Finden Sie den Wert der Verteilungsfunktion an einem Punkt. Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen. Funktionen einer Zufallsvariablen

Wahrsceiner Zufallsvariablen und ihrer Eigenschaften.

Betrachten Sie die Funktion F(x), definiert auf dem gesamten Zahlenstrahl wie folgt: für jeden X Bedeutung F(x) ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine diskrete Zufallsvariable einen Wert kleiner als annimmt X, d.h.

(18)

Diese Funktion wird aufgerufen Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion, oder kurz, Verteilungsfunktion.

Beispiel 1. Finden Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen aus Beispiel 1, Punkt 1.

Lösung: Es ist klar, wenn, dann F(x)=0, da es keine Werte kleiner als eins annimmt. Wenn, dann ; wenn, dann . Aber das Ereignis<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Also das haben wir F(x)=1/3. Die Funktionswerte in den Intervallen , und werden auf ähnliche Weise berechnet. Schließlich, wenn x>6 Das F(x)=1, da in diesem Fall jeder mögliche Wert (1, 2, 3, 4, 5, 6) weniger als X. Graph einer Funktion F(x) in Abb. dargestellt. 4.

Beispiel 2. Finden Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen aus Beispiel 2, Punkt 1.

Lösung: Es ist klar, dass

Zeitplan F(x) in Abb. dargestellt. 5.

Kenntnis der Verteilungsfunktion F(x) ist es einfach, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass eine Zufallsvariable die Ungleichungen erfüllt.
Stellen Sie sich den Fall vor, dass eine Zufallsvariable einen Wert kleiner als annimmt. Dieses Ereignis spaltet sich in die Summe zweier inkompatibler Ereignisse auf: 1) Die Zufallsvariable nimmt Werte kleiner als an, d.h. ; 2) Die Zufallsvariable nimmt Werte an, die die Ungleichungen erfüllen. Mit dem Additionsaxiom erhalten wir

Aber per Definition der Verteilungsfunktion F(x)[cm. Formel (18)], wir haben , ; daher,

Auf diese Weise, Die Wahrscheinlichkeit, dass eine diskrete Zufallsvariable in ein Intervall fällt, ist gleich dem Inkrement der Verteilungsfunktion über dieses Intervall.

Betrachten wir die grundlegenden Eigenschaften der Verteilungsfunktion.
1°. Die Verteilungsfunktion ist nicht abnehmend.
Tatsächlich, lass< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Daher folgt aus Formel (19). , d.h. .

2°. Die Verteilungsfunktionswerte erfüllen die Ungleichungen .
Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Tatsache, dass F(x) definiert als Wahrscheinlichkeit [siehe Formel (18)]. Es ist klar, dass * und .

3°. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine diskrete Zufallsvariable einen der möglichen Werte xi annimmt, ist gleich dem Sprung in der Verteilungsfunktion am Punkt xi.
In der Tat, lass xi ist der Wert, den die diskrete Zufallsvariable annimmt, und . Unter der Annahme, in Formel (19), erhalten wir

Diese. Bedeutung p(xi) gleich Funktionssprung** xi. Diese Eigenschaft ist in Abb. deutlich dargestellt. 4 und Abb. 5.

* Im Folgenden werden folgende Notationen eingeführt: , .
** Das lässt sich zeigen F(xi)=F(xi-0), d.h. Was ist die Funktion? F(x) bleibt an einem Punkt stetig xi.

3. Kontinuierliche Zufallsvariablen.

Neben diskreten Zufallsvariablen, deren mögliche Werte eine endliche oder unendliche Zahlenfolge bilden, die kein Intervall vollständig ausfüllt, gibt es häufig Zufallsvariablen, deren mögliche Werte ein bestimmtes Intervall bilden. Ein Beispiel für eine solche Zufallsvariable ist die Abweichung vom Nennwert einer bestimmten Größe eines Teils bei einem richtig eingestellten technologischen Prozess. Diese Art von Zufallsvariablen kann nicht mit dem Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben werden p(x). Sie können jedoch mithilfe der Wahrscangegeben werden F(x). Diese Funktion ist genauso definiert wie im Fall einer diskreten Zufallsvariablen:

Also auch hier die Funktion F(x) auf der gesamten Zahlenlinie definiert und sein Wert am Punkt X ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner als annimmt X.
Formel (19) und Eigenschaften 1° und 2° gelten für die Verteilungsfunktion jeder Zufallsvariablen. Der Beweis erfolgt analog zum Fall einer diskreten Größe.
Die Zufallsvariable heißt kontinuierlich, wenn es dafür eine nichtnegative stückweise stetige Funktion* gibt, die für beliebige Werte erfüllt X Gleichwertigkeit

Basierend auf der geometrischen Bedeutung des Integrals als Fläche können wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, die Ungleichungen zu erfüllen, gleich der Fläche eines krummlinigen Trapezes mit einer Basis ist , oben begrenzt durch die Kurve (Abb. 6).

Da und basierend auf Formel (22)

Beachten Sie, dass für eine kontinuierliche Zufallsvariable die Verteilungsfunktion gilt F(x) kontinuierlich an jedem Punkt X, wobei die Funktion stetig ist. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass F(x) ist an diesen Stellen differenzierbar.
Basierend auf Formel (23), vorausgesetzt x 1 =x, , wir haben

Aufgrund der Kontinuität der Funktion F(x) Das verstehen wir

Somit

Auf diese Weise, die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable jeden einzelnen Wert x annehmen kann, ist Null.
Daraus folgt, dass die Ereignisse in der Erfüllung jeder der Ungleichungen bestehen

Sie haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, d.h.

Tatsächlich, z.B.

Als

Kommentar. Wie wir wissen, ist die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens Null, wenn ein Ereignis unmöglich ist. Mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition gilt bei endlicher Anzahl der Testergebnisse auch die umgekehrte Aussage: Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Null ist, dann ist das Ereignis unmöglich, da in diesem Fall keines der Testergebnisse es begünstigt. Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist die Anzahl ihrer möglichen Werte unendlich. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Größe einen bestimmten Wert annimmt x 1 ist, wie wir gesehen haben, gleich Null. Daraus folgt jedoch nicht, dass dieses Ereignis unmöglich ist, da die Zufallsvariable durch den Test insbesondere den Wert annehmen kann x 1. Daher ist es im Fall einer kontinuierlichen Zufallsvariablen sinnvoll, über die Wahrscheinlichkeit zu sprechen, mit der die Zufallsvariable in das Intervall fällt, und nicht über die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen bestimmten Wert annimmt.
So interessiert uns beispielsweise bei der Herstellung einer Walze nicht die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Durchmesser dem Nennwert entspricht. Wichtig für uns ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser der Walze im Toleranzbereich liegt.

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist die Funktion F(x), die für jedes x die Wahrscheinlichkeit ausdrückt, dass die Zufallsvariable X den Wert annimmt, kleineres x

Beispiel 2.5. Gegeben sei eine Verteilungsreihe einer Zufallsvariablen

Finden Sie die Verteilungsfunktion und stellen Sie sie grafisch dar. Lösung. Laut Definition

F(jc) = 0 bei X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 bei 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 bei X > 5.

Also (siehe Abb. 2.1):

Eigenschaften der Verteilungsfunktion:

1. Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist eine nicht negative Funktion zwischen Null und Eins:

2. Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist eine nicht abnehmende Funktion auf der gesamten numerischen Achse, d.h. bei X 2 >x

3. Bei minus Unendlich ist die Verteilungsfunktion gleich Null, bei plus Unendlich ist sie gleich eins, d.h.

4. Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen X im Intervall ist gleich einem bestimmten Integral seiner Wahrscheinlichkeitsdichte im Bereich von A Vor B(siehe Abb. 2.2), d.h.

Reis. 2.2

3. Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen (siehe Abb. 2.3) kann durch die Wahrscheinlichkeitsdichte gemäß der Formel ausgedrückt werden:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Das uneigentliche Integral in unendlichen Grenzen der Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist gleich eins:

Geometrische Eigenschaften / und 4 Wahrscheinlichkeitsdichten bedeuten, dass sein Graph ist Verteilungskurve - liegt nicht unterhalb der x-Achse, und die Gesamtfläche der Figur, begrenzt durch die Verteilungskurve und die x-Achse, gleich eins.

Für eine kontinuierliche Zufallsvariable X erwarteter Wert M(X) und Varianz D(X) werden durch die Formeln bestimmt:

(wenn das Integral absolut konvergent ist); oder

(wenn die obigen Integrale konvergieren).

Neben den oben genannten numerischen Merkmalen werden zur Beschreibung einer Zufallsvariablen auch die Konzepte der Quantile und Prozentpunkte verwendet.

Quantilebene q(oder q-Quantil) ist ein solcher Wertx qzufällige Variable, bei dem seine Verteilungsfunktion den Wert annimmt, gleich q, d.h.

• 100Der q%-ou-Punkt ist das Quantil X~ q.
• ? Beispiel 2.8.

Ermitteln Sie anhand der Daten in Beispiel 2.6 das Quantil xqj und die 30 %-Zufallsvariable point X.

Lösung. Nach Definition (2.16) ist F(xo t3)= 0,3, d.h.

~Y~ = 0,3, woher kommt das Quantil? x 0 3 = 0,6. 30 % Zufallsvariablenpunkt X, oder Quantil X)_o,z = xoj" ergibt sich analog aus der Gleichung ^ = 0,7. wobei *,= 1,4. ?

Zu den numerischen Merkmalen einer Zufallsvariablen gehören anfänglich v* und zentral R* Momente k-ter Ordnung, bestimmt für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen durch die Formeln:

Es werden die Definitionen der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen angegeben. Diese Konzepte werden in Artikeln über Website-Statistiken aktiv verwendet. Es werden Beispiele für die Berechnung der Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsdichte mithilfe von MS-EXCEL-Funktionen betrachtet..

Lassen Sie uns die Grundkonzepte der Statistik vorstellen, ohne die es unmöglich ist, komplexere Konzepte zu erklären.

Bevölkerung und Zufallsvariable

Lass uns haben Bevölkerung(Population) von N Objekten, von denen jedes einen bestimmten Wert eines numerischen Merkmals X hat.

Ein Beispiel für eine allgemeine Grundgesamtheit (GS) ist eine Menge von Gewichten ähnlicher Teile, die von einer Maschine hergestellt werden.

Da in der mathematischen Statistik jede Schlussfolgerung nur auf der Grundlage der Eigenschaften von X (abstrahiert von den Objekten selbst) gezogen wird, dann aus dieser Sicht Bevölkerung stellt N Zahlen dar, unter denen es im allgemeinen Fall identische geben kann.

In unserem Beispiel ist GS einfach ein numerisches Array von Teilegewichtswerten. X ist das Gewicht eines der Teile.

Wenn wir aus einem gegebenen GS zufällig ein Objekt mit der Eigenschaft X auswählen, dann ist der Wert von X zufällige Variable. Per Definition jeder Zufallswert Es hat Verteilungsfunktion, was normalerweise mit F(x) bezeichnet wird.

Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeiten zufällige Variable X ist eine Funktion F(x), deren Wert am Punkt x gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X ist

F(x) = P(X

Lassen Sie es uns am Beispiel unserer Maschine erklären. Obwohl unsere Maschine nur einen Teiltyp produzieren soll, ist es offensichtlich, dass das Gewicht der produzierten Teile geringfügig voneinander abweichen wird. Dies ist möglich, da bei der Herstellung unterschiedliche Materialien verwendet werden können und auch die Verarbeitungsbedingungen geringfügig variieren können usw. Das schwerste von der Maschine hergestellte Teil wiegt 200 g und das leichteste 190 g Die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Teil X weniger als 200 g wiegt, ist gleich 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als 190 g wiegt, ist gleich 0. Zwischenwerte werden durch die Form der Verteilungsfunktion bestimmt. Wenn der Prozess beispielsweise für die Herstellung von Teilen mit einem Gewicht von 195 g ausgelegt ist, kann davon ausgegangen werden, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Teil mit einem Gewicht von mehr als 195 g auszuwählen, bei 0,5 liegt.

Typisches Diagramm Verteilungsfunktionen für eine kontinuierliche Zufallsvariable ist im Bild unten dargestellt (violette Kurve, siehe Beispieldatei):

In der MS-EXCEL-Hilfe Verteilungsfunktion angerufen Integral Verteilungsfunktion (KumulativVerteilungFunktion, CDF).

Hier sind einige Eigenschaften Verteilungsfunktionen:

• Verteilungsfunktion F(x) ändert sich im Intervall, weil seine Werte entsprechen den Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse (per Definition kann die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen);
• Verteilungsfunktion– nicht abnehmende Funktion;
• Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert aus einem bestimmten Bereich annimmt Wahrscheinlichkeitsdichte entspricht 1/(0,5-0)=2. Und für mit dem Parameter Lambda=5, Wert Wahrscheinlichkeitsdichte am Punkt x=0,05 ist 3,894. Gleichzeitig können Sie jedoch sicherstellen, dass die Wahrscheinlichkeit in jedem Intervall wie üblich zwischen 0 und 1 liegt.

  Wir möchten Sie daran erinnern Verteilungsdichte abgeleitet ist von Verteilungsfunktionen, d.h. die „Geschwindigkeit“ seiner Änderung: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx, wobei Dx gegen 0 tendiert, wobei Dx=x2-x1. Diese. die Tatsache, dass Verteilungsdichte>1 bedeutet nur, dass die Verteilungsfunktion recht schnell wächst (dies ist im Beispiel offensichtlich).

  Notiz: Die Fläche, die vollständig unter der gesamten darstellenden Kurve enthalten ist Verteilungsdichte, ist gleich 1.

  Notiz: Denken Sie daran, dass die Verteilungsfunktion F(x) in MS-EXCEL-Funktionen aufgerufen wird Verteilungsfunktion. Dieser Begriff ist in Funktionsparametern vorhanden, zum Beispiel NORM.VERT (x; Durchschnitt; Standardabweichung; Integral). Wenn die MS-EXCEL-Funktion zurückkehren soll Verteilungsfunktion, dann der Parameter Integral, d.b. auf TRUE gesetzt. Wenn Sie rechnen müssen Wahrscheinlichkeitsdichte, dann der Parameter Integral, d.b. LÜGE.

  Notiz: Für diskrete Verteilung Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, wird oft auch als Wahrscheinlichkeitsdichte (W(pmf)) bezeichnet. In der MS-EXCEL-Hilfe Wahrscheinlichkeitsdichte kann sogar als „Wahrscheinlichkeitsmaßfunktion“ bezeichnet werden (siehe die Funktion BINOM.DIST()).

  Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte mit MS-EXCEL-Funktionen

  Es ist klar, dass um zu berechnen Wahrscheinlichkeitsdichte Für einen bestimmten Wert einer Zufallsvariablen müssen Sie deren Verteilung kennen.

  Wir werden finden Wahrscheinlichkeitsdichte für N(0;1) bei x=2. Dazu müssen Sie die Formel schreiben =NORMAL.ST.DIST(2,FALSE)=0,054 oder =NORMAL.DIST(2,0,1,FALSE).

  Wir möchten Sie daran erinnern Wahrscheinlichkeit Das kontinuierliche Zufallsvariable wird einen bestimmten Wert annehmen x ist 0. Für kontinuierliche Zufallsvariable X kann nur durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden, dass X den im Intervall (a; b) enthaltenen Wert annimmt.

  Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit MS-EXCEL-Funktionen

  1) Finden wir die Wahrscheinlichkeit, dass eine durch (siehe Bild oben) verteilte Zufallsvariable einen positiven Wert annimmt. Nach Eigentum Verteilungsfunktionen die Wahrscheinlichkeit ist F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

  NORM.ST.DIST(9.999E+307,TRUE) -NORM.ST.DIST(0,TRUE) =1-0,5.
  Anstelle von +∞ lautet der in die Formel eingegebene Wert 9,999E+307= 9,999*10^307. Dies ist die maximale Zahl, die in eine MS-EXCEL-Zelle eingegeben werden kann (sozusagen am nächsten an +∞).

  2) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable verteilt ist , nahm einen negativen Wert an. Laut Definition Verteilungsfunktionen die Wahrscheinlichkeit ist F(0)=0,5.

  Um diese Wahrscheinlichkeit in MS Excel zu ermitteln, verwenden Sie die Formel =NORMAL.ST.DIST(0,TRUE) =0,5.

  3) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, über die eine Zufallsvariable verteilt ist Standardnormalverteilung, nimmt den im Intervall (0; 1) enthaltenen Wert an. Die Wahrscheinlichkeit ist gleich F(1)-F(0), d.h. Von der Wahrscheinlichkeit, X aus dem Intervall (-∞;1) auszuwählen, müssen Sie die Wahrscheinlichkeit, X aus dem Intervall (-∞;0) auszuwählen, subtrahieren. Verwenden Sie in MS Excel die Formel =NORM.ST.DIST(1,TRUE) - NORM.ST.DIST(0,TRUE).

  Alle oben angegebenen Berechnungen beziehen sich auf eine verteilte Zufallsvariable Standardnormalgesetz N(0;1). Es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeitswerte von der konkreten Verteilung abhängen. Suchen Sie im Artikel den Punkt, für den F(x) = 0,5, und ermitteln Sie dann die Abszisse dieses Punktes. Abszisse des Punktes =0, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert annimmt<0, равна 0,5.

  Verwenden Sie in MS Excel die Formel =NORM.ST.REV(0.5) =0.

  

  Berechnen Sie den Wert eindeutig zufällige Variable erlaubt die Eigenschaft der Monotonie Verteilungsfunktionen.

  Inverse Verteilungsfunktion berechnet , die beispielsweise verwendet werden, wenn . Diese. In unserem Fall ist die Zahl 0 das 0,5-Quantil Normalverteilung. In der Beispieldatei können Sie eine andere berechnen Quantil diese Verteilung. Das 0,8-Quantil beträgt beispielsweise 0,84.

  

  In der englischen Literatur Umkehrverteilungsfunktion wird oft als Prozentpunktfunktion (PPF) bezeichnet.

  Notiz: Beim Berechnen Quantile In MS Excel werden folgende Funktionen verwendet: NORM.ST.INV(), LOGNORM.INV(), CHI2.INR(), GAMMA.INR() usw. Weitere Informationen zu den in MS EXCEL vorgestellten Distributionen finden Sie im Artikel.

  Eine universelle Möglichkeit zur Angabe des Verteilungsgesetzes, die sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Zufallsvariablen geeignet ist, ist die Verteilungsfunktion.

  Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X Funktion genannt F(X), Definition für jeden Wert X die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X wird einen Wert kleiner als annehmen X, also

  F(X) = P(X < X).

  Grundlegende Eigenschaften der Verteilungsfunktion F(X) :

  1. Da per Definition F(X) gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist, gehören alle möglichen Werte der Verteilungsfunktion zum Segment:

  0 £ F(X) £ 1.

  2. Wenn ja, dann ist das so F(X) ist eine nicht abnehmende Funktion seines Arguments.

  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der zum Halbintervall [ A, B), ist gleich dem Inkrement der Verteilungsfunktion in diesem Intervall:

  P(A £ X < B) = F(B) - F(A).

  4. Wenn alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen zum Intervall [ A, B], Das

  F(X) = 0, bei X £ A; F(X) = 1, mit X > B.

  Die Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen kann durch die Formel bestimmt werden

  . (15)

  Wenn die Verteilungsreihe einer diskreten Zufallsvariablen bekannt ist, ist es einfach, ihre Verteilungsfunktion zu berechnen und zu konstruieren. Lassen Sie uns anhand von Beispiel 23 demonstrieren, wie das geht.

  Beispiel 25. Berechnen und konstruieren Sie die Verteilungsfunktion für eine diskrete Zufallsvariable, deren Verteilungsgesetz die Form hat:

  x i	0,1	1,2	2,3	4,5
  p i	0,1	0,2	0,6	0,1

  Lösung. Bestimmen wir die Funktionswerte F(X) = P(X < X) für alle möglichen Werte X:

  bei XО (- ¥; 0,1] gibt es keinen einzigen Wert der Zufallsvariablen X, kleiner als diese Werte X, das heißt, es gibt keinen einzigen Term in der Summe (15):

  F(X) = 0;

  bei XО (0,1; 1,2] nur ein möglicher Wert ( X= 0,1) kleiner als die betrachteten Werte X. Das ist wenn XО (0,1; 1,2] F(X) = P(X = 0,1) = 0,1;

  bei XО (1.2; 2.3] zwei Werte ( X= 0,1 und X= 1,2) kleiner als diese Werte X, somit, F(X) = P(X = 0,1) + P(X = 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3;

  bei XО (2,3; 4,5] drei Werte ( X = 0,1, X= 1,2 und X= 2,3) kleiner als diese Werte X, somit, F(X) = P(X = 0,1) + P(X = 1,2) + P(X = 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ;

  bei XО (4,5, ¥) alle möglichen Werte der Zufallsvariablen X wird kleiner als diese Werte sein X, Und F(X) = P(X = 0,1) + P(X = 1,2) + P(X = 2,3) +

  + P(X = 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1.

  Auf diese Weise,

  Graph einer Funktion F(X) ist in Abbildung 8 dargestellt.

  Im Allgemeinen ist die Verteilungsfunktion F(X) diskrete Zufallsvariable X ist eine unstetige, links stetige Stufenfunktion, deren Sprünge an Punkten auftreten, die möglichen Werten entsprechen X 1 , X 2 , ... Zufallsvariable X und sind gleich den Wahrscheinlichkeiten P 1 , P 2 , ... diese Werte.

  
  

  Verteilungsfunktion kontinuierlicher Zufallsvariablen. Jetzt können wir kontinuierliche Zufallsvariablen genauer definieren: Zufallsvariable X angerufen kontinuierlich, wenn seine Verteilungsfunktion F(X) für alle Werte X ist stetig und hat zusätzlich eine Ableitung Überall, vielleicht mit Ausnahme einzelner Punkte.

  Aus der Stetigkeit der Funktion F(X) folgt daraus die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Wertes einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist Null.

  Da die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Wertes einer kontinuierlichen Zufallsvariablen 0 ist, hat Eigenschaft 3 der Verteilungsfunktion für eine kontinuierliche Zufallsvariable die Form

  P(A £ X < B) = P(A £ X £ B) = P(A < X £ B) = P(A < X < B) = F(B) - F(A).

  Beispiel 26. Die Trefferwahrscheinlichkeiten für jeden der beiden Schützen betragen jeweils: 0,7; 0,6. Zufälliger Wert X- die Anzahl der Fehlschüsse, sofern jeder Schütze einen Schuss abgegeben hat. Erstellen Sie eine Reihe von Verteilungen einer Zufallsvariablen X Erstellen Sie ein Balkendiagramm und eine Verteilungsfunktion.

  Lösung. Mögliche Werte dieser Zufallsvariablen X: 0, 1, 2. Der Problemzustand kann als eine Reihe von betrachtet werden N= 2 unabhängige Versuche. In diesem Fall geht es darum, die Wahrscheinlichkeiten möglicher Werte einer Zufallsvariablen zu berechnen X Sie können die Theoreme verwenden, um die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse zu addieren und die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse zu multiplizieren:

  Bezeichnen wir die Ereignisse:

  A ich = ( ich-der Schütze hat das Ziel getroffen) ich = 1, 2.

  Je nach Bedingung die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A 1 P(A 1) = 0,7, Ereigniswahrscheinlichkeit A 2 - P(A 2) = 0,6. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse: , .

  Bestimmen wir alle Elementarereignisse eines gegebenen Zufallsexperiments und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

  Elementare Veranstaltungen	Veranstaltungen	Wahrscheinlichkeiten
  Gesamt

  

  (Lassen Sie uns das überprüfen ).

  Verteilungsreihe einer gegebenen Zufallsvariablen X sieht aus wie

  x i				Gesamt
  p i	0,42	0,46	0,12

  Das dieser Verteilungsreihe entsprechende Balkendiagramm ist in Abbildung 9 dargestellt.

  Berechnen wir die Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen:

  :

  bei X Î (- ¥, 0] ;

  bei XО (0, 1] ;

  bei XО (1, 2] ;

  bei XО (2, +¥);

  Die Verteilungsfunktion der betrachteten Zufallsvariablen hat also die Form:

  

  Graph einer Funktion F(X) ist in Abbildung 10 dargestellt.

  Weiner kontinuierlichen Zufallsvariablen.

  Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte kontinuierliche Zufallsvariable X am Punkt X Die Ableitung seiner Verteilungsfunktion an dieser Stelle heißt:

  F(X) = F¢( X).

  Entsprechend der Bedeutung der Funktionswerte F(X) sind proportional zur Wahrscheinlichkeit, dass die untersuchte Zufallsvariable irgendwo in unmittelbarer Nähe des Punktes einen Wert annimmt X.

  Dichteverteilungsfunktion F(X) sowie die Verteilungsfunktion F(X) ist eine der Formen der Spezifikation des Verteilungsgesetzes, ist jedoch nur für kontinuierliche Zufallsvariablen anwendbar. WF(X) auch genannt Differentialverteilungsfunktion, während die Verteilungsfunktion F(X) heißen jeweils Verteilungsfunktion.

  Dichteverteilungsdiagramm F(X) wird genannt Verteilungskurve.

  Betrachten wir die Eigenschaften der Verteilungsdichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen.

  Eigentum 1. Die Wahrist eine nicht negative Funktion:

  F(X) ³ 0

  (geometrisch: die Verteilungskurve liegt nicht unterhalb der x-Achse).

  Eigentum 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in den Bereich von a nach b fällt, wird durch die Formel bestimmt

  ;

  (geometrisch: Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich der Fläche des von der Kurve begrenzten krummlinigen Trapezes F(X), Achse Oh und gerade X= ein und X= b).

  Eigentum 3.

  (geometrisch: Die durch die Verteilungskurve und die x-Achse begrenzte Fläche der Figur ist gleich eins.

  Insbesondere wenn alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen zum Intervall [ A, B], Das

  Eigentum 4. Verteilungsfunktion F(X) kann aus der bekannten Verteilungsdichtefunktion wie folgt ermittelt werden:

  .

  Beispiel 27. Eine kontinuierliche Zufallsvariable wird durch eine Verteilungsfunktion angegeben

  

  Bestimmen Sie die Differentialverteilungsdichtefunktion.

  Lösung. Definieren wir die Differentialverteilungsdichtefunktion

  

  Beispiel 28. Ist jede der folgenden Funktionen die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen?

  Fragen zur Selbstkontrolle

  1. Was nennt man eine Zufallsvariable?

  2. Welche Größen werden als diskret bezeichnet? kontinuierlich?

  3. Wie heißt das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen?

  4. Auf welche Weise kann das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen angegeben werden? kontinuierlich?

  5. Was charakterisiert die Verteilungsfunktion? F(x) zufällige Variable?

  6. Wie kann mithilfe der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt?

  7. Was charakterisiert die Verteilungsdichtefunktion einer Zufallsvariablen? Geben Sie seine probabilistische Bedeutung an.

  8. Für welche Größen ist die Verteilungsdichtefunktion definiert?

  9. Kann die Verteilungsdichtefunktion negative Werte annehmen?

  10. Wie Funktionen miteinander zusammenhängen F(x) Und F(X)?

  11. Welche Zufallsvariablen werden als kontinuierlich bezeichnet?

  12. Wie groß ist die Fläche der Figur, die durch die Verteilungskurve und die x-Achse begrenzt wird?

  13. Wie kann mithilfe der Verteilungsdichtefunktion die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt?

  Typ