Inverse Proportionalität eines Punktes. Umgekehrte Beziehung. Erste Ebene

1 Lektion zum Thema

Durchgeführt:

Telegina L.B.

Der Zweck der Lektion:

1. Wiederholen Sie den gesamten über Funktionen untersuchten Stoff.
2. Führen Sie die Definition der umgekehrten Proportionalität ein und lehren Sie, wie man ihren Graphen erstellt.
3. logisches Denken entwickeln.
4. kultivieren Sie Aufmerksamkeit, Genauigkeit und Genauigkeit.

Unterrichtsplan:

1. Wiederholung.
2. Erläuterung des neuen Materials.
3. Minute des Sportunterrichts.
4. Konsolidierung.

Ausstattung: Plakate.

Während des Unterrichts:

1. Der Unterricht beginnt mit der Wiederholung. Die Schüler werden gebeten, ein Kreuzworträtsel zu lösen (das zuvor auf einem großen Blatt Papier vorbereitet wurde).

Kreuzworträtselfragen:

1. Abhängigkeit zwischen Variablen, bei der jeder Wert der unabhängigen Variablen einem einzelnen Wert der abhängigen Variablen entspricht. [Funktion].

2. Unabhängige Variable. [Streit].

3. Die Menge der Punkte der Abszissenkoordinatenebene, die gleich den Werten des Arguments sind, und die Ordinaten sind gleich den Werten der Funktion. [Zeitplan].

4. Funktion gegeben durch die Formel y=kx+b. [Linear].

5. Wie heißt eine Zahl? k in der Formel y=kx+b? [Ecke].

6. Was ist der Graph einer linearen Funktion? [Gerade].

7. Wenn k≠0, dann schneidet der Graph y=kx+b diese Achse, und wenn k=0, dann ist er parallel dazu. Mit welchem ​​Buchstaben wird diese Achse bezeichnet? [X].

8. Das Wort im Namen der Funktion y=kx? [Verhältnismäßigkeit].

9. Funktion gegeben durch die Formel y=x 2. [Quadratisch].

10. Name des Graphen einer quadratischen Funktion. [Parabel].

11. Ein Buchstabe des lateinischen Alphabets, der oft eine Funktion bezeichnet. [Igrek].

12. Eine der Möglichkeiten, eine Funktion anzugeben. [Formel].

Lehrer : Was sind die wichtigsten Möglichkeiten, eine uns bekannte Funktion anzugeben?

(Ein Schüler erhält an der Tafel eine Aufgabe: Füllen Sie eine Wertetabelle der Funktion 12/x mit den angegebenen Werten ihres Arguments aus und zeichnen Sie dann die entsprechenden Punkte auf der Koordinatenebene ein.)

Der Rest beantwortet die Fragen des Lehrers: (die vorher an die Tafel geschrieben werden)

1. Wie heißen die folgenden durch Formeln gegebenen Funktionen: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Geben Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktionen an: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

Anschließend arbeiten die Schüler gemäß der Tabelle und beantworten die Fragen des Lehrers:

1. Welche Abbildung aus der Tabelle zeigt die Diagramme:

a) lineare Funktion;

b) direkte Verhältnismäßigkeit;

c) quadratische Funktion;

d) Funktionen der Form y=kx 3 ?

2. Welches Vorzeichen hat der Koeffizient k in Formeln der Form y=kx+b, die den Diagrammen in den Abbildungen 1, 2, 4, 5 der Tabelle entsprechen?

3. Suchen Sie in der Tabelle Diagramme linearer Funktionen, deren Steigungen sind:

a) gleich;

b) gleich groß und entgegengesetzt im Vorzeichen.

(Anschließend prüft die ganze Klasse, ob der an die Tafel gerufene Schüler die Tabelle richtig ausgefüllt und die Punkte auf der Koordinatenebene platziert hat.)

2. Die Erklärung beginnt mit der Motivation.

Lehrer: Wie Sie wissen, beschreibt jede Funktion einige Prozesse, die in der Welt um uns herum ablaufen.

Betrachten Sie zum Beispiel ein Rechteck mit Seiten x und y und Fläche 12 cm 2 . Es ist bekannt, dass x*y=12, aber was passiert, wenn Sie anfangen, eine der Seiten des Rechtecks ​​zu ändern, sagen wir eine Seite mit Länge? X?

Seitenlänge y kann aus der Formel y=12/x ermittelt werden. Wenn X um das Zweifache erhöhen, ergibt sich y=12/2x, d. h. Seite j wird um das Zweifache verringert. Wenn der Wert X Erhöhen Sie den Wert um das 3-, 4-, 5-fache j wird um den gleichen Betrag sinken. Im Gegenteil, wenn X dann mehrmals verringern j wird sich um den gleichen Betrag erhöhen. (Arbeiten Sie gemäß der Tabelle).

Daher wird eine Funktion der Form y=12/x als inverse Proportionalität bezeichnet. Im Allgemeinen wird es als y=k/x geschrieben, wobei k eine Konstante und k≠0 ist.

Dies ist das Thema der heutigen Lektion, wir haben es in unsere Notizbücher geschrieben. Ich gebe eine strenge Definition. Für die Funktion y=12/x, die eine Sonderform der umgekehrten Proportionalität darstellt, haben wir bereits einige Werte des Arguments und der Funktion in die Tabelle eingetragen und werden die entsprechenden Punkte auf der Koordinatenebene darstellen. Wie sieht der Graph dieser Funktion aus? Es ist schwierig, das gesamte Diagramm anhand der konstruierten Punkte zu beurteilen, da die Punkte auf beliebige Weise verbunden werden können. Versuchen wir gemeinsam, aus der Betrachtung der Tabelle und der Formel Rückschlüsse auf den Graphen einer Funktion zu ziehen.

Fragen an die Klasse:

1. Was ist der Definitionsbereich der Funktion y=12/x?
2. Sind y-Werte positiv oder negativ, wenn

a) x

b) x>0?

3. Wie sich der Wert einer Variablen ändert j mit wechselndem Wert X?

Also,

1. Punkt (0,0) gehört nicht zum Diagramm, d.h. es schneidet weder die OX- noch die OY-Achse;
2. der Graph ist in Ι- und ΙΙΙ-Koordinatenvierteln;
3. nähert sich sanft den Koordinatenachsen sowohl im Ι-Koordinatenviertel als auch im ΙΙΙ an und nähert sich den Achsen so nahe wie gewünscht.

Mit diesen Informationen können wir bereits die Punkte in der Abbildung verbinden (der Lehrer macht das selbst an der Tafel) und den gesamten Graphen der Funktion y=12/x sehen. Die resultierende Kurve wird Hyperbel genannt, was auf Griechisch „durch etwas hindurchgehen“ bedeutet. Diese Kurve wurde etwa im 4. Jahrhundert v. Chr. von Mathematikern der antiken griechischen Schule entdeckt. Der Begriff „Übertreibung“ wurde von Apollonius aus der Stadt Pergamon (Kleinasien) eingeführt, der im 6.-8. Jahrhundert lebte. Chr.

Nun erstellen wir neben dem Graphen der Funktion y=12/x einen Graphen der Funktion y=-12/x. (Die Schüler erledigen diese Aufgabe in Notizbüchern und ein Schüler an der Tafel).

Beim Vergleich beider Diagramme stellen die Schüler fest, dass das zweite 2 bzw. 4 Koordinatenviertel einnimmt. Wenn außerdem der Graph der Funktion y=12/x symmetrisch relativ zur Operationsverstärkerachse angezeigt wird, erhält man den Graphen der Funktion y=-12/x.

Frage: Wie hängt die Lage des Graphen der Hyperbel y=k/x vom Vorzeichen und dem Wert des Koeffizienten k ab?

Die Schüler sind davon überzeugt, dass sich der Graph in Ι befindet, wenn k>0 Und ΙΙΙ Koordinatenviertel, und wenn k

1. Der Sportunterricht wird vom Lehrer geleitet.

1. Die Vertiefung des Gelernten erfolgt beim Ausfüllen der Nr. 180, 185 aus dem Lehrbuch.

1. Die Lektion ist zusammengefasst, Noten, Hausaufgaben: S. 8 Nr. 179, 184.

Lektion 2 zum Thema

„Die Umkehrproportionalitätsfunktion und ihr Graph.“

Durchgeführt:

Telegina L.B.

Der Zweck der Lektion:

1. die Fähigkeit festigen, einen Graphen einer umgekehrten Proportionalitätsfunktion zu erstellen;
2. Interesse am Thema und logisches Denken entwickeln;
3. kultivieren Unabhängigkeit und Aufmerksamkeit.

Unterrichtsplan:

1. Überprüfung der Erledigung der Hausaufgaben.
2. Mündliche Arbeit.
3. Probleme lösen.
4. Minute des Sportunterrichts.
5. Mehrstufiges selbstständiges Arbeiten.
6. Zusammenfassung, Beurteilungen, Hausaufgaben.

Ausrüstung: Karten.

Während des Unterrichts:

1. Der Lehrer gibt das Unterrichtsthema, die Ziele und den Unterrichtsplan bekannt.

Anschließend ergänzen zwei Schüler die zugewiesenen Hausnummern 179, 184 an der Tafel.

1. Der Rest der Schüler arbeitet frontal und beantwortet die Fragen des Lehrers.

Fragen:

• Definieren Sie die Umkehrproportionalitätsfunktion.
• Was ist der Graph einer umgekehrten Proportionalitätsfunktion?
• Wie hängt die Lage des Graphen der Hyperbel y=k/x vom Wert des Koeffizienten k ab?

Aufgaben:

1. Zu den durch die Formeln spezifizierten Funktionen gehören die Funktionen der umgekehrten Proportionalität:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Benennen Sie für Funktionen mit umgekehrter Proportionalität den Koeffizienten und geben Sie an, in welchen Vierteln der Graph liegt.

3. Finden Sie den Definitionsbereich für Funktionen mit umgekehrter Proportionalität.

(Dann überprüfen die Schüler gegenseitig ihre Hausaufgaben mit einem Bleistift anhand der vom Lehrer überprüften Lösungen zu den Zahlen an der Tafel und geben eine Note).

Frontalarbeit nach Lehrbuch Nr. 190, 191, 192, 193 (mündlich).

1. Ausführung in Heften und an der Tafel aus Lehrbuch Nr. 186(b), 187(b), 182.

4. Eine Sportstunde wird vom Lehrer geleitet.

5. Unabhängige Arbeit wird in drei Varianten unterschiedlicher Komplexität angeboten (verteilt auf Karten).

Ι c. (Leicht).

Zeichnen Sie mithilfe der Tabelle einen Graphen der Umkehrproportionalitätsfunktion y=-6/x:

Finden Sie mithilfe der Grafik Folgendes:

a) der Wert von y, wenn x = - 1,5; 2;

b) der Wert von x, bei dem y = - 1; 4.

ΙΙ Jahrhundert (mittlerer Schwierigkeitsgrad)

Zeichnen Sie einen Graphen der Umkehrproportionalitätsfunktion y=16/x, nachdem Sie zunächst die Tabelle ausgefüllt haben.

Finden Sie anhand der Grafik heraus, bei welchen Werten xy >0.

ΙΙΙ Jahrhundert (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

Zeichnen Sie einen Graphen der Umkehrproportionalitätsfunktion y=10/x-2, nachdem Sie zunächst die Tabelle ausgefüllt haben.

Finden Sie den Definitionsbereich dieser Funktion.

(Die Schüler geben Blätter mit aufgezeichneten Diagrammen zum Testen ab.)

6. Fasst die Lektion, Bewertungen und Hausaufgaben zusammen: Nr. 186 (a), 187 (a).

Wiederholen wir die Theorie über Funktionen. Eine Funktion ist eine Regel, nach der jedes Element einer Menge (Argument) einem bestimmten ( der Einzige!) Element einer anderen Menge (Menge von Funktionswerten). Das heißt, wenn es eine Funktion gibt \(y = f(x)\) Dies bedeutet, dass für jeden gültigen Wert der Variablen \(X\)(das als „Argument“ bezeichnet wird) entspricht einem Wert der Variablen \(y\)(als „Funktion“ bezeichnet).

Funktion, die die inverse Abhängigkeit beschreibt

Dies ist eine Funktion des Formulars \(y = \frac(k)(x)\), Wo \(k\ne 0.\)

Anders ausgedrückt spricht man von umgekehrter Proportionalität: Eine Zunahme des Arguments führt zu einer proportionalen Abnahme der Funktion.
Definieren wir den Definitionsbereich. Was kann \(x\) sein? Oder mit anderen Worten: Womit kann es nicht gleich sein?

Die einzige Zahl, die nicht durch geteilt werden kann, ist 0, also \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

oder, was dasselbe ist:

\(D(y) = R\backslash \( 0\).\)

Diese Notation bedeutet, dass \(x\) jede Zahl außer 0 sein kann: Das Zeichen „R“ bezeichnet die Menge der reellen Zahlen, also aller möglichen Zahlen; das Zeichen „\“ zeigt den Ausschluss von etwas aus dieser Menge an (analog zum „Minus“-Zeichen), und die Zahl 0 in geschweiften Klammern bedeutet einfach die Zahl 0; Es stellt sich heraus, dass wir von allen möglichen Zahlen 0 ausschließen.

Es stellt sich heraus, dass die Menge der Funktionswerte genau die gleiche ist: Wenn \(k \ne 0.\) , dann funktioniert 0 nicht, egal durch was wir dividieren:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

oder \(E(y) = R\backslash \( 0\).\)

Einige Variationen der Formel sind ebenfalls möglich \(y = \frac(k)(x)\)​​. Zum Beispiel, \(y = \frac(k)((x + a))\)​​ist auch eine Funktion, die eine umgekehrte Beziehung beschreibt. Der Umfang und Wertebereich dieser Funktion ist wie folgt:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Lassen Sie uns überlegen Beispiel Reduzieren wir den Ausdruck auf die Form einer umgekehrten Beziehung:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3 ) + 5))((x - 3)).\)

Wir haben den Wert 3 künstlich in den Zähler eingeführt und dividieren nun Term für Term den Zähler durch den Nenner, so erhalten wir:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Wir haben die umgekehrte Beziehung plus die Zahl 1 erhalten.

Inverses Beziehungsdiagramm

Beginnen wir mit einem einfachen Fall \(y = \frac(1)(x).\)

Lassen Sie uns eine Wertetabelle erstellen:

Zeichnen wir Punkte auf der Koordinatenebene:

Verbinde die Punkte, die Grafik sieht so aus:

Dieser Graph heißt "Hyperbel". Eine Hyperbel hat wie eine Parabel zwei Äste, die jedoch nicht miteinander verbunden sind. Jeder von ihnen neigt dazu, seine Enden näher an die Achsen heranzuführen Ochse Und Oy, erreicht sie aber nie.

Beachten wir einige Merkmale der Funktion:

1. Wenn eine Funktion ein Minus vor dem Bruch hat, wird der Graph gespiegelt, d. h. er wird symmetrisch relativ zur Achse angezeigt Ochse.
2. Je größer die Zahl im Nenner ist, desto weiter „entfernt“ sich der Graph vom Ursprung.

Umgekehrte Abhängigkeit im Leben

Wo finden wir eine solche Funktion in der Praxis? Es gibt viele Beispiele. Am gebräuchlichsten ist die Bewegung: Je schneller wir uns bewegen, desto weniger Zeit brauchen wir, um die gleiche Strecke zurückzulegen. Erinnern wir uns an die Geschwindigkeitsformel:

\(v = \frac(S)(t),\)

Dabei ist v die Geschwindigkeit, t die Reisezeit und S die Entfernung (Weg).

Von hier aus können wir die Zeit ausdrücken: \(t = \frac(S)(v).\)

Erste Ebene

Umgekehrte Beziehung. Erste Ebene.

Jetzt werden wir über die umgekehrte Abhängigkeit oder mit anderen Worten über die umgekehrte Proportionalität als Funktion sprechen. Erinnern Sie sich, dass eine Funktion eine bestimmte Art von Abhängigkeit ist? Wenn Sie das Thema noch nicht gelesen haben, empfehle ich Ihnen dringend, alles stehen und liegen zu lassen und es zu lesen, denn Sie können keine bestimmte Funktion studieren, ohne zu verstehen, was sie ist – eine Funktion.

Es ist auch sehr nützlich, zwei einfachere Funktionen zu beherrschen, bevor Sie mit diesem Thema beginnen: und . Dort vertiefen Sie das Konzept einer Funktion und lernen, mit Koeffizienten und Diagrammen zu arbeiten.

Erinnern Sie sich, was eine Funktion ist?
Wiederholen wir: Eine Funktion ist eine Regel, nach der jedes Element einer Menge (Argument) einem bestimmten ( der Einzige!) Element einer anderen Menge (Menge von Funktionswerten). Das heißt, wenn Sie eine Funktion haben, bedeutet dies, dass es für jeden gültigen Wert einer Variablen (als „Argument“ bezeichnet) einen entsprechenden Wert einer Variablen (als „Funktion“ bezeichnet) gibt. Was bedeutet „akzeptabel“? Wenn Sie diese Frage nicht beantworten können, kehren Sie noch einmal zum Thema „“ zurück! Es steckt alles im Konzept "Domain": Für einige Funktionen sind nicht alle Argumente gleichermaßen nützlich und können in Abhängigkeiten eingesetzt werden. Beispielsweise sind für eine Funktion negative Argumentwerte nicht zulässig.

Funktion, die eine umgekehrte Beziehung beschreibt

Dies ist eine Funktion der Form where.

Anders ausgedrückt spricht man von umgekehrter Proportionalität: Eine Zunahme des Arguments führt zu einer proportionalen Abnahme der Funktion.
Definieren wir den Definitionsbereich. Was kann es sein? Oder mit anderen Worten: Womit kann es nicht gleich sein?

Die einzige Zahl, durch die man nicht teilen kann, ist daher:

oder, was ist dasselbe,

(Eine solche Notation bedeutet, dass es sich um eine beliebige Zahl handeln kann, außer: Das „ “-Zeichen bezeichnet die Menge der reellen Zahlen, also aller möglichen Zahlen; das „ “-Zeichen bezeichnet den Ausschluss von etwas aus dieser Menge (analog zum „Minus“) ”-Zeichen) und eine Zahl in geschweiften Klammern bedeutet nur eine Zahl; es stellt sich heraus, dass wir von allen möglichen Zahlen ausschließen).

Es stellt sich heraus, dass die Menge der Funktionswerte genau die gleiche ist: Denn wenn, dann wird es nicht funktionieren, egal durch was wir es dividieren:

Einige Variationen der Formel sind ebenfalls möglich. Dies ist beispielsweise auch eine Funktion, die einen umgekehrten Zusammenhang beschreibt.
Bestimmen Sie selbst den Definitionsbereich und Wertebereich dieser Funktion. Es sollte so aussehen:

Schauen wir uns diese Funktion an: . Ist es umgekehrt verwandt?

Auf den ersten Blick ist es schwer zu sagen: Denn bei einer Zunahme nehmen sowohl der Nenner des Bruchs als auch der Zähler zu, es ist also nicht klar, ob die Funktion abnimmt und wenn ja, wird sie proportional abnehmen? Um dies zu verstehen, müssen wir den Ausdruck so umwandeln, dass im Zähler keine Variable vorhanden ist:

Tatsächlich haben wir eine umgekehrte Beziehung erhalten, allerdings mit einer Einschränkung: .

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Hier ist es komplizierter: Schließlich heben sich Zähler und Nenner jetzt sicher nicht auf. Aber wir können es trotzdem versuchen:

Verstehst du, was ich getan habe? Im Zähler habe ich die gleiche Zahl addiert und subtrahiert (), sodass ich scheinbar nichts geändert habe, aber jetzt gibt es einen Teil im Zähler, der dem Nenner entspricht. Jetzt werde ich Term für Term dividieren, das heißt, ich werde diesen Bruch in die Summe zweier Brüche aufteilen:

(In der Tat, wenn wir das, was ich erhalten habe, auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir unseren Anfangsbruch):

Wow! Es funktioniert wieder umgekehrte Beziehung, erst jetzt wird eine Zahl hinzugefügt.
Diese Methode wird uns später beim Erstellen von Diagrammen sehr nützlich sein.

Verwandeln Sie nun die Ausdrücke selbst in eine umgekehrte Beziehung:

Antworten:

2. Hier müssen Sie sich merken, wie ein quadratisches Trinom faktorisiert wird (dies wird im Thema „“ ausführlich beschrieben). Ich möchte Sie daran erinnern, dass Sie dazu die Wurzeln der entsprechenden quadratischen Gleichung finden müssen: . Ich werde sie verbal finden, indem ich den Satz von Vieta verwende: , . Wie es gemacht wird? Sie können dies lernen, indem Sie das Thema lesen.
Also erhalten wir: , also:

3. Haben Sie bereits versucht, es selbst zu lösen? Was ist der Haken? Tatsache ist sicherlich, dass wir im Zähler und im Nenner haben – es ist einfach. Es ist kein Problem. Wir müssen um reduzieren, also sollten wir es im Zähler aus Klammern setzen (so dass wir es in Klammern ohne den Koeffizienten erhalten):

Inverses Beziehungsdiagramm

Beginnen wir wie immer mit dem einfachsten Fall: .
Machen wir eine Tabelle:

Zeichnen wir Punkte auf der Koordinatenebene:

Jetzt müssen sie reibungslos verbunden werden, aber wie? Es ist zu erkennen, dass die Punkte auf der rechten und linken Seite scheinbar unverbundene gekrümmte Linien bilden. Wie es ist. Das Diagramm sieht folgendermaßen aus:

Dieser Graph heißt "Hyperbel"(In diesem Namen steckt so etwas wie eine „Parabel“, oder?). Eine Hyperbel hat wie eine Parabel zwei Äste, die jedoch nicht miteinander verbunden sind. Jeder von ihnen strebt mit seinen Enden danach, näher an die Achsen heranzukommen, erreicht sie aber nie. Betrachtet man dieselbe Übertreibung aus der Ferne, erhält man folgendes Bild:

Das ist verständlich, da der Graph die Achse nicht kreuzen kann. Aber auch, damit der Graph niemals die Achse berührt.

Nun wollen wir sehen, welchen Einfluss die Koeffizienten haben. Betrachten wir diese Funktionen:
:

Wow, was für eine Schönheit!
Alle Diagramme sind in unterschiedlichen Farben dargestellt, um sie leichter voneinander unterscheiden zu können.

Worauf sollten wir also zuerst achten? Wenn eine Funktion beispielsweise ein Minus vor dem Bruch hat, wird der Graph gespiegelt, also symmetrisch relativ zur Achse angezeigt.

Zweitens: Je größer die Zahl im Nenner, desto weiter „entfernt“ sich der Graph vom Ursprung.

Was ist, wenn die Funktion beispielsweise komplexer aussieht?

In diesem Fall ist die Übertreibung genau die gleiche wie die übliche, nur dass sie sich ein wenig verschiebt. Überlegen wir mal, wo?

Was kann es jetzt nicht gleich sein? Rechts, . Das bedeutet, dass der Graph niemals eine gerade Linie erreichen wird. Womit kann es nicht gleich sein? Jetzt. Das bedeutet, dass der Graph nun zur Geraden tendiert, diese aber nie kreuzt. Nun spielen die Geraden also die gleiche Rolle wie die Koordinatenachsen für die Funktion. Solche Linien heißen Asymptoten(Linien, zu denen das Diagramm tendiert, die es aber nicht erreicht):

Wir werden im Thema mehr darüber erfahren, wie solche Diagramme aufgebaut sind.

Versuchen Sie nun, zur Festigung ein paar Beispiele zu lösen:

1. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion. Definieren.

2. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion. Definieren

3. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion. Definieren.

4. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion. Definieren.

5. Die Abbildung zeigt Diagramme von Funktionen und.

Wählen Sie das richtige Verhältnis:

Antworten:

Umgekehrte Abhängigkeit im Leben

Wo finden wir eine solche Funktion in der Praxis? Es gibt viele Beispiele. Am gebräuchlichsten ist die Bewegung: Je schneller wir uns bewegen, desto weniger Zeit brauchen wir, um die gleiche Strecke zurückzulegen. Erinnern wir uns tatsächlich an die Formel für Geschwindigkeit: , wo ist Geschwindigkeit, ist Reisezeit, ist Entfernung (Weg).

Von hier aus können wir die Zeit ausdrücken:

Beispiel:

Eine Person fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von km/h zur Arbeit und ist in einer Stunde dort. Wie viele Minuten verbringt er auf derselben Straße, wenn er mit einer Geschwindigkeit von km/h fährt?

Lösung:

Im Allgemeinen haben Sie solche Aufgaben bereits in der 5. und 6. Klasse gelöst. Sie haben den Anteil bestimmt:

Das heißt, das Konzept der umgekehrten Proportionalität ist Ihnen bereits bekannt. Also erinnerten wir uns. Und jetzt das Gleiche, nur auf erwachsene Art: durch eine Funktion.

Funktion (also Abhängigkeit) der Zeit in Minuten von der Geschwindigkeit:

Es ist also bekannt, dass:

Ich muss finden:

Überlegen Sie sich nun ein paar Beispiele aus dem Leben, in denen umgekehrte Proportionalität vorliegt.
Erfunden? Gut gemacht, wenn du das tust. Viel Glück!

UMGEKEHRTE ABHÄNGIGKEIT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

1. Definition

Funktion, die die inverse Abhängigkeit beschreibt ist eine Funktion der Form wo.

Anders ausgedrückt wird diese Funktion als umgekehrte Proportionalität bezeichnet, da eine Erhöhung des Arguments eine proportionale Verringerung der Funktion bewirkt.

oder, was ist dasselbe,

Der Umkehrgraph ist eine Hyperbel.

2. Koeffizienten und.

Verantwortlich für „Flachheit“ und Richtung des Diagramms: Je größer dieser Koeffizient ist, desto weiter liegt die Hyperbel vom Ursprung entfernt und „dreht“ sich daher weniger steil (siehe Abbildung). Das Vorzeichen des Koeffizienten beeinflusst, in welchen Vierteln sich das Diagramm befindet:

• wenn, dann liegen die Äste der Hyperbel in und Vierteln;
• wenn, dann in und.

x=a ist vertikale Asymptote, das heißt, die Vertikale, zu der der Graph tendiert.

Die Zahl ist dafür verantwortlich, den Funktionsgraphen um einen Betrag nach oben zu verschieben, wenn if , und ihn nach unten zu verschieben, wenn .

Daher ist dies der Fall horizontale Asymptote.

Heute schauen wir uns an, welche Größen als umgekehrt proportional bezeichnet werden, wie ein Diagramm der umgekehrten Proportionalität aussieht und wie Ihnen das alles nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch außerhalb der Schule nützlich sein kann.

So unterschiedliche Proportionen

Verhältnismäßigkeit Nennen Sie zwei Größen, die voneinander abhängig sind.

Die Abhängigkeit kann direkt und umgekehrt sein. Folglich werden die Beziehungen zwischen Größen durch direkte und umgekehrte Proportionalität beschrieben.

Direkte Verhältnismäßigkeit– Dies ist eine solche Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine Zunahme oder Abnahme einer von ihnen zu einer Zunahme oder Abnahme der anderen führt. Diese. Ihre Einstellung ändert sich nicht.

Je mehr Sie sich zum Beispiel für Prüfungen anstrengen, desto besser sind Ihre Noten. Oder je mehr Dinge Sie auf einer Wanderung mitnehmen, desto schwerer wird Ihr Rucksack sein. Diese. Der Aufwand für die Prüfungsvorbereitung ist direkt proportional zu den erzielten Noten. Und die Anzahl der in einen Rucksack gepackten Dinge ist direkt proportional zu seinem Gewicht.

Umgekehrte Proportionalität– Dies ist eine funktionale Abhängigkeit, bei der eine mehrfache Verringerung oder Erhöhung eines unabhängigen Werts (dieser wird als Argument bezeichnet) eine proportionale (d. h. um die gleiche Anzahl von Malen) Erhöhung oder Verringerung eines abhängigen Werts (der als Argument bezeichnet wird) verursacht Funktion).

Lassen Sie uns dies anhand eines einfachen Beispiels veranschaulichen. Sie möchten Äpfel auf dem Markt kaufen. Die Äpfel auf der Theke und der Geldbetrag in Ihrem Portemonnaie stehen in einem umgekehrten Verhältnis. Diese. Je mehr Äpfel Sie kaufen, desto weniger Geld bleibt Ihnen übrig.

Funktion und ihr Graph

Die umgekehrte Proportionalitätsfunktion kann beschrieben werden als: y = k/x. Indem X≠ 0 und k≠ 0.

Diese Funktion hat die folgenden Eigenschaften:

1. Sein Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen außer X = 0. D(j): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Der Bereich umfasst alle reellen Zahlen außer j= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Hat keine Maximal- oder Minimalwerte.
4. Es ist seltsam und sein Diagramm ist symmetrisch zum Ursprung.
5. Nicht periodisch.
6. Sein Graph schneidet die Koordinatenachsen nicht.
7. Hat keine Nullen.
8. Wenn k> 0 (d. h. das Argument nimmt zu), nimmt die Funktion in jedem ihrer Intervalle proportional ab. Wenn k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Wenn das Argument zunimmt ( k> 0) negative Werte der Funktion liegen im Intervall (-∞; 0) und positive Werte liegen im Intervall (0; +∞). Wenn das Argument abnimmt ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Der Graph einer Umkehrproportionalitätsfunktion wird Hyperbel genannt. Wie folgt dargestellt:

Probleme der umgekehrten Proportionalität

Um es klarer zu machen, schauen wir uns einige Aufgaben an. Sie sind nicht allzu kompliziert, und wenn Sie sie lösen, können Sie besser erkennen, was umgekehrte Proportionalität ist und wie dieses Wissen in Ihrem täglichen Leben nützlich sein kann.

Aufgabe Nr. 1. Ein Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h. Er brauchte 6 Stunden, um sein Ziel zu erreichen. Wie lange wird er brauchen, um die gleiche Strecke zurückzulegen, wenn er sich mit der doppelten Geschwindigkeit bewegt?

Wir können damit beginnen, eine Formel aufzuschreiben, die die Beziehung zwischen Zeit, Distanz und Geschwindigkeit beschreibt: t = S/V. Stimmen Sie zu, es erinnert uns sehr an die umgekehrte Proportionalitätsfunktion. Und es zeigt an, dass die Zeit, die ein Auto auf der Straße verbringt, und die Geschwindigkeit, mit der es sich bewegt, in einem umgekehrten Verhältnis zueinander stehen.

Um dies zu überprüfen, ermitteln wir V 2, das je nach Bedingung doppelt so hoch ist: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Dann berechnen wir die Entfernung mit der Formel S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nun ist es nicht schwer, die Zeit t 2 herauszufinden, die wir entsprechend den Bedingungen des Problems benötigen: t 2 = 360/120 = 3 Stunden.

Wie Sie sehen, sind Fahrzeit und Geschwindigkeit tatsächlich umgekehrt proportional: Bei einer Geschwindigkeit, die doppelt so hoch ist wie die ursprüngliche Geschwindigkeit, verbringt das Auto zweimal weniger Zeit auf der Straße.

Die Lösung dieses Problems kann auch als Proportion geschrieben werden. Erstellen wir also zunächst dieses Diagramm:

↓ 60 km/h – 6 Std

↓120 km/h – x h

Pfeile zeigen einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang an. Sie schlagen außerdem vor, dass bei der Erstellung eines Verhältnisses die rechte Seite der Aufzeichnung umgedreht werden muss: 60/120 = x/6. Woher bekommen wir x = 60 * 6/120 = 3 Stunden?

Aufgabe Nr. 2. In der Werkstatt sind 6 Arbeiter beschäftigt, die eine bestimmte Arbeitsmenge in 4 Stunden erledigen können. Wenn die Anzahl der Arbeiter halbiert wird, wie lange werden die verbleibenden Arbeiter dann brauchen, um die gleiche Arbeitsmenge zu erledigen?

Lassen Sie uns die Bedingungen des Problems in Form eines visuellen Diagramms aufschreiben:

↓ 6 Arbeiter – 4 Stunden

↓ 3 Arbeiter – x h

Schreiben wir dies als Verhältnis: 6/3 = x/4. Und wir erhalten x = 6 * 4/3 = 8 Stunden. Wenn es 2-mal weniger Arbeiter gibt, verbringen die verbleibenden Arbeiter 2-mal mehr Zeit mit der gesamten Arbeit.

Aufgabe Nr. 3. Es führen zwei Rohre in den Pool. Durch ein Rohr fließt Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 l/s und füllt das Becken in 45 Minuten. Durch ein weiteres Rohr füllt sich der Pool in 75 Minuten. Mit welcher Geschwindigkeit gelangt Wasser durch dieses Rohr in das Becken?

Lassen Sie uns zunächst alle Größen, die uns entsprechend den Problembedingungen zur Verfügung gestellt werden, auf die gleichen Maßeinheiten reduzieren. Dazu geben wir die Füllgeschwindigkeit des Beckens in Litern pro Minute an: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Da die Bedingung impliziert, dass sich das Becken durch das zweite Rohr langsamer füllt, bedeutet dies, dass die Wasserdurchflussrate geringer ist. Die Proportionalität ist umgekehrt. Drücken wir die unbekannte Geschwindigkeit durch x aus und erstellen wir das folgende Diagramm:

↓ 120 l/min – 45 Min

↓ x l/min – 75 min

Und dann bilden wir das Verhältnis: 120/x = 75/45, woraus x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

In der Aufgabe wird die Füllrate des Beckens in Litern pro Sekunde ausgedrückt; reduzieren wir die Antwort, die wir erhalten haben, auf die gleiche Form: 72/60 = 1,2 l/s.

Aufgabe Nr. 4. Eine kleine private Druckerei druckt Visitenkarten. Ein Mitarbeiter einer Druckerei arbeitet mit einer Geschwindigkeit von 42 Visitenkarten pro Stunde und arbeitet einen ganzen Tag – 8 Stunden. Wenn er schneller arbeiten und 48 Visitenkarten in einer Stunde drucken würde, wie viel früher könnte er dann nach Hause gehen?

Wir folgen dem bewährten Weg und erstellen entsprechend den Problembedingungen ein Diagramm, wobei wir den gewünschten Wert mit x bezeichnen:

↓ 42 Visitenkarten/Stunde – 8 Stunden

↓ 48 Visitenkarten/h – x h

Wir haben einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang: Je mehr Visitenkarten ein Mitarbeiter einer Druckerei pro Stunde druckt, desto weniger Zeit benötigt er für die Erledigung derselben Arbeit. Wenn wir das wissen, erstellen wir eine Proportion:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 Stunden.

So konnte der Mitarbeiter der Druckerei, nachdem er die Arbeit in 7 Stunden erledigt hatte, eine Stunde früher nach Hause gehen.

Abschluss

Es scheint uns, dass diese umgekehrten Proportionalitätsprobleme wirklich einfach sind. Wir hoffen, dass Sie jetzt auch so über sie denken. Und die Hauptsache ist, dass Ihnen das Wissen über die umgekehrt proportionale Abhängigkeit von Größen wirklich mehr als einmal nützlich sein kann.

Nicht nur im Matheunterricht und bei Prüfungen. Aber auch dann, wenn Sie sich auf eine Reise vorbereiten, einkaufen gehen, sich entscheiden, in den Ferien etwas Geld dazuzuverdienen usw.

Sagen Sie uns in den Kommentaren, welche Beispiele für umgekehrte und direkte proportionale Beziehungen Sie um sich herum bemerken. Lass es so ein Spiel sein. Sie werden sehen, wie spannend es ist. Vergessen Sie nicht, diesen Artikel in sozialen Netzwerken zu teilen, damit auch Ihre Freunde und Klassenkameraden spielen können.

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