Finden einer Zahl basierend auf einem bestimmten Prozentsatz. Ermitteln des Prozentsatzes einer bestimmten Zahl. Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln. Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln
„Methodik zum Lehren des Lösens von Problemen beim Finden von Brüchen
aus einer Zahl und einer Zahl durch ihren Bruch“
Die meisten Anwendungen der Mathematik beinhalten die Messung von Mengen. Es ist jedoch nicht immer möglich, eine Division an einer Menge ganzer Zahlen durchzuführen: Eine Einheit einer Größe passt nicht immer ganzzahlig oft in die gemessene Größe. Um das Messergebnis in einer solchen Situation genau auszudrücken, ist es notwendig, die Menge der ganzen Zahlen durch die Einführung von Bruchzahlen zu erweitern. Zu diesem Schluss kamen die Menschen schon in der Antike: Die Notwendigkeit, Längen, Flächen, Massen und andere Größen zu messen, führte zur Entstehung von Bruchzahlen.
In den Grundschulklassen werden die Schüler mit Bruchzahlen vertraut gemacht. Das Konzept eines Bruchs wird dann in der Mittelschule verfeinert und erweitert. Und eines der schwierigsten Themen in der Mathematik der Oberstufe ist das Lösen von Bruchaufgaben. Brüche werden seit mehr als einem Jahr in der Schule unterrichtet; das Studium des Themas erfolgt in mehreren Phasen. Grund dafür sind verschiedene Einschränkungen bei der Nutzung von Nummern. Daher ist das Programm der fünften Klasse eng mit dem Programm der sechsten Klasse verknüpft. Probleme, bei denen Ideen zu Brüchen entwickelt werden, sind für Schüler recht komplex. Daher muss ein Mathematiklehrer bei der Lösung von Problemen mit Brüchen über den Tellerrand hinausgehen und sich nicht nur auf traditionelle Erklärungen verlassen.
Methoden zum Lösen von Problemen beim Finden eines Bruchs aus einer Zahl und einer Zahl aus ihrem Bruch.
In der fünften Klasse haben die Schüler bereits gelernt, Aufgaben zum Finden eines Teils einer Zahl und zum Finden einer Zahl aus ihrem Bruch zu lösen. Um diese Probleme zu lösen, wandten sie die folgenden Regeln an:
1) Um den als Bruch ausgedrückten Teil einer Zahl zu finden, müssen Sie diese Zahl durch den Nenner dividieren und mit dem Zähler multiplizieren;
2) Um eine Zahl anhand ihres als Bruch ausgedrückten Teils zu finden, müssen Sie diesen Teil durch den Nenner dividieren und mit dem Zähler multiplizieren.
In der sechsten Klasse lernen die Schüler, dass ein Teil einer Zahl durch Multiplikation mit einem Bruch ermittelt wird und dass ein Teil einer Zahl durch Division durch einen Bruch ermittelt wird. Daher hat der Lehrer die Möglichkeit, Wissenslücken der Schüler zu diesem Thema zu schließen, indem er Material verwendet, um neue Wege zur Lösung von Problemen bei der Suche nach einem Teil einer Zahl und einer Zahl als Teil davon zu festigen.
Bei der Lösung von Bruchproblemen besteht die Hauptschwierigkeit für Schüler darin, die Art des Problems zu bestimmen. Der erläuternde Text von Lehrbüchern enthält oft keine kurze Beschreibung der Bedingungen dieser Probleme, was dazu führt, dass Schüler falsch verstehen, warum sie in einem Fall eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren und in einem anderen Fall eine Zahl durch einen bestimmten Bruch dividieren müssen. Daher ist es bei der Lösung von Problemen zur Ermittlung eines Bruchs aus einer Zahl und einer Zahl aus ihrem Bruch notwendig, dass die Schüler erkennen, was in der Problemstellung ein Ganzes und was sein Teil ist.
1.Aufgaben zum Finden eines Bruchteils einer Zahl.
Aufgabe 1.
Auf dem Schulgelände sollen 20 Bäume gepflanzt werden. Am ersten Tag pflanzten die Schüler. Wie viele Bäume wurden am ersten Tag gepflanzt?
20 Bäume sind 1 (ganz).
Dies ist der Teil der Bäume (Teil des Ganzen),
die am ersten Tag gepflanzt wurde.
20: 4 = 5, und alle Bäume sind gleich
5 · 3 = 15, d. h. am ersten Tag wurden auf dem Gelände 15 Bäume gepflanzt.
Antwort: Am ersten Tag wurden auf dem Schulgelände 15 Bäume gepflanzt.
Die Lösung des Problems schreiben wir mit dem Ausdruck: 20: 4 3 = 15.
20 wurde durch den Nenner des Bruchs dividiert und das Ergebnis mit dem Zähler multipliziert.
Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man 20 mit multipliziert.
(20 3) : 4 = 20 .
Abschluss: Um den Bruch einer Zahl zu ermitteln, müssen Sie die Zahl mit dem angegebenen Bruch multiplizieren.
Aufgabe 2.
In zwei Tagen wurden 20 km asphaltiert. Am ersten Tag waren 0,75 m dieser Strecke asphaltiert. Wie viele Kilometer der Straße wurden am ersten Tag asphaltiert?
20 km sind 1 (Ganzzahl).
0,75 - das ist der Teil der Straße (Teil des Ganzen),
der am ersten Tag gepflastert wurde
Da 0,6 = ist, müssen Sie zur Lösung des Problems 20 mit multiplizieren.
Wir erhalten 20== =15. Das bedeutet, dass am ersten Tag 15 Kilometer asphaltiert wurden.
Das gleiche Ergebnis erhalten Sie, wenn Sie 20 mit 0,75 multiplizieren.
Wir haben: 200,75=15.
Da Prozentsätze als Bruch geschrieben werden können, können Probleme beim Ermitteln von Prozentsätzen einer Zahl auf ähnliche Weise gelöst werden.
Aufgabe 3.
In zwei Tagen wurden 20 km asphaltiert. Am ersten Tag waren 75 % dieser Strecke asphaltiert. Wie viele Kilometer der Straße wurden am ersten Tag asphaltiert?
20 km sind 100 %
Stellen wir uns das gesamte Grundstück in Form eines Rechtecks ABCD dar. Die Abbildung zeigt, dass die Apfelbaumfläche ein Grundstück einnimmt. Die gleiche Antwort erhalten Sie, wenn Sie mit multiplizieren:
Antwort: Das gesamte Grundstück ist mit Apfelbäumen bewachsen.
Material zur Konsolidierung neuer Wege zur Lösung von Problemen beim Ermitteln eines Bruchs aus einer Zahl lässt sich am besten in Abschnitte aufteilen, in denen zunächst Aufgaben zur direkten Umsetzung der neuen Regel ausgeführt werden und anschließend Probleme beim Ermitteln eines Bruchs aus einer Zahl analysiert werden. Danach gehen die Schüler zur Lösung kombinierter Probleme über, der Lösungsphase, bei der es um die Lösung eines einfachen Bruchproblems geht.
a) https://pandia.ru/text/80/420/images/image017_16.gif" width="19" height="49 src="> ab 245; c) ab 104; d) ab https:// pandia.ru/text/80/420/images/image017_16.gif" width="19" height="49 src=">; m) 65 % von 2.
1. 120 kg Kartoffeln wurden in die Schulkantine gebracht. Am ersten Tag haben wir alle mitgebrachten Kartoffeln aufgebraucht. Wie viele Kilogramm Kartoffeln haben Sie am ersten Tag verwendet?
2. Die Länge des Rechtecks beträgt 56 cm, die Breite entspricht der Länge. Finden Sie die Breite des Rechtecks.
3. Das Schulgelände umfasst eine Fläche von 600 m2. Sechstklässler haben am ersten Tag 0,3 des gesamten Geländes ausgegraben. Wie viel Fläche haben die Schüler am ersten Tag umgegraben?
4. Der Theaterclub besteht aus 25 Leuten. 60 % aller Clubteilnehmer sind Mädchen. Wie viele Mädchen sind im Club?
5. Gemüsegartenfläche in Hektar. Der Gemüsegarten ist mit Kartoffeln bepflanzt. Wie viele Hektar sind mit Kartoffeln bepflanzt?
1. 2 kg Hirse wurden in einen Beutel gegossen und diese Menge in den anderen.
Wie viel weniger Hirse wurde in den zweiten Beutel gefüllt als in den ersten?
2. Auf einer Parzelle wurden 2,7 Tonnen Karotten gesammelt, auf einer anderen diese Menge. Wie viel Gemüse wurde von den beiden Parzellen geerntet?
3. Die Bäckerei backt täglich 450 kg Brot. 40 % aller Brote gehen an die Einzelhandelskette, der Rest geht an Kantinen. Wie viele kg Brot gehen täglich in die Kantinen?
4. 320 Tonnen Gemüse wurden in das Gemüselager gebracht. 75 % des mitgebrachten Gemüses waren Kartoffeln, der Rest war Kohl. Wie viele Tonnen Kohl wurden in den Gemüseladen gebracht?
5. Die Tiefe des Bergsees betrug zu Beginn des Sommers 60 m. Im Juni sank sein Niveau um 15 % und im Juli sank es gegenüber dem Juni-Niveau um 12 %. Wie tief war der See Anfang August?
6. Vor dem Mittagessen ging der Reisende 0,75 des vorgesehenen Weges und nach dem Mittagessen ging er die vor dem Mittagessen zurückgelegte Strecke zurück. Hat der Reisende die gesamte geplante Route an einem Tag zurückgelegt?
7. Im Winter wurden 39 Tage für die Reparatur von Traktoren und 7 Tage weniger für die Reparatur von Mähdreschern aufgewendet. Die Reparaturzeit für gezogene Geräte entsprach der Zeit, die für die Reparatur von Mähdreschern benötigt wurde. Wie viele Tage dauerte die Reparatur von Traktoren länger als die Reparatur von Anhängegeräten?
8. In der ersten Woche hat das Team 30 % der monatlichen Norm erreicht, in der zweiten - 0,8 von dem, was in der ersten Woche erledigt wurde, und in der dritten Woche - von dem, was in der zweiten Woche erledigt wurde. Wie viel Prozent des monatlichen Kontingents muss das Team in der vierten Woche noch erfüllen?
2. Eine Zahl anhand ihres Bruchs ermitteln.
Probleme, eine Zahl aus ihrem Bruch zu finden, sind das Gegenteil von Problemen, den Bruch einer gegebenen Zahl zu finden. Wenn bei Problemen, einen Bruch einer Zahl zu finden, eine Zahl angegeben war und es erforderlich war, einen Bruchteil dieser Zahl zu finden, dann war bei diesen Problemen ein Bruchteil einer Zahl angegeben und es war erforderlich, diese Zahl selbst zu finden.
Wenden wir uns der Lösung solcher Probleme zu.
Aufgabe 1.
Am ersten Tag legte der Reisende 15 km zurück, was 5/8 der gesamten Reise ausmachte. Wie weit musste der Reisende reisen?
Schreiben wir eine kurze Bedingung auf:
Der gesamte Abstand beträgt 1 (Ganzzahl).
– das sind 15 km
15 km sind 5 Aktien. Wie viele Kilometer hat ein Lappen?
Da die gesamte Distanz 8 solcher Teile enthält, finden wir:
3 8 = 24 (km).
Antwort: Der Reisende muss 24 km laufen.
Schreiben wir die Lösung des Problems durch den Ausdruck: 15: 5 · 8 = 24(km) oder 15: 5 · 8 = · 8 = = 15= 15:.
Abschluss: Um eine Zahl aus einem gegebenen Wert ihres Bruchs zu ermitteln, müssen Sie diesen Wert durch den Bruch dividieren.
Aufgabe 2.
Auf den Kapitän der Basketballmannschaft entfallen 0,25 aller im Spiel erzielten Punkte. Wie viele Gesamtpunkte hätte diese Mannschaft im Spiel erzielt, wenn der Kapitän der Mannschaft 24 Punkte beschert hätte?
Die Gesamtpunktzahl, die ein Team erhält, beträgt 1 (Ganzzahl).
45 % sind 9 karierte Notizbücher
Da 45 % = 0,45 und 9: 0,45 = 20, haben wir insgesamt 20 Notebooks gekauft.
Es ist auch ratsam, Material zur Konsolidierung zu verteilen, um neue Wege zur Lösung von Problemen bei der Ermittlung einer Zahl anhand ihres Bruchs in Abschnitte zu festigen. Im ersten Abschnitt werden Aufgaben zur Konsolidierung der neuen Regel gelöst, im zweiten werden Probleme beim Finden einer Zahl anhand ihres Bruchs analysiert und im dritten analysieren die Studierenden die Lösung komplexerer Probleme, von denen ein Teil Findungsprobleme sind eine Zahl durch ihren Bruch.
6) Nach dem Austausch des Motors stieg die Durchschnittsgeschwindigkeit des Flugzeugs um 18 %? Das sind 68,4 km/h. Wie hoch war die Durchschnittsgeschwindigkeit des Flugzeugs mit dem gleichen Motor?
1) Die Länge des Rechtecks beträgt https://pandia.ru/text/80/420/images/image005_25.gif" width="37" height="73"> der gesamten Kirsche, im zweiten 0,4, und im dritten - der Rest 20 kg Wie viele Kilogramm Kirschen wurden gesammelt?
5) Drei Arbeiter stellten eine bestimmte Anzahl Teile her. Der erste Arbeiter produzierte 0,3 aller Teile, der zweite 0,6 des Rests und der dritte die restlichen 84 Teile. Wie viele Teile haben die Arbeiter insgesamt hergestellt?
6) Auf der Versuchsparzelle wurde die Parzelle mit Kohl bepflanzt, die restliche Fläche wurde mit Kartoffeln belegt und die restlichen 42 Hektar wurden mit Mais besät. Finden Sie die Fläche des gesamten Versuchsgrundstücks.
7) Das Auto legte die gesamte Fahrt in der ersten Stunde zurück, die restliche Strecke in der zweiten Stunde und die restliche Strecke in der dritten Stunde. Es ist bekannt, dass er in der dritten Stunde 40 km weniger gelaufen ist als in der zweiten Stunde. Wie viele Kilometer hat das Auto in diesen drei Stunden zurückgelegt?
Bruchaufgaben sind ein wichtiges Hilfsmittel im Mathematikunterricht. Mit ihrer Hilfe sammeln die Studierenden Erfahrungen im Umgang mit gebrochenen und ganzzahligen Größen, verstehen die Zusammenhänge zwischen ihnen und sammeln Erfahrungen in der Anwendung der Mathematik zur Lösung praktischer Probleme. Das Lösen von Bruchaufgaben fördert Einfallsreichtum und Intelligenz, die Fähigkeit, Fragen zu stellen und zu beantworten und bereitet Schüler auf die weitere Bildung vor.
Mathematiklehrer
MBOU Lyceum Nr. 1 Nakhabino
Literatur:
3. Didaktische Materialien in der Mathematik: 5. Klasse: Workshop/, . – M.: Akademkniga / Lehrbuch, 2012.
4. Didaktische Materialien in der Mathematik: 6. Klasse: Workshop/, . – M.: Akademkniga/Lehrbuch, 2012.
5. Selbstständige und Testarbeit in Mathematik für die 6. Klasse. / , . – M.: ILEKSA, 2011.
Prozent ist ein Hundertstel einer Zahl. Daraus folgt, dass zwei Prozent zwei Hundertstel sind, zwanzig Prozent zwanzig Hundertstel und so weiter.
Der Wortprozentsatz wird durch das %-Zeichen gekennzeichnet. 43 % einer Zahl bedeuten also 43 Prozent dieser Zahl. Es ist jedoch zu beachten, dass das %-Zeichen nicht in Berechnungen geschrieben wird; es kann in der Problemstellung und im Endergebnis geschrieben werden.
Der Wert, aus dem Prozentsätze berechnet werden (z. B. Preis, Länge, Anzahl der Bonbons usw.), beträgt 100 Hundertstel, also 100 %.
Um ein Prozent einer Zahl zu ermitteln, dividieren Sie diese Zahl durch 100.
Beispiel 1. Finden Sie ein Prozent der Zahl 300.
Lösung:
Antwort: Ein Prozent von 300 entspricht 3.
Beispiel 2. Finden Sie ein Prozent der Zahl 27,5
Lösung:
27,5: 100 = 0,275
Antwort: Ein Prozent von 27,5 entspricht 0,275.
Prozentsätze einer Zahl ermitteln
Um einen bestimmten Prozentsatz einer bestimmten Zahl zu ermitteln, müssen Sie die angegebene Zahl durch 100 teilen und mit der Anzahl der Prozentsätze multiplizieren.
Aufgabe 1. In diesem Jahr kaufte der Laden 200 Weihnachtsbäume für das neue Jahr. In diesem Jahr ist die Zahl der gekauften Weihnachtsbäume um 120 % gestiegen. Wie viele Weihnachtsbäume haben Sie dieses Jahr gekauft?
Lösung: Zuerst müssen wir 120 % von 200 finden, dazu müssen wir 200 durch 100 teilen, also 1 % finden, und dann das Ergebnis mit 120 multiplizieren:
(200: 100) 120 = 240
Die Zahl 240 entspricht 120 % von 200. Das bedeutet, dass in diesem Jahr die Anzahl der verkauften Weihnachtsbäume um 240 Stück gestiegen ist. Das heißt, die Anzahl der in diesem Jahr verkauften Weihnachtsbäume beträgt:
200 + 240 = 440 (Bäume)
Antwort: Dieses Jahr haben wir 440 Weihnachtsbäume gekauft.
Aufgabe 2. In einer Schachtel befinden sich 28 Bonbons, davon 25 % mit Erdbeerfüllung. Wie viele Bonbons mit Erdbeerfüllung sind in der Schachtel?
Lösung:
Antwort: Die Schachtel enthält 7 Bonbons mit Erdbeerfüllung.
Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln
Um eine Zahl aus einem bestimmten Prozentsatz zu ermitteln, müssen Sie diesen Wert durch die Anzahl der Prozentsätze dividieren und mit 100 multiplizieren.
Aufgabe. Der Preis für einen Meter Stoff sank um 24 Rubel, was 15 % des Preises entsprach. Wie viel kostete ein Meter Stoff vor der Reduzierung?
Lösung:
Antwort: Ein Meter Stoff kostete 160 Rubel.
Prozentsatz zweier Zahlen
Um herauszufinden, wie viel Prozent die erste Zahl von der zweiten ist, müssen Sie die erste Zahl durch die zweite dividieren und das Ergebnis mit 100 multiplizieren.
Aufgabe. Laut Jahresplan muss das Werk Produkte im Wert von 1.250.000 Rubel produzieren. Im 1. Quartal gab er es in Höhe von 450.000 Rubel aus. Zu wie viel Prozent hat das Werk seinen Jahresplan für das 1. Quartal erfüllt?
Lösung:
Antwort: Für das 1. Quartal wurde der Plan zu 36 % erfüllt.
Prozentangaben in Dezimalzahlen umwandeln
Um Prozentsätze in Dezimalzahlen umzuwandeln, teilen Sie den Prozentsatz durch 100.
Beispiel 1: Drücken Sie 25 % als Dezimalzahl aus.
Antwort: 25 % sind 0,25.
Beispiel 2: Drücken Sie 100 % als Dezimalzahl aus.
Antwort: 100 % ist 1.
Beispiel 3: Drücken Sie 230 % als Dezimalzahl aus.
Antwort: 230 % ist 2,3.
Aus diesen Beispielen ergibt sich das Um Prozentsätze in Dezimalbrüche umzuwandeln, müssen Sie den Dezimalpunkt in der Zahl vor dem %-Zeichen um zwei Stellen nach links verschieben..
Der Prozentsatz ist eines der interessanten und in der Praxis häufig verwendeten Werkzeuge. Prozentsätze werden teilweise oder vollständig in jeder Wissenschaft, in jedem Beruf und sogar in der alltäglichen Kommunikation verwendet. Eine Person, die gut in Prozenten rechnen kann, vermittelt den Eindruck, klug und gebildet zu sein. In dieser Lektion erfahren wir, was ein Prozentsatz ist und welche Aktionen Sie damit ausführen können.
UnterrichtsinhalteWas ist Prozentsatz?
Brüche kommen im Alltag am häufigsten vor. Sie bekamen sogar eigene Namen: Half, Third und Quarter.
Aber es gibt noch einen weiteren Bruchteil, der ebenfalls häufig vorkommt. Dies ist ein Bruchteil (ein Hundertstel). Dieser Bruch heißt Prozent. Was bedeutet der Bruchteil eines Hundertstels? Dieser Bruch bedeutet, dass etwas in hundert Teile geteilt wird und von dort ein Teil genommen wird. Ein Prozentsatz ist also ein Hundertstel von etwas.
Ein Prozentsatz ist ein Hundertstel von etwas
Zum Beispiel ist ein Meter 1 cm. Ein Meter wird in hundert Teile geteilt und ein Teil genommen (denken Sie daran, dass 1 Meter 100 cm ist). Und ein Teil dieser hundert Teile ist 1 cm. Das bedeutet, dass ein Prozent eines Meters 1 cm ist.
Ein Meter sind schon 2 Zentimeter. Diesmal wurde ein Meter in hundert Teile geteilt und nicht ein, sondern zwei Teile daraus entnommen. Und zwei Teile von hundert sind zwei Zentimeter. Zwei Prozent eines Meters sind also 2 Zentimeter.
Ein weiteres Beispiel: Ein Rubel entspricht einer Kopeke. Der Rubel wurde in hundert Teile geteilt und ein Teil von dort entnommen. Und ein Teil dieser hundert Teile ist eine Kopeke. Das bedeutet, dass ein Prozent eines Rubels eine Kopeke ist.
Prozentsätze waren so verbreitet, dass die Leute den Bruch durch ein spezielles Symbol ersetzten, das so aussieht:
Dieser Eintrag lautet „ein Prozent“. Es ersetzt einen Bruch. Es ersetzt auch den Dezimalbruch 0,01, denn wenn wir einen regulären Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln, erhalten wir 0,01. Daher können wir zwischen diesen drei Ausdrücken ein Gleichheitszeichen setzen:
1% = = 0,01
Zwei Prozent in Bruchform werden als geschrieben, in Dezimalform als 0,02, und bei Verwendung eines speziellen Symbols werden zwei Prozent als 2 % geschrieben.
2% = = 0,02
Wie finde ich den Prozentsatz?
Das Prinzip der Ermittlung eines Prozentsatzes ist das gleiche wie bei der üblichen Ermittlung eines Bruchs aus einer Zahl. Um einen Prozentsatz von etwas zu ermitteln, müssen Sie ihn in 100 Teile teilen und die resultierende Zahl mit dem gewünschten Prozentsatz multiplizieren.
Finden Sie beispielsweise 2 % von 10 cm.
Was bedeutet der Eintrag 2 %? Der 2 %-Eintrag ersetzt den . Wenn wir diese Aufgabe in eine verständlichere Sprache übersetzen, sieht sie so aus:
Finden Sie ab 10 cm
Und wir wissen bereits, wie wir solche Aufgaben lösen können. Dies ist die übliche Methode, um aus einer Zahl einen Bruch zu ermitteln. Um den Bruch einer Zahl zu finden, müssen Sie diese Zahl durch den Nenner des Bruchs dividieren und das resultierende Ergebnis mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren.
Teilen Sie also die Zahl 10 durch den Nenner des Bruchs
Wir haben 0,1 bekommen. Jetzt multiplizieren wir 0,1 mit dem Zähler des Bruchs
0,1 × 2 = 0,2
Wir haben eine Antwort von 0,2 erhalten. Das bedeutet, dass 2 % von 10 cm 0,2 cm sind. Und wenn, dann erhalten wir 2 Millimeter:
0,2 cm = 2 mm
Das bedeutet, dass 2 % von 10 cm 2 mm sind.
Beispiel 2. Finden Sie 50 % von 300 Rubel.
Um 50 % von 300 Rubel zu ermitteln, müssen Sie diese 300 Rubel durch 100 teilen und das resultierende Ergebnis mit 50 multiplizieren.
Also teilen wir 300 Rubel durch 100
300: 100 = 3
Multiplizieren Sie nun das Ergebnis mit 50
3 × 50 = 150 Rubel.
Das bedeutet, dass 50 % von 300 Rubel 150 Rubel sind.
Wenn es zunächst schwierig ist, sich an die Notation mit dem %-Zeichen zu gewöhnen, können Sie diese Notation durch eine normale Bruchnotation ersetzen.
Beispielsweise können die gleichen 50 % durch den Eintrag ersetzt werden. Dann sieht die Aufgabe so aus: Finden Sie ab 300 Rubel, aber die Lösung solcher Probleme ist für uns immer noch einfacher
300: 100 = 3
3 × 50 = 150
Im Prinzip gibt es hier nichts Kompliziertes. Sollten Schwierigkeiten auftreten, raten wir Ihnen, anzuhalten und erneut zu prüfen.
Beispiel 3. Die Bekleidungsfabrik produzierte 1.200 Anzüge. Davon sind 32 % Anzüge eines neuen Stils. Wie viele Anzüge im neuen Stil wurden in der Fabrik hergestellt?
Hier müssen Sie 32 % von 1200 finden. Die gefundene Zahl ist die Antwort auf das Problem. Lassen Sie uns die Regel zum Ermitteln des Prozentsatzes verwenden. Teilen wir 1200 durch 100 und multiplizieren das resultierende Ergebnis mit dem gewünschten Prozentsatz, d.h. mit 32
1200: 100 = 12
12 × 32 = 384
Antwort: Die Fabrik produzierte 384 Anzüge eines neuen Stils.
Zweite Möglichkeit, den Prozentsatz zu ermitteln
Die zweite Methode zur Ermittlung des Prozentsatzes ist viel einfacher und bequemer. Es liegt darin, dass die Zahl, von der der Prozentsatz gesucht wird, sofort mit dem gewünschten Prozentsatz, ausgedrückt als Dezimalbruch, multipliziert wird.
Lassen Sie uns beispielsweise das vorherige Problem mit dieser Methode lösen. Finden Sie 50 % von 300 Rubel.
Der Eintrag 50 % ersetzt den Eintrag , und wenn wir diese in einen Dezimalbruch umrechnen, erhalten wir 0,5
Um nun 50 % von 300 zu finden, reicht es aus, die Zahl 300 mit dem Dezimalbruch 0,5 zu multiplizieren
300 × 0,5 = 150
Der Mechanismus zum Ermitteln von Prozentsätzen auf Taschenrechnern funktioniert übrigens nach dem gleichen Prinzip. Um einen Prozentsatz mithilfe eines Taschenrechners zu ermitteln, müssen Sie in den Taschenrechner die Zahl eingeben, aus der der Prozentsatz ermittelt werden soll. Anschließend drücken Sie die Multiplikationstaste und geben den gewünschten Prozentsatz ein. Drücken Sie dann die Prozenttaste %
Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln
Wenn Sie den Prozentsatz einer Zahl kennen, können Sie die ganze Zahl ermitteln. Beispielsweise zahlte uns ein Unternehmen 60.000 Rubel für Arbeit, was 2 % des Gesamtgewinns des Unternehmens entspricht. Wenn wir unseren Anteil und dessen Prozentsatz kennen, können wir den Gesamtgewinn ermitteln.
Zuerst müssen Sie herausfinden, wie viele Rubel ein Prozent ausmachen. Wie kann man das machen? Versuchen Sie es zu erraten, indem Sie die folgende Abbildung sorgfältig studieren:
Wenn zwei Prozent des Gesamtgewinns 60.000 Rubel ausmachen, kann man leicht erraten, dass ein Prozent 30.000 Rubel entspricht. Und um diese 30.000 Rubel zu erhalten, müssen Sie 60.000 durch 2 teilen
60 000: 2 = 30 000
Wir fanden ein Prozent des Gesamtgewinns, d.h. . Wenn ein Teil 30.000 beträgt, müssen Sie zur Bestimmung von hundert Teilen 30.000 mit 100 multiplizieren
30.000 × 100 = 3.000.000
Wir haben den Gesamtgewinn ermittelt. Es sind drei Millionen.
Versuchen wir, eine Regel zum Ermitteln einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes zu formulieren.
Um eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes zu ermitteln, müssen Sie die bekannte Zahl durch den angegebenen Prozentsatz dividieren und das resultierende Ergebnis mit 100 multiplizieren.
Beispiel 2. Die Zahl 35 ist 7 % einer unbekannten Zahl. Finden Sie diese unbekannte Nummer.
Lesen wir den ersten Teil der Regel:
Um eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes zu ermitteln, müssen Sie die bekannte Zahl durch den angegebenen Prozentsatz dividieren.
Unsere bekannte Zahl ist 35 und der angegebene Prozentsatz ist 7. Teilen Sie 35 durch 7
35: 7 = 5
Lesen Sie den zweiten Teil der Regel:
und multipliziere das Ergebnis mit 100
Unser Ergebnis ist die Zahl 5. Multiplizieren Sie 5 mit 100
5 × 100 = 500
500 ist eine unbekannte Zahl, die gefunden werden musste. Sie können eine Überprüfung durchführen. Dazu finden wir 7 % von 500. Wenn wir alles richtig gemacht haben, sollten wir 35 bekommen
500: 100 = 5
5 × 7 = 35
Wir haben 35 bekommen. Das Problem wurde also richtig gelöst.
Das Prinzip, eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes zu ermitteln, ist dasselbe wie das übliche Prinzip, eine ganze Zahl anhand ihres Bruchs zu ermitteln. Wenn Prozentangaben zunächst verwirrend und verwirrend sind, dann kann die Prozenteingabe durch eine Brucheingabe ersetzt werden.
Das vorherige Problem lässt sich beispielsweise wie folgt formulieren: Die Zahl 35 stammt von einer unbekannten Zahl. Finden Sie diese unbekannte Nummer. Wir wissen bereits, wie wir solche Probleme lösen können. Dies bedeutet, eine Zahl mithilfe eines Bruchs zu finden. Um eine Zahl mithilfe eines Bruchs zu finden, dividieren wir diese Zahl durch den Zähler des Bruchs und multiplizieren das resultierende Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs. In unserem Beispiel muss die Zahl 35 durch 7 geteilt und das resultierende Ergebnis mit 100 multipliziert werden
35: 7 = 5
5 × 100 = 500
In Zukunft werden wir Probleme mit Prozentsätzen lösen, von denen einige schwierig sein werden. Um das Lernen zunächst nicht zu erschweren, reicht es aus, den Prozentsatz einer Zahl und die Zahl prozentual ermitteln zu können.
Aufgaben zur eigenständigen Lösung
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Die Regel zum Ermitteln einer Zahl anhand ihres Bruchs:
Um eine Zahl aus einem gegebenen Wert ihres Bruchs zu ermitteln, müssen Sie diesen Wert durch den Bruch dividieren.
Schauen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie man eine Zahl anhand ihres Bruchs findet.
Beispiele.
1) Finden Sie eine Zahl, deren 3/4 gleich 12 sind.
Um eine Zahl anhand ihres Bruchs zu ermitteln, dividieren Sie die Zahl durch diesen Bruch. Dazu müssen Sie diese Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs (also mit einem invertierten Bruch) multiplizieren. Dazu müssen Sie den Zähler mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner unverändert lassen. 12 und 3 mal 3. Da wir im Nenner eins haben, ist die Antwort eine ganze Zahl.
2) Finden Sie eine Zahl, wenn 9/10 davon 3/5 sind.
Um eine Zahl anhand des Werts ihres Bruchs zu finden, dividieren Sie diesen Wert durch diesen Bruch. Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten (invertiert). Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, multiplizieren Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner. Wir reduzieren 10 und 5 um 5, 3 und 9 um 3. Als Ergebnis erhalten wir den richtigen irreduziblen Bruch, was bedeutet, dass dies das Endergebnis ist.
3) Finden Sie eine Zahl, deren 9/7 gleich sind
Um eine Zahl anhand des Werts ihres Bruchs zu ermitteln, dividieren Sie diesen Wert durch diesen Bruch. Mischen Sie die Zahl und multiplizieren Sie sie mit dem Kehrwert der zweiten Zahl (invertierter Bruch). Wir reduzieren 99 und 9 um 9, 7 und 14 um 7. Da wir einen unechten Bruch erhalten haben, müssen wir den ganzen Teil davon trennen.
In dieser Lektion werden wir uns die Arten von Problemen mit Brüchen und Prozentsätzen ansehen. Lassen Sie uns lernen, diese Probleme zu lösen und herauszufinden, welche davon uns im wirklichen Leben begegnen könnten. Lassen Sie uns einen allgemeinen Algorithmus zur Lösung ähnlicher Probleme herausfinden.
Wir wissen nicht, wie hoch die ursprüngliche Zahl war, aber wir wissen, wie viel sich herausstellte, als wir einen bestimmten Bruchteil davon abzogen. Wir müssen das Original finden.
Das heißt, wir wissen es nicht, aber wir wissen es auch.
Beispiel 4
Der Großvater verbrachte sein Leben im Dorf, das waren 63 Jahre. Wie alt ist Opa?
Wir kennen die ursprüngliche Zahl nicht – das Alter. Aber wir kennen den Anteil und wie viele Jahre dieser Anteil vom Alter her ist. Wir stellen eine Gleichberechtigung her. Es hat die Form einer Gleichung mit einer Unbekannten. Wir drücken es aus und finden es.
Antwort: 84 Jahre alt.
Keine sehr realistische Aufgabe. Es ist unwahrscheinlich, dass der Großvater solche Informationen über seine Lebensjahre preisgibt.
Die folgende Situation kommt jedoch sehr häufig vor.
Beispiel 5
5 % Rabatt im Geschäft mit der Karte. Der Käufer erhielt einen Rabatt von 30 Rubel. Wie hoch war der Kaufpreis vor dem Rabatt?
Wir kennen die Originalnummer nicht – den Kaufpreis. Aber wir kennen den Bruchteil (die Prozentsätze, die auf der Karte stehen) und wissen, wie hoch der Rabatt war.
Lassen Sie uns unsere Standardlinie erstellen. Wir drücken die unbekannte Größe aus und finden sie.
Antwort: 600 Rubel.
Beispiel 6
Wir stehen noch häufiger vor diesem Problem. Wir sehen nicht die Höhe des Rabatts, sondern die Kosten nach Anwendung des Rabatts. Aber die Frage ist dieselbe: Wie viel würden wir ohne den Rabatt bezahlen?
Lassen Sie uns wieder eine 5% Rabattkarte haben. Wir haben unsere Karte an der Kasse gezeigt und 1.140 Rubel bezahlt. Wie hoch sind die Kosten ohne Rabatt?
Um das Problem in einem Schritt zu lösen, formulieren wir es ein wenig um. Wie viel zahlen wir vom Vollpreis, da wir einen Rabatt von 5 % haben? 95 %.
Das heißt, wir kennen die ursprünglichen Kosten nicht, aber wir wissen, dass 95 % davon 1140 Rubel sind.
Wir wenden den Algorithmus an. Wir erhalten die anfänglichen Kosten.
3. Website „Mathematik Online“ ()
Hausaufgaben
1. Mathematik. 6. Klasse/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Tschesnokow, S.I. Schwartzburd. - M.: Mnemosyne, 2011. S. 104-105. Klausel 18. Nr. 680; Nr. 683; Nr. 783 (a, b)
2. Mathematik. 6. Klasse/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Tschesnokow, S.I. Schwartzburd. - M.: Mnemosyne, 2011. Nr. 656.
3. Das Programm der Schulsportwettkämpfe umfasste Weitsprung, Hochsprung und Laufen. Alle Teilnehmer nahmen am Laufwettbewerb teil, 30 % aller Teilnehmer nahmen am Weitsprungwettbewerb teil und die restlichen 34 Schüler nahmen am Hochsprungwettbewerb teil. Ermitteln Sie die Teilnehmerzahl des Wettbewerbs.
