Bestimmen Sie die Wellenlänge an der Wasseroberfläche. Wellen auf der Wasseroberfläche und dergleichen

Bisher haben wir nur darüber nachgedacht eindimensional(1-d ) Wellen, also Wellen, die sich in einer Reihe ausbreiten, in linear Umfeld. Uns nicht weniger bekannt zweidimensional Wellen in Form langer Bergkämme und Senken auf zweidimensional Wasseroberfläche. Der nächste Schritt bei der Diskussion der Wellen, die wir unternehmen müssen, ist der Bereich von zwei ( 2-d ) und drei ( 3-d ) Messungen. Auch hier werden keine neuen physikalischen Prinzipien angewendet; Die Aufgabe ist einfach Beschreibung Wellenprozesse.

Wir beginnen die Diskussion, indem wir auf die einfache Situation zurückkommen, mit der dieses Kapitel begann: Einzelwellenimpuls . Allerdings wird es jetzt keine Störung auf der Saite geben, sondern Spritzen auf der Oberfläche des Reservoirs. Spritzen beruhigt sich unter seinem eigenen Gewicht und die angrenzenden Bereiche erfahren einen erhöhten Druck, erheben und beginnt, die Welle auszubreiten. Dieser Prozess ist „im Querschnitt“ dargestellt in Reis. 7-7(a). Die weitere Logik der Betrachtung der Situation ist genau die gleiche, die bereits bei der Untersuchung der Auswirkungen verwendet wurde, die nach einem starken Schlag auf den Mittelteil der Saite auftreten. Aber dieses Mal kann die Welle eindringen alle Richtungen. Da es keinen Grund gibt, eine Richtung einer anderen vorzuziehen, breitet sich die Welle in alle Richtungen aus. Das Ergebnis ist der bekannte, sich ausdehnende Kreis aus Wellen auf der Oberfläche eines stillen Gewässers, siehe unten. Reis. 7-7(b).

Wir sind bekannt und Wohnung Wellen auf der Wasseroberfläche – jene Wellen, deren Wellenkämme lange, manchmal fast parallele Linien auf der Wasseroberfläche bilden. Dies sind die gleichen Wellen, die regelmäßig ans Ufer rollen. Ein interessantes Merkmal dieser Art von Welle ist die Art und Weise, wie sie Hindernisse überwindet – zum Beispiel Löcher in einer durchgehenden Wand Wellenbrecher. Zeichnung 7-8 veranschaulicht diesen Prozess. Wenn die Größe des Lochs mit der Wellenlänge vergleichbar ist, erzeugt jede aufeinanderfolgende Welle einen Ausbruch innerhalb des Lochs, der, wie in Abb. 7-7, dient als Quelle kreisförmiger Wellen im Hafenwasserbereich. Infolgedessen gibt es zwischen dem Wellenbrecher und dem Ufer konzentrisch , “Ring“ winkt.

Dieses Phänomen ist bekannt als Beugung Wellen Wenn die Breite des Lochs im Wellenbrecher viel größer als die Wellenlänge ist, passiert dies nicht – die Wellen, die das Hindernis passieren, behalten ihre flache Form, mit der Ausnahme, dass an den Wellenrändern leichte Verzerrungen auftreten

Wie Wellen auf der Wasseroberfläche gibt es auch dreidimensionale Wellen (3-d –Wellen) . Hier ist das bekannteste Beispiel Klang Wellen. Der Kamm einer Schallwelle ist eine Fläche Verdickung Luftmoleküle. Zeichnung ähnlich Abb. 7-7 würde für einen dreidimensionalen Fall eine sich ausdehnende Welle in Form einer Kugel darstellen .

Alle Wellen haben die Eigenschaft Brechung . Dabei handelt es sich um einen Effekt, der auftritt, wenn eine Welle die Grenze zweier Medien passiert und in ein Medium eindringt, in dem sie sich langsamer bewegt. Besonders deutlich wird dieser Effekt bei ebenen Wellen (siehe Abb. Reis. 7-9). Der Teil der ebenen Welle, der sich im neuen, „langsamen“ Medium befindet, bewegt sich darin mit geringerer Geschwindigkeit. Da dieser Teil der Welle aber zwangsläufig mit der Welle im „schnellen“ Medium verbunden bleibt, ist er Vorderseite(die gestrichelte Linie unten in Abb. 7-9) sollte brechen, d. h. sich der Grenzfläche zwischen den beiden Medien nähern, wie in Abb. 7-9.

Wenn die Änderung der Wnicht abrupt, sondern allmählich erfolgt, erfolgt auch die Rotation der Wellenfront gleichmäßig. Dies erklärt übrigens den Grund, warum Brandungswellen, egal wie sie sich im offenen Wasser bewegen, fast immer parallel zur Küstenlinie verlaufen. Tatsache ist, dass mit abnehmender Dicke der Wasserschicht die Geschwindigkeit der Wellen auf ihrer Oberfläche abnimmt nimmt ab Sie befinden sich daher in Küstennähe, wo die Wellen in den Flachwasserbereich gelangen verlangsamen sich. Durch die allmähliche Rotation ihrer Front verlaufen die Wellen nahezu parallel zur Küstenlinie.

Jede lokale Verletzung der horizontalen Oberfläche der Flüssigkeit führt zum Auftreten von Wellen, die sich über die Oberfläche ausbreiten und mit der Tiefe schnell schwächer werden. Das Auftreten von Wellen erfolgt durch die kombinierte Wirkung von Schwerkraft und Trägheitskraft (hydrodynamische Gravitationswellen) oder Oberflächenspannung und Trägheitskraft (Kapillarwellen).

Lassen Sie uns eine Reihe von Ergebnissen zur Hydrodynamik von Oberflächenwellen einer Flüssigkeit vorstellen, die wir in Zukunft benötigen werden. Das Problem kann erheblich vereinfacht werden, wenn wir die Flüssigkeit als ideal betrachten; Die Berücksichtigung der Dissipation ist vor allem bei Kapillarwellen und kurzen Gravitationswellen erforderlich.

Unter der Annahme, dass die Verschiebungen von Flüssigkeitsteilchen klein sind, können wir uns auf ein lineares Problem beschränken und den nichtlinearen Term in der Euler-Gleichung vernachlässigen, der der Kleinheit der Wellenamplitude im Vergleich zu ihrer Länge X entspricht. Dann gilt für eine inkompressible Flüssigkeit: Die Wellenbewegung auf ihrer Oberfläche ohne Berücksichtigung der Oberflächenspannungskräfte wird durch ein solches Gleichungssystem für das Potential bestimmt ( Wir erinnern Sie daran:

Senkrecht nach oben gerichtet und entspricht der ungestörten Oberfläche der Flüssigkeit.

Für eine unbegrenzte Flüssigkeitsoberfläche, deren Tiefe deutlich größer als die Wellenlänge ist, kann man eine Lösung des Problems in Form einer ebenen inhomogenen Welle suchen, die sich in positiver x-Richtung ausbreitet und mit der Tiefe dämpft:

Wo ist die Wellenfrequenz und Wellenzahl, wo ist die Phasengeschwindigkeit? Wenn wir diesen Wert des Potenzials in Gleichung (6.1) einsetzen und auch berücksichtigen, dass die Lösungen für sinnvoll sind, erhalten wir den Ausdruck für das Potenzial:

und Erfüllung der Randbedingung an der Oberfläche der Flüssigkeit, der Dispersionsgleichung

Somit ist die Greiner Gravitationswelle

wohingegen die Phasengeschwindigkeit einer solchen Welle ist

Wie man sehen kann, haben Gravitationswellen eine Streuung; Mit zunehmender Wellenlänge nimmt ihre Phasengeschwindigkeit zu.

Eine interessante Frage ist, wie sich die Geschwindigkeiten flüssiger Teilchen in einer Welle verteilen. es wird durch Differenzieren des Potentials (6.3) nach x gefunden.

Reis. 1.4. Ausbreitungskurve für Schwerkraftkapillarwellen auf der Oberfläche von tiefem Wasser in einem Bereich, in dem sowohl g als auch a von Bedeutung sind.

Die Betrachtung zeigt, dass flüssige Teilchen in einer Welle eine Bewegung ungefähr in einem Kreis (um ihre Gleichgewichtspunkte) beschreiben, dessen Radius exponentiell mit der Tiefe abnimmt. In einer Tiefe von einer Wellenlänge ist seine Amplitude etwa 535-mal geringer als in der Nähe der Oberfläche. Die dargestellten Ergebnisse gelten für Wellen in tiefem Wasser, wobei h die Tiefe der Flüssigkeit ist. Tritt der umgekehrte Fall ein (z. B. breiten sich Wellen in einem Kanal endlicher, aber geringer Tiefe aus), dann

Wie Sie sehen, haben solche Wellen keine Streuung.

Unter Berücksichtigung der Laplace-Kapillarkraft aufgrund der Oberflächenspannung 0,

Das heißt, im Gegensatz zu Gravitationswellen nimmt die Geschwindigkeit von Kapillarwellen mit abnehmender Wellenlänge zu. Die kombinierte Wirkung von Schwerkraft und Oberflächenspannung wird durch die folgende Dispersionsgleichung (Tiefwasser) bestimmt:

In Abb. Abbildung 1.4 zeigt die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit der Wellenausbreitung auf der Oberfläche einer Flüssigkeit von der Wellenlänge für Wasser gemäß Ausdruck (6.9). Aus dieser Abbildung geht hervor, dass es bei cm eine minimale Geschwindigkeit von Oberflächenwellen gibt, bei denen es sich um gemischte Schwerkraft-Kapillarwellen handelt.

Die präsentierten Ergebnisse beziehen sich auf eindimensionale lineare Wellen ohne Dissipation. Darüber hinaus wurde angenommen, dass die Wellen regelmäßig seien und sich in eine Richtung ausbreiteten. Wirklich repräsentativ sind die Wellen, die entstehen, wenn sich ein Schiff in ruhigem Wasser bewegt oder sich einem flachen Ufer nähert

regelmäßige Störungen. Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit, die unter dem Einfluss von Wind entstehen, sind überwiegend zufällig – sie bewegen sich in verschiedene Richtungen und haben unterschiedliche Frequenzen und Amplituden; Genau dieses Bild sehen wir, wenn wir bei windigem Wetter auf einem Schiff auf offener See unterwegs sind.

Die Dämpfung von Gravitationswellen mit Wellenlängen von mehr als einem Meter ist gering, aber immer noch deutlich größer als das, was sich aus der linearen Theorie ergibt. Diese Diskrepanz wird offensichtlich durch Prozesse verursacht, die mit der Nichtlinearität bei der Ausbreitung von Gravitations- und Kapillarwellen verbunden sind. Wenn sich also eine einzelne Welle in flachem Wasser mit der Phasengeschwindigkeit ausbreitet, weist eine solche Welle keine Dispersion auf. Während sie sich ausbreitet, wird ihr Profil steiler, da sich die oberen Teilchen des Mediums, bei denen die Tiefe h größer ist als bei den unteren Teilchen, gemäß (6.7) mit größerer Geschwindigkeit bewegen und die Welle beginnt überwältigt sein; Als er sich dem Ufer nähert, stürzt eine Welle auf ihn. Der Überlaufeffekt wird auch dadurch verstärkt, dass mit abnehmender Tiefe h die Amplitude der Welle gemäß dem Energieerhaltungssatz des Stromkanals zunimmt; die Energiedichte nimmt aufgrund einer Verringerung des Querschnitts der Wasserschicht zu. Mit dem Wachstum werden nichtlineare Effekte noch stärker. Der Prozess der „Versteilerung“ von Wellen während ihrer Ausbreitung findet aufgrund der Nichtlinearität der Bewegungsgleichungen auch in tiefem Wasser statt. Die Theorie nichtlinearer Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit hat in letzter Zeit große Fortschritte gemacht, obwohl die ersten Arbeiten in dieser Richtung Ende des letzten Jahrhunderts durchgeführt wurden.

Liegen mehrere Wellen vor, interagieren diese nichtlinear miteinander; Das Superpositionsprinzip für Wellen endlicher Amplitude wird nicht mehr beachtet. Die Bedingungen für die nichtlineare Wechselwirkung von Gravitationswellen weisen aufgrund ihrer dispersiven Eigenschaften interessante Merkmale auf, auf die wir hier nicht näher eingehen können. Beachten wir nur, dass die tatsächlich vorhandene Wechselwirkung zufälliger Wellen endlicher Amplitude im Prinzip eine viel größere Dämpfung von Wellen auf der Oberfläche erklärt, als die lineare Theorie vorhersagt. Der Absorptionsmechanismus funktioniert aufgrund einer nichtlinearen Wechselwirkung; Energie aus dem Bereich kleiner Wellenzahlen (langer Wellen) wird in den Bereich immer kürzerer Wellenlängen und schließlich in den kapillaren Bereich des Spektrums gepumpt, wo sie schließlich aufgrund der Viskosität dissipiert und in Wärme umgewandelt wird.

In Kap. In Abschnitt 3 befassen wir uns mit nichtlinearen Schallwellen und kommen auf Fragen der Wechselwirkung von Wellen an der Oberfläche einer Flüssigkeit zurück.

Wir haben bereits Wellen erwähnt, deren Entstehung nicht durch die Elastizitätskraft, sondern durch die Schwerkraft verursacht wird. Deshalb sollte es uns nicht überraschen, dass die Wellen, die sich entlang der Oberfläche einer Flüssigkeit ausbreiten, nicht longitudinal sind. Allerdings sind sie auch nicht transversal: Die Bewegung flüssiger Teilchen ist hier komplexer.

Wenn an irgendeinem Punkt die Oberfläche der Flüssigkeit absinkt (z. B. durch Berühren eines harten Gegenstands), beginnt die Flüssigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft nach unten zu fließen, füllt die zentrale Vertiefung und bildet um sie herum eine ringförmige Vertiefung. Am äußeren Rand dieser Vertiefung strömen Flüssigkeitspartikel weiter nach unten und der Durchmesser des Rings vergrößert sich. Doch am inneren Rand des Rings „tauchen“ die Flüssigkeitspartikel wieder an die Oberfläche, sodass ein ringförmiger Grat entsteht. Dahinter befindet sich wieder eine Vertiefung usw. Beim Abstieg bewegen sich die Flüssigkeitsteilchen ebenfalls nach hinten, beim Aufwärtsgang auch nach vorne. Somit schwingt jedes Teilchen nicht einfach in Querrichtung (vertikal) oder Längsrichtung (horizontal), sondern beschreibt, wie sich herausstellt, einen Kreis.

In Abb. 76 dunkle Kreise zeigen die Position von Partikeln auf der Flüssigkeitsoberfläche zu einem bestimmten Zeitpunkt, und helle Kreise zeigen die Position dieser Partikel etwas später, wenn jedes von ihnen einen Teil seiner kreisförmigen Flugbahn durchlaufen hat. Diese Trajektorien sind durch gestrichelte Linien dargestellt, die durchlaufenen Abschnitte der Trajektorien sind durch Pfeile dargestellt. Die Linie, die die dunklen Kreise verbindet, ergibt das Wellenprofil. Im Fall der in der Abbildung gezeigten großen Amplitude (d. h. der Radius der Kreisbahnen der Teilchen ist im Vergleich zur Wellenlänge nicht klein) ähnelt das Wellenprofil überhaupt nicht einer Sinuskurve: Es weist breite Täler und schmale Wellenkämme auf . Die Verbindungslinie der Lichtkreise hat die gleiche Form, ist jedoch nach rechts verschoben (in Richtung Phasenverzögerung), d. h. durch die Bewegung der Flüssigkeitsteilchen entlang kreisförmiger Bahnen hat sich die Welle bewegt.

Reis. 76. Bewegung flüssiger Teilchen in einer Welle auf ihrer Oberfläche

Es ist zu beachten, dass bei der Bildung von Oberflächenwellen nicht nur die Schwerkraft eine Rolle spielt, sondern auch die Kraft der Oberflächenspannung (siehe Band I, § 250), die wie die Schwerkraft dazu neigt, die Wellen zu nivellieren Oberfläche der Flüssigkeit. Wenn eine Welle jeden Punkt auf der Oberfläche einer Flüssigkeit passiert, verformt sich diese Oberfläche – die Konvexität wird flach und weicht dann der Konkavität und umgekehrt, wodurch sich die Oberfläche und damit die Oberflächenspannungsenergie ändert. Es ist leicht zu verstehen, dass die Rolle der Oberflächenspannung bei gegebener Wellenamplitude umso größer ist, je stärker die Oberfläche gekrümmt ist, d. h. je kürzer die Wellenlänge ist. Daher ist bei langen Wellen (niedrige Frequenzen) die Schwerkraft die Hauptkraft, bei relativ kurzen Wellen (hohe Frequenzen) tritt jedoch die Kraft der Oberflächenspannung in den Vordergrund. Die Grenze zwischen „langen“ und „kurzen“ Wellen ist natürlich nicht scharf und hängt von der Oberflächenspannungsdichte ab. Im Wasser entspricht diese Grenze Wellen mit einer Länge von etwa , d. h. bei längeren Kapillarwellen überwiegen die Oberflächenspannungskräfte und bei längeren Kapillarwellen die Schwerkraft.

Trotz der komplexen „Längs-Quer“-Natur von Oberflächenwellen gehorchen sie Gesetzen, die jedem Wellenprozess gemeinsam sind, und sind für die Beobachtung vieler solcher Gesetze sehr praktisch. Daher werden wir uns näher mit der Methode ihrer Gewinnung und Beobachtung befassen.

Für Experimente mit solchen Wellen können Sie ein flaches Bad nehmen, dessen Boden aus Glas besteht und dessen Fläche etwa beträgt. Unter dem Glas können Sie in einiger Entfernung eine helle Glühbirne platzieren, mit der Sie diesen „Teich“ an die Decke oder Leinwand projizieren können (Abb. 77). Im Schatten können Sie in vergrößerter Form alle Phänomene beobachten, die an der Wasseroberfläche auftreten. Um die Reflexion von Wellen an den Seiten der Badewanne zu reduzieren, ist deren Oberfläche gewellt und die Seiten selbst sind geneigt.

Reis. 77. Badewanne zur Beobachtung von Wellen auf der Wasseroberfläche

Füllen Sie die Badewanne etwa bis zur Wassertiefe und berühren Sie die Wasseroberfläche mit dem Ende eines Drahtes oder der Spitze eines Bleistifts. Wir werden sehen, wie sich eine Ringfalte vom Kontaktpunkt aus ausbreitet. Seine Ausbreitungsgeschwindigkeit ist gering (10–30 cm/s), sodass seine Bewegung leicht überwacht werden kann.

Befestigen wir den Draht auf einer elastischen Platte und bringen ihn zum Vibrieren, sodass bei jeder Vibration der Platte das Ende des Drahtes auf die Wasseroberfläche trifft. Ein System kreisförmiger Grate und Vertiefungen verläuft durch das Wasser (Abb. 78). Der Abstand zwischen benachbarten Gipfeln oder Tälern, also die Wellenlänge, hängt mit der Einschlagsdauer nach der uns bereits bekannten Formel zusammen; - Wellenausbreitungsgeschwindigkeit.

Reis. 78. Ringwellen

Reis. 79. Gerade Wellen

Linien senkrecht zu Wellenbergen und -tälern zeigen die Richtung der Wellenausbreitung. Bei einer Ringwelle werden die Ausbreitungsrichtungen offensichtlich durch gerade Linien dargestellt, die vom Zentrum der Welle abweichen, wie in Abb. 78 gestrichelte Pfeile. Indem Sie das Ende des Drahtes durch die Kante eines Lineals parallel zur Wasseroberfläche ersetzen, können Sie eine Welle erzeugen, die nicht die Form konzentrischer Ringe, sondern die Form gerader Grate und Täler parallel zueinander hat (Abb. 79). . In diesem Fall haben wir vor dem mittleren Teil des Lineals eine einzige Ausbreitungsrichtung.

Ring- und Geradewellen auf einer Oberfläche geben eine Vorstellung von sphärischen und ebenen Wellen im Raum. Eine kleine Schallquelle, die gleichmäßig in alle Richtungen abstrahlt, erzeugt um sich herum eine Kugelwelle, in der sich die Kompression und Verdünnung der Luft in Form konzentrischer Kugelschichten befindet. Ein Abschnitt einer Kugelwelle, der im Vergleich zur Entfernung zu seiner Quelle klein ist, kann annähernd als flach betrachtet werden. Dies gilt natürlich für Wellen jeglicher physikalischer Natur – sowohl mechanische als auch elektromagnetische. So kann beispielsweise jeder Bereich (innerhalb der Erdoberfläche) von Lichtwellen, die von den Sternen kommen, als ebene Welle betrachtet werden.

Wir werden die oben beschriebenen Experimente mit dem Wasserbad immer wieder verwenden, da Wellen auf der Wasseroberfläche die Hauptmerkmale vieler Wellenphänomene, einschließlich so wichtiger Phänomene wie Beugung und Interferenz, sehr klar und bequem für die Beobachtung machen. Wir verwenden Wellen in einem Wasserbad, um eine Reihe allgemeiner Konzepte zu erhalten, die sowohl für elastische (insbesondere akustische) als auch für elektromagnetische Wellen gelten. Wo es möglich ist, subtilere Merkmale von Wellenprozessen zu beobachten (insbesondere in der Optik), werden wir näher auf die Interpretation dieser Merkmale eingehen.

Entstehung und Ausbreitung entlang der freien Oberfläche einer Flüssigkeit oder an der Grenzfläche zweier nicht mischbarer Flüssigkeiten. V. auf p.zh. entstehen unter dem Einfluss äußerer Einflüsse, wodurch die Oberfläche der Flüssigkeit aus dem Gleichgewichtszustand gerät (z. B. wenn ein Stein fällt). Dabei entstehen Kräfte, die das Gleichgewicht wiederherstellen: die Kräfte der Oberflächenspannung und der Schwerkraft. Abhängig von der Art der Rückstellkräfte von V. auf die Leitung. werden unterteilt in: Kapillarwellen, wenn die Oberflächenspannungskräfte vorherrschen, und Gravitationswellen, wenn die Schwerkraftkräfte überwiegen. Wenn Schwerkraft und Oberflächenspannungskräfte zusammenwirken, spricht man von Gravitationskapillarwellen. Der Einfluss der Oberflächenspannungskräfte ist bei kurzen Wellenlängen am deutlichsten, der der Schwerkraft bei langen Wellenlängen.

Geschwindigkeit Mit Ausbreitung von V. auf p. hängt von der Wellenlänge λ ab. Mit zunehmender Wellenlänge sinkt die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitationskapillarwellen zunächst auf einen bestimmten Mindestwert

und steigt dann wieder an (σ - Oberflächenspannung, g - Erdbeschleunigung, ρ - Flüssigkeitsdichte). Der Wert c 1 entspricht der Wellenlänge

Für λ > λ 1 hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit hauptsächlich von der Schwerkraft ab, für λ cm.

Die Gründe für das Auftreten von Gravitationswellen: die Anziehung einer Flüssigkeit durch Sonne und Mond (siehe Ebbe und Flut), die Bewegung von Körpern in der Nähe oder auf der Wasseroberfläche (Schiffswellen), die Wirkung eines Impulssystems Drücke auf der Oberfläche einer Flüssigkeit (Windwellen, die anfängliche Abweichung eines bestimmten Abschnitts der Oberfläche von einer Gleichgewichtslage, beispielsweise ein lokaler Pegelanstieg während einer Unterwasserexplosion). Am häufigsten in der Natur sind Windwellen (siehe auch Meereswellen).

Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

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Auf der freien Wasseroberfläche gebildete Wellen versetzen die mit ihnen in Berührung kommende Luft in Bewegung. In den meisten Fällen kann die Masse dieser Luft im Vergleich zur Masse der Flüssigkeit vernachlässigt werden. Dann ist der Druck auf der freien Oberfläche der Flüssigkeit gleich dem Atmosphärendruck. Beobachtungen zeigen, dass bei der einfachsten Wellenbewegung einzelne Teilchen der freien Oberfläche des Wassers Flugbahnen beschreiben, die ungefähr mit einem Kreis zusammenfallen. In einem Bezugssystem, das sich mit der Wmitbewegt, ist die Wellenbewegung offensichtlich eine stetige Bewegung (Abb. 80). Die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung sei gleich c, der Radius des Kreises, der von einem auf einer freien Oberfläche befindlichen Wasserteilchen beschrieben wird, sei gleich und die Umlaufdauer dieses Teilchens entlang seiner Flugbahn sei gleich Then im angegebenen Referenzsystem Die Geschwindigkeit der Strömung an den Wellenbergen ist gleich

und in den Wellentälern

Da der Höhenunterschied zwischen der höchsten und der niedrigsten Position der Punkte auf der freien Oberfläche gleich ist, erhalten wir bei Anwendung der Bernoulli-Gleichung auf die auf der freien Oberfläche befindliche Stromlinie:

oder, nachdem stattdessen und ihre Werte ersetzt wurden,

woraus folgt das

Der Radius ist in dieser Formel nicht enthalten, daher hängt die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung nicht von der Höhe der Wellen ab. Wenn sich Wellen ausbreiten, bewegt sich der Wellenkamm im Laufe der Zeit über eine Distanz, die Wellenlänge genannt wird.

Wenn wir die Periode aus den Gleichungen (60) und (61) eliminieren, erhalten wir:

Daher hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf der Wasseroberfläche im Gegensatz zu Schallwellen stark von der Wellenlänge ab. Lange Wellen breiten sich schneller aus als kurze. Wellen unterschiedlicher Länge können sich überlappen, ohne dass es zu einer merklichen gegenseitigen Störung kommt. In diesem Fall scheinen kurze Wellen von langen Wellen angehoben zu werden, aber dann bewegen sich die langen Wellen nach vorne und die kurzen Wellen bleiben dahinter. Stromlinien in einem Bezugssystem, das relativ zu ungestörtem Wasser stationär ist, sind in Abb. dargestellt. 81. Aus der Lage der Stromlinien geht hervor, dass die Geschwindigkeit des Wassers mit zunehmender Tiefe sehr schnell abnimmt, und zwar proportional zur Wertabnahme; daher ist die Geschwindigkeit in einer Tiefe gleich der Wellenlänge nur noch die Geschwindigkeit auf die freie Oberfläche.

Reis. 81. Stromlinien der Wellenbewegung

Die genaue Theorie zeigt, dass Formel (62) nur für niedrige Wellen gilt, unabhängig von ihrer Höhe. Bei hohen Wellen ist die Geschwindigkeit c tatsächlich etwas größer als der durch Formel (62) angegebene Wert. Darüber hinaus sind bei hohen Wellen die Flugbahnen der auf der freien Oberfläche befindlichen Wasserpartikel nicht geschlossen: Das Wasser bewegt sich am Wellenkamm um eine größere Distanz vorwärts als die Distanz, die es im Wellental zurückgibt (vgl (rechte Seite von Abb. 81). Folglich wird bei hohen Wellen Wasser nach vorne transportiert.

Bei Wellen mit kurzer Länge ist neben der Schwerkraft auch die Oberflächenspannung ein wichtiger Faktor. Es neigt dazu, die Wellenoberfläche zu glätten, und daher erhöht sich die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung. Die Theorie zeigt, dass in diesem Fall die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung gleich ist

wobei C die Kapillarkonstante ist. Bei langen Wellen spielt der erste Term unter dem Wurzelzeichen die vorherrschende Rolle, bei kurzen Wellen hingegen der zweite Term. Für Wellenlänge

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c hat einen Mindestwert von

Für Wasserdyn/cm gilt also

Wellen, deren Länge länger ist, werden Gravitationswellen genannt, und Wellen, deren Länge kürzer ist, werden Kapillarwellen genannt.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gruppe sollte von der Bewegungsgeschwindigkeit der Wellenberge unterschieden werden, die als Phasengeschwindigkeit bezeichnet wird (wir nannten sie oben Geschwindigkeit der Wellenausbreitung und bezeichneten sie mit c).

Wellen, Gruppengeschwindigkeit genannt und mit c bezeichnet. Die Bedeutung dieses Konzepts lässt sich am einfachsten am Beispiel einer Bewegung erklären, die aus der Überlagerung zweier Wellen mit gleichen Amplituden, aber geringfügig unterschiedlicher Länge resultiert. Lassen Sie uns eine Sinuswelle haben

Dabei ist A Amplitude, Zeit und einige Koeffizienten. Bei einer Vergrößerung um y oder y nimmt der Sinus den gleichen Wert an, also die Größe

ist die Wellenlänge und die Größe

Es gibt eine Schwingungsperiode. Wenn

d.h. wenn

dann hängt das Argument des Sinus nicht von der Zeit ab, daher hängt die Ordinate y nicht von der Zeit ab. Dies bedeutet, dass sich die gesamte Welle, ohne ihre Form zu ändern, mit einer Geschwindigkeit nach rechts bewegt

Überlagern wir diese Welle mit einer zweiten Welle

d.h. eine Welle mit der gleichen Amplitude A, aber mit leicht unterschiedlichen Werten. Die resultierende Bewegung wird sein

An den Punkten der x-Achse, an denen die Phasen beider Schwingungen zusammenfallen, ist die Amplitude gleich, an den gleichen Punkten, an denen die Phasen beider Schwingungen liegen

entgegengesetzt sind, ist die Amplitude Null. Dieses Phänomen nennt man Schlagen. Anwendung der bekannten Formel

wir bekommen:

In dieser Gleichheit ist der Begriff

stellt eine Welle dar, für die die Koeffizienten gleich den Durchschnittswerten von bzw. dem Multiplikator sind

die sich bei kleinen Werten der Differenzen langsam ändert, kann als variable Amplitude betrachtet werden (Abb. 82).

Reis. 82. Schlag

Die Wellengruppe endet an dem Punkt, an dem der Kosinus Null wird. Die Bewegungsgeschwindigkeit dieses Punktes, Gruppengeschwindigkeit c genannt, ist aufgrund ähnlicher Überlegungen wie die vorherigen gleich

Für lange Gruppen, d.h. Bei langsamen Schlägen können wir das mit ausreichender Genauigkeit annehmen

Für Wellen, die unter dem Einfluss der Schwerkraft entstehen, ergibt sich aus Formel (60):

Aber nach Gleichheit (65)

somit,

Wenn wir andererseits den Wert aus Gleichung (64) in Formel (62) einsetzen, erhalten wir:

Von hier aus finden wir unter Berücksichtigung und Berücksichtigung der Gleichheit (67) Folgendes:

Somit bewegen sich Wellengruppen mit einer Geschwindigkeit c, die der halben Phasengeschwindigkeit entspricht, mit anderen Worten, die Wellenkämme einer Wellengruppe bewegen sich mit der doppelten Geschwindigkeit der Wellengruppe; Am hinteren Ende der Gruppe erscheinen ständig neue Wellen und am vorderen Ende der Gruppe verschwinden sie. Dieses Phänomen lässt sich sehr gut bei Wellen beobachten, die durch einen ins stehende Wasser fallenden Stein entstehen.

All das gilt nicht nur für Wellen auf der Wasseroberfläche, sondern auch für alle anderen Wellen, deren Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge abhängt.

Eine andere Art von Wellengruppe sind die Wellen, die auf der Wasseroberfläche entstehen, wenn sich ein Schiff bewegt. Ein Wellenmuster, das Schiffswellen sehr ähnlich ist, kann leicht erhalten werden, wenn man eine punktförmige Druckstörungsquelle dazu bringt, sich mit konstanter Geschwindigkeit auf der Oberfläche von tiefem, ruhendem Wasser zu bewegen. Die resultierende Bewegung kann mathematisch untersucht werden. Nach den Berechnungen von V. Thomson (Lord Kelvin), Ekman und anderen erhält man das in Abb. dargestellte Wellensystem. 83, auf dem Wellenberge durch geneigte Linien angedeutet sind. Dieses Wellensystem bewegt sich zusammen mit der Störungsquelle. Die Länge der Transversalwellen nach Formel (62) ist gleich

wobei c die Bewegungsgeschwindigkeit der Störungsquelle ist. Wenn sich ein Schiff bewegt, bilden sich zwei Systeme solcher Wellen – eines in der Nähe des Bugs, das andere in der Nähe des Hecks des Schiffes, und die Wellen beider Systeme interferieren miteinander.

Reis. 83. Ein Wellensystem, das während der gleichmäßigen Bewegung einer Druckstörungsquelle auf der Wasseroberfläche entsteht

Die Gruppengeschwindigkeit von Kapillarwellen ist, wie sich durch eine ähnliche Rechnung wie bei Gravitationswellen leicht zeigen lässt, größer als die Phasengeschwindigkeit, und zwar im Grenzfall sehr kleiner Wellen um das 1,5-fache. Bewegt sich die Störungsquelle also mit konstanter Geschwindigkeit, liegen vor ihr Wellengruppen. In der Nähe der Linie einer Angelrute, die in einen Fluss abgesenkt wird, dessen Fließgeschwindigkeit mehr als 23,3 cm/s beträgt, bilden sich stromaufwärts Kapillarwellen und stromabwärts Schwerewellen, wobei letztere ungefähr die gleiche Form wie in Abb. haben. 83, und die ersten divergieren stromaufwärts in Form von Kreisbögen. Bei Bewegungsgeschwindigkeiten der Störquelle von weniger als 23,3 cm/s kommt es nicht zur Wellenbildung.

Wellen können auch auf der Kontaktfläche zweier übereinander liegender Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte auftreten. Wenn beide Flüssigkeiten bewegungslos sind und ihre Dichten gleich sind, dann ergibt die theoretische Berechnung den Wert für die Phasengeschwindigkeit von Wellen

Fließt die obere Flüssigkeit mit einer relativen Geschwindigkeit zur unteren, so zeigt die Theorie, dass die resultierenden Wellen nur dann stabil sind, wenn ihre Länge ausreichend groß ist. Kurze Wellen sind, wie in § 7 für die Bewegung zweier Flüssigkeitsströme entlang der Grenzfläche gezeigt wurde, instabil, was zur Vermischung beider Flüssigkeiten in der Zwischenzone führt; Durch diese Vermischung wird die Stabilität der Strömung wiederhergestellt. Mit zunehmender Geschwindigkeit verschiebt sich die Grenze zwischen Instabilität und Stabilität hin zu Wellen mit längeren Wellenlängen. Solche Wellen können auch in der Atmosphäre an der Grenze zweier sich relativ zueinander bewegender Luftschichten unterschiedlicher Dichte entstehen; Manchmal werden diese Wellen durch die Bildung sogenannter Wellenwolken sichtbar.

Wenn sich Luft über die Wasseroberfläche bewegt, entstehen ebenfalls Wellen. Allerdings führt die Theorie solcher Wellen, die auf der Annahme der Abwesenheit von Reibung basiert, zu widersprüchlichen Ergebnissen

Wirklichkeit. So zeigten beispielsweise Berechnungen von V. Thomson, dass die für die Wellenbildung auf der Wasseroberfläche erforderliche Mindestwindgeschwindigkeit eine runde Zahl sein sollte und Wellen mit einer Micm/s und einer Wellenlänge cm auftreten (bei höheren Windgeschwindigkeiten natürlich Wellen mit längerer Länge). Mittlerweile reicht in der Realität für die Entstehung von Wellen ein Wind mit einer Geschwindigkeit aus. Laut Jeffreys Forschung wird dies dadurch erklärt, dass aufgrund der Reibung die Druckverteilung auf der Wellenoberfläche asymmetrisch wird und daher die Wind wirkt auf dem Kamm jeder Welle, wenn seine Geschwindigkeit größer als die Phasengeschwindigkeit der Wellen ist. Motzfeld fand durch Messung der Druckverteilung auf der Oberfläche von Modellwasserwellen heraus, dass der Widerstand, den Luft der Wellenbewegung entgegensetzt, proportional zu eineinhalb Grad Neigung der Wellenoberfläche am Wendepunkt relativ zum Horizont ist. sowie das Quadrat der Differenz zwischen Windgeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit der Wellen. Darüber hinaus fand Motzfeld durch Berechnung heraus, dass die Neigung der Wellenoberfläche am Wendepunkt, abhängig von der Phasengeschwindigkeit c, bei am größten ist

Diese Geschwindigkeit c entspricht nach Formel (62) einer Längenwelle

Wenn wir die Oberflächenspannung berücksichtigen, die Motzfeld nicht berücksichtigt hat, dann zeigt die Berechnung, dass in voller Übereinstimmung mit den Beobachtungen ein Wind mit einer Geschwindigkeit von etwas mehr als 23,3 cm/s ausreicht, um Lichtwellen auf der Oberfläche zu verursachen Wasser.

Die oben hergeleiteten Formeln sind nur für Wellen in tiefem Wasser geeignet. Sie sind immer noch recht genau, wenn die Wassertiefe gleich der halben Wellenlänge ist. In geringeren Tiefen beschreiben Wasserpartikel auf der Wellenoberfläche eher elliptische als kreisförmige Flugbahnen, und die Beziehung zwischen Länge und Geschwindigkeit der Wellenausbreitung ist komplexer als bei Wellen in tiefem Wasser. Allerdings für Wellen bei

In sehr flachem Wasser sowie bei sehr langen Wellen in mittlerem Wasser nimmt die eben angedeutete Abhängigkeit wiederum eine einfachere Form an. In beiden letztgenannten Fällen sind die vertikalen Bewegungen der Wasserpartikel auf der freien Oberfläche im Vergleich zu den horizontalen Bewegungen sehr gering. Daher können wir wieder davon ausgehen, dass die Wellen eine annähernd sinusförmige Form haben. Da es sich bei den Flugbahnen der Teilchen um sehr abgeflachte Ellipsen handelt, kann der Einfluss der Vertikalbeschleunigung auf die Druckverteilung vernachlässigt werden. Dann ändert sich bei jeder Vertikale der Druck nach einem statischen Gesetz, und Höhenunterschiede der Flüssigkeit bestimmen fast nur horizontale Beschleunigungen Wir beschränken uns hier auf Berechnungen nur für den Fall der Bewegung des „Wasserschachts“, dargestellt in Abb. 84. Diese Berechnungen sind sehr einfach und werden von uns in Zukunft verwendet, um die Ausbreitung von Druckstörungen zu untersuchen ein komprimierbares Medium (siehe § 2 von Kapitel IV).

Reis. 84. Schacht auf der Wasseroberfläche

Angenommen, auf der Wasseroberfläche über einem flachen Boden breitet sich ein Schacht mit einer Breite, die den Wasserspiegel von bis erhöht, mit einer Geschwindigkeit c von rechts nach links aus. Nehmen wir an, dass das Wasser vor dem Eintreffen des Schachtes in Ruhe war. Die Geschwindigkeit seiner Bewegung nach dem Pegelanstieg wird mit bezeichnet. Diese Geschwindigkeit, die keineswegs mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c des Schachtes übereinstimmt, ist notwendig, um eine seitliche Bewegung des Wasservolumens im Übergang zu bewirken Zone breit nach rechts und heben dadurch den Wasserspiegel von Höhe zu Höhe. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Neigung des Schachtes über seine gesamte Breite konstant ist, also gleich Dann ist, sofern die Geschwindigkeit klein ist genug, um im Vergleich zur Geschwindigkeit c der Ausbreitung des Schachts vernachlässigt zu werden, die vertikale Geschwindigkeit des Wasseranstiegs im Bereich des Schachts ist gleich und der Höhenunterschied muss daher ebenfalls gering sein, daher diese Gleichung gilt nur für niedrige Schäfte, daher ist die eben genannte Bedingung durchaus berechtigt.

Die kinematische Beziehung (72) sollte von einer dynamischen Beziehung begleitet sein, die leicht wie folgt abgeleitet werden kann. Ein Wasservolumen mit einer Breite im Bereich des Schachtes befindet sich in beschleunigter Bewegung, da die Teilchen, aus denen dieses Volumen besteht, ihre Bewegung am rechten Rand mit der Geschwindigkeit Null beginnen und am linken Rand Geschwindigkeiten haben. Nehmen wir ein paar Wasserpartikel im Bereich des Schachts. Die Zeit, in der die Welle über dieses Teilchen läuft, ist offensichtlich gleich

daher wird die Beschleunigung des Teilchens sein

Das Wasservolumen im Bereich des Schachts hat, wenn seine Dicke in der Richtung senkrecht zur Bildebene gleich Eins angenommen wird, eine Masse, bei der sich jeder nachfolgende Schacht nicht im stehenden Wasser ausbreitet, sondern in Wasser, das sich bereits mit Geschwindigkeit nach rechts bewegt. Dies führt dazu, dass nachfolgende Schächte die vorherigen einholen, so dass ein steiler Schacht endlicher Höhe entsteht.

Die Untersuchung der Ausbreitung eines Schachts endlicher Höhe kann mit dem Impulssatz auf genau die gleiche Weise durchgeführt werden, wie es in § 13 bei der Betrachtung der plötzlichen Ausdehnung einer Strömung getan wurde. Damit die Wasserbewegung während der Schachtausbreitung als stetig angesehen werden kann, sollte die Berechnung in einem mit dem Schacht mitbewegten Bezugssystem durchgeführt werden. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle der Endhöhe ist größer als