Dreieck. Numerische Abhängigkeiten zwischen den Elementen eines Dreiecks (Seiten, Höhen, Mediane)

Pythagoras ist ein griechischer Wissenschaftler, der vor etwa 2500 Jahren (564-473 v. Chr.) lebte.

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten A, B Und Mit(Abb. 267).

Lassen Sie uns Quadrate auf seinen Seiten bilden. Die Flächen dieser Quadrate sind jeweils gleich A 2 , B 2 und Mit 2. Lasst uns das beweisen Mit 2 = a 2 +b 2 .

Konstruieren wir zwei Quadrate MCOR und M’K’O’R’ (Abb. 268, 269), wobei wir als Seite jedes von ihnen ein Segment nehmen, das der Summe der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks ABC entspricht.

Nachdem wir die in den Abbildungen 268 und 269 gezeigten Konstruktionen in diesen Quadraten abgeschlossen haben, werden wir sehen, dass das MCOR-Quadrat in zwei Quadrate mit Flächen unterteilt ist A 2 und B 2 und vier gleiche rechtwinklige Dreiecke, von denen jedes gleich dem rechtwinkligen Dreieck ABC ist. Das Quadrat M'K'O'R' wurde in ein Viereck (in Abbildung 269 schattiert) und vier rechtwinklige Dreiecke unterteilt, von denen jedes auch gleich dem Dreieck ABC ist. Ein schattiertes Viereck ist ein Quadrat, da seine Seiten gleich sind (jede ist gleich der Hypotenuse des Dreiecks ABC, d. h. Mit), und die Winkel sind rechte Winkel ∠1 + ∠2 = 90°, daher ∠3 = 90°).

Somit ist die Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate (in Abbildung 268 sind diese Quadrate schattiert) gleich der Fläche des ICOR-Quadrats ohne die Summe der Flächen von vier gleichen Dreiecken und der Fläche von ​​Das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat (in Abbildung 269 ist dieses Quadrat ebenfalls schattiert) ist gleich der Fläche des Quadrats M'K'O'R', gleich dem Quadrat MCOR, ohne die Summe der Flächen von vier ähnliche Dreiecke. Daher ist die Fläche eines auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate.

Wir bekommen die Formel Mit 2 = a 2 +b 2 wo Mit- Hypotenuse, A Und B- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks.

Der Satz des Pythagoras wird üblicherweise kurz wie folgt formuliert:

Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Aus der Formel Mit 2 = a 2 +b 2 können Sie die folgenden Formeln erhalten:

A 2 = Mit 2 - B 2 ;

b 2 = Mit 2 - A 2 .

Diese Formeln können verwendet werden, um die unbekannte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks aus seinen beiden gegebenen Seiten zu ermitteln.

Zum Beispiel:

a) wenn die Beine gegeben sind A= 4 cm, B= 3 cm, dann können wir die Hypotenuse finden ( Mit):

Mit 2 = a 2 +b 2, d.h. Mit 2 = 4 2 + 3 2 ; mit 2 = 25, daher Mit= √25 = 5(cm);

b) wenn die Hypotenuse gegeben ist Mit= 17 cm und Bein A= 8 cm, dann können Sie ein anderes Bein finden ( B):

B 2 = Mit 2 - A 2, d.h. B 2 = 17 2 - 8 2 ; B 2 = 225, von wo B= √225 = 15 (cm).

Folgerung: Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 Hypotenuse haben Mit Und Mit 1 sind gleich und Bein B Dreieck ABC ist länger als das Bein B 1 Dreieck A 1 B 1 C 1,

dann das Bein A Dreieck ABC ist kleiner als Bein A 1 Dreieck A 1 B 1 C 1.

Basierend auf dem Satz des Pythagoras erhalten wir tatsächlich:

A 2 = Mit 2 - B 2 ,

A 1 2 = Mit 1 2 - B 1 2

In den geschriebenen Formeln sind die Minuenden gleich und der Subtrahend in der ersten Formel ist größer als der Subtrahend in der zweiten Formel, daher ist die erste Differenz kleiner als die zweite,

d.h. A 2 ein 1 2 . Wo A eine 1.

Satz des Pythagoras- einer der Grundsätze der euklidischen Geometrie, der die Beziehung festlegt

zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

Es wird angenommen, dass es vom griechischen Mathematiker Pythagoras nachgewiesen wurde, nach dem es benannt wurde.

Geometrische Formulierung des Satzes des Pythagoras.

Der Satz wurde ursprünglich wie folgt formuliert:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der Quadrate,

auf Beinen gebaut.

Algebraische Formulierung des Satzes des Pythagoras.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der Schenkel.

Das heißt, die Länge der Hypotenuse des Dreiecks wird mit bezeichnet C, und die Längen der Beine durch A Und B:

Beide Formulierungen Satz des Pythagoras sind gleichwertig, aber die zweite Formulierung ist elementarer, das ist nicht der Fall

erfordert den Flächenbegriff. Das heißt, die zweite Aussage kann überprüft werden, ohne etwas über das Gebiet zu wissen und

indem man nur die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks misst.

Umgekehrter Satz des Pythagoras.

Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, dann

rechtwinkliges Dreieck.

Oder anders gesagt:

Für jedes Tripel positiver Zahlen A, B Und C, so dass

Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen A Und B und Hypotenuse C.

Satz des Pythagoras für ein gleichschenkliges Dreieck.

Satz des Pythagoras für ein gleichseitiges Dreieck.

Beweise des Satzes des Pythagoras.

Derzeit sind in der wissenschaftlichen Literatur 367 Beweise dieses Theorems verzeichnet. Wahrscheinlich der Satz

Pythagoras ist der einzige Satz mit einer solch beeindruckenden Anzahl an Beweisen. Was für eine Vielfalt

kann nur durch die grundlegende Bedeutung des Satzes für die Geometrie erklärt werden.

Natürlich lassen sich alle konzeptionell in eine kleine Anzahl von Klassen einteilen. Die bekanntesten davon:

nachweisen Flächenmethode, axiomatisch Und exotische Beweise(Zum Beispiel,

mit Hilfe Differentialgleichung).

1. Beweis des Satzes des Pythagoras unter Verwendung ähnlicher Dreiecke.

Der folgende Beweis der algebraischen Formulierung ist der einfachste der konstruierten Beweise

direkt aus den Axiomen. Insbesondere wird der Begriff der Fläche einer Figur nicht verwendet.

Lassen ABC Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C. Zeichnen wir die Höhe ab C und bezeichnen

seine Gründung durch H.

Dreieck ACHähnlich einem Dreieck AB C an zwei Ecken. Ebenso Dreieck CBHähnlich ABC.

Durch Einführung der Notation:

wir bekommen:

,

was entspricht -

Gefaltet A 2 und B 2, wir erhalten:

oder , was bewiesen werden musste.

2. Beweis des Satzes des Pythagoras mit der Flächenmethode.

Die folgenden Beweise sind trotz ihrer scheinbaren Einfachheit gar nicht so einfach. Alle von ihnen

Verwenden Sie Flächeneigenschaften, deren Beweise komplexer sind als der Beweis des Satzes des Pythagoras selbst.

• Beweis durch Äquikomplementarität.

Ordnen wir vier gleiche Rechtecke an

Dreieck wie in der Abbildung gezeigt

rechts.

Viereck mit Seiten C- Quadrat,

da die Summe zweier spitzer Winkel 90° beträgt, und

Entfaltungswinkel - 180°.

Die Fläche der gesamten Figur beträgt einerseits

Fläche eines Quadrats mit Seite ( a+b), und andererseits die Summe der Flächen von vier Dreiecken und

Q.E.D.

3. Beweis des Satzes des Pythagoras mit der Infinitesimalmethode.

​

Betrachten Sie die in der Abbildung gezeigte Zeichnung und

den Seitenwechsel beobachtenA, wir können

Schreiben Sie die folgende Beziehung für unendlich

klein seitliche AbstufungenMit Und A(unter Verwendung von Ähnlichkeit

Dreiecke):

Mit der Variablentrennungsmethode finden wir:

Ein allgemeinerer Ausdruck für die Änderung der Hypotenuse bei beidseitigen Inkrementen:

Wenn wir diese Gleichung integrieren und die Anfangsbedingungen verwenden, erhalten wir:

So kommen wir zur gewünschten Antwort:

Wie leicht zu erkennen ist, erscheint die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel aufgrund der Linearität

Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe auf das Unabhängige bezogen ist

Beiträge aus dem Zuwachs verschiedener Beine.

Einen einfacheren Beweis erhält man, wenn man davon ausgeht, dass eines der Beine keinen Anstieg erfährt

(in diesem Fall das Bein B). Dann erhalten wir für die Integrationskonstante:

Beweis: 1. Betrachten Sie A 1 B 1 C 1 mit einem rechten Winkel C 1, in dem A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC. 2. Nach dem pythagoräischen Prinzip ist A 1 B 1 2 = A 1 C B 1 C Aber AB 2 = AC 2 + BC 2 (gemäß den Bedingungen des Satzes). Das bedeutet AB 2 = A 1 B 1 2, woraus AB = A 1 B A 1 B 1 C 1 = ABC (auf drei Seiten), also C = C. ABC ist also rechteckig mit einem rechten Winkel S. Ch., usw. d. S A B

Bei der Erforschung der Menge der natürlichen Zahlen 1,2,3,... erkannten die alten Griechen als erste die Idee der Unendlichkeit der von der Mathematik untersuchten Objekte. Der Wendepunkt war der Beweis des Satzes a 2 + b 2 = c 2. Der Legende nach opferte Pythagoras den Göttern 100 Stiere als Zeichen der Dankbarkeit. Die Pythagoräer (Anhänger und Schüler des Pythagoras) kannten die Drillinge (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25).

N. Überprüfen Sie, ob m und n unterschiedliche Werte haben. Außerdem kam Pythagoras oder einer seiner Schüler aus P" title="(!SPRACHE: Pythagoras oder einer seiner Schüler fand Formeln, um eine unendliche Menge solcher Tripel zu finden: a = 2mn, b = m 2 – n 2 , c =m 2 + n 2 , wobei m und n beliebige natürliche Zahlen sind, so dass m>n ist. Überprüfen Sie außerdem, ob von P." class="link_thumb"> 5 !} Pythagoras oder einer seiner Schüler fanden Formeln, um eine unendliche Menge solcher Tripletts zu finden: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c =m 2 + n 2, wobei m und n beliebige natürliche Zahlen sind, so dass m > n . Überprüfen Sie, ob m und n unterschiedliche Werte haben. Darüber hinaus kamen von Pythagoras folgende Begriffe zu uns: „Quadrat“ für Zahlen n 2 und Würfel für Zahlen n 3. N. Überprüfen Sie, ob m und n unterschiedliche Werte haben. Darüber hinaus kamen die folgenden Begriffe von P"> n zu uns. Überprüfen Sie, ob m und n unterschiedliche Werte haben. Darüber hinaus kamen von Pythagoras die folgenden Begriffe zu uns: „Quadrat“ für Zahlen n 2 und Würfel für Zahlen n 3."> n. Überprüfen Sie, ob m und n unterschiedliche Werte haben. Darüber hinaus hat P" title=" Pythagoras oder einer seiner Schüler Formeln gefunden, um eine unendliche Menge solcher Tripletts zu finden: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c =m 2 + n 2 , wobei m und n sind beliebige natürliche Zahlen mit m>n. Überprüfen Sie außerdem, ob m und n unterschiedlich sind."> title="Pythagoras oder einer seiner Schüler fanden Formeln, um eine unendliche Menge solcher Tripletts zu finden: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c =m 2 + n 2, wobei m und n beliebige natürliche Zahlen sind, so dass m > n . Überprüfen Sie, ob m und n unterschiedliche Werte haben. Kontaktieren Sie uns außerdem unter P"> !}

Satz des Kosinus Satz (des Kosinus). Das Quadrat einer beliebigen Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ohne das Doppelte des Produkts dieser Seiten mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen, c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Beweis: Bezeichnen wir AB = c, BC = a, AC = b. Vom Scheitelpunkt A senken wir eine Senkrechte AD. Dann ist AD = b sin C, CD = b cos C, BD = a – b cos C. Nach dem Satz des Pythagoras gilt c 2 = (a – b cos C) 2 + (b sin C) 2 = a 2 – 2ab cos C + b 2 cos 2 C + b 2 sin 2 C = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Betrachten Sie selbst die Fälle des rechten und stumpfen Winkels C.

Übung 12 Antwort: a) akut; Bei welchen Werten des Winkels A liegt das Quadrat der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite des Dreiecks: a) kleiner als die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten; b) gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten; c) größer als die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten? b) gerade; c) stumpf.

Aufgabe 17 Beweisen Sie, dass die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms gleich der Summe der Quadrate seiner Seiten ist. Nachweisen. Mit dem Kosinussatz haben wir: Addiert man diese Gleichungen und berücksichtigt man, dass der Kosinus des Winkels ADC gleich minus dem Kosinus des Winkels BAD ist, erhält man die erforderliche Aussage.

Sei AB = c, AC = b, BC = a im Dreieck ABC. Beweisen Sie, dass die Formel für den vom Scheitelpunkt C gezogenen Median m c gilt. Durch die Anwendung des Kosinussatzes auf die Dreiecke ACD und BCD erhalten wir: Durch Addition dieser Gleichheiten erhalten wir eine Gleichheit, aus der sich die erforderliche Formel direkt ergibt. Übung 19

Sei AC = b, BC = a im Dreieck ABC. Beweisen Sie, dass für die vom Scheitelpunkt C gezogene Winkelhalbierende l c die Formel gilt, wobei c, c die Segmente sind, in die die Winkelhalbierende die Seite AB teilt. Beweis. Durch den auf die Dreiecke ACD und BCD angewendeten Kosinussatz gilt: Multiplizieren Sie die erste Gleichheit mit a, die zweite mit b und subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichheit. Durch identische Transformationen erhalten wir eine Gleichheit, aus der sich direkt die gewünschte Formel ergibt. Übung 22

Aufgabe 27 Ist es möglich, einen Kreis um ein Viereck mit den Seitenlängen 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm zu beschreiben? Eine genauere Formulierung: Gibt es ein Viereck mit den Seitenlängen 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, um das sich ein Kreis beschreiben lässt? Lösung. Ein Kreis kann um ein Viereck ABCD beschrieben werden, wenn nach dem Kosinussatz Woher also ein solches Viereck existiert.