Periode eines unendlichen Dezimalbruchs. Unendliche periodische Brüche

Bereits in der Grundschule werden Schüler mit Brüchen konfrontiert. Und dann tauchen sie in jedem Thema auf. Mit diesen Zahlen kann man Aktionen nicht vergessen. Daher müssen Sie alle Informationen über gewöhnliche und dezimale Brüche kennen. Diese Konzepte sind nicht kompliziert, die Hauptsache ist, alles in der richtigen Reihenfolge zu verstehen.

Warum werden Brüche benötigt?

Die Welt um uns herum besteht aus ganzen Objekten. Daher besteht kein Bedarf an Aktien. Aber der Alltag drängt die Menschen ständig dazu, mit Teilen von Gegenständen und Dingen zu arbeiten.

Schokolade besteht beispielsweise aus mehreren Stücken. Stellen Sie sich eine Situation vor, in der seine Kachel aus zwölf Rechtecken besteht. Wenn man es in zwei Teile teilt, erhält man 6 Teile. Es lässt sich leicht in drei Teile unterteilen. Aber es wird nicht möglich sein, fünf Personen eine ganze Anzahl Schokoladenscheiben zu geben.

Übrigens sind diese Scheiben bereits Brüche. Und ihre weitere Unterteilung führt zum Erscheinen komplexerer Zahlen.

Was ist ein „Bruch“?

Dies ist eine Zahl, die aus Teilen von Eins besteht. Äußerlich sieht es aus wie zwei Zahlen, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind. Diese Funktion wird als Bruch bezeichnet. Die oben (links) geschriebene Zahl wird Zähler genannt. Unten (rechts) steht der Nenner.

Im Wesentlichen entpuppt sich der Schrägstrich als Divisionszeichen. Das heißt, der Zähler kann als Dividend und der Nenner als Divisor bezeichnet werden.

Welche Brüche gibt es?

In der Mathematik gibt es nur zwei Arten: gewöhnliche und dezimale Brüche. Schüler lernen die ersten in der Grundschule kennen und nennen sie einfach „Brüche“. Letzteres wird in der 5. Klasse erlernt. Dann tauchen diese Namen auf.

Unter gewöhnlichen Brüchen versteht man alle Brüche, die als zwei durch einen Strich getrennte Zahlen geschrieben werden. Zum Beispiel 4/7. Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, bei der der Bruchteil eine Positionsschreibweise hat und durch ein Komma von der ganzen Zahl getrennt wird. Zum Beispiel 4.7. Den Schülern muss klar sein, dass es sich bei den beiden angegebenen Beispielen um völlig unterschiedliche Zahlen handelt.

Jeder einfache Bruch kann als Dezimalzahl geschrieben werden. Diese Aussage trifft fast immer umgekehrt zu. Es gibt Regeln, die es Ihnen ermöglichen, einen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch zu schreiben.

Welche Untertypen gibt es bei diesen Bruchtypen?

Es ist besser, in chronologischer Reihenfolge zu beginnen, da sie studiert werden. Gewöhnliche Brüche stehen an erster Stelle. Unter ihnen lassen sich 5 Unterarten unterscheiden.

Richtig. Sein Zähler ist immer kleiner als sein Nenner.

Falsch. Sein Zähler ist größer oder gleich seinem Nenner.

Reduzierbar/irreduzibel. Es kann sich als richtig oder falsch herausstellen. Wichtig ist auch, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben. Wenn ja, dann ist es notwendig, beide Teile des Bruchs durch sie zu dividieren, also zu reduzieren.

Gemischt. Einer ganzen Zahl wird ihr üblicher regelmäßiger (unregelmäßiger) Bruchteil zugeordnet. Außerdem ist es immer links.

Zusammengesetzt. Es wird aus zwei durcheinander dividierten Fraktionen gebildet. Das heißt, es enthält drei Bruchzeilen gleichzeitig.

Dezimalbrüche haben nur zwei Untertypen:

endlich, das heißt einer, dessen Bruchteil begrenzt ist (ein Ende hat);

unendlich – eine Zahl, deren Nachkommastellen nicht enden (sie können endlos geschrieben werden).

Wie wandle ich einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Handelt es sich um eine endliche Zahl, dann wird eine Assoziation nach der Regel angewendet – wie ich höre, so schreibe ich. Das heißt, Sie müssen es richtig lesen und aufschreiben, jedoch ohne Komma, sondern mit einem Bruchstrich.

Als Hinweis zum erforderlichen Nenner müssen Sie bedenken, dass es sich immer um eine und mehrere Nullen handelt. Von Letzterem müssen Sie so viele schreiben, wie Ziffern im Bruchteil der betreffenden Zahl vorhanden sind.

Wie wandelt man Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um, wenn ihr ganzzahliger Teil fehlt, also gleich Null ist? Zum Beispiel 0,9 oder 0,05. Nach Anwendung der angegebenen Regel stellt sich heraus, dass Sie Null-Ganzzahlen schreiben müssen. Aber es ist nicht angegeben. Es bleibt nur noch, die Bruchteile aufzuschreiben. Die erste Zahl hat einen Nenner von 10, die zweite einen Nenner von 100. Das heißt, die angegebenen Beispiele haben die folgenden Zahlen als Antworten: 9/10, 5/100. Darüber hinaus stellt sich heraus, dass letzterer um 5 reduziert werden kann. Daher muss das Ergebnis dafür als 1/20 geschrieben werden.

Wie kann man einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln, wenn sein ganzzahliger Teil von Null verschieden ist? Zum Beispiel 5,23 oder 13,00108. In beiden Beispielen wird der gesamte Teil gelesen und sein Wert geschrieben. Im ersten Fall ist es 5, im zweiten 13. Dann müssen Sie mit dem Bruchteil fortfahren. Mit ihnen soll die gleiche Operation durchgeführt werden. Die erste Zahl erscheint 23/100, die zweite - 108/100000. Der zweite Wert muss erneut reduziert werden. Die Antwort ergibt die folgenden gemischten Brüche: 5 23/100 und 13 27/25000.

Wie wandle ich einen unendlichen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Wenn es nicht periodisch ist, ist ein solcher Vorgang nicht möglich. Diese Tatsache ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass jeder Dezimalbruch immer entweder in einen endlichen oder einen periodischen Bruch umgewandelt wird.

Das einzige, was Sie mit einem solchen Bruch machen können, ist, ihn zu runden. Aber dann ist die Dezimalzahl ungefähr gleich dieser Unendlichkeit. Es kann bereits in ein gewöhnliches verwandelt werden. Aber der umgekehrte Vorgang: Die Konvertierung in eine Dezimalzahl liefert niemals den Anfangswert. Das heißt, unendliche nichtperiodische Brüche werden nicht in gewöhnliche Brüche umgewandelt. Daran muss man sich erinnern.

Wie schreibe ich einen unendlichen periodischen Bruch als gewöhnlichen Bruch?

In diesen Zahlen gibt es immer eine oder mehrere Nachkommastellen, die wiederholt werden. Sie werden als Periode bezeichnet. Zum Beispiel 0,3(3). Hier steht „3“ im Punkt. Sie werden als rational klassifiziert, weil sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können.

Diejenigen, die periodische Brüche kennengelernt haben, wissen, dass sie rein oder gemischt sein können. Im ersten Fall beginnt der Punkt unmittelbar nach dem Komma. Im zweiten Teil beginnt der Bruchteil mit einigen Zahlen, und dann beginnt die Wiederholung.

Die Regel, nach der Sie eine unendliche Dezimalzahl als gemeinsamen Bruch schreiben müssen, ist für die beiden angegebenen Zahlentypen unterschiedlich. Es ist ganz einfach, reine periodische Brüche als gewöhnliche Brüche zu schreiben. Wie bei endlichen Zahlen müssen sie umgerechnet werden: Schreiben Sie den Punkt im Zähler auf, und der Nenner ist die Zahl 9, die so oft wiederholt wird, wie der Punkt Ziffern enthält.

Zum Beispiel 0,(5). Die Zahl hat keinen ganzzahligen Teil, daher müssen Sie sofort mit dem Bruchteil beginnen. Schreiben Sie 5 als Zähler und 9 als Nenner. Das heißt, die Lösung ist der Bruch 5/9.

Die Regel zum Schreiben eines gewöhnlichen periodischen Dezimalbruchs, der gemischt ist.

Schauen Sie sich die Länge des Zeitraums an. So viele Neunen wird der Nenner haben.

Notieren Sie den Nenner: zuerst Neunen, dann Nullen.

Um den Zähler zu bestimmen, müssen Sie die Differenz zweier Zahlen aufschreiben. Alle Zahlen nach dem Komma werden zusammen mit dem Punkt minimiert. Selbstbehalt – ohne Periode.

Zum Beispiel 0,5(8) – schreiben Sie den periodischen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch. Der Nachkommateil vor dem Punkt enthält eine Ziffer. Es wird also eine Null geben. Es gibt auch nur eine Zahl in der Periode – 8. Das heißt, es gibt nur eine Neun. Das heißt, Sie müssen 90 in den Nenner schreiben.

Um den Zähler zu bestimmen, müssen Sie 5 von 58 subtrahieren. Das Ergebnis ist 53. Beispielsweise müssten Sie die Antwort als 53/90 schreiben.

Wie werden Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt?

Die einfachste Möglichkeit ist eine Zahl, deren Nenner die Zahl 10, 100 usw. ist. Dann wird der Nenner einfach verworfen und ein Komma zwischen den gebrochenen und ganzzahligen Teilen gesetzt.

Es gibt Situationen, in denen der Nenner leicht zu 10, 100 usw. wird. Zum Beispiel die Zahlen 5, 20, 25. Es reicht aus, sie jeweils mit 2, 5 und 4 zu multiplizieren. Sie müssen lediglich nicht nur den Nenner, sondern auch den Zähler mit derselben Zahl multiplizieren.

Für alle anderen Fälle hilft eine einfache Regel: Teilen Sie den Zähler durch den Nenner. In diesem Fall erhalten Sie möglicherweise zwei mögliche Antworten: einen endlichen oder einen periodischen Dezimalbruch.

Operationen mit gewöhnlichen Brüchen

Addition und Subtraktion

Studierende lernen sie früher kennen als andere. Außerdem haben die Brüche zunächst den gleichen Nenner und dann unterschiedliche. Allgemeine Regeln können auf diesen Plan reduziert werden.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Schreiben Sie zusätzliche Faktoren für alle gewöhnlichen Brüche.

Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner mit den dafür angegebenen Faktoren.

Addieren (subtrahieren) Sie die Zähler der Brüche und lassen Sie den gemeinsamen Nenner unverändert.

Wenn der Zähler des Minuenden kleiner als der Subtrahend ist, müssen wir herausfinden, ob wir eine gemischte Zahl oder einen echten Bruch haben.

Im ersten Fall müssen Sie das gesamte Teil ausleihen. Addiere den Nenner zum Zähler des Bruchs. Und dann führen Sie die Subtraktion durch.

Im zweiten Fall ist es notwendig, die Regel anzuwenden, eine größere Zahl von einer kleineren Zahl zu subtrahieren. Das heißt, vom Modul des Subtrahends subtrahiere das Modul des Minuends und setze als Antwort ein „-“-Zeichen.

Schauen Sie sich das Ergebnis der Addition (Subtraktion) genau an. Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, müssen Sie den ganzen Teil auswählen. Das heißt, man dividiert den Zähler durch den Nenner.

Multiplikation und Division

Um sie auszuführen, müssen Brüche nicht auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Dies erleichtert die Durchführung von Aktionen. Sie verlangen jedoch weiterhin, dass Sie sich an die Regeln halten.

Wenn Sie Brüche multiplizieren, müssen Sie auf die Zahlen im Zähler und Nenner achten. Wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben, können sie reduziert werden.

Multiplizieren Sie die Zähler.

Multiplizieren Sie die Nenner.

Wenn das Ergebnis ein reduzierbarer Bruch ist, muss er erneut vereinfacht werden.

Beim Dividieren müssen Sie zunächst die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor (zweiter Bruch) durch den Kehrwertbruch (Zähler und Nenner vertauschen).

Gehen Sie dann wie bei der Multiplikation vor (ab Punkt 1).

Bei Aufgaben, bei denen Sie mit einer ganzen Zahl multiplizieren (dividieren) müssen, sollte diese als unechter Bruch geschrieben werden. Also mit einem Nenner von 1. Gehen Sie dann wie oben beschrieben vor.



Operationen mit Dezimalzahlen

Addition und Subtraktion

Natürlich können Sie eine Dezimalzahl jederzeit in einen Bruch umwandeln. Und handeln Sie nach dem bereits beschriebenen Plan. Aber manchmal ist es bequemer, ohne diese Übersetzung zu handeln. Dann sind die Regeln für ihre Addition und Subtraktion genau die gleichen.

Gleichen Sie die Anzahl der Ziffern im Bruchteil der Zahl aus, also nach dem Dezimalpunkt. Fügen Sie die fehlende Anzahl Nullen hinzu.

Schreibe die Brüche so, dass das Komma unter dem Komma steht.

Addiere (subtrahiere) wie natürliche Zahlen.

Entfernen Sie das Komma.

Multiplikation und Division

Wichtig ist, dass Sie hier keine Nullen hinzufügen müssen. Brüche sollten so belassen werden, wie sie im Beispiel angegeben sind. Und dann geht es nach Plan.

Um zu multiplizieren, müssen Sie die Brüche untereinander schreiben und dabei die Kommas ignorieren.

Multiplizieren Sie wie natürliche Zahlen.

Setzen Sie ein Komma in die Antwort und zählen Sie vom rechten Ende der Antwort aus so viele Ziffern, wie in den Nachkommastellen beider Faktoren vorhanden sind.

Um zu dividieren, müssen Sie zunächst den Teiler umwandeln: ihn in eine natürliche Zahl umwandeln. Das heißt, multiplizieren Sie es mit 10, 100 usw., je nachdem, wie viele Ziffern der Bruchteil des Divisors enthält.

Multiplizieren Sie die Dividende mit derselben Zahl.

Teilen Sie einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl.

Setzen Sie in Ihrer Antwort ein Komma, wenn die Teilung des gesamten Teils endet.



Was passiert, wenn ein Beispiel beide Arten von Brüchen enthält?

Ja, in der Mathematik gibt es oft Beispiele, in denen Sie Operationen an gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen durchführen müssen. Bei solchen Aufgaben gibt es zwei mögliche Lösungen. Sie müssen die Zahlen objektiv abwägen und die optimale auswählen.

Erster Weg: Stellen Sie gewöhnliche Dezimalzahlen dar

Es eignet sich, wenn durch Division oder Übersetzung endliche Brüche entstehen. Wenn mindestens eine Zahl einen periodischen Teil ergibt, ist diese Technik verboten. Selbst wenn Sie nicht gerne mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten, müssen Sie diese daher zählen.

Zweiter Weg: Dezimalbrüche wie gewöhnlich schreiben

Diese Technik erweist sich als praktisch, wenn der Teil nach dem Komma 1-2 Ziffern enthält. Wenn es mehr davon gibt, erhält man am Ende möglicherweise einen sehr großen gemeinsamen Bruch und die Dezimalschreibweise macht die Berechnung der Aufgabe schneller und einfacher. Daher müssen Sie die Aufgabe immer nüchtern bewerten und die einfachste Lösungsmethode wählen.

Es ist bekannt, dass wenn der Nenner P Hat ein irreduzibler Bruch in seiner kanonischen Entwicklung einen Primfaktor ungleich 2 und 5, dann kann dieser Bruch nicht als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden. Wenn wir in diesem Fall versuchen, den ursprünglichen irreduziblen Bruch als Dezimalzahl aufzuschreiben, indem wir den Zähler durch den Nenner dividieren, kann der Divisionsprozess nicht beendet werden, weil Wäre es nach einer endlichen Anzahl von Schritten abgeschlossen, würden wir einen endlichen Dezimalbruch erhalten, was dem zuvor bewiesenen Satz widerspricht. In diesem Fall lautet die Dezimalschreibweise einer positiven rationalen Zahl also A= scheint ein unendlicher Bruch zu sein.

Zum Beispiel Bruch = 0,3636... . Es ist leicht zu erkennen, dass sich die Reste bei der Division von 4 durch 11 periodisch wiederholen, daher werden die Dezimalstellen periodisch wiederholt, d.h. es stellt sich heraus unendlicher periodischer Dezimalbruch, was als 0,(36) geschrieben werden kann.

Die sich periodisch wiederholenden Zahlen 3 und 6 bilden einen Punkt. Es kann sich herausstellen, dass zwischen dem Dezimalpunkt und dem Beginn der ersten Periode mehrere Ziffern liegen. Diese Zahlen bilden die Vorperiode. Zum Beispiel,

0,1931818... Der Vorgang, 17 durch 88 zu dividieren, ist endlos. Die Zahlen 1, 9, 3 bilden die Vorperiode; 1, 8 – Punkt. Die von uns betrachteten Beispiele spiegeln ein Muster wider, d. h. Jede positive rationale Zahl kann entweder als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden.

Satz 1. Der gewöhnliche Bruch sei in der kanonischen Entwicklung des Nenners irreduzibel N ist ein von 2 und 5 verschiedener Primfaktor. Dann kann der gemeinsame Bruch als unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden.

Nachweisen. Den Vorgang der Division einer natürlichen Zahl kennen wir bereits M zu einer natürlichen Zahl N wird endlos sein. Zeigen wir, dass es periodisch sein wird. Tatsächlich beim Teilen M An N die resultierenden Salden werden kleiner sein N, diese. Zahlen der Form 1, 2, ..., ( N– 1), woraus deutlich wird, dass die Anzahl der verschiedenen Reste endlich ist und daher ab einem bestimmten Schritt ein gewisser Rest wiederholt wird, was die Wiederholung der Dezimalstellen des Quotienten und des unendlichen Dezimalbruchs zur Folge hat wird periodisch.

Es gelten zwei weitere Sätze.

Satz 2. Wenn die Entwicklung des Nenners eines irreduziblen Bruchs in Primfaktoren die Zahlen 2 und 5 nicht umfasst, erhält man bei der Umwandlung dieses Bruchs in einen unendlichen Dezimalbruch einen reinen periodischen Bruch, d.h. ein Bruch, dessen Periode unmittelbar nach dem Dezimalpunkt beginnt.

Satz 3. Wenn die Entwicklung des Nenners die Faktoren 2 (oder 5) oder beide umfasst, wird der unendliche periodische Bruch gemischt, d. h. Zwischen dem Dezimalpunkt und dem Beginn der Periode liegen mehrere Ziffern (Vorperiode), nämlich so viele wie der größte der Exponenten der Faktoren 2 und 5.

Die Sätze 2 und 3 werden dem Leser zur unabhängigen Beweisführung vorgeschlagen.

28. Methoden des Übergangs von unendlich periodisch
Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln

Gegeben sei ein periodischer Bruch A= 0,(4), d.h. 0,4444... .

Lasst uns multiplizieren A um 10 erhalten wir

10A= 4,444…4…Þ 10 A = 4 + 0,444….

Diese. 10 A = 4 + A, wir haben eine Gleichung für erhalten A Wenn wir es lösen, erhalten wir: 9 A= 4 Þ A = .

Wir beachten, dass 4 sowohl der Zähler des resultierenden Bruchs als auch die Periode des Bruchs 0,(4) ist.

Regel Die Umwandlung eines reinen periodischen Bruchs in einen gewöhnlichen Bruch wird wie folgt formuliert: Der Zähler des Bruchs ist gleich der Periode, und der Nenner besteht aus der gleichen Anzahl von Neunen, wie es Ziffern in der Periode des Bruchs gibt.

Beweisen wir diese Regel nun für einen Bruch, dessen Periode besteht aus P

A= . Lasst uns multiplizieren A am 10 N, wir bekommen:

10N × A = = + 0, ;

10N × A = + A;

(10N – 1) A = Þ ein = = .

Damit ist die zuvor formulierte Regel für jeden reinen periodischen Bruch bewiesen.

Geben wir nun einen Bruch an A= 0,605(43) – gemischt periodisch. Lasst uns multiplizieren A um 10 mit dem gleichen Indikator, wie viele Ziffern es in der Vorperiode gibt, d.h. um 10 3 erhalten wir

10 3 × A= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × A = 605 + = 605 + = = ,

diese. 10 3 × A= .

Regel Die Umwandlung eines gemischten periodischen Bruchs in einen gewöhnlichen Bruch wird wie folgt formuliert: Der Zähler des Bruchs ist gleich der Differenz zwischen der vor Beginn der zweiten Periode in Ziffern geschriebenen Zahl und der vor Beginn der ersten Periode in Ziffern geschriebenen Zahl , der Nenner besteht aus der Anzahl der Neunen, die der Anzahl der Ziffern in der Periode entspricht, und einer solchen Anzahl von Nullen, wie viele Ziffern es vor Beginn der ersten Periode gibt.

Beweisen wir diese Regel nun für einen Bruch, dessen Vorperiode besteht aus P Zahlen und der Zeitraum ist von Zu Zahlen Gegeben sei ein periodischer Bruch

Bezeichnen wir V= ; R= ,

Mit= ; Dann Mit=in × 10k + r.

Lasst uns multiplizieren A mal 10 mit einem solchen Exponenten, wie viele Ziffern es in der Vorperiode gibt, d.h. am 10 N, wir bekommen:

A×10 N = + .

Unter Berücksichtigung der oben eingeführten Notationen schreiben wir:

a× 10N= V+ .

Damit ist die oben formulierte Regel für jeden gemischten periodischen Bruch bewiesen.

Jeder unendliche periodische Dezimalbruch ist eine Form der Schreibweise einer rationalen Zahl.

Aus Gründen der Konsistenz wird eine endliche Dezimalzahl manchmal auch als unendliche periodische Dezimalzahl mit dem Punkt „Null“ betrachtet. Zum Beispiel 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3.000... .

Nun wird die folgende Aussage wahr: Jede rationale Zahl kann (und zwar auf eindeutige Weise) durch einen unendlichen periodischen Dezimalbruch ausgedrückt werden, und jeder unendliche periodische Dezimalbruch drückt genau eine rationale Zahl aus (periodische Dezimalbrüche mit einer Periode von 9 werden nicht berücksichtigt). ).

Die Tatsache, dass es viele Quadratwurzeln gibt irrationale Zahlen, beeinträchtigt ihre Bedeutung überhaupt nicht; insbesondere wird die Zahl $\sqrt2$ sehr häufig in verschiedenen technischen und wissenschaftlichen Berechnungen verwendet. Diese Zahl kann mit der jeweils erforderlichen Genauigkeit berechnet werden. Sie können diese Zahl auf so viele Dezimalstellen bringen, wie Sie die Geduld haben.

Beispielsweise kann die Zahl $\sqrt2$ mit einer Genauigkeit von sechs Dezimalstellen ermittelt werden: $\sqrt2=1,414214$. Dieser Wert unterscheidet sich nicht sehr vom wahren Wert, da $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Diese Antwort unterscheidet sich von 2 um kaum mehr als ein Millionstel. Daher wird der Wert von $\sqrt2$ von $1,414214$ als durchaus akzeptabel für die Lösung der meisten praktischen Probleme angesehen. In Fällen, in denen eine höhere Präzision erforderlich ist, ist es nicht schwierig, so viele signifikante Stellen nach dem Dezimalpunkt zu erhalten, wie in diesem Fall benötigt werden.

Wenn Sie jedoch seltene Sturheit zeigen und versuchen, zu extrahieren Quadratwurzel Von der Zahl $\sqrt2$ bis zum Erreichen des genauen Ergebnisses werden Sie Ihre Arbeit nie beenden. Es ist ein nie endender Prozess. Egal wie viele Dezimalstellen man bekommt, es bleiben immer ein paar mehr übrig.

Diese Tatsache könnte Sie genauso überraschen wie die Umwandlung von $\frac13$ in eine unendliche Dezimalzahl $0,333333333…$ und so weiter auf unbestimmte Zeit oder die Umwandlung von $\frac17$ in $0,142857142857142857…$ und so weiter auf unbestimmte Zeit. Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass diese unendlichen und irrationalen Quadratwurzeln Phänomene derselben Art seien, aber das ist keineswegs der Fall. Schließlich haben diese unendlichen Brüche ein gebrochenes Äquivalent, während $\sqrt2$ kein solches Äquivalent hat. Warum genau? Tatsache ist, dass das dezimale Äquivalent von $\frac13$ und $\frac17$ sowie einer unendlichen Anzahl anderer Brüche periodische unendliche Brüche sind.

Gleichzeitig ist das dezimale Äquivalent von $\sqrt2$ ein nichtperiodischer Bruch. Diese Aussage gilt auch für jede irrationale Zahl.

Das Problem besteht darin, dass jede Dezimalzahl eine Annäherung an die Quadratwurzel von 2 darstellt nichtperiodischer Bruch. Egal wie weit wir in unseren Berechnungen gehen, jeder Bruch, den wir erhalten, wird nichtperiodisch sein.

Stellen Sie sich einen Bruch mit einer großen Anzahl nichtperiodischer Nachkommastellen vor. Wenn plötzlich nach der millionsten Stelle die gesamte Folge der Dezimalstellen wiederholt wird, bedeutet dies Dezimal- periodisch und dafür gibt es ein Äquivalent in Form eines Verhältnisses ganzer Zahlen. Wenn ein Bruch mit einer großen Anzahl (Milliarden oder Millionen) nichtperiodischer Dezimalstellen irgendwann eine endlose Reihe sich wiederholender Ziffern hat, zum Beispiel $...55555555555...$, bedeutet das auch, dass dieser Bruch periodisch ist und Es gibt ein Äquivalent in Form eines Verhältnisses ganzer Zahlen.

Allerdings sind ihre dezimalen Äquivalente völlig aperiodisch und können nicht periodisch werden.

Natürlich können Sie die folgende Frage stellen: „Wer kann wissen und sicher sagen, was mit einem Bruch, sagen wir, nach dem Billionenzeichen passiert?“ Wer kann garantieren, dass ein Bruch nicht periodisch wird?“ Es gibt Möglichkeiten, schlüssig zu beweisen, dass irrationale Zahlen nichtperiodisch sind, aber solche Beweise erfordern komplexe Mathematik. Aber wenn sich plötzlich herausstellte, dass die Zahl irrational wird periodischer Bruch Dies würde einen völligen Zusammenbruch der Grundlagen der mathematischen Wissenschaften bedeuten. Und tatsächlich ist dies kaum möglich. Es fällt Ihnen nicht leicht, es auf Ihren Fingerknöcheln von einer Seite zur anderen zu werfen, da es sich hier um eine komplexe mathematische Theorie handelt.

Erinnern Sie sich, wie ich in der allerersten Lektion über Dezimalzahlen gesagt habe, dass es numerische Brüche gibt, die nicht als Dezimalzahlen dargestellt werden können (siehe Lektion „Dezimalzahlen“)? Wir haben auch gelernt, wie man die Nenner von Brüchen faktorisiert, um zu sehen, ob es noch andere Zahlen als 2 und 5 gibt.

Also: Ich habe gelogen. Und heute lernen wir, wie man absolut jeden numerischen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt. Gleichzeitig lernen wir eine ganze Klasse von Brüchen mit unendlich signifikantem Teil kennen.

Eine periodische Dezimalzahl ist jede Dezimalzahl, die:

1. Der signifikante Teil besteht aus unendlich vielen Ziffern;
2. In bestimmten Abständen werden die Zahlen im signifikanten Teil wiederholt.

Der Satz sich wiederholender Ziffern, aus denen der signifikante Teil besteht, wird als periodischer Teil eines Bruchs bezeichnet, und die Anzahl der Ziffern in diesem Satz wird als Periode des Bruchs bezeichnet. Der verbleibende Abschnitt des signifikanten Teils, der sich nicht wiederholt, wird als nichtperiodischer Teil bezeichnet.

Da es viele Definitionen gibt, lohnt es sich, einige dieser Brüche im Detail zu betrachten:

Dieser Bruchteil kommt am häufigsten bei Problemen vor. Nichtperiodischer Teil: 0; periodischer Teil: 3; Periodenlänge: 1.

Nichtperiodischer Teil: 0,58; periodischer Teil: 3; Periodenlänge: wieder 1.

Nichtperiodischer Teil: 1; periodischer Teil: 54; Periodenlänge: 2.

Nichtperiodischer Teil: 0; periodischer Teil: 641025; Periodenlänge: 6. Der Einfachheit halber werden sich wiederholende Teile durch ein Leerzeichen voneinander getrennt – dies ist in dieser Lösung nicht erforderlich.

Nichtperiodischer Teil: 3066; periodischer Teil: 6; Periodenlänge: 1.

Wie Sie sehen, basiert die Definition eines periodischen Bruchs auf dem Konzept wesentlicher Teil einer Zahl. Wenn Sie also vergessen haben, was es ist, empfehle ich Ihnen, es zu wiederholen – siehe Lektion „“.

Übergang zum periodischen Dezimalbruch

Betrachten Sie einen gewöhnlichen Bruch der Form a /b. Lassen Sie uns seinen Nenner in Primfaktoren zerlegen. Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Die Erweiterung enthält nur die Faktoren 2 und 5. Diese Brüche lassen sich leicht in Dezimalzahlen umwandeln – siehe Lektion „Dezimalzahlen“. An solchen Menschen sind wir nicht interessiert;
2. In der Erweiterung gibt es noch etwas anderes als 2 und 5. In diesem Fall kann der Bruch nicht als Dezimalzahl dargestellt werden, sondern kann in eine periodische Dezimalzahl umgewandelt werden.

Um einen periodischen Dezimalbruch zu definieren, müssen Sie seine periodischen und nichtperiodischen Teile finden. Wie? Wandeln Sie den Bruch in einen unechten Bruch um und dividieren Sie dann den Zähler durch den Nenner mithilfe einer Ecke.

Folgendes wird passieren:

1. Wird sich zuerst trennen ganzer Teil, falls vorhanden;
2. Nach dem Komma können mehrere Zahlen stehen;
3. Nach einer Weile beginnen die Zahlen wiederholen.

Das ist alles! Sich wiederholende Zahlen nach dem Komma werden durch den periodischen Teil bezeichnet, Zahlen davor durch den nichtperiodischen Teil.

Aufgabe. Konvertieren Sie gewöhnliche Brüche in periodische Dezimalzahlen:

Alle Brüche ohne ganzzahligen Teil, daher dividieren wir einfach den Zähler durch den Nenner mit einer „Ecke“:

Wie Sie sehen, wiederholen sich die Reste. Schreiben wir den Bruch in der „richtigen“ Form: 1,733 ... = 1,7(3).

Das Ergebnis ist ein Bruch: 0,5833 ... = 0,58(3).

Wir schreiben es in Normalform: 4,0909 ... = 4,(09).

Wir erhalten den Bruch: 0,4141 ... = 0,(41).

Übergang vom periodischen Dezimalbruch zum gewöhnlichen Bruch

Betrachten Sie den periodischen Dezimalbruch X = abc (a 1 b 1 c 1). Es ist erforderlich, es in ein klassisches „zweistöckiges“ umzuwandeln. Befolgen Sie dazu vier einfache Schritte:

1. Finden Sie die Periode des Bruchs, d. h. Zählen Sie, wie viele Ziffern der periodische Teil hat. Dies sei die Zahl k;
2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks X · 10 k. Dies entspricht einer Verschiebung des Dezimalpunkts um einen ganzen Punkt nach rechts – siehe Lektion „Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren“;
3. Der ursprüngliche Ausdruck muss von der resultierenden Zahl subtrahiert werden. In diesem Fall wird der periodische Teil „verbrannt“ und bleibt erhalten gemeinsamer Bruch;
4. Finden Sie X in der resultierenden Gleichung. Wir wandeln alle Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um.

Aufgabe. Wandeln Sie die Zahl in einen gewöhnlichen unechten Bruch um:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Wir arbeiten mit dem ersten Bruch: X = 9,(6) = 9,666 ...

Die Klammern enthalten nur eine Ziffer, daher ist die Periode k = 1. Als nächstes multiplizieren wir diesen Bruch mit 10 k = 10 · 1 = 10. Wir haben:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Subtrahieren Sie den ursprünglichen Bruch und lösen Sie die Gleichung:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Schauen wir uns nun den zweiten Bruch an. Also X = 32,(39) = 32,393939...

Periode k = 2, also alles mit 10 multiplizieren k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Subtrahieren Sie den ursprünglichen Bruch erneut und lösen Sie die Gleichung:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Kommen wir zum dritten Bruch:

Periode k = 1 ⇒ alles mit 10 multiplizieren k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Zum Schluss der letzte Bruch: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Auch hier sind die periodischen Teile der Einfachheit halber durch Leerzeichen voneinander getrennt. Wir haben:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Bekanntlich umfasst die Menge der rationalen Zahlen (Q) die Menge der ganzen Zahlen (Z), die wiederum die Menge der natürlichen Zahlen (N) umfasst. Rationale Zahlen umfassen neben ganzen Zahlen auch Brüche.

Warum wird dann die gesamte Menge rationaler Zahlen manchmal als unendliche periodische Dezimalbrüche betrachtet? Tatsächlich umfassen sie neben Brüchen auch ganze Zahlen sowie nichtperiodische Brüche.

Tatsache ist, dass alle ganzen Zahlen sowie jeder Bruch als unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden können. Das heißt, Sie können für alle rationalen Zahlen dieselbe Aufzeichnungsmethode verwenden.

Wie wird eine unendliche periodische Dezimalzahl dargestellt? Darin wird eine sich wiederholende Gruppe von Zahlen nach dem Komma in Klammern gesetzt. Beispielsweise ist 1,56(12) ein Bruch, in dem sich die Zifferngruppe 12 wiederholt, d. h. der Bruch hat den Wert 1,561212121212... und so weiter endlos. Eine sich wiederholende Zahlengruppe wird als Periode bezeichnet.

Wir können jedoch jede Zahl in dieser Form darstellen, wenn wir ihre Periode als die Zahl 0 betrachten, die sich ebenfalls endlos wiederholt. Beispielsweise ist die Zahl 2 dasselbe wie 2,00000.... Daher kann sie als unendlicher periodischer Bruch geschrieben werden, d. h. 2,(0).

Das Gleiche kann mit jedem endlichen Bruch gemacht werden. Zum Beispiel:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

In der Praxis verwenden sie jedoch nicht die Umwandlung eines endlichen Bruchs in einen unendlichen periodischen Bruch. Daher trennen sie endliche Brüche und unendliche periodische Brüche. Daher ist es richtiger zu sagen, dass die rationalen Zahlen umfassen

• alle ganzen Zahlen
• letzte Brüche,
• unendliche periodische Brüche.

Bedenken Sie dabei einfach, dass ganze Zahlen und endliche Brüche theoretisch in Form unendlicher periodischer Brüche darstellbar sind.

Andererseits sind die Konzepte der endlichen und unendlichen Brüche auf Dezimalbrüche anwendbar. Bei Brüchen können sowohl endliche als auch unendliche Dezimalzahlen eindeutig als Bruch dargestellt werden. Das bedeutet, dass aus der Sicht gewöhnlicher Brüche periodische und endliche Brüche dasselbe sind. Darüber hinaus können ganze Zahlen auch als Bruch dargestellt werden, indem man sich vorstellt, dass man die Zahl durch 1 dividiert.

Wie stellt man einen dezimalen unendlichen periodischen Bruch als gewöhnlichen Bruch dar? Der am häufigsten verwendete Algorithmus sieht etwa so aus:

1. Reduzieren Sie den Bruch so, dass nach dem Dezimalpunkt nur noch ein Punkt steht.
2. Multiplizieren Sie einen unendlichen periodischen Bruch mit 10 oder 100 oder ..., sodass sich der Dezimalpunkt um eine Periode nach rechts verschiebt (d. h. eine Periode ergibt den ganzen Teil).
3. Setzen Sie den ursprünglichen Bruch (a) mit der Variablen x gleich und setzen Sie den durch Multiplikation mit der Zahl N erhaltenen Bruch (b) mit Nx gleich.
4. Subtrahiere x von Nx. Von b subtrahiere ich a. Das heißt, sie bilden die Gleichung Nx – x = b – a.
5. Beim Lösen einer Gleichung ist das Ergebnis ein gewöhnlicher Bruch.

Ein Beispiel für die Umwandlung eines unendlichen periodischen Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =