Was sind harmonische Schwingungen? Harmonische Schwingungen und ihre Eigenschaften

Harmonische Schwingungen

Funktionsgraphen F(X) = Sünde( X) Und G(X) = cos( X) auf der kartesischen Ebene.

Harmonische Schwingung- Schwingungen, bei denen sich eine physikalische (oder eine andere) Größe im Laufe der Zeit gemäß einem Sinus- oder Kosinusgesetz ändert. Die kinematische Gleichung harmonischer Schwingungen hat die Form

,

Wo X- Verschiebung (Abweichung) des Schwingpunktes von der Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt t; A- Schwingungsamplitude, das ist der Wert, der die maximale Abweichung des Schwingungspunktes von der Gleichgewichtslage bestimmt; ω - zyklische Frequenz, ein Wert, der die Anzahl der vollständigen Schwingungen angibt, die innerhalb von 2π Sekunden auftreten - vollständige Schwingungsphase, - Anfangsphase der Schwingungen.

Verallgemeinerte harmonische Schwingung in Differentialform

(Jede nicht-triviale Lösung dieser Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung mit einer zyklischen Frequenz)

Arten von Vibrationen

Zeitliche Entwicklung von Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei harmonischer Bewegung

• Kostenlose Vibrationen werden unter dem Einfluss innerer Kräfte des Systems durchgeführt, nachdem das System aus seiner Gleichgewichtslage entfernt wurde. Damit freie Schwingungen harmonisch sind, muss das Schwingungssystem linear sein (beschrieben durch lineare Bewegungsgleichungen) und es darf keine Energiedissipation stattfinden (letztere würde zu einer Dämpfung führen).
• Erzwungene Vibrationen werden unter dem Einfluss einer externen periodischen Kraft durchgeführt. Damit sie harmonisch sind, reicht es aus, dass das Schwingungssystem linear ist (beschrieben durch lineare Bewegungsgleichungen) und die äußere Kraft selbst sich im Laufe der Zeit als harmonische Schwingung ändert (d. h. dass die Zeitabhängigkeit dieser Kraft sinusförmig ist). .

Anwendung

Harmonische Schwingungen unterscheiden sich von allen anderen Schwingungsarten aus folgenden Gründen:

siehe auch

Anmerkungen

Literatur

• Physik. Grundlehrbuch der Physik / Ed. G. S. Lansberg. - 3. Aufl. - M., 1962. - T. 3.
• Khaikin S.E. Physikalische Grundlagen der Mechanik. - M., 1963.
• A. M. Afonin. Physikalische Grundlagen der Mechanik. - Ed. MSTU im. Baumann, 2006.
• Gorelik G. S. Schwingungen und Wellen. Einführung in die Akustik, Radiophysik und Optik. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 S.

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „harmonische Schwingungen“ sind:

Moderne Enzyklopädie

Harmonische Schwingungen- HARMONISCHE SCHWINGUNGEN, periodische Änderungen einer physikalischen Größe, die gemäß dem Sinusgesetz auftreten. Grafisch werden harmonische Schwingungen durch eine Sinuskurve dargestellt. Harmonische Schwingungen sind die einfachste Art periodischer Bewegungen, gekennzeichnet durch... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

Schwingungen, bei denen sich eine physikalische Größe im Laufe der Zeit nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz ändert. Grafisch werden GKs durch eine gekrümmte Sinuswelle oder Kosinuswelle dargestellt (siehe Abbildung); Sie können in der Form geschrieben werden: x = Asin (ωt + φ) oder x... Große sowjetische Enzyklopädie

HARMONISCHE SCHWINGUNGEN, periodische Bewegung wie die Bewegung eines PENDELS, Atomschwingungen oder Schwingungen in einem Stromkreis. Ein Körper führt ungedämpfte harmonische Schwingungen aus, wenn er entlang einer Linie schwingt und dabei denselben bewegt... ... Wissenschaftliches und technisches Enzyklopädisches Wörterbuch

Schwingungen, mit denen physikalisch (oder jede andere) Größe ändert sich im Laufe der Zeit gemäß einem Sinusgesetz: x=Asin(wt+j), wobei x der Wert der schwankenden Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Zeitpunkt t (für mechanische G.K. zum Beispiel Weg oder Geschwindigkeit, für ... ... Physische Enzyklopädie

harmonische Schwingungen- Mechanische Schwingungen, bei denen sich die verallgemeinerte Koordinate und (oder) die verallgemeinerte Geschwindigkeit proportional zum Sinus mit einem linear von der Zeit abhängigen Argument ändern. [Sammlung empfohlener Begriffe. Ausgabe 106. Mechanische Vibrationen. Akademie der Wissenschaften… Leitfaden für technische Übersetzer

Schwingungen, mit denen physikalisch (oder jede andere) Größe ändert sich im Laufe der Zeit nach einem Sinusgesetz, wobei x der Wert der oszillierenden Größe zum Zeitpunkt t ist (bei mechanischen hydraulischen Systemen beispielsweise Weg und Geschwindigkeit, bei elektrischer Spannung und Stromstärke) ... Physische Enzyklopädie

HARMONISCHE SCHWINGUNGEN- (siehe), in dem physisch. eine Größe ändert sich im Laufe der Zeit gemäß dem Sinus- oder Kosinusgesetz (z. B. Änderungen (siehe) und Geschwindigkeit während der Schwingung (siehe) oder Änderungen (siehe) und Stromstärke während Stromkreisen) ... Große Polytechnische Enzyklopädie

Sie zeichnen sich durch eine Änderung des Schwingwertes x (z. B. der Abweichung des Pendels von der Gleichgewichtslage, der Spannung im Wechselstromkreis usw.) in der Zeit t nach dem Gesetz aus: x = Asin (?t + ?), wobei A die Amplitude harmonischer Schwingungen ist, ? Ecke... ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Harmonische Schwingungen- 19. Harmonische Schwingungen Schwingungen, bei denen sich die Werte der Schwinggröße im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz ändern Quelle ... Wörterbuch-Nachschlagewerk mit Begriffen der normativen und technischen Dokumentation

Periodisch Schwankungen, bei denen sich zeitliche Veränderungen ergeben physisch. Größen treten nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz auf (siehe Abbildung): s = Аsin(wt+ф0), wobei s die Abweichung der oszillierenden Größe von ihrem Durchschnitt ist. (Gleichgewichts-)Wert, A=konstante Amplitude, w=konstante Kreisform... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

Die einfachste Art von Schwingungen sind harmonische Schwingungen- Schwingungen, bei denen sich die Verschiebung des Schwingpunktes aus der Gleichgewichtslage im Laufe der Zeit nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz ändert.

Bei einer gleichmäßigen Drehung der Kugel im Kreis führt ihre Projektion (Schatten in parallelen Lichtstrahlen) also eine harmonische Schwingbewegung auf einem vertikalen Bildschirm aus (Abb. 1).

Die Verschiebung aus der Gleichgewichtslage bei harmonischen Schwingungen wird durch eine Gleichung (diese wird als kinematisches Gesetz der harmonischen Bewegung bezeichnet) der Form beschrieben:

wobei x die Verschiebung ist – eine Größe, die die Position des oszillierenden Punktes zum Zeitpunkt t relativ zur Gleichgewichtsposition charakterisiert und anhand des Abstands von der Gleichgewichtsposition zur Position des Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt gemessen wird; A – Schwingungsamplitude – maximale Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage; T – Schwingungsdauer – Zeit einer vollständigen Schwingung; diese. der kürzeste Zeitraum, nach dem sich die Werte der die Schwingung charakterisierenden physikalischen Größen wiederholen; - Anfangsphase;

Schwingungsphase zum Zeitpunkt t. Die Schwingungsphase ist ein Argument einer periodischen Funktion, die bei gegebener Schwingungsamplitude den Zustand des Schwingungssystems (Auslenkung, Geschwindigkeit, Beschleunigung) des Körpers zu jedem Zeitpunkt bestimmt.

Wenn im Anfangszeitpunkt der oszillierende Punkt maximal aus der Gleichgewichtsposition verschoben ist, dann ändert sich die Verschiebung des Punktes aus der Gleichgewichtsposition gemäß dem Gesetz

Befindet sich der oszillierende Punkt in einer stabilen Gleichgewichtslage, ändert sich gesetzesgemäß die Verschiebung des Punktes aus der Gleichgewichtslage

Der Wert V, der Kehrwert der Periode und gleich der Anzahl vollständiger Schwingungen in 1 s, wird Schwingungsfrequenz genannt:

Wenn der Körper während der Zeit t N vollständige Schwingungen ausführt, dann

Größe Man nennt die Angabe, wie viele Schwingungen ein Körper in s ausführt zyklische (zirkuläre) Frequenz.

Das kinematische Gesetz der harmonischen Bewegung kann wie folgt geschrieben werden:

Grafisch wird die Abhängigkeit der Verschiebung eines oszillierenden Punktes von der Zeit durch eine Kosinuswelle (oder Sinuswelle) dargestellt.

Abbildung 2, a zeigt ein Diagramm der Zeitabhängigkeit der Verschiebung des Schwingpunkts aus der Gleichgewichtsposition für den Fall.

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Geschwindigkeit eines oszillierenden Punktes mit der Zeit ändert. Dazu ermitteln wir die zeitliche Ableitung dieses Ausdrucks:

Dabei ist die Amplitude der Geschwindigkeitsprojektion auf die x-Achse.

Diese Formel zeigt, dass sich bei harmonischen Schwingungen auch die Projektion der Körpergeschwindigkeit auf die x-Achse nach einem harmonischen Gesetz mit gleicher Frequenz, unterschiedlicher Amplitude ändert und der Phasenverschiebung um (Abb. 2, b) vorauseilt ).

Um die Abhängigkeit der Beschleunigung zu verdeutlichen, ermitteln wir die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeitsprojektion:

Dabei ist die Amplitude der Beschleunigungsprojektion auf die x-Achse.

Bei harmonischen Schwingungen liegt die Beschleunigungsprojektion um k vor der Phasenverschiebung (Abb. 2, c).

Ebenso können Sie Abhängigkeitsdiagramme erstellen

Unter Berücksichtigung dessen kann die Formel für die Beschleunigung geschrieben werden

diese. Bei harmonischen Schwingungen ist die Beschleunigungsprojektion direkt proportional zur Verschiebung und hat ein entgegengesetztes Vorzeichen, d.h. Die Beschleunigung ist der Verschiebung entgegengesetzt gerichtet.

Wenn also die Beschleunigungsprojektion die zweite Ableitung der Verschiebung ist, kann die resultierende Beziehung wie folgt geschrieben werden:

Die letzte Gleichheit heißt harmonische Gleichung.

Ein physikalisches System, in dem harmonische Schwingungen existieren können, heißt harmonischer Oszillator, und die Gleichung der harmonischen Schwingungen ist harmonische Oszillatorgleichung.

Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, die nach den Gesetzen von Sinus und Cosinus erfolgen. Die folgende Abbildung zeigt ein Diagramm der Koordinatenänderungen eines Punktes im Zeitverlauf gemäß dem Kosinusgesetz.

Bild

Schwingungsamplitude

Die Amplitude einer harmonischen Schwingung ist der größte Wert der Verschiebung eines Körpers aus seiner Gleichgewichtslage. Die Amplitude kann unterschiedliche Werte annehmen. Es hängt davon ab, wie stark wir den Körper im Anfangsmoment aus der Gleichgewichtsposition verschieben.

Die Amplitude wird durch die Anfangsbedingungen bestimmt, d. h. durch die Energie, die dem Körper zum Anfangszeitpunkt zugeführt wird. Da Sinus und Cosinus Werte im Bereich von -1 bis 1 annehmen können, muss die Gleichung einen Faktor Xm enthalten, der die Amplitude der Schwingungen ausdrückt. Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen:

x = Xm*cos(ω0*t).

Schwingungsperiode

Die Schwingungsdauer ist die Zeit, die benötigt wird, um eine vollständige Schwingung durchzuführen. Die Schwingungsperiode wird mit dem Buchstaben T bezeichnet. Die Maßeinheiten der Periode entsprechen den Zeiteinheiten. Das heißt, in SI sind dies Sekunden.

Die Schwingungsfrequenz ist die Anzahl der Schwingungen, die pro Zeiteinheit ausgeführt werden. Die Schwingungsfrequenz wird mit dem Buchstaben ν bezeichnet. Die Schwingungsfrequenz kann als Schwingungsperiode ausgedrückt werden.

ν = 1/T.

Frequenzeinheiten sind in SI 1/Sek. Diese Maßeinheit heißt Hertz. Die Anzahl der Schwingungen in einer Zeit von 2*pi Sekunden beträgt:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Schwingungsfrequenz

Diese Größe wird als zyklische Schwingungsfrequenz bezeichnet. In mancher Literatur taucht der Name Kreisfrequenz auf. Die Eigenfrequenz eines schwingungsfähigen Systems ist die Frequenz freier Schwingungen.

Die Frequenz der Eigenschwingungen wird nach folgender Formel berechnet:

Die Frequenz der Eigenschwingungen hängt von den Materialeigenschaften und der Masse der Ladung ab. Je größer die Federsteifigkeit ist, desto höher ist die Frequenz ihrer Eigenschwingungen. Je größer die Masse der Last ist, desto geringer ist die Frequenz der Eigenschwingungen.

Diese beiden Schlussfolgerungen liegen auf der Hand. Je steifer die Feder ist, desto größer ist die Beschleunigung, die sie auf den Körper ausübt, wenn das System aus dem Gleichgewicht gerät. Je größer die Masse eines Körpers ist, desto langsamer ändert sich die Geschwindigkeit dieses Körpers.

Freie Schwingungsperiode:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Es ist bemerkenswert, dass bei kleinen Auslenkungswinkeln die Schwingungsdauer des Körpers auf der Feder und die Schwingungsdauer des Pendels nicht von der Amplitude der Schwingungen abhängen.

Schreiben wir die Formeln für die Periode und Frequenz freier Schwingungen für ein mathematisches Pendel auf.

dann ist die Periode gleich

T = 2*pi*√(l/g).

Diese Formel gilt nur für kleine Ablenkwinkel. Aus der Formel sehen wir, dass die Schwingungsdauer mit zunehmender Länge des Pendelfadens zunimmt. Je länger die Länge, desto langsamer vibriert der Körper.

Die Schwingungsdauer hängt überhaupt nicht von der Masse der Last ab. Aber es kommt auf die Beschleunigung des freien Falls an. Mit abnehmendem g nimmt die Schwingungsdauer zu. Diese Eigenschaft wird in der Praxis häufig genutzt. Zum Beispiel um den genauen Wert der freien Beschleunigung zu messen.

1.18. HARMONISCHE SCHWINGUNGEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN

Definition harmonischer Schwingungen. Eigenschaften harmonischer Schwingungen: Abweichung von der Gleichgewichtslage, Schwingungsamplitude, Schwingungsphase, Frequenz und Schwingungsdauer. Geschwindigkeit und Beschleunigung eines oszillierenden Punktes. Energie eines harmonischen Oszillators. Beispiele für harmonische Oszillatoren: mathematisch, Feder, Torsion und physikalisch Chinesische Pendel.

Akustik, Funktechnik, Optik und andere Zweige der Wissenschaft und Technik basieren auf der Untersuchung von Schwingungen und Wellen. Die Schwingungstheorie spielt in der Mechanik eine wichtige Rolle, insbesondere bei der Festigkeitsberechnung von Flugzeugen, Brücken und bestimmten Arten von Maschinen und Bauteilen.

Schwingungen sind Prozesse, die sich in regelmäßigen Abständen wiederholen (und nicht alle sich wiederholenden Prozesse sind Schwingungen!). Abhängig von der physikalischen Natur des sich wiederholenden Prozesses werden Vibrationen in mechanische, elektromagnetische, elektromechanische usw. unterschieden. Bei mechanischen Schwingungen ändern sich periodisch die Positionen und Koordinaten von Körpern.

Wiederherstellungskräfte - die Kraft, unter deren Einfluss der Schwingungsprozess stattfindet. Diese Kraft hat das Ziel, einen Körper oder einen materiellen Punkt, der von seiner Ruheposition abweicht, in seine ursprüngliche Position zurückzubringen.

Je nach Art der Einwirkung auf den Schwingkörper unterscheidet man zwischen freien (oder natürlichen) Schwingungen und erzwungenen Schwingungen.

Je nach Art der Einwirkung auf das Schwingsystem werden freie Schwingungen, erzwungene Schwingungen, Eigenschwingungen und parametrische Schwingungen unterschieden.

Frei (eigen) Unter Schwingungen versteht man jene Schwingungen, die in einem sich selbst überlassenen System auftreten, nachdem ihm ein Anstoß gegeben wurde oder es aus einer Gleichgewichtslage entfernt wurde, d.h. wenn auf einen schwingenden Körper nur eine Rückstellkraft wirkt. Ein Beispiel ist die Schwingung einer an einem Faden hängenden Kugel. Um Vibrationen zu erzeugen, müssen Sie den Ball entweder drücken oder durch seitliches Bewegen loslassen. Für den Fall, dass keine Energiedissipation stattfindet, sind freie Schwingungen ungedämpft. Allerdings werden reale Schwingungsvorgänge gedämpft, weil Auf den Schwingkörper wirken Bewegungswiderstandskräfte (hauptsächlich Reibungskräfte).

· Gezwungen Als solche werden Schwingungen bezeichnet, bei denen das schwingende System einer äußeren, sich periodisch ändernden Kraft ausgesetzt ist (z. B. Schwingungen einer Brücke, die entstehen, wenn Menschen im Gleichschritt darüber gehen). In vielen Fällen unterliegen Systeme Schwingungen, die als harmonisch angesehen werden können.

· Selbstschwingungen , Sie gehen wie erzwungene Schwingungen mit dem Einfluss äußerer Kräfte auf das schwingende System einher, die Zeitpunkte, zu denen diese Einflüsse auftreten, werden jedoch vom schwingenden System selbst bestimmt. Das heißt, das System selbst kontrolliert äußere Einflüsse. Ein Beispiel für ein selbstschwingendes System ist eine Uhr, bei der das Pendel durch die Energie eines angehobenen Gewichts oder einer verdrehten Feder Stöße erfährt, und diese Stöße treten dann auf, wenn das Pendel die Mittelstellung durchläuft.

· Parametrisch Schwingungen treten auf, wenn sich die Parameter des Schwingsystems periodisch ändern (eine Person, die auf einer Schaukel schwingt, hebt und senkt periodisch ihren Schwerpunkt, wodurch sich die Parameter des Systems ändern). Unter bestimmten Bedingungen wird das System instabil – eine zufällige Abweichung von der Gleichgewichtslage führt zur Entstehung und Verstärkung von Schwingungen. Dieses Phänomen wird als parametrische Schwingungsanregung bezeichnet (d. h. Schwingungen werden durch Änderung der Parameter des Systems angeregt), und die Schwingungen selbst werden als parametrische Schwingungsanregung bezeichnet.

Trotz ihrer unterschiedlichen physikalischen Natur zeichnen sich Schwingungen durch die gleichen Muster aus, die mit allgemeinen Methoden untersucht werden. Ein wichtiges kinematisches Merkmal ist die Form der Schwingungen. Sie wird durch die Art der Zeitfunktion bestimmt, die die Änderung der einen oder anderen physikalischen Größe bei Schwingungen beschreibt. Die wichtigsten Schwankungen sind solche, bei denen sich die schwankende Menge im Laufe der Zeit ändert. nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz . Sie heißen harmonisch .

Harmonische Schwingungen nennt man Schwingungen, bei denen sich die schwingende physikalische Größe nach dem Gesetz des Sinus (oder Cosinus) ändert.

Diese Art der Schwingung ist aus folgenden Gründen besonders wichtig. Erstens haben Schwingungen in Natur und Technik oft einen Charakter, der einer Harmonie sehr nahe kommt. Zweitens können periodische Prozesse anderer Form (mit anderer Zeitabhängigkeit) als Überlagerung oder Überlagerung harmonischer Schwingungen dargestellt werden.

Harmonische Oszillatorgleichung

Harmonische Schwingungen werden durch ein periodisches Gesetz beschrieben:

Reis. 18.1. Harmonische Schwingung

Z

Hier
- charakterisiert ändern jede physikalische Größe bei Schwingungen (Verschiebung der Pendellage aus der Gleichgewichtslage; Spannung am Kondensator im Schwingkreis usw.), A - Schwingungsamplitude ,
- Schwingungsphase , - Anfangsphase ,
- zyklische Frequenz ; Größe
auch genannt eigen Vibrationsfrequenz. Dieser Name betont, dass diese Frequenz durch die Parameter des Schwingungssystems bestimmt wird. Ein System, dessen Bewegungsgesetz die Form (18.1) hat, heißt eindimensionaler harmonischer Oszillator . Zusätzlich zu den aufgeführten Mengen sind die Konzepte von Zeitraum , d.h. Zeit einer Schwingung.

(Schwingungsperiode T ist die kürzeste Zeitspanne, nach der sich die Zustände des schwingenden Systems wiederholen (eine vollständige Schwingung ist abgeschlossen) und die Schwingungsphase ein Inkrement von 2p erhält.

Und Frequenzen
, die die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit bestimmt. Die Einheit der Frequenz ist die Frequenz einer solchen Schwingung, deren Periode 1 s beträgt. Diese Einheit heißt Hertz (Hz ).

SchwingungsfrequenzN ist der Kehrwert der Schwingungsperiode – die Anzahl der vollständigen Schwingungen, die pro Zeiteinheit ausgeführt werden.

Amplitude- der maximale Wert der Verschiebung oder Änderung einer Variablen während einer Schwingungs- oder Wellenbewegung.

Oszillationsphase- Argument einer periodischen Funktion oder einer Funktion, die einen harmonischen Schwingungsprozess beschreibt (ω - Kreisfrequenz, T- Zeit, - Anfangsphase der Schwingungen, also die Phase der Schwingungen zum Anfangszeitpunkt T = 0).

Auch die erste und zweite zeitliche Ableitung einer harmonisch schwingenden Größe führen harmonische Schwingungen gleicher Frequenz aus:

IN in diesem Fall Als Grundlage dient die nach dem Kosinusgesetz geschriebene Gleichung harmonischer Schwingungen. Dabei beschreibt die erste der Gleichungen (18.2) das Gesetz, nach dem sich die Geschwindigkeit eines schwingenden materiellen Punktes (Körpers) ändert, die zweite Gleichung beschreibt das Gesetz, nach dem sich die Beschleunigung eines schwingenden Punktes (Körpers) ändert.

Amplituden
Und
sind jeweils gleich
Und
. Zögern
voraus
in Phase um ; und Zögern
voraus
An . Werte A Und kann aus gegebenen Anfangsbedingungen bestimmt werden
Und
:

,
. (18.3)

Energie der Oszillatorschwingungen

P

Reis. 18.2. Federpendel

Mal sehen, was passieren wird Schwingungsenergie . Betrachten Sie als Beispiel für harmonische Schwingungen eindimensionale Schwingungen, die von einem Massekörper ausgeführt werden M Unter dem Einfluss elastisch Stärke
(zum Beispiel ein Federpendel, siehe Abb. 18.2). Kräfte anderer Natur als elastisch, bei denen jedoch die Bedingung F = -kx erfüllt ist, werden aufgerufen quasielastisch. Unter dem Einfluss dieser Kräfte führen auch Körper harmonische Schwingungen aus. Lassen:

Voreingenommenheit:
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:

Diese. die Gleichung solcher Schwingungen hat die Form (18.1) mit Eigenfrequenz
. Die quasielastische Kraft ist konservativ . Daher muss die Gesamtenergie solcher harmonischen Schwingungen konstant bleiben. Beim Schwingungsprozess wird kinetische Energie umgewandelt E Zu ins Potenzial E P und umgekehrt, und in den Momenten der größten Abweichung von der Gleichgewichtslage ist die Gesamtenergie gleich dem Maximalwert der potentiellen Energie, und wenn das System die Gleichgewichtslage durchläuft, ist die Gesamtenergie gleich dem Maximalwert der kinetischen Energie. Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die kinetische und potentielle Energie im Laufe der Zeit ändert:

Kinetische Energie:

Potenzielle Energie:

(18.5)

In Anbetracht dessen, dass d.h. , der letzte Ausdruck kann wie folgt geschrieben werden:

Somit erweist sich die Gesamtenergie der harmonischen Schwingung als konstant. Aus den Beziehungen (18.4) und (18.5) folgt auch, dass die Durchschnittswerte der kinetischen und potentiellen Energie einander gleich sind und die Hälfte der Gesamtenergie ausmachen, da die Durchschnittswerte
Und
pro Periode sind gleich 0,5. Mit trigonometrischen Formeln können wir herausfinden, dass sich die kinetische und potentielle Energie mit der Frequenz ändert
, d.h. mit einer Frequenz, die doppelt so hoch ist wie die Frequenz der harmonischen Schwingung.

Beispiele für einen harmonischen Oszillator sind Federpendel, physikalische Pendel, mathematische Pendel und Torsionspendel.

1. Federpendel- Dabei handelt es sich um eine Last der Masse m, die an einer absolut elastischen Feder aufgehängt ist und unter Einwirkung einer elastischen Kraft F = –kx harmonische Schwingungen ausführt, wobei k die Federsteifigkeit ist. Die Bewegungsgleichung des Pendels hat die Form oder (18.8) Aus Formel (18.8) folgt, dass das Federpendel harmonische Schwingungen nach dem Gesetz x = Асos(ω 0 t+φ) mit zyklischer Frequenz ausführt

(18.9) und Punkt

(18.10) Formel (18.10) gilt für elastische Schwingungen innerhalb der Grenzen, in denen das Hookesche Gesetz erfüllt ist, das heißt, wenn die Masse der Feder im Vergleich zur Masse des Körpers klein ist. Die potentielle Energie eines Federpendels ist unter Verwendung von (18.9) und der potentiellen Energieformel des vorherigen Abschnitts gleich (siehe 18.5)

2. Physikalisches Pendel ist ein fester Körper, der unter dem Einfluss der Schwerkraft um eine feste horizontale Achse schwingt, die durch den Punkt O verläuft, der nicht mit dem Massenschwerpunkt C des Körpers zusammenfällt (Abb. 1).

Abb. 18.3 Physikalisches Pendel

Wird das Pendel um einen bestimmten Winkel α aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so ergibt sich unter Verwendung der Gleichung der Dynamik der Rotationsbewegung eines starren Körpers das Moment M der Rückstellkraft (18.11), wobei J das Trägheitsmoment des Pendel relativ zu der Achse, die durch den Aufhängepunkt O geht, l ist der Abstand zwischen der Achse und dem Massenschwerpunkt des Pendels, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα ist die Rückstellkraft (das Minuszeichen zeigt an, dass die Richtungen von F τ und α sind immer entgegengesetzt; sinα ≈ α, da die Schwingungen des Pendels als klein angesehen werden, d. h. das Pendel wird um kleine Winkel aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt. Wir schreiben Gleichung (18.11) als

Oder Mit (18.12) erhalten wir die Gleichung

Identisch mit (18.8), dessen Lösung wie folgt gefunden und geschrieben wird:

(18.13) Aus Formel (18.13) folgt, dass das physikalische Pendel für kleine Schwingungen harmonische Schwingungen mit einer zyklischen Frequenz ω 0 und einer Periode ausführt

(18.14) wobei der Wert L=J/(m l) - . Der Punkt „O“ auf der Fortsetzung der Geraden OS, der sich in einem Abstand der gegebenen Länge L vom Punkt O der Pendelaufhängung befindet, wird aufgerufen Schaukelzentrum physikalisches Pendel (Abb. 18.3). Wenn wir den Satz von Steiner auf das Trägheitsmoment der Achse anwenden, finden wir

Das heißt, OO" ist immer größer als OS. Der Aufhängepunkt O des Pendels und der Schwingmittelpunkt O" haben Austauschbarkeitseigenschaft: Wenn der Aufhängepunkt in die Schwingmitte verschoben wird, wird der bisherige Aufhängepunkt O zum neuen Schwingzentrum und die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ändert sich nicht.

3. Mathe-Pendel ist ein idealisiertes System, bestehend aus einem materiellen Punkt der Masse m, der an einem nicht dehnbaren schwerelosen Faden aufgehängt ist und unter dem Einfluss der Schwerkraft schwingt. Eine gute Annäherung an ein mathematisches Pendel ist eine kleine schwere Kugel, die an einem langen, dünnen Faden aufgehängt ist. Trägheitsmoment eines mathematischen Pendels

(8) wo l- Länge des Pendels.

Da ein mathematisches Pendel ein Sonderfall eines physikalischen Pendels ist, finden wir, wenn wir annehmen, dass seine gesamte Masse an einem Punkt konzentriert ist – dem Massenschwerpunkt, durch Einsetzen von (8) in (7) einen Ausdruck für die Periode kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels (18.15) Wenn wir die Formeln (18.13) und (18.15) vergleichen, sehen wir, dass die reduzierte Länge L des physikalischen Pendels gleich der Länge ist l mathematisches Pendel, dann sind die Schwingungsperioden dieser Pendel gleich. Bedeutet, reduzierte Länge eines physikalischen Pendels- Dies ist die Länge eines mathematischen Pendels, dessen Schwingungsdauer mit der Schwingungsdauer eines bestimmten physikalischen Pendels übereinstimmt. Für ein mathematisches Pendel (ein materieller Punkt mit Masse M, aufgehängt an einem schwerelosen, nicht dehnbaren Faden der Länge l in einem Schwerefeld mit einer freien Fallbeschleunigung gleich G) bei kleinen Abweichungswinkeln (nicht mehr als 5-10 Winkelgrad) von der Gleichgewichtslage die Eigenfrequenz der Schwingungen:
.

4. Ein Körper, der an einem elastischen Faden oder einem anderen elastischen Element aufgehängt ist und in einer horizontalen Ebene schwingt Torsionspendel.

Hierbei handelt es sich um ein mechanisches Schwingsystem, das elastische Verformungskräfte nutzt. In Abb. Abbildung 18.4 zeigt das Winkelanalogon eines linearen harmonischen Oszillators, der Torsionsschwingungen ausführt. Eine horizontal liegende Scheibe hängt an einem elastischen Faden, der an ihrem Massenschwerpunkt befestigt ist. Wenn die Scheibe um einen Winkel θ gedreht wird, entsteht ein Kraftmoment M Kontrolle der elastischen Torsionsverformung:

Wo ICH = ICHC ist das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zur Achse, die durch den Massenschwerpunkt verläuft, ε ist die Winkelbeschleunigung.

In Analogie zu einer Belastung einer Feder können Sie erhalten.

Schwingungen Man nennt Bewegungen oder Vorgänge, die sich durch eine gewisse Wiederholbarkeit über die Zeit auszeichnen. Schwingungen sind in der Umwelt weit verbreitet und können ganz unterschiedlicher Natur sein. Dies können mechanische (Pendel), elektromagnetische (Schwingkreis) und andere Schwingungsarten sein.
Frei, oder eigen Als Schwingungen werden Schwingungen bezeichnet, die in einem sich selbst überlassenen System auftreten, nachdem es durch einen äußeren Einfluss aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Ein Beispiel ist die Schwingung einer an einer Schnur hängenden Kugel.

Besondere Rolle in oszillierenden Prozessen hat die einfachste Form von Schwingungen - harmonische Schwingungen. Harmonische Schwingungen bilden die Grundlage für einen einheitlichen Ansatz zur Untersuchung von Schwingungen unterschiedlicher Art, da in der Natur und in der Technik vorkommende Schwingungen oft harmonischen ähneln und periodische Prozesse anderer Form als Überlagerung harmonischer Schwingungen dargestellt werden können.

Harmonische Schwingungen Man nennt solche Schwingungen, bei denen sich die Schwinggröße gesetzesgemäß mit der Zeit ändert Sinus oder Kosinus.

Harmonische Gleichunghat die Form:

wo ein - Schwingungsamplitude (die Größe der größten Abweichung des Systems von der Gleichgewichtslage); -kreisförmige (zyklische) Frequenz. Das sich periodisch ändernde Argument des Kosinus wird aufgerufen Schwingungsphase . Die Schwingungsphase bestimmt die Verschiebung der schwingenden Größe aus der Gleichgewichtslage zu einem gegebenen Zeitpunkt t. Die Konstante φ stellt den Phasenwert zum Zeitpunkt t = 0 dar und heißt Anfangsphase der Schwingung . Der Wert der Anfangsphase wird durch die Wahl des Referenzpunktes bestimmt. Der x-Wert kann Werte im Bereich von -A bis +A annehmen.

Das Zeitintervall T, in dem sich bestimmte Zustände des Schwingungssystems wiederholen, wird als Schwingungsperiode bezeichnet . Der Kosinus ist eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π. Daher wiederholt sich während der Zeitspanne T, nach der die Schwingungsphase ein Inkrement von 2π erhält, der Zustand des Systems, das harmonische Schwingungen ausführt. Diese Zeitspanne T wird als Periode harmonischer Schwingungen bezeichnet.

Die Periode harmonischer Schwingungen ist gleich : T = 2π/ .

Man nennt die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit Vibrationsfrequenz ν.
Harmonische Frequenz ist gleich: ν = 1/T. Frequenzeinheit Hertz(Hz) – eine Schwingung pro Sekunde.

Kreisfrequenz = 2π/T = 2πν gibt die Anzahl der Schwingungen in 2π Sekunden an.

Grafisch lassen sich harmonische Schwingungen als Abhängigkeit von x von t darstellen (Abb. 1.1.A) und Rotierende Amplitudenmethode (Vektordiagrammmethode)(Abb.1.1.B) .

Mit der rotierenden Amplitudenmethode können Sie alle in der harmonischen Schwingungsgleichung enthaltenen Parameter visualisieren. In der Tat, wenn der Amplitudenvektor A in einem Winkel φ zur x-Achse liegt (siehe Abbildung 1.1. B), dann ist seine Projektion auf die x-Achse gleich: x = Acos(φ). Der Winkel φ ist die Anfangsphase. Wenn der Vektor A mit einer Winkelgeschwindigkeit gleich der Kreisfrequenz der Schwingungen in Rotation bringen, dann bewegt sich die Projektion des Endes des Vektors entlang der x-Achse und nimmt Werte im Bereich von -A bis +A an, und die Koordinate dieser Projektion wird sich im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz ändern:
.

Somit ist die Länge des Vektors gleich der Amplitude der harmonischen Schwingung, die Richtung des Vektors bildet im Anfangsmoment einen Winkel mit der x-Achse, der der Anfangsphase der Schwingungen φ entspricht, und die Änderung des Richtungswinkels mit der Zeit ist gleich der Phase der harmonischen Schwingungen. Die Zeit, in der der Amplitudenvektor eine volle Umdrehung macht, ist gleich der Periode T harmonischer Schwingungen. Die Anzahl der Vektorumdrehungen pro Sekunde ist gleich der Schwingungsfrequenz ν.