oft aufgerufen lokales Extremum, Betonung der Tatsache, dass das Konzept des Extremums nur mit einer ausreichend kleinen Umgebung des Punktes verbunden ist x n. Daher kann eine Funktion in einem Intervall mehrere Extrema haben, und es kann vorkommen, dass das Minimum an einem Punkt größer ist als das Maximum an einem anderen, zum Beispiel in Abbildung 8

Das Vorhandensein eines Maximums (oder Minimums) an einem separaten Punkt im Intervall X bedeutet überhaupt nicht, dass an dieser Stelle die Funktion F(X) nimmt in diesem Intervall den größten (kleinsten) Wert ein (oder hat, wie man sagt). globales Maximum (Minimum)).

Notwendige Bedingung für ein Extremum: Damit die Funktion gewährleistet ist y =f(X) hatte zu diesem Zeitpunkt ein Extremum X 0, es ist notwendig, dass seine Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist ( )oder existierte nicht.

Punkte, an denen die notwendige Extremumbedingung erfüllt ist, d. h. Die Ableitung ist Null oder existiert nicht kritisch (oder stationär ).

Wenn es also an irgendeinem Punkt ein Extremum gibt, dann ist dieser Punkt kritisch. Es ist jedoch sehr wichtig zu beachten, dass das Gegenteil nicht der Fall ist. Der kritische Punkt ist nicht unbedingt ein Extrempunkt.

Abbildung 8 – Funktionsextrema F(X)

Beispiel 1. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion und überprüfen Sie, ob an diesen Punkten ein Extremum vorhanden ist oder nicht.