Ermitteln Sie anhand der Diagonalen und Seiten die Fläche des Parallelogramms. Bestimmung der charakteristischen Merkmale eines Parallelogramms anhand des Satzes

Parallelogramm ist ein Viereck, dessen Seiten paarweise parallel sind.

In dieser Abbildung sind gegenüberliegende Seiten und Winkel einander gleich. Die Diagonalen eines Parallelogramms schneiden sich in einem Punkt und halbieren ihn. Mit Formeln für die Fläche eines Parallelogramms können Sie den Wert anhand der Seiten, der Höhe und der Diagonalen ermitteln. In Sonderfällen kann auch ein Parallelogramm dargestellt werden. Sie gelten als Rechteck, Quadrat und Raute.
Schauen wir uns zunächst ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms anhand der Höhe und der Seite an, auf die es abgesenkt wird.

Dieser Fall gilt als Klassiker und bedarf keiner weiteren Untersuchung. Es ist besser, die Formel zur Berechnung der Fläche durch zwei Seiten und des Winkels zwischen ihnen zu berücksichtigen. Die gleiche Methode wird bei Berechnungen verwendet. Wenn die Seiten und der Winkel zwischen ihnen angegeben sind, berechnet sich die Fläche wie folgt:

Angenommen, wir erhalten ein Parallelogramm mit den Seiten a = 4 cm und b = 6 cm. Der Winkel zwischen ihnen beträgt α = 30°. Suchen wir den Bereich:

Fläche eines Parallelogramms durch Diagonalen

Mit der Formel für die Fläche eines Parallelogramms anhand der Diagonalen können Sie den Wert schnell ermitteln.
Für Berechnungen benötigen Sie die Größe des Winkels zwischen den Diagonalen.

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms anhand von Diagonalen. Gegeben sei ein Parallelogramm mit Diagonalen D = 7 cm, d = 5 cm. Der Winkel zwischen ihnen beträgt α = 30°. Ersetzen wir die Daten in der Formel:

Ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms durch die Diagonale lieferte uns ein hervorragendes Ergebnis – 8,75.

Wenn Sie die Formel für die Fläche eines Parallelogramms durch die Diagonale kennen, können Sie viele interessante Probleme lösen. Schauen wir uns einen davon an.

Aufgabe: Gegeben sei ein Parallelogramm mit einer Fläche von 92 Quadratmetern. siehe Punkt F liegt in der Mitte seiner Seite BC. Finden wir die Fläche des Trapezes ADFB, die in unserem Parallelogramm liegen wird. Lassen Sie uns zunächst alles, was wir erhalten haben, gemäß den Bedingungen zeichnen.
Kommen wir zur Lösung:

Gemäß unseren Bedingungen ist ah =92, und dementsprechend ist die Fläche unseres Trapezes gleich

Ein Parallelogramm ist eine viereckige Figur, deren gegenüberliegende Seiten parallel und paarweise gleich sind. Seine entgegengesetzten Winkel sind ebenfalls gleich, und der Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelogramms teilt sie in zwei Hälften und ist das Symmetriezentrum der Figur. Sonderfälle eines Parallelogramms sind geometrische Formen wie Quadrat, Rechteck und Raute. Die Fläche eines Parallelogramms kann auf verschiedene Weise ermittelt werden, je nachdem, welche Ausgangsdaten die Problemstellung begleiten.

Das Hauptmerkmal eines Parallelogramms, das sehr oft zur Bestimmung seiner Fläche verwendet wird, ist seine Höhe. Die Höhe eines Parallelogramms wird üblicherweise als Senkrechte bezeichnet, die von einem beliebigen Punkt auf der gegenüberliegenden Seite zu einem geraden Segment gezogen wird, das diese Seite bildet.

1. Im einfachsten Fall ist die Fläche eines Parallelogramms definiert als das Produkt aus seiner Grundfläche und seiner Höhe.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   wobei S die Fläche des Parallelogramms ist;
   a - Basis;
   h ist die Höhe, die zur gegebenen Basis gezogen wird.

   Diese Formel ist sehr leicht zu verstehen und zu merken, wenn Sie sich die folgende Abbildung ansehen.

   

   Wie Sie auf diesem Bild sehen können, erhalten wir ein Rechteck, wenn wir links vom Parallelogramm ein imaginäres Dreieck abschneiden und es rechts anbringen. Wie Sie wissen, ergibt sich die Fläche eines Rechtecks, indem man seine Länge mit seiner Höhe multipliziert. Nur im Fall eines Parallelogramms ist die Länge die Grundfläche und die Höhe des Rechtecks ​​die Höhe des Parallelogramms, wenn es auf eine bestimmte Seite abgesenkt wird.

2. Die Fläche eines Parallelogramms lässt sich auch ermitteln, indem man die Längen zweier benachbarter Basen mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multipliziert:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   wobei AD, AB benachbarte Basen sind, die einen Schnittpunkt und einen Winkel a zwischen sich bilden;
   α ist der Winkel zwischen den Basen AD und AB.

   

3. Sie können die Fläche eines Parallelogramms auch ermitteln, indem Sie das Produkt der Längen der Diagonalen des Parallelogramms durch den Sinus des Winkels zwischen ihnen halbieren.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   wobei AC, BD die Diagonalen des Parallelogramms sind;
   β ist der Winkel zwischen den Diagonalen.

   

4. Es gibt auch eine Formel, um die Fläche eines Parallelogramms anhand des Radius des darin eingeschriebenen Kreises zu ermitteln. Es ist wie folgt geschrieben:

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Fläche eines Parallelogramms. In vielen Geometrieproblemen im Zusammenhang mit der Flächenberechnung, darunter auch Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen, werden Formeln für die Fläche eines Parallelogramms und eines Dreiecks verwendet. Es gibt mehrere davon, wir werden sie uns hier ansehen.

Es wäre zu einfach, diese Formeln aufzuzählen; es gibt bereits genug davon in Fachbüchern und auf verschiedenen Websites. Ich möchte das Wesentliche vermitteln – damit Sie sie nicht vollstopfen, sondern verstehen und sich jederzeit leicht daran erinnern können. Nachdem Sie das Material im Artikel studiert haben, werden Sie verstehen, dass es überhaupt nicht nötig ist, diese Formeln zu lernen. Objektiv gesehen kommen sie bei Entscheidungen so häufig vor, dass sie lange im Gedächtnis bleiben.

1. Schauen wir uns also ein Parallelogramm an. Die Definition lautet:

Warum so? Es ist einfach! Um deutlich zu machen, was die Formel bedeutet, führen wir einige zusätzliche Konstruktionen durch, nämlich die Konstruktion der Höhen:

Die Fläche des Dreiecks (2) ist gleich der Fläche des Dreiecks (1) – das zweite Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke „entlang des Beins und der Hypotenuse“. Lassen Sie uns nun gedanklich das zweite „abschneiden“ und es so verschieben, dass es über das erste gelegt wird – wir erhalten ein Rechteck, dessen Fläche der Fläche des ursprünglichen Parallelogramms entspricht:

Die Fläche eines Rechtecks ​​ist bekanntlich gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten. Wie aus der Skizze ersichtlich ist, entspricht eine Seite des resultierenden Rechtecks ​​der Seite des Parallelogramms und die andere der Höhe des Parallelogramms. Daher erhalten wir die Formel für die Fläche eines Parallelogramms S = a∙h A

2. Fahren wir fort, eine weitere Formel für die Fläche. Wir haben:

Fläche einer Parallelogrammformel

Bezeichnen wir die Seiten als a und b, der Winkel zwischen ihnen ist γ „Gamma“, die Höhe ist h a. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck:

Notiz. Dies ist Teil einer Lektion mit Geometrieproblemen (Abschnitt Parallelogramm). Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. Um den Vorgang des Ziehens einer Quadratwurzel in Problemlösungen anzuzeigen, wird das Symbol √ oder sqrt() verwendet, wobei der Wurzelausdruck in Klammern angegeben ist.

Theoretisches Material

Erläuterungen zu den Formeln zur Ermittlung der Fläche eines Parallelogramms:

1. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Länge einer seiner Seiten und der Höhe dieser Seite
2. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt seiner beiden benachbarten Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen
3. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem halben Produkt seiner Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen

Probleme beim Finden der Fläche eines Parallelogramms

Aufgabe.
In einem Parallelogramm betragen die kürzere Höhe und die kürzere Seite 9 cm bzw. die größere Diagonale 15 cm.

Lösung.
Bezeichnen wir die kleinere Höhe des vom Punkt B zur größeren Basis AD abgesenkten Parallelogramms ABCD als BK.
Finden wir den Wert des Schenkels eines rechtwinkligen Dreiecks ABK, das aus einer kleineren Höhe, einer kleineren Seite und einem Teil einer größeren Grundfläche besteht. Nach dem Satz des Pythagoras:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1

Verlängern wir die obere Basis des Parallelogramms BC und senken wir die Höhe AN von seiner unteren Basis darauf ab. AN = BK als Seiten des Rechtecks ​​ANBK. Finden wir den Schenkel NC des resultierenden rechtwinkligen Dreiecks ANC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12

Lassen Sie uns nun die größere Basis BC des Parallelogramms ABCD ermitteln.
BC = NC – NB
Berücksichtigen wir also, dass NB = AK als Seiten des Rechtecks
BC = 12 - 1 = 11

Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe zu dieser Grundfläche.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Antwort: 99 cm 2 .

Aufgabe

Im Parallelogramm ABCD fällt die Senkrechte BO auf die Diagonale AC. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms, wenn AO=8, OC=6 und BO=4.

Lösung.
Lassen Sie uns eine weitere Senkrechte DK auf die Diagonale AC fallen lassen.
Dementsprechend sind die Dreiecke AOB und DKC, COB und AKD paarweise gleich. Eine der Seiten ist die gegenüberliegende Seite des Parallelogramms, einer der Winkel ist eine Gerade, da sie senkrecht zur Diagonale steht, und einer der übrigen Winkel ist ein inneres Kreuz, das für die parallelen Seiten des Parallelogramms und der Sekante liegt Diagonale.

Somit ist die Fläche des Parallelogramms gleich der Fläche der angegebenen Dreiecke. Also
Sparallel = 2S AOB +2S BOC

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte des Produkts der Schenkel. Wo
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Antwort: 56 cm 2 .