Es gibt einen Unterrichtsplan

Stimmt die Unterrichtsstruktur mit dem Plan überein?

Einschätzung der Wirksamkeit der Wahl der Unterrichtsart, Art des Unterrichts

Rationalität der Zeitverteilung zwischen einzelnen Elementen (Unterrichtsmodule)

1

0,25

0,25

0,25

0,25

1

II

Ziele und Zielsetzungen des Unterrichts

Sind die Ziele und Zielsetzungen des Unterrichts im Plan definiert?

Hat der Lehrer die Schüler damit vertraut gemacht?

Gründe für die Auswahl von Zielen

Art der Zielsetzung (vom Lehrer gemeinsam mit den Schülern)

1

0,25

0,25

0,25

0,25

1

III

Bedingungen für die Organisation einer Unterrichtsstunde

psychologische und hygienische Bedingungen (Komfort, Beleuchtung usw.)

Bereitschaft des Publikums und der Schüler für den Unterricht

Zustand der Tafel, Ausstattung, Büro

Kultur der zwischenmenschlichen Beziehungen

1

0,25

0,25

0,25

0,25

1

IV

Buchhaltung und Wissenskontrolle

Kennt der Lehrer die Fragetechnik?

Anzahl der Befragten (Gruppenaktivität)

Objektivität der Bewertung

3

1

1

1

3

V

Vermittlung neuen Wissens

Wissenschaftlichkeit und Zugänglichkeit der Präsentation

Verbindung dieses Wissens mit zuvor studierten

interdisziplinäre und intradisziplinäre Verbindungen

Einsatz visueller Hilfsmittel, TSO

Einsatz neuer pädagogischer Technologien, aktive Lehrmethoden

6

1

1

1

1

1

1

6

VI

Festigung des Wissens

Rationalität der verwendeten Formen (Kollektiv, Gruppe, Individuum)

Aktivierung und Stimulation der kognitiven Aktivität

Verwendung didaktischer Handouts

3

1

1

1

3

VII

Unterrichtsergebnisse

Umsetzung des Unterrichtsplans

Umsetzung gesetzter Ziele

Fähigkeit, die Arbeit der Schüler im Unterricht zu analysieren und die Ergebnisse zusammenzufassen

Art und Umfang der Hausaufgaben

1

0,25

0,25

0,25

0,25

1

VIII

Gesamtpunktzahl

16

16

Die Beurteilung der Qualität der Trainingseinheit erfolgt anhand der Gesamtpunktzahl:

Bei einer Gesamtpunktzahl von 13-15 Punkten wird die Note „sehr gut“ vergeben;

Die Bewertung „gut“ erfolgt bei einer Gesamtpunktzahl von 10-12 Punkten;

die Note „befriedigend“ liegt bei einer Gesamtpunktzahl von 8-9 Punkten vor;

beträgt die Gesamtpunktzahl weniger als 8 Punkte, lautet die Note „nicht ausreichend“.

Unterrichtsbewertung: ausgezeichnet

Empfehlungen der Teilnehmer des Kurses:__________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Teilnehmerin des Kurses: Aryukova Elena Petrovna _________

Kurganova O.R. ist mit der Analyse der Lektion vertraut. _________

Skalarprodukt von Vektoren

Wir beschäftigen uns weiterhin mit Vektoren. In der ersten Unterrichtsstunde Vektoren für Dummies Wir haben uns das Konzept eines Vektors, Aktionen mit Vektoren, Vektorkoordinaten und die einfachsten Probleme mit Vektoren angesehen. Wenn Sie zum ersten Mal über eine Suchmaschine auf diese Seite gelangt sind, empfehle ich Ihnen dringend, den obigen Einführungsartikel zu lesen, denn um das Material zu beherrschen, müssen Sie mit den von mir verwendeten Begriffen und Notationen vertraut sein, über Grundkenntnisse über Vektoren verfügen und in der Lage sein, grundlegende Probleme zu lösen. Diese Lektion ist eine logische Fortsetzung des Themas und ich werde darin typische Aufgaben, die das Skalarprodukt von Vektoren verwenden, im Detail analysieren. Dies ist eine SEHR WICHTIGE Aktivität.. Versuchen Sie, die Beispiele nicht zu überspringen; sie bieten einen nützlichen Bonus: Durch Übung können Sie das behandelte Material festigen und häufig auftretende Probleme in der analytischen Geometrie besser lösen.

Addition von Vektoren, Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.... Es wäre naiv zu glauben, die Mathematiker hätten sich nichts anderes ausgedacht. Zusätzlich zu den bereits besprochenen Aktionen gibt es eine Reihe weiterer Operationen mit Vektoren, nämlich: Skalarprodukt von Vektoren, Vektorprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren. Das Skalarprodukt von Vektoren ist uns aus der Schule bekannt, die beiden anderen Produkte gehören traditionell zum Studium der höheren Mathematik. Die Themen sind einfach, der Algorithmus zur Lösung vieler Probleme ist unkompliziert und verständlich. Das einzige. Es gibt eine anständige Menge an Informationen, daher ist es unerwünscht, zu versuchen, ALLES AUF EINMAL zu beherrschen und zu lösen. Dies gilt insbesondere für Dummies; glauben Sie mir, der Autor möchte sich auf keinen Fall wie Chikatilo aus der Mathematik fühlen. Na ja, natürlich auch nicht aus der Mathematik =) Besser vorbereitete Schüler können Materialien selektiv einsetzen, sich gewissermaßen das fehlende Wissen „holen“, für Sie werde ich ein harmloser Graf Dracula sein =)

Lasst uns endlich die Tür öffnen und mit Begeisterung beobachten, was passiert, wenn zwei Vektoren aufeinander treffen ...

Definition des Skalarprodukts von Vektoren.
Eigenschaften des Skalarprodukts. Typische Aufgaben

Das Konzept eines Skalarprodukts

Zuerst ungefähr Winkel zwischen Vektoren. Ich denke, jeder versteht intuitiv, wie groß der Winkel zwischen Vektoren ist, aber für alle Fälle etwas detaillierter. Betrachten wir freie Vektoren ungleich Null und . Wenn Sie diese Vektoren von einem beliebigen Punkt aus zeichnen, erhalten Sie ein Bild, das sich viele bereits gedanklich vorgestellt haben:

Ich gebe zu, hier habe ich die Situation nur auf der Ebene des Verstehens beschrieben. Wenn Sie eine strenge Definition des Winkels zwischen Vektoren benötigen, lesen Sie bitte das Lehrbuch; für praktische Probleme benötigen wir diese im Prinzip nicht. Auch HIER UND HIER werde ich Nullvektoren aufgrund ihrer geringen praktischen Bedeutung stellenweise ignorieren. Ich habe eine Reservierung speziell für fortgeschrittene Website-Besucher vorgenommen, die mir möglicherweise die theoretische Unvollständigkeit einiger nachfolgender Aussagen vorwerfen.

In der Literatur wird das Winkelsymbol oft weggelassen und einfach geschrieben.

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine ZAHL, die dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen entspricht:

Nun, das ist eine ziemlich strenge Definition.

Wir konzentrieren uns auf wesentliche Informationen:

Bezeichnung: Das Skalarprodukt wird einfach mit oder bezeichnet.

Das Ergebnis der Operation ist eine ZAHL: Vektor wird mit Vektor multipliziert und das Ergebnis ist eine Zahl. Wenn nämlich die Längen von Vektoren Zahlen sind, der Kosinus eines Winkels eine Zahl ist, dann ist ihr Produkt wird auch eine Zahl sein.

Nur ein paar Beispiele zum Aufwärmen:

Beispiel 1

Lösung: Wir verwenden die Formel . IN in diesem Fall:

Antwort:

Kosinuswerte finden sich in trigonometrische Tabelle. Ich empfehle, es auszudrucken – es wird in fast allen Abschnitten des Turms benötigt und wird viele Male benötigt.

Aus rein mathematischer Sicht ist das Skalarprodukt dimensionslos, das heißt, das Ergebnis ist in diesem Fall nur eine Zahl und das war’s. Aus physikalischer Sicht hat ein Skalarprodukt immer eine bestimmte physikalische Bedeutung, das heißt, nach dem Ergebnis muss die eine oder andere physikalische Einheit angegeben werden. Ein kanonisches Beispiel für die Berechnung der Arbeit einer Kraft findet sich in jedem Lehrbuch (die Formel ist genau ein Skalarprodukt). Die Arbeit einer Kraft wird in Joule gemessen, daher wird die Antwort ganz konkret geschrieben, zum Beispiel .

Beispiel 2

Finden Sie, ob und der Winkel zwischen den Vektoren ist gleich.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Winkel zwischen Vektoren und Skalarproduktwert

In Beispiel 1 erwies sich das Skalarprodukt als positiv und in Beispiel 2 als negativ. Lassen Sie uns herausfinden, wovon das Vorzeichen des Skalarprodukts abhängt. Schauen wir uns unsere Formel an: . Die Längen von Vektoren ungleich Null sind immer positiv: , daher kann das Vorzeichen nur vom Wert des Kosinus abhängen.

Notiz: Um die folgenden Informationen besser zu verstehen, ist es besser, das Kosinusdiagramm im Handbuch zu studieren Funktionsgraphen und Eigenschaften. Sehen Sie, wie sich der Kosinus auf dem Segment verhält.

Wie bereits erwähnt, kann der Winkel zwischen den Vektoren innerhalb variieren , und folgende Fälle sind möglich:

1) Wenn Ecke zwischen Vektoren scharf: (von 0 bis 90 Grad), dann , Und Das Skalarprodukt wird positiv sein Co-Regie, dann wird der Winkel zwischen ihnen als Null betrachtet und das Skalarprodukt ist ebenfalls positiv. Da vereinfacht sich die Formel: .

2) Wenn Ecke zwischen Vektoren unverblümt: (von 90 bis 180 Grad), dann , und dementsprechend, Skalarprodukt ist negativ: . Sonderfall: wenn die Vektoren entgegengesetzte Richtungen, dann wird der Winkel zwischen ihnen berücksichtigt erweitert: (180 Grad). Auch das Skalarprodukt ist negativ, da

Es gelten auch die umgekehrten Aussagen:

1) Wenn , dann ist der Winkel zwischen diesen Vektoren spitz. Alternativ sind die Vektoren gleichgerichtet.

2) Wenn , dann ist der Winkel zwischen diesen Vektoren stumpf. Alternativ sind die Vektoren in entgegengesetzte Richtungen gerichtet.

Aber der dritte Fall ist von besonderem Interesse:

3) Wenn Ecke zwischen Vektoren gerade: (90 Grad), dann Skalarprodukt ist Null: . Das Umgekehrte gilt auch: wenn, dann. Die Aussage lässt sich kompakt wie folgt formulieren: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann Null, wenn die Vektoren orthogonal sind. Kurze mathematische Notation:

! Notiz : Wiederholen wir Grundlagen der mathematischen Logik: Ein doppelseitiges logisches Konsequenz-Symbol lautet normalerweise „wenn und nur wenn“, „wenn und nur wenn“. Wie Sie sehen können, sind die Pfeile in beide Richtungen gerichtet – „aus diesem folgt dieses und umgekehrt – daraus folgt dieses.“ Was ist übrigens der Unterschied zum Einweg-Folgen-Symbol? Das Symbol besagt nur das, dass „daraus dies folgt“, und es ist keine Tatsache, dass das Gegenteil der Fall ist. Zum Beispiel: , aber nicht jedes Tier ist ein Panther, daher können Sie in diesem Fall das Symbol nicht verwenden. Gleichzeitig anstelle des Symbols Kann Verwenden Sie einseitiges Symbol. Bei der Lösung des Problems haben wir beispielsweise herausgefunden, dass wir zu dem Schluss gekommen sind, dass die Vektoren orthogonal sind: - Ein solcher Eintrag wäre richtig und noch passender als .

Der dritte Fall ist von großer praktischer Bedeutung, da Sie damit überprüfen können, ob Vektoren orthogonal sind oder nicht. Wir werden dieses Problem im zweiten Abschnitt der Lektion lösen.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Kehren wir zu der Situation zurück, in der zwei Vektoren vorliegen Co-Regie. In diesem Fall beträgt der Winkel zwischen ihnen Null, und die Skalarproduktformel hat die Form: .

Was passiert, wenn ein Vektor mit sich selbst multipliziert wird? Es ist klar, dass der Vektor an sich selbst ausgerichtet ist, daher verwenden wir die obige vereinfachte Formel:

Die Nummer wird angerufen Skalarquadrat Vektor und werden als bezeichnet.

Auf diese Weise, Das Skalarquadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat der Länge des gegebenen Vektors:

Aus dieser Gleichung können wir eine Formel zur Berechnung der Länge des Vektors erhalten:

Bisher scheint es unklar, aber die Ziele des Unterrichts werden alles in Ordnung bringen. Um die Probleme zu lösen, brauchen wir auch Eigenschaften des Skalarprodukts.

Für beliebige Vektoren und beliebige Zahlen gelten die folgenden Eigenschaften:

1) – kommutativ oder kommutativ Skalarproduktgesetz.

2) – Vertrieb bzw verteilend Skalarproduktgesetz. Sie können die Klammern einfach öffnen.

3) – assoziativ oder assoziativ Skalarproduktgesetz. Die Konstante kann aus dem Skalarprodukt abgeleitet werden.

Oftmals werden Eigenschaften aller Art (die auch nachgewiesen werden müssen!) von Studierenden als unnötiger Schrott empfunden, den man sich nur noch merken und direkt nach der Prüfung sicher vergessen muss. Es scheint, dass das Wichtigste hier ist, dass jeder bereits in der ersten Klasse weiß, dass eine Neuordnung der Faktoren das Produkt nicht verändert: . Ich muss Sie warnen, dass es in der höheren Mathematik leicht ist, mit einem solchen Ansatz Dinge durcheinander zu bringen. So gilt beispielsweise die Kommutativeigenschaft nicht für algebraische Matrizen. Es gilt auch nicht für Vektorprodukt von Vektoren. Daher ist es zumindest besser, sich mit allen Eigenschaften zu befassen, auf die Sie in einem höheren Mathematikkurs stoßen, um zu verstehen, was getan werden kann und was nicht.

Beispiel 3

.

Lösung: Lassen Sie uns zunächst die Situation mit dem Vektor klären. Was ist das überhaupt? Die Summe der Vektoren ist ein wohldefinierter Vektor, der mit bezeichnet wird. Eine geometrische Interpretation von Aktionen mit Vektoren finden Sie im Artikel Vektoren für Dummies. Die gleiche Petersilie mit einem Vektor ist die Summe der Vektoren und .

Je nach Bedingung ist es also erforderlich, das Skalarprodukt zu finden. Theoretisch müssen Sie die Arbeitsformel anwenden , aber das Problem ist, dass wir die Länge der Vektoren und den Winkel zwischen ihnen nicht kennen. Da die Bedingung jedoch ähnliche Parameter für Vektoren liefert, gehen wir einen anderen Weg:

(1) Ersetzen Sie die Ausdrücke der Vektoren.

(2) Wir öffnen die Klammern nach der Regel zur Multiplikation von Polynomen; einen vulgären Zungenbrecher finden Sie im Artikel Komplexe Zahlen oder Integration einer gebrochenrationalen Funktion. Ich werde mich nicht wiederholen =) Die Verteilungseigenschaft des Skalarprodukts erlaubt es uns übrigens, die Klammern zu öffnen. Wir haben das Recht.

(3) Im ersten und letzten Term schreiben wir kompakt die Skalarquadrate der Vektoren: . Im zweiten Term nutzen wir die Kommutierbarkeit des Skalarprodukts: .

(4) Wir präsentieren ähnliche Begriffe: .

(5) Im ersten Term verwenden wir die Skalarquadratformel, die vor nicht allzu langer Zeit erwähnt wurde. Im letzten Semester funktioniert dementsprechend das Gleiche: . Den zweiten Term entwickeln wir nach der Standardformel .

(6) Ersetzen Sie diese Bedingungen , und führen Sie die endgültigen Berechnungen SORGFÄLTIG durch.

Antwort:

Ein negativer Wert des Skalarprodukts gibt an, dass der Winkel zwischen den Vektoren stumpf ist.

Das Problem ist typisch, hier ein Beispiel zur Selbstlösung:

Beispiel 4

Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren und wenn es bekannt ist .

Nun eine weitere häufige Aufgabe, nur für die neue Formel für die Länge eines Vektors. Die Notation wird sich hier etwas überschneiden, daher werde ich sie der Übersichtlichkeit halber mit einem anderen Buchstaben umschreiben:

Beispiel 5

Finden Sie die Länge des Vektors if .

Lösung wird wie folgt sein:

(1) Wir liefern den Ausdruck für den Vektor.

(2) Wir verwenden die Längenformel: und der gesamte Ausdruck ve fungiert als Vektor „ve“.

(3) Für das Quadrat der Summe verwenden wir die Schulformel. Beachten Sie, wie es hier auf seltsame Weise funktioniert: – Tatsächlich ist es das Quadrat der Differenz, und tatsächlich ist es so. Wer möchte, kann die Vektoren neu anordnen: - Das Gleiche passiert, bis auf die Neuordnung der Terme.

(4) Was folgt, ist bereits aus den beiden vorherigen Problemen bekannt.

Antwort:

Da es sich um die Länge handelt, vergessen Sie nicht, die Dimension anzugeben – „Einheiten“.

Beispiel 6

Finden Sie die Länge des Vektors if .

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wir quetschen weiterhin nützliche Dinge aus dem Skalarprodukt heraus. Schauen wir uns noch einmal unsere Formel an . Mithilfe der Proportionsregel setzen wir die Längen der Vektoren auf den Nenner der linken Seite zurück:

Tauschen wir die Teile aus:

Was bedeutet diese Formel? Wenn die Längen zweier Vektoren und ihr Skalarprodukt bekannt sind, kann der Kosinus des Winkels zwischen diesen Vektoren und damit der Winkel selbst berechnet werden.

Ist ein Skalarprodukt eine Zahl? Nummer. Sind Vektorlängen Zahlen? Zahlen. Das bedeutet, dass ein Bruch auch eine Zahl ist. Und wenn der Kosinus des Winkels bekannt ist: , dann ist es mit der Umkehrfunktion einfach, den Winkel selbst zu finden: .

Beispiel 7

Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren und wenn bekannt ist, dass .

Lösung: Wir verwenden die Formel:

In der letzten Phase der Berechnungen wurde eine technische Technik eingesetzt – die Beseitigung der Irrationalität im Nenner. Um Irrationalität auszuschließen, habe ich Zähler und Nenner mit multipliziert.

Also wenn , Das:

Die Werte der inversen trigonometrischen Funktionen können ermittelt werden durch trigonometrische Tabelle. Obwohl dies selten vorkommt. Bei Problemen der analytischen Geometrie kommen einige ungeschickte Bären viel häufiger zum Einsatz, und der Wert des Winkels muss ungefähr mit einem Taschenrechner ermittelt werden. Tatsächlich werden wir ein solches Bild mehr als einmal sehen.

Antwort:

Vergessen Sie auch hier nicht, die Abmessungen anzugeben – Bogenmaß und Grad. Persönlich bevorzuge ich, um offensichtlich „alle Fragen zu lösen“, beides anzugeben (es sei denn, die Bedingung erfordert natürlich, dass die Antwort nur im Bogenmaß oder nur in Grad angegeben wird).

Jetzt können Sie eine komplexere Aufgabe selbstständig bewältigen:

Beispiel 7*

Gegeben sind die Längen der Vektoren und der Winkel zwischen ihnen. Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren , .

Die Aufgabe ist nicht so schwierig, da sie mehrstufig ist.
Schauen wir uns den Lösungsalgorithmus an:

1) Gemäß der Bedingung müssen Sie den Winkel zwischen den Vektoren und ermitteln, also müssen Sie die Formel verwenden .

2) Finden Sie das Skalarprodukt (siehe Beispiele Nr. 3, 4).

3) Finden Sie die Länge des Vektors und die Länge des Vektors (siehe Beispiele Nr. 5, 6).

4) Das Ende der Lösung stimmt mit Beispiel Nr. 7 überein – wir kennen die Zahl, was bedeutet, dass es einfach ist, den Winkel selbst zu finden:

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Der zweite Abschnitt der Lektion ist demselben Skalarprodukt gewidmet. Koordinaten. Es wird noch einfacher sein als im ersten Teil.

Skalarprodukt von Vektoren,
gegeben durch Koordinaten auf orthonormaler Basis

Antwort:

Natürlich ist der Umgang mit Koordinaten viel angenehmer.

Beispiel 14

Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren und if

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Hier können Sie die Assoziativität der Operation nutzen, also nicht zählen, sondern gleich das Tripel außerhalb des Skalarprodukts nehmen und zuletzt damit multiplizieren. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Am Ende des Abschnitts ein provokantes Beispiel zur Berechnung der Länge eines Vektors:

Beispiel 15

Finden Sie die Längen von Vektoren , Wenn

Lösung: Die Methode des vorherigen Abschnitts bietet sich wieder an: Es geht aber auch anders:

Finden wir den Vektor:

Und seine Länge nach der trivialen Formel :

Das Skalarprodukt ist hier überhaupt nicht relevant!

Es ist auch nicht nützlich, wenn man die Länge eines Vektors berechnet:
Stoppen. Sollten wir uns nicht die offensichtliche Eigenschaft der Vektorlänge zunutze machen? Was können Sie über die Länge des Vektors sagen? Dieser Vektor ist fünfmal länger als der Vektor. Die Richtung ist umgekehrt, aber das spielt keine Rolle, da es sich um die Länge handelt. Offensichtlich ist die Länge des Vektors gleich dem Produkt Modul Zahlen pro Vektorlänge:
– Das Modulzeichen „frisst“ das mögliche Minus der Zahl.

Auf diese Weise:

Antwort:

Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren, die durch Koordinaten angegeben werden

Jetzt verfügen wir über vollständige Informationen, um die zuvor abgeleitete Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren zu verwenden durch Vektorkoordinaten ausdrücken:

Kosinus des Winkels zwischen Ebenenvektoren und , angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:
.

Kosinus des Winkels zwischen Raumvektoren, angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:

Beispiel 16

Gegeben sind drei Eckpunkte eines Dreiecks. Finden (Scheitelwinkel).

Lösung: Gemäß den Bedingungen ist die Zeichnung nicht erforderlich, aber dennoch:

Der erforderliche Winkel ist mit einem grünen Bogen markiert. Erinnern wir uns sofort an die Schulbezeichnung eines Winkels: – besondere Aufmerksamkeit auf Durchschnitt Buchstabe - das ist der Scheitelpunkt des Winkels, den wir brauchen. Der Kürze halber könnten Sie auch einfach schreiben.

Aus der Zeichnung geht deutlich hervor, dass der Winkel des Dreiecks mit dem Winkel zwischen den Vektoren übereinstimmt und, mit anderen Worten: .

Es ist ratsam zu lernen, wie man die Analyse mental durchführt.

Finden wir die Vektoren:

Berechnen wir das Skalarprodukt:

Und die Längen der Vektoren:

Winkelkosinus:

Dies ist genau die Reihenfolge zum Erledigen der Aufgabe, die ich für Dummies empfehle. Fortgeschrittenere Leser können die Berechnungen „in einer Zeile“ schreiben:

Hier ist ein Beispiel für einen „schlechten“ Kosinuswert. Der resultierende Wert ist nicht endgültig, daher macht es wenig Sinn, die Irrationalität im Nenner zu beseitigen.

Finden wir den Winkel selbst:

Schaut man sich die Zeichnung an, ist das Ergebnis durchaus plausibel. Zur Kontrolle kann der Winkel auch mit einem Winkelmesser gemessen werden. Beschädigen Sie die Monitorabdeckung nicht =)

Antwort:

Das vergessen wir in der Antwort nicht fragte nach dem Winkel eines Dreiecks(und nicht über den Winkel zwischen den Vektoren), vergessen Sie nicht, die genaue Antwort anzugeben: und den ungefähren Wert des Winkels: , mit einem Taschenrechner ermittelt.

Diejenigen, denen der Prozess Spaß gemacht hat, können die Winkel berechnen und die Gültigkeit der kanonischen Gleichheit überprüfen

Beispiel 17

Ein Dreieck wird im Raum durch die Koordinaten seiner Eckpunkte definiert. Finden Sie den Winkel zwischen den Seiten und

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion

Ein kurzer Schlussabschnitt ist den Projektionen gewidmet, bei denen es sich ebenfalls um ein Skalarprodukt handelt:

Projektion eines Vektors auf einen Vektor. Projektion eines Vektors auf Koordinatenachsen.
Richtungskosinus eines Vektors

Betrachten Sie die Vektoren und:

Projizieren wir den Vektor auf den Vektor; dazu lassen wir den Anfang und das Ende des Vektors weg Senkrechte zum Vektor (grüne gepunktete Linien). Stellen Sie sich vor, dass Lichtstrahlen senkrecht auf den Vektor fallen. Dann ist das Segment (rote Linie) der „Schatten“ des Vektors. In diesem Fall ist die Projektion des Vektors auf den Vektor die LÄNGE des Segments. Das heißt, PROJEKTION IST EINE ZAHL.

Diese ZAHL wird wie folgt bezeichnet: „großer Vektor“ bezeichnet den Vektor WELCHE Im Projekt bezeichnet „kleiner tiefgestellter Vektor“ den Vektor AN was projiziert wird.

Der Eintrag selbst lautet wie folgt: „Projektion des Vektors „a“ auf den Vektor „be“.

Was passiert, wenn der Vektor „be“ „zu kurz“ ist? Wir zeichnen eine Gerade, die den Vektor „be“ enthält. Und der Vektor „a“ wird bereits projiziert zur Richtung des Vektors „be“, einfach - zur Geraden, die den Vektor „be“ enthält. Das Gleiche passiert, wenn der Vektor „a“ in das dreißigste Königreich verschoben wird – er lässt sich immer noch leicht auf die Gerade projizieren, die den Vektor „be“ enthält.

Wenn der Winkel zwischen Vektoren scharf(wie im Bild), dann

Wenn die Vektoren senkrecht, dann (die Projektion ist ein Punkt, dessen Abmessungen als Null betrachtet werden).

Wenn der Winkel zwischen Vektoren unverblümt(Ordnen Sie in der Abbildung den Vektorpfeil im Geiste neu an), dann (die gleiche Länge, aber mit einem Minuszeichen versehen).

Zeichnen wir diese Vektoren von einem Punkt aus:

Wenn sich ein Vektor bewegt, ändert sich seine Projektion offensichtlich nicht

BPOU der Tschuwaschischen Republik „CHTSGH“ Ministerium für Bildung Tschuwaschiens und Jugendpolitik der Tschetschenischen Republik

02/02-08

METHODISCHE ENTWICKLUNG

OFFENE LEKTION

bei einer Sitzung der Fahrradkommission

physikalische und mathematische Disziplinen und Informatik

Skvortsova E.V.

Protokoll

aus "

Martha

2015

Vorsitzender: Mikhoparova O.V.

VEREINBART

Methodist

Kozlova A.M.

Während des Unterrichts.

Zeit organisieren.

Hallo Leute, setzt euch. Öffnen Sie Ihre Notizbücher und notieren Sie Datum und Thema der Lektion.

Thema: Skalarprodukt von Vektoren im Raum.

Sicherheitsbesprechung.

Jungs! Unser heutiger Unterricht findet im Computerraum statt. Die Sicherheitsregeln beim Arbeiten am Computer kennen Sie bereits. Ich erinnere Sie daran, diese einzuhalten.

Ziele setzen. Kommunizieren Sie Ziele und Unterrichtsplan.

Ich möchte die Lektion mit den Worten des großen Wissenschaftlers Galileo Galilei beginnen:

“Geometrie ist das wirksamste Mittel zur Entwicklung unserer geistigen Fähigkeiten und ermöglicht es uns, richtig zu denken und zu argumentieren.“

Also, heute im Unterricht wir

Erinnern wir uns an das Material, das wir über Vektorgrößen behandelt haben;

Lassen Sie uns herausfinden, was ein „Skalar“ und das Skalarprodukt von Vektoren sind.

Lassen Sie uns lernen, wie man das Skalarprodukt findet, wenn die Koordinaten der Vektoren bekannt sind.

Machen wir uns mit den Eigenschaften des Skalarprodukts vertraut;

Das Skalarprodukt von Vektoren ermitteln wir mit einem Online-Rechner .

Lassen Sie uns unser Wissen im INDIGO-Testsystem testen.

Bevor wir jedoch zu einem neuen Thema übergehen, müssen wir unser Wissen über zuvor untersuchte Themen der Geometrie systematisieren.

Wissen aktualisieren. An Zu Hause wurden die Schüler gebeten, den behandelten Stoff zu lernen. Lehrer hilft, sich an zuvor gelerntes Wissen zu erinnern und es zu systematisieren.

Dazu spielen wir ein Spiel – das „100 zu 1“-Quiz.Die Gruppe wird in zwei Teams aufgeteilt, wählt einen Kapitän, der die Teammitglieder vertritt, und legt einen Namen für die Teams fest.

Für das Spiel in Power Point wurden Folien zu den Spielen erstellt: „Simple Game“, „Double Game“, „Triple Game“, „Reverse Game“, „Big Game“.

Vor Spielbeginn wird ein Computer mit einer Präsentation, einem Projektor und einer Demonstrationsleinwand vorbereitet.

Ich mache Sie auf ein Spiel aufmerksam – ein Mathe-QuizFür Studienanfänger ist „100 zu 1“ wie ein Fernsehspiel.Wir haben eine Umfrage unter 100 Schülern unserer Fachschule durchgeführt. Das Ziel der Teilnehmer des Spiels „Einhundert zu Eins“ ist es, die vorgeschlagenen Fragen möglichst genau und richtig zu beantworten., worauf es unmöglich ist, eine klare objektive Antwort zu geben. „One Hundred to One“ ist ein Teamspiel. Jeder Spieler kann seine Meinung äußern und seine eigene Version anbieten, aber der Sieg (oder die Niederlage) geht an das gesamte Team als Ganzes.Eine Person (Leiter oder Assistent) sitzt am Computer und klickt auf das entsprechende Rechteck mit Antworten, indem sie auf das entsprechende Rechteck klickt und es öffnet sich.

Spielregel

Bei dem Spiel treten zwei Teams gegeneinander an. Das gesamte Gameplay besteht aus fünf „Spielen“ – Einfach-, Doppel-, Dreifach-, Rückwärtsspiel und Großspiel.

Ein einfaches Spiel.

Auf dem Bildschirm wird eine Aufgabe angezeigt. Das Spiel wird gestartet, wenn das Team sie zuerst löst. Dann kündigt der Lehrer die Frage an, woraufhin die Teammitglieder ihre Version der Antwort auf die Frage benennen. Wenn eine Version auf dem Bildschirm angezeigt wird, öffnet sich die entsprechende Zeile (beim Öffnen der Zeile fließt die Anzahl der Punkte für diese Antwort in den „Spielefonds“; die Anzahl der Punkte entspricht der Anzahl der Befragten, die diese Version genannt haben) .

Nachdem das Team festgelegt wurde, geht der Lehrer zum Hauptteil des Spiels über. Er interviewt Spieler im Kreis, die die Antworten auf die Frage nennen. Wenn eine Version auf dem Bildschirm vorhanden ist, wird sie geöffnet und die der Version entsprechenden Punkte gehen in den „Pool“. Wenn sie jedoch nicht vorhanden ist, erhält das Team einen Fehlschuss. Das Spiel wird fortgesetzt, bis alle Zeilen der Anzeigetafel offen sind (in diesem Fall gehen alle Punkte aus dem „Pool“ in die Punktewertung der Mannschaft ein). Im letzteren Fall führt der Leiter eine sogenannte Umfrage mit dem anderen Team durch. Vom Ende an erfährt er von den Teammitgliedern Versionen der Antwort auf die Frage. Dann muss der Kapitän eine der Versionen seiner Teammitglieder auswählen oder eine eigene anbieten. Diese Version wird auf der Anzeigetafel gesucht. Wenn es dort ist, wird die Linie geöffnet und die Punkte daraus werden dem „Fonds“ hinzugefügt, der dann in den Punktestand der Mannschaft fließt, aber wenn es nicht da ist, wird das Team als Fehlschlag gewertet und der „Fonds“ geht weg zu den Gegnern.

Am Ende des Spiels enthüllt der Moderator die verbleibenden Zeilen, falls vorhanden.

2. Double Play und Triple Play.

Doppel- und Dreifachspiele funktionieren ähnlich wie das einfache Spiel, mit dem Unterschied, dass die Punkte für jede erratene Linie verdoppelt bzw. verdreifacht werden. Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass die Auslosung nicht zwischen den Kapitänen, sondern zwischen den Mitgliedern der zweiten und dritten Mannschaft stattfindet.

4. Spielen Sie rückwärts.

Das Spiel hingegen unterscheidet sich von anderen dadurch, dass es für das Team am profitabelsten ist, nicht die erste, sondern die letzte Zeile der Anzeigetafel zu erraten. Die Frage wird aufgerufen und die Teams werden angegeben 30 pro Sitzung, danach die die Kapitäne die Antworten nennen. Die Befehlsversionen dürfen nicht identisch sein. Das Team mit den wenigsten Punkten zu Beginn des Spiels antwortet zuerst. Dann öffnet der Moderator die Anzeigetafel. Wenn die Version auf der Linie von den Spielern nicht erraten wurde, bleibt der Punktestand gleich, und wenn die Versionen der Mannschaften erfüllt sind, werden die Punkte sofort auf ihr Konto übertragen. Das Spiel hingegen beeinflusst oft radikal den Verlauf des gesamten Programms.

5. Großes Spiel.

Am großen Spiel nehmen zwei Spieler aus der Mannschaft teil, die während des gesamten Spiels die meisten Punkte erzielt hat. Vor Spielbeginn vereinbaren sie untereinander, wer zuerst spielt und wer vorübergehend den Raum verlässt.Danach hat der erste Teilnehmer des großen Spiels 40 Sekunden Zeit, in denen er fünf Fragen beantworten muss. Für jede Übereinstimmung zwischen der Antwort des Spielers und der Antwort auf der Straße wird eine Anzahl von Punkten, die der Anzahl der Stimmen für die passende Antwort entspricht, in den „Fonds“ des großen Spiels übertragen. Antworten in Form von „Synonymen“ werden nicht akzeptiert. Als nächstes kehrt der zweite Spieler aus dem Korridor zurück. Er kennt die Fragen und Antworten seines Kollegen sowie die dafür erhaltenen Punkte nicht (der Stand des „Fonds“ wird jedoch nicht verschwiegen). Innerhalb von 50 Sekunden beantwortet er dieselben Fragen, und wenn seine Antwort mit der ersten übereinstimmt, ertönt ein Tonsignal und der Spieler ist verpflichtet, eine andere Version zu nennen, auch wenn er der Meinung ist, dass seine Antwort enzyklopädisch korrekt ist. Wenn Sie versuchen, einen Hinweis zu geben, wird die Antwort abgebrochen. Anschließend werden seine Antworten überprüft und seine Punkte berechnet und auf die gleiche Weise dem „Pool“ hinzugefügt.

Sobald der „Pool“ während eines großen Spiels 200 Punkte oder mehr erreicht, wird das Spiel beendet und die Mannschaft wird zum Sieger des Spiels erklärt.(Anhang 1).

Neues Material lernen . (Anlage 2)

Kommen wir direkt zum Thema unserer Lektion: „Skalarprodukt von Vektoren im Raum“. Lassen Sie uns zunächst das Konzept eines Winkels zwischen Vektoren einführen.

Gegeben seien ein Vektor und ein Vektor. Zeichnen wir die Vektoren und von einem Punkt O aus. Wenn die Vektoren nicht gleichgerichtet sind, bilden die Strahlen OA und OB einen Winkel AOB. Wir bezeichnen das Gradmaß dieses Winkels mit einem Buchstaben und sagen, dass der Winkel zwischen den Vektoren und gleich ist.

Beispiel: Finden Sie die Winkel zwischen den Vektoren.

Anhand dieses Beispiels werden wir einige Sonderfälle aufschreiben, die für uns besonders wichtig sein werden:

Wissen, wie man Vektoren addiert und einen Vektor mit einer Zahl multipliziert. Lassen Sie uns eine weitere Aktion für Vektoren einführen – die Skalarmultiplikation von Vektoren.

Der Begriff „Skalar“ (von Skalaris- gestuft) sowie „Vektor“ tauchten erstmals 1845 vom irischen Mathematiker und Mechaniker William Hamilton auf.

Eine skalare Größe kann durch Angabe einer einzelnen Zahl vollständig definiert werden. Sein numerischer Wert hängt in keiner Weise von den Richtungen ab, die wir für die Koordinatenachsen nehmen. Skalare Größen beinhalten nicht das Konzept der Richtung.

Schreiben wir die Definition auf: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl, die dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen entspricht. Schreiben wir die Formel:

Beispiel: Finden Sie das Skalarprodukt if = 30˚.

Lösung: .

Minute des Sportunterrichts.

Lernen Sie weiterhin neues Material.

Wie in der Planimetrie gelten auch hier folgende Aussagen:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird durch die Formel ausgedrückt:

Beispiel: Gegebene Vektoren: , . Berechnung.

Lösung:

Der Kosinus des Winkels zwischen Vektoren ungleich Null wird nach der Formel berechnet

Tatsächlich seit .

Beispiel: Gegebene Punkte A(1;3;0), B(2;3;-1) und C(1;2;-1). Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren.

Lösung:

=,

Bedeutet

Formulieren wir die grundlegenden Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren. Für beliebige Vektoren und beliebige Zahlen k Es gelten folgende Beziehungen:

Außerdem, wann

. (Umzugsrecht)

. (Verteilungsrecht)

. (Kombinationsrecht)

Konsolidieren Sie neues Wissen mit einem Online-Rechner.

Lehrer: Jetzt setzen wir uns an die Computer. Gehen wir online. Geben Sie den Link ein . Auf Ihren Bildschirmen erscheint ein Online-Rechner zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren. Die Bedingungen der Aufgaben stehen an der Tafel. Sie müssen mit diesem Programm gelöst werden.

Selbstständige Arbeit.

Lehrer: theoretisches Wissen anwenden, um ein Problem in einem Testsystem zu lösenINDIGO . An diejenigen, die nicht über genügend Computer verfügen, werden Handzettel verteilt; die Schüler schreiben ihre Antworten auf diese Blätter. Die Testergebnisse werden in der nächsten Unterrichtsstunde bekannt gegeben. (Anlage 2).

Betrachtung. Zusammenfassend.

Lehrer : Heute haben wir uns im Unterricht an das Konzept eines Vektors und die Arten von Vektoren erinnert und uns auch mit skalaren Größen vertraut gemachtMit ihren Eigenschaften haben wir gelernt, die einfachsten Probleme zu diesem Thema zu lösen.

Ich denke, Sie haben ein umfassenderes Verständnis von Vektor- und Skalargrößen. Und ich bin zuversichtlich, dass Sie die einfachsten Probleme zu diesem Thema lösen können.

Die Ergebnisse des Unterrichts werden durch eine Frontalbefragung der Schüler zusammengefasst:

Reflexion: Setzen Sie die Sätze fort.

Heute habe ich etwas Neues gelernt...

Während des Unterrichts waren meine Kenntnisse nützlich...

Es war schwierig für mich...

Mir hat der Unterricht gefallen...

Am Ende der Unterrichtsstunde werden die Ergebnisse der Gruppenarbeit zusammengefasst, Unterrichtspunkte vergeben und motiviert. Die Schüler werden für ihre aktive Teilnahme am Unterricht benotet.

Hausaufgaben

Wir schreiben unsere Hausaufgaben auf.

Hallo Leute! Vielen Dank für Ihre Arbeit im Unterricht. Ich danke allen, die sich aktiv an der Arbeit beteiligt haben. Vielen Dank für Ihre Hilfe bei der Durchführung des Unterrichts. Ich hoffe auf eine weitere Zusammenarbeit. Die Lektion ist beendet. Auf Wiedersehen.

Verweise

L.S. Atanasyan. Geometrie. 10-11 Klassen. 18. Aufl. - M.: Bildung, 2009.

Bogomolov N.V. Sammlung von Mathematikproblemen für Schüler der berufsbildenden Sekundarstufe. - M.: Bustard, 2009.

Baschmakow M.I. Mathematik: Lehrbuch für Institutionen der Primar- und Sekundarstufe Prof. Bildung / M.I. Baschmakow. – 8. Aufl., gelöscht. – M.: Verlagszentrum „Akademie“, 2013. – 256 S.

Gusev V.A. Mathematik für Berufe und Fachgebiete mit sozioökonomischem Profil: ein Lehrbuch für Institutionen des primären und sekundären Berufs. Bildung / Gusev V.A., S.G. Grigoriev, S.V. Ivolgina – 6. Aufl. gelöscht – M.: Verlagszentrum „Academy“, 2013. – 416 S.

Internetressourcen:

www .wikipedia. ru

Anhang 1

Welche Regel kann beim Addieren zweier Vektoren angewendet werden?

Großes Spiel. Fragen

1. ?

2. Welche Arten von Vektoren gibt es?

3. Welche Winkel gibt es?

4.Welcher berühmter Wissenschaftler hat zur Vektortheorie beigetragen?

5.Welche Elemente charakterisieren einen Vektor?

Großes Spiel. 1. Welche Aktionen können mit Vektoren ausgeführt werden?

Großes Spiel. 4. Welcher berühmte Wissenschaftler hat zur Vektortheorie beigetragen? Großes Spiel. 5. Welche Elemente charakterisieren einen Vektor?

Anlage 2

Anhang 3

Bewertungsbogen für Studierende.

Gegebener Vektor: . Berechnung

Die Vektoren sind gegeben: , . Berechnung