Russische Sprachklammern in einem Satz. Erweiternde Klammern. Wir präsentieren ähnliche Begriffe
A+(b + c) kann ohne Klammern geschrieben werden: a+(b + c)=a + b + c. Dieser Vorgang wird als Öffnen von Klammern bezeichnet.
Beispiel 1.Öffnen wir die Klammern im Ausdruck a + (- b + c).
Lösung. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, können Sie die Klammern und dieses „+“-Zeichen weglassen und dabei die Vorzeichen der Begriffe in den Klammern beibehalten. Wenn der erste Begriff in Klammern ohne Vorzeichen geschrieben wird, muss er mit einem „+“-Zeichen geschrieben werden.
Beispiel 2. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks -2,87+ (2,87-7,639) ermitteln.
Lösung. Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.
Um den Wert des Ausdrucks - (- 9 + 5) zu finden, müssen Sie addieren Zahlen-9 und 5 und finden Sie die Zahl, die der resultierenden Summe entgegengesetzt ist: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Der gleiche Wert kann auch auf andere Weise erhalten werden: Schreiben Sie zunächst die diesen Begriffen entgegengesetzten Zahlen auf (d. h. ändern Sie ihre Vorzeichen) und addieren Sie dann: 9 + (- 5) = 4. Somit ist -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Um eine Summe im Gegenteil zur Summe mehrerer Terme zu schreiben, müssen Sie die Vorzeichen dieser Terme ändern.
Das bedeutet - (a + b) = - a - b.
Beispiel 3. Finden wir den Wert des Ausdrucks 16 - (10 -18 + 12).
Lösung. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Um Klammern zu öffnen, denen ein „-“-Zeichen vorangestellt ist, müssen Sie dieses Zeichen durch „+“ ersetzen, die Vorzeichen aller Begriffe in den Klammern in das Gegenteil ändern und dann die Klammern öffnen.
Beispiel 4. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks 9,36-(9,36 - 5,48) ermitteln.
Lösung. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Klammern erweitern und kommutative und assoziative Eigenschaften anwenden Zusatz ermöglichen es Ihnen, Berechnungen zu vereinfachen.
Beispiel 5. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 ermitteln.
Lösung.Öffnen wir zunächst die Klammern, ermitteln wir dann getrennt die Summe aller positiven und getrennt die Summe aller negativen Zahlen und addieren schließlich die Ergebnisse:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Beispiel 6. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks ermitteln
Lösung. Stellen wir uns zunächst jeden Term als die Summe seiner ganzzahligen und gebrochenen Teile vor, öffnen dann die Klammern und fügen dann die ganzen Zahlen einzeln hinzu gebrochen Teile und addiere schließlich die Ergebnisse:
Wie öffnet man Klammern, denen ein „+“-Zeichen vorangestellt ist? Wie kann man den Wert eines Ausdrucks ermitteln, der das Gegenteil der Summe mehrerer Zahlen ist? Wie erweitert man Klammern, denen ein „-“-Zeichen vorangestellt ist?
1218. Öffnen Sie die Klammern:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).
1219. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
1220. Öffnen Sie die Klammern:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Öffnen Sie die Klammern und finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
1222. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1223. Schreiben Menge zwei Ausdrücke und vereinfache es:
a) - 4 - m und m + 6,4; d) a+b und p - b
b) 1.1+a und -26-a; e) – m + n und –k – n;
c) a + 13 und -13 + b; e)m - n und n - m.
1224. Schreiben Sie die Differenz zweier Ausdrücke und vereinfachen Sie sie:
1226. Verwenden Sie die Gleichung, um das Problem zu lösen:
a) Auf einem Regal befinden sich 42 Bücher, auf dem anderen 34. Aus dem zweiten Regal wurden mehrere Bücher entfernt und aus dem ersten Regal wurden so viele Bücher entnommen, wie auf dem zweiten übrig blieben. Danach waren im ersten Regal noch 12 Bücher übrig. Wie viele Bücher wurden aus dem zweiten Regal entfernt?
b) In der ersten Klasse gibt es 42 Schüler, in der zweiten sind es 3 Schüler weniger als in der dritten. Wie viele Schüler gibt es in der dritten Klasse, wenn in diesen drei Klassen 125 Schüler sind?
1227. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
1228. Berechnen Sie mündlich:
1229. Finden Sie den größten Wert des Ausdrucks:
1230. Geben Sie 4 aufeinanderfolgende Ganzzahlen an, wenn:
a) der kleinere davon ist -12; c) der kleinere von ihnen ist n;
b) der größte davon ist -18; d) der größere von ihnen ist gleich k.
Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Die Summe der Monome nennt man Polynom. Die Terme in einem Polynom werden Terme des Polynoms genannt. Monome werden auch als Polynome klassifiziert, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Glied besteht.
Zum Beispiel ein Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kann vereinfacht werden.
Stellen wir alle Begriffe in Form von Monomen der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Lassen Sie uns ähnliche Terme im resultierenden Polynom darstellen:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Terme alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome heißen Polynome der Standardform.
Hinter Grad des Polynoms einer Standardform nehmen die höchsten Befugnisse ihrer Mitglieder in Anspruch. Somit hat das Binomial \(12a^2b - 7b\) den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6\) den zweiten.
Typischerweise sind die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge der Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Die Summe mehrerer Polynome kann in ein Polynom der Standardform umgewandelt (vereinfacht) werden.
Manchmal müssen die Terme eines Polynoms in Gruppen unterteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt werden muss. Da einschließende Klammern die Umkehrtransformation öffnender Klammern sind, ist sie leicht zu formulieren Regeln zum Öffnen von Klammern:
Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.
Wenn vor den Klammern ein „-“-Zeichen steht, werden die in den Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.
Transformation (Vereinfachung) des Produkts eines Monoms und eines Polynoms
Mithilfe der Verteilungseigenschaft der Multiplikation können Sie das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom umwandeln (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.
Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.
Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie dieses Monom mit jedem Term des Polynoms multiplizieren.
Wir haben diese Regel bereits mehrfach angewendet, um mit einer Summe zu multiplizieren.
Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome
Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Termes eines Polynoms und jedes Termes des anderen.
Normalerweise wird die folgende Regel verwendet.
Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.
Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summenquadrate, Differenzen und Quadratdifferenzen
Mit manchen Ausdrücken muss man sich in algebraischen Transformationen häufiger auseinandersetzen als mit anderen. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, das Quadrat von der Unterschied und die Differenz der Quadrate. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, zum Beispiel ist \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von a und b . Allerdings kommt das Quadrat der Summe von a und b nicht sehr häufig vor; in der Regel enthält es anstelle der Buchstaben a und b verschiedene, teilweise recht komplexe Ausdrücke.
Die Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen); tatsächlich sind Sie dieser Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Es ist nützlich, sich die resultierenden Identitäten zu merken und sie ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) – das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und dem Doppelprodukt.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) – das Quadrat der Differenz ist gleich der Summe der Quadrate ohne das verdoppelte Produkt.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) – die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.
Diese drei Identitäten ermöglichen es einem, bei Transformationen seine linken Teile durch rechte Teile zu ersetzen und umgekehrt – rechte Teile durch linke Teile. Am schwierigsten ist es, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, wie die Variablen a und b darin ersetzt werden. Schauen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.
Das Erweitern von Klammern ist eine Art Ausdruckstransformation. In diesem Abschnitt beschreiben wir die Regeln zum Öffnen von Klammern und schauen uns auch die häufigsten Beispiele für Probleme an.
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Was sind öffnende Klammern?
Klammern werden verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen in numerischen, literalen und variablen Ausdrücken ausgeführt werden. Es ist praktisch, von einem Ausdruck mit Klammern zu einem identisch gleichen Ausdruck ohne Klammern zu wechseln. Ersetzen Sie beispielsweise den Ausdruck 2 · (3 + 4) durch einen Ausdruck der Form 2 3 + 2 4 ohne Klammern. Diese Technik wird als Öffnen von Klammern bezeichnet.
Definition 1
Das Erweitern von Klammern bezieht sich auf Techniken zum Entfernen von Klammern und wird normalerweise in Bezug auf Ausdrücke betrachtet, die Folgendes enthalten können:
- Zeichen „+“ oder „-“ vor Klammern, die Summen oder Differenzen enthalten;
- das Produkt aus einer Zahl, einem Buchstaben oder mehreren Buchstaben und einer Summe oder Differenz, das in Klammern gesetzt wird.
So sind wir es gewohnt, den Prozess des Öffnens von Klammern im Lehrplan der Schule zu sehen. Allerdings hindert uns niemand daran, diese Aktion umfassender zu betrachten. Wir können Klammern aufrufen, um den Übergang von einem Ausdruck, der negative Zahlen in Klammern enthält, zu einem Ausdruck zu öffnen, der keine Klammern hat. Zum Beispiel können wir von 5 + (− 3) − (− 7) auf 5 − 3 + 7 gehen. Tatsächlich ist dies auch eine Öffnung von Klammern.
Auf die gleiche Weise können wir das Produkt von Ausdrücken in Klammern der Form (a + b) · (c + d) durch die Summe a · c + a · d + b · c + b · d ersetzen. Diese Technik widerspricht auch nicht der Bedeutung öffnender Klammern.
Hier ist ein weiteres Beispiel. Wir können davon ausgehen, dass in Ausdrücken beliebige Ausdrücke anstelle von Zahlen und Variablen verwendet werden können. Beispielsweise entspricht der Ausdruck x 2 · 1 a - x + sin (b) einem Ausdruck ohne Klammern der Form x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Ein weiterer Punkt verdient besondere Aufmerksamkeit, nämlich die Besonderheiten der Protokollierung von Entscheidungen beim Öffnen von Klammern. Wir können den anfänglichen Ausdruck in Klammern schreiben und das Ergebnis, das wir nach dem Öffnen der Klammern erhalten, als Gleichheit schreiben. Zum Beispiel nach dem Erweitern der Klammern anstelle des Ausdrucks 3 − (5 − 7) wir bekommen den Ausdruck 3 − 5 + 7 . Wir können diese beiden Ausdrücke als Gleichheit 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 schreiben.
Das Ausführen von Aktionen mit umständlichen Ausdrücken kann die Aufzeichnung von Zwischenergebnissen erfordern. Dann hat die Lösung die Form einer Gleichungskette. Zum Beispiel, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 oder 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Regeln zum Öffnen von Klammern, Beispiele
Schauen wir uns zunächst die Regeln zum Öffnen von Klammern an.
Für einzelne Zahlen in Klammern
In Ausdrücken kommen häufig negative Zahlen in Klammern vor. Zum Beispiel (− 4) und 3 + (− 4) . Auch positive Zahlen in Klammern haben ihren Platz.
Lassen Sie uns eine Regel zum Öffnen von Klammern formulieren, die einzelne positive Zahlen enthalten. Nehmen wir an, dass a eine beliebige positive Zahl ist. Dann können wir (a) durch a, + (a) durch + a, - (a) durch – a ersetzen. Wenn wir statt a eine bestimmte Zahl nehmen, dann wird nach der Regel: die Zahl (5) geschrieben als 5 , Ausdruck 3 + (5) ohne Klammern wird die Form annehmen 3 + 5 , da + (5) durch ersetzt wird + 5 , und der Ausdruck 3 + (− 5) ist äquivalent zum Ausdruck 3 − 5 , als + (− 5) wird ersetzt durch − 5 .
Positive Zahlen werden normalerweise ohne die Verwendung von Klammern geschrieben, da Klammern in diesem Fall unnötig sind.
Betrachten Sie nun die Regel zum Öffnen von Klammern, die eine einzelne negative Zahl enthalten. + (− a) wir ersetzen durch − a, − (− a) wird durch + a ersetzt. Wenn der Ausdruck mit einer negativen Zahl beginnt (−a), das in Klammern geschrieben wird, dann werden die Klammern weggelassen und stattdessen (−a)Überreste − a.
Hier sind einige Beispiele: (− 5) kann geschrieben werden als − 5, (− 3) + 0, 5 wird zu − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) wird 4 − 3 , und − (− 4) − (− 3) nimmt nach dem Öffnen der Klammern die Form 4 + 3 an, da − (− 4) und − (− 3) wird durch + 4 und + 3 ersetzt.
Es versteht sich, dass der Ausdruck 3 · (− 5) nicht als 3 · − 5 geschrieben werden kann. Dies wird in den folgenden Absätzen besprochen.
Sehen wir uns an, worauf die Regeln zum Öffnen von Klammern basieren.
Nach der Regel ist die Differenz a − b gleich a + (− b) . Basierend auf den Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen können wir eine Kette von Gleichheiten erstellen (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a Das wird fair sein. Diese Gleichungskette beweist aufgrund der Bedeutung der Subtraktion, dass der Ausdruck a + (− b) die Differenz ist a − b.
Basierend auf den Eigenschaften entgegengesetzter Zahlen und den Regeln zum Subtrahieren negativer Zahlen können wir sagen, dass − (− a) = a, a − (− b) = a + b.
Es gibt Ausdrücke, die aus einer Zahl, Minuszeichen und mehreren Klammerpaaren bestehen. Mithilfe der oben genannten Regeln können Sie Klammern nacheinander entfernen, indem Sie von der inneren zur äußeren Klammer oder in die entgegengesetzte Richtung wechseln. Ein Beispiel für einen solchen Ausdruck wäre − (− ((− (5)))) . Öffnen wir die Klammern von innen nach außen: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Dieses Beispiel kann auch in umgekehrter Richtung analysiert werden: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Unter A und b können nicht nur als Zahlen verstanden werden, sondern auch als beliebige numerische oder alphabetische Ausdrücke mit einem „+“-Zeichen davor, die keine Summen oder Differenzen sind. In all diesen Fällen können Sie die Regeln auf die gleiche Weise anwenden, wie wir es für einzelne Zahlen in Klammern getan haben.
Zum Beispiel nach dem Öffnen der Klammern der Ausdruck − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) wird die Form 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z annehmen. Wie haben wir es gemacht? Wir wissen, dass − (− 2 x) + 2 x ist, und da dieser Ausdruck an erster Stelle steht, kann + 2 x als 2 x geschrieben werden, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x und − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
In Produkten aus zwei Zahlen
Beginnen wir mit der Regel zum Öffnen von Klammern im Produkt zweier Zahlen.
Tun wir mal so A und b sind zwei positive Zahlen. In diesem Fall das Produkt zweier negativer Zahlen − a und − b der Form (− a) · (− b) können wir durch (a · b) ersetzen, und die Produkte zweier Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen der Form (− a) · b und a · (− b) kann ersetzt werden durch (− a b). Die Multiplikation eines Minus mit einem Minus ergibt ein Plus, und die Multiplikation eines Minus mit einem Plus ergibt ein Minus, so wie die Multiplikation eines Plus mit einem Minus.
Die Richtigkeit des ersten Teils der geschriebenen Regel wird durch die Regel zur Multiplikation negativer Zahlen bestätigt. Um den zweiten Teil der Regel zu bestätigen, können wir die Regeln zum Multiplizieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen verwenden.
Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Beispiel 1
Betrachten wir einen Algorithmus zum Öffnen von Klammern im Produkt zweier negativer Zahlen - 4 3 5 und - 2 der Form (- 2) · - 4 3 5. Ersetzen Sie dazu den ursprünglichen Ausdruck durch 2 · 4 3 5 . Öffnen wir die Klammern und erhalten wir 2 · 4 3 5 .
Und wenn wir den Quotienten der negativen Zahlen (− 4) : (− 2) nehmen, dann sieht der Eintrag nach dem Öffnen der Klammern wie 4: 2 aus
Anstelle negativer Zahlen − a und − b können beliebige Ausdrücke mit einem Minuszeichen davor sein, die keine Summen oder Differenzen sind. Dies können beispielsweise Produkte, Quotienten, Brüche, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, trigonometrische Funktionen usw. sein.
Öffnen wir die Klammern im Ausdruck - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Nach der Regel können wir folgende Transformationen durchführen: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Ausdruck (− 3) 2 kann in den Ausdruck (− 3 2) umgewandelt werden. Danach können Sie die Klammern erweitern: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Das Teilen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen erfordert möglicherweise auch eine vorherige Erweiterung der Klammern: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 und 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Mit der Regel können Multiplikationen und Divisionen von Ausdrücken mit unterschiedlichen Vorzeichen durchgeführt werden. Lassen Sie uns zwei Beispiele nennen.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
Sünde (x) (- x 2) = (- Sünde (x) x 2) = - Sünde (x) x 2
In Produkten aus drei oder mehr Zahlen
Kommen wir zu Produkten und Quotienten, die eine größere Anzahl von Zahlen enthalten. Zum Öffnen von Klammern gilt hier die folgende Regel. Wenn es eine gerade Anzahl negativer Zahlen gibt, können Sie die Klammern weglassen und die Zahlen durch ihre Gegensätze ersetzen. Danach müssen Sie den resultierenden Ausdruck in neue Klammern setzen. Wenn es eine ungerade Anzahl negativer Zahlen gibt, lassen Sie die Klammern weg und ersetzen Sie die Zahlen durch ihre Gegensätze. Danach muss der resultierende Ausdruck in neue Klammern gesetzt und mit einem Minuszeichen davor versehen werden.
Beispiel 2
Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck 5 · (− 3) · (− 2), der das Produkt dreier Zahlen ist. Es gibt zwei negative Zahlen, daher können wir den Ausdruck schreiben als (5 · 3 · 2) und öffnen Sie schließlich die Klammern, um den Ausdruck 5 · 3 · 2 zu erhalten.
Im Produkt (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) sind fünf Zahlen negativ. also (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Nachdem wir endlich die Klammern geöffnet haben, erhalten wir −2,5 3:2 4:1,25:1.
Die obige Regel kann wie folgt begründet werden. Erstens können wir solche Ausdrücke als Produkt umschreiben, indem wir die Division durch die Multiplikation mit der Kehrzahl ersetzen. Wir stellen jede negative Zahl als Produkt einer Multiplikationszahl dar und - 1 oder - 1 wird durch ersetzt (− 1) a.
Mithilfe der kommutativen Eigenschaft der Multiplikation tauschen wir Faktoren aus und übertragen alle Faktoren gleich − 1 , bis zum Anfang des Ausdrucks. Das Produkt einer geraden Zahl minus eins ist gleich 1 und das Produkt einer ungeraden Zahl ist gleich − 1 , wodurch wir das Minuszeichen verwenden können.
Wenn wir die Regel nicht verwenden würden, würde die Aktionskette zum Öffnen der Klammern im Ausdruck - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 wie folgt aussehen:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Die obige Regel kann beim Öffnen von Klammern in Ausdrücken verwendet werden, die Produkte und Quotienten mit einem Minuszeichen darstellen, die keine Summen oder Differenzen sind. Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Es kann auf den Ausdruck ohne Klammern x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 reduziert werden.
Erweiternde Klammern mit vorangestelltem +-Zeichen
Stellen Sie sich eine Regel vor, die zum Erweitern von Klammern angewendet werden kann, denen ein Pluszeichen vorangestellt ist, und bei der der „Inhalt“ dieser Klammern nicht mit einer Zahl oder einem Ausdruck multipliziert oder dividiert wird.
Gemäß der Regel werden die Klammern samt dem Vorzeichen weggelassen, während die Vorzeichen aller in den Klammern stehenden Begriffe erhalten bleiben. Wenn vor dem ersten Term in Klammern kein Vorzeichen steht, müssen Sie ein Pluszeichen setzen.
Beispiel 3
Wir geben zum Beispiel den Ausdruck an (12 − 3 , 5) − 7 . Indem wir die Klammern weglassen, behalten wir die Vorzeichen der in Klammern stehenden Terme bei und setzen ein Pluszeichen vor den ersten Term. Der Eintrag sieht wie folgt aus: (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Im gegebenen Beispiel ist es nicht notwendig, vor dem ersten Term ein Vorzeichen zu setzen, da + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.
Beispiel 4
Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Nehmen wir den Ausdruck x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x und führen damit die Aktionen x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x aus + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Hier ist ein weiteres Beispiel für erweiternde Klammern:
Beispiel 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Wie werden Klammern mit vorangestelltem Minuszeichen erweitert?
Betrachten wir Fälle, in denen vor den Klammern ein Minuszeichen steht und die nicht mit einer Zahl oder einem Ausdruck multipliziert (oder dividiert) werden. Gemäß der Regel zum Öffnen von Klammern mit vorangestelltem „-“-Zeichen werden Klammern mit einem „-“-Zeichen weggelassen und die Vorzeichen aller Begriffe innerhalb der Klammern werden umgekehrt.
Beispiel 6
Z.B:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Ausdrücke mit Variablen können nach der gleichen Regel konvertiert werden:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
wir erhalten x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Öffnende Klammern beim Multiplizieren einer Zahl mit einer Klammer, Ausdrücke mit einer Klammer
Hier betrachten wir Fälle, in denen Sie Klammern erweitern müssen, die mit einer Zahl oder einem Ausdruck multipliziert oder dividiert werden. Formeln der Form (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) oder b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Wo a 1 , a 2 , … , a n und b sind einige Zahlen oder Ausdrücke.
Beispiel 7
Erweitern wir beispielsweise die Klammern im Ausdruck (3 − 7) 2. Nach der Regel können wir folgende Transformationen durchführen: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Wir erhalten 3 · 2 − 7 · 2 .
Wenn wir die Klammern im Ausdruck 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 öffnen, erhalten wir 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Klammer mit Klammer multiplizieren
Betrachten Sie das Produkt zweier Klammern der Form (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Dies wird uns helfen, eine Regel zum Öffnen von Klammern zu erhalten, wenn wir eine Klammer-für-Klammer-Multiplikation durchführen.
Um das gegebene Beispiel zu lösen, bezeichnen wir den Ausdruck (b 1 + b 2) wie b. Dadurch können wir die Regel zum Multiplizieren einer Klammer mit einem Ausdruck verwenden. Wir erhalten (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Durch eine umgekehrte Ersetzung B durch (b 1 + b 2), wenden Sie erneut die Regel der Multiplikation eines Ausdrucks mit einer Klammer an: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Dank einer Reihe einfacher Techniken können wir die Summe der Produkte jedes der Terme aus der ersten Klammer mit jedem der Terme aus der zweiten Klammer ermitteln. Die Regel kann auf beliebig viele Begriffe innerhalb der Klammern erweitert werden.
Lassen Sie uns die Regeln für die Multiplikation von Klammern mit Klammern formulieren: Um zwei Summen miteinander zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term der ersten Summe mit jedem Term der zweiten Summe multiplizieren und die Ergebnisse addieren.
Die Formel sieht folgendermaßen aus:
(a 1 + a 2 + . . . + am) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Erweitern wir die Klammern im Ausdruck (1 + x) · (x 2 + x + 6). Es ist das Produkt zweier Summen. Schreiben wir die Lösung: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Es lohnt sich, die Fälle gesondert zu erwähnen, in denen neben Pluszeichen auch ein Minuszeichen in Klammern steht. Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Stellen wir zunächst die Ausdrücke in Klammern als Summen dar: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Jetzt können wir die Regel anwenden: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Öffnen wir die Klammern: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Erweiternde Klammern in Produkten mehrerer Klammern und Ausdrücke
Wenn ein Ausdruck drei oder mehr Ausdrücke in Klammern enthält, müssen die Klammern nacheinander geöffnet werden. Sie müssen die Transformation beginnen, indem Sie die ersten beiden Faktoren in Klammern setzen. Innerhalb dieser Klammern können wir Transformationen nach den oben besprochenen Regeln durchführen. Zum Beispiel die Klammern im Ausdruck (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Der Ausdruck enthält drei Faktoren gleichzeitig (2 + 4) , 3 und (5 + 7 8) . Wir werden die Klammern nacheinander öffnen. Schließen wir die ersten beiden Faktoren in eine weitere Klammer ein, die wir der Übersichtlichkeit halber rot markieren: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Gemäß der Regel zum Multiplizieren einer Klammer mit einer Zahl können wir folgende Aktionen ausführen: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Klammer für Klammer multiplizieren: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Halterung in Form von Sachleistungen
Grade, deren Basis einige in Klammern geschriebene Ausdrücke mit natürlichen Exponenten sind, können als Produkt mehrerer Klammern betrachtet werden. Darüber hinaus können sie gemäß den Regeln aus den beiden vorherigen Absätzen auch ohne diese Klammern geschrieben werden.
Betrachten Sie den Prozess der Transformation des Ausdrucks (a + b + c) 2 . Es kann als Produkt zweier Klammern geschrieben werden (a + b + c) · (a + b + c). Multiplizieren wir Klammer für Klammer und erhalten wir a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Schauen wir uns ein anderes Beispiel an:
Beispiel 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Teilen von Klammern durch Zahlen und Klammern durch Klammern
Das Teilen einer Klammer durch eine Zahl erfordert, dass alle in Klammern eingeschlossenen Begriffe durch die Zahl geteilt werden. Zum Beispiel (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Die Division kann zunächst durch Multiplikation ersetzt werden. Anschließend können Sie die entsprechende Regel zum Öffnen von Klammern in einem Produkt verwenden. Die gleiche Regel gilt beim Teilen einer Klammer durch eine Klammer.
Zum Beispiel müssen wir die Klammern im Ausdruck (x + 2) : 2 3 öffnen. Dazu ersetzt man zunächst die Division durch Multiplikation mit der Kehrzahl (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Multiplizieren Sie die Klammer mit der Zahl (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Hier ist ein weiteres Beispiel für eine Division durch Klammern:
Beispiel 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Ersetzen wir die Division durch Multiplikation: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Machen wir die Multiplikation: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Reihenfolge der öffnenden Klammern
Betrachten wir nun die Reihenfolge der Anwendung der oben besprochenen Regeln in allgemeinen Ausdrücken, d. h. in Ausdrücken, die Summen mit Differenzen, Produkte mit Quotienten, Klammern im natürlichen Ausmaß enthalten.
Verfahren:
- Der erste Schritt besteht darin, die Klammern auf eine natürliche Stärke anzuheben.
- im zweiten Schritt erfolgt das Öffnen von Klammern in Werken und Quotienten;
- Der letzte Schritt besteht darin, die Klammern in den Summen und Differenzen zu öffnen.
Betrachten wir die Reihenfolge der Aktionen am Beispiel des Ausdrucks (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Lassen Sie uns aus den Ausdrücken 3 · (− 2) : (− 4) und 6 · (− 7) transformieren, die die Form annehmen sollten (3 2:4) und (− 6 · 7) . Wenn wir die erhaltenen Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten wir: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Öffnen Sie die Klammern: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Beim Umgang mit Ausdrücken, die Klammern innerhalb von Klammern enthalten, ist es praktisch, Transformationen durchzuführen, indem man von innen nach außen arbeitet.
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Die Hauptfunktion von Klammern besteht darin, die Reihenfolge der Aktionen bei der Berechnung von Werten zu ändern. Zum Beispiel, im numerischen Ausdruck \(5·3+7\) wird zuerst die Multiplikation berechnet und dann die Addition: \(5·3+7 =15+7=22\). Aber im Ausdruck \(5·(3+7)\) wird zuerst die Addition in Klammern berechnet und erst dann die Multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammer: \(-(4m+3)\).
Lösung
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Beispiel.
Öffnen Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme \(5-(3x+2)+(2+3x)\) an.
Lösung
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammern \(5(3-x)\).
Lösung
: In der Klammer stehen \(3\) und \(-x\), und vor der Klammer steht eine Fünf. Das bedeutet, dass jedes Mitglied der Klammer mit \(5\) multipliziert wird – ich erinnere Sie daran Das Multiplikationszeichen zwischen einer Zahl und einer Klammer wird in der Mathematik nicht geschrieben, um die Größe von Einträgen zu verringern.
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammern \(-2(-3x+5)\).
Lösung
: Wie im vorherigen Beispiel werden \(-3x\) und \(5\) in der Klammer mit \(-2\) multipliziert.
Beispiel.
Vereinfachen Sie den Ausdruck: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Lösung
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Es bleibt die letzte Situation zu betrachten.
Bei der Multiplikation einer Klammer mit einer Klammer wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten multipliziert:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammern \((2-x)(3x-1)\).
Lösung
: Wir haben ein Produkt aus Klammern und es kann sofort mit der obigen Formel erweitert werden. Aber um nicht verwirrt zu werden, gehen wir alles Schritt für Schritt durch.
Schritt 1. Entfernen Sie die erste Klammer – multiplizieren Sie jeden ihrer Terme mit der zweiten Klammer:
Schritt 2. Erweitern Sie die Produkte der Klammern und des Faktors wie oben beschrieben:
- Das wichtigste zuerst...
Dann der zweite.
Schritt 3. Jetzt multiplizieren wir und stellen ähnliche Begriffe dar:
Es ist nicht notwendig, alle Transformationen so detailliert zu beschreiben, Sie können sie sofort multiplizieren. Aber wenn Sie gerade erst lernen, wie man Klammern öffnet und ausführlich schreibt, ist die Wahrscheinlichkeit, Fehler zu machen, geringer.
Hinweis zum gesamten Abschnitt. Tatsächlich müssen Sie sich nicht alle vier Regeln merken, Sie müssen sich nur eine merken, diese: \(c(a-b)=ca-cb\) . Warum? Denn wenn Sie eins anstelle von c ersetzen, erhalten Sie die Regel \((a-b)=a-b\) . Und wenn wir minus eins ersetzen, erhalten wir die Regel \(-(a-b)=-a+b\) . Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.
Klammer innerhalb einer Klammer
In der Praxis gibt es manchmal Probleme mit Klammern, die in anderen Klammern verschachtelt sind. Hier ist ein Beispiel für eine solche Aufgabe: Vereinfachen Sie den Ausdruck \(7x+2(5-(3x+y))\).
Um solche Aufgaben erfolgreich zu lösen, benötigen Sie:
- Verstehen Sie sorgfältig die Verschachtelung von Klammern – welche steht in welcher;
- Öffnen Sie die Klammern nacheinander, beginnend beispielsweise mit der innersten.
Dies ist wichtig, wenn Sie eine der Klammern öffnen Berühren Sie nicht den Rest des Ausdrucks, schreibe es einfach so um, wie es ist.
Schauen wir uns die oben beschriebene Aufgabe als Beispiel an.
Beispiel.
Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme an: \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lösung:
Beispiel.
Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Begriffe an: \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Lösung
:
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\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Hier liegt eine dreifache Verschachtelung der Klammern vor. Beginnen wir mit dem Innersten (grün hervorgehoben). Vor der Halterung befindet sich ein Plus, sodass sie einfach abgenommen werden kann. |
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\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Jetzt müssen Sie die zweite Klammer, die mittlere, öffnen. Zuvor vereinfachen wir jedoch den Ausdruck der geisterhaften Begriffe in dieser zweiten Klammer. |
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\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Nun öffnen wir die zweite Klammer (blau hervorgehoben). Vor der Klammer steht ein Faktor – also wird jeder Term in der Klammer damit multipliziert. |
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\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
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Und öffnen Sie die letzte Klammer. Vor der Klammer steht ein Minuszeichen, alle Vorzeichen sind also vertauscht. |
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Das Erweitern von Klammern ist eine grundlegende Fähigkeit der Mathematik. Ohne diese Fähigkeit ist es unmöglich, in den Klassen 8 und 9 eine Note über C zu erreichen. Daher empfehle ich Ihnen, dieses Thema gut zu verstehen.
