Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft. Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft. Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einer Steigung

Der Richtungsvektor der Geraden l jeder Nicht-Null-Vektor ( M, N), parallel zu dieser Linie.

Lassen Sie den gegebenen Punkt M 1 (X 1 , j 1) und Richtungsvektor ( M, N), dann die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt verläuft M 1 in Richtung des Vektors sieht so aus: . Diese Gleichung wird als kanonische Geradengleichung bezeichnet.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1), die durch den Punkt A(1, 2) verläuft.

Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax+By+C= 0. Schreiben wir die kanonische Gleichung der Geraden auf und transformieren sie. Wir bekommen x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft

Gegeben seien zwei Punkte in der Ebene M 1 (X 1 , j 1) und M 2 (X 2, j 2), dann hat die Gleichung der durch diese Punkte verlaufenden Geraden die Form: . Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Wenn wir die oben beschriebene Formel anwenden, erhalten wir: ,

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einer Steigung

Wenn die allgemeine Gleichung der Linie Ah + Wu + S= 0 wird auf die Form reduziert: und mit bezeichnet, dann heißt die resultierende Gleichung Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten k.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Wenn in der allgemeinen Gleichung die Gerade Ah + Wu + S= 0 Koeffizient MIT¹ 0, dann dividieren wir durch C, wir erhalten: oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist der Koeffizient A ist die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse Oh, A B– Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung einer Geraden ist gegeben X – bei+ 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten. A = -1, B = 1, C = 1, dann A = -1, B= 1. Die Gleichung einer Geraden in Segmenten wird die Form annehmen.

Beispiel. Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Finden Sie die Gleichung der Höhe, die vom Scheitelpunkt C aus gezogen wird.

Wir finden die Gleichung der Seite AB: ;

4X = 6j– 6; 2X – 3j + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung hat die Form: Ax+By+C= 0 oder y = kx + b.

k= . Dann j= . Weil die Höhe geht durch den Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: Wo B= 17. Gesamt: .

Antwort: 3 X + 2j – 34 = 0.

Praktische Lektion Nr. 7

Name der Lektion: Kurven zweiter Ordnung.

Zweck der Lektion: Lernen Sie, Kurven 2. Ordnung zu zeichnen und zu konstruieren.

Vorbereitung auf den Unterricht:Überprüfen Sie theoretisches Material zum Thema „Kurven 2. Ordnung“

Literatur:

1. Dadayan A.A. „Mathematik“, 2004

Unterrichtsaufgabe:

Ablauf der Unterrichtsdurchführung:

1. Holen Sie sich die Arbeitserlaubnis
2. Erledige Aufgaben
3. Sicherheitsfragen beantworten.

1. Name, Zweck der Lektion, Aufgabe;
2. Abgeschlossene Aufgabe;
3. Antworten auf Sicherheitsfragen.

Testfragen zum Testen:

1. Definieren Sie Kurven zweiter Ordnung (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel) und schreiben Sie ihre kanonischen Gleichungen auf.
2. Was ist die Exzentrizität einer Ellipse oder Hyperbel? Wie finde ich es?
3. Schreiben Sie die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel

ANWENDUNG

Umfang ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.

Der Mittelpunkt des Kreises sei ein Punkt UM(A; B) und die Entfernung zu einem beliebigen Punkt M(x;y) der Kreis ist gleich R. Dann ( x–a) 2 + (y–b) 2 = R 2 – kanonische Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt UM(A; B) und Radius R.

Beispiel. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius des Kreises, wenn seine Gleichung die Form hat: 2 X 2 + 2j 2 – 8x + 5 j – 4 = 0.

Um die Koordinaten des Mittelpunkts und des Radius des Kreises zu ermitteln, muss diese Gleichung auf die kanonische Form reduziert werden. Wählen Sie dazu vollständige Quadrate aus:

X 2 + j 2 – 4X + 2,5j – 2 = 0

X 2 – 4X + 4 – 4 + j 2 + 2,5j + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(X– 2) 2 + (j + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(X – 2) 2 + (j + 5/4) 2 = 121/16

Von hier aus finden wir die Koordinaten des Zentrums UM(2; -5/4); Radius R = 11/4.

Ellipse ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, deren Summe der Abstände von jedem Punkt zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten genannt) ein konstanter Wert ist, der größer ist als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Schwerpunkte werden durch Buchstaben gekennzeichnet F 1 , F Mit, die Summe der Abstände von jedem Punkt der Ellipse zu den Brennpunkten beträgt 2 A (2A > 2C), A– große Halbachse; B– kleine Halbachse.

Die kanonische Gleichung der Ellipse hat die Form: , wo A, B Und C hängen durch die folgenden Gleichheiten zusammen: a 2 – b 2 = c 2 (oder b 2 – a 2 = c 2).

Die Form der Ellipse wird durch eine Eigenschaft bestimmt, die das Verhältnis der Brennweite zur Länge der Hauptachse darstellt und als Exzentrizität bezeichnet wird. oder .

Weil per Definition 2 A> 2C, dann wird die Exzentrizität immer als echter Bruch ausgedrückt, d. h. .

Beispiel. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ellipse, wenn ihre Brennpunkte F 1 (0; 0), F 2 (1; 1) sind und die Hauptachse 2 ist.

Die Gleichung der Ellipse hat die Form: .

Fokusentfernung: 2 C= , auf diese Weise, A 2 – B 2 = C 2 = . Gemäß Bedingung 2 A= 2, also A = 1, B= Die erforderliche Gleichung der Ellipse hat die Form: .

Hyperbel ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, deren Abstandsdifferenz zu zwei gegebenen Punkten, Brennpunkten genannt, ein konstanter Wert ist, der kleiner ist als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Die kanonische Gleichung einer Hyperbel hat die Form: oder , wobei A, B Und C durch Gleichheit verbunden a 2 + b 2 = c 2 . Die Hyperbel ist symmetrisch um die Mitte des die Brennpunkte verbindenden Segments und um die Koordinatenachsen. Schwerpunkte werden durch Buchstaben gekennzeichnet F 1 , F 2, Abstand zwischen den Brennpunkten – 2 Mit, der Abstandsunterschied von jedem Punkt der Hyperbel zu den Brennpunkten beträgt 2 A (2A < 2C). Achse 2 A wird die reale Achse der Hyperbel, Achse 2, genannt B– die imaginäre Achse der Hyperbel. Eine Hyperbel hat zwei Asymptoten, deren Gleichungen lauten

Die Exzentrizität einer Hyperbel ist das Verhältnis des Abstands zwischen den Brennpunkten zur Länge der realen Achse: oder. Weil per Definition 2 A < 2C, dann wird die Exzentrizität der Hyperbel immer als unechter Bruch ausgedrückt, d.h. .

Wenn die Länge der realen Achse gleich der Länge der imaginären Achse ist, d.h. a = b, ε = , dann heißt die Hyperbel gleichseitig.

Beispiel. Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Hyperbel auf, wenn ihre Exzentrizität 2 beträgt und ihre Brennpunkte mit den Brennpunkten der Ellipse mit der Gleichung übereinstimmen

Finden der Brennweite C 2 = 25 – 9 = 16.

Für eine Hyperbel: C 2 = A 2 + B 2 = 16, ε = c/a = 2; C = 2A; C 2 = 4A 2 ; A 2 = 4; B 2 = 16 – 4 = 12.

Dann ist die erforderliche Gleichung der Hyperbel.

Parabel ist die Menge der Punkte in der Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem sogenannten Fokus, und einer gegebenen Linie, der sogenannten Leitlinie, gleich weit entfernt sind.

Der Schwerpunkt einer Parabel wird durch den Buchstaben angegeben F, Direktor - D, Abstand vom Fokus zur Leitlinie – R.

Die kanonische Gleichung einer Parabel, deren Schwerpunkt auf der x-Achse liegt, hat die Form:

j 2 = 2px oder j 2 = -2px

X = -P/2, X = P/2

Die kanonische Gleichung einer Parabel, deren Schwerpunkt auf der Ordinatenachse liegt, hat die Form:

X 2 = 2ru oder X 2 = -2ru

Directrix-Gleichungen bzw bei = -P/2, bei = P/2

Beispiel. Auf einer Parabel bei 2 = 8X Finden Sie Punkte, deren Abstand von der Leitlinie 4 beträgt.

Aus der Parabelgleichung erhalten wir das R = 4. r = x + P/2 = 4; somit:

X = 2; j 2 = 16; j= ±4. Gesuchte Punkte: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Praktische Lektion Nr. 8

Name der Lektion: Operationen mit komplexen Zahlen in algebraischer Form. Geometrische Interpretation komplexer Zahlen.

Zweck der Lektion: Lernen Sie, Operationen mit komplexen Zahlen durchzuführen.

Vorbereitung auf den Unterricht:Überprüfen Sie theoretisches Material zum Thema „Komplexe Zahlen“.

Literatur:

1. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. „Elemente der höheren Mathematik“, 2008.

Unterrichtsaufgabe:

1. Berechnung:

1) ich 145 + ich 147 + ich 264 + ich 345 + ich 117 ;

2) (ich 64 + ich 17 + ich 13 + ich 82)·( ich 72 – ich 34);

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft. Im Artikel" " Ich habe Ihnen versprochen, einen zweiten Weg zu betrachten, um die vorgestellten Probleme der Ermittlung der Ableitung zu lösen, wobei ein Graph einer Funktion und eine Tangente an diesen Graphen gegeben sind. Wir werden diese Methode in besprechen , nicht verpassen! Warum im nächsten?

Tatsache ist, dass dort die Formel für die Gleichung einer Geraden verwendet wird. Natürlich könnten wir diese Formel einfach zeigen und Ihnen raten, sie zu lernen. Aber es ist besser zu erklären, woher es kommt (wie es abgeleitet wird). Das ist notwendig! Wenn Sie es vergessen, können Sie es schnell wiederherstellenwird nicht schwierig sein. Im Folgenden wird alles im Detail beschrieben. Wir haben also zwei Punkte A auf der Koordinatenebene(x 1;y 1) und B(x 2;y 2) wird eine Gerade durch die angegebenen Punkte gezogen:

Hier ist die direkte Formel selbst:

*Das heißt, wenn wir bestimmte Koordinaten von Punkten ersetzen, erhalten wir eine Gleichung der Form y=kx+b.

**Wenn Sie sich diese Formel einfach „auswendig lernen“, besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass Sie mit den Indizes verwechselt werden X. Darüber hinaus können Indizes auf unterschiedliche Weise bezeichnet werden, zum Beispiel:

Deshalb ist es wichtig, die Bedeutung zu verstehen.

Nun die Herleitung dieser Formel. Alles ist sehr einfach!

Die Dreiecke ABE und ACF ähneln sich im spitzen Winkel (das erste Zeichen der Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke). Daraus folgt, dass die Verhältnisse der entsprechenden Elemente gleich sind, das heißt:

Jetzt drücken wir diese Segmente einfach durch die Differenz der Koordinaten der Punkte aus:

Natürlich entsteht kein Fehler, wenn Sie die Beziehungen der Elemente in einer anderen Reihenfolge schreiben (Hauptsache, die Konsistenz bleibt erhalten):

Das Ergebnis wird die gleiche Geradengleichung sein. Das ist alles!

Das heißt, egal wie die Punkte selbst (und ihre Koordinaten) bezeichnet werden, wenn Sie diese Formel verstehen, werden Sie immer die Gleichung einer geraden Linie finden.

Die Formel kann mithilfe der Eigenschaften von Vektoren abgeleitet werden, das Ableitungsprinzip bleibt jedoch dasselbe, da es sich um die Proportionalität ihrer Koordinaten handelt. In diesem Fall funktioniert die gleiche Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke. Meiner Meinung nach ist die oben beschriebene Schlussfolgerung klarer)).

Ausgabe über Vektorkoordinaten anzeigen >>>

Auf der Koordinatenebene soll eine Gerade konstruiert werden, die durch zwei gegebene Punkte A(x 1;y 1) und B(x 2;y 2) verläuft. Markieren wir einen beliebigen Punkt C auf der Geraden mit Koordinaten ( X; j). Wir bezeichnen auch zwei Vektoren:

Es ist bekannt, dass für Vektoren, die auf parallelen Linien (oder auf derselben Linie) liegen, ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind, das heißt:

— Wir schreiben die Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Koordinaten auf:

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten (2;5) und (7:3) verläuft.

Sie müssen nicht einmal die gerade Linie selbst erstellen. Wir wenden die Formel an:

Es ist wichtig, dass Sie bei der Erstellung des Verhältnisses die Zusammenhänge verstehen. Sie können nichts falsch machen, wenn Sie schreiben:

Antwort: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Um sicherzustellen, dass die resultierende Gleichung korrekt gefunden wird, überprüfen Sie unbedingt die Koordinaten der Daten in der Bedingung der darin enthaltenen Punkte. Die Gleichungen sollten korrekt sein.

Das ist alles. Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Durch jeden Punkt können unendlich viele Geraden gezogen werden.

Durch zwei beliebige nicht zusammenfallende Punkte kann eine einzelne gerade Linie gezogen werden.

Zwei divergierende Linien in einer Ebene schneiden sich entweder in einem Punkt oder sind es

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Lage zweier Linien:

• Linien schneiden sich;

• Linien sind parallel;

• Geraden schneiden sich.

Gerade Linie— algebraische Kurve erster Ordnung: eine Gerade im kartesischen Koordinatensystem

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Gleichung einer Geraden.

Definition. Jede gerade Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung angegeben werden

Axt + Wu + C = 0,

und konstant A, B nicht gleichzeitig Null sind. Diese Gleichung erster Ordnung heißt allgemein

Gleichung einer Geraden. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B Und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- Eine Gerade geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Gleichung einer Geraden kann je nach Gegebenheit in verschiedenen Formen dargestellt werden

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Geraden

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung. Mit A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung der Geraden auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden

Ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck. Wir erhalten also: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Gesamt: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Und M2 (x 2, y 2, z 2), Dann Gleichung einer Geraden,

durch diese Punkte gehen:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. An

Ebene, die Gleichung der oben geschriebenen Geraden wird vereinfacht:

Wenn x 1 ≠ x 2 Und x = x 1, Wenn x 1 = x 2 .

Fraktion = k angerufen Neigung gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenn wir die oben geschriebene Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden unter Verwendung eines Punktes und einer Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Linie Axt + Wu + C = 0 führen zu:

und benennen , dann heißt die resultierende Gleichung

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor.

In Analogie zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und ein Richtungsvektor einer Geraden.

Definition. Jeder Vektor ungleich Null (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen

Aα 1 + Bα 2 = 0 angerufen Richtungsvektor einer Geraden.

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1), die durch den Punkt A(1, 2) verläuft.

Lösung. Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist

Koeffizienten müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

bei x = 1, y = 2 wir bekommen C/A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ах + Ву + С = 0 С≠0, dann erhalten wir durch Division durch -С:

oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten besteht darin, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist

gerade mit Achse Oh, A B- Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung einer Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Axt + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren Was heisst

Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden μ*C< 0.

R- die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt,

A φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0. Erforderlich, um verschiedene Arten von Gleichungen zu schreiben

diese gerade Linie.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Die Gleichung dieser Geraden mit der Steigung: (durch 5 dividieren)

Gleichung einer Geraden:

cos φ = 12/13; Sünde φ= -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.

Der Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Linien stehen senkrecht zueinander

Wenn k 1 = -1/ k 2 .

Satz.

Direkte Axt + Wu + C = 0 Und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

A 1 = λA, B 1 = λB. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft.

Definition. Linie, die durch einen Punkt geht M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

dargestellt durch die Gleichung:

Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt gegeben wird M(x 0, y 0), dann der Abstand zur Geraden Axt + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis einer Senkrechten, die von einem Punkt aus fällt M für ein gegebenes

Direkte. Dann der Abstand zwischen Punkten M Und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 Und um 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die senkrecht durch einen gegebenen Punkt M 0 verläuft

Gerade gegeben. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

y - y 1 =k(x - x 1)

Gleichung einer Geraden: y=khx+b

Wenn wir die ursprüngliche Gleichung y - y 1 =k(x - x 1) transformieren, erhalten wir y=kx+(y 1 -kx 1). Es erfüllt die Bedingungen der Geradengleichung: y=kx+b, weil

1. sein Grad ist erster, was bedeutet, dass er direkt sein kann,

2. Die Gerade geht durch den Punkt (x 1; y 1), weil Die Koordinaten dieses Punktes erfüllen die Gleichung: 0=0

3. Die Rolle des Koeffizienten in spielt der Ausdruck y 1 -kh 1

Die Gerade mit der Gleichung y - y 1 =k(x - x 1) geht durch 1 Punkt. Fordern wir, dass auch der zweite Punkt auf dieser Geraden liegt, d.h. so dass die Gleichheit y 2 - y 1 =k(x 2 - x 1) gilt. Von hier aus finden wir k= y 2 - y 1 ¸ x 2 - x 1 und setzen es in die Gleichung ein:

y - y 1 = y 2 - y 1 ¸ x 2 - x 1 ×(x - x 1) oder

x - x 1 ¸x 2 - x 1 = y - y 1 ¸y 2 - y 1

15. Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene

Gerade Linien: y=k 1 x +b 1, y=k 2 x +b 2

Im ABC-Wagen ist die Menge an internen Winkel a 1 +b ist gleich dem Außenwinkel a 2 daher b=a 2 -a 1 Offensichtlich ist tga 1 = k 1 ; tga 2 = k 2. Wenn wir die Formel für die tg-Differenz von 2 Winkeln ändern, erhalten wir tgb=tg(a 2 -a 1)= tga 2 -tga 1 ¸1+ tga 2 ×tga 1

Schließlich gilt tgb= k 2 - k 1 ¸1+k 2 × ×k 1 Durch Berechnen des Tangens können Sie den Winkel b selbst ermitteln.

16. Bedingungen || und ^ Geraden in der Ebene.

Die Gleichungen von Geraden mit Winkelkoeffizienten werden angegeben. y=k 1 x und y=k 2 x +b 2

Bedingungen || Direkte- das ist die Gleichheit der Winkelkoeffizienten. zu 1 = zu 2 (1)

Bedingung (1) ist erfüllt. und für zusammengeführte Linien. Winkelkoeffizientenformel Geraden (tga= k 2 - k 1 ¸1+k 2 × ×k 1) können in der Form geschrieben werden: ctga= 1+k 2 × ×k 1 ¸k 2 - k 1 (dies ist der Fall, wenn k 1 ¹k 2) . Zustand ^ direkt wird durch die Gleichung k 2 × ×k 1 = -1 ausgedrückt. Wenn k 1 =0 oder k 2 =0, dann ist eine der Zeilen || Achse Ox und die zweite ^ hat eine Gleichung der Form x=a.

Die Geraden seien durch eine allgemeine Gleichung gegeben. A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, Wenn B1 = B2 = 0, dann sind beide Geraden parallel zur Oy-Achse und zueinander (ihre Gleichungen). haben die Form x = a ) Wenn B1=0 und B2¹0, dann gerade Linien^. Im Fall von A2 = 0 (die Gleichung wird auf die Form x = a, y = b reduziert) Im Fall von B1¹0 und B2¹0 kann y in jeder Gleichung ausgedrückt werden. y= -A1x¸B1-C1¸B1;

Y= - A2x¸B2-C2¸B2, dann k1= -A1¸B1 und k2= - A2¸B2 und die Bedingung || A1¸B1= A2¸B2 oder A1¸A2= B1¸B2.

Unter Verwendung der Gleichung 1+k1×k2=0, 1+ A1¸B1× A2¸B2=0. Wir gelangen zur Bedingung der Geraden A1×A2+B1×B2=0.

Ellipse

Eine Ellipse ist der geometrische Ort von Punkten auf einer Ebene, deren Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, Brennpunkten genannt, ein konstanter Wert ist (größer als der Abstand zwischen Brennpunkten).

Die Ellipsengleichung nimmt die einfachste Form an, wenn die Brennpunkte auf der Ox-Achse links vom Ursprung in gleichem Abstand davon platziert werden. F 1 F 2 - Schwerpunkte der Ellipse. Bezeichnen wir F 1 F 2 = 2c, dann haben die Brennpunkte die Koordinaten (-c,0) und (c,0). Bezeichnen wir die Abstände der Brennpunkte zum aktuellen Punkt der Ellipse M mit r 1 und r 2 . Diese werden Brennradien genannt. Wir bezeichnen den konstanten Wert r 1 + r 2 als 2a: r 1 + r 2 = 2a. Wenn man den Punkt M an den Punkten A und A platziert, erkennt man leicht, dass A A = 2a ist. Die Segmente AA" und BB" werden als Achsen der Ellipse bezeichnet, die Segmente OA und OB als Halbachsen der Ellipse. Die Punkte A, A, B, B“ werden als Eckpunkte der Ellipse bezeichnet. Sei M(x,y) am Punkt B, dann ist r 1 = r 2 =a. Aus dem tr-ka BOF 2 VO=ÖBF 2 2 -OF 2 2 Bezeichnen wir VO=in, dann in=Öa 2 - c 2. Durch die Halbellipse a und die Gleichung wird wie folgt geschrieben:

Diese Gleichung wird die kanonische Gleichung der Ellipse genannt. Ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse, den man erhält, wenn a = b = R (R ist die Basis des Kreises). Je mehr sich die Halbachsen a und b voneinander unterscheiden, desto abgeflachter wird die Ellipse. Der Grad der Abflachung einer Ellipse wird normalerweise anhand der Exzentrizität gemessen

Offensichtlich 0£ɛ£1. Bei ɛ=0 haben wir einen Kreis; mit zunehmendem ɛ weicht die Ellipse immer mehr vom Kreis ab und wird konvexer.

Hyperbel

Eine Übertreibung wird Geom genannt. der Ort der Punkte der Ebene, für die der Absolutwert der Abstandsdifferenz zu zwei gegebenen Punkten, Brennpunkte genannt, ein konstanter Wert ungleich 0 und kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten ist. Wir platzieren die Brennpunkte F 1 und F 2 erneut auf der Ox-Achse an den Punkten (-c, 0), (c, 0). Die Segmente F 1 M = r 1 und F 2 M = r 2 werden Brennradien genannt. Per Definition |r 1 - r 2 | es gibt einen konstanten Wert. Bezeichnen wir es mit 2a: |r 1 - r 2 | =2a. Die Punkte A und A" werden als Eckpunkte der Hyperbel bezeichnet. Es ist leicht zu verstehen, dass AA" = 2a. Tatsächlich gilt für Punkt A r 1 =AF 1 und r 2 =AF 2. Offensichtlich ist AF 2 = A "F 1, also r 1 - r 2 = AF 1 - AF 2 = AF 1 = A" F 1 = A "A. Andererseits ist r 1 - r 2 = 2a. Das Segment „AA“ wird die reelle Achse der Hyperbel genannt. Sei b = Öc 2 -a 2 Die Punkte B und B" haben die Koordinaten (0, b) und (0, - b). Das Segment BB" wird als imaginäre Achse der Hyperbel bezeichnet. Die kanonische Gleichung einer Hyperbel hat die Form:

Eine Hyperbel hat zwei Zweige, wenn a = b, die Hyperbel heißt gleichseitig. Gleichungen y=in¸a und y=-in¸a. Sie werden Asymptoten genannt. Wenn sich ein Punkt entlang eines der Zweige der Hyperbel entfernt, tendiert sein Abstand zur entsprechenden Asymptote gegen 0. Bei einer Hyperbel nimmt die Exzentrizität Werte größer als 1 an.

Parabel.

Eine Parabel ist der Ort von Punkten in einer Ebene, die von einer bestimmten Geraden, der sogenannten Leitlinie, und von einem gegebenen Punkt, der nicht zur Leitlinie gehört, dem sogenannten Brennpunkt, gleich weit entfernt ist. Bezeichnen wir den Abstand zwischen dem Fokus und der Leitlinie mit p. Die kanonische Gleichung einer Parabel hat die Form:

y 2 = 2ðх und es stellt sich heraus, wenn der Fokus F auf den Punkt (ð¸2, 0) gelegt wird und die Gerade x = - ð¸2 als Leitlinie genommen wird. Die Zahl p heißt Parameter der Parabel, der Punkt (0,0) ist ihr Scheitelpunkt.

20. Ebene im Raum: allgemeine Gleichung, geometrische Bedeutung von Koeffizienten, Gleichung einer Ebene, die durch einen bestimmten Punkt im Raum verläuft.

Die allgemeine Gleichung der Ebene lautet: Ax+By+Cz +D=0, wobei mindestens einer der Koeffizienten A, B, C von 0 verschieden ist. Diese Koeffizienten haben eine Definition. Geom. Bedeutung

Legen wir die Position der Ebene fest, indem wir einen bestimmten Punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) und einen von Null verschiedenen Vektor N(A,B,C) senkrecht zur Ebene verwenden. Anhand dieser Daten wird das Flugzeug eindeutig bestimmt. Sei M(x,y,z) der aktuelle Punkt der Ebene. Die Vektoren N(A,B,C) und M 0 M(x-x 0,y-y 0,z-z 0) sind orthogonal, daher ist ihr Skalarprodukt gleich)

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0 (1)

Nach Transformationen erhalten wir die Gleichung:

Ax+By+Cz+D=0, wobei D = -Ax 0 -B 0-Cz 0

Folglich sind A, B, C die Koordinaten des Vektors senkrecht zu der durch die allgemeine Gleichung angegebenen Ebene.

Die durch Gleichung (1) beschriebene Menge von Ebenen mit einem festen Punkt (x 0 , y 0 , z 0) und variablen Koeffizienten A, B, C wird als Ebenenbündel bezeichnet. Wenn zu den Bedingungen, die die gewünschte Ebene definieren, ihr Punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) gehört, können Sie mit der Lösung des Problems beginnen, indem Sie Gleichung (1) anwenden. Eine Ebene wird auch Fläche erster Ordnung genannt.

Kugel,

Kugel. Die Gleichung einer Kugel, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt: x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Das Zentrum sei nun im Punkt M 0 (x 0,y 0,z 0)

Der aktuelle Punkt M(x,y,z) der Kugel hat einen Abstand R vom Punkt M.

Aus der Gleichung MM 0 2 =R 2 erhalten wir: (x-x 0) 2 +(y-y 0) 2 +(z-z 0) 2 =R 2

Ellipsoid kanonisch Die gleichung:

A, b, c – Halbachsen des Ellipsoids. Wenn a = b, erhält man ein Rotationsellipsoid. Die Oberfläche unseres Planeten hat diese Form. Wenn a=b=c, verwandelt sich das Ellipsoid in eine Kugel mit dem Radius R=a

Paraboloid der Revolution

Betrachten Sie in der yOz-Ebene die Parabel y 2 = 2рz. Die durch die Drehung dieser Parabel um die Oz-Achse gebildete Oberfläche wird Rotationsparaboloid genannt.

Sei M(x,y,z) ein beliebiger Punkt auf der Oberfläche und M 0 ein Punkt mit der gleichen Anwendung z, der auf der Parabel y 2 = 2рz liegt. Weil O"M=O" M 0, dann kann y 2 für Punkt M 0 in der Gleichung durch x 2 + y 2 für Punkt M ersetzt werden: x 2 + y 2 = 2рz - Gleichung eines Rotationsparaboloids

Gegeben seien zwei Punkte M(X 1 ,U 1) und N(X 2,j 2). Finden wir die Gleichung der Geraden, die durch diese Punkte verläuft.

Da diese Linie durch den Punkt geht M, dann hat seine Gleichung nach Formel (1.13) die Form

U – Y 1 = K(X–x 1),

Wo K– unbekannter Winkelkoeffizient.

Der Wert dieses Koeffizienten wird aus der Bedingung bestimmt, dass die gewünschte Gerade durch den Punkt verläuft N, was bedeutet, dass seine Koordinaten Gleichung (1.13) erfüllen.

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Von hier aus können Sie die Steigung dieser Linie ermitteln:

,

Oder nach der Konvertierung

(1.14)

Formel (1.14) bestimmt Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft M(X 1, Y 1) und N(X 2, Y 2).

Im Sonderfall bei Punkten M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, liegen auf den Koordinatenachsen, Gleichung (1.14) wird eine einfachere Form annehmen

Gleichung (1.15) angerufen Gleichung einer Geraden in Segmenten, Hier A Und B bezeichnen die durch eine gerade Linie auf den Achsen abgeschnittenen Segmente (Abbildung 1.6).

Abbildung 1.6

Beispiel 1.10. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch die Punkte verläuft M(1, 2) und B(3, –1).

. Nach (1.14) hat die Gleichung der gesuchten Geraden die Form

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Wenn wir alle Terme auf die linke Seite übertragen, erhalten wir schließlich die gewünschte Gleichung

3X + 2Y – 7 = 0.

Beispiel 1.11. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt verläuft M(2, 1) und der Schnittpunkt der Geraden X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Wir werden die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien ermitteln, indem wir diese Gleichungen gemeinsam lösen

Wenn wir diese Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir 2 X+ 1 = 0, daher . Wenn wir den gefundenen Wert in eine beliebige Gleichung einsetzen, ermitteln wir den Wert der Ordinate U:

Schreiben wir nun die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte (2, 1) verläuft und:

oder .

Daher oder –5( Y – 1) = X – 2.

Wir erhalten schließlich die Gleichung der gewünschten Geraden in der Form X + 5Y – 7 = 0.

Beispiel 1.12. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte verläuft M(2.1) und N(2,3).

Mit Formel (1.14) erhalten wir die Gleichung

Es macht keinen Sinn, da der zweite Nenner Null ist. Aus den Bedingungen des Problems geht hervor, dass die Abszissen beider Punkte den gleichen Wert haben. Das bedeutet, dass die gewünschte Gerade parallel zur Achse verläuft OY und seine Gleichung lautet: X = 2.

Kommentar . Wenn sich beim Schreiben der Gleichung einer Geraden nach Formel (1.14) herausstellt, dass einer der Nenner gleich Null ist, kann die gewünschte Gleichung erhalten werden, indem der entsprechende Zähler mit Null gleichgesetzt wird.

Betrachten wir andere Möglichkeiten, eine Linie auf einer Ebene zu definieren.

1. Ein Vektor ungleich Null sei senkrecht zur gegebenen Linie L, und Punkt M 0(X 0, Y 0) liegt auf dieser Linie (Abbildung 1.7).

Abbildung 1.7

Bezeichnen wir M(X, Y) ein beliebiger Punkt auf einer Geraden L. Vektoren und Senkrecht. Unter Verwendung der Orthogonalitätsbedingungen dieser Vektoren erhalten wir oder A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Wir haben die Gleichung einer Geraden erhalten, die durch einen Punkt verläuft M 0 steht senkrecht zum Vektor. Dieser Vektor heißt Normaler Vektor zu einer geraden Linie L. Die resultierende Gleichung kann umgeschrieben werden als

Oh + Wu + MIT= 0, wo MIT = –(AX 0 + Von 0), (1.16),

Wo A Und IN– Koordinaten des Normalenvektors.

Wir erhalten die allgemeine Geradengleichung in parametrischer Form.

2. Eine gerade Linie auf einer Ebene kann wie folgt definiert werden: Ein Vektor ungleich Null sei parallel zu der gegebenen geraden Linie L und Punkt M 0(X 0, Y 0) liegt auf dieser Linie. Nehmen wir noch einmal einen beliebigen Punkt M(X, y) auf einer Geraden (Abbildung 1.8).

Abbildung 1.8

Vektoren und kollinear.

Schreiben wir die Bedingung für die Kollinearität dieser Vektoren auf: , wo T– eine beliebige Zahl, die als Parameter bezeichnet wird. Schreiben wir diese Gleichheit in Koordinaten:

Diese Gleichungen heißen Parametrische Gleichungen Gerade. Lassen Sie uns den Parameter aus diesen Gleichungen ausschließen T:

Diese Gleichungen können ansonsten in der Form geschrieben werden

. (1.18)

Die resultierende Gleichung heißt Die kanonische Gleichung der Geraden. Der Vektor heißt Der Richtungsvektor ist gerade .

Kommentar . Es ist leicht zu erkennen, dass if der Normalenvektor zur Geraden ist L, dann kann sein Richtungsvektor der Vektor sein, da , d.h.

Beispiel 1.13. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft M 0(1, 1) parallel zur Linie 3 X + 2U– 8 = 0.

Lösung . Der Vektor ist der Normalenvektor zu den gegebenen und gewünschten Geraden. Verwenden wir die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft M 0 mit einem gegebenen Normalenvektor 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 oder 3 X + 2u– 5 = 0. Wir haben die Gleichung der gewünschten Geraden erhalten.