Pascals Dreieck Eines Tages ging ich langsam durch Paris, schaute auf Schaufenster und las Schilder. Eine bunte Inschrift über dem Eingang eines schmutzigen grauen Gebäudes lud eindringlich dazu ein, hereinzukommen und sein Glück zu versuchen. Ich war überrascht, dass das Spielhaus am helllichten Tag geöffnet war – das ist nicht der Fall

Statistiken helfen uns bei der Lösung vieler Probleme, zum Beispiel wenn es nicht möglich ist, ein deterministisches Modell zu erstellen, wenn es zu viele Faktoren gibt oder wenn wir die Wahrscheinlichkeit des erstellten Modells unter Berücksichtigung der verfügbaren Daten abschätzen müssen. Die Einstellung zur Statistik ist zweideutig. Es gibt die Meinung, dass es drei Arten von Lügen gibt: Lügen, verdammte Lügen und Statistiken. Auf der anderen Seite glauben viele „Benutzer“ von Statistiken zu sehr daran, ohne vollständig zu verstehen, wie es funktioniert: Beispielsweise wird ein Test auf beliebige Daten angewendet, ohne deren Normalität zu überprüfen. Eine solche Nachlässigkeit kann zu schwerwiegenden Fehlern führen und Test-„Fans“ zu Statistikhassern machen. Versuchen wir, Ströme über i zu legen und herauszufinden, welche Modelle von Zufallsvariablen zur Beschreibung bestimmter Phänomene verwendet werden sollten und welche genetische Verbindung zwischen ihnen besteht.

Dieses Material wird vor allem für Studenten interessant sein, die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik studieren, obwohl „reife“ Spezialisten es als Referenz verwenden können. In einer der folgenden Arbeiten zeige ich ein Beispiel für die Verwendung von Statistiken zur Erstellung eines Tests zur Beurteilung der Bedeutung von Indikatoren für Börsenhandelsstrategien.

Die Arbeit wird Folgendes berücksichtigen:

Am Ende des Artikels wird es eine Frage zum Nachdenken geben. Ich werde meine Gedanken zu diesem Thema im nächsten Artikel darlegen.

Einige der oben genannten kontinuierlichen Verteilungen sind Sonderfälle.

Diskrete Verteilungen

Es wird eine diskrete Verteilung der Eintrittswahrscheinlichkeit jedes der möglichen Ergebnisse eines Ereignisses beschrieben. Wie bei jeder Verteilung (einschließlich kontinuierlicher) werden die Konzepte Erwartung und Streuung für diskrete Ereignisse definiert. Es sollte jedoch verstanden werden, dass die mathematische Erwartung für ein diskretes Zufallsereignis im Allgemeinen ein Wert ist, der nicht als Ergebnis eines einzelnen Zufallsereignisses realisiert werden kann, sondern vielmehr als ein Wert, der dem arithmetischen Mittel der Ergebnisse von Ereignissen entspricht wird tendenziell tendieren, wenn ihre Zahl zunimmt.

Bei der Modellierung diskreter Zufallsereignisse spielt die Kombinatorik eine wichtige Rolle, da die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses eines Ereignisses als das Verhältnis der Anzahl der Kombinationen, die das gewünschte Ergebnis liefern, zur Gesamtzahl der Kombinationen definiert werden kann. Beispiel: In einem Korb befinden sich 3 weiße und 7 schwarze Bälle. Wenn wir 1 Ball aus dem Korb auswählen, können wir dies auf 10 verschiedene Arten tun (Gesamtzahl der Kombinationen), aber es gibt nur 3 Optionen, bei denen der weiße Ball ausgewählt wird (3 Kombinationen, die das gewünschte Ergebnis ergeben). Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, die weiße Kugel zu wählen: ().

Man sollte auch zwischen Proben mit und ohne Rückgabe unterscheiden. Um beispielsweise die Wahrscheinlichkeit zu beschreiben, zwei weiße Bälle auszuwählen, ist es wichtig zu bestimmen, ob der erste Ball in den Korb zurückgeworfen wird. Wenn nicht, handelt es sich um eine Stichprobe ohne Return () und die Wahrscheinlichkeit ist wie folgt: - die Wahrscheinlichkeit, einen weißen Ball aus der ursprünglichen Stichprobe auszuwählen, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, erneut einen weißen Ball aus den im Korb verbleibenden Bällen auszuwählen . Wenn der erste Ball in den Korb zurückkehrt, handelt es sich um einen Abruf mit return(). In diesem Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei weiße Kugeln zu wählen, .

Wenn wir das Beispiel mit einem Korb etwa wie folgt formalisieren: Nehmen wir an, dass das Ergebnis eines Ereignisses einen von zwei Werten 0 oder 1 mit den Wahrscheinlichkeiten bzw. annimmt, dann wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Erhalt jedes der vorgeschlagenen Ergebnisse Bernoulli-Verteilung genannt :

Gemäß der etablierten Tradition wird ein Ergebnis mit dem Wert 1 „Erfolg“ und ein Ergebnis mit dem Wert 0 „Misserfolg“ genannt. Es ist offensichtlich, dass das Ergebnis „Erfolg oder Misserfolg“ mit Wahrscheinlichkeit eintreten wird.

Erwartungswert und Varianz der Bernoulli-Verteilung:

Die Anzahl der Erfolge in Versuchen, deren Ausgang nach der Erfolgswahrscheinlichkeit verteilt wird (Beispiel: Zurückwerfen von Bällen in den Korb), wird durch eine Binomialverteilung beschrieben:

Mit anderen Worten können wir sagen, dass die Binomialverteilung die Summe unabhängiger Zufallsvariablen beschreibt, die mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit verteilt werden können.
Erwartung und Varianz:

Wenn die Größen und Binomialverteilungen mit den Parametern bzw. haben, dann wird ihre Summe auch binomial mit den Parametern verteilt.

Stellen wir uns eine Situation vor, in der wir Bälle aus dem Korb ziehen und sie zurückgeben, bis ein weißer Ball herausgezogen wird. Die Anzahl solcher Operationen wird durch eine geometrische Verteilung beschrieben. Mit anderen Worten: Die geometrische Verteilung beschreibt die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg mit der Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch. Wenn die Nummer des Versuchs, bei dem ein Erfolg erzielt wurde, impliziert wird, wird die geometrische Verteilung durch die folgende Formel beschrieben:

Die Pascal-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Verteilung: Sie beschreibt die Verteilung der Anzahl der Fehlschläge in unabhängigen Versuchen, deren Ergebnis über die Erfolgswahrscheinlichkeit verteilt wird, bevor der Gesamterfolg eintritt. Wenn wir eine Verteilung für die Menge erhalten.

Erwartungswert und Varianz der negativen Binomialverteilung:

Bisher haben wir Beispiele für Proben mit Reversion betrachtet, das heißt, die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses änderte sich von Versuch zu Versuch nicht.

Betrachten Sie nun die Situation ohne Rückkehr und beschreiben Sie die Wahrscheinlichkeit der Anzahl erfolgreicher Auswahlen aus einer Grundgesamtheit mit einer vorher bekannten Anzahl an Erfolgen und Misserfolgen (eine vorher bekannte Anzahl weißer und schwarzer Kugeln im Korb, Trumpfkarten im Stapel, defekte Teile im Spiel usw.).

Angenommen, die gesamte Sammlung enthält Objekte, einige davon sind als „1“ und als „0“ markiert. Wir betrachten die Auswahl eines Objekts mit der Bezeichnung „1“ als Erfolg und mit der Bezeichnung „0“ als Fehlschlag. Wir werden n Tests durchführen und die ausgewählten Objekte werden an weiteren Tests nicht mehr teilnehmen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit folgt der hypergeometrischen Verteilung:

Erwartung und Varianz:

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung unterscheidet sich in ihrem „Themenbereich“ deutlich von den oben diskutierten Verteilungen: Nun wird nicht mehr die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des einen oder anderen Testergebnisses berücksichtigt, sondern die Intensität von Ereignissen, also die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit.

Die Poisson-Verteilung beschreibt die Eintrittswahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse im Zeitverlauf bei einer durchschnittlichen Ereignisintensität:

Die Poisson-Verteilung bildet in Kombination mit , die die Zeitintervalle zwischen dem Auftreten unabhängiger Ereignisse beschreibt, die mathematische Grundlage der Zuverlässigkeitstheorie.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Produkts der Zufallsvariablen x und y() mit Verteilungen kann wie folgt berechnet werden:

Einige der folgenden Verteilungen sind Sonderfälle der Pearson-Verteilung, die wiederum eine Lösung der Gleichung darstellt:

Die in diesem Abschnitt behandelten Verteilungen stehen in enger Beziehung zueinander. Diese Zusammenhänge kommen darin zum Ausdruck, dass einige Verteilungen Sonderfälle anderer Verteilungen sind oder Transformationen von Zufallsvariablen beschreiben, die andere Verteilungen haben.

Das folgende Diagramm zeigt die Beziehungen zwischen einigen der kontinuierlichen Verteilungen, die in diesem Artikel berücksichtigt werden. Im Diagramm zeigen durchgezogene Pfeile die Transformation von Zufallsvariablen (der Anfang des Pfeils zeigt die Anfangsverteilung an, das Ende des Pfeils zeigt die resultierende an), und die gepunkteten Pfeile zeigen die Generalisierungsbeziehung an (der Anfang des Pfeils zeigt die an). Verteilung, die ein Sonderfall derjenigen ist, auf die das Ende des Pfeils zeigt). Für Sonderfälle der Pearson-Verteilung ist über den gepunkteten Pfeilen der entsprechende Typ der Pearson-Verteilung angegeben.

Normalverteilung (Gaußsche Verteilung)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Normalverteilung mit Parametern wird durch die Gaußsche Funktion beschrieben:

Wenn und , dann wird eine solche Verteilung als Standardverteilung bezeichnet.

Erwartungswert und Varianz der Normalverteilung:

Die Normalverteilung ist eine Typ-VI-Verteilung.

Die Summe der Quadrate unabhängiger Normalgrößen hat und das Verhältnis unabhängiger Gaußscher Größen ist über verteilt.

Die Normalverteilung ist unendlich teilbar: die Summe normalverteilter Größen und mit Parametern und hat dementsprechend auch eine Normalverteilung mit Parametern , wo und .

Die Normalverteilung modelliert gut Größen, die Naturphänomene, Rauschen thermodynamischer Natur und Messfehler beschreiben.

Darüber hinaus konvergiert nach dem zentralen Grenzwertsatz die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Terme gleicher Ordnung zu einer Normalverteilung, unabhängig von der Verteilung der Terme. Aufgrund dieser Eigenschaft ist die Normalverteilung in der statistischen Analyse beliebt; viele statistische Tests sind für normalverteilte Daten konzipiert.

Der Z-Test basiert auf der unendlichen Teilbarkeit der Normalverteilung. Mit diesem Test wird überprüft, ob der Erwartungswert einer Stichprobe normalverteilter Werte einem bestimmten Wert entspricht. Der Varianzwert sollte sein bekannt. Wenn der Varianzwert unbekannt ist und auf der Grundlage der analysierten Stichprobe berechnet wird, wird ein T-Test basierend auf durchgeführt.

Nehmen wir an, dass wir eine Stichprobe von n unabhängigen normalverteilten Werten aus der Gesamtbevölkerung mit Standardabweichung haben, und stellen wir dies als Hypothese auf. Dann hat der Wert eine Standardnormalverteilung. Durch den Vergleich des erhaltenen z-Werts mit den Quantilen der Standardverteilung können Sie die Hypothese mit dem erforderlichen Signifikanzniveau akzeptieren oder ablehnen.

Aufgrund der weit verbreiteten Verwendung der Gauß-Verteilung vergessen viele Forscher, die sich mit Statistiken nicht besonders gut auskennen, die Daten auf Normalität zu überprüfen oder das Diagramm der Verteilungsdichte „nach Augenmaß“ auszuwerten, weil sie blind glauben, dass sie es mit Gauß-Daten zu tun haben. Dementsprechend können Sie Tests, die für die Normalverteilung ausgelegt sind, bedenkenlos verwenden und völlig falsche Ergebnisse erhalten. Daher stammt wahrscheinlich das Gerücht, dass Statistiken die schrecklichste Form der Lüge seien.

Betrachten wir ein Beispiel: Wir müssen den Widerstandswert einer Reihe von Widerständen mit einem bestimmten Wert messen. Der Widerstand ist physikalischer Natur; es ist logisch anzunehmen, dass die Verteilung der Widerstandsabweichungen vom Nennwert normal ist. Wir messen und erhalten eine glockenförmige Wfür die Messwerte mit einer Mode in der Nähe des Widerstandswerts. Ist das eine Normalverteilung? Wenn ja, suchen wir mithilfe von oder dem Z-Test nach defekten Widerständen, wenn wir die Streuung der Verteilung im Voraus kennen. Ich denke, dass viele genau das tun werden.

Doch werfen wir einen genaueren Blick auf die Widerstandsmesstechnik: Widerstand ist definiert als das Verhältnis von angelegter Spannung zu Stromfluss. Wir haben Strom und Spannung mit Instrumenten gemessen, die wiederum normalverteilte Fehler aufweisen. Das heißt, die Messwerte von Strom und Spannung sind normalverteilte Zufallsvariablen mit mathematischen Erwartungen, die den wahren Werten der gemessenen Größen entsprechen. Dies bedeutet, dass die erhaltenen Widerstandswerte nach der Verteilung verteilt sind und nicht nach der Gaußschen Verteilung.

Die Verteilung beschreibt die Summe der Quadrate von Zufallsvariablen, die jeweils nach dem Standardnormalgesetz verteilt sind:

Wo ist die Anzahl der Freiheitsgrade?

Erwartung und Streuung der Verteilung:

Es handelt sich um einen Sonderfall (und daher um eine Typ-III-Verteilung) und eine Verallgemeinerung. Das Verhältnis der verteilten Mengen über verteilt über .

Der Pearson-Anpassungstest basiert auf der Verteilung. Mit diesem Kriterium können Sie die Zuverlässigkeit einer Stichprobe einer Zufallsvariablen überprüfen, die zu einer bestimmten theoretischen Verteilung gehört.

Nehmen wir an, dass wir eine Stichprobe einer Zufallsvariablen haben. Basierend auf dieser Stichprobe berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten, dass Werte in die Intervalle fallen (). Es sei auch eine Annahme über den analytischen Ausdruck der Verteilung gegeben, nach der die Wahrscheinlichkeiten, in die ausgewählten Intervalle zu fallen, sein sollten. Dann werden die Mengen nach dem Normalgesetz verteilt.

Reduzieren wir auf die Standardnormalverteilung: ,
wo und .

Die resultierenden Werte haben eine Normalverteilung mit Parametern (0, 1) und daher ist die Summe ihrer Quadrate über einen Freiheitsgrad verteilt. Mit der Abnahme des Freiheitsgrades ist eine zusätzliche Einschränkung der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in die Intervalle fallenden Werte verbunden: Sie muss gleich 1 sein.

Durch den Vergleich des Werts mit den Quantilen der Verteilung können Sie die Hypothese über die theoretische Verteilung der Daten mit dem erforderlichen Signifikanzniveau akzeptieren oder ablehnen.

Mit der Student-Verteilung wird ein T-Test durchgeführt: ein Test auf die Gleichheit des Erwartungswerts einer Stichprobe verteilter Zufallsvariablen mit einem bestimmten Wert oder auf die Gleichheit des Erwartungswerts zweier Stichproben mit derselben Varianz (die Gleichheit). Abweichungen müssen überprüft werden). Die Student-Verteilung beschreibt das Verhältnis einer verteilten Zufallsvariablen zu einer über verteilten Variablen.

Seien und seien unabhängige Zufallsvariablen mit Freiheitsgraden bzw. Dann hat die Größe eine Fisher-Verteilung mit Freiheitsgraden und die Größe hat eine Fisher-Verteilung mit Freiheitsgraden.
Die Fisher-Verteilung ist für reelle nichtnegative Argumente definiert und hat eine Wahrscheinlichkeitsdichte:


Erwartungswert und Varianz der Fisher-Verteilung:

Eine Reihe statistischer Tests basieren auf der Fisher-Verteilung, beispielsweise die Bewertung der Signifikanz von Regressionsparametern, ein Test auf Heteroskedastizität und ein Test auf Gleichheit der Stichprobenvarianzen (f-Test). genau Fisher-Test).

F-Test: Es seien zwei unabhängige Stichproben bzw. verteilte Datenmengen vorhanden. Lassen Sie uns eine Hypothese über die Gleichheit der Stichprobenvarianzen aufstellen und diese statistisch testen.

Berechnen wir den Wert. Es wird eine Fisher-Verteilung mit Freiheitsgraden haben.

Durch den Vergleich des Werts mit den Quantilen der entsprechenden Fisher-Verteilung können wir die Hypothese der Gleichheit der Stichprobenvarianzen mit dem erforderlichen Signifikanzniveau akzeptieren oder ablehnen.

Exponentielle (exponentielle) Verteilung und Laplace-Verteilung (doppelt exponentiell, doppelt exponentiell)

Die Exponentialverteilung beschreibt die Zeitintervalle zwischen unabhängigen Ereignissen, die mit durchschnittlicher Intensität auftreten. Als diskret wird die Häufigkeit des Auftretens eines solchen Ereignisses über einen bestimmten Zeitraum bezeichnet. Die Exponentialverteilung bildet zusammen mit ihnen die mathematische Grundlage der Zuverlässigkeitstheorie.

Neben der Zuverlässigkeitstheorie wird die Exponentialverteilung in der Beschreibung sozialer Phänomene, in der Wirtschaftswissenschaft, in der Warteschlangentheorie, in der Transportlogistik eingesetzt – überall dort, wo es darum geht, den Ablauf von Ereignissen zu modellieren.

Die Exponentialverteilung ist ein Sonderfall (für n=2) und daher . Da eine exponentiell verteilte Größe eine Chi-Quadrat-Größe mit 2 Freiheitsgraden ist, kann sie als Summe der Quadrate zweier unabhängiger normalverteilter Größen interpretiert werden.

Auch die Exponentialverteilung ist ein fairer Fall

diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X mit nicht negativen ganzzahligen Werten k=0,1,2, ... gemäß der Formel mit 0<р<1 и целое r>0 - Parameter. Erzeugende Funktion und Charakteristik. P.r.-Funktion sind jeweils gleich und mathematisch. Erwartung und Varianz sind rq/p und rq/p2. Usw. mit Parametern r und entsteht natürlich im Bernoulli-Testschema mit der Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“ und der Wahrscheinlichkeit des „Misserfolgs“ q = 1-р als Verteilung der Anzahl der „Misserfolge“ vor dem Einsetzen des r-ten „Erfolgs“ . Bei r=1 P.r. stimmt mit der geometrischen Verteilung mit dem Parameter p überein und für r>1 – mit der Verteilung der Summe unabhängiger Zufallsvariablen, die den gleichen geometrischen Wert haben. Verteilung mit Parameter p. Dementsprechend ist die Summe der unabhängigen Zufallsvariablen X1,...,X n, mit P. r. mit den Parametern pi r1,...,r p hat jeweils ein P. r. mit Parametern p und r1+...+-rn. Verteilungsfunktion P. r. für k=0,1,2,... ergibt sich aus der Formel, wobei auf der rechten Seite der Wert der Beta-Verteilungsfunktion am Punkt p(B(r, k+l) - Beta-Funktion) steht. Mithilfe dieser Beziehung können wir F(k) für alle reellen r>0 weiter definieren. In diesem verallgemeinerten Sinne ist P. r. angerufen negative Binomialverteilung. Lit.: Feller V., Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen, trans. aus dem Englischen, 2. Aufl., Bd. 1, M., 1967. A. V. Prokhorov.

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Die geometrische Verteilung wird wie folgt ausgedrückt:

Der Name der Verteilung rührt daher, dass die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind N Bilden Sie eine geometrische Folge mit einem Nenner gleich Q=1- P. Wirklich

.

Parameter P hat die Bedeutung von Wahrscheinlichkeit. Lassen Sie, wenn Sie das Experiment wiederholen, das Ereignis A hat eine Wahrscheinlichkeit P, dann die Anzahl der Experimente X vor dem ersten Auftreten des Ereignisses A wird durch den Ausdruck (5.7.1) genau bestimmt. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten N-1 Erlebnisveranstaltung A wird nicht passieren, ist gleich (1- P) N -1 .Und die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens, wann N-ter Test ist gleich P. Daraus erhalten wir, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer solchen Reihe von Ereignissen gleich ist
.

Erwarteter Wert

.

Streuung

.

5.5.Binomialverteilung

Diskrete Zufallsvariable X, Werte akzeptieren X M = M, Wo

M=0,1,…, N, hat eine Binomialverteilung, wenn die Wahrscheinlichkeiten seiner Werte durch die folgende Formel bestimmt werden:

-

Anzahl der Kombinationen von N Von M, und der Parameter P hat also die Bedeutung von Wahrscheinlichkeit
.

Diese Verteilung ist auf die Wiederholung von Experimenten zurückzuführen. Wenn als Ergebnis der Erfahrung das Ereignis A hat eine Wahrscheinlichkeit P und die Erfahrung wiederholt sich N einmal , dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt M einmal, Wunde
. In der Tat die konkrete Umsetzung N Prüfungen, in denen die Veranstaltung A passiert M Zeiten und das gegenteilige Ereignis jeweils N- M mal, hat eine Wahrscheinlichkeit
. Aber M Ereignisse unter N Tests dürfen verteilt werden auf gleichermaßen mögliche Weise. Hieraus ergibt sich die Formel (5.5.1).

,

als Q=1- P A
. Ausdruck
ist ein Mitglied der Newtonschen Binomialentwicklung (P+ Q) N , daher wird diese Verteilung Binomial genannt.

Erwarteter Wert

Streuung

Standardabweichung

. (5.5.4)

Wenn N Eile in Richtung Unendlichkeit und gleichzeitig P auf Null, so dass die Beziehung erfüllt ist

,

Wo A eine positive Konstante ist, dann im Grenzwert

,

und das ist die bekannte Poisson-Verteilung. Das heißt, im Grenzbereich bei
Und
Die Binomialverteilung ist dieselbe wie die Poisson-Verteilung.

5.6.Poisson-Verteilung

Betrachten Sie eine diskrete Zufallsvariable X, die nur nichtnegative Ganzzahlwerte annehmen kann: 0, 1, 2, ...

Sie sagen, dass es sich um eine Zufallsvariable handelt Xüber verteilt Poissons Gesetz , wenn die Wahrscheinlichkeit, dass es einen bestimmten Wert annimmt M, wird durch die Formel ausgedrückt

Wo A– eine positive Größe genannt Poisson-Verteilungsparameter .

Verteilungsreihe nach dem Poissonschen Gesetz:

Stellen wir sicher, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich eins ist.

Aber

Somit

Abb.5.6.1. Poisson-Verteilungspolygon.

Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür X wird größer als 0 sein:

Erwarteter Wert

Diese. Parameter a ist die mathematische Erwartung.

Streuung

Aber

Somit
.

.

Abschluss. Die Varianz entspricht dem mathematischen Erwartungswert. Diese Eigenschaft wird häufig verwendet, um zu bestimmen, ob eine Zufallsvariable X gemäß dem Poisson-Gesetz verteilt ist.

Betrachten wir ein typisches Problem. Lassen Sie auf der Achse Oh Die Punkte werden zufällig verteilt. Die Verteilung soll die folgenden Bedingungen erfüllen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Anzahl von Punkten in ein Segment fällt l hängt nur von der Länge des Segments ab, nicht jedoch von der Position auf der Achse. Im Durchschnitt fällt ein Einheitssegment  Punkte.

Die Punkte werden unabhängig voneinander verteilt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Punkte zusammenfallen, ist Null (je näher die Punkte, desto geringer die Wahrscheinlichkeit).

Wählen Sie auf der Achse ein Längensegment aus l und betrachten Sie eine diskrete Zufallsvariable X– die Anzahl der Punkte, die in dieses Segment fallen. Mögliche Werte X: 0, 1, 2, …,M, …

Beweisen wir, dass die Zufallsvariable X ein Poisson-Verteilungsgesetz hat. Berechnen wir dazu die Wahrscheinlichkeit, dass die Fläche l wird treffen M Punkte.

Zum Ort  X wird treffen  X Punkte. Dies ist die mathematische Erwartung. Seit der Handlung  X klein ist, dann ist das Auftreten von zwei Punkten in einem Segment vernachlässigbar und  X Es besteht die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt das Gebiet trifft  X.

Lass es eine Zahl sein N, so dass
. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, in ein Segment zu gelangen, gleich
. Und die Wahrscheinlichkeit, hineinzukommen M Segmente ist gleich

Bezeichnen wir
, Dann

.

Q.E.D.

Wir haben gesehen, dass die Poisson-Verteilung auftritt, wenn Punkte zufällig voneinander entfernt liegen und die Anzahl der Punkte gezählt wird, die in einen bestimmten Bereich fallen. Wir haben den eindimensionalen Fall betrachtet, er kann jedoch leicht auf jede beliebige Dimension erweitert werden. Wenn beispielsweise für ein Achsensegment der Parameter A gleicht
, dann für das flache Gehäuse
(Hier S- Fläche der Region) und für volumetrisch
(V– Volumen der Fläche).

Beweisen wir, dass das Poissonsche Gesetz ein Grenzwert für die Binomialverteilung ist.

Darüber hinaus ist der Parameter
.

Die limitierende Eigenschaft der Binomialverteilung kann wie folgt geschrieben werden:

Wenn wir ersetzen
, dann bekommen wir

,

was bereits bewiesen wurde. Mit groß N Die ungefähre Wahrscheinlichkeit kann berücksichtigt werden:

.

Aufgrund der geringen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird das Poissonsche Gesetz als „Gesetz der seltenen Ereignisse“ bezeichnet.

Aufgabe 19 () .

Aufgabe 20 () .

Aufgabe 21 () .

Aufgabe 19 ( zur binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung ) .

Fünf identische Würfel werden einmal zufällig gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei davon gleichzeitig auftauchen?

Lösung.

Bernoulli-Schemaaufgabe (wiederholte homogene unabhängige Versuche). Anstatt zufällig fünf identische Würfel gleichzeitig zu werfen, können wir davon ausgehen, dass wir fünfmal hintereinander denselben Würfel geworfen haben. Das probabilistische letztere Modell wurde jedoch bereits untersucht und ist ein Schema wiederholter homogener unabhängiger Versuche (Bernoulli-Schema). ) . Tatsächlich hängt das Ergebnis jedes Würfelwurfs nicht von anderen Würfen ab und die Wahrscheinlichkeit, bei jedem Wurf eine Eins zu erhalten, ist konstant.

Dann ist gemäß der binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung die gewünschte Wahrscheinlichkeit gleich P(A n, m)=P m(1- P) n - m . Hier P=1\6 – die Wahrscheinlichkeit, bei jedem einzelnen Würfelwurf eine Eins zu erhalten. Etwas präziser, P(A 1,1)=P=1\6. In unserer Aufgabe N=5 und M=2, also haben wir P(A 5.2)=

=P 2 (1-P) 5-2 =P 2 (1-P) 3 =10 (1\6) 2 (1-1\6) 3 =10 (1\6) 2 (5\6) 3 =

10 (1\36) (125\216)= 1250/7776 "0,161

P(A) „0,161.

Aufgabe 20 ( zur hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung ) .

Aus einer undurchsichtigen Schachtel (Urne) mit fünf ( M=5) weiß und drei ( N-M=3) Drei Kugeln wurden zufällig gezogen, ohne sie zurückzugeben. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, zwei Weiße zu ziehen ( M=2) und ein schwarzes ( n-m=1) Kugel.

Aufgabe 20 – auf einem Urnendiagramm ohne Rückkehr, da die Kugeln nicht nach jeder Entnahme aus der Urne dorthin zurückkamen. Die gewünschte Wahrscheinlichkeit wird durch eine hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben. Bezeichnen wir das für uns interessante Ereignis mit EIN N, M, n, m.In unserer Aufgabe M=5, N-M=3, M=2, n-m=1. Wenn wir diese Gleichungen lösen, finden wir N=8, M=5, N =3, M=2. Wenn wir dies in die Formel für die hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung einsetzen, erhalten wir: P(EIN N, M, n, m)== / = / = / =10×3/56=30/56= 15/28=0,534.

Antwort: Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich P(EIN N, M, n, m)"0,534.

Aufgabe 21 ( zur Pascal-Verteilung oder zur negativen binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung ) .

Eintrittswahrscheinlichkeit einer Einheit (Ereignis). A) als Ergebnis des zufälligen Würfelns (in einem Experiment) ist gleich R. Es wird eine Reihe unabhängiger Experimente durchgeführt, die bis zum Eintreten des Ereignisses fortgesetzt werden. A glatt M Danach werden die Experimente abgebrochen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Experimente genau danach aufhören N+M Würfelstücke (dann das Ereignis A wird genau passieren M Zeiten und wird nicht genau passieren N einmal), n≥ 0, m≥ 1.