Die n-te Wurzel von a. Wurzel und ihre Eigenschaften. Detaillierte Theorie mit Beispielen (2019). Potenz mit einem beliebigen rationalen Exponenten

Mit und natürliche Zahl N 2 .

Komplexe Zahl Z angerufen WurzelN– C, Wenn Z N = C.

Lassen Sie uns alle Werte der Wurzel finden N– oh Macht einer komplexen Zahl Mit. Lassen C=| C|·(cos Arg C+ ich· Sünde ArgMit), A Z = | Z|·(mitos Arg Z + ich· Sünde Arg Z) , Wo Z Wurzel N- oh Macht einer komplexen Zahl Mit. Dann muss es so sein = C = | C|·(cos Arg C+ ich· Sünde ArgMit). Es folgt dem
Und N· Arg Z = ArgMit
Arg Z =
(k=0,1,…) . Somit, Z =
(cos
+ ich· Sünde
), (k=0,1,…) . Es ist leicht zu erkennen, dass jeder der Werte
, (k=0,1,…) von einem der entsprechenden Werte abweicht
,(k = 0,1,…, N-1) durch mehrere 2π. Deshalb , (k = 0,1,…, N-1) .

Beispiel.

Berechnen wir die Wurzel von (-1).

, offensichtlich |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1·(cos π + ich· Sünde π )

, (k = 0, 1).

= ich

Potenz mit einem beliebigen rationalen Exponenten

Nehmen wir eine beliebige komplexe Zahl Mit. Wenn N natürliche Zahl also Mit N = | C| N ·(Mitos nArgs +ich· Sünde nArgMit)(6). Diese Formel gilt auch in diesem Fall N = 0 (s≠0)
. Lassen N < 0 Und N Z Und s ≠ 0, Dann

Mit N =
(cos nArgMit+i·sin nArgMit) = (cos nArgMit+ i·sin nArgMit) . Somit gilt Formel (6) für alle N.

Nehmen wir eine rationale Zahl , Wo Q natürliche Zahl und R ist ganz.

Dann unten Grad C R Wir werden die Nummer verstehen
.

Wir verstehen das ,

(k = 0, 1, …, Q-1). Diese Werte Q Stücke, wenn der Bruch nicht reduzierbar ist.

Vorlesung Nr. 3 Der Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen

Eine komplexwertige Funktion eines natürlichen Arguments wird aufgerufen Folge komplexer Zahlen und ist bezeichnet (Mit N ) oder Mit 1 , Mit 2 , ..., Mit N . Mit N = a N + B N · ich (N = 1,2, ...) komplexe Zahlen.

Mit 1 , Mit 2 , … - Mitglieder der Sequenz; Mit N – gemeinsames Mitglied

Komplexe Zahl Mit = A+ B· ich angerufen Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen (C N ) , Wo Mit N = a N + B N · ich (N = 1, 2, …) , wo für irgendjemanden

das vor aller Augen N > N Ungleichheit gilt
. Eine Folge mit endlichem Grenzwert heißt konvergent Reihenfolge.

Satz.

Damit eine Folge komplexer Zahlen (mit N ) (Mit N = a N + B N · ich) konvergierte zu einer Zahl mit = A+ B· ich, ist notwendig und ausreichend, damit die Gleichheit giltlim A N = A, lim B N = B.

Nachweisen.

Wir werden den Satz anhand der folgenden offensichtlichen doppelten Ungleichung beweisen

, Wo Z = X + j· ich (2)

Notwendigkeit. Lassen lim(Mit N ) = s. Zeigen wir, dass die Gleichheiten wahr sind lim A N = A Und lim B N = B (3).

Offensichtlich (4)

Als
, Wann N → ∞ , dann folgt aus der linken Seite der Ungleichung (4).
Und
, Wann N → ∞ . daher sind die Gleichungen (3) erfüllt. Der Bedarf ist nachgewiesen.

Angemessenheit. Es seien nun die Gleichungen (3) erfüllt. Aus Gleichung (3) folgt das
Und
, Wann N → ∞ , daher wird es aufgrund der rechten Seite der Ungleichung (4) so ​​sein
, Wann N→∞ , Bedeutet lim(Mit N )=c. Die ausreichende Wirksamkeit wurde nachgewiesen.

Die Frage nach der Konvergenz einer Folge komplexer Zahlen ist also äquivalent zur Konvergenz zweier Folgen reeller Zahlen, daher gelten alle grundlegenden Eigenschaften der Grenzen reeller Zahlenfolgen für Folgen komplexer Zahlen.

Für Folgen komplexer Zahlen gilt beispielsweise das Cauchy-Kriterium: Damit eine Folge komplexer Zahlen (mit N ) konvergiert, es ist notwendig und ausreichend, dass für jeden

, das für jedenN, M > NUngleichheit gilt
.

Satz.

Sei eine Folge komplexer Zahlen (mit N ) Und (z N ) gegen c bzw. konvergierenz, dann sind die Gleichheiten wahrlim(Mit N z N ) = C z, lim(Mit N · z N ) = C· z. Wenn das sicher bekannt istzungleich 0 ist, dann ist die Gleichheit wahr
.

Lektion und Präsentation zum Thema: „Eigenschaften der n-ten Wurzel. Sätze“

Zusätzliche Materialien
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Interaktives Handbuch für die Klassen 10–11 „Logarithmen“

Eigenschaften der n-ten Wurzel. Theoreme

Leute, wir studieren weiterhin die n-ten Wurzeln einer reellen Zahl. Wie fast alle mathematischen Objekte haben Wurzeln n-ten Grades bestimmte Eigenschaften, die wir heute untersuchen werden.
Alle Eigenschaften, die wir betrachten, werden nur für nicht negative Werte der unter dem Wurzelzeichen enthaltenen Variablen formuliert und bewiesen.
Im Falle eines ungeraden Wurzelexponenten werden sie auch für negative Variablen durchgeführt.

Satz 1. Die n-te Wurzel des Produkts zweier nichtnegativer Zahlen ist gleich dem Produkt der n-ten Wurzeln dieser Zahlen: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b)$ .

Beweisen wir den Satz.
Nachweisen. Leute, um den Satz zu beweisen, führen wir neue Variablen ein und bezeichnen sie:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Wir müssen beweisen, dass $x=y*z$.
Beachten Sie, dass auch die folgenden Identitäten gelten:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Dann gilt die folgende Identität: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Sind die Potenzen zweier nichtnegativer Zahlen und ihre Exponenten gleich, dann sind auch die Basen der Potenzen selbst gleich. Das bedeutet $x=y*z$, was bewiesen werden musste.

Satz 2. Wenn $a≥0$, $b>0$ und n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, dann gilt die folgende Gleichheit: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Das heißt, die n-te Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der n-ten Wurzeln.

Nachweisen.
Um dies zu beweisen, verwenden wir ein vereinfachtes Diagramm in Form einer Tabelle:

Beispiele für die Berechnung der n-ten Wurzel

Beispiel.
Berechnen Sie: $\sqrt(16*81*256)$.
Lösung. Verwenden wir Satz 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Beispiel.
Berechnen Sie: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Lösung. Stellen wir uns den Wurzelausdruck als unechten Bruch vor: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Verwenden wir Satz 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Beispiel.
Berechnung:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Lösung:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Satz 3. Wenn $a≥0$, k und n natürliche Zahlen größer als 1 sind, dann gilt die Gleichheit: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Um eine Wurzel zu einer natürlichen Kraft zu erheben, genügt es, den radikalen Ausdruck dieser Kraft zu erheben.

Nachweisen.
Schauen wir uns den Sonderfall für $k=3$ an. Lassen Sie uns Satz 1 verwenden.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Das Gleiche lässt sich auch für jeden anderen Fall beweisen. Leute, beweist es selbst für den Fall, dass $k=4$ und $k=6$.

Satz 4. Wenn $a≥0$ b n,k natürliche Zahlen größer als 1 sind, dann gilt die Gleichheit: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Um eine Wurzel aus einer Wurzel zu extrahieren, reicht es aus, die Indikatoren der Wurzeln zu multiplizieren.

Nachweisen.
Beweisen wir es noch einmal kurz anhand einer Tabelle. Um dies zu beweisen, verwenden wir ein vereinfachtes Diagramm in Form einer Tabelle:

Beispiel.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Satz 5. Wenn die Exponenten des Wurzel- und Wurzelausdrucks mit derselben natürlichen Zahl multipliziert werden, ändert sich der Wert der Wurzel nicht: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

Nachweisen.
Das Prinzip des Beweises unseres Theorems ist das gleiche wie in anderen Beispielen. Lassen Sie uns neue Variablen einführen:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (per Definition).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (per Definition).
Erhöhen wir die letzte Gleichheit auf die Potenz p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Bekommen:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Das heißt, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, was bewiesen werden musste.

Beispiele:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (dividiert die Indikatoren durch 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (dividiert die Indikatoren durch 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (Indikatoren multipliziert mit 3).

Beispiel.
Aktionen ausführen: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Lösung.
Die Exponenten der Wurzeln sind unterschiedliche Zahlen, daher können wir Satz 1 nicht verwenden, aber durch Anwendung von Satz 5 können wir gleiche Exponenten erhalten.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (Indikatoren multipliziert mit 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (Indikatoren multipliziert mit 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Berechnen Sie: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Berechnen Sie: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Berechnen Sie:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Vereinfachen:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Aktionen ausführen: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

Unterrichtsskript für die 11. Klasse zum Thema:

„Die n-te Wurzel einer reellen Zahl. »

Der Zweck der Lektion: Bildung eines ganzheitlichen Verständnisses der Wurzel bei den Schülern N-ter Grad und arithmetische Wurzel des n-ten Grades, Ausbildung von Rechenfähigkeiten, Fähigkeiten zur bewussten und rationalen Nutzung der Eigenschaften der Wurzel bei der Lösung verschiedener Probleme, die ein Radikal enthalten. Überprüfen Sie, wie gut die Schüler die Fragen zum Thema verstehen.

Thema:sinnvolle und organisatorische Voraussetzungen für die Beherrschung von Material zum Thema schaffen „ Numerische und alphabetische Ausdrücke » auf der Ebene der Wahrnehmung, des Verständnisses und des primären Auswendiglernens; die Fähigkeit entwickeln, diese Informationen bei der Berechnung der n-ten Wurzel einer reellen Zahl zu verwenden;

Meta-Thema: die Entwicklung von Computerkenntnissen fördern; Fähigkeit zu analysieren, zu vergleichen, zu verallgemeinern und Schlussfolgerungen zu ziehen;

Persönlich: kultivieren Sie die Fähigkeit, Ihren Standpunkt zu äußern, auf die Antworten anderer zu hören, am Dialog teilzunehmen und die Fähigkeit zur positiven Zusammenarbeit zu entwickeln.

Geplantes Ergebnis.

Thema: in der Lage sein, die Eigenschaften der n-ten Wurzel einer reellen Zahl in einer realen Situation anzuwenden, wenn sie Wurzeln berechnen und Gleichungen lösen.

Persönlich: Aufmerksamkeit und Genauigkeit bei Berechnungen zu entwickeln, eine anspruchsvolle Einstellung zu sich selbst und der eigenen Arbeit zu entwickeln und ein Gefühl der gegenseitigen Hilfe zu entwickeln.

Unterrichtsart: Unterricht zum Erlernen und ersten Festigen neuen Wissens

Motivation für Bildungsaktivitäten:

Die östliche Weisheit sagt: „Man kann ein Pferd zum Tränken führen, aber man kann es nicht zum Trinken zwingen.“ Und es ist unmöglich, einen Menschen zu einem guten Lernen zu zwingen, wenn er selbst nicht versucht, mehr zu lernen und nicht den Wunsch hat, an seiner geistigen Entwicklung zu arbeiten. Schließlich ist Wissen nur dann Wissen, wenn es durch die Anstrengung der eigenen Gedanken erworben wird und nicht nur durch das Gedächtnis.

Unser Unterricht steht unter dem Motto: „Wir werden jeden Gipfel erobern, wenn wir danach streben.“ Während des Unterrichts müssen Sie und ich Zeit haben, mehrere Gipfel zu überwinden, und jeder von Ihnen muss alle Anstrengungen unternehmen, um diese Gipfel zu überwinden.

„Heute haben wir eine Lektion, in der wir uns mit einem neuen Konzept vertraut machen müssen: „N-te Wurzel“ und lernen, wie man dieses Konzept auf die Transformation verschiedener Ausdrücke anwendet.

Ihr Ziel ist es, Ihr vorhandenes Wissen durch verschiedene Arbeitsformen zu aktivieren, zum Studium des Stoffes beizutragen und gute Noten zu bekommen.“
In der 8. Klasse haben wir die Quadratwurzel einer reellen Zahl studiert. Die Quadratwurzel bezieht sich auf eine Funktion der Form j=X 2. Leute, erinnert ihr euch, wie wir Quadratwurzeln berechnet haben und welche Eigenschaften sie hatten?
a) Einzelbefragung:

was ist das denn für ein Ausdruck

was man Quadratwurzel nennt

was man arithmetische Quadratwurzel nennt

Listen Sie die Eigenschaften der Quadratwurzel auf

b) Arbeiten Sie zu zweit: Berechnen Sie.

-

2. Wissen aktualisieren und eine Problemsituation schaffen: Lösen Sie die Gleichung x 4 =1. Wie können wir es lösen? (Analytisch und grafisch). Lassen Sie es uns grafisch lösen. Dazu erstellen wir in einem Koordinatensystem einen Graphen der Funktion y = x 4 Gerade y = 1 (Abb. 164 a). Sie schneiden sich an zwei Punkten: A (-1;1) und B(1;1). Abszissen der Punkte A und B, d.h. x 1 = -1,

x 2 = 1 sind die Wurzeln der Gleichung x 4 = 1.
Mit genau der gleichen Argumentation finden wir die Wurzeln der Gleichung x 4 =16: Versuchen wir nun, die Gleichung x 4 =5 zu lösen; Eine geometrische Darstellung ist in Abb. dargestellt. 164 v. Es ist klar, dass die Gleichung zwei Wurzeln x 1 und x 2 hat und diese Zahlen, wie in den beiden vorherigen Fällen, einander entgegengesetzt sind. Aber für die ersten beiden Gleichungen konnten die Wurzeln problemlos gefunden werden (sie konnten ohne Verwendung von Diagrammen gefunden werden), aber bei der Gleichung x 4 = 5 gibt es Probleme: Aus der Zeichnung können wir die Werte der Wurzeln nicht angeben, aber wir kann nur feststellen, dass eine Wurzel links von Punkt -1 und die zweite rechts von Punkt 1 liegt.

x 2 = - (sprich: „vierte Wurzel von fünf“).

Wir haben über die Gleichung x 4 = a gesprochen, wobei a 0 ist. Wir könnten genauso gut über die Gleichung x 4 = a sprechen, wobei a 0 und n eine beliebige natürliche Zahl ist. Wenn wir beispielsweise die Gleichung x 5 = 1 grafisch lösen, finden wir x = 1 (Abb. 165); Lösen der Gleichung x 5 "= 7 stellen wir fest, dass die Gleichung eine Wurzel x 1 hat, die auf der x-Achse etwas rechts von Punkt 1 liegt (siehe Abb. 165). Für die Zahl x 1 führen wir die ein Notation.

Definition 1. Die n-te Wurzel einer nicht-negativen Zahl a (n = 2, 3,4, 5,...) ist eine nicht-negative Zahl, die, potenziert mit n, die Zahl a ergibt.

Diese Zahl wird bezeichnet, die Zahl a heißt Wurzelzahl und die Zahl n ist der Exponent der Wurzel.
Wenn n=2, dann sagen sie normalerweise nicht „zweite Wurzel“, sondern „Quadratwurzel“. In diesem Fall schreiben sie dies nicht. Dies ist der Sonderfall, den Sie speziell im Algebrakurs der 8. Klasse studiert haben .

Wenn n = 3, dann sagt man statt „Wurzel dritten Grades“ oft „Kubikwurzel“. Ihre erste Bekanntschaft mit der Kubikwurzel fand auch im Algebrakurs der 8. Klasse statt. Wir haben Kubikwurzeln in der Algebra der 9. Klasse verwendet.

Wenn also a ≥0, n= 2,3,4,5,…, dann 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Im Allgemeinen sind =b und b n =a die gleichen Beziehungen zwischen nichtnegativen Zahlen a und b, aber nur die zweite wird in einer einfacheren Sprache beschrieben (verwendet einfachere Symbole) als die erste.

Der Vorgang, die Wurzel einer nicht negativen Zahl zu finden, wird üblicherweise als Wurzelziehen bezeichnet. Dieser Vorgang ist die Umkehrung des Erhöhens auf die entsprechende Leistung. Vergleichen:

Bitte beachten Sie noch einmal: In der Tabelle erscheinen nur positive Zahlen, da dies in Definition 1 festgelegt ist. Und obwohl beispielsweise (-6) 6 = 36 eine korrekte Gleichung ist, gehen Sie davon zur Notation mit der Quadratwurzel über, d. h. schreibe, dass es unmöglich ist. Per Definition bedeutet eine positive Zahl = 6 (nicht -6). Auf die gleiche Weise müssen wir, obwohl 2 4 =16, t (-2) 4 =16, zu den Vorzeichen der Wurzeln gehen, = 2 (und gleichzeitig ≠-2) schreiben.

Manchmal wird der Ausdruck als Radikal bezeichnet (vom lateinischen Wort gadix – „Wurzel“). Im Russischen wird der Begriff radikal oft verwendet, zum Beispiel „radikale Veränderungen“ – das bedeutet „radikale Veränderungen“. Übrigens erinnert schon die Bezeichnung der Wurzel an das Wort gadix: Das Symbol ist ein stilisierter Buchstabe r.

Die Operation des Wurzelziehens wird auch für eine negative Wurzelzahl bestimmt, jedoch nur im Fall eines ungeraden Wurzelexponenten. Mit anderen Worten, die Gleichheit (-2) 5 = -32 kann in äquivalenter Form als =-2 umgeschrieben werden. Es wird die folgende Definition verwendet.

Definition 2. Eine ungerade Wurzel n einer negativen Zahl a (n = 3,5,...) ist eine negative Zahl, die, potenziert mit n, die Zahl a ergibt.

Diese Zahl wird wie in Definition 1 mit bezeichnet, die Zahl a ist die Wurzelzahl und die Zahl n ist der Exponent der Wurzel.
Wenn also a , n=,5,7,…, dann: 1) 0; 2) () n = a.

Somit hat eine gerade Wurzel nur für einen nichtnegativen radikalen Ausdruck eine Bedeutung (d. h. sie ist definiert); Eine ungerade Wurzel macht für jeden radikalen Ausdruck Sinn.

5. Primäre Wissensfestigung:

1. Berechnen: Nr. 33,5; 33,6; 33,74 33,8 mündlich a) ; B) ; V) ; G) .

d) Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen können wir den genauen Wert der Zahl nicht angeben. Es ist nur klar, dass sie größer als 2, aber kleiner als 3 ist, da 2 4 = 16 (das ist kleiner als 17) und 3 4 = 81 (das sind mehr als 17). Wir stellen fest, dass 24 viel näher an 17 liegt als an 34, daher gibt es einen Grund, das ungefähre Gleichheitszeichen zu verwenden:
2. Finden Sie die Bedeutung der folgenden Ausdrücke.

Platzieren Sie den entsprechenden Buchstaben neben dem Beispiel.

Ein paar Informationen über den großen Wissenschaftler. René Descartes (1596–1650), französischer Adliger, Mathematiker, Philosoph, Physiologe, Denker. Rene Descartes legte den Grundstein für die analytische Geometrie und führte die Buchstabenbezeichnungen x 2, y 3 ein. Jeder kennt die kartesischen Koordinaten, die eine Funktion einer Variablen definieren.

3 . Lösen Sie die Gleichungen: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Lösung: a) Wenn = -2, dann y = -8. Tatsächlich müssen wir beide Seiten der gegebenen Gleichung würfeln. Wir erhalten: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Argumentation wie in Beispiel a), wir erhöhen beide Seiten der Gleichung in die vierte Potenz. Wir erhalten: x=1.

c) Es besteht keine Notwendigkeit, sie in die vierte Potenz zu erhöhen; diese Gleichung hat keine Lösungen. Warum? Denn gemäß Definition 1 ist eine gerade Wurzel eine nicht negative Zahl.
Es werden Ihnen mehrere Aufgaben angeboten. Wenn Sie diese Aufgaben erledigen, erfahren Sie den Vor- und Nachnamen des großen Mathematikers. Dieser Wissenschaftler führte 1637 als erster das Wurzelzeichen ein.

6. Lass uns ein wenig ausruhen.

Die Klasse hebt die Hände – das ist „Eins“.

Der Kopf drehte sich – es waren „zwei“.

Zweifellos, freuen Sie sich – das ist „drei“.

Hände zu den Seiten weiter gedreht auf „vier“

Sie mit Gewalt in die Hände zu drücken, ist ein „High Five“.

Alle Jungs müssen sich setzen – es ist „sechs“.

7. Selbstständiges Arbeiten:

Option: Option 2:

b) 3-. b)12 -6.

2. Lösen Sie die Gleichung: a) x 4 = -16; b) 0,02x 6 -1,28=0; a) x 8 = -3; b)0,3x 9 – 2,4=0;

c) = -2; c)= 2

8. Wiederholung: Finden Sie die Wurzel der Gleichung = - x. Wenn die Gleichung mehr als eine Wurzel hat, schreiben Sie die Antwort mit der kleineren Wurzel.

9. Reflexion: Was hast du in der Lektion gelernt? Was war interessant? Was war schwierig?

Herzlichen Glückwunsch: Heute beschäftigen wir uns mit Wurzeln – einem der umwerfendsten Themen in der 8. Klasse :)

Viele Menschen sind verwirrt über Wurzeln, nicht weil sie komplex sind (was daran so kompliziert ist – ein paar Definitionen und ein paar weitere Eigenschaften), sondern weil in den meisten Schulbüchern Wurzeln durch einen solchen Dschungel definiert werden, dass nur die Autoren der Lehrbücher selbst können diese Schrift verstehen. Und selbst dann nur mit einer Flasche guten Whiskys :)

Deshalb werde ich jetzt die korrekteste und kompetenteste Definition einer Wurzel geben – die einzige, die Sie sich wirklich merken sollten. Und dann erkläre ich: Warum das alles nötig ist und wie man es in der Praxis umsetzt.

Aber erinnern Sie sich zunächst an einen wichtigen Punkt, den viele Lehrbuch-Compiler aus irgendeinem Grund „vergessen“:

Wurzeln können geraden Grades (unser Favorit $\sqrt(a)$ sowie alle Arten von $\sqrt(a)$ und geraden $\sqrt(a)$) und ungeraden Grades (alle Arten von $\sqrt) sein (a)$, $\ sqrt(a)$ usw.). Und die Definition einer Wurzel ungeraden Grades unterscheidet sich etwas von der einer geraden.

Wahrscheinlich 95 % aller Fehler und Missverständnisse, die mit Wurzeln verbunden sind, verbergen sich in diesem verdammten „etwas anderen“. Lassen Sie uns also die Terminologie ein für alle Mal klären:

Definition. Sogar Wurzel N aus der Zahl $a$ ist beliebig nicht negativ Die Zahl $b$ ist so, dass $((b)^(n))=a$. Und die ungerade Wurzel derselben Zahl $a$ ist im Allgemeinen jede Zahl $b$, für die dieselbe Gleichheit gilt: $((b)^(n))=a$.

In jedem Fall wird die Wurzel so bezeichnet:

\(A)\]

Die Zahl $n$ wird in einer solchen Notation als Wurzelexponent bezeichnet, und die Zahl $a$ wird als Wurzelausdruck bezeichnet. Insbesondere für $n=2$ erhalten wir unsere „Lieblings“-Quadratwurzel (übrigens ist dies eine Wurzel geraden Grades) und für $n=3$ erhalten wir eine Kubikwurzel (ungerade Grad). kommt auch häufig in Problemen und Gleichungen vor.

Beispiele. Klassische Beispiele für Quadratwurzeln:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Übrigens, $\sqrt(0)=0$ und $\sqrt(1)=1$. Das ist ziemlich logisch, da $((0)^(2))=0$ und $((1)^(2))=1$.

Auch Würfelwurzeln kommen häufig vor – vor ihnen muss man keine Angst haben:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Nun, ein paar „exotische Beispiele“:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Wenn Sie den Unterschied zwischen einem geraden und einem ungeraden Grad nicht verstehen, lesen Sie die Definition noch einmal. Es ist sehr wichtig!

In der Zwischenzeit werden wir uns mit einer unangenehmen Eigenschaft von Wurzeln befassen, weshalb wir eine separate Definition für gerade und ungerade Exponenten einführen mussten.

Warum braucht es überhaupt Wurzeln?

Nach dem Lesen der Definition werden sich viele Schüler fragen: „Was haben die Mathematiker geraucht, als sie sich das ausgedacht haben?“ Und wirklich: Warum braucht es all diese Wurzeln überhaupt?

Um diese Frage zu beantworten, kehren wir noch einmal kurz in die Grundschule zurück. Denken Sie daran: In jenen fernen Zeiten, als die Bäume grüner und die Knödel schmackhafter waren, ging es uns vor allem darum, Zahlen richtig zu multiplizieren. Na ja, so etwas wie „fünf mal fünf – fünfundzwanzig“, das ist alles. Sie können Zahlen jedoch nicht in Paaren multiplizieren, sondern in Drillingen, Quadrupeln und im Allgemeinen ganzen Mengen:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Dies ist jedoch nicht der Punkt. Der Trick ist anders: Mathematiker sind faule Leute, daher fiel es ihnen schwer, die Multiplikation von zehn Fünfern so aufzuschreiben:

Deshalb haben sie sich Abschlüsse ausgedacht. Warum schreiben Sie die Anzahl der Faktoren nicht hochgestellt statt als lange Zeichenfolge? Etwas wie das:

Es ist sehr praktisch! Alle Berechnungen werden erheblich reduziert, und Sie müssen nicht viele Blätter Pergament und Notizbücher verschwenden, um etwa 5.183 aufzuschreiben. Diese Aufzeichnung wurde als Potenz einer Zahl bezeichnet; es wurden eine Reihe von Eigenschaften darin gefunden, aber das Glück erwies sich als nur von kurzer Dauer.

Nach einer grandiosen Trinkparty, die nur zur „Entdeckung“ der Grade organisiert wurde, fragte plötzlich ein besonders hartnäckiger Mathematiker: „Was wäre, wenn wir den Grad einer Zahl kennen, die Zahl selbst aber unbekannt ist?“ Wenn wir nun tatsächlich wissen, dass eine bestimmte Zahl $b$, sagen wir, in der 5. Potenz 243 ergibt, wie können wir dann erraten, was die Zahl $b$ selbst ist?

Es stellte sich heraus, dass dieses Problem weitaus globaler war, als es auf den ersten Blick erscheinen mag. Denn es stellte sich heraus, dass es für die meisten „vorgefertigten“ Befugnisse keine solchen „Anfangszahlen“ gibt. Urteile selbst:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

Was wäre, wenn $((b)^(3))=50$? Es stellt sich heraus, dass wir eine bestimmte Zahl finden müssen, die dreimal mit sich selbst multipliziert 50 ergibt. Aber was ist diese Zahl? Es ist eindeutig größer als 3, da 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Das ist Diese Zahl liegt irgendwo zwischen drei und vier, aber Sie werden nicht verstehen, was sie bedeutet.

Genau aus diesem Grund haben Mathematiker $n$-te Wurzeln erfunden. Genau aus diesem Grund wurde das Radikalzeichen $\sqrt(*)$ eingeführt. Um genau die Zahl $b$ zu bezeichnen, die uns im angegebenen Ausmaß einen zuvor bekannten Wert liefert

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Ich widerspreche nicht: Oft sind diese Wurzeln leicht zu berechnen – wir haben oben mehrere solcher Beispiele gesehen. Wenn Sie jedoch an eine beliebige Zahl denken und dann versuchen, die Wurzel eines beliebigen Grades daraus zu ziehen, werden Sie dennoch in den meisten Fällen eine schreckliche Enttäuschung erleben.

Was ist dort! Selbst das einfachste und bekannteste $\sqrt(2)$ kann nicht in unserer üblichen Form dargestellt werden – als ganze Zahl oder Bruch. Und wenn Sie diese Zahl in einen Taschenrechner eingeben, sehen Sie Folgendes:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Wie Sie sehen, gibt es nach dem Komma eine endlose Folge von Zahlen, die keiner Logik gehorchen. Sie können diese Zahl natürlich runden, um sie schnell mit anderen Zahlen vergleichen zu können. Zum Beispiel:

\[\sqrt(2)=1,4142...\ca. 1,4 \lt 1,5\]

Oder hier ist ein anderes Beispiel:

\[\sqrt(3)=1,73205...\ca. 1,7 \gt 1,5\]

Aber alle diese Rundungen sind erstens ziemlich grob; und zweitens muss man auch in der Lage sein, mit Näherungswerten zu arbeiten, sonst kann man sich eine Menge nicht offensichtlicher Fehler einfangen (Übrigens muss man die Fähigkeit zum Vergleichen und Runden im Profil Unified State Examination testen).

Daher kommt man in der ernsthaften Mathematik nicht ohne Wurzeln aus – sie sind die gleichen gleichen Vertreter der Menge aller reellen Zahlen $\mathbb(R)$, genau wie die Brüche und ganzen Zahlen, die uns seit langem bekannt sind.

Die Unfähigkeit, eine Wurzel als Bruch der Form $\frac(p)(q)$ darzustellen, bedeutet, dass diese Wurzel keine rationale Zahl ist. Solche Zahlen werden irrational genannt und können nur mit Hilfe eines Radikals oder anderer speziell dafür entwickelter Konstruktionen (Logarithmen, Potenzen, Grenzwerte usw.) genau dargestellt werden. Aber dazu ein anderes Mal mehr.

Betrachten wir einige Beispiele, bei denen nach all den Berechnungen immer noch irrationale Zahlen in der Antwort verbleiben.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ca. 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ca. -1,2599... \\ \end(align)\]

Natürlich ist es anhand des Aussehens der Wurzel fast unmöglich zu erraten, welche Zahlen nach dem Komma kommen werden. Sie können sich jedoch auf einen Taschenrechner verlassen, aber selbst der fortschrittlichste Datumsrechner liefert uns nur die ersten paar Ziffern einer irrationalen Zahl. Daher ist es viel korrekter, die Antworten in der Form $\sqrt(5)$ und $\sqrt(-2)$ zu schreiben.

Genau aus diesem Grund wurden sie erfunden. Um Antworten bequem aufzuzeichnen.

Warum werden zwei Definitionen benötigt?

Dem aufmerksamen Leser ist wahrscheinlich schon aufgefallen, dass alle in den Beispielen angegebenen Quadratwurzeln aus positiven Zahlen gezogen werden. Na ja, zumindest von Grund auf. Aber Kubikwurzeln lassen sich problemlos aus absolut jeder Zahl ziehen – sei es positiv oder negativ.

Warum passiert das? Schauen Sie sich den Graphen der Funktion $y=((x)^(2))$ an:

Der Graph einer quadratischen Funktion ergibt zwei Wurzeln: positiv und negativ

Versuchen wir, $\sqrt(4)$ anhand dieses Diagramms zu berechnen. Dazu wird im Diagramm eine horizontale Linie $y=4$ gezeichnet (rot markiert), die die Parabel in zwei Punkten schneidet: $((x)_(1))=2$ und $((x )_(2)) =-2$. Das ist durchaus logisch, denn

Mit der ersten Zahl ist alles klar – sie ist positiv, also die Wurzel:

Aber was tun mit dem zweiten Punkt? Wie vier hat zwei Wurzeln gleichzeitig? Wenn wir die Zahl −2 quadrieren, erhalten wir schließlich auch 4. Warum dann nicht $\sqrt(4)=-2$ schreiben? Und warum schauen Lehrer auf solche Beiträge, als wollten sie dich auffressen :)

Das Problem besteht darin, dass das Quad zwei Quadratwurzeln hat – positiv und negativ, wenn Sie keine zusätzlichen Bedingungen festlegen. Und jede positive Zahl wird auch zwei davon haben. Negative Zahlen haben jedoch überhaupt keine Wurzeln – dies ist aus demselben Diagramm ersichtlich, da die Parabel niemals unter die Achse fällt j, d.h. akzeptiert keine negativen Werte.

Ein ähnliches Problem tritt für alle Wurzeln mit geradem Exponenten auf:

1. Streng genommen hat jede positive Zahl zwei Wurzeln mit geradem Exponenten $n$;
2. Aus negativen Zahlen wird die Wurzel mit geradem $n$ überhaupt nicht extrahiert.

Deshalb wird in der Definition einer Wurzel geraden Grades $n$ ausdrücklich festgelegt, dass die Antwort eine nichtnegative Zahl sein muss. So beseitigen wir Unklarheiten.

Aber für ungerade $n$ gibt es kein solches Problem. Um dies zu sehen, schauen wir uns den Graphen der Funktion $y=((x)^(3))$ an:

Eine Würfelparabel kann jeden beliebigen Wert annehmen, sodass die Kubikwurzel aus jeder Zahl gezogen werden kann

Aus dieser Grafik lassen sich zwei Schlussfolgerungen ziehen:

1. Die Äste einer kubischen Parabel gehen im Gegensatz zu einer regulären Parabel in beide Richtungen – sowohl nach oben als auch nach unten – ins Unendliche. Unabhängig davon, auf welcher Höhe wir eine horizontale Linie zeichnen, wird diese Linie daher mit Sicherheit unser Diagramm schneiden. Folglich kann die Kubikwurzel immer aus absolut jeder Zahl gezogen werden;
2. Darüber hinaus ist ein solcher Schnittpunkt immer eindeutig, sodass Sie nicht darüber nachdenken müssen, welche Zahl als „richtige“ Wurzel gilt und welche Sie ignorieren sollten. Aus diesem Grund ist es einfacher, Wurzeln für einen ungeraden Grad zu bestimmen als für einen geraden Grad (es ist keine Nichtnegativität erforderlich).

Schade, dass diese einfachen Dinge in den meisten Lehrbüchern nicht erklärt werden. Stattdessen beginnt unser Gehirn mit allen möglichen Rechenwurzeln und deren Eigenschaften aufzusteigen.

Ja, ich widerspreche nicht: Sie müssen auch wissen, was eine arithmetische Wurzel ist. Und darüber werde ich in einer separaten Lektion ausführlich sprechen. Heute werden wir auch darüber sprechen, denn ohne es wären alle Gedanken über Wurzeln der $n$-ten Multiplizität unvollständig.

Aber zuerst müssen Sie die Definition, die ich oben gegeben habe, klar verstehen. Sonst entsteht aufgrund der Fülle an Begriffen ein solches Durcheinander im Kopf, dass man am Ende überhaupt nichts mehr versteht.

Sie müssen lediglich den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Indikatoren verstehen. Deshalb fassen wir noch einmal alles zusammen, was Sie wirklich über Wurzeln wissen müssen:

1. Eine Wurzel geraden Grades existiert nur aus einer nicht negativen Zahl und ist selbst immer eine nicht negative Zahl. Für negative Zahlen ist eine solche Wurzel undefiniert.
2. Aber die Wurzel eines ungeraden Grades existiert aus jeder Zahl und kann selbst eine beliebige Zahl sein: Für positive Zahlen ist sie positiv, und für negative Zahlen ist sie, wie die Obergrenze andeutet, negativ.

Ist es schwer? Nein, es ist nicht schwierig. Es ist klar? Ja, es ist völlig offensichtlich! Nun üben wir also ein wenig mit den Berechnungen.

Grundlegende Eigenschaften und Einschränkungen

Wurzeln haben viele seltsame Eigenschaften und Einschränkungen – dies wird in einer separaten Lektion besprochen. Daher betrachten wir jetzt nur den wichtigsten „Trick“, der nur für Wurzeln mit geradem Index gilt. Schreiben wir diese Eigenschaft als Formel:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

Mit anderen Worten: Wenn wir eine Zahl gerade potenzieren und dann die Wurzel derselben Potenz ziehen, erhalten wir nicht die ursprüngliche Zahl, sondern ihren Modul. Dies ist ein einfacher Satz, der leicht bewiesen werden kann (es reicht aus, nichtnegative $x$ separat und dann negative separat zu betrachten). Lehrer reden ständig darüber, es steht in jedem Schulbuch. Doch sobald es darum geht, irrationale Gleichungen (also Gleichungen, die ein Wurzelzeichen enthalten) zu lösen, vergessen die Studierenden einhellig diese Formel.

Um das Problem im Detail zu verstehen, vergessen wir für eine Minute alle Formeln und versuchen, zwei Zahlen direkt zu berechnen:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Das sind sehr einfache Beispiele. Die meisten Leute werden das erste Beispiel lösen, aber viele bleiben beim zweiten stecken. Um einen solchen Mist ohne Probleme zu lösen, sollten Sie immer die folgende Vorgehensweise in Betracht ziehen:

1. Zunächst wird die Zahl auf die vierte Potenz erhöht. Nun, es ist ziemlich einfach. Sie erhalten eine neue Zahl, die sogar im Einmaleins zu finden ist;
2. Und nun muss aus dieser neuen Zahl die vierte Wurzel gezogen werden. Diese. Es findet keine „Reduzierung“ von Wurzeln und Kräften statt – es handelt sich um sequentielle Aktionen.

Schauen wir uns den ersten Ausdruck an: $\sqrt(((3)^(4)))$. Natürlich müssen Sie zuerst den Ausdruck unter der Wurzel berechnen:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Dann extrahieren wir die vierte Wurzel der Zahl 81:

Machen wir nun dasselbe mit dem zweiten Ausdruck. Zuerst erhöhen wir die Zahl −3 in die vierte Potenz, was eine vierfache Multiplikation mit sich selbst erfordert:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ links(-3 \rechts)=81\]

Wir haben eine positive Zahl erhalten, da die Gesamtzahl der Minuspunkte im Produkt 4 beträgt und sie sich alle gegenseitig aufheben (schließlich ergibt ein Minus für ein Minus ein Plus). Dann extrahieren wir die Wurzel erneut:

Im Prinzip hätte diese Zeile nicht geschrieben werden können, da es selbstverständlich ist, dass die Antwort dieselbe sein würde. Diese. eine gerade Wurzel derselben geraden Potenz „verbrennt“ die Minuspunkte, und in diesem Sinne ist das Ergebnis nicht von einem regulären Modul zu unterscheiden:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Diese Berechnungen stimmen gut mit der Definition einer Wurzel geraden Grades überein: Das Ergebnis ist immer nicht negativ, und das Wurzelzeichen enthält auch immer eine nicht negative Zahl. Andernfalls ist die Wurzel undefiniert.

Hinweis zum Ablauf

1. Die Notation $\sqrt(((a)^(2)))$ bedeutet, dass wir zuerst die Zahl $a$ quadrieren und dann die Quadratwurzel des resultierenden Wertes ziehen. Daher können wir sicher sein, dass unter dem Wurzelzeichen immer eine nicht negative Zahl steht, da $((a)^(2))\ge in jedem Fall 0$ ist;
2. Aber die Notation $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ bedeutet im Gegenteil, dass wir zuerst die Wurzel einer bestimmten Zahl $a$ ziehen und erst dann das Ergebnis quadrieren. Daher kann die Zahl $a$ auf keinen Fall negativ sein – dies ist eine zwingende Anforderung, die in der Definition enthalten ist.

Man sollte also auf keinen Fall Wurzeln und Grade gedankenlos reduzieren und damit angeblich den ursprünglichen Ausdruck „vereinfachen“. Denn wenn die Wurzel eine negative Zahl hat und ihr Exponent gerade ist, bekommen wir eine Menge Probleme.

Alle diese Probleme sind jedoch nur für gerade Indikatoren relevant.

Entfernen des Minuszeichens unter dem Wurzelzeichen

Natürlich haben auch Wurzeln mit ungeraden Exponenten ihre eigene Eigenschaft, die es bei geraden Exponenten prinzipiell nicht gibt. Nämlich:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kurz gesagt, Sie können das Minus unter dem Vorzeichen von Wurzeln ungeraden Grades entfernen. Dies ist eine sehr nützliche Eigenschaft, mit der Sie alle Nachteile „beseitigen“ können:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Diese einfache Eigenschaft vereinfacht viele Berechnungen erheblich. Jetzt brauchen Sie sich keine Sorgen zu machen: Was wäre, wenn unter der Wurzel ein negativer Ausdruck verborgen wäre, der Grad an der Wurzel aber gerade wäre? Es genügt, alle Minuspunkte außerhalb der Wurzeln „wegzuwerfen“, woraufhin sie miteinander multipliziert, dividiert und im Allgemeinen viele verdächtige Dinge tun können, zu denen wir im Fall „klassischer“ Wurzeln garantiert führen werden ein Fehler.

Und hier kommt eine weitere Definition auf den Plan – dieselbe, mit der in den meisten Schulen das Studium irrationaler Ausdrücke beginnt. Und ohne das wäre unsere Argumentation unvollständig. Treffen!

Arithmetische Wurzel

Nehmen wir für einen Moment an, dass unter dem Wurzelzeichen nur positive Zahlen oder im Extremfall Null stehen können. Vergessen wir die geraden/ungerade Indikatoren, vergessen wir alle oben gegebenen Definitionen – wir werden nur mit nicht negativen Zahlen arbeiten. Was dann?

Und dann erhalten wir eine arithmetische Wurzel – sie überschneidet sich teilweise mit unseren „Standard“-Definitionen, weicht aber dennoch von ihnen ab.

Definition. Eine arithmetische Wurzel vom $n$-ten Grad einer nicht negativen Zahl $a$ ist eine nicht negative Zahl $b$, so dass $((b)^(n))=a$.

Wie wir sehen, geht es uns nicht mehr um Parität. Stattdessen trat eine neue Einschränkung auf: Der radikale Ausdruck ist jetzt immer nicht negativ, und die Wurzel selbst ist ebenfalls nicht negativ.

Um besser zu verstehen, wie sich die arithmetische Wurzel von der üblichen unterscheidet, werfen Sie einen Blick auf die Diagramme der quadratischen und kubischen Parabel, die wir bereits kennen:

Arithmetischer Wurzelsuchbereich – nicht negative Zahlen

Wie Sie sehen, sind wir von nun an nur noch an den Diagrammteilen interessiert, die sich im ersten Koordinatenviertel befinden – wo die Koordinaten $x$ und $y$ positiv (oder zumindest Null) sind. Sie müssen sich den Indikator nicht mehr ansehen, um zu verstehen, ob wir das Recht haben, eine negative Zahl unter die Wurzel zu setzen oder nicht. Denn negative Zahlen werden grundsätzlich nicht mehr berücksichtigt.

Sie fragen sich vielleicht: „Warum brauchen wir eine so kastrierte Definition?“ Oder: „Warum kommen wir mit der oben angegebenen Standarddefinition nicht aus?“

Nun, ich werde nur eine Eigenschaft nennen, aufgrund derer die neue Definition angemessen wird. Zum Beispiel die Regel zur Potenzierung:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Bitte beachten Sie: Wir können den Wurzelausdruck beliebig potenzieren und gleichzeitig den Wurzelexponenten mit derselben Potenz multiplizieren – und das Ergebnis wird dieselbe Zahl sein! Hier sind Beispiele:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Was ist also die große Sache? Warum konnten wir das nicht schon früher machen? Hier ist der Grund. Betrachten wir einen einfachen Ausdruck: $\sqrt(-2)$ – diese Zahl ist in unserem klassischen Verständnis ganz normal, aber aus Sicht der arithmetischen Wurzel absolut inakzeptabel. Versuchen wir es umzuwandeln:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Wie Sie sehen, haben wir im ersten Fall das Minus unter dem Radikal entfernt (wir haben jedes Recht, da der Exponent ungerade ist), und im zweiten Fall haben wir die obige Formel verwendet. Diese. Mathematisch gesehen läuft alles nach den Regeln ab.

WTF?! Wie kann dieselbe Zahl sowohl positiv als auch negativ sein? Auf keinen Fall. Es ist nur so, dass die Potenzierungsformel, die für positive Zahlen und Null hervorragend funktioniert, bei negativen Zahlen völlige Ketzerei hervorruft.

Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, wurden arithmetische Wurzeln erfunden. Ihnen ist eine eigene große Lektion gewidmet, in der wir alle ihre Eigenschaften im Detail betrachten. Daher gehen wir jetzt nicht weiter darauf ein, die Lektion hat sich bereits als zu lang herausgestellt.

Algebraische Wurzel: für diejenigen, die mehr wissen wollen

Ich habe lange darüber nachgedacht, ob ich dieses Thema in einen eigenen Absatz aufnehmen soll oder nicht. Am Ende habe ich beschlossen, es hier zu belassen. Dieses Material richtet sich an diejenigen, die die Wurzeln noch besser verstehen wollen – nicht mehr auf dem durchschnittlichen „Schul“-Niveau, sondern auf einem Niveau nahe dem Olympia-Niveau.

Also: Neben der „klassischen“ Definition der $n$-ten Wurzel einer Zahl und der damit verbundenen Unterteilung in gerade und ungerade Exponenten gibt es eine „erwachsenere“ Definition, die überhaupt nicht auf Parität und andere Feinheiten angewiesen ist. Dies wird als algebraische Wurzel bezeichnet.

Definition. Die algebraische $n$-te Wurzel eines beliebigen $a$ ist die Menge aller Zahlen $b$, so dass $((b)^(n))=a$. Es gibt keine festgelegte Bezeichnung für solche Wurzeln, deshalb setzen wir einfach einen Strich oben drauf:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Der grundlegende Unterschied zur Standarddefinition zu Beginn der Lektion besteht darin, dass eine algebraische Wurzel keine bestimmte Zahl, sondern eine Menge ist. Und da wir mit reellen Zahlen arbeiten, gibt es diesen Satz nur in drei Typen:

1. Leeres Set. Tritt auf, wenn Sie aus einer negativen Zahl eine algebraische Wurzel geraden Grades ermitteln müssen;
2. Ein Satz, der aus einem einzelnen Element besteht. Alle Wurzeln ungerader Potenzen sowie Wurzeln gerader Potenzen von Null fallen in diese Kategorie;
3. Schließlich kann die Menge zwei Zahlen enthalten – dieselben $((x)_(1))$ und $((x)_(2))=-((x)_(1))$, die wir auf der gesehen haben Graph quadratische Funktion. Dementsprechend ist eine solche Anordnung nur möglich, wenn aus einer positiven Zahl die Wurzel eines geraden Grades gezogen wird.

Der letzte Fall verdient eine genauere Betrachtung. Lassen Sie uns einige Beispiele zählen, um den Unterschied zu verstehen.

Beispiel. Werten Sie die Ausdrücke aus:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Lösung. Der erste Ausdruck ist einfach:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Es sind zwei Zahlen, die Teil der Menge sind. Weil jedes Quadrat eine Vier ergibt.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Hier sehen wir eine Menge, die nur aus einer Zahl besteht. Das ist durchaus logisch, da der Wurzelexponent ungerade ist.

Zum Schluss noch der letzte Ausdruck:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Wir haben ein leeres Set erhalten. Denn es gibt keine einzige reelle Zahl, die, wenn man sie auf die vierte (d. h. gerade!) Potenz erhöht, die negative Zahl −16 ergibt.

Schlussbemerkung. Bitte beachten Sie: Es ist kein Zufall, dass ich überall darauf hingewiesen habe, dass wir mit reellen Zahlen arbeiten. Da es auch komplexe Zahlen gibt, ist es durchaus möglich, dort $\sqrt(-16)$ zu berechnen, und viele andere seltsame Dinge.

Allerdings kommen komplexe Zahlen in modernen Mathematikkursen fast nie vor. Sie wurden aus den meisten Lehrbüchern entfernt, weil unsere Beamten das Thema für „zu schwer zu verstehen“ halten.

Video-Tutorial 2: Eigenschaften von Wurzeln vom Grad n > 1

Vorlesung: Wurzel vom Grad n > 1 und ihre Eigenschaften

Wurzel

Angenommen, Sie haben eine Gleichung der Form:

Die Lösung dieser Gleichung ist x 1 = 2 und x 2 = (-2). Als Antwort eignen sich beide Lösungen, da Zahlen mit gleichen Moduli bei Potenzierung das gleiche Ergebnis liefern.

Dies war ein einfaches Beispiel. Was können wir jedoch tun, wenn beispielsweise

Versuchen wir, die Funktion grafisch darzustellen y=x 2 . Sein Graph ist eine Parabel:

Im Diagramm müssen Sie Punkte finden, die dem Wert y = 3 entsprechen. Diese Punkte sind:

Dies bedeutet, dass dieser Wert nicht als Ganzzahl bezeichnet werden kann, sondern als Quadratwurzel dargestellt werden kann.

Jede Wurzel ist irrationale Zahl. Zu den irrationalen Zahlen gehören Wurzeln und nichtperiodische unendliche Brüche.

Quadratwurzel ist eine nichtnegative Zahl „a“, deren Wurzelausdruck gleich der gegebenen Zahl „a“ im Quadrat ist.

Zum Beispiel,

Das heißt, als Ergebnis erhalten wir nur einen positiven Wert. Allerdings als Lösung einer quadratischen Gleichung der Form

Die Lösung ist x 1 = 4, x 2 = (-4).

Eigenschaften der Quadratwurzel

1. Welchen Wert x auch annimmt, dieser Ausdruck ist in jedem Fall wahr:

2. Vergleichen von Zahlen mit Quadratwurzeln. Um diese Zahlen zu vergleichen, müssen Sie sowohl die eine als auch die zweite Zahl unter dem Wurzelzeichen eingeben. Die Zahl wird größer sein, deren radikaler Ausdruck größer ist.

Geben Sie unter dem Wurzelzeichen die Zahl 2 ein

Nun setzen wir die Zahl 4 unter das Wurzelzeichen. Als Ergebnis erhalten wir

Und erst jetzt können die beiden resultierenden Ausdrücke verglichen werden:

3. Entfernen des Multiplikators unter der Wurzel.

Wenn ein radikaler Ausdruck in zwei Faktoren zerlegt werden kann, von denen einer unter dem Wurzelzeichen herausgenommen werden kann, muss diese Regel angewendet werden.

4. Es gibt eine Eigenschaft, die das Gegenteil davon ist – die Einführung eines Multiplikators unter der Wurzel. Wir haben diese Immobilie offensichtlich in der zweiten Immobilie genutzt.