Finden Sie die rationalen Wurzeln des Polynoms und überprüfen Sie sie. Methoden zur Faktorisierung von Polynomen. Befreiung von der algebraischen Irrationalität im Nenner eines Bruchs

Es ist erwiesen, dass man zum Faktorisieren eines Polynoms seine Wurzeln finden muss. Formeln für die Wurzeln eines quadratischen Polynoms. Methode zum Auffinden ganzer Wurzeln. Methode, ein biquadratisches Polynom zu faktorisieren und auf ein quadratisches zu reduzieren. Wiederkehrende Polynome.

Grundlage der Methode

Lassen

- Polynom vom Grad n ≥ 1 einer reellen oder komplexen Variablen z mit reellen oder komplexen Koeffizienten a i. Akzeptieren wir den folgenden Satz ohne Beweis.

Satz 1

Gleichung Pn (z) = 0 hat mindestens eine Wurzel.

Beweisen wir das folgende Lemma.

Lemma 1

Sei P n (z)- Polynom vom Grad n, z 1 - Wurzel der Gleichung:
P n (z 1) = 0.
Dann P n (z) kann nur in der Form dargestellt werden:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
wo Pn- 1(z)- Polynom vom Grad n - 1 .

Nachweisen

Um dies zu beweisen, wenden wir den Satz an (siehe Division und Multiplikation eines Polynoms durch ein Polynom durch eine Ecke und eine Spalte), wonach für zwei beliebige Polynome P n (z) und Q k (z), Grad n und k, mit n ≥ k gibt es eine eindeutige Darstellung in der Form:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
wo Pn-k (z)- Polynom vom Grad n-k, U k- 1(z)- Polynom mit einem Grad nicht höher als k- 1 .

Setzen wir k = 1 , Q k (z) = z - z 1, Dann
P n (z) = (z – z 1 ) P n-1 (z) + c,
wobei c eine Konstante ist. Ersetzen wir hier z = z 1 und berücksichtigen Sie, dass P n (z 1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Daher c = 0 . Dann
Pn,
Q.E.D.

Basierend auf Satz 1 ist das Polynom P n (z) hat mindestens eine Wurzel. Bezeichnen wir es als z 1 ,Pn (z 1) = 0. Dann, basierend auf Lemma 1:
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z).
Weiter, wenn n > 1 , dann ist das Polynom P n- 1(z) hat auch mindestens eine Wurzel, die wir als z bezeichnen 2 ,Pn- 1 (z 2) = 0. Dann
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z).

Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, kommen wir zu dem Schluss, dass es n Zahlen z gibt 1 , z 2 , ... , z n so dass
P n (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z).
Aber P 0(z)- das ist eine Konstante. Wenn wir die Koeffizienten für z n gleichsetzen, stellen wir fest, dass es gleich a n ist. Als Ergebnis erhalten wir die Formel zum Faktorisieren eines Polynoms:
(1) P n (z) = a n (z – z 1 )(z – z 2 ) ... (z – z n ).

Die Zahlen z i sind die Wurzeln des Polynoms P n (z).

Im Allgemeinen sind nicht alle z enthalten (1) , sind anders. Unter ihnen können die gleichen Werte vorhanden sein. Anschließend wird das Polynom faktorisiert (1) kann geschrieben werden als:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Hier ist z i ≠ z j für i ≠ j. Wenn n i = 1 , Das Wurzel z i einfach genannt. Es geht in der Form in die Faktorisierung ein (z-z i). Wenn n i > 1 , Das Wurzel z i heißt Mehrfachwurzel der Vielheit n i. Es geht als Produkt von n i Primfaktoren in die Faktorisierung ein: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Polynome mit reellen Koeffizienten

Lemma 2

Wenn es sich um eine komplexe Wurzel eines Polynoms mit reellen Koeffizienten handelt, dann ist die komplexe konjugierte Zahl auch eine Wurzel des Polynoms.

Nachweisen

In der Tat, wenn , und die Koeffizienten eines Polynoms reelle Zahlen sind, dann .

Somit gehen komplexe Wurzeln paarweise mit ihren komplex konjugierten Werten in die Faktorisierung ein:
,
wobei , reelle Zahlen sind.
Dann die Zersetzung (2) Ein Polynom mit reellen Faktorkoeffizienten kann in einer Form dargestellt werden, in der nur reelle Konstanten vorhanden sind:
(3) ;
.

Methoden zum Faktorisieren eines Polynoms

Unter Berücksichtigung des oben Gesagten müssen Sie zum Faktorisieren eines Polynoms alle Wurzeln der Gleichung P n (z) = finden 0 und bestimmen Sie ihre Vielfältigkeit. Faktoren mit komplexen Wurzeln müssen mit komplexen Konjugaten gruppiert werden. Dann wird die Erweiterung durch die Formel bestimmt (3) .

Somit ist die Methode zum Faktorisieren eines Polynoms wie folgt:
1. Finden der Wurzel z 1 Gleichungen Pn (z 1) = 0.
2.1. Wenn die Wurzel z 1 real, dann addieren wir den Faktor zur Entwicklung (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1(z), ausgehend vom Punkt (1) bis wir alle Wurzeln gefunden haben.
2.2. Wenn die Wurzel komplex ist, ist die komplex konjugierte Zahl auch die Wurzel des Polynoms. Dann schließt die Erweiterung den Faktor ein

,
wo b 1 = - 2 x 1, C 1 = x 1 2 + y 1 2.
In diesem Fall addieren wir den Faktor zur Entwicklung (z 2 + b 1 z + c 1) und teile das Polynom P n (z) durch (z 2 + b 1 z + c 1). Als Ergebnis erhalten wir ein Polynom vom Grad n - 2 :
.
Als nächstes wiederholen wir den Vorgang für das Polynom P n- 2(z), ausgehend vom Punkt (1) bis wir alle Wurzeln gefunden haben.

Finden der Wurzeln eines Polynoms

Die Hauptaufgabe bei der Faktorisierung eines Polynoms besteht darin, seine Wurzeln zu finden. Leider ist dies nicht immer analytisch möglich. Hier betrachten wir mehrere Fälle, in denen Sie die Wurzeln eines Polynoms analytisch finden können.

Wurzeln eines Polynoms ersten Grades

Ein Polynom ersten Grades ist eine lineare Funktion. Es hat eine Wurzel. Die Entwicklung hat nur einen Faktor, der die Variable z enthält:
.

Wurzeln eines Polynoms zweiten Grades

Um die Wurzeln eines Polynoms zweiten Grades zu finden, müssen Sie die quadratische Gleichung lösen:
P 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Wenn die Diskriminante ist, dann hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
, .
Dann hat die Faktorisierung die Form:
.
Wenn Diskriminante D = 0 , dann hat die Gleichung eine Doppelwurzel:
;
.
Wenn Diskriminante D< 0 , dann sind die Wurzeln der Gleichung komplex,
.

Polynome mit höherem Grad als zwei

Es gibt Formeln zum Finden der Wurzeln von Polynomen 3. und 4. Grades. Sie werden jedoch selten verwendet, da sie sperrig sind. Es gibt keine Formeln zum Finden der Wurzeln von Polynomen mit einem höheren Grad als dem 4. Grad. Trotzdem ist es in einigen Fällen möglich, das Polynom zu faktorisieren.

Ganze Wurzeln finden

Wenn bekannt ist, dass ein Polynom, dessen Koeffizienten ganze Zahlen sind, eine ganzzahlige Wurzel hat, kann diese durch Durchsuchen aller möglichen Werte gefunden werden.

Lemma 3

Sei das Polynom
,
deren Koeffizienten a i ganze Zahlen sind, hat eine ganzzahlige Wurzel z 1 . Dann ist diese Wurzel ein Teiler der Zahl a 0 .

Nachweisen

Schreiben wir die Gleichung P n um (z 1) = 0 als:
.
Dann das Ganze
Mz 1 = - eine 0.
Teilen Sie durch z 1 :
.
Da M eine ganze Zahl ist, ist M eine ganze Zahl. Q.E.D.

Wenn also die Koeffizienten des Polynoms ganze Zahlen sind, können Sie versuchen, die ganzzahligen Wurzeln zu finden. Dazu müssen Sie alle Teiler des freien Termes a finden 0 und durch Einsetzen in die Gleichung P n (z) = 0, prüfen Sie, ob sie Wurzeln dieser Gleichung sind.
Notiz. Wenn die Koeffizienten des Polynoms rationale Zahlen sind, dann multipliziert man die Gleichung P n (z) = 0 Durch den gemeinsamen Nenner der Zahlen a i erhalten wir eine Gleichung für ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.

Rationale Wurzeln finden

Wenn die Koeffizienten des Polynoms ganze Zahlen sind und es keine ganzzahligen Wurzeln gibt, dann gilt für a n ≠ 1 , können Sie versuchen, rationale Wurzeln zu finden. Dazu müssen Sie eine Substitution vornehmen
z = y/a n
und multipliziere die Gleichung mit a n n- 1 . Als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung für ein Polynom in der Variablen y mit ganzzahligen Koeffizienten. Als nächstes suchen wir nach den ganzzahligen Wurzeln dieses Polynoms unter den Teilern des freien Termes. Wenn wir eine solche Wurzel y i gefunden haben, erhalten wir durch die Übergabe an die Variable x eine rationale Wurzel
z i = y i /a n .

Nützliche Formeln

Wir stellen Formeln vor, die zur Faktorisierung eines Polynoms verwendet werden können.

Allgemeiner gesagt, um ein Polynom zu entwickeln
P n (z) = z n - a 0,
wo ein 0 - komplex, Sie müssen alle seine Wurzeln finden, das heißt, die Gleichung lösen:
z n = a 0 .
Diese Gleichung lässt sich leicht lösen, indem man a ausdrückt 0 über Modul r und Argument φ:
.
Seit einem 0 ändert sich nicht, wenn wir das Argument ergänzen 2π, dann stell dir vor a 0 als:
,
wobei k eine ganze Zahl ist. Dann
;
.
Zuweisen von k Werten k = 0, 1, 2, ... n-1 erhalten wir n Wurzeln des Polynoms. Dann hat seine Faktorisierung die Form:
.

Biquadratisches Polynom

Betrachten Sie das biquadratische Polynom:
.
Ein biquadratisches Polynom kann faktorisiert werden, ohne die Wurzeln zu finden.

Wenn wir haben:

,
Wo .

Bikubische und quadratische Polynome

Betrachten Sie das Polynom:
.
Seine Wurzeln werden aus der Gleichung bestimmt:
.
Durch Einsetzen von t = z n wird sie auf eine quadratische Gleichung reduziert:
A 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Nachdem wir diese Gleichung gelöst haben, finden wir ihre Wurzeln, t 1 , T 2 . Dann finden wir die Erweiterung in der Form:
.
Als nächstes faktorisieren wir mit der oben angegebenen Methode z n - t 1 und z n - t 2 . Schließlich gruppieren wir die Faktoren, die komplex konjugierte Wurzeln enthalten.

Wiederkehrende Polynome

Das Polynom heißt rückgabefähig, wenn seine Koeffizienten symmetrisch sind:

Ein Beispiel für ein reflexives Polynom:
.

Wenn der Grad eines reflexiven Polynoms n ungerade ist, dann hat ein solches Polynom eine Wurzel z = -1 . Division eines solchen Polynoms durch z + 1 erhalten wir ein rekurrentes Polynom vom Grad n - 1 .
Wenn der Grad eines rekurrenten Polynoms n gerade ist, dann wird es durch Substitution auf ein Polynom vom Grad n reduziert. 2 . Cm.

Wie bereits erwähnt, ist eines der wichtigsten Probleme in der Theorie der Polynome das Problem, ihre Wurzeln zu finden. Um dieses Problem zu lösen, können Sie die Auswahlmethode verwenden, d.h. Nehmen Sie eine zufällige Zahl und prüfen Sie, ob sie die Wurzel eines bestimmten Polynoms ist.

In diesem Fall können Sie schnell auf die Wurzel stoßen oder sie nie finden. Schließlich ist es unmöglich, alle Zahlen zu überprüfen, da es unendlich viele davon gibt.

Eine andere Sache wäre es, wenn wir beispielsweise den Suchbereich eingrenzen könnten, um zu wissen, dass die gesuchten Wurzeln beispielsweise unter den dreißig angegebenen Zahlen liegen. Und für dreißig Zahlen können Sie eine Überprüfung durchführen. Im Zusammenhang mit allem oben Gesagten erscheint diese Aussage wichtig und interessant.

Wenn der irreduzible Bruch l/m (l,m sind ganze Zahlen) die Wurzel eines Polynoms f (x) mit ganzzahligen Koeffizienten ist, dann wird der führende Koeffizient dieses Polynoms durch m geteilt und der freie Term wird durch 1 geteilt.

In der Tat, wenn f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, wobei an, an-1,...,a1, a0 ganze Zahlen sind, dann f (l/ m) =0, d. h. an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichheit mit mn. Wir erhalten anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Dies impliziert:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Wir sehen, dass die ganze Zahl anln durch m teilbar ist. Aber l/m ist ein irreduzibler Bruch, d.h. die Zahlen l und m sind teilerfremd, und dann sind, wie aus der Theorie der Teilbarkeit ganzer Zahlen bekannt, auch die Zahlen ln und m teilerfremd. Anln ist also durch m teilbar und m ist teilerfremd zu ln, was bedeutet, dass an durch m teilbar ist.

Das bewährte Thema ermöglicht es uns, den Suchbereich nach rationalen Wurzeln eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten deutlich einzugrenzen. Lassen Sie uns dies anhand eines konkreten Beispiels demonstrieren. Finden wir die rationalen Wurzeln des Polynoms f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Nach dem Satz gehören die rationalen Wurzeln dieses Polynoms zu den irreduziblen Brüchen der Form l/m, wobei l der Teiler des freien Termes a0=8 und m der Teiler des führenden Koeffizienten a4=6 ist. Wenn außerdem der Bruch l/m negativ ist, wird dem Zähler das Vorzeichen „-“ zugewiesen. Beispiel: - (1/3) = (-1) /3. Wir können also sagen, dass l ein Teiler der Zahl 8 und m ein positiver Teiler der Zahl 6 ist.

Da die Teiler der Zahl 8 ±1, ±2, ±4, ±8 sind und die positiven Teiler der Zahl 6 1, 2, 3, 6 sind, gehören die rationalen Wurzeln des betreffenden Polynoms zu den Zahlen ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Erinnern wir uns daran, dass wir nur irreduzible Brüche ausgeschrieben haben.

Somit haben wir zwanzig Zahlen – „Kandidaten“ für Wurzeln. Es bleibt nur noch, jeden von ihnen zu überprüfen und diejenigen auszuwählen, die wirklich verwurzelt sind. Aber auch hier müssen Sie eine ganze Reihe von Kontrollen durchführen. Der folgende Satz vereinfacht diese Arbeit jedoch.

Wenn der irreduzible Bruch l/m die Wurzel eines Polynoms f (x) mit ganzzahligen Koeffizienten ist, dann ist f (k) für jede ganze Zahl k durch l-km teilbar, vorausgesetzt, dass l-km?0.

Um diesen Satz zu beweisen, dividieren Sie f (x) durch x-k mit einem Rest. Wir bekommen f (X) = (x-k) S (X) +f (k). Da f (x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist, gilt dies auch für das Polynom s (x) und f (k) ist eine ganze Zahl. Sei s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Dann ist f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Setzen wir x=l/m in diese Gleichung ein. Unter Berücksichtigung von f (l/m) = 0 erhalten wir

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Lassen Sie uns beide Seiten der letzten Gleichheit mit mn multiplizieren:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Daraus folgt, dass die ganze Zahl mnf (k) durch l-km teilbar ist. Da aber l und m teilerfremd sind, sind auch mn und l-km teilerfremd, was bedeutet, dass f (k) durch l-km teilbar ist. Der Satz ist bewiesen.

Kehren wir nun zu unserem Beispiel zurück und grenzen mit dem bewährten Theorem den Kreis der Suche nach rationalen Wurzeln weiter ein. Wenden wir diesen Satz für k=1 und k=-1 an, d.h. Wenn der irreduzible Bruch l/m die Wurzel des Polynoms f (x) ist, dann gilt f (1) / (l-m) und f (-1) / (l+m). Wir finden leicht heraus, dass in unserem Fall f (1) = -5 und f (-1) = -15 ist. Beachten Sie, dass wir gleichzeitig ±1 von der Betrachtung ausgeschlossen haben.

Daher sollten die rationalen Wurzeln unseres Polynoms unter den Zahlen ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 gesucht werden /3.

Betrachten Sie l/m=1/2. Dann wird l-m=-1 und f (1) =-5 durch diese Zahl dividiert. Außerdem ist l+m=3 und f (1) =-15 auch durch 3 teilbar. Dies bedeutet, dass der Bruch 1/2 unter den „Kandidaten“ für Wurzeln bleibt.

Sei nun lm=- (1/2) = (-1) /2. In diesem Fall ist l-m=-3 und f (1) =-5 nicht durch - 3 teilbar. Das bedeutet, dass der Bruch - 1/2 nicht die Wurzel dieses Polynoms sein kann und wir ihn von der weiteren Betrachtung ausschließen. Überprüfen wir jeden der oben aufgeführten Brüche und stellen wir fest, dass die erforderlichen Wurzeln zwischen den Zahlen 1/2, ±2/3, 2, - 4 liegen.

Mit einer relativ einfachen Technik haben wir daher den Suchbereich nach rationalen Wurzeln des betrachteten Polynoms erheblich eingeengt. Nun, um die verbleibenden Zahlen zu überprüfen, verwenden wir Horners Schema:

Tabelle 10

Wir haben herausgefunden, dass der Rest bei der Division von g (x) durch x-2/3 gleich - 80/9 ist, d. h. 2/3 ist keine Wurzel des Polynoms g (x) und daher auch nicht f (x).

Als nächstes finden wir leicht heraus, dass - 2/3 die Wurzel des Polynoms g (x) ist und g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Dann ist f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Eine weitere Überprüfung kann für das Polynom x2+2x-4 durchgeführt werden, was natürlich einfacher ist als für g (x) oder noch mehr für f (x). Als Ergebnis stellen wir fest, dass die Zahlen 2 und - 4 keine Wurzeln sind.

Das Polynom f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 hat also zwei rationale Wurzeln: 1/2 und - 2/3.

Denken Sie daran, dass die oben beschriebene Methode es ermöglicht, nur rationale Wurzeln eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten zu finden. Mittlerweile kann ein Polynom auch irrationale Wurzeln haben. So hat beispielsweise das im Beispiel betrachtete Polynom zwei weitere Wurzeln: - 1±v5 (das sind die Wurzeln des Polynoms x2+2x-4). Und im Allgemeinen hat ein Polynom möglicherweise überhaupt keine rationalen Wurzeln.

Lassen Sie uns nun einige Tipps geben.

Beim Testen von „Kandidaten“ auf die Wurzeln des Polynoms f (x) mit dem zweiten der oben bewiesenen Sätze wird letzterer normalerweise für Fälle k=±1 verwendet. Mit anderen Worten: Wenn l/m eine „Kandidaten“-Wurzel ist, prüfen Sie, ob f (1) und f (-1) durch l-m bzw. l+m teilbar sind. Es kann jedoch vorkommen, dass zum Beispiel f (1) = 0 ist, d. h. 1 ist eine Wurzel, und dann ist f (1) durch eine beliebige Zahl teilbar, und unsere Prüfung wird bedeutungslos. In diesem Fall sollten Sie f(x) durch x-1 dividieren, d.h. Ermitteln Sie f(x) = (x-1)s(x) und testen Sie das Polynom s(x). Dabei dürfen wir nicht vergessen, dass wir bereits eine Wurzel des Polynoms f (x) - x1=1 gefunden haben. Wenn wir bei der Prüfung der „Kandidaten“ auf Wurzeln, die nach Anwendung des zweiten Satzes über rationale Wurzeln verbleiben, unter Verwendung des Horner-Schemas feststellen, dass beispielsweise l/m eine Wurzel ist, dann sollte ihre Multiplizität ermittelt werden. Wenn es beispielsweise gleich k ist, dann ist f (x) = (x-l/m) ks (x), und weitere Tests können für s (x) durchgeführt werden, was die Berechnungen reduziert.

Somit haben wir gelernt, rationale Wurzeln eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten zu finden. Es stellt sich heraus, dass wir dadurch gelernt haben, die irrationalen Wurzeln eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten zu finden. Wenn wir zum Beispiel ein Polynom f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2 haben, dann bringen wir die Koeffizienten auf einen gemeinsamen Nenner und setzen es aus Klammern erhalte f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Es ist klar, dass die Wurzeln des Polynoms f (x) mit den Wurzeln des Polynoms in Klammern übereinstimmen und seine Koeffizienten ganze Zahlen sind. Beweisen wir zum Beispiel, dass sin100 eine irrationale Zahl ist. Verwenden wir die bekannte Formel sin3?=3sin?-4sin3?. Daher ist sin300=3sin100-4sin3100. Unter Berücksichtigung von sin300=0,5 und der Durchführung einfacher Transformationen erhalten wir 8sin3100-6sin100+1=0. Daher ist sin100 die Wurzel des Polynoms f (x) =8x3-6x+1. Wenn wir nach rationalen Wurzeln dieses Polynoms suchen, werden wir überzeugt sein, dass es keine gibt. Das bedeutet, dass die Wurzel sin100 keine rationale Zahl ist, d.h. sin100 ist eine irrationale Zahl.

Usw. ist allgemeinbildender Natur und von großer Bedeutung für das Studium des GESAMTEN Studiengangs der höheren Mathematik. Heute werden wir „Schul“-Gleichungen wiederholen, aber nicht nur „Schul“-Gleichungen – sondern solche, die überall in verschiedenen Vyshmat-Problemen zu finden sind. Wie üblich wird die Geschichte anwendungsorientiert erzählt, d.h. Ich werde mich nicht auf Definitionen und Klassifizierungen konzentrieren, sondern meine persönlichen Erfahrungen bei der Lösung dieses Problems mit Ihnen teilen. Die Informationen richten sich in erster Linie an Einsteiger, aber auch fortgeschrittenere Leser werden viele interessante Punkte für sich entdecken. Und natürlich wird es neuen Stoff geben, der über die High School hinausgeht.

Also die Gleichung…. Viele erinnern sich mit Schaudern an dieses Wort. Was sind die „ausgeklügelten“ Gleichungen mit Wurzeln wert... ...vergessen Sie sie! Denn dann treffen Sie auf die harmlosesten „Vertreter“ dieser Art. Oder langweilige trigonometrische Gleichungen mit Dutzenden Lösungsmethoden. Ehrlich gesagt gefielen sie mir selbst nicht wirklich... Keine Panik! – dann erwartet Sie meist „Löwenzahn“ mit einer naheliegenden Lösung in 1-2 Schritten. Auch wenn die „Klette“ durchaus haftet, ist hier Objektivität gefragt.

Seltsamerweise ist es in der höheren Mathematik weitaus üblicher, sich mit sehr primitiven Gleichungen zu befassen linear Gleichungen

Was bedeutet es, diese Gleichung zu lösen? Das bedeutet, SOLCHEN Wert von „x“ (Wurzel) zu finden, der daraus eine echte Gleichheit macht. Werfen wir die „Drei“ mit Vorzeichenwechsel nach rechts:

und lassen Sie die „Zwei“ auf die rechte Seite fallen (oder das Gleiche – beide Seiten mit multiplizieren) :

Um dies zu überprüfen, setzen wir die gewonnene Trophäe in die ursprüngliche Gleichung ein:

Man erhält die korrekte Gleichheit, was bedeutet, dass der gefundene Wert tatsächlich die Wurzel dieser Gleichung ist. Oder, wie man auch sagt, erfüllt diese Gleichung.

Bitte beachten Sie, dass die Wurzel auch als Dezimalbruch geschrieben werden kann:
Und versuchen Sie, nicht bei diesem schlechten Stil zu bleiben! Ich habe den Grund mehr als einmal wiederholt, insbesondere in der allerersten Lektion höhere Algebra.

Die Gleichung lässt sich übrigens auch „auf Arabisch“ lösen:

Und das Interessanteste ist, dass diese Aufnahme völlig legal ist! Aber wenn du kein Lehrer bist, dann solltest du das besser nicht tun, denn Originalität ist hier strafbar =)

Und jetzt ein wenig darüber

grafische Lösungsmethode

Die Gleichung hat die Form und ihre Wurzel ist „X“-Koordinate Schnittpunkte linearer Funktionsgraph mit dem Graphen einer linearen Funktion (x-Achse):

Es scheint, dass das Beispiel so elementar ist, dass es hier nichts weiter zu analysieren gibt, aber eine weitere unerwartete Nuance lässt sich daraus „herausquetschen“: Stellen wir die gleiche Gleichung in der Form dar und konstruieren Diagramme der Funktionen:

Dabei, Bitte verwechseln Sie die beiden Konzepte nicht: eine Gleichung ist eine Gleichung, und Funktion– das ist eine Funktion! Funktionen hilft nur Finden Sie die Wurzeln der Gleichung. Davon können es zwei, drei, vier oder sogar unendlich viele sein. Das naheliegendste Beispiel in diesem Sinne ist das Bekannte quadratische Gleichung, der Lösungsalgorithmus erhielt einen eigenen Absatz „heiße“ Schulformeln. Und das ist kein Zufall! Wenn Sie eine quadratische Gleichung lösen können und wissen Satz des Pythagoras, dann könnte man sagen: „Die Hälfte der höheren Mathematik steckt schon in der Tasche“ =) Natürlich übertrieben, aber nicht so weit von der Wahrheit entfernt!

Seien wir also nicht faul und lösen wir eine quadratische Gleichung mit Standardalgorithmus:

, was bedeutet, dass die Gleichung zwei verschiedene hat gültig Wurzel:

Es lässt sich leicht überprüfen, ob beide gefundenen Werte tatsächlich diese Gleichung erfüllen:

Was tun, wenn Sie den Lösungsalgorithmus plötzlich vergessen haben und keine Mittel/helfenden Hände zur Hand sind? Diese Situation kann beispielsweise während einer Prüfung oder Prüfung auftreten. Wir nutzen die grafische Methode! Und es gibt zwei Möglichkeiten: Sie können Punkt für Punkt aufbauen Parabel , um herauszufinden, wo es die Achse schneidet (falls es überhaupt kreuzt). Aber es ist besser, etwas Schlaueres zu tun: Stellen Sie sich die Gleichung in der Form vor, zeichnen Sie Diagramme einfacherer Funktionen – und „X“-Koordinaten Ihre Schnittpunkte sind deutlich sichtbar!


Stellt sich heraus, dass die Gerade die Parabel berührt, dann hat die Gleichung zwei zusammenfallende (mehrfache) Wurzeln. Wenn sich herausstellt, dass die Gerade die Parabel nicht schneidet, dann gibt es keine echten Wurzeln.

Dazu muss man natürlich bauen können Graphen elementarer Funktionen, aber andererseits kann auch ein Schulkind diese Fähigkeiten erlernen.

Und noch einmal: Eine Gleichung ist eine Gleichung, und Funktionen sind Funktionen, die hat gerade geholfen löse die Gleichung!

Und hier wäre es übrigens angebracht, sich noch an etwas zu erinnern: Wenn alle Koeffizienten einer Gleichung mit einer Zahl ungleich Null multipliziert werden, ändern sich ihre Wurzeln nicht.

So zum Beispiel die Gleichung hat die gleichen Wurzeln. Als einfachen „Beweis“ nehme ich die Konstante aus Klammern:
und ich werde es schmerzlos entfernen (Ich werde beide Teile durch „minus zwei“ dividieren):

ABER! Wenn wir die Funktion betrachten , dann wird man die Konstante hier nicht los! Es ist nur zulässig, den Multiplikator aus Klammern herauszunehmen: .

Viele Menschen unterschätzen die grafische Lösungsmethode, weil sie sie für etwas „Unwürdiges“ halten, und manche vergessen diese Möglichkeit sogar völlig. Und das ist grundsätzlich falsch, da das Zeichnen von Diagrammen manchmal einfach die Situation rettet!

Ein weiteres Beispiel: Angenommen, Sie erinnern sich nicht an die Wurzeln der einfachsten trigonometrischen Gleichung: . Die allgemeine Formel steht in Schulbüchern, in allen Nachschlagewerken zur Grundmathematik, steht Ihnen aber nicht zur Verfügung. Das Lösen der Gleichung ist jedoch entscheidend (auch bekannt als „zwei“). Es gibt einen Ausgang! – Funktionsgraphen erstellen:


Danach notieren wir ruhig die „X“-Koordinaten ihrer Schnittpunkte:

Es gibt unendlich viele Wurzeln, und in der Algebra wird ihre verkürzte Schreibweise akzeptiert:
, Wo ( – Menge von ganzen Zahlen) .

Und ohne „wegzugehen“, ein paar Worte zur grafischen Methode zur Lösung von Ungleichungen mit einer Variablen. Das Prinzip ist das gleiche. So ist zum Beispiel die Lösung der Ungleichung ein beliebiges „x“, weil Die Sinuskurve liegt fast vollständig unter der Geraden. Die Lösung der Ungleichung ist die Menge der Intervalle, in denen die Teile der Sinuskurve genau über der Geraden liegen (x-Achse):

oder kurz gesagt:

Aber hier sind die vielen Lösungen für die Ungleichung: leer, da kein Punkt der Sinuskurve über der Geraden liegt.

Gibt es etwas, das Sie nicht verstehen? Studieren Sie dringend die Lektionen darüber Sätze Und Funktionsgraphen!

Lasst uns aufwärmen:

Übung 1

Lösen Sie die folgenden trigonometrischen Gleichungen grafisch:

Antworten am Ende der Lektion

Wie Sie sehen, ist es zum Studium der exakten Wissenschaften überhaupt nicht notwendig, Formeln und Nachschlagewerke vollzustopfen! Darüber hinaus handelt es sich hierbei um einen grundsätzlich fehlerhaften Ansatz.

Wie ich Ihnen bereits zu Beginn der Lektion versichert habe, müssen komplexe trigonometrische Gleichungen in einem Standardkurs der höheren Mathematik äußerst selten gelöst werden. Alle Komplexität endet in der Regel mit Gleichungen wie , deren Lösung zwei Gruppen von Wurzeln sind, die aus den einfachsten Gleichungen und stammen . Machen Sie sich nicht zu viele Gedanken über die Lösung des letzteren – schauen Sie in einem Buch nach oder finden Sie es im Internet =)

Auch in weniger trivialen Fällen kann die grafische Lösungsmethode weiterhelfen. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende „zusammengewürfelte“ Gleichung:

Die Aussichten für seine Lösung sehen … nach überhaupt nichts aus, aber man muss sich die Gleichung einfach in der Form „bauen“ vorstellen Funktionsgraphen und alles wird unglaublich einfach sein. In der Mitte des Artikels befindet sich eine Zeichnung dazu Infinitesimalfunktionen (wird im nächsten Tab geöffnet).

Mit der gleichen grafischen Methode können Sie herausfinden, dass die Gleichung bereits zwei Wurzeln hat und eine davon gleich Null ist und die andere anscheinend irrational und gehört zum Segment . Diese Wurzel kann beispielsweise näherungsweise berechnet werden: Tangentenmethode. Übrigens kommt es bei manchen Problemen vor, dass man nicht die Wurzeln finden muss, sondern es herausfinden muss existieren sie überhaupt?. Und auch hier kann eine Zeichnung helfen – wenn sich die Graphen nicht schneiden, dann gibt es keine Wurzeln.

Rationale Wurzeln von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.
Horner-Schema

Und jetzt lade ich Sie ein, Ihren Blick auf das Mittelalter zu richten und die einzigartige Atmosphäre der klassischen Algebra zu spüren. Für ein besseres Verständnis des Materials empfehle ich Ihnen, zumindest ein wenig zu lesen komplexe Zahlen.

Sie sind die besten. Polynome.

Der Gegenstand unseres Interesses werden die häufigsten Polynome der Form sein ganz Koeffizienten Eine natürliche Zahl heißt Grad des Polynoms, Zahl – Koeffizient des höchsten Grades (oder einfach nur der höchste Koeffizient), und der Koeffizient ist Freies Mitglied.

Ich werde dieses Polynom kurz mit bezeichnen.

Wurzeln eines Polynoms Nennen Sie die Wurzeln der Gleichung

Ich liebe eiserne Logik =)

Beispiele finden Sie ganz am Anfang des Artikels:

Es gibt keine Probleme, die Wurzeln von Polynomen 1. und 2. Grades zu finden, aber mit zunehmender Zahl wird diese Aufgabe immer schwieriger. Obwohl andererseits alles interessanter ist! Und genau diesem Thema wird sich der zweite Teil der Lektion widmen.

Zunächst buchstäblich die halbe Theorie:

1) Gemäß der Folgerung Grundsatz der Algebra, das Gradpolynom hat genau Komplex Wurzeln. Einige Wurzeln (oder sogar alle) können besonders sein gültig. Darüber hinaus kann es unter den echten Wurzeln identische (mehrere) Wurzeln geben (mindestens zwei, maximal Stücke).

Wenn eine komplexe Zahl die Wurzel eines Polynoms ist, dann konjugieren seine Zahl ist notwendigerweise auch die Wurzel dieses Polynoms (Konjugierte komplexe Wurzeln haben die Form).

Das einfachste Beispiel ist eine quadratische Gleichung, die erstmals in 8 angetroffen wurde (wie) Klasse, und die wir im Thema endlich „abgeschlossen“ haben komplexe Zahlen. Ich möchte Sie daran erinnern: Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei verschiedene reelle Wurzeln oder mehrere Wurzeln oder konjugierte komplexe Wurzeln.

2) Von Satz von Bezout Daraus folgt, dass, wenn eine Zahl die Wurzel einer Gleichung ist, das entsprechende Polynom faktorisiert werden kann:
, wobei es sich um ein Polynom vom Grad handelt.

Und noch einmal unser altes Beispiel: da ist die Wurzel der Gleichung, dann . Danach ist es nicht schwer, die bekannte Erweiterung „Schule“ zu erhalten.

Die Folgerung des Bezout-Theorems hat großen praktischen Wert: Wenn wir die Wurzel einer Gleichung 3. Grades kennen, können wir sie in der Form darstellen und aus der quadratischen Gleichung lassen sich leicht die verbleibenden Wurzeln ermitteln. Wenn wir die Wurzel einer Gleichung 4. Grades kennen, ist es möglich, die linke Seite zu einem Produkt zu entwickeln usw.

Und hier stellen sich zwei Fragen:

Frage eins. Wie finde ich genau diese Wurzel? Definieren wir zunächst seine Natur: In vielen Problemen der höheren Mathematik ist es notwendig, etwas zu finden rational, insbesondere ganz Wurzeln von Polynomen, und in dieser Hinsicht werden wir uns weiterhin hauptsächlich für sie interessieren.... ...sie sind so gut, so flauschig, dass man sie einfach finden möchte! =)

Das erste, was mir in den Sinn kommt, ist die Auswahlmethode. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung. Der Haken hier liegt im freien Term – wenn er gleich Null wäre, wäre alles in Ordnung – wir nehmen das „x“ aus Klammern und die Wurzeln selbst „fallen“ an die Oberfläche:

Aber unser freier Term ist gleich „drei“, und deshalb beginnen wir, verschiedene Zahlen in die Gleichung einzusetzen, die behaupten, „Wurzel“ zu sein. Zunächst bietet sich die Substitution einzelner Werte an. Ersetzen wir:

Erhalten falsch Gleichheit, die Einheit „passte also nicht“. Na gut, ersetzen wir:

Erhalten WAHR Gleichwertigkeit! Das heißt, der Wert ist die Wurzel dieser Gleichung.

Um die Wurzeln eines Polynoms 3. Grades zu finden, gibt es eine analytische Methode (die sogenannten Cardano-Formeln), aber jetzt interessiert uns eine etwas andere Aufgabe.

Da - die Wurzel unseres Polynoms ist, kann das Polynom in der Form dargestellt werden und entsteht Zweite Frage: Wie findet man einen „jüngeren Bruder“?

Die einfachsten algebraischen Überlegungen legen nahe, dass wir dazu dividieren müssen. Wie teilt man ein Polynom durch ein Polynom? Die gleiche Schulmethode, die gewöhnliche Zahlen dividiert – „Spalte“! Ich habe diese Methode in den ersten Beispielen der Lektion ausführlich besprochen. Komplexe Grenzen, und jetzt schauen wir uns eine andere Methode an, die aufgerufen wird Horner-Schema.

Zuerst schreiben wir das „höchste“ Polynom mit allen , einschließlich Nullkoeffizienten:
, danach tragen wir diese Koeffizienten (strikt der Reihe nach) in die oberste Zeile der Tabelle ein:

Wir schreiben die Wurzel links:

Ich möchte sofort einen Vorbehalt anbringen, dass Horners Schema auch funktioniert, wenn die „rote“ Zahl vorliegt Nicht ist die Wurzel des Polynoms. Lassen Sie uns jedoch nichts überstürzen.

Wir entfernen den führenden Koeffizienten von oben:

Der Vorgang des Füllens der unteren Zellen erinnert ein wenig an das Sticken, wobei „minus eins“ eine Art „Nadel“ ist, die die nachfolgenden Schritte durchdringt. Wir multiplizieren die „heruntergetragene“ Zahl mit (–1) und addieren die Zahl aus der oberen Zelle zum Produkt:

Wir multiplizieren den gefundenen Wert mit der „roten Nadel“ und addieren zum Produkt den folgenden Gleichungskoeffizienten:

Und schließlich wird der resultierende Wert noch einmal mit der „Nadel“ und dem oberen Koeffizienten „verarbeitet“:

Die Null in der letzten Zelle sagt uns, dass das Polynom geteilt wird ohne jede Spur (so wie es sein sollte), während die Ausdehnungskoeffizienten direkt aus der unteren Zeile der Tabelle „entfernt“ werden:

Somit sind wir von der Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung übergegangen und mit den beiden verbleibenden Wurzeln ist alles klar (in diesem Fall erhalten wir konjugierte komplexe Wurzeln).

Die Gleichung lässt sich übrigens auch grafisch lösen: Plot "Blitz" und sehen Sie, dass der Graph die x-Achse schneidet () am Punkt . Oder der gleiche „listige“ Trick: Wir schreiben die Gleichung in der Form um, zeichnen Elementargraphen und ermitteln die „X“-Koordinate ihres Schnittpunkts.

Übrigens schneidet der Graph eines beliebigen Funktionspolynoms 3. Grades die Achse mindestens einmal, was bedeutet, dass die entsprechende Gleichung vorhanden ist wenigstens eins gültig Wurzel. Diese Tatsache gilt für jede Polynomfunktion ungeraden Grades.

Und hier möchte ich auch noch näher darauf eingehen wichtiger Punkt was die Terminologie betrifft: Polynom Und Polynomfunktion – es ist nicht dasselbe! Aber in der Praxis spricht man beispielsweise oft vom „Graphen eines Polynoms“, was natürlich fahrlässig ist.

Kehren wir jedoch zu Horners Schema zurück. Wie ich kürzlich erwähnt habe, funktioniert dieses Schema für andere Nummern, aber wenn die Nummer Nicht ist die Wurzel der Gleichung, dann erscheint in unserer Formel eine Addition ungleich Null (Rest):

Lassen Sie uns den „erfolglosen“ Wert gemäß Horners Schema „durchlaufen“. In diesem Fall ist es praktisch, dieselbe Tabelle zu verwenden – schreiben Sie links eine neue „Nadel“ und verschieben Sie den führenden Koeffizienten von oben (linker grüner Pfeil), und los geht’s:

Um dies zu überprüfen, öffnen wir die Klammern und präsentieren ähnliche Begriffe:
, OK.

Es ist leicht zu erkennen, dass der Rest („sechs“) genau dem Wert des Polynoms bei entspricht. Und tatsächlich – wie ist es:
, und noch schöner - so:

Aus den obigen Berechnungen ist leicht zu verstehen, dass Horners Schema nicht nur die Faktorisierung des Polynoms, sondern auch eine „zivilisierte“ Auswahl der Wurzel ermöglicht. Ich schlage vor, dass Sie den Berechnungsalgorithmus selbst mit einer kleinen Aufgabe festigen:

Aufgabe 2

Finden Sie mithilfe des Horner-Schemas die ganzzahlige Wurzel der Gleichung und faktorisieren Sie das entsprechende Polynom

Mit anderen Worten, hier müssen Sie nacheinander die Zahlen 1, –1, 2, –2, ... prüfen, bis in der letzten Spalte ein Null-Rest „gezeichnet“ wird. Das bedeutet, dass die „Nadel“ dieser Linie die Wurzel des Polynoms ist

Es ist praktisch, die Berechnungen in einer einzigen Tabelle anzuordnen. Detaillierte Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Die Methode zur Auswahl von Wurzeln eignet sich für relativ einfache Fälle. Wenn die Koeffizienten und/oder der Grad des Polynoms jedoch groß sind, kann der Vorgang lange dauern. Oder gibt es vielleicht einige Werte aus derselben Liste 1, –1, 2, –2 und es macht keinen Sinn, darüber nachzudenken? Und außerdem kann es sein, dass die Wurzeln fraktioniert sind, was zu einem völlig unwissenschaftlichen Stochern führt.

Glücklicherweise gibt es zwei leistungsstarke Theoreme, die die Suche nach „Kandidatenwerten“ für rationale Wurzeln erheblich reduzieren können:

Satz 1 Lassen Sie uns überlegen irreduzibel Bruch, wo. Wenn die Zahl die Wurzel der Gleichung ist, wird der freie Term durch geteilt und der führende Koeffizient wird durch geteilt.

Insbesondere, wenn der führende Koeffizient ist, dann ist diese rationale Wurzel eine ganze Zahl:

Und wir beginnen, den Satz mit genau diesem leckeren Detail auszunutzen:

Kehren wir zur Gleichung zurück. Da sein führender Koeffizient ist, können hypothetische rationale Wurzeln ausschließlich ganzzahlig sein, und der freie Term muss notwendigerweise ohne Rest in diese Wurzeln geteilt werden. Und „drei“ kann nur in 1, –1, 3 und –3 unterteilt werden. Das heißt, wir haben nur 4 „Wurzelkandidaten“. Und laut Satz 1, andere rationale Zahlen können grundsätzlich keine Wurzeln dieser Gleichung sein.

Es gibt noch etwas mehr „Anwärter“ in der Gleichung: Der freie Term wird in 1, –1, 2, – 2, 4 und –4 unterteilt.

Bitte beachten Sie, dass die Zahlen 1, –1 „Stammzahlen“ in der Liste der möglichen Wurzeln sind (eine offensichtliche Konsequenz des Satzes) und die beste Wahl für vorrangige Tests.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen:

Problem 3

Lösung: Da der führende Koeffizient ist, können hypothetische rationale Wurzeln nur ganzzahlig sein und müssen notwendigerweise Teiler des freien Termes sein. „Minus vierzig“ wird in folgende Zahlenpaare unterteilt:
– insgesamt 16 „Kandidaten“.

Und hier taucht sofort ein verlockender Gedanke auf: Ist es möglich, alle negativen oder alle positiven Wurzeln auszumerzen? In manchen Fällen ist es möglich! Ich werde zwei Zeichen formulieren:

1) Wenn Alle Wenn die Koeffizienten des Polynoms nicht negativ sind, kann es keine positiven Wurzeln haben. Leider ist dies bei uns nicht der Fall (Wenn uns nun eine Gleichung gegeben würde – dann ja, wenn ein beliebiger Wert des Polynoms eingesetzt wird, ist der Wert des Polynoms streng positiv, was bedeutet, dass alle positiven Zahlen (und auch irrationale) können nicht die Wurzeln der Gleichung sein.

2) Wenn die Koeffizienten für ungerade Potenzen nicht negativ sind und für alle geraden Potenzen (einschließlich kostenlosem Mitglied) negativ sind, kann das Polynom keine negativen Wurzeln haben. Das ist unser Fall! Wenn Sie etwas genauer hinschauen, können Sie erkennen, dass beim Einsetzen eines negativen „X“ in die Gleichung die linke Seite streng negativ ist, was bedeutet, dass negative Wurzeln verschwinden

Somit bleiben noch 8 Zahlen zur Recherche übrig:

Wir „laden“ sie nacheinander nach Horners Schema auf. Ich hoffe, Sie beherrschen das Kopfrechnen bereits:

Beim Test der „Zwei“ erwartete uns Glück. Somit ist die Wurzel der betrachteten Gleichung und

Es bleibt die Gleichung zu studieren . Dies ist mithilfe der Diskriminanz leicht zu bewerkstelligen, ich werde jedoch einen indikativen Test nach dem gleichen Schema durchführen. Beachten wir zunächst, dass der freie Term gleich 20 ist, was bedeutet Satz 1 Die Zahlen 8 und 40 fallen aus der Liste der möglichen Wurzeln heraus und die Werte bleiben für die Forschung übrig (einer wurde nach Horners Schema eliminiert).

Wir schreiben die Koeffizienten des Trinoms in die oberste Zeile der neuen Tabelle und Wir beginnen mit den gleichen „zwei“ zu prüfen. Warum? Und weil die Wurzeln ein Vielfaches sein können, bitte: - Diese Gleichung hat 10 identische Wurzeln. Aber lassen wir uns nicht ablenken:

Und hier habe ich natürlich ein wenig gelogen, wohlwissend, dass die Wurzeln rational sind. Denn wenn sie irrational oder komplex wären, würde ich mit einer erfolglosen Überprüfung aller verbleibenden Zahlen konfrontiert sein. Lassen Sie sich daher in der Praxis von der Diskriminante leiten.

Antwort: rationale Wurzeln: 2, 4, 5

Bei dem von uns analysierten Problem hatten wir Glück, denn: a) die negativen Werte fielen sofort weg und b) wir fanden sehr schnell die Wurzel (und konnten theoretisch die gesamte Liste überprüfen).

Aber in Wirklichkeit ist die Situation noch viel schlimmer. Ich lade Sie ein, sich ein spannendes Spiel namens „The Last Hero“ anzusehen:

Problem 4

Finden Sie die rationalen Wurzeln der Gleichung

Lösung: Von Satz 1 Die Zähler hypothetischer rationaler Wurzeln müssen die Bedingung erfüllen (wir lesen „zwölf ist durch el geteilt“), und die Nenner – zur Bedingung . Auf dieser Grundlage erhalten wir zwei Listen:

„Liste el“:
und „list ähm“: (zum Glück sind die Zahlen hier natürlich).

Lassen Sie uns nun eine Liste aller möglichen Wurzeln erstellen. Zuerst teilen wir die „el-Liste“ durch . Es ist absolut klar, dass die gleichen Zahlen erzielt werden. Der Einfachheit halber stellen wir sie in eine Tabelle:

Viele Brüche wurden gekürzt, wodurch Werte entstanden, die bereits in der „Heldenliste“ stehen. Wir fügen nur „Neulinge“ hinzu:

Ebenso teilen wir dieselbe „Liste“ durch:

und endlich weiter

Damit ist das Teilnehmerteam unseres Spiels komplett:


Leider erfüllt das Polynom in diesem Problem nicht das Kriterium „positiv“ oder „negativ“ und daher können wir die obere oder untere Reihe nicht verwerfen. Sie müssen mit allen Zahlen arbeiten.

Wie ist Ihre Stimmung? Kopf hoch – es gibt noch einen weiteren Satz, den man im übertragenen Sinne den „Killersatz“ nennen kann…. ...„Kandidaten“, natürlich =)

Aber zuerst müssen Sie Horners Diagramm nach mindestens einem durchblättern das Ganze Zahlen. Nehmen wir traditionell eins. In die oberste Zeile schreiben wir die Koeffizienten des Polynoms und alles ist wie gewohnt:

Da vier eindeutig nicht Null ist, ist der Wert nicht die Wurzel des betreffenden Polynoms. Aber sie wird uns sehr helfen.

Satz 2 Wenn für einige Im Algemeinen Ist der Wert des Polynoms ungleich Null: , dann sind seine rationalen Wurzeln (wenn sie sind) die Bedingung erfüllen

In unserem Fall müssen daher alle möglichen Wurzeln die Bedingung erfüllen (nennen wir es Bedingung Nr. 1). Diese vier werden der „Killer“ vieler „Kandidaten“ sein. Zur Demonstration schaue ich mir ein paar Schecks an:

Lassen Sie uns den „Kandidaten“ überprüfen. Um dies zu tun, stellen wir es künstlich in Form eines Bruchs dar, aus dem deutlich hervorgeht, dass . Berechnen wir die Testdifferenz: . Vier wird durch „minus zwei“ geteilt: , was bedeutet, dass die mögliche Wurzel den Test bestanden hat.

Lassen Sie uns den Wert überprüfen. Hier ist der Testunterschied: . Natürlich, und deshalb bleibt auch das zweite „Thema“ auf der Liste.

Wenn ein Polynom

Nachweisen

Alle Koeffizienten des Polynoms seien ganze Zahlen und die ganze Zahl a sei die Wurzel dieses Polynoms. Denn in diesem Fall folgt, dass der Koeffizient durch a geteilt wird.

Kommentar. Dieser Satz ermöglicht es Ihnen tatsächlich, die Wurzeln von Polynomen höheren Grades zu finden, wenn die Koeffizienten dieser Polynome ganze Zahlen sind und die Wurzel eine rationale Zahl ist. Der Satz kann wie folgt umformuliert werden: Wenn wir wissen, dass die Koeffizienten eines Polynoms ganze Zahlen und seine Wurzeln rational sind, dann können diese rationalen Wurzeln nur die Form haben, bei der p ein Teiler der Zahl ist (freier Term) und Die Zahl q ist ein Teiler der Zahl (der führende Koeffizient).

Satz über ganzzahlige Wurzeln, enthaltend

Wenn die ganze Zahl α die Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist, dann ist α der Teiler seines freien Termes.

Nachweisen. Lassen:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und einer ganzen Zahl α als Wurzel.

Dann ist per Definition einer Wurzel die Gleichheit P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Wenn wir den gemeinsamen Faktor α aus den Klammern herausnehmen, erhalten wir die Gleichung:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , Wo

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Da die Zahlen a 0 , a 1 ,…a n-1 , an und α ganze Zahlen sind, steht in der Klammer eine ganze Zahl und daher ist a n durch α teilbar, was bewiesen werden musste.

Der bewährte Satz lässt sich auch wie folgt formulieren: Jede ganzzahlige Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler seines freien Termes.
Der Satz basiert auf einem Algorithmus zur Suche nach ganzzahligen Wurzeln eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten: Schreiben Sie alle Teiler des freien Termes auf und schreiben Sie nacheinander die Werte der Polynome dieser Zahlen auf.

2. Zusätzlicher Satz über ganzzahlige Wurzeln

Wenn eine ganze Zahl α die Wurzel eines Polynoms P(x) mit ganzzahligen Koeffizienten ist, dann ist α-1 ein Teiler der Zahl P(1), α+1 ist ein Teiler der Zahl P(-1)

Nachweisen. Von der Identität

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

Daraus folgt, dass für die ganzen Zahlen b und c die Zahl bⁿ-cⁿ durch b∙c teilbar ist. Aber für jedes Polynom P ist der Unterschied

P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

und daher wird für ein Polynom P mit ganzzahligen Koeffizienten und ganzen Zahlen b und c die Differenz P(b)-P(c) durch b-c geteilt.

Dann: für b = α, c = 1, P (α)-P (1) = -P(1), was bedeutet, dass P(1) durch α-1 geteilt wird. Der zweite Fall wird ähnlich behandelt.

Horner-Schema

Satz: Der irreduzible Bruch p/q sei die Wurzel der Gleichung a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 mit ganzzahligen Koeffizienten, dann die Zahl Q ist ein Teiler des führenden Koeffizienten a0 und der Zahl R ist ein Teiler des freien Termes a n.

Anmerkung 1. Jede ganzzahlige Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler ihres freien Termes.

Anmerkung 2.Wenn der führende Koeffizient einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten gleich 1 ist, dann sind alle rationalen Wurzeln, sofern vorhanden, ganzzahlig.

Wurzel eines Polynoms. Wurzel eines Polynoms f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n Ist x = c , so dass F (c)=0 .

Notiz 3. Wenn x = c Wurzel eines Polynoms , dann kann das Polynom geschrieben werden als: f(x)=(x−c)q(x) , Wo ist der Quotient eines Polynoms f(x) von monomial x - c

Die Division eines Polynoms durch ein Monom kann mit dem Horner-Schema erfolgen:

Wenn f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x−c , dann beim Teilen F (X) An G (X) Privat q(x) sieht aus wie q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Wo b 0 =a 0 ,

b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Rest R wird durch die Formel gefunden r=c b n − 1 +a n

Lösung: Der Koeffizient höchsten Grades ist 1, daher müssen die ganzzahligen Wurzeln der Gleichung unter den Teilern des freien Termes gesucht werden: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Mithilfe des Horner-Schemas finden wir die ganzzahligen Wurzeln der Gleichung:

Wenn eine Wurzel nach dem Horner-Schema ausgewählt wird. dann kannst du so weiter entscheiden x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3

Bei der Lösung von Gleichungen und Ungleichungen ist es oft notwendig, ein Polynom zu faktorisieren, dessen Grad drei oder höher ist. In diesem Artikel werden wir uns mit der einfachsten Möglichkeit befassen, dies zu tun.

Wie immer greifen wir zur Hilfe auf die Theorie zurück.

Satz von Bezout besagt, dass der Rest bei der Division eines Polynoms durch ein Binomial beträgt.

Aber was für uns wichtig ist, ist nicht der Satz selbst, sondern Folgerung daraus:

Wenn die Zahl die Wurzel eines Polynoms ist, dann ist das Polynom ohne Rest durch das Binomial teilbar.

Wir stehen vor der Aufgabe, irgendwie mindestens eine Wurzel des Polynoms zu finden und dann das Polynom durch zu dividieren, wobei die Wurzel des Polynoms ist. Als Ergebnis erhalten wir ein Polynom, dessen Grad um eins kleiner ist als der Grad des ursprünglichen Polynoms. Und dann können Sie den Vorgang bei Bedarf wiederholen.

Diese Aufgabe gliedert sich in zwei Teile: wie man die Wurzel eines Polynoms findet und wie man ein Polynom durch ein Binomial dividiert.

Schauen wir uns diese Punkte genauer an.

1. So finden Sie die Wurzel eines Polynoms.

Zuerst prüfen wir, ob die Zahlen 1 und -1 Wurzeln des Polynoms sind.

Dabei helfen uns folgende Fakten:

Wenn die Summe aller Koeffizienten eines Polynoms Null ist, dann ist die Zahl die Wurzel des Polynoms.

Beispielsweise ist in einem Polynom die Summe der Koeffizienten Null: . Es ist leicht zu überprüfen, was die Wurzel eines Polynoms ist.

Wenn die Summe der Koeffizienten eines Polynoms bei geraden Potenzen gleich der Summe der Koeffizienten bei ungeraden Potenzen ist, dann ist die Zahl die Wurzel des Polynoms. Der freie Term gilt als Koeffizient für einen geraden Grad, da a eine gerade Zahl ist.

Beispielsweise ist in einem Polynom die Summe der Koeffizienten für gerade Potenzen: , und die Summe der Koeffizienten für ungerade Potenzen ist: . Es ist leicht zu überprüfen, was die Wurzel eines Polynoms ist.

Wenn weder 1 noch -1 Wurzeln des Polynoms sind, fahren wir fort.

Für ein reduziertes Gradpolynom (d. h. ein Polynom, bei dem der führende Koeffizient – ​​der Koeffizient at – gleich eins ist) gilt die Vieta-Formel:

Wo liegen die Wurzeln des Polynoms?

Es gibt auch Vieta-Formeln bezüglich der übrigen Koeffizienten des Polynoms, aber diese hier interessiert uns.

Aus dieser Vieta-Formel folgt Folgendes Wenn die Wurzeln eines Polynoms ganze Zahlen sind, dann sind sie Teiler seines freien Termes, der ebenfalls eine ganze Zahl ist.

Basierend auf, Wir müssen den freien Term des Polynoms in Faktoren zerlegen und nacheinander, vom kleinsten zum größten, prüfen, welcher der Faktoren die Wurzel des Polynoms ist.

Betrachten Sie zum Beispiel das Polynom

Teiler des freien Termes: ; ; ;

Die Summe aller Koeffizienten des Polynoms ist gleich, daher ist die Zahl 1 nicht die Wurzel des Polynoms.

Summe der Koeffizienten für gerade Potenzen:

Summe der Koeffizienten für ungerade Potenzen:

Daher ist die Zahl -1 auch keine Wurzel des Polynoms.

Überprüfen wir, ob die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms ist: Daher ist die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms. Dies bedeutet, dass das Polynom nach dem Satz von Bezout durch ein Binomial ohne Rest teilbar ist.

2. Wie man ein Polynom in ein Binomial teilt.

Ein Polynom kann durch eine Spalte in ein Binomial unterteilt werden.

Teilen Sie das Polynom mithilfe einer Spalte durch ein Binomial:

Es gibt eine andere Möglichkeit, ein Polynom durch ein Binomial zu dividieren – das Horner-Schema.

Sehen Sie sich dieses Video an, um es zu verstehen wie man ein Polynom durch ein Binomial mit einer Spalte teilt und das Horner-Schema verwendet.

Ich stelle fest, dass wir, wenn bei der Division durch eine Spalte ein gewisser Grad der Unbekannten im ursprünglichen Polynom fehlt, stattdessen 0 schreiben – genauso wie beim Erstellen einer Tabelle für Horners Schema.

Wenn wir also ein Polynom durch ein Binomial dividieren müssen und als Ergebnis der Division ein Polynom erhalten, können wir die Koeffizienten des Polynoms mithilfe des Horner-Schemas ermitteln:

Wir können auch verwenden Horner-Schema um zu prüfen, ob eine gegebene Zahl die Wurzel eines Polynoms ist: Wenn die Zahl die Wurzel eines Polynoms ist, dann ist der Rest bei der Division des Polynoms durch gleich Null, also in der letzten Spalte der zweiten Zeile von Horner-Diagramm erhalten wir 0.

Mit Horners Schema schlagen wir „zwei Fliegen mit einer Klappe“: Wir prüfen gleichzeitig, ob die Zahl die Wurzel eines Polynoms ist und dividieren dieses Polynom durch ein Binomial.

Beispiel. Löse die Gleichung:

1. Schreiben wir die Teiler des freien Termes auf und suchen wir nach den Wurzeln des Polynoms unter den Teilern des freien Termes.

Teiler von 24:

2. Prüfen wir, ob die Zahl 1 die Wurzel des Polynoms ist.

Die Summe der Koeffizienten eines Polynoms, daher ist die Zahl 1 die Wurzel des Polynoms.

3. Teilen Sie das ursprüngliche Polynom mithilfe des Horner-Schemas in ein Binomial.

A) Schreiben wir die Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms in die erste Zeile der Tabelle.

Da der enthaltende Term fehlt, schreiben wir in die Spalte der Tabelle, in die der Koeffizient geschrieben werden soll, 0. Links schreiben wir die gefundene Wurzel: die Zahl 1.

B) Füllen Sie die erste Zeile der Tabelle aus.

In der letzten Spalte haben wir erwartungsgemäß Null erhalten; wir haben das ursprüngliche Polynom durch ein Binomial ohne Rest dividiert. Die Koeffizienten des aus der Division resultierenden Polynoms sind in der zweiten Zeile der Tabelle blau dargestellt:

Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Zahlen 1 und -1 keine Wurzeln des Polynoms sind

B) Fahren wir mit der Tabelle fort. Überprüfen wir, ob die Zahl 2 die Wurzel des Polynoms ist:

Der Grad des Polynoms, das sich aus der Division durch eins ergibt, ist also kleiner als der Grad des ursprünglichen Polynoms, daher sind die Anzahl der Koeffizienten und die Anzahl der Spalten um eins geringer.

In der letzten Spalte haben wir -40 erhalten - eine Zahl, die ungleich Null ist, daher ist das Polynom durch ein Binomial mit Rest teilbar und die Zahl 2 ist nicht die Wurzel des Polynoms.

C) Überprüfen wir, ob die Zahl -2 die Wurzel des Polynoms ist. Da der vorherige Versuch fehlschlug, werde ich, um Verwechslungen mit den Koeffizienten zu vermeiden, die diesem Versuch entsprechende Zeile löschen:

Großartig! Wir haben Null als Rest erhalten, daher wurde das Polynom in ein Binomial ohne Rest geteilt, daher ist die Zahl -2 die Wurzel des Polynoms. Die Koeffizienten des Polynoms, das man durch Division eines Polynoms durch ein Binomial erhält, sind in der Tabelle grün dargestellt.

Durch Division erhalten wir ein quadratisches Trinom , deren Wurzeln leicht mit dem Satz von Vieta gefunden werden können:

Die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung lauten also:

{}

Antwort: ( }