Eine normalverteilte Zufallsvariable hat einen mathematischen Erwartungswert. Normalverteilung einer Zufallsvariablen und die Drei-Sigma-Regel. „Drei-Sigma-Regel“

Das Gesetz der normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nimmt unter den verschiedenen theoretischen Gesetzen eine Sonderstellung ein, da es in vielen praktischen Studien von grundlegender Bedeutung ist. Es beschreibt die meisten zufälligen Phänomene, die mit Produktionsprozessen verbunden sind.

Zu den zufälligen Phänomenen, die dem Normalverteilungsgesetz gehorchen, gehören Messfehler von Produktionsparametern, die Verteilung technologischer Herstellungsfehler, die Höhe und das Gewicht der meisten biologischen Objekte usw.

Normal ist das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen, die durch eine Differentialfunktion beschrieben wird

a – mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen;

Standardabweichung einer Normalverteilung.

Der Graph der Differentialfunktion der Normalverteilung wird als Normalkurve (Gaußkurve) bezeichnet (Abb. 7).

Reis. 7 Gaußsche Kurve

Eigenschaften einer Normalkurve (Gaußkurve):

1. Die Kurve ist symmetrisch zur Geraden x = a;

2. Die Normalkurve liegt über der X-Achse, d. h. für alle Werte von X ist die Funktion f(x) immer positiv;

3. Die Ochsenachse ist die horizontale Asymptote des Diagramms, weil

4. Für x = a hat die Funktion f(x) ein Maximum gleich

,

an den Punkten A und B und die Kurve hat Wendepunkte, deren Ordinaten gleich sind.

Gleichzeitig beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der absolute Wert der Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung die Standardabweichung nicht überschreitet, 0,6826.

an den Punkten E und G ist für und der Wert der Funktion f(x) gleich

und die Wahrscheinlichkeit, dass der absolute Wert der Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert das Doppelte der Standardabweichung nicht überschreitet, beträgt 0,9544.

Bei asymptotischer Annäherung an die x-Achse nähert sich die Gaußsche Kurve an den Punkten C und D, bei und der x-Achse sehr nahe an. An diesen Punkten ist der Wert der Funktion f(x) sehr klein

und die Wahrscheinlichkeit, dass der absolute Wert der Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert das Dreifache der Standardabweichung nicht überschreitet, beträgt 0,9973. Diese Eigenschaft der Gaußschen Kurve heißt „ Drei-Sigma-Regel".

Wenn eine Zufallsvariable normalverteilt ist, überschreitet der Absolutwert ihrer Abweichung vom mathematischen Erwartungswert nicht das Dreifache der Standardabweichung.

Eine Änderung des Wertes des Parameters a (der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen) verändert nicht die Form der Normalenkurve, sondern führt nur zu ihrer Verschiebung entlang der X-Achse: nach rechts, wenn a zunimmt, und nach links, wenn a nimmt ab.

Wenn a=0, ist die Normalenkurve symmetrisch zur Ordinate.

Durch Ändern des Werts des Parameters (Standardabweichung) ändert sich die Form der Normalenkurve: Mit zunehmender Ordinate der Normalenkurve nehmen diese ab, die Kurve streckt sich entlang der X-Achse und wird dagegen gedrückt. Wenn sie abnimmt, erhöhen sich die Ordinaten der Normalkurve, die Kurve schrumpft entlang der X-Achse und wird „spitzer“.

Gleichzeitig bleibt für alle Werte die durch die Normalenkurve und die X-Achse begrenzte Fläche gleich eins (d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable einen auf der X-Achse der Normalenkurve begrenzten Wert annimmt). ist gleich 1).

Normalverteilung mit beliebigen Parametern und , d. h. beschrieben durch eine Differentialfunktion

angerufen allgemeine Normalverteilung.

Die Normalverteilung mit Parametern heißt normalisierte Verteilung(Abb. 8). In einer normalisierten Verteilung ist die Differentialverteilungsfunktion gleich:

Reis. 8 Normalisierte Kurve

Die Summenfunktion der allgemeinen Normalverteilung hat die Form:

Die Zufallsvariable X sei nach dem Normalgesetz im Intervall (c, d) verteilt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen zum Intervall (c, d) gehörenden Wert annimmt, gleich

Beispiel. Die Zufallsvariable X ist nach dem Normalgesetz verteilt. Der mathematische Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Zufallsvariablen sind gleich a=30 und . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert im Intervall (10, 50) annimmt.

Nach Bedingung: . Dann

Unter Verwendung vorgefertigter Laplace-Tabellen (siehe Anhang 3) haben wir.

) spielt eine besonders wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie und wird am häufigsten zur Lösung praktischer Probleme verwendet. Sein Hauptmerkmal ist, dass es sich um ein Grenzgesetz handelt, dem sich andere Verteilungsgesetze unter sehr häufigen typischen Bedingungen annähern. Beispielsweise gehorcht die Summe einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger (oder schwach abhängiger) Zufallsvariablen ungefähr dem Normalgesetz, und dies gilt umso genauer, je mehr Zufallsvariablen summiert werden.

Es wurde experimentell nachgewiesen, dass Messfehler, Abweichungen in den geometrischen Abmessungen und der Lage von Bauwerkselementen während ihrer Herstellung und Installation sowie Schwankungen in den physikalischen und mechanischen Eigenschaften von Materialien und auf Bauwerke einwirkenden Lasten dem Normalgesetz unterliegen.

Fast alle Zufallsvariablen unterliegen der Gaußschen Verteilung, deren Abweichung von den Durchschnittswerten durch eine große Menge von Zufallsfaktoren verursacht wird, von denen jeder einzeln unbedeutend ist (zentraler Grenzwertsatz).

Normalverteilung ist die Verteilung einer zufälligen kontinuierlichen Variablen, für die die Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat (Abb. 18.1).

Reis. 18.1. Normalverteilungsgesetz bei 1< a 2 .

(18.1)

wobei a und Verteilungsparameter sind.

Die probabilistischen Eigenschaften einer nach dem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen sind gleich:

Mathematische Erwartung (18.2)

Varianz (18.3)

Standardabweichung (18,4)

Asymmetriekoeffizient A = 0(18.5)

Überschuss E= 0. (18.6)

Der in der Gaußschen Verteilung enthaltene Parameter σ ist gleich dem mittleren Quadratverhältnis der Zufallsvariablen. Größe A bestimmt die Lage des Verteilzentrums (siehe Abb. 18.1) und den Wert A— Verteilungsbreite (Abb. 18.2), d.h. statistische Streuung um den Durchschnittswert.

Reis. 18.2. Normalverteilungsgesetz bei σ 1< σ 2 < σ 3

Die Wahrscheinlichkeit, in ein bestimmtes Intervall (von x 1 bis x 2) für eine Normalverteilung zu fallen, wird wie in allen Fällen durch das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte (18.1) bestimmt, das nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt wird und durch dargestellt wird eine spezielle Funktion namens Laplace-Funktion (Wahrscheinlichkeitsintegral).

Eine der Darstellungen des Wahrscheinlichkeitsintegrals:

Größe Und angerufen Quantil

Es ist ersichtlich, dass Ф(х) eine ungerade Funktion ist, d. h. Ф(-х) = -Ф(х) . Die Werte dieser Funktion werden berechnet und in Tabellenform in der Fach- und Bildungsliteratur dargestellt.

Die Verteilungsfunktion des Normalgesetzes (Abb. 18.3) kann durch das Wahrscheinlichkeitsintegral ausgedrückt werden:

Reis. 18.2. Normalverteilungsfunktion.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine nach einem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable in das Intervall von fällt X. zu x, wird durch den Ausdruck bestimmt:

Es ist darauf hinzuweisen, dass

Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.

Bei der Lösung praktischer Probleme im Zusammenhang mit der Verteilung ist es oft notwendig, die Wahrscheinlichkeit zu berücksichtigen, in ein Intervall zu fallen, das in Bezug auf die mathematische Erwartung symmetrisch ist, wenn die Länge dieses Intervalls, d.h. Wenn das Intervall selbst eine Grenze von bis hat, gilt:

Bei der Lösung praktischer Probleme werden die Grenzen der Abweichungen von Zufallsvariablen durch den Standard, die Standardabweichung, multipliziert mit einem bestimmten Faktor ausgedrückt, der die Grenzen des Abweichungsbereichs der Zufallsvariablen bestimmt.

Unter Verwendung der Formel (18.10) und der Tabelle Ф(х) (Anhang Nr. 1) erhalten wir

Diese Formeln zeigen dass, wenn eine Zufallsvariable eine Normalverteilung aufweist, die Wahrscheinlichkeit ihrer Abweichung von ihrem Durchschnittswert um nicht mehr als σ 68,27 %, um nicht mehr als 2σ 95,45 % und um nicht mehr als 3σ - 99,73 % beträgt.

Da der Wert von 0,9973 nahe bei Eins liegt, gilt es als praktisch unmöglich, dass die Normalverteilung einer Zufallsvariablen um mehr als 3σ von der mathematischen Erwartung abweicht. Diese Regel, die nur für die Normalverteilung gilt, wird Drei-Sigma-Regel genannt. Ein Verstoß dagegen ist wahrscheinlich P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Diese Regel wird bei der Festlegung der Grenzen zulässiger Abweichungen der Toleranzen der geometrischen Eigenschaften von Produkten und Strukturen verwendet.

Das Normalverteilungsgesetz ist in der Praxis am häufigsten anzutreffen. Das Hauptmerkmal, das es von anderen Gesetzen unterscheidet, besteht darin, dass es ein Grenzgesetz ist, dem sich andere Gesetze der Verteilung unter sehr häufigen typischen Bedingungen nähern (siehe Kapitel 6).

Definition. Eine kontinuierliche Zufallsvariable X hatNormalverteilungsgesetz (Gaußsches Gesetz)mit Parametern a und eine 2, wenn seine Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat

Der Begriff „normal“ ist nicht ganz angemessen. Viele Zeichen gehorchen dem Normalgesetz, zum Beispiel die Körpergröße einer Person, die Reichweite eines Projektils usw. Wenn jedoch ein Merkmal einem vom Normalgesetz abweichenden Verteilungsgesetz folgt, bedeutet dies keineswegs, dass das mit diesem Merkmal verbundene Phänomen „abnormal“ ist.

Die Normalverteilungskurve heißt normal, oder Gauß, krumm. In Abb. 4.6, A, 6 Gegeben ist die Normalkurve fd, (x) mit den Parametern yio 2, d.h. Ich[a] a 2) und der Graph der Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X, was ein Normalgesetz hat. Achten wir darauf, dass die Normalkurve symmetrisch zur Geraden ist x = ein, hat an diesem Punkt ein Maximum X= A,

gleich , d.h.

Und zwei Wendepunkte x = a±

mit Ordinate

Es ist zu beachten, dass im Dichteausdruck nach dem Normalgesetz die Parameter durch Buchstaben angegeben werden A und st 2, mit dem wir die mathematische Erwartung bezeichnen M(X) und Varianz OH). Dieser Zufall ist kein Zufall. Betrachten wir einen Satz, der die probabilistische theoretische Bedeutung der Parameter des Normalgesetzes festlegt.

Satz. Der mathematische Erwartungswert einer nach einem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen X ist gleich dem Parameter a dieses Gesetzes, diese.

A seine Streuung - zum Parameter a 2, d.h.

Erwartung einer Zufallsvariablen X:

Ändern wir die Variable durch Setzen

Dann Die Grenzen der Integration ändern sich nicht

und deshalb

(Das erste Integral ist gleich Null als Integral einer ungeraden Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Ursprung ist, und das zweite Integral - Euler-Poisson-Integral).

Varianz einer Zufallsvariablen X:

Nehmen wir die gleiche Änderung der Variablen vor x = a + o^2 t, wie bei der Berechnung des vorherigen Integrals. Dann

Wenn wir die Methode der partiellen Integration anwenden, erhalten wir

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Normalkurve ändert, wenn sich die Parameter ändern A und mit 2 (oder a). Wenn a = const, ändert sich der Parameter a (a x a 3), d.h. das Symmetriezentrum der Verteilung, dann verschiebt sich die Normalkurve entlang der Abszissenachse, ohne ihre Form zu ändern (Abb. 4.7).

Wenn a = const und der Parameter a 2 (oder a) ändert sich, dann ändert sich die Ordinate

Kurvenmaximum Die Ordinate zeigt mit steigender Tendenz das Maximum

die Kurve nimmt ab, aber da die Fläche unter jeder Verteilungskurve gleich eins bleiben muss, wird die Kurve flacher und erstreckt sich entlang der x-Achse; beim Abnehmen su, im Gegenteil, die Normalkurve erstreckt sich nach oben, während sie gleichzeitig von den Seiten her komprimiert wird. In Abb. Abbildung 4.8 zeigt Normalkurven mit den Parametern a 1 (o 2 und a 3, wobei o, A(auch bekannt als mathematische Erwartung) charakterisiert die Position des Zentrums und Parameter a 2 (auch bekannt als Dispersion) charakterisiert die Form der Normalkurve.

Normalverteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X mit Parametern A= 0, st 2 = 1, d.h. X ~ N( 0; 1), genannt Standard oder normalisiert und die entsprechende Normalkurve ist Standard oder normalisiert.

Die Schwierigkeit, die Verteilungsfunktion einer nach dem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen nach Formel (3.23) und die Wahrscheinlichkeit, dass sie auf ein bestimmtes Intervall nach Formel (3.22) fällt, direkt zu finden, hängt damit zusammen, dass das Integral der Funktion (4.26) ist in Elementarfunktionen „uneinbringlich“. Daher werden sie durch die Funktion ausgedrückt

- Funktion (Wahrscheinlichkeitsintegral) Laplace, für die die Tabellen erstellt wurden. Erinnern wir uns daran, dass wir der Laplace-Funktion bereits bei der Betrachtung des Moivre-Laplace-Integralsatzes begegnet sind (siehe Abschnitt 2.3). Dort wurden auch seine Eigenschaften besprochen. Geometrisch stellt die Laplace-Funktion Ф(.с) die Fläche unter der Standardnormalenkurve auf dem Segment dar [-X; X] (Abb. 4.9) 1 .

Reis. 4.10

Reis. 4.9

Satz. Die Verteilungsfunktion einer nach dem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen X wird durch die Laplace-Funktion ausgedrücktФ(х) gemäß der Formel

Nach Formel (3.23) lautet die Verteilungsfunktion:

Nehmen wir eine Änderung der Variablen vor und setzen sie auf X-> -oo? -» -00 also

1 Neben dem Wahrscheinlichkeitsintegral der Form (4.29), das die Funktion Ф(х) darstellt, werden seine Ausdrücke in der Literatur auch in Form anderer tabellarischer Funktionen verwendet:

Darstellung der Jodflächen der Standardnormalkurve jeweils in den Intervallen (0; x], (-oo; x], [-x>/2; Chl/2 .

Erstes Integral

(aufgrund der Parität des Integranden und der Tatsache, dass das Euler-Poisson-Integral gleich ist [Zu).

Das zweite Integral unter Berücksichtigung der Formel (4.29) ist

Geometrisch stellt die Verteilungsfunktion die Fläche unter der Normalkurve im Intervall (-co, x) dar (Abb. 4.10). Wie wir sehen, besteht es aus zwei Teilen: dem ersten im Intervall (-oo, A), gleich 1/2, d.h. die Hälfte der gesamten Fläche unter der Normalkurve und die zweite im Intervall (i, x),

gleich

Betrachten wir die Eigenschaften einer nach einem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen.

1. Die Wahrscheinlichkeit, eine nach einem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable X zu treffen, ist V Intervall[x 1(x 2 ], gleich

Bedenkt man, dass gemäß Eigenschaft (3.20) die Wahrscheinlichkeit P(x,

wobei und Г 2 durch Formel (4.33) bestimmt werden (Abb. 4.11). ?

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung einer nach einem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen X vom mathematischen Erwartungswert a den Wert nicht überschreitet A > 0 ( im absoluten Wert) ist gleich

und auch die Kuriositätseigenschaft der Laplace-Funktion erhalten wir

Wo? =D/o (Abb. 4.12). ?

In Abb. 4.11 und 4.12 liefern eine geometrische Interpretation der Eigenschaften des Normalgesetzes.

Kommentar. Besprochen in Kap. 2 Die ungefähre Integralformel von Moivre - Laplace (2.10) folgt aus der Eigenschaft (4.32) einer normalverteilten Zufallsvariablen bei x ( = a, x 2 = b ) a = pr Und Also

als binomiales Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X = t mit Parametern P Und R, für die diese Formel erhalten wurde, mit n -> OS tendiert zum Normalgesetz (siehe Kapitel 6).

Ähnlich sind die Konsequenzen (2.13), (2.14) und (2.16) der Moivre-Laplace-Integralformel für die Zahl X = t Eintreten eines Ereignisses in P unabhängige Tests und deren Häufigkeit t/n folgen aus den Eigenschaften (4.32) und (4.34) des Normalgesetzes.

Berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten mit der Formel (4.34) P(X-a e) bei verschiedenen Werten von D (wir verwenden Tabelle II der Anhänge). Wir bekommen

Daher kommt die „Drei-Sigma-Regel“.

Wenn eine Zufallsvariable X ein Normalverteilungsgesetz mit den Parametern a hat und eine 2, d.h. M(a; ein 2), dann ist es fast sicher, dass seine Werte im Intervall liegen(a - Für, A+ Für).

Verstoß gegen die „Drei-Sigma-Regel“, d.h. Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen X mehr als 3 (aber absoluter Wert) ist ein nahezu unmögliches Ereignis, da seine Wahrscheinlichkeit sehr gering ist:

Beachten Sie, dass die Abweichung D in, bei welcher , angerufen

wahrscheinliche Abweichung. Für das Normalgesetz D in « 0,675a, d.h. pro Intervall (A - 0,675a, A+ 0,675a) macht die Hälfte der Gesamtfläche unter der Normalkurve aus.

Lassen Sie uns den Schiefekoeffizienten und die Kurtosis einer Zufallsvariablen ermitteln X, nach einem Normalgesetz verteilt.

Offensichtlich aufgrund der Symmetrie der Normalenkurve relativ zur Vertikalen x = ein, auf dem Weg durch das Distributionszentrum a = M(X), Asymmetriekoeffizient der Normalverteilung A = 0.

Kurtosis einer normalverteilten Zufallsvariablen X wir finden mit der Formel (3.37), d.h.

wobei wir berücksichtigt haben, dass das Zentralmoment 4. Ordnung, gefunden durch Formel (3.30) unter Berücksichtigung der Definition (4.26), d.h.

(Wir lassen die Berechnung des Integrals weg).

Auf diese Weise, die Kurtosis einer Normalverteilung ist Null und die Steilheit anderer Verteilungen wird im Verhältnis zur Normalverteilung bestimmt (wir haben dies bereits in Abschnitt 3.7 erwähnt).

O Beispiel 4.9. Unter der Annahme, dass die Körpergröße von Männern einer bestimmten Altersgruppe eine normalverteilte Zufallsvariable ist X mit Parametern A= 173 und a 2 =36:

• 1) Finden Sie: a) den Ausdruck der Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X; b) die Anteile der Anzüge der 4. Körpergröße (176–182 cm) und 3. Körpergröße (170–176 cm), die an der Gesamtproduktionsmenge für eine bestimmte Altersgruppe bereitgestellt werden müssen; c) Quantil x 07 und der 10 %-Punkt der Zufallsvariablen X.
• 2) Formulieren Sie die „Drei-Sigma-Regel“ für eine Zufallsvariable X. Lösung. 1, a) Mit den Formeln (4.26) und (4.30) schreiben wir

1, b) Der Anteil der Anzüge der 4. Körpergröße (176-182 cm) am Gesamtproduktionsvolumen wird nach Formel (4.32) als Wahrscheinlichkeit ermittelt

(Abb. 4.14), da nach Formeln (4.33)

Der Anteil der Anzüge der 3. Körpergröße (170-176 cm) könnte ähnlich wie mit Formel (4.32) bestimmt werden, einfacher ist dies jedoch mit Formel (4.34), da dieses Intervall symmetrisch im Hinblick auf die mathematische Erwartung ist A = M(X) = 173, d.h. Ungleichung 170 X X -173|

(siehe Abb. 4.14;.

1, c) Quantil x 07(siehe Abschnitt 3.7) Zufallsvariable X wir finden aus Gleichung (3.29) unter Berücksichtigung der Formel (4.30):

Wo

Laut Tabelle Wir finden 11 Bewerbungen ICH- 0,524 und

Das bedeutet, dass 70 % der Männer dieser Altersgruppe bis zu 176 cm groß sind.

• Der 10 %-Punkt ist das Ego-Quantil x 09 = 181 cm (ähnlich gelegen), d.h. 10 % der Männer sind mindestens 181 cm groß.
• 2) Es ist fast sicher, dass die Körpergröße der Männer in dieser Altersgruppe innerhalb der Grenzen von liegt A- Z = 173 - 3 6 = 155 to ein + Zet = 173 + 3 - 6 = = 191 (cm), d.h. 155

  Aufgrund der zu Beginn des Abschnitts (und in Kapitel 6) erwähnten Merkmale des Normalverteilungsgesetzes nimmt es einen zentralen Platz in der Theorie und Praxis probabilistischer statistischer Methoden ein. Die große theoretische Bedeutung des Normalgesetzes besteht darin, dass mit seiner Hilfe eine Reihe wichtiger Verteilungen erhalten werden, die im Folgenden diskutiert werden.

  • Pfeile in Abb. In den Abb. 4.11-4.13 sind die konventionellen Flächen und die entsprechenden Zahlen unter der Normalkurve markiert.
  • Die Werte der Laplace-Funktion Ф(х) werden aus der Tabelle ermittelt. II-Anwendungen.

Zufälliger Wert X hat eine Normalverteilung (oder Gaußsche Verteilung), wenn seine Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat:
,
Wo sind die Parameter? A– jede reelle Zahl und σ >0.
Der Graph der Diffewird als Normalkurve (Gaußsche Kurve) bezeichnet. Die Normalkurve (Abb. 2.12) ist symmetrisch zur Geraden X =A, hat eine maximale Ordinate und an Punkten X = A± σ – Flexion.

Reis. 2.12
Es wurde nachgewiesen, dass der Parameter A ist der mathematische Erwartungswert (auch Modus und Median) und σ ist die Standardabweichung. Die Schiefe- und Kurtosis-Koeffizienten für eine Normalverteilung sind gleich Null: Als = Ex = 0.
Lassen Sie uns nun feststellen, welche Auswirkungen die Änderung der Parameter hat A und σ sieht aus wie eine normale Kurve. Beim Ändern eines Parameters A die Form der Normalkurve ändert sich nicht. Wenn in diesem Fall der mathematische Erwartungswert (Parameter A) verringert oder vergrößert, verschiebt sich der Graph der Normalkurve nach links oder rechts (Abb. 2.13).
Wenn sich der Parameter σ ändert, ändert sich die Form der Normalkurve. Wenn dieser Parameter zunimmt, verringert sich der Maximalwert der Funktion und umgekehrt. Da die Fläche durch die Verteilungskurve und die Achse begrenzt ist Oh, muss konstant und gleich 1 sein, dann nähert sich die Kurve mit zunehmendem Parameter σ der Achse Oh und erstreckt sich entlang dieser, und mit einer Abnahme von σ zieht sich die Kurve zu einer geraden Linie zusammen X = A(Abb. 2.14).

Reis. 2.13 Abb. 2.14
Normalverteilungsdichtefunktion φ( X) mit Parametern A= 0, σ = 1 heißt Dichte der Standardnormal-Zufallsvariablen , und sein Diagramm ist eine Standard-Gaußsche Kurve.
Die Dichtefunktion eines normalen Standardwerts wird durch die Formel bestimmt und ihr Diagramm ist in Abb. dargestellt. 2.15.
Aus den Eigenschaften der mathematischen Erwartung und Streuung folgt für die Größe: D(U)=1, M(U) = 0. Daher kann die Standardnormalkurve als Verteilungskurve der Zufallsvariablen betrachtet werden, wobei X– eine dem Normalverteilungsgesetz unterliegende Zufallsvariable mit Parametern A und σ.
Das Normalverteilungsgesetz einer Zufallsvariablen in Integralform hat die Form
(2.10)
Durch Einsetzen des Integrals (3.10) erhalten wir
,
Wo . Der erste Term ist gleich 1/2 (die Hälfte der Fläche des in Abb. 3.15 gezeigten gebogenen Trapezes). Zweites Semester
(2.11)
angerufen Laplace-Funktion , sowie das Wahrscheinlichkeitsintegral.
Da das Integral in Formel (2.11) nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt wird, wird es zur Vereinfachung der Berechnungen kompiliert z≥ 0 Laplace-Funktionstabelle. Berechnung der Laplace-Funktion für negative Werte z, ist es notwendig, die Ungeradheit der Laplace-Funktion auszunutzen: Ф(– z) = – Ф( z). Endlich erhalten wir die Berechnungsformel

Daraus erhalten wir das für eine Zufallsvariable X Gemäß dem Normalgesetz beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es auf das Segment [α, β] fällt
(2.12)
Mit der Formel (2.12) ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, dass der Abweichungsmodul der Normalverteilung der Größe ist X von seinem Vertriebszentrum aus A weniger als 3σ. Wir haben
P(| X – A| < 3 s) =P(A–3 s< X< A+3 s)= Ф(3) – Ф(–3) = 2Ф(3) »0,9973.
Der Wert von Ф(3) wurde aus der Laplace-Funktionstabelle ermittelt.
Es wird allgemein angenommen, dass es sich um ein Ereignis handelt praktisch zuverlässig , wenn seine Wahrscheinlichkeit nahe bei Eins liegt, und praktisch unmöglich, wenn seine Wahrscheinlichkeit nahe bei Null liegt.
Wir haben das sogenannte Drei-Sigma-Regel : für Normalverteilungsereignis (| X–A| < 3σ) практически достоверно.
Die Drei-Sigma-Regel kann anders formuliert werden: Obwohl die normale Zufallsvariable entlang der gesamten Achse verteilt ist X, der Bereich seiner praktisch möglichen Werte ist(A–3σ, A+3σ).
Die Normalverteilung weist eine Reihe von Eigenschaften auf, die sie zu einer der am häufigsten verwendeten Verteilungen in der Statistik machen.
Wenn es möglich ist, eine bestimmte Zufallsvariable als Summe einer ausreichend großen Anzahl anderer Zufallsvariablen zu betrachten, dann gehorcht diese Zufallsvariable normalerweise dem Normalverteilungsgesetz. Die summierbaren Zufallsvariablen können beliebigen Verteilungen gehorchen, allerdings muss die Bedingung ihrer Unabhängigkeit (oder schwachen Unabhängigkeit) erfüllt sein. Außerdem sollte sich keine der summierten Zufallsvariablen stark von den anderen unterscheiden, d. h. Jeder von ihnen sollte in der Gesamtheit ungefähr die gleiche Rolle spielen und im Vergleich zu anderen Größen keine außergewöhnlich große Streuung aufweisen.
Dies erklärt die weite Verbreitung der Normalverteilung. Sie tritt bei allen Phänomenen und Prozessen auf, bei denen die Streuung einer untersuchten Zufallsvariablen durch eine große Anzahl zufälliger Ursachen verursacht wird, deren Einfluss auf die Streuung einzeln vernachlässigbar ist.
Die meisten in der Praxis vorkommenden Zufallsvariablen (wie z. B. die Anzahl der Verkäufe eines bestimmten Produkts, Messfehler; Abweichung von Projektilen vom Ziel in Reichweite oder Richtung; Abweichung der tatsächlichen Abmessungen von auf einer Maschine bearbeiteten Teilen von die nominalen Abmessungen usw.) dargestellt werden kann, wird als Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen dargestellt, die einen gleichmäßig geringen Einfluss auf die Streuung der Summe haben. Solche Zufallsvariablen gelten als normalverteilt. Die Hypothese über die Normalität solcher Größen findet ihre theoretische Begründung im zentralen Grenzwertsatz und hat zahlreiche praktische Bestätigungen erhalten.
Stellen wir uns vor, dass ein bestimmtes Produkt in mehreren Einzelhandelsgeschäften verkauft wird. Aufgrund des zufälligen Einflusses verschiedener Faktoren wird die Anzahl der Warenverkäufe an jedem Standort leicht variieren, der Durchschnitt aller Werte nähert sich jedoch der tatsächlichen durchschnittlichen Anzahl der Verkäufe an.
Abweichungen der Anzahl der Verkäufe in jeder Filiale vom Durchschnitt bilden eine symmetrische Verteilungskurve, die der Normalverteilungskurve nahe kommt. Jeder systematische Einfluss eines Faktors wird sich in der Asymmetrie der Verteilung manifestieren.
Aufgabe. Die Zufallsvariable ist normalverteilt mit Parametern A= 8, σ = 3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable als Ergebnis des Experiments einen im Intervall (12,5; 14) enthaltenen Wert annimmt.
Lösung. Verwenden wir die Formel (2.12). Wir haben

Aufgabe. Anzahl der pro Woche verkauften Artikel einer bestimmten Art X kann als normalverteilt betrachtet werden. Mathematische Erwartung der Anzahl der Verkäufe Tausend Stück Die Standardabweichung dieser Zufallsvariablen beträgt σ = 0,8 Tausend Stück. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Woche 15.000 bis 17.000 Einheiten verkauft werden. Waren.
Lösung. Zufälliger Wert X normalverteilt mit Parametern A= M( X) = 15,7; σ = 0,8. Sie müssen die Wahrscheinlichkeit der Ungleichheit 15 ≤ berechnen X≤ 17. Mit Formel (2.12) erhalten wir

In der Praxis gehorchen die meisten Zufallsvariablen, die von einer großen Anzahl von Zufallsfaktoren beeinflusst werden, dem normalen Wahrscheinlichkeitsverteilungsgesetz. Daher ist dieses Gesetz in verschiedenen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie von besonderer Bedeutung.

Die Zufallsvariable $X$ gehorcht dem Normalverteilungsgesetz, wenn ihre Wahrdie folgende Form hat

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Der Graph der Funktion $f\left(x\right)$ ist in der Abbildung schematisch dargestellt und wird „Gaußsche Kurve“ genannt. Rechts in dieser Grafik ist die deutsche 10-Mark-Banknote zu sehen, die vor der Einführung des Euro verwendet wurde. Wenn Sie genau hinsehen, können Sie auf dieser Banknote die Gaußsche Kurve und ihren Entdecker, den größten Mathematiker Carl Friedrich Gauß, erkennen.

Kehren wir zu unserer Dichtefunktion $f\left(x\right)$ zurück und geben einige Erklärungen zu den Verteilungsparametern $a,\ (\sigma )^2$. Der Parameter $a$ charakterisiert das Streuungszentrum der Werte einer Zufallsvariablen, hat also die Bedeutung einer mathematischen Erwartung. Wenn sich der Parameter $a$ ändert und der Parameter $(\sigma )^2$ unverändert bleibt, können wir eine Verschiebung im Graphen der Funktion $f\left(x\right)$ entlang der Abszisse beobachten, während der Dichtegraph selbst verändert seine Form nicht.

Der Parameter $(\sigma )^2$ ist die Varianz und charakterisiert die Form der Dichtegraphenkurve $f\left(x\right)$. Wenn wir den Parameter $(\sigma )^2$ ändern, während der Parameter $a$ unverändert bleibt, können wir beobachten, wie der Dichtegraph seine Form ändert, indem er komprimiert oder gedehnt wird, ohne sich entlang der Abszissenachse zu bewegen.

Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt

Bekanntlich lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zufallsvariable $X$ in das Intervall $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ fällt, mit $P\left(\alpha berechnen< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Hier ist die Funktion $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ Laplace-Funktion. Die Werte dieser Funktion stammen aus . Folgende Eigenschaften der Funktion $\Phi \left(x\right)$ können beachtet werden.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, das heißt, die Funktion $\Phi \left(x\right)$ ist ungerade.

2 . $\Phi \left(x\right)$ ist eine monoton wachsende Funktion.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \Phi \ links(x\rechts)\ )=-0,5$.

Um die Werte der Funktion $\Phi \left(x\right)$ zu berechnen, können Sie auch den Funktions-$f_x$-Assistenten in Excel verwenden: $\Phi \left(x\right)=NORMVERT\left(x ;0;1;1\right )-0,5$. Berechnen wir zum Beispiel die Werte der Funktion $\Phi \left(x\right)$ für $x=2$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ in ein Intervall fällt, das symmetrisch zum mathematischen Erwartungswert $a$ ist, kann mit der Formel berechnet werden

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Drei-Sigma-Regel. Es ist fast sicher, dass eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ in das Intervall $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ fällt.

Beispiel 1 . Die Zufallsvariable $X$ unterliegt dem normalen Wahrmit den Parametern $a=2,\ \sigma =3$. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ in das Intervall $\left(0,5;1\right)$ fällt, und die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung $\left|X-a\right|< 0,2$.

Verwendung der Formel

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

wir finden $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3 ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \left(0.33\right)=0.191- 0,129 = 0,062 $.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Beispiel 2 . Nehmen wir an, dass der Aktienkurs eines bestimmten Unternehmens im Laufe des Jahres eine nach dem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable mit einem mathematischen Erwartungswert von 50 herkömmlichen Geldeinheiten und einer Standardabweichung von 10 ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies auf einer zufällig ausgewählten Tag des besprochenen Zeitraums beträgt der Preis für die Aktion:

a) mehr als 70 konventionelle Währungseinheiten?

b) unter 50 pro Aktie?

c) zwischen 45 und 58 konventionelle Geldeinheiten pro Aktie?

Die Zufallsvariable $X$ sei der Aktienkurs eines Unternehmens. Gemäß der Bedingung unterliegt $X$ einer Normalverteilung mit den Parametern $a=50$ – mathematischer Erwartungswert, $\sigma =10$ – Standardabweichung. Wahrscheinlichkeit $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ über (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$