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Anmerkung 1

Eine boolesche Funktion kann mithilfe eines booleschen Ausdrucks geschrieben und dann in eine Logikschaltung verschoben werden. Es ist notwendig, logische Ausdrücke zu vereinfachen, um eine möglichst einfache (und damit kostengünstigere) logische Schaltung zu erhalten. Tatsächlich sind eine logische Funktion, ein logischer Ausdruck und ein logischer Schaltkreis drei verschiedene Sprachen, die über eine Entität sprechen.

Um logische Ausdrücke zu vereinfachen, verwenden Sie Gesetze der Algebra-Logik.

Einige Transformationen ähneln Transformationen von Formeln in der klassischen Algebra (Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Verwendung von Kommutativ- und Kombinationsgesetzen usw.), während andere Transformationen auf Eigenschaften basieren, die die Operationen der klassischen Algebra nicht haben (unter Verwendung des Distributivs). Konjunktionsgesetz, Absorptionsgesetz, Klebegesetz, De-Morgan-Regeln usw.).

Die Gesetze der logischen Algebra sind für grundlegende logische Operationen formuliert – „NICHT“ – Umkehrung (Negation), „UND“ – Konjunktion (logische Multiplikation) und „ODER“ – Disjunktion (logische Addition).

Das Gesetz der doppelten Negation bedeutet, dass die „NOT“-Operation umkehrbar ist: Wenn Sie sie zweimal anwenden, ändert sich am Ende der logische Wert nicht.

Das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte besagt, dass jeder logische Ausdruck entweder wahr oder falsch ist („es gibt keinen Dritten“). Wenn also $A=1$, dann ist $\bar(A)=0$ (und umgekehrt), was bedeutet, dass die Konjunktion dieser Größen immer gleich Null und die Disjunktion immer gleich Eins ist.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Vereinfachen wir diese Formel:

Figur 3.

Daraus folgt, dass $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Antwort: Die Schüler $B$, $C$ und $D$ spielen Schach, aber Schüler $A$ spielt nicht.

Beim Vereinfachen logischer Ausdrücke können Sie die folgende Abfolge von Aktionen ausführen:

1. Ersetzen Sie alle „nicht-grundlegenden“ Operationen (Äquivalenz, Implikation, Exklusiv-ODER usw.) durch ihre Ausdrücke durch die Grundoperationen Inversion, Konjunktion und Disjunktion.
2. Erweitern Sie Inversionen komplexer Ausdrücke nach den Regeln von De Morgan so, dass Negationsoperationen nur für einzelne Variablen übrig bleiben.
3. Vereinfachen Sie dann den Ausdruck, indem Sie Klammern öffnen, gemeinsame Faktoren außerhalb der Klammern platzieren und andere Gesetze der logischen Algebra anwenden.

Beispiel 2

Hier werden nacheinander die De-Morgan-Regel, das Verteilungsgesetz, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, das Kommutativgesetz, das Wiederholungsgesetz, wiederum das Kommutativgesetz und das Absorptionsgesetz verwendet.

Ein algebraischer Ausdruck, in dem neben den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation auch die Division in Buchstabenausdrücke verwendet wird, wird als gebrochener algebraischer Ausdruck bezeichnet. Das sind zum Beispiel die Ausdrücke

Wir nennen einen algebraischen Bruch einen algebraischen Ausdruck, der die Form eines Quotienten aus der Division zweier ganzzahliger algebraischer Ausdrücke (z. B. Monome oder Polynome) hat. Das sind zum Beispiel die Ausdrücke

Der dritte der Ausdrücke).

Identische Transformationen gebrochener algebraischer Ausdrücke zielen meist darauf ab, sie in Form eines algebraischen Bruchs darzustellen. Um den gemeinsamen Nenner zu finden, wird die Faktorisierung der Nenner von Brüchen verwendet – Begriffe, um ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches zu finden. Beim Reduzieren algebraischer Brüche kann die strikte Identität von Ausdrücken verletzt werden: Es müssen Werte von Mengen ausgeschlossen werden, bei denen der Faktor, um den die Reduzierung erfolgt, Null wird.

Lassen Sie uns Beispiele für identische Transformationen gebrochener algebraischer Ausdrücke geben.

Beispiel 1: Einen Ausdruck vereinfachen

Alle Terme können auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden (es ist zweckmäßig, das Vorzeichen im Nenner des letzten Termes und das Vorzeichen davor zu ändern):

Unser Ausdruck ist für alle Werte außer diesen Werten gleich eins; er ist undefiniert und das Reduzieren des Bruchs ist illegal.

Beispiel 2. Stellen Sie den Ausdruck als algebraischen Bruch dar

Lösung. Der Ausdruck kann als gemeinsamer Nenner verstanden werden. Wir finden nacheinander:

Übungen

1. Finden Sie die Werte algebraischer Ausdrücke für die angegebenen Parameterwerte:

2. Faktorisieren.

Betrachten wir das Thema der Transformation von Ausdrücken mit Potenzen, verweilen wir aber zunächst bei einer Reihe von Transformationen, die mit beliebigen Ausdrücken, einschließlich Potenzausdrücken, durchgeführt werden können. Wir lernen, wie man Klammern öffnet, ähnliche Begriffe hinzufügt, mit Basen und Exponenten arbeitet und die Eigenschaften von Potenzen nutzt.

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Was sind Machtausdrücke?

In Schulkursen verwenden nur wenige Menschen den Ausdruck „kraftvolle Ausdrücke“, aber dieser Begriff findet sich ständig in Sammlungen zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. In den meisten Fällen bezeichnet eine Phrase Ausdrücke, deren Einträge Grade enthalten. Dies werden wir in unserer Definition widerspiegeln.

Definition 1

Machtausdruck ist ein Ausdruck, der Grade enthält.

Lassen Sie uns einige Beispiele für Potenzausdrücke geben, beginnend mit einer Potenz mit einem natürlichen Exponenten und endend mit einer Potenz mit einem reellen Exponenten.

Die einfachsten Potenzausdrücke können als Potenzen einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten betrachtet werden: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Und auch Potenzen mit Nullexponenten: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Und Potenzen mit negativen ganzzahligen Potenzen: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Es ist etwas schwieriger, mit einem Grad zu arbeiten, der rationale und irrationale Exponenten hat: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Der Indikator kann die Variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oder der Logarithmus sein x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke sind. Beginnen wir nun mit der Konvertierung.

Haupttypen der Transformationen von Machtausdrücken

Zunächst betrachten wir die grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken, die mit Potenzausdrücken durchgeführt werden können.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Wert eines Potenzausdrucks 2 3 (4 2 − 12).

Lösung

Wir werden alle Transformationen in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der Aktionen durchführen. In diesem Fall führen wir zunächst die Aktionen in Klammern aus: Wir ersetzen den Grad durch einen digitalen Wert und berechnen die Differenz zweier Zahlen. Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Wir müssen lediglich den Abschluss ersetzen 2 3 es bedeutet 8 und berechne das Produkt 8 4 = 32. Hier ist unsere Antwort.

Antwort: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Beispiel 2

Vereinfachen Sie den Ausdruck mit Potenzen 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Lösung

Der uns in der Problemstellung gegebene Ausdruck enthält ähnliche Begriffe, die wir angeben können: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Antwort: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Beispiel 3

Drücken Sie den Ausdruck mit den Potenzen 9 - b 3 · π - 1 2 als Produkt aus.

Lösung

Stellen wir uns die Zahl 9 als eine Kraft vor 3 2 und wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel an:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antwort: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Kommen wir nun zur Analyse von Identitätstransformationen, die speziell auf Machtausdrücke angewendet werden können.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Der Grad in der Basis oder im Exponenten kann Zahlen, Variablen und einige Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Und . Die Arbeit mit solchen Aufzeichnungen ist schwierig. Es ist viel einfacher, den Ausdruck in der Basis des Grades oder den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck zu ersetzen.

Grad- und Exponententransformationen werden nach den uns bekannten Regeln getrennt voneinander durchgeführt. Das Wichtigste ist, dass die Transformation zu einem Ausdruck führt, der mit dem Original identisch ist.

Der Zweck von Transformationen besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen oder eine Lösung für das Problem zu erhalten. Im Beispiel oben (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 können Sie beispielsweise die Schritte befolgen, um zum Grad zu gelangen 4 , 1 1 , 3 . Durch Öffnen der Klammern können wir ähnliche Begriffe zur Basis der Potenz darstellen (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) und erhalten Sie einen Leistungsausdruck einer einfacheren Form a 2 (x + 1).

Verwenden von Abschlusseigenschaften

Eigenschaften von Potenzen, geschrieben in Form von Gleichheiten, sind eines der Hauptwerkzeuge zur Transformation von Ausdrücken mit Potenzen. Unter Berücksichtigung dessen stellen wir hier die wichtigsten vor A Und B sind beliebige positive Zahlen, und R Und S- beliebige reelle Zahlen:

Definition 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

In Fällen, in denen es sich um natürliche, ganzzahlige, positive Exponenten handelt, können die Einschränkungen für die Zahlen a und b viel weniger streng sein. Wenn wir zum Beispiel die Gleichheit betrachten am · a n = am + n, Wo M Und N natürliche Zahlen sind, dann gilt dies für alle Werte von a, sowohl positiv als auch negativ, sowie für a = 0.

Die Eigenschaften von Potenzen können uneingeschränkt verwendet werden, wenn die Basen der Potenzen positiv sind oder Variablen enthalten, deren zulässiger Wertebereich so groß ist, dass die Basen darauf nur positive Werte annehmen. Tatsächlich besteht die Aufgabe des Schülers im Mathematiklehrplan der Schule darin, eine geeignete Eigenschaft auszuwählen und sie richtig anzuwenden.

Bei der Vorbereitung auf den Hochschulzugang können Probleme auftreten, bei denen eine ungenaue Anwendung von Eigenschaften zu einer Einengung des DL und anderen Lösungsschwierigkeiten führt. In diesem Abschnitt werden wir nur zwei solcher Fälle untersuchen. Weitere Informationen zum Thema finden Sie im Thema „Ausdrücke mithilfe von Potenzeigenschaften umwandeln“.

Beispiel 4

Stellen Sie sich den Ausdruck vor a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 in Form einer Macht mit einer Basis A.

Lösung

Zuerst nutzen wir die Eigenschaft der Potenzierung und transformieren damit den zweiten Faktor (a 2) − 3. Dann nutzen wir die Eigenschaften der Multiplikation und Potenzteilung mit gleicher Basis:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Antwort: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Die Transformation von Potenzausdrücken entsprechend der Potenzeigenschaft kann sowohl von links nach rechts als auch in die entgegengesetzte Richtung erfolgen.

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Lösung

Wenn wir Gleichheit anwenden (a · b) r = a r · b r Von rechts nach links erhalten wir ein Produkt der Form 3 · 7 1 3 · 21 2 3 und dann 21 1 3 · 21 2 3 . Addieren wir die Exponenten bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Transformation durchzuführen:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antwort: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Beispiel 6

Gegeben ein Machtausdruck a 1, 5 − a 0, 5 − 6, geben Sie eine neue Variable ein t = a 0,5.

Lösung

Stellen wir uns den Abschluss vor eine 1, 5 Wie ein 0,5 3. Verwendung der Eigenschaft von Grad zu Grad (a r) s = a r · s von rechts nach links und wir erhalten (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Sie können problemlos eine neue Variable in den resultierenden Ausdruck einfügen t = a 0,5: wir bekommen t 3 − t − 6.

Antwort: t 3 − t − 6 .

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Normalerweise haben wir es mit zwei Versionen von Potenzausdrücken mit Brüchen zu tun: Der Ausdruck stellt einen Bruch mit einer Potenz dar oder enthält einen solchen Bruch. Alle grundlegenden Transformationen von Brüchen sind ohne Einschränkungen auf solche Ausdrücke anwendbar. Sie können reduziert, auf einen neuen Nenner gebracht oder getrennt mit Zähler und Nenner bearbeitet werden. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 7

Vereinfachen Sie den Potenzausdruck 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Lösung

Da es sich um einen Bruch handelt, führen wir Transformationen sowohl im Zähler als auch im Nenner durch:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Setzen Sie ein Minuszeichen vor den Bruch, um das Vorzeichen des Nenners zu ändern: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antwort: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brüche, die Potenzen enthalten, werden auf die gleiche Weise wie rationale Brüche auf einen neuen Nenner reduziert. Dazu müssen Sie einen zusätzlichen Faktor finden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren. Es ist notwendig, einen zusätzlichen Faktor so auszuwählen, dass er für keine Werte von Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck auf Null geht.

Beispiel 8

Reduziere die Brüche auf einen neuen Nenner: a) a + 1 a 0, 7 zum Nenner A, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 zum Nenner x + 8 · y 1 2 .

Lösung

a) Wählen wir einen Faktor aus, der es uns ermöglicht, auf einen neuen Nenner zu reduzieren. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, Daher werden wir als zusätzlichen Faktor berücksichtigen a 0 , 3. Der Bereich zulässiger Werte der Variablen a umfasst die Menge aller positiven reellen Zahlen. Abschluss in diesem Bereich a 0 , 3 geht nicht auf Null.

Lassen Sie uns Zähler und Nenner eines Bruchs mit multiplizieren a 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Achten wir auf den Nenner:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplizieren wir diesen Ausdruck mit x 1 3 + 2 · y 1 6, erhalten wir die Summe der Würfel x 1 3 und 2 · y 1 6, d.h. x + 8 · y 1 2 . Dies ist unser neuer Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch reduzieren müssen.

So haben wir den zusätzlichen Faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 gefunden. Zum Bereich zulässiger Werte von Variablen X Und j der Ausdruck x 1 3 + 2 y 1 6 verschwindet nicht, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Antwort: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Beispiel 9

Reduziere den Bruch: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Lösung

a) Wir verwenden den größten gemeinsamen Nenner (GCD), mit dem wir Zähler und Nenner reduzieren können. Für die Zahlen 30 und 45 sind es 15. Wir können auch eine Reduzierung vornehmen um x0,5+1 und auf x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Wir bekommen:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Hier ist das Vorhandensein identischer Faktoren nicht offensichtlich. Sie müssen einige Transformationen durchführen, um im Zähler und im Nenner die gleichen Faktoren zu erhalten. Dazu erweitern wir den Nenner mithilfe der Quadratdifferenzformel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Antwort: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Zu den Grundoperationen mit Brüchen gehören das Umwandeln von Brüchen in einen neuen Nenner und das Reduzieren von Brüchen. Beide Aktionen werden unter Einhaltung einer Reihe von Regeln durchgeführt. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen werden zunächst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert und anschließend mit den Zählern Operationen (Addition oder Subtraktion) durchgeführt. Der Nenner bleibt derselbe. Das Ergebnis unserer Handlungen ist ein neuer Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist.

Beispiel 10

Führen Sie die Schritte x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 aus.

Lösung

Beginnen wir mit der Subtraktion der in Klammern stehenden Brüche. Bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Subtrahieren wir die Zähler:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Jetzt multiplizieren wir die Brüche:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Reduzieren wir um eine Potenz x 1 2 erhalten wir 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Darüber hinaus können Sie den Potenzausdruck im Nenner vereinfachen, indem Sie die Differenzquadratformel verwenden: Quadrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Antwort: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Beispiel 11

Vereinfachen Sie den Potenzgesetzausdruck x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Lösung

Wir können den Bruch reduzieren um (x 2 , 7 + 1) 2. Wir erhalten den Bruch x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Fahren wir mit der Transformation der Potenzen von x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 fort. Jetzt können Sie die Eigenschaft nutzen, Potenzen mit den gleichen Basen zu dividieren: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Wir bewegen uns vom letzten Produkt zum Bruch x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Antwort: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

In den meisten Fällen ist es bequemer, Faktoren mit negativem Exponenten vom Zähler auf den Nenner und zurück zu übertragen und dabei das Vorzeichen des Exponenten zu ändern. Mit dieser Aktion können Sie die weitere Entscheidung vereinfachen. Geben wir ein Beispiel: Der Potenzausdruck (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 kann durch x 3 · (x + 1) 0, 2 ersetzt werden.

Ausdrücke mit Wurzeln und Potenzen umwandeln

In Problemen gibt es Potenzausdrücke, die nicht nur Potenzen mit gebrochenem Exponenten, sondern auch Wurzeln enthalten. Es empfiehlt sich, solche Ausdrücke nur auf Wurzeln oder nur auf Potenzen zu reduzieren. Es ist vorzuziehen, einen Abschluss zu erwerben, da dieser einfacher zu handhaben ist. Dieser Übergang ist besonders dann zu bevorzugen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf den Modul zugreifen oder die ODZ in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen.

Beispiel 12

Drücken Sie den Ausdruck x 1 9 · x · x 3 6 als Potenz aus.

Lösung

Bereich zulässiger Variablenwerte X wird durch zwei Ungleichungen definiert x ≥ 0 und x x 3 ≥ 0, die die Menge definieren [ 0 , + ∞) .

Auf diesem Set haben wir das Recht, von Wurzeln zu Potenzen zu wechseln:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Mithilfe der Eigenschaften von Potenzen vereinfachen wir den resultierenden Potenzausdruck.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antwort: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Potenzen mit Variablen im Exponenten umrechnen

Diese Transformationen sind recht einfach durchzuführen, wenn Sie die Eigenschaften des Grades richtig verwenden. Zum Beispiel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Wir können es durch das Produkt von Potenzen ersetzen, deren Exponenten die Summe einer Variablen und einer Zahl sind. Auf der linken Seite kann dies mit dem ersten und letzten Term der linken Seite des Ausdrucks erfolgen:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Teilen wir nun beide Seiten der Gleichung durch 7 2 x. Dieser Ausdruck für die Variable x nimmt nur positive Werte an:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Reduzieren wir Brüche mit Potenzen, erhalten wir: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zu der Gleichung 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 führt, was äquivalent zu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x ist - 2 = 0 .

Wir führen eine neue Variable t = 5 7 x ein, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 reduziert.

Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen umwandeln

Ausdrücke, die Potenzen und Logarithmen enthalten, kommen auch in Aufgaben vor. Ein Beispiel für solche Ausdrücke ist: 1 4 1 - 5 · log 2 3 oder log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Die Transformation solcher Ausdrücke erfolgt mit den oben diskutierten Ansätzen und Eigenschaften von Logarithmen, die wir im Thema „Transformation logarithmischer Ausdrücke“ ausführlich besprochen haben.

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In jeder Sprache können Sie dieselben Informationen in verschiedenen Wörtern und Ausdrücken ausdrücken. Die mathematische Sprache ist keine Ausnahme. Derselbe Ausdruck kann jedoch auf unterschiedliche Weise äquivalent geschrieben werden. Und in manchen Situationen ist einer der Einträge einfacher. In dieser Lektion werden wir über die Vereinfachung von Ausdrücken sprechen.

Menschen kommunizieren in verschiedenen Sprachen. Ein für uns wichtiger Vergleich ist das Paar „Russische Sprache – mathematische Sprache“. Dieselben Informationen können in verschiedenen Sprachen kommuniziert werden. Darüber hinaus kann es in einer Sprache jedoch auf unterschiedliche Weise ausgesprochen werden.

Zum Beispiel: „Petya ist mit Vasya befreundet“, „Vasya ist mit Petya befreundet“, „Petya und Vasya sind Freunde“. Anders ausgedrückt, aber das Gleiche. Aus jedem dieser Sätze würden wir verstehen, wovon wir sprechen.

Schauen wir uns diesen Satz an: „Der Junge Petja und der Junge Wasja sind Freunde.“ Wir verstehen, wovon wir reden. Allerdings gefällt uns der Klang dieses Satzes nicht. Können wir es nicht vereinfachen, das Gleiche sagen, aber einfacher? „Junge und Junge“ – man kann einmal sagen: „Die Jungs Petya und Vasya sind Freunde.“

„Jungs“... Geht aus ihren Namen nicht klar hervor, dass es sich nicht um Mädchen handelt? Wir entfernen die „Jungs“: „Petya und Vasya sind Freunde.“ Und das Wort „Freunde“ kann durch „Freunde“ ersetzt werden: „Petya und Vasya sind Freunde.“ Infolgedessen wurde der erste, lange, hässliche Satz durch eine gleichwertige Aussage ersetzt, die einfacher auszusprechen und leichter zu verstehen ist. Wir haben diesen Satz vereinfacht. Vereinfachen bedeutet, es einfacher auszudrücken, aber die Bedeutung nicht zu verlieren oder zu verzerren.

In der mathematischen Sprache passiert ungefähr das Gleiche. Man kann ein und dasselbe sagen, aber auch anders schreiben. Was bedeutet es, einen Ausdruck zu vereinfachen? Das bedeutet, dass es zum ursprünglichen Ausdruck viele äquivalente Ausdrücke gibt, also solche, die dasselbe bedeuten. Und aus all dieser Vielfalt müssen wir unserer Meinung nach die einfachste oder für unsere weiteren Zwecke am besten geeignete auswählen.

Betrachten Sie beispielsweise den numerischen Ausdruck. Es wird äquivalent sein.

Es wird auch den ersten beiden entsprechen: .

Es stellt sich heraus, dass wir unsere Ausdrücke vereinfacht und den kürzesten äquivalenten Ausdruck gefunden haben.

Bei numerischen Ausdrücken müssen Sie immer alles tun, um den entsprechenden Ausdruck als einzelne Zahl zu erhalten.

Schauen wir uns ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck an . Natürlich wird es einfacher sein.

Beim Vereinfachen von Literalausdrücken müssen alle möglichen Aktionen ausgeführt werden.

Ist es immer notwendig, einen Ausdruck zu vereinfachen? Nein, manchmal ist es für uns bequemer, einen gleichwertigen, aber längeren Eintrag zu haben.

Beispiel: Sie müssen eine Zahl von einer Zahl subtrahieren.

Es ist möglich, eine Berechnung durchzuführen, aber wenn die erste Zahl durch die entsprechende Schreibweise dargestellt würde: , dann würden die Berechnungen sofort erfolgen: .

Das heißt, ein vereinfachter Ausdruck ist für uns für weitere Berechnungen nicht immer von Vorteil.

Dennoch stehen wir sehr oft vor einer Aufgabe, die einfach nach „Vereinfachung des Ausdrucks“ klingt.

Den Ausdruck vereinfachen: .

Lösung

1) Führen Sie die Aktionen in der ersten und zweiten Klammer aus: .

2) Berechnen wir die Produkte: .

Offensichtlich hat der letzte Ausdruck eine einfachere Form als der Anfangsausdruck. Wir haben es vereinfacht.

Um den Ausdruck zu vereinfachen, muss er durch ein Äquivalent (gleich) ersetzt werden.

Um den äquivalenten Ausdruck zu ermitteln, benötigen Sie:

1) alle möglichen Aktionen ausführen,

2) Nutzen Sie die Eigenschaften der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, um Berechnungen zu vereinfachen.

Eigenschaften der Addition und Subtraktion:

1. Kommutative Eigenschaft der Addition: Eine Neuanordnung der Terme ändert die Summe nicht.

2. Kombinationseigenschaft der Addition: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Zahlen zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren.

3. Die Eigenschaft, eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren: Um eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren, können Sie jeden Term einzeln subtrahieren.

Eigenschaften der Multiplikation und Division

1. Kommutative Eigenschaft der Multiplikation: Eine Neuordnung der Faktoren verändert das Produkt nicht.

2. Kombinative Eigenschaft: Um eine Zahl mit dem Produkt zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie sie zunächst mit dem ersten Faktor multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit dem zweiten Faktor multiplizieren.

3. Distributive Eigenschaft der Multiplikation: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, müssen Sie sie mit jedem Term einzeln multiplizieren.

Mal sehen, wie wir tatsächlich mentale Berechnungen durchführen.

Berechnung:

Lösung

1) Stellen wir uns vor, wie

2) Stellen wir uns den ersten Faktor als Summe von Bittermen vor und führen die Multiplikation durch:

3) Sie können sich vorstellen, wie und Multiplikation durchführen:

4) Ersetzen Sie den ersten Faktor durch eine äquivalente Summe:

Das Verteilungsgesetz kann auch in umgekehrter Richtung angewendet werden: .

Folge diesen Schritten:

1) 2)

Lösung

1) Der Einfachheit halber können Sie das Distributivgesetz verwenden, verwenden Sie es jedoch in die entgegengesetzte Richtung – entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern.

2) Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus den Klammern

Für Küche und Flur muss Linoleum gekauft werden. Küchenbereich - , Flur - . Es gibt drei Arten von Linoleum: für und für Rubel. Wie viel kostet jede der drei Linoleumarten? (Abb. 1)

Reis. 1. Illustration zur Problemstellung

Lösung

Methode 1. Sie können separat herausfinden, wie viel Geld Sie für den Kauf von Linoleum für die Küche benötigen, es dann in den Flur legen und die resultierenden Produkte addieren.

Die Vereinfachung algebraischer Ausdrücke ist einer der Schlüssel zum Erlernen der Algebra und eine äußerst nützliche Fähigkeit für alle Mathematiker. Durch die Vereinfachung können Sie einen komplexen oder langen Ausdruck auf einen einfachen Ausdruck reduzieren, mit dem Sie leicht arbeiten können. Grundlegende Vereinfachungskenntnisse sind auch für diejenigen gut, die sich nicht für Mathematik begeistern. Durch Befolgen einiger einfacher Regeln können Sie viele der gängigsten Arten algebraischer Ausdrücke ohne besondere mathematische Kenntnisse vereinfachen.

Schritte

Wichtige Definitionen

1. Ähnliche Mitglieder. Dies sind Mitglieder mit einer Variablen derselben Ordnung, Mitglieder mit denselben Variablen oder freie Mitglieder (Mitglieder, die keine Variable enthalten). Mit anderen Worten: Ähnliche Begriffe umfassen dieselbe Variable im gleichen Ausmaß, mehrere derselben Variablen oder schließen eine Variable überhaupt nicht ein. Die Reihenfolge der Begriffe im Ausdruck spielt keine Rolle.

   • Beispielsweise sind 3x 2 und 4x 2 ähnliche Begriffe, da sie eine Variable zweiter Ordnung (zweite Potenz) „x“ enthalten. Allerdings sind x und x2 keine ähnlichen Begriffe, da sie die Variable „x“ unterschiedlicher Ordnung (erster und zweiter) enthalten. Ebenso sind -3yx und 5xz keine ähnlichen Begriffe, da sie unterschiedliche Variablen enthalten.

2. Faktorisierung. Hierbei handelt es sich um das Finden von Zahlen, deren Produkt zur ursprünglichen Zahl führt. Jede Originalzahl kann mehrere Faktoren haben. Beispielsweise kann die Zahl 12 in die folgenden Faktorenreihen zerlegt werden: 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4, sodass wir sagen können, dass die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6 und 12 Faktoren von sind Zahl 12. Die Faktoren sind die gleichen wie die Faktoren, also die Zahlen, durch die die ursprüngliche Zahl geteilt wird.

   • Wenn Sie beispielsweise die Zahl 20 faktorisieren möchten, schreiben Sie es so: 4×5.
   • Beachten Sie, dass beim Faktorisieren die Variable berücksichtigt wird. Beispiel: 20x = 4(5x).
   • Primzahlen können nicht faktorisiert werden, da sie nur durch sich selbst und 1 teilbar sind.

3. Denken Sie an die Reihenfolge der Vorgänge und befolgen Sie diese, um Fehler zu vermeiden.

   • Klammern
   • Grad
   • Multiplikation
   • Aufteilung
   • Zusatz
   • Subtraktion

   Ähnliche Mitglieder mitbringen

   1. Schreiben Sie den Ausdruck auf. Einfache algebraische Ausdrücke (solche, die keine Brüche, Wurzeln usw. enthalten) können in nur wenigen Schritten gelöst (vereinfacht) werden.

      • Vereinfachen Sie beispielsweise den Ausdruck 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definieren Sie ähnliche Begriffe (Begriffe mit einer Variablen gleicher Ordnung, Begriffe mit gleichen Variablen oder freie Begriffe).

      • Finden Sie ähnliche Begriffe in diesem Ausdruck. Die Terme 2x und 4x enthalten eine Variable gleicher Ordnung (erste). Außerdem sind 1 und -3 freie Begriffe (enthalten keine Variable). Somit sind in diesem Ausdruck die Begriffe 2x und 4x sind ähnlich, und die Mitglieder 1 und -3 sind auch ähnlich.

   3. Geben Sie ähnliche Mitglieder an. Das bedeutet, sie zu addieren oder zu subtrahieren und den Ausdruck zu vereinfachen.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Schreiben Sie den Ausdruck unter Berücksichtigung der angegebenen Begriffe um. Sie erhalten einen einfachen Ausdruck mit weniger Begriffen. Der neue Ausdruck entspricht dem Original.

      • In unserem Beispiel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, das heißt, der ursprüngliche Ausdruck ist vereinfacht und einfacher zu bearbeiten.

   5. Befolgen Sie die Reihenfolge der Vorgänge, wenn Sie ähnliche Mitglieder einbringen. In unserem Beispiel war es einfach, ähnliche Begriffe bereitzustellen. Bei komplexen Ausdrücken, in denen Begriffe in Klammern stehen und Brüche und Wurzeln vorhanden sind, ist es jedoch nicht so einfach, solche Begriffe einzubringen. Befolgen Sie in diesen Fällen die Reihenfolge der Vorgänge.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Hier wäre es ein Fehler, 3x und 2x gleich als ähnliche Begriffe zu definieren und darzustellen, da dazu zunächst die Klammern geöffnet werden müssen. Führen Sie die Vorgänge daher entsprechend ihrer Reihenfolge aus.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Jetzt Wenn der Ausdruck nur Additions- und Subtraktionsoperationen enthält, können Sie ähnliche Begriffe verwenden.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Herausnehmen des Multiplikators aus Klammern

   1. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (GCD) aller Koeffizienten des Ausdrucks. GCD ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten des Ausdrucks geteilt werden.

      • Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 9x 2 + 27x - 3. In diesem Fall ist GCD = 3, da jeder Koeffizient dieses Ausdrucks durch 3 teilbar ist.

   2. Teilen Sie jeden Term des Ausdrucks durch ggT. Die resultierenden Terme enthalten kleinere Koeffizienten als im ursprünglichen Ausdruck.

      • Teilen Sie in unserem Beispiel jeden Term im Ausdruck durch 3.
        • 9x 2 /3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Das Ergebnis war ein Ausdruck 3x 2 + 9x - 1. Es entspricht nicht dem ursprünglichen Ausdruck.

   3. Schreiben Sie den ursprünglichen Ausdruck als gleich dem Produkt aus gcd und dem resultierenden Ausdruck auf. Das heißt, schließen Sie den resultierenden Ausdruck in Klammern ein und nehmen Sie den gcd aus den Klammern.

      • In unserem Beispiel: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Vereinfachen Sie gebrochene Ausdrücke, indem Sie den Faktor aus Klammern entfernen. Warum den Multiplikator einfach aus Klammern setzen, wie es zuvor geschehen ist? Anschließend erfahren Sie, wie Sie komplexe Ausdrücke, beispielsweise Bruchausdrücke, vereinfachen. In diesem Fall kann es hilfreich sein, den Faktor aus der Klammer zu entfernen, um den Bruch (aus dem Nenner) zu entfernen.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Bruchausdruck (9x 2 + 27x - 3)/3. Vereinfachen Sie diesen Ausdruck mit der Faktorisierung.
        • Setzen Sie den Faktor 3 in Klammern (wie zuvor): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Beachten Sie, dass jetzt sowohl im Zähler als auch im Nenner eine 3 steht. Dies kann reduziert werden, um den Ausdruck zu erhalten: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Da jeder Bruch, dessen Nenner die Zahl 1 hat, einfach gleich dem Zähler ist, vereinfacht sich der ursprüngliche Bruchausdruck zu: 3x 2 + 9x - 1.

   Zusätzliche Vereinfachungsmethoden

4. Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an: √(90). Die Zahl 90 kann in die folgenden Faktoren zerlegt werden: 9 und 10, und aus 9 können wir die Quadratwurzel (3) ziehen und 3 unter der Wurzel herausziehen.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Ausdrücke mit Potenzen vereinfachen. Einige Ausdrücke enthalten Operationen zur Multiplikation oder Division von Termen mit Potenzen. Bei der Multiplikation von Termen mit gleicher Basis werden deren Potenzen addiert; Bei der Division von Termen mit gleicher Basis werden deren Potenzen subtrahiert.

   • Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Bei der Multiplikation addieren Sie die Potenzen, bei der Division subtrahieren Sie sie.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Im Folgenden werden die Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Termen mit Potenzen erläutert.
     • Die Multiplikation von Termen mit Potenzen entspricht der Multiplikation von Termen mit sich selbst. Da beispielsweise x 3 = x × x × x und x 5 = x × x × x × x × x, dann ist x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) oder x 8 .
     • Ebenso ist die Division von Termen durch Grade gleichbedeutend mit der Division von Termen durch sich selbst. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Da ähnliche Terme sowohl im Zähler als auch im Nenner reduziert werden können, verbleibt das Produkt zweier „x“ oder x 2 im Zähler.

• Denken Sie immer an die Zeichen (Plus oder Minus), die den Begriffen des Ausdrucks vorangehen, da viele Menschen Schwierigkeiten haben, das richtige Zeichen zu wählen.
• Bitten Sie bei Bedarf um Hilfe!
• Algebraische Ausdrücke zu vereinfachen ist nicht einfach, aber wenn Sie erst einmal den Dreh raus haben, ist es eine Fähigkeit, die Sie für den Rest Ihres Lebens anwenden können.