So dividieren Sie eine natürliche Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch. Aktionen mit Brüchen. So dividieren Sie Brüche: gemischte Brüche

Um verschiedene Probleme aus Mathematik- und Physikkursen zu lösen, müssen Sie Brüche dividieren. Dies ist sehr einfach, wenn Sie bestimmte Regeln zur Durchführung dieser mathematischen Operation kennen.

Bevor wir mit der Formulierung der Regel zum Teilen von Brüchen fortfahren, erinnern wir uns an einige mathematische Begriffe:

1. Der obere Teil des Bruchs wird Zähler genannt, der untere Teil Nenner.
2. Beim Dividieren nennt man Zahlen wie folgt: Dividend: Divisor = Quotient

So dividieren Sie Brüche: einfache Brüche

Um zwei einfache Brüche zu dividieren, multiplizieren Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors. Dieser Bruch wird auch invertiert genannt, da er durch Vertauschen von Zähler und Nenner entsteht. Zum Beispiel:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

So dividieren Sie Brüche: gemischte Brüche

Wenn wir gemischte Brüche dividieren müssen, dann ist auch hier alles ganz einfach und klar. Zuerst wandeln wir den gemischten Bruch in einen regelmäßigen unechten Bruch um. Multiplizieren Sie dazu den Nenner eines solchen Bruchs mit einer ganzen Zahl und addieren Sie den Zähler zum resultierenden Produkt. Als Ergebnis haben wir einen neuen Zähler des gemischten Bruchs erhalten, dessen Nenner jedoch unverändert bleibt. Darüber hinaus erfolgt die Division von Brüchen genauso wie die Division einfacher Brüche. Zum Beispiel:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

So dividieren Sie einen Bruch durch eine Zahl

Um einen einfachen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, muss diese als Bruch (unregelmäßig) geschrieben werden. Das geht ganz einfach: Diese Zahl wird anstelle des Zählers geschrieben und der Nenner eines solchen Bruchs ist gleich eins. Die weitere Aufteilung erfolgt wie gewohnt. Schauen wir uns das anhand eines Beispiels an:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

So dividieren Sie Dezimalzahlen

Erwachsene haben oft Schwierigkeiten, eine ganze Zahl oder einen Dezimalbruch ohne die Hilfe eines Taschenrechners durch einen Dezimalbruch zu dividieren.

Um Dezimalzahlen zu dividieren, müssen Sie also nur das Komma im Divisor streichen und nicht mehr darauf achten. Im Dividenden muss das Komma um genau so viele Stellen nach rechts verschoben werden wie im Bruchteil des Divisors, ggf. mit Nullen. Und dann führen sie die übliche Division durch eine ganze Zahl durch. Um dies deutlicher zu machen, betrachten Sie das folgende Beispiel.

T Unterrichtsart: ONZ (Entdeckung neuen Wissens – Nutzung der Technologie der aktivitätsbasierten Lehrmethode).

Grundlegende Ziele:

1. Leiten Sie Methoden zur Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl ab;
2. Entwickeln Sie die Fähigkeit, einen Bruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren;
3. Wiederholen und verstärken Sie die Division von Brüchen;
4. Trainieren Sie die Fähigkeit, Brüche zu reduzieren, Probleme zu analysieren und zu lösen.

Material zur Demonstration der Ausrüstung:

1. Aufgaben zur Wissensaktualisierung:

Ausdrücke vergleichen:

Referenz:

2. Probeaufgabe (Einzelaufgabe).

1. Division durchführen:

2. Führen Sie eine Division durch, ohne die gesamte Berechnungskette durchzuführen: .

Standards:

• Wenn Sie einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren, können Sie den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren, den Zähler jedoch gleich lassen.

• Wenn der Zähler durch eine natürliche Zahl teilbar ist, können Sie beim Teilen eines Bruchs durch diese Zahl den Zähler durch die Zahl dividieren und den Nenner gleich lassen.

Während des Unterrichts

I. Motivation (Selbstbestimmung) für Bildungsaktivitäten.

Zweck der Bühne:

1. Organisieren Sie die Aktualisierung der Anforderungen an den Schüler in Bezug auf Bildungsaktivitäten („Muss“);
2. Organisieren Sie studentische Aktivitäten, um thematische Rahmen zu schaffen („Ich kann“);
3. Schaffen Sie Bedingungen, unter denen der Schüler ein inneres Bedürfnis nach Einbindung in Bildungsaktivitäten entwickeln kann („Ich will“).

Organisation des Bildungsprozesses in Stufe I.

Guten Tag! Ich freue mich, Sie alle beim Matheunterricht zu sehen. Ich hoffe, es beruht auf Gegenseitigkeit.

Leute, welches neue Wissen habt ihr in der letzten Lektion erworben? (Brüche dividieren).

Rechts. Was hilft Ihnen bei der Division von Brüchen? (Regel, Eigenschaften).

Wo brauchen wir dieses Wissen? (In Beispielen, Gleichungen, Problemen).

Gut gemacht! Du hast die Aufgaben in der letzten Lektion gut gelöst. Möchten Sie heute selbst neues Wissen entdecken? (Ja).

Dann – los geht’s! Und das Motto der Lektion lautet: „Man kann Mathematik nicht lernen, indem man seinem Nachbarn dabei zuschaut!“

II. Wissensaktualisierung und Behebung individueller Schwierigkeiten im Rahmen einer Probehandlung.

Zweck der Bühne:

1. Organisieren Sie die Aktualisierung erlernter Handlungsmethoden, um neues Wissen aufzubauen. Erfassen Sie diese Methoden verbal (in Sprache) und symbolisch (Standard) und verallgemeinern Sie sie;
2. Organisieren Sie die Aktualisierung geistiger Operationen und kognitiver Prozesse, die ausreichen, um neues Wissen aufzubauen;
3. Motivieren Sie für eine gerichtliche Maßnahme und deren eigenständige Umsetzung und Begründung;
4. Stellen Sie eine individuelle Aufgabe für eine Probeaktion vor und analysieren Sie diese, um neue Bildungsinhalte zu identifizieren.
5. Organisieren Sie die Festlegung des Bildungsziels und des Unterrichtsthemas;
6. Organisieren Sie die Durchführung einer Probemaßnahme und beheben Sie die Schwierigkeit;
7. Organisieren Sie eine Analyse der eingegangenen Antworten und erfassen Sie individuelle Schwierigkeiten bei der Durchführung oder Begründung einer Probemaßnahme.

Organisation des Bildungsprozesses in Stufe II.

Frontal mit Tablets (einzelne Tafeln).

1. Ausdrücke vergleichen:

(Diese Ausdrücke sind gleich)

Welche interessanten Dinge sind Ihnen aufgefallen? (Zähler und Nenner des Dividenden, Zähler und Nenner des Divisors in jedem Ausdruck werden um die gleiche Anzahl erhöht. Somit werden die Dividenden und Divisoren in den Ausdrücken durch einander gleiche Brüche dargestellt.)

Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks und schreiben Sie ihn auf Ihr Tablet. (2)

Wie kann ich diese Zahl als Bruch schreiben?

Wie haben Sie die Teilungsaktion durchgeführt? (Kinder sprechen die Regel aus, der Lehrer hängt Buchstabensymbole an die Tafel)

2. Berechnen und notieren Sie nur die Ergebnisse:

3. Addieren Sie die Ergebnisse und notieren Sie die Antwort. (2)

Wie heißt die in Aufgabe 3 ermittelte Zahl? (Natürlich)

Glauben Sie, dass Sie einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren können? (Ja, wir werden es versuchen)

Versuche dies.

4. Individuelle (Probe-)Aufgabe.

Division durchführen: (nur Beispiel a)

Nach welcher Regel hast du geteilt? (Nach der Regel der Division von Brüchen durch Brüche)

Teilen Sie nun den Bruch auf einfachere Weise durch eine natürliche Zahl, ohne die gesamte Berechnungskette durchzuführen: (Beispiel b). Dafür gebe ich dir 3 Sekunden.

Wer konnte die Aufgabe nicht in 3 Sekunden erledigen?

Wer war es? (Es gibt keine solchen)

Warum? (Wir kennen den Weg nicht)

Was hast du bekommen? (Schwierigkeit)

Was glauben Sie, was wir im Unterricht machen werden? (Dividieren Sie Brüche durch natürliche Zahlen)

Richtig, öffnen Sie Ihre Notizbücher und schreiben Sie das Thema der Lektion auf: „Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren.“

Warum klingt dieses Thema neu, wenn Sie bereits wissen, wie man Brüche dividiert? (Brauchen Sie einen neuen Weg)

Rechts. Heute werden wir eine Technik etablieren, die die Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl vereinfacht.

III. Identifizieren des Ortes und der Ursache des Problems.

Zweck der Bühne:

1. Organisieren Sie die Wiederherstellung abgeschlossener Vorgänge und dokumentieren Sie (verbal und symbolisch) den Ort – Schritt, Vorgang – wo die Schwierigkeit aufgetreten ist;
2. Organisieren Sie die Korrelation der Handlungen der Schüler mit der verwendeten Methode (Algorithmus) und fixieren Sie in der externen Sprache die Ursache der Schwierigkeit – das spezifische Wissen, die Fähigkeiten oder Fertigkeiten, die zur Lösung des anfänglichen Problems dieser Art fehlen.

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe III.

Welche Aufgabe mussten Sie erledigen? (Dividieren Sie einen Bruch durch eine natürliche Zahl, ohne die gesamte Berechnungskette zu durchlaufen)

Was hat Ihnen Schwierigkeiten bereitet? (Wir konnten es mit einer schnellen Methode nicht in kurzer Zeit lösen)

Welches Ziel setzen wir uns im Unterricht? (Finden Sie eine schnelle Möglichkeit, einen Bruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren)

Was wird Ihnen helfen? (Bereits bekannte Regel zum Teilen von Brüchen)

IV. Ein Projekt erstellen, um aus einem Problem herauszukommen.

Zweck der Bühne:

1. Klärung des Projektziels;
2. Wahl der Methode (Klärung);
3. Bestimmung von Mittelwerten (Algorithmus);
4. Einen Plan erstellen, um das Ziel zu erreichen.

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe IV.

Kehren wir zur Testaufgabe zurück. Sie sagten, Sie hätten nach der Regel zum Teilen von Brüchen dividiert? (Ja)

Ersetzen Sie dazu die natürliche Zahl durch einen Bruch? (Ja)

Welcher Schritt (oder welche Schritte) können Ihrer Meinung nach übersprungen werden?

(Die Lösungskette ist auf der Tafel offen:

Analysieren Sie und ziehen Sie eine Schlussfolgerung. (Schritt 1)

Wenn es keine Antwort gibt, führen wir Sie durch die Fragen:

Wo ist der natürliche Teiler geblieben? (In den Nenner)

Hat sich der Zähler geändert? (Nein)

Welchen Schritt können Sie also „weglassen“? (Schritt 1)

Aktionsplan:

• Multiplizieren Sie den Nenner eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl.
• Wir ändern den Zähler nicht.
• Wir bekommen eine neue Fraktion.

V. Umsetzung des errichteten Projekts.

Zweck der Bühne:

1. Organisieren Sie die kommunikative Interaktion, um das konstruierte Projekt umzusetzen, das auf den Erwerb des fehlenden Wissens abzielt;
2. Organisieren Sie die Aufzeichnung der konstruierten Handlungsweise in Sprache und Zeichen (unter Verwendung eines Standards);
3. Organisieren Sie die Lösung des ursprünglichen Problems und dokumentieren Sie, wie die Schwierigkeit überwunden werden kann.
4. Organisieren Sie die Klärung der allgemeinen Natur neuen Wissens.

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe V.

Führen Sie den Testfall nun schnell auf eine neue Art und Weise aus.

Nun konnten Sie die Aufgabe schnell erledigen? (Ja)

Erklären Sie, wie Sie das gemacht haben? (Kinder reden)

Damit haben wir neue Erkenntnisse gewonnen: die Regel zur Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl.

Gut gemacht! Sagen Sie es zu zweit.

Dann spricht ein Schüler zur Klasse. Den Regelalgorithmus legen wir verbal und in Form eines Standards an der Tafel fest.

Geben Sie nun die Buchstabenbezeichnungen ein und schreiben Sie die Formel für unsere Regel auf.

Der Schüler schreibt an die Tafel und nennt die Regel: Wenn man einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividiert, kann man den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren, den Zähler aber gleich lassen.

(Jeder schreibt die Formel in sein Notizbuch).

Analysieren Sie nun die Lösungskette der Testaufgabe noch einmal durch Drehen Besondere Aufmerksamkeit zur Antwort. Was hast du gemacht? (Der Zähler des Bruchs 15 wurde durch die Zahl 3 dividiert (reduziert))

Was ist das für eine Nummer? (Natürlich, Teiler)

Wie sonst kann man einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren? (Überprüfen Sie: Wenn der Zähler eines Bruchs durch diese natürliche Zahl teilbar ist, können Sie den Zähler durch diese Zahl dividieren, das Ergebnis in den Zähler des neuen Bruchs schreiben und den Nenner gleich lassen.)

Schreiben Sie diese Methode als Formel auf. (Der Schüler schreibt die Regel an die Tafel, während er sie ausspricht. Alle schreiben die Formel in ihr Heft.)

Kehren wir zur ersten Methode zurück. Sie können es verwenden, wenn a:n? (Ja, das ist die allgemeine Vorgehensweise)

Und wann ist es sinnvoll, die zweite Methode anzuwenden? (Wenn der Zähler eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl geteilt wird)

VI. Primäre Konsolidierung mit Aussprache in der externen Sprache.

Zweck der Bühne:

1. Organisieren Sie die Aneignung einer neuen Vorgehensweise durch Kinder bei der Lösung von Standardproblemen mit ihrer Aussprache in der Außensprache (frontal, paarweise oder in Gruppen).

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe VI.

Berechnen Sie auf eine neue Art:

• Nr. 363 (a; d) – an der Tafel vorgetragen und die Regel verkündet.
• Nr. 363 (e; f) - paarweise mit Prüfung nach Muster.

VII. Selbstständiges Arbeiten mit Selbsttest nach Norm.

Zweck der Bühne:

1. Organisieren Sie die selbstständige Erledigung von Aufgaben durch die Schüler für eine neue Vorgehensweise;
2. Organisieren Sie einen Selbsttest basierend auf einem Vergleich mit der Norm.
3. Organisieren Sie basierend auf den Ergebnissen der eigenständigen Arbeit eine Reflexion über die Aneignung einer neuen Vorgehensweise.

Organisation des Bildungsprozesses in Stufe VII.

Berechnen Sie auf eine neue Art:

• Nr. 363 (b; c)

Die Studierenden prüfen anhand der Norm und markieren die Richtigkeit der Ausführung. Fehlerursachen werden analysiert und Fehler behoben.

Der Lehrer fragt die Schüler, die Fehler gemacht haben: Was ist der Grund?

In dieser Phase ist es wichtig, dass jeder Schüler seine Arbeit selbstständig überprüft.

VIII. Einbindung in das Wissenssystem und Wiederholung.

Zweck der Bühne:

1. Organisieren Sie die Identifizierung der Anwendungsgrenzen neuen Wissens;
2. Organisieren Sie die Wiederholung von Bildungsinhalten, die notwendig sind, um eine sinnvolle Kontinuität sicherzustellen.

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe VIII.

Organisieren Sie die Aufzeichnung ungelöster Schwierigkeiten im Unterricht als Orientierung für zukünftige Bildungsaktivitäten;

Organisieren Sie eine Besprechung und Aufzeichnung der Hausaufgaben.

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe IX.

1. Dialog:

Leute, welche neuen Erkenntnisse habt ihr heute entdeckt? (Ich habe gelernt, wie man auf einfache Weise einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividiert.)

Formulieren Sie eine allgemeine Methode. (Man sagt)

Auf welche Weise und in welchen Fällen kann es eingesetzt werden? (Man sagt)

Was ist der Vorteil der neuen Methode?

Haben wir unser Unterrichtsziel erreicht? (Ja)

Mit welchem ​​Wissen haben Sie Ihr Ziel erreicht? (Man sagt)

Hat bei dir alles geklappt?

Was waren die Schwierigkeiten?

2. Hausaufgaben: Abschnitt 3.2.4.; Nr. 365(l, n, o, p); Nr. 370.

3. Lehrer: Ich bin froh, dass heute alle aktiv waren und es geschafft haben, einen Ausweg aus der Schwierigkeit zu finden. Und was am wichtigsten ist: Sie waren keine Nachbarn, als sie ein neues Gebäude eröffneten und errichteten. Danke für die Lektion, Kinder!

§ 87. Addition von Brüchen.

Das Addieren von Brüchen hat viele Ähnlichkeiten mit dem Addieren ganzer Zahlen. Die Addition von Brüchen ist eine Aktion, die darin besteht, dass mehrere gegebene Zahlen (Terme) zu einer Zahl (Summe) zusammengefasst werden, die alle Einheiten und Brüche der Einheiten der Terme enthält.

Wir werden nacheinander drei Fälle betrachten:

1. Addition von Brüchen mit gleichen Nennern.
2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Addition gemischter Zahlen.

1. Addition von Brüchen mit gleichen Nennern.

Betrachten Sie ein Beispiel: 1/5 + 2/5.

Nehmen wir das Segment AB (Abb. 17), nehmen Sie es als eins und teilen Sie es in 5 gleiche Teile, dann ist der Teil AC dieses Segments gleich 1/5 des Segments AB und der Teil desselben Segments CD ist gleich 2/5 AB.

Aus der Zeichnung geht hervor, dass, wenn wir das Segment AD nehmen, es gleich 3/5 AB ist; aber das Segment AD ist genau die Summe der Segmente AC und CD. Wir können also schreiben:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Wenn wir diese Terme und die resultierende Summe betrachten, sehen wir, dass der Zähler der Summe durch Addition der Zähler der Terme erhalten wurde und der Nenner unverändert blieb.

Daraus erhalten wir folgende Regel: Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und denselben Nenner belassen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Addieren wir die Brüche: 3 / 4 + 3 / 8 Zuerst müssen sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert werden:

Der Zwischenlink 6/8 + 3/8 konnte nicht geschrieben werden; Aus Gründen der Klarheit haben wir es hier geschrieben.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, müssen Sie sie zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren, ihre Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beschriften.

Schauen wir uns ein Beispiel an (wir schreiben zusätzliche Faktoren über die entsprechenden Brüche):

3. Addition gemischter Zahlen.

Addieren wir die Zahlen: 2 3/8 + 3 5/6.

Bringen wir zunächst die Bruchteile unserer Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner und schreiben sie noch einmal um:

Nun addieren wir nacheinander die ganzzahligen und gebrochenen Teile:

§ 88. Subtraktion von Brüchen.

Das Subtrahieren von Brüchen wird auf die gleiche Weise definiert wie das Subtrahieren ganzer Zahlen. Hierbei handelt es sich um eine Aktion, mit deren Hilfe aus der Summe zweier Terme und einem davon ein weiterer Term gefunden wird. Betrachten wir nacheinander drei Fälle:

1. Brüche mit gleichen Nennern subtrahieren.
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren.
3. Subtraktion gemischter Zahlen.

1. Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

13 / 15 - 4 / 15

Nehmen wir das Segment AB (Abb. 18), nehmen es als Einheit und teilen es in 15 gleiche Teile; dann stellt der Teil AC dieses Segments 1/15 von AB dar und der Teil AD desselben Segments entspricht 13/15 AB. Lassen Sie uns auch ein Segment ED gleich 4/15 AB beiseite legen.

Wir müssen den Bruch 4/15 von 13/15 subtrahieren. In der Zeichnung bedeutet dies, dass das Segment ED vom Segment AD abgezogen werden muss. Dadurch bleibt das Segment AE erhalten, das 9/15 des Segments AB ausmacht. Wir können also schreiben:

Das von uns erstellte Beispiel zeigt, dass der Zähler der Differenz durch Subtrahieren der Zähler erhalten wurde, der Nenner jedoch derselbe blieb.

Um Brüche mit gleichen Nennern zu subtrahieren, müssen Sie daher den Zähler des Subtrahenden vom Zähler des Minuenden subtrahieren und den gleichen Nenner belassen.

2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren.

Beispiel. 3/4 - 5/8

Lassen Sie uns zunächst diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren:

Der Zwischentakt 6 / 8 - 5 / 8 ist hier der Übersichtlichkeit halber geschrieben, kann aber später übersprungen werden.

Um also einen Bruch von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie diese zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren, dann den Zähler des Minuenden vom Zähler des Minuenden subtrahieren und den gemeinsamen Nenner unter ihrer Differenz vorzeichen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

3. Subtraktion gemischter Zahlen.

Beispiel. 10 3/4 - 7 2/3.

Lassen Sie uns die Bruchteile von Minuend und Subtrahend auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren:

Wir subtrahierten ein Ganzes von einem Ganzen und einen Bruch von einem Bruch. Es gibt jedoch Fälle, in denen der Nachkommateil des Subtrahends größer ist als der Nachkommateil des Minuenden. In solchen Fällen müssen Sie eine Einheit aus dem ganzen Teil des Minuends nehmen, sie in die Teile aufteilen, in denen der Bruchteil ausgedrückt wird, und sie zum Bruchteil des Minuends hinzufügen. Und dann wird die Subtraktion auf die gleiche Weise wie im vorherigen Beispiel durchgeführt:

§ 89. Multiplikation von Brüchen.

Beim Studium der Bruchmultiplikation werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.
2. Ermitteln des Bruchteils einer bestimmten Zahl.
3. Eine ganze Zahl mit einem Bruch multiplizieren.
4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.
5. Multiplikation gemischter Zahlen.
6. Der Begriff des Interesses.
7. Ermitteln des Prozentsatzes einer bestimmten Zahl. Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.

Das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl hat die gleiche Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einer ganzen Zahl. Einen Bruch (Multiplikanden) mit einer ganzen Zahl (Faktor) zu multiplizieren bedeutet, eine Summe identischer Terme zu bilden, wobei jeder Term gleich dem Multiplikanden und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.

Das heißt, wenn Sie 1/9 mit 7 multiplizieren müssen, können Sie dies folgendermaßen tun:

Wir haben das Ergebnis leicht erhalten, da die Aktion auf das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner reduziert wurde. Somit,

Die Betrachtung dieser Aktion zeigt, dass die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl gleichbedeutend damit ist, diesen Bruch so oft zu erhöhen, wie es Einheiten in der ganzen Zahl gibt. Und da das Erhöhen eines Bruchs entweder durch Erhöhen seines Zählers erreicht wird

oder durch Reduzierung seines Nenners , dann können wir entweder den Zähler mit einer ganzen Zahl multiplizieren oder den Nenner durch diese dividieren, sofern eine solche Division möglich ist.

Von hier aus erhalten wir die Regel:

Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, multiplizieren Sie den Zähler mit dieser ganzen Zahl und lassen den Nenner gleich, oder dividieren, wenn möglich, den Nenner durch diese Zahl und lassen den Zähler unverändert.

Beim Multiplizieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

2. Ermitteln des Bruchteils einer bestimmten Zahl. Es gibt viele Probleme, bei denen Sie einen Teil einer bestimmten Zahl finden oder berechnen müssen. Der Unterschied zwischen diesen Aufgaben und anderen besteht darin, dass sie die Anzahl einiger Objekte oder Maßeinheiten angeben und Sie einen Teil dieser Zahl finden müssen, der hier auch durch einen bestimmten Bruch angegeben wird. Um das Verständnis zu erleichtern, geben wir zunächst Beispiele für solche Probleme und stellen dann eine Methode zu deren Lösung vor.

Aufgabe 1. Ich hatte 60 Rubel; Ein Drittel dieses Geldes habe ich für den Kauf von Büchern ausgegeben. Wie viel haben die Bücher gekostet?

Aufgabe 2. Der Zug muss zwischen den Städten A und B eine Strecke von 300 km zurücklegen. Er hat bereits 2/3 dieser Strecke zurückgelegt. Wie viele Kilometer sind das?

Aufgabe 3. Es gibt 400 Häuser im Dorf, 3/4 davon sind aus Ziegeln, der Rest ist aus Holz. Wie viele Backsteinhäuser gibt es insgesamt?

Dies sind einige der vielen Probleme, auf die wir stoßen, wenn wir einen Teil einer bestimmten Zahl finden. Sie werden üblicherweise als Probleme zur Bestimmung des Bruchteils einer gegebenen Zahl bezeichnet.

Lösung für Problem 1. Ab 60 Rubel. Ich habe 1/3 für Bücher ausgegeben; Das bedeutet, dass Sie die Zahl 60 durch 3 teilen müssen, um den Preis für Bücher zu ermitteln:

Lösung von Problem 2. Der Kern des Problems besteht darin, dass Sie 2/3 von 300 km finden müssen. Berechnen wir zunächst 1/3 von 300; Dies wird erreicht, indem man 300 km durch 3 teilt:

300: 3 = 100 (das ist 1/3 von 300).

Um zwei Drittel von 300 zu finden, müssen Sie den resultierenden Quotienten verdoppeln, also mit 2 multiplizieren:

100 x 2 = 200 (das sind 2/3 von 300).

Lösung von Problem 3. Hier müssen Sie die Anzahl der Backsteinhäuser bestimmen, die 3/4 von 400 ausmachen. Lassen Sie uns zunächst 1/4 von 400 ermitteln.

400: 4 = 100 (das ist 1/4 von 400).

Um drei Viertel von 400 zu berechnen, muss der resultierende Quotient verdreifacht, also mit 3 multipliziert werden:

100 x 3 = 300 (das sind 3/4 von 400).

Basierend auf der Lösung dieser Probleme können wir die folgende Regel ableiten:

Um den Wert eines Bruchs aus einer bestimmten Zahl zu ermitteln, müssen Sie diese Zahl durch den Nenner des Bruchs dividieren und den resultierenden Quotienten mit seinem Zähler multiplizieren.

3. Eine ganze Zahl mit einem Bruch multiplizieren.

Zuvor (§ 26) wurde festgelegt, dass unter der Multiplikation ganzer Zahlen die Addition identischer Terme zu verstehen ist (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). In diesem Absatz (Punkt 1) wurde festgestellt, dass die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl bedeutet, die Summe identischer Terme zu finden, die diesem Bruch entspricht.

In beiden Fällen bestand die Multiplikation darin, die Summe identischer Terme zu ermitteln.

Jetzt gehen wir dazu über, eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren. Hier stoßen wir zum Beispiel auf die Multiplikation: 9 2 / 3. Es ist klar, dass die vorherige Definition der Multiplikation auf diesen Fall nicht anwendbar ist. Dies wird aus der Tatsache deutlich, dass wir eine solche Multiplikation nicht durch Addition gleicher Zahlen ersetzen können.

Aus diesem Grund müssen wir die Multiplikation neu definieren, also mit anderen Worten die Frage beantworten, was unter Multiplikation mit einem Bruch zu verstehen ist und wie diese Aktion zu verstehen ist.

Die Bedeutung der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch wird aus der folgenden Definition deutlich: Eine ganze Zahl (Multiplikand) mit einem Bruch (Multiplikand) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikanden zu finden.

Das heißt, 9 mit 2/3 zu multiplizieren bedeutet, 2/3 von neun Einheiten zu finden. Im vorherigen Absatz wurden solche Probleme gelöst; Es ist also leicht herauszufinden, dass wir am Ende bei 6 landen.

Doch nun stellt sich eine interessante und wichtige Frage: Warum werden solche scheinbar unterschiedlichen Operationen, wie das Ermitteln der Summe gleicher Zahlen und das Ermitteln des Bruchteils einer Zahl, in der Arithmetik mit demselben Wort „Multiplikation“ genannt?

Dies geschieht, weil die vorherige Aktion (Mehrfaches Wiederholen einer Zahl mit Begriffen) und die neue Aktion (Ermitteln des Bruchteils einer Zahl) Antworten auf homogene Fragen geben. Das heißt, wir gehen hier von der Überlegung aus, dass homogene Fragestellungen oder Aufgaben durch die gleiche Handlung gelöst werden.

Um dies zu verstehen, betrachten Sie das folgende Problem: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 4 m eines solchen Stoffes?

Dieses Problem wird gelöst, indem man die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (4) multipliziert, also 50 x 4 = 200 (Rubel).

Nehmen wir das gleiche Problem, aber darin wird die Stoffmenge als Bruchteil ausgedrückt: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel werden 3/4 m dieses Stoffes kosten?“

Dieses Problem muss auch gelöst werden, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (3/4) multipliziert wird.

Sie können die darin enthaltenen Zahlen noch mehrmals ändern, ohne die Bedeutung der Aufgabe zu ändern, z. B. 9/10 m oder 2 3/10 m usw.

Da diese Probleme den gleichen Inhalt haben und sich nur in der Zahl unterscheiden, nennen wir die zu ihrer Lösung verwendeten Aktionen das gleiche Wort – Multiplikation.

Wie multipliziert man eine ganze Zahl mit einem Bruch?

Nehmen wir die im letzten Problem gefundenen Zahlen:

Laut Definition müssen wir 3/4 von 50 finden. Finden wir zuerst 1/4 von 50 und dann 3/4.

1/4 von 50 ist 50/4;

3/4 der Zahl 50 ist .

Somit.

Betrachten wir ein anderes Beispiel: 12 5 / 8 =?

1/8 der Zahl 12 ist 12/8,

5/8 der Zahl 12 ist .

Somit,

Von hier aus erhalten wir die Regel:

Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren, dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner dieses Bruchs als Nenner vorzeichen.

Schreiben wir diese Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel vollständig zu verdeutlichen, sollte man bedenken, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 dargelegten Regel zur Multiplikation einer Zahl mit einem Quotienten zu vergleichen

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass Sie (wenn möglich) vor der Multiplikation Folgendes tun sollten: Ermäßigungen, Zum Beispiel:

4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren. Das Multiplizieren eines Bruchs mit einem Bruch hat die gleiche Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einem Bruch, d. h. wenn Sie einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, müssen Sie den Bruch ermitteln, der im Faktor des ersten Bruchs (dem Multiplikanden) enthalten ist.

Das heißt, die Multiplikation von 3/4 mit 1/2 (die Hälfte) bedeutet, die Hälfte von 3/4 zu finden.

Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?

Nehmen wir ein Beispiel: 3/4 multipliziert mit 5/7. Das bedeutet, dass Sie 5/7 von 3/4 finden müssen. Finden wir zuerst 1/7 von 3/4 und dann 5/7

1/7 der Zahl 3/4 wird wie folgt ausgedrückt:

5/7 Zahlen 3/4 werden wie folgt ausgedrückt:

Auf diese Weise,

Ein weiteres Beispiel: 5/8 multipliziert mit 4/9.

1/9 von 5/8 ist,

4/9 der Zahl 5/8 ist .

Auf diese Weise,

Aus diesen Beispielen lässt sich folgende Regel ableiten:

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite Produkt zum Nenner des Produkts machen.

Diese Regel kann in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden:

Bei der Multiplikation müssen (wenn möglich) Kürzungen vorgenommen werden. Schauen wir uns Beispiele an:

5. Multiplikation gemischter Zahlen. Da gemischte Zahlen leicht durch unechte Brüche ersetzt werden können, wird dieser Umstand meist bei der Multiplikation gemischter Zahlen genutzt. Das bedeutet, dass in den Fällen, in denen der Multiplikand oder der Multiplikator oder beide Faktoren als gemischte Zahlen ausgedrückt werden, diese durch unechte Brüche ersetzt werden. Lassen Sie uns zum Beispiel gemischte Zahlen multiplizieren: 2 1/2 und 3 1/5. Lassen Sie uns jeden von ihnen in einen unechten Bruch umwandeln und dann die resultierenden Brüche gemäß der Regel zum Multiplizieren eines Bruchs mit einem Bruch multiplizieren:

Regel. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie sie zunächst in unechte Brüche umwandeln und diese dann gemäß der Regel zum Multiplizieren von Brüchen mit Brüchen multiplizieren.

Notiz. Ist einer der Faktoren eine ganze Zahl, dann kann die Multiplikation nach dem Verteilungsgesetz wie folgt durchgeführt werden:

6. Der Begriff des Interesses. Beim Lösen von Problemen und bei der Durchführung verschiedener praktischer Berechnungen verwenden wir alle Arten von Brüchen. Es muss jedoch berücksichtigt werden, dass viele Größen nicht irgendwelche, sondern natürliche Unterteilungen zulassen. Sie können zum Beispiel ein Hundertstel (1/100) eines Rubels nehmen, es wird eine Kopeke sein, zwei Hundertstel sind 2 Kopeken, drei Hundertstel sind 3 Kopeken. Sie können 1/10 eines Rubels nehmen, es sind „10 Kopeken“ oder ein Zehn-Kopeken-Stück. Sie können einen viertel Rubel nehmen, also 25 Kopeken, einen halben Rubel, also 50 Kopeken (fünfzig Kopeken). Aber Sie nehmen es praktisch nicht, zum Beispiel 2/7 eines Rubels, weil der Rubel nicht in Siebtel unterteilt ist.

Bei der Gewichtseinheit Kilogramm sind vor allem Dezimalteilungen möglich, beispielsweise 1/10 kg oder 100 g. Bruchteile eines Kilogramms wie 1/6, 1/11, 1/13 sind nicht üblich.

Im Allgemeinen sind unsere (metrischen) Maße dezimal und erlauben Dezimalteilungen.

Es ist jedoch zu beachten, dass es in den unterschiedlichsten Fällen äußerst nützlich und praktisch ist, die gleiche (einheitliche) Methode zur Unterteilung von Mengen zu verwenden. Die langjährige Erfahrung hat gezeigt, dass eine solche wohlbegründete Teilung die „hundertste“ Teilung ist. Betrachten wir einige Beispiele aus den unterschiedlichsten Bereichen menschlicher Praxis.

1. Der Preis für Bücher ist um 12/100 des vorherigen Preises gesunken.

Beispiel. Der vorherige Preis des Buches betrug 10 Rubel. Es verringerte sich um 1 Rubel. 20 Kopeken

2. Sparkassen zahlen den Einlegern 2/100 des im Laufe des Jahres eingezahlten Sparbetrags.

Beispiel. 500 Rubel werden in die Kasse eingezahlt, der Jahreserlös aus diesem Betrag beträgt 10 Rubel.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5/100 der Gesamtzahl der Schüler.

BEISPIEL Es gab nur 1.200 Schüler an der Schule, von denen 60 ihren Abschluss machten.

Der Hundertstelteil einer Zahl wird als Prozentsatz bezeichnet.

Das Wort „Prozent“ ist dem Lateinischen entlehnt und seine Wurzel „cent“ bedeutet einhundert. Zusammen mit der Präposition (pro centum) bedeutet dieses Wort „für hundert“. Die Bedeutung dieses Ausdrucks ergibt sich aus der Tatsache, dass ursprünglich im antiken Rom Zinsen die Bezeichnung für das Geld war, das der Schuldner „für jeden Hundert“ an den Kreditgeber zahlte. Das Wort „Cent“ hört man in so vertrauten Worten: Centner (einhundert Kilogramm), Centimeter (sagen wir Zentimeter).

Anstatt beispielsweise zu sagen, dass das Werk im letzten Monat 1/100 aller von ihm hergestellten Produkte fehlerhaft war, sagen wir Folgendes: Im vergangenen Monat produzierte das Werk ein Prozent der von ihm hergestellten Produkte. Anstatt zu sagen: Das Werk hat 4/100 Produkte mehr produziert als der festgelegte Plan, sagen wir: Das Werk hat den Plan um 4 Prozent übertroffen.

Die obigen Beispiele können unterschiedlich ausgedrückt werden:

1. Der Preis für Bücher ist um 12 Prozent des vorherigen Preises gesunken.

2. Sparkassen zahlen den Einlegern jährlich 2 Prozent auf den eingezahlten Sparbetrag.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5 Prozent aller Schüler.

Um den Buchstaben zu verkürzen, ist es üblich, anstelle des Wortes „Prozentsatz“ das %-Symbol zu schreiben.

Sie müssen jedoch bedenken, dass das %-Zeichen in Berechnungen normalerweise nicht geschrieben wird; es kann in der Problemstellung und im Endergebnis geschrieben werden. Bei Berechnungen müssen Sie mit diesem Symbol einen Bruch mit dem Nenner 100 anstelle einer ganzen Zahl schreiben.

Sie müssen in der Lage sein, eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol durch einen Bruch mit dem Nenner 100 zu ersetzen:

Umgekehrt müssen Sie sich daran gewöhnen, eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol anstelle eines Bruchs mit dem Nenner 100 zu schreiben:

7. Ermitteln des Prozentsatzes einer bestimmten Zahl.

Aufgabe 1. Die Schule erhielt 200 Kubikmeter. m Brennholz, davon 30 % Birkenbrennholz. Wie viel Birkenbrennholz gab es?

Die Bedeutung dieses Problems besteht darin, dass Birkenbrennholz nur einen Teil des an die Schule gelieferten Brennholzes ausmachte und dieser Teil im Bruchteil 30/100 ausgedrückt wird. Das bedeutet, dass wir die Aufgabe haben, den Bruchteil einer Zahl zu finden. Um es zu lösen, müssen wir 200 mit 30/100 multiplizieren (Probleme, den Bruch einer Zahl zu finden, werden gelöst, indem man die Zahl mit dem Bruch multipliziert).

Das bedeutet, dass 30 % von 200 60 ergeben.

Der in diesem Problem vorkommende Bruch 30/100 kann um 10 reduziert werden. Es wäre möglich, diese Reduzierung von Anfang an vorzunehmen; an der Lösung des Problems hätte sich nichts geändert.

Aufgabe 2. Im Lager befanden sich 300 Kinder unterschiedlichen Alters. Kinder im Alter von 11 Jahren machten 21 % aus, Kinder im Alter von 12 Jahren machten 61 % aus und schließlich machten Kinder im Alter von 13 Jahren 18 % aus. Wie viele Kinder jeden Alters gab es im Lager?

Bei dieser Aufgabe müssen Sie drei Berechnungen durchführen, d. h. nacheinander die Anzahl der Kinder im Alter von 11 Jahren, dann im Alter von 12 Jahren und schließlich im Alter von 13 Jahren ermitteln.

Das bedeutet, dass Sie hier dreimal den Bruchteil der Zahl ermitteln müssen. Lass es uns tun:

1) Wie viele 11-jährige Kinder gab es?

2) Wie viele 12-jährige Kinder gab es?

3) Wie viele 13-jährige Kinder gab es?

Nach Lösung des Problems ist es sinnvoll, die gefundenen Zahlen zu addieren; ihre Summe sollte 300 betragen:

63 + 183 + 54 = 300

Es ist auch zu beachten, dass die Summe der in der Problemstellung angegebenen Prozentsätze 100 beträgt:

21% + 61% + 18% = 100%

Dies lässt darauf schließen, dass die Gesamtzahl der Kinder im Lager mit 100 % angenommen wurde.

3 a d a h a 3. Der Arbeiter erhielt 1.200 Rubel pro Monat. Davon gab er 65 % für Lebensmittel, 6 % für Wohnungen und Heizung, 4 % für Gas, Strom und Radio, 10 % für kulturelle Zwecke und 15 % für Ersparnisse aus. Wie viel Geld wurde für die in der Aufgabe angegebenen Bedürfnisse ausgegeben?

Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie den Bruchteil von 1.200 fünfmal ermitteln.

1) Wie viel Geld wurde für Lebensmittel ausgegeben? Das Problem besagt, dass dieser Aufwand 65 % des Gesamteinkommens beträgt, also 65/100 der Zahl 1.200. Machen wir die Rechnung:

2) Wie viel Geld haben Sie für eine Wohnung mit Heizung bezahlt? Wenn wir ähnlich wie zuvor argumentieren, kommen wir zu folgender Berechnung:

3) Wie viel Geld haben Sie für Gas, Strom und Radio bezahlt?

4) Wie viel Geld wurde für kulturelle Zwecke ausgegeben?

5) Wie viel Geld hat der Arbeitnehmer gespart?

Um dies zu überprüfen, ist es sinnvoll, die in diesen 5 Fragen gefundenen Zahlen zu addieren. Der Betrag sollte 1.200 Rubel betragen. Alle Einnahmen werden als 100 % angenommen, was sich leicht überprüfen lässt, indem man die in der Problemstellung angegebenen Prozentzahlen addiert.

Wir haben drei Probleme gelöst. Obwohl es sich bei diesen Problemen um unterschiedliche Dinge handelte (Lieferung von Brennholz für die Schule, Anzahl der Kinder unterschiedlichen Alters, Kosten des Arbeiters), wurden sie auf die gleiche Weise gelöst. Dies geschah, weil es bei allen Aufgaben notwendig war, mehrere Prozent der gegebenen Zahlen zu finden.

§ 90. Division von Brüchen.

Während wir uns mit der Division von Brüchen befassen, werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.
2. Einen Bruch durch eine ganze Zahl dividieren
3. Eine ganze Zahl durch einen Bruch dividieren.
4. Einen Bruch durch einen Bruch dividieren.
5. Division gemischter Zahlen.
6. Finden einer Zahl aus ihrem gegebenen Bruch.
7. Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln.

Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.

Wie bereits in der Abteilung für ganze Zahlen erwähnt, ist Division die Aktion, die darin besteht, dass aus dem Produkt zweier Faktoren (Dividende) und einem dieser Faktoren (Divisor) ein anderer Faktor gefunden wird.

Wir haben uns im Abschnitt über ganze Zahlen mit der Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl befasst. Wir sind dort auf zwei Fälle von Division gestoßen: Division ohne Rest oder „ganz“ (150: 10 = 15) und Division mit Rest (100: 9 = 11 und 1 Rest). Wir können daher sagen, dass im Bereich der ganzen Zahlen eine exakte Division nicht immer möglich ist, da der Dividend nicht immer das Produkt des Divisors durch die ganze Zahl ist. Nachdem wir die Multiplikation mit einem Bruch eingeführt haben, können wir jeden Fall der Division ganzer Zahlen als möglich betrachten (nur die Division durch Null ist ausgeschlossen).

Wenn man beispielsweise 7 durch 12 dividiert, findet man eine Zahl, deren Produkt durch 12 7 ergibt. Eine solche Zahl ist der Bruch 7 / 12, weil 7 / 12 · 12 = 7. Ein weiteres Beispiel: 14: 25 = 14 / 25, weil 14 / 25 25 = 14.

Um also eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl zu dividieren, müssen Sie einen Bruch bilden, dessen Zähler gleich dem Dividenden und dessen Nenner gleich dem Divisor ist.

2. Einen Bruch durch eine ganze Zahl dividieren.

Teilen Sie den Bruch 6 / 7 durch 3. Gemäß der oben gegebenen Divisionsdefinition haben wir hier das Produkt (6 / 7) und einen der Faktoren (3); Es ist erforderlich, einen zweiten Faktor zu finden, der bei Multiplikation mit 3 das gegebene Produkt 6/7 ergeben würde. Offensichtlich sollte es dreimal kleiner sein als dieses Produkt. Das bedeutet, dass die vor uns liegende Aufgabe darin bestand, den Bruch 6/7 um das Dreifache zu reduzieren.

Wir wissen bereits, dass die Reduzierung eines Bruchs entweder durch Verringern seines Zählers oder durch Erhöhen seines Nenners erfolgen kann. Daher können Sie schreiben:

In diesem Fall ist der Zähler 6 durch 3 teilbar, daher sollte der Zähler um das Dreifache reduziert werden.

Nehmen wir ein anderes Beispiel: 5 / 8 geteilt durch 2. Hier ist der Zähler 5 nicht durch 2 teilbar, was bedeutet, dass der Nenner mit dieser Zahl multipliziert werden muss:

Darauf aufbauend lässt sich eine Regel aufstellen: Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, müssen Sie den Zähler des Bruchs durch diese ganze Zahl dividieren.(wenn möglich), Belassen Sie den gleichen Nenner oder multiplizieren Sie den Nenner des Bruchs mit dieser Zahl und lassen Sie den gleichen Zähler übrig.

3. Eine ganze Zahl durch einen Bruch dividieren.

Es sei notwendig, 5 durch 1/2 zu dividieren, d. h. eine Zahl zu finden, die nach Multiplikation mit 1/2 das Produkt 5 ergibt. Offensichtlich muss diese Zahl größer als 5 sein, da 1/2 ein echter Bruch ist , und beim Multiplizieren einer Zahl muss das Produkt eines echten Bruchs kleiner sein als das zu multiplizierende Produkt. Um dies klarer zu machen, schreiben wir unsere Aktionen wie folgt: 5: 1 / 2 = X , was x 1 / 2 = 5 bedeutet.

Wir müssen eine solche Zahl finden X , was, wenn es mit 1/2 multipliziert würde, 5 ergeben würde. Da das Multiplizieren einer bestimmten Zahl mit 1/2 bedeutet, die Hälfte dieser Zahl zu finden, dann also die Hälfte der unbekannten Zahl X ist gleich 5 und die ganze Zahl X doppelt so viel, also 5 2 = 10.

Also 5: 1 / 2 = 5 · 2 = 10

Lass uns das Prüfen:

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Nehmen wir an, Sie möchten 6 durch 2/3 teilen. Versuchen wir zunächst anhand der Zeichnung das gewünschte Ergebnis zu finden (Abb. 19).

Abb.19

Zeichnen wir ein Segment AB mit 6 Einheiten und teilen wir jede Einheit in 3 gleiche Teile. In jeder Einheit sind drei Drittel (3/3) des gesamten Segments AB sechsmal größer, d. h. e. 18/3. Mit kleinen Klammern verbinden wir die 18 resultierenden Segmente, jeweils 2; Es wird nur 9 Segmente geben. Das bedeutet, dass der Bruch 2/3 9-mal in 6 Einheiten enthalten ist, oder anders ausgedrückt, der Bruch 2/3 ist 9-mal kleiner als 6 ganze Einheiten. Somit,

Wie kommt man zu diesem Ergebnis ohne eine Zeichnung allein durch Berechnungen? Lassen Sie uns so argumentieren: Wir müssen 6 durch 2/3 dividieren, d. h. wir müssen die Frage beantworten, wie oft 2/3 in 6 enthalten ist. Lassen Sie uns zunächst herausfinden: Wie oft ist 1/3 in 6 enthalten? In einer ganzen Einheit gibt es 3 Drittel, und in 6 Einheiten sind es 6 mal mehr, also 18 Drittel; Um diese Zahl zu finden, müssen wir 6 mit 3 multiplizieren. Das bedeutet, dass 1/3 18-mal in b-Einheiten enthalten ist und 2/3 nicht 18-mal, sondern halb so oft in b-Einheiten enthalten ist, also 18:2 = 9 Deshalb haben wir bei der Division von 6 durch 2/3 Folgendes getan:

Von hier aus erhalten wir die Regel zum Teilen einer ganzen Zahl durch einen Bruch. Um eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie diese ganze Zahl mit dem Nenner des gegebenen Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen und es durch den Zähler des gegebenen Bruchs dividieren.

Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel vollständig zu verdeutlichen, sollte man bedenken, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 dargelegten Regel zur Division einer Zahl durch einen Quotienten zu vergleichen. Bitte beachten Sie, dass dort die gleiche Formel erhalten wurde.

Beim Dividieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

4. Einen Bruch durch einen Bruch dividieren.

Nehmen wir an, wir müssen 3/4 durch 3/8 teilen. Was bedeutet die Zahl, die sich aus der Division ergibt? Es wird die Frage beantworten, wie oft der Bruch 3/8 im Bruch 3/4 enthalten ist. Um dieses Problem zu verstehen, erstellen wir eine Zeichnung (Abb. 20).

Nehmen wir ein Segment AB, nehmen es als Ganzes, teilen es in 4 gleiche Teile und markieren 3 solcher Teile. Segment AC entspricht 3/4 von Segment AB. Teilen wir nun jedes der vier ursprünglichen Segmente in zwei Hälften, dann wird das Segment AB in 8 gleiche Teile geteilt und jeder dieser Teile entspricht 1/8 des Segments AB. Verbinden wir 3 solcher Segmente mit Bögen, dann ist jedes der Segmente AD und DC gleich 3/8 des Segments AB. Die Zeichnung zeigt, dass ein Segment gleich 3/8 genau zweimal in einem Segment gleich 3/4 enthalten ist; Das bedeutet, dass das Ergebnis der Division wie folgt geschrieben werden kann:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Nehmen wir an, wir müssen 15/16 durch 3/32 teilen:

Wir können so argumentieren: Wir müssen eine Zahl finden, die nach Multiplikation mit 3/32 ein Produkt von 15/16 ergibt. Schreiben wir die Berechnungen so:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 unbekannte Nummer X sind 15/16

1/32 einer unbekannten Zahl X Ist ,

32 / 32 Zahlen X bilden .

Somit,

Um also einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten multiplizieren und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler machen. und der zweite der Nenner.

Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:

Beim Dividieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

5. Division gemischter Zahlen.

Bei der Division gemischter Zahlen müssen diese zunächst in unechte Brüche umgewandelt werden und anschließend müssen die resultierenden Brüche gemäß den Regeln für die Division von Brüchen dividiert werden. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Lassen Sie uns gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln:

Nun lasst uns teilen:

Um gemischte Zahlen zu dividieren, müssen Sie sie also in unechte Brüche umwandeln und dann mit der Regel zum Dividieren von Brüchen dividieren.

6. Finden einer Zahl aus ihrem gegebenen Bruch.

Unter den verschiedenen Bruchproblemen gibt es manchmal solche, bei denen der Wert eines Bruchs einer unbekannten Zahl angegeben ist und Sie diese Zahl finden müssen. Diese Art von Problem ist die Umkehrung des Problems, den Bruchteil einer gegebenen Zahl zu finden; dort wurde eine Zahl angegeben und es galt, einen Bruchteil dieser Zahl zu finden, hier wurde ein Bruchteil einer Zahl angegeben und es galt, diese Zahl selbst zu finden. Diese Idee wird noch klarer, wenn wir uns der Lösung dieser Art von Problemen zuwenden.

Aufgabe 1. Am ersten Tag verglasten die Glaser 50 Fenster, also 1/3 aller Fenster des gebauten Hauses. Wie viele Fenster gibt es in diesem Haus?

Lösung. Das Problem besagt, dass 50 verglaste Fenster 1/3 aller Fenster des Hauses ausmachen, was bedeutet, dass insgesamt dreimal mehr Fenster vorhanden sind, d. h.

Das Haus hatte 150 Fenster.

Aufgabe 2. Der Laden verkaufte 1.500 kg Mehl, was 3/8 des gesamten Mehlvorrats des Ladens entspricht. Wie hoch war der anfängliche Mehlvorrat des Geschäfts?

Lösung. Aus der Problemlage geht hervor, dass 1.500 kg verkauftes Mehl 3/8 des Gesamtbestandes ausmachen; Das bedeutet, dass 1/8 dieser Reserve dreimal weniger ist, d. h. um sie zu berechnen, müssen Sie 1500 um das Dreifache reduzieren:

1.500: 3 = 500 (das ist 1/8 der Reserve).

Offensichtlich wird der gesamte Vorrat achtmal größer sein. Somit,

500 8 = 4.000 (kg).

Der anfängliche Mehlvorrat im Lager betrug 4.000 kg.

Aus der Betrachtung dieses Problems lässt sich die folgende Regel ableiten.

Um aus einem gegebenen Wert seines Bruchs eine Zahl zu ermitteln, genügt es, diesen Wert durch den Zähler des Bruchs zu dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs zu multiplizieren.

Wir haben zwei Probleme beim Finden einer Zahl mit gegebenem Bruch gelöst. Solche Probleme werden, wie aus dem letzten besonders deutlich hervorgeht, durch zwei Aktionen gelöst: Division (wenn ein Teil gefunden wird) und Multiplikation (wenn die ganze Zahl gefunden wird).

Nachdem wir jedoch die Division von Brüchen gelernt haben, können die oben genannten Probleme mit einer Aktion gelöst werden, nämlich: Division durch einen Bruch.

Die letzte Aufgabe kann beispielsweise in einer Aktion wie folgt gelöst werden:

In Zukunft werden wir Probleme lösen, eine Zahl aus ihrem Bruch mit einer Aktion zu finden – der Division.

7. Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln.

Bei diesen Aufgaben müssen Sie eine Zahl finden, die einige Prozent dieser Zahl kennt.

Aufgabe 1. Anfang dieses Jahres habe ich 60 Rubel von der Sparkasse erhalten. Einnahmen aus dem Betrag, den ich vor einem Jahr angespart habe. Wie viel Geld habe ich bei der Sparkasse eingezahlt? (Die Kassen geben den Einlegern eine Rendite von 2 % pro Jahr.)

Der Sinn des Problems besteht darin, dass ich einen bestimmten Geldbetrag auf eine Sparkasse gelegt habe und dort ein Jahr geblieben bin. Nach einem Jahr erhielt ich 60 Rubel von ihr. Einkommen, das 2/100 des Geldes beträgt, das ich eingezahlt habe. Wie viel Geld habe ich eingezahlt?

Wenn wir also einen Teil dieses Geldes kennen, der auf zwei Arten ausgedrückt wird (in Rubel und Bruchteilen), müssen wir den gesamten, noch unbekannten Betrag ermitteln. Dies ist ein gewöhnliches Problem beim Finden einer Zahl mit gegebenem Bruchteil. Folgende Probleme werden durch Division gelöst:

Das bedeutet, dass 3.000 Rubel bei der Sparkasse eingezahlt wurden.

Aufgabe 2. Die Fischer erfüllten den Monatsplan in zwei Wochen um 64 % und ernteten 512 Tonnen Fisch. Was war ihr Plan?

Aus den Bedingungen des Problems geht hervor, dass die Fischer einen Teil des Plans umgesetzt haben. Dieser Teil entspricht 512 Tonnen, was 64 % des Plans entspricht. Wir wissen nicht, wie viele Tonnen Fisch laut Plan zubereitet werden müssen. Das Finden dieser Nummer wird die Lösung des Problems sein.

Solche Probleme werden durch Division gelöst:

Das bedeutet, dass laut Plan 800 Tonnen Fisch zubereitet werden müssen.

Aufgabe 3. Der Zug fuhr von Riga nach Moskau. Als er den 276. Kilometer hinter sich hatte, fragte einer der Passagiere einen vorbeikommenden Schaffner, wie viel von der Strecke sie bereits zurückgelegt hätten. Darauf antwortete der Schaffner: „Wir haben bereits 30 % der gesamten Fahrt zurückgelegt.“ Wie weit ist es von Riga nach Moskau?

Aus den Problembedingungen geht hervor, dass 30 % der Strecke von Riga nach Moskau 276 km lang sind. Wir müssen die gesamte Entfernung zwischen diesen Städten ermitteln, d. h. für diesen Teil das Ganze:

§ 91. Reziproke Zahlen. Division durch Multiplikation ersetzen.

Nehmen wir den Bruch 2/3 und ersetzen wir den Zähler durch den Nenner, wir erhalten 3/2. Wir haben die Umkehrung dieses Bruchs erhalten.

Um den Kehrwert eines bestimmten Bruchs zu erhalten, müssen Sie seinen Zähler anstelle des Nenners und den Nenner anstelle des Zählers einsetzen. Auf diese Weise können wir den Kehrwert eines beliebigen Bruchs ermitteln. Zum Beispiel:

3/4, umgekehrt 4/3; 5/6, umgekehrt 6/5

Man nennt zwei Brüche, die die Eigenschaft haben, dass der Zähler des ersten der Nenner des zweiten und der Nenner des ersten der Zähler des zweiten ist gegenseitig umgekehrt.

Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, welcher Bruch der Kehrwert von 1/2 sein wird. Offensichtlich wird es 2 / 1 sein, oder einfach 2. Indem wir nach dem Umkehrbruch der gegebenen Eins suchen, erhalten wir eine ganze Zahl. Und dieser Fall ist kein Einzelfall; im Gegenteil, für alle Brüche mit einem Zähler von 1 (eins) sind die Kehrwerte ganze Zahlen, zum Beispiel:

1/3, rückwärts 3; 1/5, umgekehrt 5

Da wir bei der Suche nach Kehrbrüchen auch auf ganze Zahlen gestoßen sind, werden wir im Folgenden nicht von Kehrbrüchen, sondern von Kehrzahlen sprechen.

Lassen Sie uns herausfinden, wie man die Umkehrung einer ganzen Zahl schreibt. Bei Brüchen kann dies einfach gelöst werden: Sie müssen den Nenner anstelle des Zählers einsetzen. Auf die gleiche Weise können Sie die Umkehrung einer ganzen Zahl erhalten, da jede ganze Zahl einen Nenner von 1 haben kann. Das bedeutet, dass die Umkehrung von 7 1/7 sein wird, weil 7 = 7/1; für die Zahl 10 ist die Umkehrung 1/10, da 10 = 10/1

Diese Idee kann anders ausgedrückt werden: Den Kehrwert einer gegebenen Zahl erhält man, indem man eins durch eine gegebene Zahl dividiert. Diese Aussage gilt nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche. Wenn wir tatsächlich die Umkehrung des Bruchs 5/9 schreiben müssen, können wir 1 nehmen und durch 5/9 dividieren, d. h.

Lassen Sie uns nun auf eines hinweisen Eigentum reziproke Zahlen, die für uns nützlich sein werden: Das Produkt der reziproken Zahlen ist gleich eins. Tatsächlich:

Mit dieser Eigenschaft können wir Kehrzahlen auf folgende Weise ermitteln. Nehmen wir an, wir müssen die Umkehrung von 8 finden.

Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben X , dann 8 X = 1, also X = 1/8. Suchen wir eine andere Zahl, die die Umkehrung von 7/12 ist, und bezeichnen sie mit dem Buchstaben X , dann 7/12 X = 1, also X = 1: 7 / 12 oder X = 12 / 7 .

Wir haben hier das Konzept der Kehrzahlen eingeführt, um die Informationen zum Teilen von Brüchen etwas zu ergänzen.

Wenn wir die Zahl 6 durch 3/5 teilen, machen wir Folgendes:

Achten Sie besonders auf den Ausdruck und vergleichen Sie ihn mit dem angegebenen: .

Wenn wir den Ausdruck separat nehmen, ohne Verbindung zum vorherigen, ist es unmöglich, die Frage zu lösen, woher er kommt: aus der Division von 6 durch 3/5 oder aus der Multiplikation von 6 mit 5/3. In beiden Fällen passiert das Gleiche. Deshalb können wir sagen dass die Division einer Zahl durch eine andere durch Multiplikation des Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors ersetzt werden kann.

Die unten aufgeführten Beispiele bestätigen diese Schlussfolgerung voll und ganz.

Mit Brüchen kann man alles machen, auch Division. Dieser Artikel zeigt die Division gewöhnlicher Brüche. Es werden Definitionen gegeben und Beispiele besprochen. Lassen Sie uns ausführlich auf die Division von Brüchen durch natürliche Zahlen eingehen und umgekehrt. Die Division eines gewöhnlichen Bruchs durch eine gemischte Zahl wird besprochen.

Brüche dividieren

Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Beim Dividieren wird der unbekannte Faktor mit dem bekannten Produkt eines anderen Faktors gefunden, wobei seine gegebene Bedeutung bei gewöhnlichen Brüchen erhalten bleibt.

Wenn es notwendig ist, einen gemeinsamen Bruch a b durch c d zu dividieren, müssen Sie zur Bestimmung einer solchen Zahl mit dem Teiler c d multiplizieren, was letztendlich den Dividenden a b ergibt. Nehmen wir eine Zahl und schreiben wir sie a b · d c , wobei d c der Kehrwert der Zahl c d ist. Gleichungen können mithilfe der Eigenschaften der Multiplikation geschrieben werden, nämlich: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, wobei der Ausdruck a b · d c der Quotient aus der Division von a b durch c d ist.

Von hier aus erhalten und formulieren wir die Regel für die Division gewöhnlicher Brüche:

Definition 1

Um einen gemeinsamen Bruch a b durch c d zu dividieren, müssen Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Schreiben wir die Regel in Form eines Ausdrucks: a b: c d = a b · d c

Die Divisionsregeln beschränken sich auf die Multiplikation. Um dabei zu bleiben, müssen Sie ein gutes Verständnis für die Multiplikation von Brüchen haben.

Kommen wir nun zur Betrachtung der Division gewöhnlicher Brüche.

Beispiel 1

Teilen Sie 9 7 durch 5 3. Schreiben Sie das Ergebnis als Bruch.

Lösung

Die Zahl 5 3 ist der Kehrwert 3 5. Es ist notwendig, die Regel zum Teilen gewöhnlicher Brüche zu verwenden. Wir schreiben diesen Ausdruck wie folgt: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Antwort: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Trennen Sie beim Kürzen von Brüchen den ganzen Teil ab, wenn der Zähler größer als der Nenner ist.

Beispiel 2

Teilen Sie 8 15: 24 65. Schreiben Sie die Antwort als Bruch.

Lösung

Zum Lösen müssen Sie von der Division zur Multiplikation übergehen. Schreiben wir es in dieser Form: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Es ist eine Reduzierung erforderlich, und zwar wie folgt: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Wählen Sie den gesamten Teil aus und erhalten Sie 13 9 = 1 4 9.

Antwort: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Einen außergewöhnlichen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren

Wir verwenden die Regel zum Teilen eines Bruchs durch eine natürliche Zahl: Um a b durch eine natürliche Zahl n zu teilen, müssen Sie nur den Nenner mit n multiplizieren. Von hier aus erhalten wir den Ausdruck: a b: n = a b · n.

Die Divisionsregel ist eine Folge der Multiplikationsregel. Daher ergibt die Darstellung einer natürlichen Zahl als Bruch eine Gleichheit dieser Art: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Betrachten Sie diese Division eines Bruchs durch eine Zahl.

Beispiel 3

Teilen Sie den Bruch 16 45 durch die Zahl 12.

Lösung

Wenden wir die Regel zum Teilen eines Bruchs durch eine Zahl an. Wir erhalten einen Ausdruck der Form 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Reduzieren wir den Bruch. Wir erhalten 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Antwort: 16 45: 12 = 4 135 .

Division einer natürlichen Zahl durch einen Bruch

Die Divisionsregel ist ähnlich Ö die Regel zum Teilen einer natürlichen Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch: Um eine natürliche Zahl n durch einen gewöhnlichen Bruch a b zu teilen, ist es notwendig, die Zahl n mit dem Kehrwert des Bruchs a b zu multiplizieren.

Basierend auf der Regel gilt n: a b = n · b a, und dank der Regel der Multiplikation einer natürlichen Zahl mit einem gewöhnlichen Bruch erhalten wir unseren Ausdruck in der Form n: a b = n · b a. Es ist notwendig, diese Aufteilung anhand eines Beispiels zu betrachten.

Beispiel 4

Teilen Sie 25 durch 15 28.

Lösung

Wir müssen von der Division zur Multiplikation übergehen. Schreiben wir es in Form des Ausdrucks 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Reduzieren wir den Bruch und erhalten das Ergebnis in Form des Bruchs 46 2 3.

Antwort: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Einen Bruch durch eine gemischte Zahl dividieren

Wenn Sie einen gewöhnlichen Bruch durch eine gemischte Zahl dividieren, können Sie leicht mit der Division gemeinsamer Brüche beginnen. Sie müssen eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln.

Beispiel 5

Teilen Sie den Bruch 35 16 durch 3 1 8.

Lösung

Da 3 1 8 eine gemischte Zahl ist, stellen wir sie als unechten Bruch dar. Dann erhalten wir 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Nun lasst uns Brüche dividieren. Wir erhalten 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Antwort: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Das Dividieren einer gemischten Zahl erfolgt auf die gleiche Weise wie bei gewöhnlichen Zahlen.

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In diesem Artikel werden wir herausfinden, wie Division gemischter Zahlen. Lassen Sie uns zunächst die Regel zum Dividieren gemischter Zahlen skizzieren und Lösungen für Beispiele betrachten. Als nächstes konzentrieren wir uns auf die Division einer gemischten Zahl durch eine natürliche Zahl und die Division einer natürlichen Zahl durch eine gemischte Zahl. Schauen wir uns abschließend an, wie man eine gemischte Zahl durch einen gemeinsamen Bruch dividiert.

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Eine gemischte Zahl durch eine gemischte Zahl dividieren

Division gemischter Zahlen kann auf die Division gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Dazu genügt es, gemischte Zahlen in unechte Brüche umzuwandeln.

Schreiben wir es auf Regel zur Division gemischter Zahlen: Um eine gemischte Zahl durch eine gemischte Zahl zu dividieren, müssen Sie Folgendes tun:

• Teilen Sie die entsprechenden gewöhnlichen Brüche.

Es bleibt noch ein Beispiel für die Division gemischter Zahlen zu betrachten.

Beispiel.

Was ergibt die Division einer gemischten Zahl durch eine gemischte Zahl?

Lösung.

Um die Division gemischter Zahlen auf die Division gewöhnlicher Brüche zu reduzieren, wandeln wir gemischte Zahlen in unechte Brüche um, wir erhalten Und .

Auf diese Weise, . Wenden wir nun die Regel zur Division gewöhnlicher Brüche an: . In diesem Stadium können Sie den Bruch reduzieren: . Damit ist die Division gemischter Zahlen abgeschlossen.

Antwort:

.

Division einer gemischten Zahl durch eine natürliche Zahl

Division einer gemischten Zahl durch eine natürliche Zahl führt zur Division eines gewöhnlichen Bruchs durch eine natürliche Zahl. Dazu genügt es, die zu dividierende gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln.

Beispiel.

Teilen Sie die gemischte Zahl durch die natürliche Zahl 75.

Lösung.

Zuerst gehen wir von einer gemischten Zahl zu einem unechten Bruch über: , Dann . Es bleibt noch, den gewöhnlichen Bruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren: . Nach der Reduktion erhalten wir den Bruch 1/20, der der Quotient aus der Division einer gemischten Zahl durch die natürliche Zahl 75 ist.

Antwort:

Division einer natürlichen Zahl durch eine gemischte Zahl

Division einer natürlichen Zahl durch eine gemischte Zahl Nach dem Ersetzen einer gemischten Zahl durch einen unechten Bruch reduziert sich das Verfahren auf die Division einer natürlichen Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch. Schauen wir uns zur Verdeutlichung die Lösung des Beispiels an.

Beispiel.

Teilen Sie die natürliche Zahl 40 durch eine gemischte Zahl.

Lösung.

Stellen wir zunächst die gemischte Zahl als unechten Bruch dar: .

Jetzt können wir mit der Division fortfahren, wir erhalten . Der resultierende Bruch ist irreduzibel (siehe reduzierbare und irreduzible Brüche), aber unechten, sodass Sie den gesamten Teil davon trennen müssen, wir haben . Damit ist die Division einer natürlichen Zahl durch eine gemischte Zahl abgeschlossen.